unidad 3 calculo vectorial

3.4 Integración de funciones vectoriales

Una función vectorial es una función definida en términos de la variable tiempo. El rango de esta función es multidimensional dado que la función está constituida por diversos componentes, donde cada uno de los componentes varía con respecto al tiempo en una de las direcciones. Por lo tanto, de manera informal una función vectorial puede denotarse como,

Aquí, cada una de las funciones individuales es una función vectorial de variable real en sí misma. Por lo tanto, el conjunto de funciones (p (t), q (t), r (t)) es una asignación de un intervalo cerrado en Rk, la cual es de rango dimensional k para la función dada. Las dimensiones de entrada y salida de una función vectorial son iguales, las cuales son un vector con alguna forma determinada.

La integración de la función se lleva a cabo mediante la integración de cada uno de los componentes individuales de la función. Por lo tanto la integración de la función vectorial se valora,

Aquí la integración se hace con respecto a ‘t’, la cual es la variable.

Asimismo la integración definida de la función también puede hacerse de la misma manera que una función ordinaria. Para quela integración definida sea llevada a cabo, los componentes completos de la función, y por lo tanto la función misma debe ser real en un intervalo cerrado [a, b]. Si el valor de ‘t’ está incrementandose monótonamente en el intervalo dado o podemos decir que, fi R(t) para i = 1 … k, entonces la integración definida de la función será,

El Teorema Fundamental del Cálculo también se ha modificado para una función valorada vectorial la cual establece que, sean F y f dos funciones diferentes que se trazan con el rango multidimensional Rk para un intervalo cerrado [a, b] también la derivada de F es equivalente a f, entonces

si, f R en [a, b].

Observemos ahora un ejemplo ilustrativo con el fin de tener una mejor comprensión acerca del tema. Calcule la función r(t), dada r’(t) = - y r(0) = + 2 .

Para determinar la función r(t) a partir de las ecuaciones anteriores tenemos que integrar ‘r(t). Pero antes vamos a escribir cada una de las dos funciones en sus formas vectoriales,

r’(t) = <1, −1, 0> r(0) = <0, 1, 2>

Ahora integremos r’(t) como,

r’(t) dt = dt - dt + dt r(t) = 

Ahora bien, si sustituimos estos valores en la ecuación 2, podemos obtener los valores reales de la constante de integración como,

r(0) = = <0, 1, 2> c1 = 0 c2 = 1 c3 = 2

Entonces la función r(t) se calcula como .

Por lo general, en el caso que la función vectorial esté en lugar de la constante de integración hacemos uso del vector integración, el cual es un vector arbitrario.

De manera similar, un campo vectorial completo también puede ser integrado lo cual nos ayuda a determinar la cantidad de trabajo realizado por el campo vectorial. Esto se hace tomando la integral de línea del campo vectorial dado. Via.

3.5 LONGITUD DE ARCO

Una mejor técnica para definir una curva es describirla con una función vectorial de variables reales. Esta esuna estrategia alternativa para definir una curva y es mucho mejor aquella en la cual todos los puntos de la curva son vectores posición con puntos terminales. Debido a esto, la curva es descrita de forma compacta y el cálculo de distintas propiedades de la curva puede llevarse a cabo convenientemente.Si hablamos de curvas, una propiedad importante que surge es la longitud del arco de la curva. Las funciones vectoriales de una variable también se definen paramétricamente; por tanto la definición de la longitud del arco es la misma que para otras curvas definidas paramétricamente. Para una función valorada vectorial “p”, en el intervalo cerrado [a, b] cuya definición está dada por la ecuación,

La primera derivada de la función será,

Tenemos la longitud del arco de la función como,

Aquí tenemos x = q(t), y = r(t) y z = s(t).

Sin embargo, tenemos,

Esto puede ser escrito como,

La ecuación anterior puede ser aproximadamediante la suma de Riemann para confirmar que es la longitud del arco de una función vectorial,

Aquí tenemos, ti = a + i t y, t = (b – a)/ nPor lo tanto, se puede concluir que,

Esto implica que tenemos,

La ecuación anterior representa la longitud total de un polígono que tiene sus segmentos de recta entre los vértices p (ti), donde i = 0… n. por tanto, se puede concluir que el resultado obtenido es una solución casi perfecta.

La longitud del arco también está representada por la ecuación,

En la ecuación anterior s(t) representa la longitud de la curva desde p(a) hasta p(t). Usando el Teorema Fundamental del Cálculo, se puede establecer que,

Utilizar la longitud del arco como parámetro de una curva es algo muy inteligente de hacer porque la longitud del arco de una curva no depende de algún otro tipo de parámetro, lo que nos permite poder estudiar las otras propiedades de la curva de forma más conveniente.

Considere que t(s) es la función inversa representada por la ecuación anterior. En esta situación tenemos que, p2(s) = p (t(s))

será un parámetro de la curva de entrada en términos de la longitud del arco.

Al hacer uso de la regla de la cadena, podemos establecer que, p’2 (s) = dp(t(s))/ ds p2 (s) = p’(t(s))/ ds

Esto significa que, | p2 (s) | = | p’(t) |/ (ds/ dt)

Después de haber visto un montón de fórmulas,pasemos ahora a un ejemplo para entender mejor los conceptos aprendidos anteriormente.

Determine la longitud del arco de una hélice representada por la ecuación, p (t) = cos (t) + sin (t) + t 0 <= t <= 2 p’(t) = -sin (t) + cos (t) + | p’(t) | = = L = | p’(t) | dt = dt = 2

3.6VECTOR TANGENTE NORMAL Y BINORMAL

Vector tangente unitario y vector normal unitario principal: sea C una curva en el espacio descrita por

r (t) = f (t) + g (t) +H (t) k, en donde f g y h tienen segundas derivadas.

Vector tangente unitario

                                         ½r´ (t)½T = r’ (t) /

Vector binormal unitario.- Vector unitario definido mediante B = T X N

Los tres vectores unitarios T, N, B forman un conjunto de vectores mutuamente ortogonales de

orientación derecha, llamado triedo móvil Radio de curvatura.-Elreciproco de la curvatura, p = 1/k se

llama radio de curvatura. El radio de curvatura en un punto p de una curva es el radio de una

circunferencia que se ajusta a la curva mejo que cualquier otra.

Por ejemplo, un automóvil que recorre una pista curvada. Puede considerarse que se mueve sobre una

circunferencia.

Definición del Vector Tangente Unitario:

Sea c : [a , b] → R3 una trayectoria infinitamente diferenciable (es decir, existen derivadas de todos los

ordenes). Supongamos que c’(t) ≠ 0 para todo t. El vector

Es tangente a c en el punto c(t) y puesto que │T(t) )│ = 1, T se denomina vector tangente unitario de c

Ejemplo 1.-

Si

… c(t) = (2 cos t , 2 sen t, t)

Encontrar el vector tangente unitario.

Solución:

.. c’(t) = (−2 sen t , 2 cos t, 1)

Por lo tanto, el vector tangente unitario es:

Definición de Vector Normal Principal (unitario):

Sea C una curva suave representada por c en un intervalo abierto I. Si T’(t) ≠ 0, el vector normal

principal en t se define como:

Ejemplo 2.-

 Hallar el vector Normal principal para la hélice:

 … c(t) = (2 cos t, 2 sen t, t)

 Solución:

 Por el ejemplo1 sabemos que el vector tangente unitario es:

 T’(t) viene dada por:

T’(t) = ( −2 cos t, −2 sen t, 0)

Como

│T’(t) │ = =

se sigue que el vector normal principal es:

N(t) = ½ (−2 cos t , −2 sen t, 0) = (-cos t, sen t , 0)

Consideremos un tercer vector:

Definición de vector Binormal: 

El vector Binormal es un vector unitario perpendicular a T y a N definido por:

B = T H N

Ejemplo 3.-

Hallar el vector Binormal principal para la hélice:

 … c(t) = (2 cos t, 2 sen t, t)39297

Solución:

B = =

Los tres juntos, T, N y B, forman un sistema ortogonal orientado positivamente, que podemos

interpretar en movimiento a lo largo de la trayectoria

Vector tangente unitario

La geometría diferencial constituye el estudio de las curvas y superficies en el espacio. Sea C una

curva en el espacio definida por la función R(t), dR/dt es un vector en la dirección de la tangente a C. A

dicho vector le llamaremos T(t).

Vector normal unitario

Consideramos la longitud de arco S medida a partir de un punto fijo de C. La variación de T con

respecto de S es una medida de la curvatura de C y se obtiene por dT/ds. La dirección de dT/ds en un

punto cualquiera de C es la correspondiente a la normal a curva en dicho punto. El vector unitario N en

la dirección de la normal se llama normal principal a la curva. Así, dT/ds = k N, siendo k la curvatura de

C en el punto dado. El recíproco de la curvatura r = 1/k se llama radio de curvatura.

Vector binormal unitario

El vector unitario B definido por el producto vectorial B = T x N, perpendicular al plano formado por T y

N se llama binormal a la curva. Los vectores T, N, B, forman un triedro tri-rectángulo a derechas en

cualquier punto de C.

3.7 Curvatura

La medida en la cual se desvía un determinado objeto geométrico se conoce como curvatura. Existen básicamente dos tipos principales de curvatura: curvatura intrínseca y extrínseca. Para los objetos que se encuentran en un espacio diferente, en este tipo de enfoque que se relaciona con la curvatura del radio del círculo que traza el objeto correspondiente, se define una curvatura extrínseca. El círculo puede ser el ejemplo más sencillo de una curvatura extrínseca dado que encada punto de la circunferencia; la curvatura es igual al recíproco del radio. La curvatura intrínseca en la naturaleza es descrita por la variedad de Riemann en cada punto.

Una curvatura en un plano pertenece a una cantidad escalar, mientras que en 2D o 3D, la identidad de la curvatura es definida como un vector en el cual tanto la nitidez como la dirección de inclinación es considerada.

Curvatura de una Recta: Un círculo de radio l/ k es formado por la recta en caso que tenga la misma curvatura en todos sus puntos.En cada uno de los puntos la curvatura puede ser calculada como

Consideremos algunos de los casos de la siguiente fórmula:

En el caso que la curva y su correspondiente ecuación sean de la forma

Entonces en P la segunda derivada resultará ser positiva lo cual significa que la pendiente incrementará con el recorrido de la recta transversa.

En el caso que la curva y su correspondiente ecuación sean de la forma

Entonces en P la segunda derivada resultará ser negativa lo cual significa que la pendiente disminuirá con el recorrido de la recta transversa.

Y en el caso que la curva y su correspondiente ecuación sean de la forma

Este gráfico representa la curvatura cero. Este es el punto de inflexión de la pendiente.

Curvatura de la Superficie: La curvatura de una superficie puede ser negativa o positiva. Sin embargo, en el caso de una curvatura positiva se forma una superficie esférica. Hay ciertos casos relacionados con la curvatura de la superficie:

Si la superficie es plana, entoncesen cada punto de la superficie la curvatura resulta ser 0. Esta denota una esfera de diámetro infinito.

Al tomar parte de la esfera la cual a su vez toca el plano, con el cambio de giro de la curvatura hacia nosotros dentro de dos dimensiones, se obtiene una curvatura positiva.

De igual manera, al tomar la parte de la esfera en la cara opuesta del plano, con el cambio de giro de la curvatura hacia afuera dentro de dos dimensiones, se obtiene una curvatura negativa.

La curvatura también puede ser encontrada con la ayuda de la longitud de la cuerda así también como con la del arco. Para esto, considere dos puntos cualesquiera P y Q en la curva C y cuya longitud del arco sea s (P, Q) y la longitud del segmento de recta es d (P, Q). Entonces, en Pla curvatura de la curva C es dada por:

En lugar de s (P, Q) en el denominador, también se puede colocard (P, Q). Esta fórmula mantiene su importancia en cualquiera de las dimensiones. Una singularidad en el punto P también puede incluirse dentro de esta definición en el caso de que el límite se considere en ambos lados de forma independiente. Via .