trigonometria

TRIGONOMETRIA

Preparado por:

Steven González

robertobqte@hotmail.

com

INTRODUCCION

En nuestros tiempos de avances tecnológicos es

necesario y casi prioritario el uso de cálculos y

funciones que a pesar que fueron creadas hace

mucho tiempo siempre van a ser información y

material de vanguardia en el moderno mundo de hoy,

es necesario acotar que en el siguiente trabajo

abordaremos temas de gran importancia en la

matemáticas específicamente en el área de

trigonometría en donde estudiaremos sus funciones

y algo mas.

DEFINICION: Trigonometría se refiere a la medida de

los lados y los ángulos de un triángulo.– Aplicaciones de la TRIGONOMETRIA:

topografía, navegación e ingeniería.

Podemos desarrollar el tema

de trigonometría por medio de

dos enfoques, éstos son:

– El círculo

– El triángulo rectángulo

Trigonometría

Enfocada por medio del

TRIANGULO RECTANGULO

Triángulo Rectángulo

Triángulo

rectángulo

hipotenusa

catetos

Característica principal de un triángulo

rectángulo es que uno de sus ángulos mide 900

Observaciones importantes sobre los triángulos

rectángulos.

Un triángulo consta de tres lados y de

tres ángulos.

La suma de los tres ángulos es 1800

La suma de la longitud de cualquiera de dos de los lados del triángulo es mayor que la longitud del tercer lado.

Sea c la hipotenusa, a y b los catetos,

entonces c2 = a2 + b2

Los ángulos se nombran con letras para

identificarlos. Algunas de las letras que

utilizamos son del alfabeto griego como por

ejemplo;

“gamma”; “alpha” ; “betha”

Podemos relacionar los lados de un triángulo rectángulo con sus ángulos por medio de las relaciones trigonométricas.

Por medio de éstas relaciones trigonométricas podemos hallar información sobre ya sea un lado o un ángulo que desconocemos del triángulo.

Las relaciones trigonométricas son seis, tres de ellas son fundamentales ya que dan origen a las otras.

RELACIONES TRIGONOMETRICAS PARA

UN TRIANGULO RECTANGULO

Relaciones básicas Relaciones recíprocas

adyacentelado

opuestolado

hipotenusa

adyacentelado

hipotenusa

opuestoladoseno

tangente

coseno

opuestolado

hipotenusa

senecante

1cos

adyacentelado

hipotenusa

enoante

cos

1sec

opuestolado

adyacenteladoangente

tan

1cot

Relaciones trigonométricas de un

triángulo rectángulo

Las tres funciones

trigonométricas básicas

para el ángulo

Lado

adyacente

a

“gamma”

Lado

opuesto a

“gamma

”

adyacentelado

opuestolado

hipotenusa

adyacentelado

hipotenusa

opuestoladoseno

tangente

coseno

EJEMPLO 1

3

4 tangente

5

3 coseno

5

4

adyacentelado

opuestolado

hipotenusa

adyacentelado

hipotenusa

opuestoladoseno

5

2591634 22

22

c

c

bac

HIPOTENUSALADEMEDIDA

4

3

4

51cos

senecante

3

5

cos

1sec

enoante

4

3

tan

1cot

angente

Continuación EJEMPLO 1

33.13

4 tangente6.0

5

3 coseno8.0

5

4 seno

4

3

25.14

5cos ecante 67.1

3

5sec ante 75.

4

3cot angente

Podemos utilizar cualquiera de

los valores anteriores para

determinar la medida del

ángulo

Veamos el siguiente ejemplo

4

3Hallar la medida del ángulo indicado.

La razón seno es .8 , si necesito hallar la medida de

y conozco el valor de seno , la función inversa de

seno me permite encontrar el valor de de la siguiente

forma:

)8(.,8. 1 senoentoncessenoSi

Calcula una de las relaciones

trigonométricas según la información

que te provea el ejercicio. 8.05

4seno

)8(.

,8.

1

seno

entonces

senoSi

CALCULAR LA INVERSA DE SENO

Utilizaremos la calculadora

ENTRADA EN LA CALCULADORA

.8 SEN-1 =

Presenta la respuesta en :

Grados___ Radianes___

ENTRADA EN LA CALCULADORA

.8 SEN-1 =

Pantalla

Radianes

.927

Grado

53.13

Recuerda escoger en tu calculadora la unidad

de medida para el ángulo, (grados o radianes)

antes de hacer los cómputos.

4

3

Utiliza la información de la siguiente

figura para contestar las siguientes

preguntas.

Ejemplo

1. Calcula las seis relaciones trigonométricas para

2. Halla el valor de , en grados y en radianes,

utilizando la relación coseno.

3. Halla el valor de , en grados y en

radianes, utilizando la relación tangente.

Respuestas

1. Calcula las seis relaciones trigonométricas para

75.4

3 tangente

8.5

4 coseno

6.5

3

seno67.1

3

5cos ecante

25.14

5sec ante

33.13

4cot angente

2. Halla el valor de , en grados y en radianes, utilizando la relación

coseno.

87.366435.

)8(.1

cos8.5

4 coseno

gradosradianes

eno

3. Halla el valor de , en grados y en radianes, utilizando la relación

tangente.

087.366435.

)75(.1

tan;75.4

3 tangente

gradosradianes

Compara las relaciones trigonométricas

seno y coseno de y

8.5

4 coseno

6.5

3

seno

= 36.870=53.130

6.05

3 coseno

8.05

4

seno

La suma de y es 900

Por tanto y son ángulos complementarios.

Sean y dos ángulos

complementarios, entonces, encontramos las siguientes

relaciones:

cottan

seccsc

cos

sen

cottan

seccsc

cos

sen

Utiliza la información de la siguiente

figura para contestar las siguientes

preguntas.

Ejemplo

1`. Halla el valor de , en grados y en radianes.

2. Halla el valor de , en grados y en radianes.

2

2

3

Respuestas

1. Halla el valor de , en grados y en radianes.

11.498571.

)1547.1(1

tan1547.13

2 tangente

gradosradianes

gente

2. Halla el valor de , en grados y en radianes.

En la forma corta tenemos que + = 90,

Por lo tanto = 90 -

= 90-49.11=40.89

Utilizando las relaciones trigonométricas tenemos

89.407137.

)866(.1

tan866.2

3 tangente

gradosradianes

gente

Observación

Si conozco dos de los lados de un

triángulo rectángulo puedo hallar la

medida de sus ángulos.

Ejemplo

Halla la medida de la hipotenusa del siguiente

triángulo.

40

12

12 es la medida del lado opuesto a 40 grados

12 es la medida del lado adyacente de 50 grados

668.186428.

12

126428.

1240

xx

xparadespejamosx

xseno

668.186428.

12

126428.

1250cos

xx

xparadespejamosx

xeno

ó

Como 40 y 50 son complementarios entonces seno 40=coseno 50

Ejemplo

Halla la medida de los dos catetos del

siguiente triángulo

30

25b

a

Respuestas

Halla la medida de los dos catetos del siguiente

triángulo

30

25b

a

5.12)25)(5(.

2525.

2530

b

bparadespejam os

b

bseno

65.21)25)(87(.

2587.

2530cos

b

bparadespejam os

a

aeno

Estamos cargando una escalera de largo L

por un pasillo de 3 pies de ancho hacia un

area de 4 pies de ancho, según el siguiente

dibujo.

Halla la medida del largo de la

escalera como función del

ángulo tal como se ilustra.

3 pies

4 piesescalera

APLICACION

3 pies

4 piesescalera

PROBLEMAS RESUELTOS

Expresa en grados sexagesimales los siguientes

ángulos:

– 1 3 rad:

– 22π/5rad:

– 3π/10 rad:

Expresa en radianes los siguientes

ángulos

– 1316°

– 2 10°

– 3 127º

Sabiendo que cos α = ¼ , y que 270º <α <360°.

Calcular las restantes razones trigonométricas del

ángulo α.

Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°.

Calcular las restantes razones trigonométricas del

ángulo α.

Sabiendo que sec α = 2, 0< α < /2, calcular las

restantes razones trigonométricas.

Calcula las razones de los siguientes ángulos:– 1225°

– 2 330°

– 2655°

CONCLUSIONA través del tiempo una gran cantidad de personajes han dedicado

su vida para contribuir con la realización de cálculos que ayuden y

nos lleven a encontrar respuestas y resultados exactos para así

descubrir el porque de los fenómenos y hechos en la historia

humana.

Unos de los puntos dentro de la matemática a resaltar seria las

funciones trigonométricas son valores sin unidades que dependen

de la magnitud de un ángulo. Se dice que un ángulo situado en un

plano de coordenadas rectangulares está en su posición normal si

su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la

parte positiva del eje x.

Estas funciones fueron creadas a partir de la trigonometría plana y

esférica para después ser perfeccionada y lograr lo que hoy

llamamos Funciones Trigonométricas, es necesario dejar claro que

es importante ya que forma parte de la matemáticas y que es

fundamental en el desarrollo de algunas operaciones de cálculos

para así obtener los resultados de los objetivos trazados.

BIBLIOGRAFIA

es.wikipedia.org/wiki/Trigonometría

www.aritor.com/

www.monografias.com › Matemáticas

html.rincondelvago.com/trigonometria_1.html

www.vitutor.com/al/trigo/trigoActividades.html

Gracias por su atención