unidad i números complejos

ING. IVÁN SAN JUAN LÓPEZ

Resolver problemas de aplicación e interpretar las soluciones utilizandomatrices y sistemas de ecuaciones lineales para las diferentes áreas de laingeniería. Identificar las propiedades de los espacios vectoriales y lastransformaciones lineales para describirlos, resolver problemas y vincularloscon otras ramas de las matemáticas.

OBJETIVO GENERAL DE LA MATERIA

COMPETENCIAS PREVIAS

Manejar el concepto de los números reales y su representacióngráfica.

Usar las operaciones con vectores en el plano y el espacio.

Resolver ecuaciones cuadráticas.

Emplear las funciones trigonométricas.

Graficar rectas y planos.

Obtener un modelo matemático de un enunciado.

Utilizar software matemático.

PROPOSITO Y

BENEFICIOS DEL CURSO

PROPOSITO:

Proporcionar al estudiante de ingeniería una herramienta pararesolver problemas de aplicaciones de la vida ordinaria y deaplicaciones de la ingeniería.Esta materia proporciona además conceptos matemáticos que seaplicarán en investigación de operaciones y en otras materias deespecialidad.

BENEFICIO:Obtener la capacidad para desarrollar un pensamiento lógico,heurístico y algorítmico al modelar fenómenos de naturalezalineal y resolver problemas.

CONTENIDO

1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo.

1.3 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo.

1.2 Operaciones fundamentales con números complejos.

1.1 Definición y origen de los números complejos.

1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raícesde un número complejo.

1.6 Ecuaciones polinómicas.

UNIDAD I: NÚMEROS COMPLEJOS

EJERCICIOS EN CLASE 40%

PARTICIPACIÓN

20%EJERCICIOS EXTRA CLASE

10%

MANEJO DE SOFTWARE30%

Discusión y trabajo en grupos.

Ejercicios en clase .

Investigaciones.

Practicas (software MAPLE).

Operación

PuntualidadParticipación activaRespetoPedir la palabraNo salirse del temaCelular en vibrador

Participación

ALGEBRA LINEAL

Es una de las ramas de lasmatemáticas que estudia conceptostales como vectores, matrices,sistemas de ecuaciones lineales y enun enfoque más formal, espaciosvectoriales, y sus transformacioneslineales.

UNIDAD I: NÚMEROS

COMPLEJOS

1.1 DEFINICIÓN Y ORIGEN

DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Expresión de la forma a + bi, en donde a y bson números reales e i es imaginario

En matemáticas, los números reales son aquellosque poseen una expresión decimal e incluyentanto a los números racionales (como: 31, 37/22,25,4) como a los números irracionales, que no sepueden expresar de manera fraccionaria y tieneninfinitas cifras decimales no periódicas, talescomo: π

1.1 DEFINICIÓN Y ORIGEN

DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Un número imaginario es un número cuyocuadrado es negativo. Fue en el año 1777 cuandoLeonhard Euler le dio a el nombre de i, porimaginario de manera despectiva dando a entenderque no tenían una existencia real.

2

44

2

20164

)1(2

)5)(1(4)4()4(

2

4

054

2

2

2

x

x

x

a

acbbx

xx

ix

ix

ii

x

x

x

x

2

2

122

24

2

124

2

144

2

)1)(4(4

2

1

GRAFICA DE UN NÚMERO

COMPLEJO

Para graficar un número complejo se debe tener en cuenta losiguiente:

Teniendo un numero Z= a+bi

Donde

a y b son números

a es la parte real y se representara en el eje real del planocomplejo

b representa la parte imaginaria se representa en el ejeimaginario del plano complejo

GRAFICA DE UN NÚMERO COMPLEJO

EJEMPLOS DE NÚMEROS

COMPLEJOS

Números Complejos

i00

i20

i32i25

i03

NÚMEROS REALESNÚMEROS IMAGINARIOS PUROSCEROUNIDAD IMAGINARIACONJUGADO EN

aia 0bibi0

000 iii1

bia

Se dan nombres especiales a algunas clases particulares de números complejos, como son:

bia

biaz__

z

biaz__

Si , entonces el conjugado de z, denotado por

.

se define como:

Plano complejo. Un número complejo z se puederepresentar como un punto en un plano xy. El punto delplano (a,b) representara el número complejo z= a+bj , esdecir el número cuya parte real es a y cuya parte imaginariaes b.

Eje real

Eje Imaginario

Eje real

biazb

a

4+5i

Parte real positiva

Parte imaginaria positiva

-4+5i

Parte real negativa

Parte imaginaria positiva

-4-5i

Parte real negativa

Parte imaginaria negativa

4-5i

Parte real positiva

Parte imaginaria negativa

5i

Parte real cero

Parte imaginaria positiva

-5i

Parte real cero

Parte imaginaria negativa

2i

idbcadicbiadicbia

idbcadicbiadicbia

ibcadbdacbdibciadiacdicbia 2

dic

dic

dic

bia

dic

bia

.

1. Adición.

2. Sustracción.

3. Multiplicación.

4. División.

Al efectuar operaciones con números complejos, se procede comoen el algebra de números reales, reemplazando por -1.

Realizar las siguientes operaciones y escribir la respuesta enla forma a + bi.

a) ii 2742

b) ii 2639

iiiii 5326392639Cambiar de

signo

1.- =

2.- (2 – 3i) + (5 + 4i)=

3.- (3 + 4i) + (8 – 3i)=

4.- (3a + 4i) + (0 – 2i)=

5.- (3 + 2i) + (-3 +3i)=

6.- (-5 + 3i) – (4 -2i)=

7.- (1 + 2√-1) + (-2 - 2√-1)=

8.- (5 + 3i) + (3 – 6i)=

9.- (7 – 5i) – (4 – 3i)=

10.- (4 + 3i) – (1-2i)=

ii 2639

c)

15-2i-8(-1)15-2i+815+8-2i

23-2i

ii 4523

ii

i

iii

iiiiii

2238215

)1(8215

8101215

425243534523

2

d)i

i

32

23

i

i

i

i

i

i

32

32

32

23

32

23

iii

i4

6i4i9i6

i

iiii 2

13

5

13

12

94

512

)1(94

656

3)3(2

322233232222

Se multiplica por el conjugado del

denominador

(a+b)(a-b)=a2-b2

iia 31322)

ii 2422 ii 93313

iiiii 7193249324

iic 325)

iib 432)

i

id

2

64)

iie 6335)

iif 3457)

iig 2134)

i

ih

24

36)

iii 215233)

iij 543)

iik 324)

i

il

3

39)

ASÍ22 baz

a

b1tan

Z = 4+2i

"18.54'33º2647.4z

Z = -4+2i

180°-26°33’54.18”=153°26’5.82”

"82.5'26º15347.4z

Z = -4-2i

180°+26°33’54.18”=206°33’54.1”

Z = -4+2i

360°-26°33’54.18”=333°26’5.82”

"18.54'33º20647.4z "18.54'33º33347.4z

rsenb

ra cos

Aplicando:

a = 5 cos 30 = 4.33

b = 5 sen 30 = 2.5

Así la forma binómica de z= (5, 30°) es

= 4.33 + 2.5i

Representa gráficamente y expresa en forma polar los siguientes números complejos.

e) = -5 + 2i

Expresa la forma binómica de los siguientes números complejos:

nisennrisenrz nnn coscos

531 i

24313122

r

01 601

3tan

)60)(5(2)60)(5()60)(5cos(2cos31 05005 cisisenisennri n

05

3003231 cisi

Una variante de la forma polar se obtiene al tener en cuenta laconocida como fórmula de Euler:

sincos iei

irez

º60231 iei

Ejemplo

La raíz enésima de número complejo es otro númerocomplejo tal que:

Su argumento es:

EJEMPLO

Encontrar las cinco raíces quintas de . Dejar la respuesta en forma polar

iz 1

2111122

r

01 451

1tan

5

360

5

452

5

245

5

245cos2452

00

101

00

51

51

0 kcisk

isenk

cis

00101

7292 kcis

Si Si Si Si Si

0k 0101

00101

1 9272092 ciscisz

1k 0101

00101

2 81272192 ciscisz

2k 0101

00101

3 153272292 ciscisz

3k 0101

00101

4 225272392 ciscisz

4k 0101

00101

5 297272492 ciscisz

Las ecuaciones polinómicas son aquellas equivalentes a unaecuación cuyo primer término es un polinomio y el segundo escero. Así, una ecuación polinómica de grado n se puede escribirde la forma:

Donde son los coeficientes de la ecuación y

0... 01

1

1 axaxaxa n

n

n

n

01,..., ayaa nn

0na

a

acbbx

2

42

2,1

EJEMPLO:

Hallar las raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas:

034 2 xx

)4(2

)3)(4(4)1()1( 2

2,1x

a

acbbx

2

42

2,1

3,1,4 cba

8

48112,1x

8

4712,1x

8

1471

8

)1)(47(12,1x

8

4712,1

ix

8

47

8

11

ix

8

47

8

12

ix

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE