unidad 2 lección 2 -...
Post on 21-Oct-2018
218 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Unidad 2 – Lección 2.3
Reglas de derivación
02/10/2016 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 19
Actividades 2.3• Referencia del Texto:
– Sección 11.2: Rules for Differentiation. Ver ejemplos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hacer ejercicios impares de 1 – 85
– Sección 11.3: La Derivada Como Razón de Cambio. Ver ejemplos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Hacer ejercicios impares 3-6,10, 11
• Math2me– Derivar funciones│constante
– Derivar funciones│producto CX
– Derivar funciones│suma y resta
– Derivar una variable con potencia│ej 1 ; Derivar una variable con potencia│ej 2 ; Derivar con raíz cuadrada│ejercicio 1 ; Derivar con raíz cuadrada│ejercicio 2 ; Derivar funciones con potencia | ej 1
• Khan Academy– Vea video "Regla de la Potencia"
– Vea video "Propiedades de las derivadas y derivadas de polinomios"
– Hacer ejercicios sobre "Regla de la Potencia"
– Vea Video "Las derivadas de e^x y ln x
• Otras Referencias del Web:– Michael Kelleys Calculus-help.com – Lección 2: The Power Rule
(Tutoriales animados, muy bueno)
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/10/2016 2 de 19
Reglas de diferenciación (1)
• Si 𝑓 𝑥 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜, entonces 𝑓′ 𝑥 = 0
• Ejemplos:
Si 𝑓(𝑥) = 5, entonces 𝑓’(𝑥) = 0
Si 𝑓(𝑥) = 𝜋, entonces 𝑓’(𝑥) = 0
• Si f(x) = xn, entonces 𝑓′ 𝑥 = 𝑛𝑥𝑛−1 para cualquier
número real 𝑛 diferente de 0.
• Ejemplos
Si 𝑓(𝑥) = 𝑥8, entonces 𝑓’(𝑥) = 8𝑥7
Si 𝑓(𝑥) = 𝑥−3, entonces 𝑓’(𝑥) = −3𝑥−4
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/10/2016 3 de 19
Reglas de diferenciación (2)
• Si 𝑓 𝑥 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 ∙ 𝑔 𝑥 entonces 𝑓′ 𝑥 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 ∙ 𝑔′ 𝑥
• Ejemplo:
Si 𝑓 𝑥 = 3𝑥6, entonces
𝑓′ 𝑥 = 3 ∙ 6𝑥5
= 18𝑥5
Si 𝑓 𝑥 = 6𝑥−2, entonces
𝑓′ 𝑥 = 6 ∙ −2𝑥−2−1
= −12𝑥−3
=−12
𝑥3
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/10/2016 4 de 19
Determine f’(x) si
Ejemplo 1
2
5)(
xxf
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/10/2016
25)( xxf
1)2()2(5)(' xxf
310 x
3
10
x
xxf 3)(
1)(
21 2
1
)(3)('
xxf
21
3)( xxf
21
2
3 x
21
2
3
x
21
21
x
x
x
x
2
3 21
x
x
2
3
5 de 19
Ejercicios #1
1. f(x) = x4
2. f(x) =
3. f(x) = 9x
4. f(x) = -4x3
5. f(x) = -4x -2
6. f(x) = x1/3
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/10/2016
Determine la derivada:
5
34)(' xxf
0)(' xf
9)(' xf
212)(' xxf
3
8)('
xxf
131
3
1)('
xxf
32
3
1 x
6 de 19
Ejemplo 2
• Problema: Si 𝑓 𝑥 = 5𝑥3 calcule la derivada de la
función en 𝑥 = 2.
• Solución:
– Paso 1 – calcule la función derivada 𝑓′(𝑥)
– Paso 2 – Evalúe la función derivada en 𝑥 = 2
• Otras maneras de presentar el mismo problema:
– Calcule la pendiente de la recta tangente cuando 𝑥 = 2
– Calcula la razón de cambio instantáneo cuando 𝑥 = 2
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/10/2016
𝑓′ 𝑥 = 5 ∙ 3𝑥3−1 = 15𝑥2
𝑓′ 2 = 15 2 2 = 60
7 de 19
Ejemplo 3
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/10/2016
151
5
1 x
Determine:
121
2
1 x
23
2
1 x
23
2
1
x
54
5
1
x
54
5
1
x
xdx
d 1 5 x
dx
d
21
xdx
d 51
xdx
d
8 de 19
Reglas de diferenciación: Adición y
Sustracción
• Si f(x) = u(x) + v(x) entonces:
f’(x) = u’(x) + v’(x)
• Si f(x) = u(x) - v(x) entonces:
f’(x) = u’(x) - v’(x)
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/10/2016 9 de 19
• Encuentre la función derivada de:
• Solución:
• Encuentre la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la
función f en 𝑥 = 1
Ejemplo 4
xxxxf
358)( 33
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/10/2016
13 358)( 31
xxxxf
11113 )1(33
15)3(8)(' 3
1
xxxxf
22 33
524 3
2
xxx
224x x
x
3
53
2
3
x
2
124)1(f
13
153
21
3=58
3
10 de 19
Ejemplo 5
Encuentre la ecuación de la recta tangente a
cuando x = 1
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/10/2016
)(' 33 xxdx
dy 33 x
dx
dx
dx
d 42 33 xx
)1( tangentela de pendiente ym
3
3 1
xxy
42 )1(3)1(3 6
La ecuación de la tangente por el punto (1,0) es:
)1(60 xy
66 xy
11 de 19
Nomenclatura
• Primera derivada (“funcíon derivada”):
• La primera derivada en 𝑥 = 5
• Segunda derivada
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/10/2016
)(' xf 'ydx
dy
dx
df fDx
)('' xf ''y2
2
dx
yd2
2
dx
fd fDx2
)5('f5xdx
dy
5xdx
df fDx 55
'x
y
12 de 19
Ejercicio #2
1.
2.
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/10/2016
xxx
dx
d 22 43
2
2 1
xx
dx
d
xdx
dx
dx
dx
dx
d 2)2( 43
2
42 2
46
xx
xx
22 xdx
dx
dx
d
322 xx
13 de 19
Razón de Cambio Promedio vs Instantáneo
xxxf 5)( 2
02/10/2016
• Encuentre la razón de
cambio promedio entre
los valores 1.5 a 3.5.
)5.1(5.3
)5.1()5.3(
ff
2
)75.9()75.29(
ab
afbf
x
y
)()(
• Encuentre la razón de
cambio instantáneo en 3.
ab
afbfxf
ab
)()(lim)('
h
fhff
h
)3()3(lim)3('
0
h
hh
h
)]3(53[)]3(5)3[(lim
22
0
h
hhh
h
]24[]51569[lim
2
0
)11(lim0
hh
11
10
Prof. José G. Rodríguez Ahumada 14 de 19
Interpretación de la Derivada como razón
de cambio
ab
afbfab
)()(lim
02/10/2016
• La razón de cambio instantánea de un función f
cuando x = a, está dado por:
siempre que este límite exista.
• La razón de cambio instantánea de un función cuando
x = a es la derivada de la función en a. Esto es, f’(a).
h
xfhxfh
)()(lim 0
Prof. José G. Rodríguez Ahumada 15 de 19
Costo Marginal• El costo marginal se define es el aumento en el costo total que
se produce cuando la cantidad producida cambia en una unidad
(Enciclopedia financiera)
• Determine el costo marginal al producir 50 artículos si la
función costo es 𝐶 𝑥 = 0.001𝑥3 − 0.3𝑥2 + 40𝑥 + 1000
• Solución:
• El costo marginal cuando se produce 50 artículos es $17.5
• Al producir 50 artículos, el costo incrementará por $17.5 si se
produce un articulo adicional.
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/10/2016
1000403.0001.0)( 23 xxxdx
dxC 040)2(3.0)3(001.0 2 xx
406.0003.0 2 xx
40)50(6.0)50(003.0)5( 2 C 5.17
16 de 19
Ingreso Marginal
• Determine el ingreso marginal al vender 200
artículos si la función ingreso es:
• Solución:
• ¿Qué indica el ingreso marginal?
• Cuando se venden 200 artículos, el ingreso
incrementará por $6, por vender un articulo adicional.
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/10/2016
201.010)( xxxR
201.010)( xxdx
dxR
x02.010
)200(02.010)200( R 6
17 de 19
Ejercicios del Texto 1-30, 61-83
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/10/2016 18 de 19
Ejercicios del Texto 32-60, 84-89
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/10/2016 19 de 19
top related