unidad n°3: perímetros, áreas y volúmenes

Unidad 3

Geometría

NIVELACIÓNNIVELACIÓNMATEMÁTICAMATEMÁTICA20142014

DEFINICIÓN• POLIGONOS:

Es una figura plana (bidimensional) con lados rectos.

(Nota: un círculo no es un polígono puesto que tiene su lado curvo).

• EJEMPLOS:

TRIÁNGULO CUADRADO RECTÁNGULO

ROMBO TRAPECIOCIRCUNFERENCIA

CÍRCULO

ÁREAS Y PERÍMETROS DE LAS FIGURAS ELEMENTALES

áreaárea perímetroperímetro

Base por altura partido por dos

Suma de lostres lados

TRIÁNGULO

2

alturabase ⋅cba ++

basebaseb b

Área = 2

hb ⋅3 cm

4 cm

3 cm

2 cm

E J E MP L OS

262

34cm=⋅ 23

2

32cm=⋅

b

ac

Perímetro = a + b + c

E J E M P L O

5 cm

3 cm4 cm

3 + 5 + 4 = 12 cm

áreaárea perímetroperímetro

Lado por lado = lado al cuadrado Suma de los

lados

CUADRADO

2lll =⋅ lllll 4=+++

Área = 2lll =⋅

22 25555 cm==⋅

l

l

Debe ser muy parecida a la

del rectángulo

Área = a·ba

b

5 cm

5 cm

E J E MP L O

Perímetro = l + l + l + l = 4·l

l

l

3 cm

3 cm

4·3 = 12 cm

E J E M P L O

áreaárea perímetroperímetro

Lado mayor por lado menor

Suma de los lados

RECTÁNGULO

ba ⋅ ba 22 +

Área = a · b

21535 cm=⋅

b

a

Si los lados fuesen iguales valdría para

el cuadrado

Área = a·ba

b

3 cm

5 cm

E J E MP L O

Perímetro = a + b + a + b = 2·a + 2·b = 2·(a+b)

b

a

3 cm

5 cm

2·(5+3) = 16 cm

E J E M P L O

áreaárea perímetroperímetro

Diagonal mayor por diagonal menor partido por dos

Suma de los lados

ROMBO

2

dD ⋅ lllll 4=+++

E J E M P L O

Área = 2

dD ⋅

2202

58cm=⋅

D

d

8 cm

5 cm

E J E M P L O

Perímetro = l + l + l + l = 4·l

4·3 = 12 cm

l

l

3 cm

3 cm

áreaárea perímetroperímetro

Semisuma de las bases por la altura

Suma de los lados

TRAPECIO

hbb ⋅+

221

dcba +++

E J E MP L O

Si las bases fuesen iguales tendríamos

un rectángulo

Área = a·ba

b

h

alturaaltura

b1

b2

basesbases

5 cm

3 cm

2 cm

Área =( )

hbb ⋅+

221

( ) 2822

35cm=⋅+

E J E M P L O

Perímetro = b1 + c + b2 + a

7+3+5+4 = 19 cm

a

b2

b1

c4 cm

5 cm

7 cm

3 cm

círculocírculo circunferenciacircunferencia

π (pi) por el radio al

cuadrado

Un balón de playa

Será un circulo o será una circunferencia

Ni una cosa ni otra

Y entonces ¿qué es?

Como es posible que no sepa lo que es una esfera

Diámetro por π π≅3,14159...

CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO

2r⋅π r⋅⋅π2

E J E M P L O

Área = 2r⋅π

r

10 cm

22 159,31410 cm≅⋅π

Siempre es un valor aproximado

E J E M P L O

longitud = r⋅⋅π2

r

5 cm

cm4159,3152 ≅⋅⋅π

Siempre es un valor aproximado

DEFINICIÓN• POLIEDROS:

Es un cuerpo geométrico cerrado delimitado por cuatro o más regiones poligonales. Las regiones poligonales que limitan al poliedro se laman caras del poliedro, los lados de estos reciben el nombre de aristas y concurren a un punto llamado vértice.

• EJEMPLOS:

¿Existe relación entre el número de caras, vértices y aristas de cada uno?

En un poliedro convexo cualquiera se cumple la siguiente relación:

n°caras+n°vértices=n°aristas+2

Esta relación es llamada el

TEOREMA DE EULER

CONVEXO Y CÓNCAVO

CONVEXO CÓNCAVO

Todas sus caras se pueden “apoyar” en el

plano

No todas sus caras se pueden “apoyar” en el

plano

ACTIVIDAD 1

1) Sabiendo que el número de vértices de un prisma es 20 y el número de aristas es 30, ¿cuántas caras tiene?

2) El número de vértices de una pirámide es 11 y el número de aristas 20, ¿cuántas caras tiene?

3) Determina la veracidad de las siguientes proposiciones. Justifica tus respuestas.

a.- Un poliedro puede tener el mismo número de vértices que de aristas.

b.- Un poliedro puede tener el mismo número de caras y de aristas.

c.- Un poliedro puede tener el mismo número de vértices que de caras

ÁREA PRISMALa figura área plana con la que podemos construir el prisma (red) es lo que corresponde a el área de ese prima

En el caso particular de los prismas el área total está formada por rectángulos (corresponden a las caras laterales) y por los polígonos que forman las bases.

VOLÚMEN PRISMATodos estos cuerpos tienen la misma altura y sus bases tienen igual área, sin embargo, sus inclinaciones son distintas. Según el principio de Cavalieri: como las áreas transversales son iguales, los volúmenes también lo son, por lo tanto, resulta fácil calcular el volumen, ya que basta con determinar solo el del paralelepípedo correspondiente.

ÁREA TOTAL PRISMA• Es igual a la suma de las áreas de cada una de sus caras

laterales y basales, es decir:

VOLÚMEN PRISMA

basaláreaAlateraláreaAtotaláreaA

donde

AAA

BLT

BLT

:; :; :

2+=

alturahybasaláreaA

donde

hAV

B

B

: :

⋅=

ACTIVIDAD 21) Calcula el área de los siguientes prismas:

2) Calcula el volumen de un cubo de arista 12 cm.

3) Calcula el volumen de un prisma triangular regular de arista 10 cm y altura 6 cm

ÁREA PIRÁMIDE

Al igual que el área de un prisma, éste corresponde a la suma de todas las áreas de los polígonos que la componen.

VOLÚMEN PIRÁMIDEObserva la figura:

El prisma triangular fue descompuesto en tres pirámides regulares.Las tres pirámides tienen el mismo volumen, por lo tanto, el volumen de una pirámide corresponde a un tercio del prima que le corresponde.

• Una pirámide regular tiene todas sus aristas de igual medida

• Si la base de una pirámide tiene n lados, entonces el número de caras es n+1

alturahybasaláreaA

donde

hAVV

B

Bprisma

: :

3

1

3

1 ⋅==

ACTIVIDAD 31) Calcula en cada caso el volumen del prisma y el de la pirámide. Comprueba la relación existente entre dichos volúmenes.

2) Determina el área total de las siguientes pirámides:

a)Calcula el área lateral y el área total de una pirámide hexagonal de 30 cm de arista lateral y 12 cm de arista de la base. b)Calcula el área lateral y el área total de una pirámide pentagonal de 15 cm de arista lateral y 24 cm de arista de la base. La apotema de la base mide 16,52 cm.

CUERPOS REDONDOS O SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

• CILINDRO: Las secciones definidas por el plano transversal tienen igual área, por lo tanto, tenemos que el área de las bases es equivalente, además:

Área: Volumen:

( ) 222 2 rHrAA LB ππ +=+⋅

cilindro altura : donde HrπHA 2B H⋅⋅=⋅

• CONO

Área: Volumen: Al igual que entre los prismas y las pirámides,

existe la misma relación entre el cilindro y el cono.

( ) generatriz:g donde rgr +⋅⋅π

cono altura : donde Hrπ3

1HA

3

1 2B H⋅⋅⋅=⋅⋅

• ESFERA: Se puede obtener a partir de la rotación de una semicircunferencia sobre un eje.

Área: Volumen:

3

3

4r⋅⋅π

24 r⋅⋅π

ACTIVIDAD 41) ¿Cuál es el área total de un tubo de

acero con forma cilíndrica, si su radio basal mide 5 cm y su largo 2 mt?

2) ¿Cuántos de pintura se necesitan para pintar 100 de estos tubos? (1 lt de pintura rinda aproximadamente 3 ).

3) ¿Qué condición debe cumplir el radio y la altura de un cilindro para que su área lateral sea equivalente a la suma de las áreas basales?

4) Se construyó un pozo como el de la figura. Si la altura es de 120 cm, el grosor es de 40 cm y el hueco mide 1 mt, ¿cuál es el volumen del pozo?

3cm

2m

5) Calcula el área de un cono recto cuya generatriz mide 20 cm y cuyo radio basal es de 15 cm

6) Calcula el volumen y el área de una esfera de 6 cm de radio

7) Una esfera está inscrita en un cubo de 6 cm de arista, es decir, las caras son tangentes a la esfera. Calcula el volumen de la esfera y el área de la superficie esférica.