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METODOS NUMÉRICOS

Trabajo colaborativo 2

PRESENTADO POR:

GRUPO:

TUTOR:

CARLOS EDMUNDO LÓPEZ SARASTY

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

UNAD

DIC DE 2011

INTRODUCCIÓN

El segundo trabajo colaborativo del curso, pretende aplicar los conocimientos adquiridoscon el estudio de la segunda unidad del módulo “Sistemas de ecuaciones algebraicaslineales Sistemas de ecuaciones algebraicas no lineales” por medio de ejercicios prácticos y

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el desarrollo de mapas conceptuales que complementan el trabajo. Con la etapa detransferencia se completa las fases de aprendizaje planteadas por la universidad para cadaunidad del modulo y he aquí donde radica su importancia.

Básicamente los conceptos que se trabajaron en este trabajo son los métodos por los cuales

se pueden encontrar raíces como por ejemplo; el método gráfico, el método de bisección, laregla falsa, la secante, el método de Newton-Raphson entre otros.

MAPAS CONCEPTUALES UNIDAD 2

CAPÍTULO 1.

.

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CAPÍTULO 2.

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DESARROLLO DE EJERCICIOS

1. Encuentre las matrices L y U, además halle la solución delsiguiente sistema:

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2x1 – x2 + x3 = 53x1 + 3x2 - 9x3 = 63x1 - 3x2 + 5x3 = 8

2. Dado el sistema lineal: x1 – x2 + ax3 = -2

-x1 + 2x2  – ax3 = 3

ax1 + x2 + x3 = 2

a) Obtener el valor o los valores de a para los cuales el sistema notiene solución.b) Obtener el valor o los valores de a para los cuales el sistematiene infinitas soluciones.c) Obtener el valor o los valores de a para los cuales el sistema tieneuna única solución.

SOLUCIÓN:

Por definición para que un sistema de ecuaciones tenga solución, se requiere que eldeterminante de la matriz de coeficientes de ese sistema sea diferente a cero. Por lo tantopara saber a qué valores del parámetro "a" el sistema no tiene solución o tiene infinitassoluciones, se hace necesario calcular que valor de "a" hace que el determinante tengavalor 0. De esta forma y siendo la matriz de coeficientes:

A =

El determinante respectivo está dado por:

| A | = [ 1* 2 * 1 + (-1)(-a)a + a(-1)(1) ] - [ a * 2 * a + (-a)(1)(1) + 1(-1)(-1) ] ==>

| A | = [ 2 + a² - a ] - [ 2a² - a + 1 ] ==>

| A | = 2 + a² - a - 2a² + a - 1 ==>

| A | = -a² + 1

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Si para que el sistema no tenga solución (o tenga múltiples) es necesario que | A | = 0, entonces: 

| A | = 0 ==>

-a² + 1 = 0 ==>

a = 1 y a = -1

 a) Obtener el valor o los valores de a para los cuales el sistema no tiene solución:

Si hacemos a = 1, podemos comprobar por simple inspección que la primera y terceracolumna de la matriz son iguales; esto es suficiente para establecer que el sistema NO tienesolución para a = 1.

Si ahora hacemos a = -1 vamos a ver que la primera columna es igual a la primera fila"transpuesta". Esto implica que el rango de la matriz (el número de filas y columnasindependientes), es menor al número de incógnitas con lo cual tenemos un sistema queadmite infinitas soluciones. Así por ejemplo con a = -1, tenemos una solución haciendo x₁ = -1, x₂ = 1 y x₃ = 0; tenemos otra solución haciendo que x₁ = 0, x₂ = 1 y x₃ = 1 y podemosencontrar muchas otras soluciones SIEMPRE haciendo que una de las variables tenga valor0.

 b) Obtener el valor o los valores de a para los cuales el sistema tiene infinitas

 soluciones:

El sistema tiene infinitas soluciones cuando a = -1, porque con este valor podemos notar

que la primera columna es similar a la primera fila "transpuesta". Esto implica que el rangode la matriz (el número de columnas y filas independientes), es menor al número deincógnitas con lo cual tenemos un sistema que admite infinitas soluciones. Así por ejemplocon a = -1, tenemos una solución haciendo x₁ = -1, x₂ = 1 y x₃ = 0; tenemos otra soluciónhaciendo que x₁ = 0, x₂ = 1 y x₃ = 1 y podemos encontrar muchas otras solucionesSIEMPRE haciendo que una de las variables tenga valor 0.

 c)  Obtener el valor o los valores de "a" para los cuales el sistema tiene una única solución."

Como podemos notar si el parámetro "a" es distinto de 1 o -1, el sistema tiene una única

solución (que dependerá del valor particular de "a"). 

El sistema tendrá una única solución para todo a ∈ ℝ - {-1, 1} (o sea "a" perteneciente a losReales excluidos el -1 y el 1).

Cuando a = 1 o a = -1, es posible que el sistema no tenga solución, o tenga solucionesmúltiples.

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3. Obtenga las cuatro primeras iteraciones empleando el

método de Gauss-Seidel para el siguiente sistema lineal.Según los resultados concluya la posible solución delsistema, es decir, concrete cual es la solución

10x1 – x2 + 0 = 9-x1 + 10x2 – 2x3 = 70 - 2x2 + 10x3 = 6

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SOLUCIÓN:

70,75820,79100,9

72X10XX

 OSREEMPLAZAM

0,758X

0,75810

0,7926

10

2X6XPARA..X

0,79X

0,7910

0,9027

10

X2X7X.PARA..X

0,9X

0,910

09

10

X9X.PARA..X

0X 0X0X

1ITERACION

310

2X6X

610X2X0CION..3..EN..ECUAPARA..X

210

X2X7X

72X10XXCION..2..EN..ECUAPARA..X

110

X9X

90X10XCION..1..EN..ECUAPARA..X

X..X..XDESPEJAMOS

321

3

2

33

2

13

22

1

2

11

32

1

2

3

323

13

2

3212

2

1

211

32...1

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95787375,0X

95787375,010

9957475,0791495,027

10

XX27XXPARA

9957475,0X

9957475,010

957475,09

10

X9XXPARA

4ITERACION

799681,6

7791495,02957475,01099495,0

7X2X10X

OSREEMPLAZAM

791495,0X

791495,010

957475,026

10

X26XXPARA

957475,0X

957475,010

99495,07899,027

10

XX27XXPARA

99495,0X

99495,010

9495,09

10

X9XXPARA

3ITERACION

79362,6

77899,029495,010979,0

7X2X10X

OSREEMPLAZAM

7899,0X

7899,010

9495,026

10

X26XXPARA

9495,0X

9495,010

979,0758,027

10

XX27XXPARA

979,0X

979,010

79,09

10

X9XXPARA

2CONITERACION

7484,5

2

13

22

1

2

11

321

3

2

33

2

13

22

1

2

11

321

3

2

33

2

13

22

1

2

11

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79998405,6

779157475,0295787375,0109957475,0

7X2X10XOSREEMPLAZAM

79157475,0X

79157475,010

95787375,026

10

X26XXPARA

321

3

2

33

4. Se tienen los siguientes datos para que halle un polinomio P(x) de gradodesconocido, con el método de Diferencias divididas de Newton:

X 0 1 2 3

F(x) 6 8 12 18

SOLUCIÓN

P (x) = c0 + c1 (x) + c2 (x )(x − 1) + c3 (x )(x − 1)(x − 2) 

P(0) = 6 => c0 = 6

P(1) = 8 => c0 + c1 (x) = 8 => 6 + c1(1) = 8 => c1=2

P(2) = 12 => c0 + c1 (x) + c2 (x )(x − 1) => 6 + 2(2) + c2 (2) (2 – 1) = 12

=> c2(2) = 2 => c2 = 1

P(3) = 18 => c0 + c1 (x) + c2 (x )(x − 1) + c3 (x )(x − 1)(x − 2) = 18 

  6 + 2(3) + 1(3)(3 – 1) + c3 (3)(3 – 1)(3 – 2) = 18

  6 + 6 + 6 + c3 (6) = 18  c3(6) = 18 – 18 => c3 = 0Por lo tanto

P(x) = 6 + 2 (x) + (x )(x − 1) => x^2 – x + 2x + 6 =>

P(x) = x^2 + x + 6

Hallamos P(0,5) P(5) = (0,5)^2 + (0,5) + 6 = 0,25 + 0,5 + 6 = 6,75 P(5) = 6,75

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CONCLUSIÓNES

-  Se hallan soluciones para sistemas de ecuaciones lineales y no lineales

-  Se encuentran raíces por medio de métodos de Bisección, Newton Raphson, métodoiterativo de punto fijo y método de regla falsa.

-  Los mapas conceptuales facilitaron el entendimiento de los capítulos de la unidad.

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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

-  Modulo de Métodos Numéricos, por Carlos Iván Bucheli ChavesUNAD

-  Aula virtual http://intersemestrales.unadvirtual.org/inter/course/view.php?id=84