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Unidad 3 Controladores Industriales
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CONTROLADORES INDUSTRIALES
Los controladores de carácter industrial pueden agruparse en dos categorías: Continuos o
Discontinuos. Los primeros se caracterizan por producir cambios continuos en la salida si el error
varía continuamente. A su vez, el controlador discontinuo contiene elementos de interrupción,
normalmente del tipo Todo-Nada, que causan discontinuidades en la acción de control.
Analizaremos los controladores continuos del tipo PID, se analizarán las propiedades de los diferentes
modos de control, las formas de ajustar los parámetros, además de entregar otro tipo de información
que pudiera ser útil en el momento de seleccionar un controlador.
Antes de comenzar debemos de recordar los parámetros de la respuesta de un sistema sobre los
cuales se desea actuar. Aunque son muchos, los más importantes desde el punto de vista del control
automático son los siguientes:
ess : error de estado estacionario
Parámetro porcentual que representa la desviación en estado estacionario que tiene la salida
del sistema respecto al Setpoint o referencia deseada.
tr : tiempo de subida o Rise Time
Tiempo en que la respuesta alcanza el 90% del valor estacionario final. Este parámetro
representa la rapidez con que reacciona el sistema frente a cambios o perturbaciones.
ts : tiempo de establecimiento
Tiempo en que el sistema alcanza el estado estacionario. Corresponde al intervalo de tiempo
medido desde el momento en que se produce el cambio o la perturbación, hasta el instante
en que la respuesta entra en la banda del 98% de su valor final.
MP : sobreimpulso
Tiene existencia sólo en respuestas subamortiguadas, esto es, respuesta en forma de una
oscilación cuya magnitud se atenúa en forma exponencial. Su valor se obtiene de la siguiente
expresión:
𝑀𝑃(%) = 100 (𝑦𝑚 − 𝑦𝑠𝑝𝑛
𝑦𝑠𝑝𝑛 − 𝑦𝑠𝑝𝑜)
En donde ym es el valor máximo de la oscilación, yspo es el punto de operación original, e yspn
es el nuevo punto de operación.
No existen reglas que permitan sistematizar la selección del valor que deberían tomar estos
parámetros. Cada caso deberá estudiarse de forma independiente, de modo que la elección final
dependerá de la experiencia y conocimiento que se tenga sobre el proceso.
Los parámetros anteriores están relacionados entre sí y muchas veces tienen efectos cruzados, en
otras palabras, la mejora de uno de ellos está siempre acompañada de un desmejoramiento de otro
de los parámetros. Por ejemplo, cuando se trata de sistemas con respuesta subamortiguada, un
mejoramiento en la velocidad de reacción del sistema (tr más cortos) viene acompañada por aumento
en MP y ts, de igual forma una disminución en el error de estado estacionario viene acompañado por
menor estabilidad relativa, etc. El recordar estas relaciones es especialmente importante cuando se
ajustan los lazos de control, de lo contrario se corre el riesgo que por tratar de corregir alguna
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situación particular en la respuesta se termine por empeorar otros rasgos de ella que pudiesen dañar
en forma irreparable el proceso (sobreimpulso excesivo, por ejemplo).
CONTROLADORES CONTINUOS
La respuesta de un lazo de control depende de gran medida de la acción o modo de control utilizado,
y del ajuste de los parámetros respectivos. En consecuencia, para establecer la selección correcta del
controlador, y los modos más convenientes de lograr una buena regulación del sistema, es
importante tener de las características y propiedades de las diferentes acciones de control. El saber
¿Qué efecto tiene la Acción Proporcional sobre un lazo de control?, una acción PI o PID, será siempre
información importante para el ingeniero de procesos al momento de tomar decisión es de control.
Prácticamente todos los controladores continuos usados en la industria son del tipo PID. Cada una
de las acciones de control, Proporcional (P), Integral (I) y Derivativa (D), se puede ajustar en forma
independiente, pudiéndose además obtener efectos combinados estableciendo controladores PI,
PIL, PD u otras.
Un controlador del tipo PID, ideal, matemáticamente queda expresado por la ecuación siguiente:
𝑚(𝑡) = 𝐾𝐶 [𝑒(𝑡) +1
𝑇𝑖∫ 𝑒(𝑡)𝑑𝑡 + 𝑇𝑑
𝑑
𝑑𝑡𝑒(𝑡)]
En donde: m(t)= Salida de control
e(t) = error dinámico del sistema
KC = Ganancia proporcional del controlador
Ti = Constante de Integración
Td = Constante Derivativa
Además, se acostumbra definir:
𝑇𝑅 =1
𝑇𝑖= 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑅𝑒𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛
𝑇𝐷 =1
𝑇𝑑= 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎
La ganancia proporcional Kc puede ser reemplazada por la Banda Proporcional PB. Este parámetro es
adimensional, porcentual y se define como:
𝑃𝐵 = 100 (∆𝑦
𝑅𝑚𝑎𝑥)
En donde: Rmax =Valor máximo posible de la Referencia
y = Rango de variación de la salida
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La banda proporcional y la Ganancia KC están relacionados a través de la expresión:
𝑃𝐵 =100
𝐾𝐶
Ejemplo de comprensión
En un sistema térmico la escala de un control de temperatura llega a un máximo de 400°C. si la
Referencia está puesta en 200°C y se ha seleccionado una ganancia Kc=4, ello implica una PB=25% lo
cual arroja un y=100°C.
𝑃𝐵 =100
4= 25%
25% = 100% (∆𝑦
400°𝐶) −→ ∆𝑦 =
25% ∙ 400°𝐶
100%= 100°𝐶
Ahora bien, supóngase que el control de la temperatura se realiza mediante una válvula que comanda
la adición de fluido a mayor temperatura. Así, el valor calculado para y indica que la válvula estará
totalmente abierta para una temperatura de 150°C. de igual forma, la válvula estará totalmente
cerrada para 250°C
𝑉𝑚í𝑛. = 𝑆𝑃 −∆𝑦
2= 200°𝐶 −
100°𝐶
2= 150°𝐶
𝑉𝑚á𝑥. = 𝑆𝑃 +∆𝑦
2= 200°𝐶 +
100°𝐶
2= 250°𝐶
Si ahora, Kc=2, es decir, PB=50% y por lo tanto y=200°C. en esta nueva situación la válvula cerrará
totalmente para 100°C y se abrirá totalmente para 300°C.
Evidentemente en el segundo caso se tiene un mayor rango de control sobre la temperatura, sin
embargo, ello va directamente en perjuicio de la rapidez de respuesta.
En general a medida que decrece la Banda Proporcional (crece Kc) el sistema responde con mayor
rapidez. Se debe tener presente, sin embargo, que el aumento de rapidez en respuesta va
acompañado normalmente de un deterioro en la estabilidad relativa y por lo tanto deben
considerarse ambos factores en la determinación de la Banda Proporcional.
PROPIEDADES DE LOS CONTROLADORES CONTINUOS
Para apreciar las características de los distintos controladores se considerará sus respuestas a una
entrada del tipo escalón y rampa respectivamente. En tales circunstancias sus respuestas serán como
se muestran en las siguientes figuras:
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Controlador Escalón Rampa
P
I
PI
PD
PID
Respecto a estas respuestas pueden hacerse los siguientes comentarios:
1. El controlador tipo P es relativamente rápido pues entrega una corrección instantánea. Su
principal desventaja está en que esta acción no asegura un error de estado estacionario cero.
2. Cuando existe la acción integral el error estacionario inevitablemente llegará a cero. Sin
embargo, la acción integral por sí sola es un tanto lenta pues no reaccionará inmediatamente.
Es por ello que normalmente va acompañada de una acción proporcional para proporcionar
al sistema la rapidez deseada.
3. El término derivativo produce un impulso si la entrada es un escalón. Por lo tanto, la acción
puede utilizarse para lograr mayor rapidez en la respuesta, especialmente en los sistemas
lentos. Sin embargo, este tipo de acción suele introducir ruido en el lazo de control.
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En la mayoría de los casos los controladores tipo PI dan una respuesta satisfactoria. Sólo se usan los
PID cuando la calidad del controlador es muy importante.
AJUSTE DE CONTROLADORES CONTINUOS
Existe una gran variedad de técnicas para ajustar os parámetros de los controladores. Probablemente
el 90% de ellos se basan en procedimientos experimentales, realizados por un operador, y un 75% de
las veces es posible “adivinar” los valores, basado en su experiencia en lazos similares.
METODO DE INTENTO Y ERROR EN LINEA
Este es el primer intento en el ajuste de los controladores consiste en el siguiente procedimiento:
1. Eliminar las acciones integral y derivativa (Ti y Td = 0).
2. Poner la Banda Proporcional en un valor alto (ejemplo 200%).
3. Introducir un cambio pequeño en el punto de trabajo o en la carga y observar la respuesta
de la variable controlada. La ganancia es baja por lo que probablemente la respuesta será
lenta.
4. Reducir la Banda Proporcional a la mitad (doblar la ganancia) e introducir otro cambio en la
referencia o en la carga.
5. Seguir reduciendo la Banda Proporcional, repitiendo el paso 4, hasta que el lazo se hace
oscilatorio. La ganancia a la cual ocurre esta situación se denomina ganancia crítica (Kcr).
6. Seleccionar una Banda Proporcional igual al doble del valor crítico.
7. Comenzar a introducir la acción integral reduciendo Ti en factores de dos, haciendo
pequeños cambios en la referencia o carga para observar el efecto.
8. Encontrar el valor de Ti que hace el lazo bastante subamortiguado y seleccionar Ti igual al
doble de este valor.
9. Comenzar a introducir la acción derivativa aumentando Td hasta que el ruido en la señal del
proceso comience a observarse en la salida del controlador.
10. Seleccionar Td igual a la mitad de este valor.
11. Reducir la Banda Proporcional nuevamente en pasos de 10% hasta lograr las especificaciones
de sobre impulso, razón de decaimiento, etc.
Cabe destacar que existen lazos en que este procedimiento no funciona. Un ejemplo de ello lo
constituyen los procesos condicionalmente estables, los cuales se caracterizan por ser inestables para
valores de ganancia altos y para valores bajos de esta ganancia. Estos procesos son estables sólo en
un rango intermedio de ganancia.
Otro de los inconvenientes está en que en algunos casos resulta inaceptable, o imposible de lograr,
una oscilación de carácter permanente.
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METODOS DE ZIEGLER-NICHOLS
Los ajustes proporcionales por los métodos de Ziegler-Nichols son pseudos-standars en el capo del
control de procesos. Se caracterizan por ser fáciles de determinar y utilizar, además de proporcionar
un comportamiento razonable en la mayoría de los lazos de control.
Los ajustes de Ziegler-Nichols suelen utilizarse como referencia para comparaciones de
comportamiento de otros esquemas. Cabe destacar, sin embargo, que a pesar de su gran aplicación
los ajustes propuestos por estos métodos deben considerarse como una buena primera
aproximación. Siempre será conveniente hacer algunas pruebas en torno a estos valores; en la
mayoría de los casos se logrará algún mejoramiento.
El primer método consiste en encontrar la ganancia crítica, Kcr, para la cual el lazo se encuentra en
el límite de la estabilidad (oscilaciones sostenidas), previamente a ello se deben desconectar las
acciones integral y derivativa del controlador. De la salida del sistema se observa el periodo de la
oscilación resultante, Pu (minibús), para luego determinar los valores parámetros de acuerdo a la
siguiente tabla:
Método de ganancia límite
Controlador Kc Ti (min) Td (min)
P 0,5 Kcr -- --
PI 0,45 Kcr Pu /1,2 --
PID 0,6 Kcr Pu /2 Pu /8
El segundo método considera la respuesta a escalón a lazo abierto. Suponiendo que cualquier sistema
se puede aproximar con una constante de tiempo y un retardo y de acuerdo a la siguiente figura es
que Ziegler-Nichols proponen los ajustes indicados en la siguiente tabla:
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Método de curva de respuesta
Controlador Kc Ti (min) Td (min)
P 1 /Tm -- --
PI 0,9 /Tm 3,3 T (min) --
PID 1,2 /Tm 2T (min) 0,5 T (min)
CRITERIOS DE COMPORTAMIENTO
El criterio más popular utilizado para definir un comportamiento óptimo, al ajustar un controlador,
es una razón de decaimiento de la salida especificada. La mayoría de las técnicas de ajuste
desarrolladas actualmente están diseñadas para proporcionar una respuesta con una razón de
decaimiento ¼.
La idea que hay detrás de este criterio es hacer que la diferencia entre máximos sucesivos y el valor
de estado estacionario sea igual a un cuarto de la diferencia anterior. Así la salida del proceso
retornará rápidamente al estado estacionario después de cualquier perturbación.
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Curva respuesta con razón de decaimiento 1/4
Este razonamiento implica que la ganancia de lazo abierto debe ser igual a 0,5. En referencia a la
siguiente figura, es posible plantear que:
|𝐺𝑐 (𝑗𝑤)||𝐺𝑎||𝐺𝑝 (𝑗𝑤)||𝐺𝑚 (𝑗𝑤)| = 0,5
Es decir;
|𝐺𝑐 (𝑗𝑤)| =0,5
|𝐺𝑎||𝐺𝑝 (𝑗𝑤)||𝐺𝑚 (𝑗𝑤)|
Así, para un controlador del tipo PI, por ejemplo:
𝐺𝑐 (𝑗𝑤) = 𝐾𝑐 (1 +1
𝑗𝑤 𝑇𝑖)
|𝐺𝑐 (𝑗𝑤)| = 𝐾𝑐 √ 1 ± (1
𝑤𝑇𝑖)
2
=0,5
|𝐺𝑎||𝐺𝑝 (𝑗𝑤)||𝐺𝑚 (𝑗𝑤)|
De acuerdo a estos desarrollos se desprende que este criterio de razón de decaimiento de la salida
no determina una combinación única de parámetros del controlador. Existe una infinidad de valor Kc
y Ti que hacen cumplir la ecuación anterior.
Otra desventaja de este criterio reside en que tiende a indicar valores para los parámetros del
controlador que determinan un comportamiento más oscilatorio que lo normalmente aceptado.
En general los criterios basados en razón de decaimiento ¼ son sólo válidos para sistemas de segundo
orden; para sistemas de orden superior o para aquellos que contienen tiempo muerto los resultados
son bastante malos. En general el requisito de razón de decaimiento ¼ en todo instante se cumple
sólo para sistemas de segundo orden y es por ello que este criterio no siempre proporciona un tiempo
de respuesta corta.
El propósito de un sistema de control realimentado es el minimizar el error en la salida, después que
se ha introducido una perturbación. Ello indica que tanto la magnitud del error como el tiempo sobre
el cual existe, son parámetros que deben considerarse en un ajuste del controlador. Parece lógico
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pensar, por tanto, en introducir en la resolución de este problema los conceptos de optimización. En
vista de ello se puede postular que el índice de comportamiento estará dado por la funcional:
𝐽 = ∫ 𝐹(𝑒(𝑡), 𝑡)𝑑𝑡∞
0
En donde F es una función del error y del tiempo.
Evidentemente J no será nunca cero, sólo lo será si e(t) es cero todo el tiempo lo cual es imposible;
en consecuencia, los criterios de ajuste basados en los principios de la optimización buscan un juego
de valores para el controlador que minimiza el valor de J. es decir, el comportamiento óptimo será
aquella respuesta en el tiempo que proporcione un valor mínimo de J en comparación con todas las
otras respuestas que pudieran haberse obtenido para el mismo estímulo con otros parámetros del
controlador.
Puesto que J es función de los parámetros del controlador, Kc, Ti, Td, el mínimo, de acuerdo los
criterios de optimización, se encuentra resolviendo.
𝜕
𝜕𝐾𝑐𝐽 = 0
𝜕
𝜕𝑇𝑖𝐽 = 0
𝜕
𝜕𝑇𝑑𝐽 = 0
La función F(e,t), a fin de completar la definición de control óptimo, debe tener las siguientes
propiedades:
a. 𝐹(𝑒, 𝑡) = 0 𝑆𝑖 𝑒(𝑡) = 0 ∀ 𝑡 > 0
b. Poseer un valor mínimo.
Existen muchas funciones que cumplen con estos requisitos, sin embargo, en la práctica se suelen
considerar las siguientes tres:
Integral del error al cuadrado (ISE):
𝐼𝑆𝐸 = ∫ 𝑒2(𝑡)𝑑𝑡∞
0
Este criterio es relativamente insensible a errores pequeños, pero los errores grandes contribuyen
fuertemente al valor de la integral. Es por ello que de la aplicación de un criterio como el ISE resultan
normalmente sistemas con sobreimpulsos pequeños y tiempos de establecimiento largos.
Integral del valor absoluto del error (IAE):
𝐼𝐴𝐸 = ∫ |𝑒(𝑡)|𝑑𝑡∞
0
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Este criterio, en comparación con el ISE, es más sensible a los errores pequeños y menos a los errores
grandes. Por lo tanto, de la aplicación de este criterio se obtendrán respuestas con un mayor
sobreimpulso, pero con tiempos de establecimientos más cortos.
Integral del valor absoluto del error por tiempo (ITAE):
𝐼𝐴𝐸 = ∫ 𝑡|𝑒(𝑡)|𝑑𝑡∞
0
Este criterio es insensible a los valores iniciales (en cierto modo inevitables), pero pondera
fuertemente los errores que ocurren más tarde en el tiempo. Esto implica que las respuestas óptimas
definidas por ITAE mostrarán tiempos de respuestas cortos y mayores sobreimpulsos que los criterios
anteriores.
Los parámetros de ajuste determinados mediante estos métodos dependen directamente la planta
a controlar. Se acostumbre, por lo tanto, a asumir que todos los procesos pueden aproximarse por
un modelo de primer orden más retardo; esta aproximación permite desarrollar métodos
generalizados de aplicación de estas técnicas de ajuste.
En la figura se muestra el sistema generalizado en el cual se basará el estudio a realizar. En ella se ha
asumido un controlador del tipo PID, un modelo de primer orden representativo de la planta,
medición y actuación, además de una perturbación D(s).
Sistema a ser ajustado
Ahora bien, la respuesta del proceso a un cambio en la referencia viene dada por:
𝐶(𝑠) =𝐾 𝐾𝑐(𝜏𝑑𝑠2 + 𝑠 + 1
𝜏𝑟⁄ ) 𝑒−𝑇𝑜 𝑠
𝜏 𝑠2 + 𝑠 + 𝐾 𝐾𝑐 𝑒−𝑇𝑜 𝑠 (𝜏𝑑𝑠2 + 𝑠 + 1𝜏𝑟
⁄ )
De igual modo la respuesta a perturbación viene dada por:
𝐶(𝑠) =𝐾 𝑠 𝑒−𝑇𝑜 𝑠
𝜏 𝑠2 + 𝑠 + 𝐾 𝐾𝑐 𝑒−𝑇𝑜 𝑠 (𝜏𝑑𝑠2 + 𝑠 + 1𝜏𝑟
⁄ )
De las ecuaciones se desprende que los numeradores de ambas ecuaciones son distintos; es decir,
las respuestas a un cambio en la referencia sean distintos a los necesarios si el objetivo es minimizar
el efecto de la perturbación. En todo caso debe considerarse que en la mayoría de los procesos la
perturbación cambia con mayor frecuencia que la referencia. Normalmente esta última se fija en un
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cierto valor por un largo tiempo. Es decir, en la mayoría de los casos es más deseable optimizar la
respuesta frente a cambios en la perturbación.
Ajustes óptimos controlador P Ajustes óptimos controlador PI
Ajustes óptimos controlador PID
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Función de transferencia de la planta: 𝐺𝑝(𝑠) =𝐾 𝑒−𝜃 𝑠
𝑇 𝑠+1
Valor alpha: 𝛼 =𝜃
𝑇
Ganancia del controlador: 𝐾𝑐 =𝐴 𝛼𝐵
𝐾
Tiempo de integración: 𝑇𝑖 =𝑇
𝐶 𝛼𝐷
Tiempo de derivación: 𝑇𝑑 = 𝑇 𝐸 𝛼𝐹
Función de transferencia del controlador: 𝐺𝑐(𝑠) = 𝐾𝑐 (1 +1
𝑇𝑖 𝑠+ 𝑇𝑑 𝑠)
Constantes a considerar para cada tipo de controlador:
CRITERIOS DE COMPORTAMIENTO
Controlador Criterio A B C D E F
P ISE 0,6659 -1,027
IAE 0,4373 -1,098
ITAE 0,3620 -1,119
PI ISE 1,305 -0,960 0,492 -0,739
IAE 0,984 -0,986 0,608 -0,707
ITAE 0,859 -0,977 0,674 -0,680
PID ISE 1,495 -0,945 1,101 -0,771 0,560 1,006
IAE 1,435 -0,921 0,878 -0,749 0,482 1,137
ITAE 1,367 -0,947 0,842 -0,738 0,381 0,995
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Ejercicios desarrollados en clases
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