trabajo de estructura ii tercer corte
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MÉTODO DE FLEXIBILIDAD O DE LAS FUERZAS
Autor: Tlgo. Victoria García,
C.I:18.160.243
Ciudad Guayana, Julio 2014
1
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAINSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”EXTENSIÓN PUERTO ORDAZ
ESCUELA: 42 INGENIERIA CIVILASIGNATURA: ESTRUCTURAS II
INDICE
Pag.
INTRODUCCIÓN_______________________________________ 3
MÉTODO DE FLEXIBILIDAD O DE LAS FUERZAS
(COEFICIENTES DE FLEXIBILIDAD_________________________ 6
COMPATIBILIDAD DE DEFORMACIONES EXTERNAS CON
INTERNAS___________________________________________ 10
PRESENTACION DEL MÉTODO POR ECUACIONES Y POR
MATRICES___________________________________________ 13
GENERALIZACIÓN DEL MÉTODO DE LAS FUERZAS
SOMETIDOS A OTROS
ESTIMULOS____________________________________ 15
ECUACIONES DE DESPLAZAMIENTOS CONSISTENTES_________
16
FORMULACION MATRICIAL DEL METODO DE CARGA
UNITARIA___________________________________________ 17
EVALUACION DE LOS TERMINOS QUE INTERVIENEN EN EL
SISTEMA DE ECUACIONES______________________________ 19
2
IDENTIFICAR LAS CARACTERISTICAS DE LAS ESTRUCTURAS
HIPERESTATICAS_____________________________________ 20
ELABORAR DIAGRAMAS DE FUERZAS INTERNAS DE
ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS__________
21
APLICAR EL METODO DE LAS FUERZAS PARA RESOLVER
ESTRUCTURAS HIPERESTATICAS_________________________ 22
APLICAR EL METODO DE LAS FUERZAS EN ESTRUCTURAS
HIPERESTATICAS SOMETIDAS A CARGAS, VARIACION DE
TEMPERATURAS, MOVIMIENTO DE SOPORTE, ERROR DE
CONSTRUCCION Y RESORTE_____________________________ 23
APLICAR LA SUPERPOSICION DE DIAGRAMAS EN EL METODO
DE LAS FUERZAS______________________________________ 24
INTERPRETAR EL CONCEPTO FACTOR DE FLEXIBILIDAD_______
25
CONSTRUIR LA MATRIZ DE FLEXIBILIDADES Y LA FORMA
MATRICIAL DEL METODO DE LA FUERZA___________________ 27
CONCLUSION________________________________________ 28
3
INTRODUCCION
El Método de las Fuerzas es muy complicado para aplicarlo en
estructuras con un alto GH. Para superar esta dificultad surge el
Método de los Desplazamientos, que en muchos aspectos
complementa al Método de las Fuerzas.
Este método fue desarrollado originalmente por James Clerk
Maxwell en 1864 y perfeccionado posteriormente por Otto Mohr y
Múller-Breslau. Mohr, diez años después, de forma independiente,
amplió la teoría casi a su estado actual de desarrollo. En él se
suprimen las redundantes (cantidad de reacciones que hacen
hiperestático el problema, evidentemente que el número de
redundantes es igual al GH) lográndose una estructura estable y
estáticamente determinada, que en algunos textos se le llama
sistema base.
Si se calculas los desplazamientos en la dirección de las
redundantes eliminadas. Como al final los puntos donde están las
redundantes no se pueden mover, estas deben tener un valor tal
que haga a esos puntos volver a su estado inicial. Se establece una
ecuación para la condición de deflexión nula en cada redundante y
estas se despejan de las ecuaciones resultantes. A este sistema de
ecuaciones se les llama ecuaciones canónicas.
4
A este método se le llama también: Método de la Flexibilidad,
Deflexiones Compatibles, Deformaciones Consistentes
o Maxwell- Mohr.
MÉTODO DE FLEXIBILIDAD O DE LAS FUERZAS
(COEFICIENTES DE FLEXIBILIDAD)
Es el clásico método consistente en deformación para calcular
fuerzas en miembros y desplazamientos en sistemas estructurales.
Su versión moderna formulada en términos de la matriz de
flexibilidad de los miembros también tiene el nombre de Método de
Matriz de Fuerza debido al uso de las fuerzas en los miembros como
las primariamente conocidas.
a) La ley de Hooke aplicada a una barra de longitud L y sección A
que, sometida a un esfuerzo axil de valor N, sufre un alargamiento
ΔL, establece que:
ΔL = NL/(EA)
o, lo que es lo mismo,
ΔL = L/(EA) N.
El coeficiente L/(EA) de proporcionalidad entre el alargamiento de la
barra ΔL y el esfuerzo axil N que lo produce se denomina
“flexibilidad bajo esfuerzos axiles” de la barra. Este coeficiente
5
representa físicamente el “valor del alargamiento que sufriría la
barra sometida a un esfuerzo axil unidad”.
b) Aplicando el teorema de Mohr a una ménsula de longitud L con
una sección cuyo momento de inercia es I, sometida a una fuerza P
aplicada en el extremo libre, se obtiene la flecha f de este extremo
como:
f = PL3/(3EI)
o, lo que es lo mismo,
f = L3/(3EI) P
El coeficiente L3/(3EI) de proporcionalidad entre la flecha f y la
carga P que la produce se denomina “flexibilidad bajo carga
aplicada en su extremo” de la ménsula. Este coeficiente puede
obtenerse como el valor de la flecha que sufriría la barra sometida a
una carga en su extremo de valor unidad.
c) Aplicando el teorema de Mohr a la ménsula anterior sometida, en
este caso, a un momento M aplicado en el extremo libre, se obtiene
el giro θ de este extremo como:
θ = ML/(EI)
o, lo que es lo mismo,
θ = L/(EI) M
El coeficiente L/(EI) de proporcionalidad entre el giro θ y el
momento M que lo produce se denomina “flexibilidad bajo
momento 4 aplicado en su extremo” de la barra ó ménsula. Este
coeficiente representa el giro que sufriría la sección extrema de la
6
ménsula cuando se encuentra sometida a un momento de valor
unidad actuando en dicho extremo.
La flexibilidad es pues un valor que caracteriza el comportamiento
deformacional de una estructura con un cierto sistema de apoyos
sometida a una carga (fuerza o momento) aplicada en una sección
y que permite conocer, por proporcionalidad, el movimiento
(desplazamiento o giro de la sección de aplicación de la carga en la
dirección de aplicación de esta. La unidad de medida de la
flexibilidad es el m/N ó rad/Nm.
El coeficiente de proporcionalidad existente entre el valor de una
carga (fuerza o momento) aplicada en una sección de una
estructura sencilla (barra) y el movimiento (en dirección de la
carga) de la sección en la que se aplica la carga, y que se deducen
de las expresiones obtenidas por aplicación de los teoremas de
Mohr, son ejemplos de valores de coeficientes de flexibilidad.
COMPATIBILIDAD DE DEFORMACIONES EXTERNAS CON
INTERNAS
Cuando un sistema se somete a acciones externas, sus nudos se
desplazan y sus barras sufren deformaciones. Si todos los
elementos del sistema se mantienen unidos, entonces es posible
establecer relaciones geométricas entre desplazamientos y
deformaciones, las mismas que se conocen como ecuaciones de
compatibilidad.
7
Por ejemplo es posible relacionar los desplazamientos de los nudos i
y j con las deformaciones de la barra que los une.
La figura muestra una viga sometida a una carga Q, apoyada en un
extremo y suspendida por un cable en el otro.
Este elemento está en equilibrio bajo la acción de la carga Q,
gracias a las reacciones que recibe en sus extremos representados
como R y N en el diagrama de cuerpo libre siguiente.
Todas las fuerzas mostradas en la diagrama anterior son fuerzas
externas al elemento viga.
8
Separemos ahora imaginariamente el sistema en tres partes,
mediante dos cortes transversales, el primero en la viga y el
segundo en el cable como se muestra en la figura.
Cada una de estas partes está en equilibrio gracias a las fuerzas y
momentos que se producen en las secciones de corte imaginario.
Estas acciones que aparecen en la sección de corte, actuando en
sentido contrario a cada lado de ésta, se denominan fuerzas
internas.
Para la viga del ejemplo, las acciones internas son la fuerza
Cortante V y el Momento Flector M. Para el cable, la fuerza interna
es la fuerza Normal N. Estas acciones internas se suelen referir en
general como fuerzas internas o fuerzas de sección.
Convención de signos para fuerzas internas
Para precisar el signo de las fuerzas internas, emplearemos un
sistema de referencia xyz, con el eje x coincidiendo con el eje
longitudinal del elemento y con los ejes y y z ubicados en la sección
transversal. Generalmente y y z son ejes centrales (el origen del
sistema coincide con el centroide de la sección transversal) y
9
también son ejes principales (el producto de inercia de la sección
transversal es nulo).
En el caso más general, pueden existir hasta 6 fuerzas internas en
la sección transversal de un elemento. La figura que sigue muestra
la convención de signos asumida como positiva para estas fuerzas
internas.
Nótese que salvo en el caso de Vy, las fuerzas de sección son
positivas cuando siguen el sentido positivo de los ejes. El sentido
positivo de Vy, asumido hacia abajo está en concordancia con la
conocida siguiente relación:
PRESENTACION DEL METODO POR ECUACIONES Y POR
MATRICES
En una estructura plana el movimiento de un punto del sólido (ó
sección, si se trata de barras) tiene tres componentes: dos
traslaciones y un giro. Las componentes del movimiento de un
conjunto representativo de puntos de un sólido (entre ellos,
probablemente, los propios puntos de aplicación de las cargas Pi)
que caracterizan unívocamente el comportamiento de deformación
10
del sólido sometido a las cargas Pi, se denominan, a efectos de
análisis estructural, grados de libertad del sólido.
Así, por ejemplo:
• La proporcionalidad entre la variación de longitud y la carga
aplicada expresada en la ley de Hooke, ΔL = L/(EA) N, implica la
caracterización del comportamiento de deformación de la barra
mediante el movimiento del punto extremo en la dirección de
aplicación de la carga; este movimiento sería, pues, el grado de
libertad elegido para el análisis del problema.
• La proporcionalidad entre el movimiento perpendicular a la barra
y la carga aplicada en el extremo de la ménsula expresada en f =
L3/(3EI) P, implica caracterizar el comportamiento de deformación
de la ménsula mediante el desplazamiento del punto extremo en la
dirección de aplicación de la carga; este movimiento sería el grado
de libertad elegido para el análisis del problema; una alternativa
podría ser utilizar como grado de libertad descriptivo del problema,
el giro en el extremo de la ménsula.
Considérese un sólido como el que se muestra en la figura sometido
a la acción de diferentes cargas (acciones) externas Pi actuando
cada una de ellas en un punto i.
Por efecto de aplicación de las cargas, un punto genérico i se
desplazaría hasta el punto i´ siendo el vector desplazamiento δi del
cual la componente en la dirección de aplicación de la carga es Δi.
Se denomina coeficiente de influencia o de flexibilidad fij al
desplazamiento del punto de aplicación de la carga Pi, en la
11
dirección de dicha carga, cuando actúa una carga unidad en el
punto j en la dirección y sentido de Pj.
Cuando actúan varias cargas, el desplazamiento Δi del punto de
aplicación de una de ellas, justo en la dirección de la carga Pi, es
suma de los desplazamientos producidos por cada una de las
cargas actuantes.
Δ1 = f11P1 + f12P2 + f13P3
Δ2 = f21P1 + f22P2 + f23P3
Δ3 = f31P1 + f32P2 + f33P3
El sistema anterior puede ordenarse en forma matricial resultando:
Δ1 f11 f12 f13 P1
Δ2 = f21 f22 f23 P2
Δ3 f31 f32 f33 P3
A la matriz constituida por los coeficientes fij se la denomina matriz
de flexibilidad del sólido.
Propiedad.- Los coeficientes de flexibilidad fij y fji son iguales.
12
Aplicando el teorema de Reciprocidad de Maxwell-Betti a los dos
estados de carga distintos que actúan sobre un mismo sólido, y que
se muestran en la figura (en el estado 1 sólo actúan la carga Pi y en
el estado 2 solo la carga Pj), se obtiene:
es decir: fij = fji.
Ejemplo:
Obtener la matriz de flexibilidad de la estructura sometida al
sistema de cargas que se muestra en la figura.
Aplicando los teoremas de Mohr, se obtiene:
y, expresando las ecuaciones anteriores en forma matricial:
13
GENERALIZACION DEL METODO DE LAS FUERZAS
SOMETIDOS A OTROS ESTIMULOS
1. Identificación y predimensionado de la estructura. Deben produci
rse las definiciones geométricas que definan dimensionalmente
toda la estructura y deben desarrollarse los denominados análisis
de cargas. Estos son realizados con la aplicación de los reglamentos
vigentes y consideraciones propias del proyecto en curso. La
conclusión de esta etapa. Es disponer del esquema de barras, sus
sistemas de cargas y dimensiones de secciones.
2. Análisis del grado de hiperestaticidad de la estructura. El método
de lasfuerzas consiste básicamente en eliminar vínculos a un
hiperestático
hastatransformarlo en un isostático que se denomina esquema fund
amental. Las reacciones que suministran los vínculos
eliminados se convierten en las incógnitas del sistema
de ecuaciones que se plantea. Cada ecuación plantea la condición
de deformación nula en el esquema real, siendo denominada de
compatibilidad.
3. Se elige el esquema fundamental utilizando el
criterio que tenga una deformabilidad parecida al esquema real.
Esta condición se haya relacionado con la cantidad de dígitos
significativos a utilizarse para minimizar los errores relativos en la
resolución del sistema de ecuaciones.
14
4. Debemos obtener las reacciones de vínculos en el esquema
fundamental, originados por los estados reales de cargas y
luego por valores unitarios de las incógnitas.
5. Calculamos los valores de los coeficientes del sistema de
ecuaciones. Para ello integramos ordenadamente los diagramas de
momentos. Obtenemos sucesivamente las deformaciones
producidas por el estado de cargas real en
el esquema fundamental que sean correspondientes con los vínculo
s.
6. Planteamos y resolvemos el sistema de ecuaciones, obteniendo
los valores
de las incógnitas. Estas serán fuerzas o momentos, estando expresa
das en unidades de fuerza o unidades de
momentos. Los coeficientes tendrán unidades de desplazamiento
o radianes, según la magnitud que representen.
Los signos positivos de las incógnitas convalidarán los sentidos ado
ptados para el cálculo y los negativos nos informarán lo contrario.
7. Calculamos los valores del diagrama de momentos en el
hiperestático aplicando el Principio de Superposición de los efectos
con la fórmula: Mi h = M i o + Mi1 X1 + Mi2 X2.
8. Trazamos los diagramas finales de Momentos colgando
parábolas o extendiendo rectas que indican variaciones lineales.
9. Podemos efectuar la verificación de las secciones
redimensionadas en la primera etapa.
ECUACIONES DE DESPLAZAMIENTOS CONSISTENTES
15
El cálculo de alguna fuerza u otra magnitud resulta insuficiente a
partir de las condiciones de equilibrio. En ese caso, las ecuaciones
de equilibrio forman un sistema compatible indeterminado. Puesto
que la situación física real sí presenta una solución unívoca, es
decir, las piezas mecánicas toman valores de tensión concretos y
las reacciones reales tienen valores totalmente determinados,
concluimos que las ecuaciones de equilibrio deben ser
complementadas con algún otro tipo de información adicional que
haga que el problema sea determinado.
De hecho, muchos problemas se vuelven completamente
determinados si tenemos en cuenta que los desplazamientos
observados en la realidad tienen valores determinados. Así si
introducimos ecuaciones que expresen ciertos desplazamientos en
función del resto de variables, podemos llegar a construir un
sistema de ecuaciones compatible determinado. Dicho sistema
estaría formado por las ecuaciones de equilibrio, y varias
ecuaciones adicionales llamadas ecuaciones de compatibilidad.
Por ejemplo en la figura figurase muestra un problema
unidimensional consistente en la aplicación de una fuerza en un
punto intermedio empotrado en sus extremos. En este caso, el
problema es estáticamente indeterminado o hiperestático el análisis
16
de fuerzas lleva a una única ecuación para las
dos reacciones incógnita existentes:
En este caso P es una fuerza conocida. Para poder determinar las
reacciones observamos que la parte izquierda (entre RA y P)
está traccionada y por tanto se estirará, mientras que la parte
derecha (entre P y RB) está comprimida y por tanto se encogerá.
Puesto que la pieza es un único sólido deformable el estiramiento
de parte izquierda compensará exactamente el acortamiento de la
parte derecha, de lo contrario la pieza se rompería. Por tanto
estiramiento y acortamiento deben ser compatibles, ésa es
precisamente la condición de compatibilidad adicional que resuelve
el problema:
Las ecuaciones adicionales pueden obtenerse por diversos
métodos, por ejemplo usando el teorema de Castigliano o usando la
ecuación de la curva elástica. Si el problema es suficientemente
sencillo, como en el ejemplo anterior, puede encontrarse la
ecuación de compatibilidad directamente.
FORMULACION MATRICIAL DEL METODO DE CARGA UNITARIA
Uno de los métodos más comunes para calcular los
desplazamientos en las estructuras es el de la carga unitaria.
Aunque se puede recurrir directamente a las expresiones simples
17
propuestas por el método, es útil identificar que el método se basa
en dos principios básicos. Estos son el concepto de energía y la ley
de la conservación de la energía. En el primero se de ducen los
teoremas de Castigliano y de Engesser, mientras que con el
segundo se formula el método de la carga unitaria. Este método se
presenta para el caso particular de vigas en flexión y armaduras.
EVALUACION DE LOS TERMINOS QUE INTERVIENEN EN EL
SISTEMA DE ECUACIONES
La forma genérica de un sistema de ecuaciones algebraicas y
incógnitas es la siguiente:
(1)
Donde son funciones de las incógnitas. La solución,
perteneciente al espacio euclídeo , será tal que el resultado de
evaluar cualquier expresión con los valores de dicha solución,
verifique la ecuación.
Representación gráfica
Los sistemas de 2 o 3 incógnitas reales admiten representaciones
gráficas cuando las funciones en (1) son continuas a tramos. En
cada ecuación se representa como una curva o una superficie
curva. La existencia de soluciones en ese caso puede deducirse a
partir de la existencia de intersecciones comunes a dichas curvas o
superficies curvas.
18
Clasificación de los sistemas
Un sistema de ecuaciones sobre puede clasificarse de acuerdo
con el número de soluciones o cardinal del conjunto de soluciones ,
de acuerdo con este criterio un sistema puede ser:
Sistema compatible cuando admite alguna solución que a su
vez pueden dividirse en:
Sistemas compatibles determinados cuando admiten un
conjunto finito de soluciones, o un conjunto infinito de
soluciones aisladas sin puntos de acumulación, .
Sistemas compatibles indeterminados cuando existe un
número infinito de soluciones que forman una variedad
continua, .
Sistema incompatible cuando no admite ninguna
solución, .
Sistema lineal general
Se llama sistema lineal si las ecuaciones que conforman el sistema
son funciones afines. A diferencia del caso general, la solución de
los sistemas de ecuaciones lineales son fáciles de encontrar cuando
los coeficientes de las ecuaciones son números reales o complejos.
También existen medios generales de resolución cuando los
19
coeficientes pertenecen a un anillo, aunque la búsqueda de las
soluciones en ese caso puede ser un poco más complicada.
Una característica importante de los sistemas lineales de
ecuaciones es que admiten la llamada forma matricial. Esta forma
permite representar el sistema usando tres matrices, de la
siguiente forma:
(2)
La primera es la matriz de coeficientes, donde el término
representa al coeficiente que acompaña a la j-ésima incógnita de la
ecuación i-ésima. La segunda es la matriz de incógnitas, donde
cada término se corresponde con una de las incógnitas. La
tercera matriz es la de términos independientes, donde el cada
representa al término independiente de la ecuación i-ésima.
Esta representación matricial facilita el uso de algunos métodos de
resolución, como el método de Gauss, en el que, partiendo de
la matriz aumentada (matriz de coeficientes a la que se le ha
acoplado la matriz de términos independientes), y aplicando
transformaciones lineales sobre las ecuaciones, se pretende llegar a
una matriz de este tipo:
20
Una vez que la matriz se ha triangulado, el valor de cada término
se corresponderá con el de la incógnita . Si queda alguna fila del
tipo , con , el sistema no tendrá solución.
IDENTIFICAR LAS CARACTERISTICAS DE LAS ESTRUCTURAS
HIPERESTATICAS
Una estructura es internamente hiperestática si las
ecuaciones de la estática no son suficientes para determinar
los esfuerzos internos de la misma.
Una estructura es externamente hiperestática si las
ecuaciones de la estática no son suficientes para determinar
fuerzas de reacción de la estructura al suelo o a otra
estructura.
Una estructura es completamente hiperestática si es
internamente y externamente hiperestática.
ELABORAR DIAGRAMAS DE FUERZAS INTERNAS DE
ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS
Cuando una estructura tiene más reacciones externas o fuerzas
internas que las que pueden determinarse con las ecuaciones de la
estática, tal estructura es estáticamente indeterminada o
Hiperestática. Una carga situada en alguna parte de una estructura
hiperestática o continua producirá fuerzas cortantes, momentos
flexionantes y deflexiones en las otras partes de la estructura. En
otras palabras, cargas aplicadas a una columna afectan a las vigas,
a las losas, a otras columnas y viceversa.
21
Es difícil encontrar en la vida real vigas simplemente apoyadas, se
puede decir lo mismo de las armaduras, en un sentido estricto,
todas éstas son realmente estáticamente indeterminadas.
APLICAR EL METODO DE LAS FUERZAS PARA RESOLVER
ESTRUCTURAS HIPERESTATICAS
Los métodos para resolver una estructura hiperestática pueden ser
agrupados en dos grandes familias.
Una de las familias está constituida por los llamados métodos de las
fuerzas. Estos métodos se basan en tomar como incógnitas fuerzas,
pueden ser algunas reacciones o la solicitación en algún punto. Para
construir las ecuaciones que permiten calcular las incógnitas se
impone que se cumplan condiciones en desplazamientos.
Por ejemplo en las vigas continuas tomamos como incógnitas los
momentos flectores en los apoyos e impusimos la condición (de
continuidad de la viga) que los giros de las dos barras que llegan al
apoyo sean iguales. El método empleado pertenece a la familia de
los métodos de las fuerzas.
La otra familia es la de los métodos de los desplazamientos. Estos
toman como incógnitas los desplazamientos de nudos y apoyos de
la estructura e imponen condiciones de equilibrio de fuerzas en
nudos y apoyos.
22
Los métodos de las fuerzas permiten ver de manera más clara el
comportamiento de las estructuras. Se ajustan mas a la intuición
que uno tiene de las mismas. Son utilizados fundamentalmente
para cálculos manuales.
Sin embargo los métodos de los desplazamientos son los que
predominan actualmente.
No requieren adoptar decisiones del ingeniero durante el proceso
de cálculo. Son más sencillos para ser programados. Prácticamente
todos los programas de cálculo los utilizan. Algunos métodos como
slope deflación que veremos en el curso pueden ser utilizados para
cálculos manuales. Otros como los de análisis matricial son
aplicados por los programas de cálculo pero no son cómodos para
su utilización en cálculos manuales.
APLICAR EL METODO DE LAS FUERZAS EN ESTRUCTURAS
HIPERESTATICAS SOMETIDAS A CARGAS, VARIACION DE
TEMPERATURAS, MOVIMIENTO DE SOPORTE, ERROR DE
CONSTRUCCION Y RESORTE.
Resolviendo las ecuaciones de la estática planteadas y las
ecuaciones compatibilidad de los desplazamientos, se obtienen los
esfuerzos axiales en todos los elementos del sistema.
23
Al calcular las tensiones térmicas se mantiene el mismo esquema
de cálculo.
Puesto que las longitudes reales de los elementos, que resultan dur
ante la elaboración de éstos, se diferencian muy poco de las
previstas en el proyecto, al calcular los alargamientos absolutos de
los elementos por la ley de Hooke, se consideran las longitudes
previstas en el proyecto y no las
reales. Al determinar la fuerza máxima de seguridad partiendo del
cálculo
portensiones admisibles, se supone que en la barra más cargada la
tensión es igual a la admisible. Partiendo del esfuerzo así obtenido
se establece la fuerza máxima de seguridad.
El cálculo de sistemas hiperestáticos por su capacidad resistente se
lleva a cabo en virtud, solamente, de las ecuaciones de la estática.
En estas condiciones los esfuerzos axiales se consideran iguales
a los
productos de las tensiones admisibles por las áreas de las secciones
transversales en todos los elementos, en los que, al alcanzar las
tensiones el límite de fluencia del material, el sistema se transforma
en cinemática mente variable. Este método de cálculo se
basa sobre la sustitución del diagrama real de tracción del material
por el diagrama idealizado de Prandtl, en el cual el escalón de
fluencia se considera ilimitado. Ejercicio Nº
1La estructura articulada formada por cuatro barras de acero de 10
cm2 desección está sometida a la fuerza P = 100 KN de la figura.
Determinarlas variaciones de los ángulos en A y C. (E = 200 Gpa)
24
APLICAR LA SUPERPOSICION DE DIAGRAMAS EN EL METODO
DE LAS FUERZAS
La respuesta de una estructura debida a un numero de cargas
aplicadas simultáneamente es la suma de las respuestas de las
cargas individuales, aplicando por separado cada una de ellas a la
estructura; siempre y cuando para todas las cargas aplicadas y para
la suma total de ellas los desplazamientos y esfuerzos sean
proporcionales a ellas.
Esto implica que para aplicar el principio de superposición
necesitamos trabajar con materiales elásticos, que cumplan la ley
de Hooke. Si la estructura a analizar cumple con estos requisitos
podemos usar la teoría elástica en su estudio.
Gráfica fuerza vs
deformación para un
elemento constituido con un material perfectamente elástico.
Cuando se habla de respuesta se refiere a los desplazamientos y a
las fuerzas internas.
25
Por el principio de superposición podemos expresar los efectos
totales como la suma de efectos de cargas parciales:
INTERPRETAR EL CONCEPTO FACTOR DE FLEXIBILIDAD
El factor de flexibilidad empleado en una viga, se da cuando se le
ejerce una fuerza a la misma entrando esta en presencia de la
flexibilidad todas las vigas tienen efecto de flexibilidad debido a que
todas las vigas están en presencia de momentos. Del factor de
flexibilidad al de torsión hay solo un paso y es ahí cuando la viga
sufre. En otras palabras es Cuando se trata de proyectar un
elemento a flexión sobre varios apoyos consecutivos existe, en
general, una ventaja indudable en disponer una viga continua. Ello
implica que la deformación tiene que corresponder a una pieza
enteriza, con curvatura continua.
CONSTRUIR LA MATRIZ DE FLEXIBILIDADES Y LA FORMA
MATRICIAL DEL METODO DE LA FUERZA
Seguidamente vamos a expresar más detalladamente la ecuación
matricial característica del Método de la Flexibilidad: pero
planteando ahora la matriz de flexibilidad de una barra en la que
uno de sus extremos, el 1, se encuentra empotrado y el otro
extremo, el 2, se encuentra libre y sometido a carga, razón por la
que en dicha barra sólo el extremo 2 puede tener movimientos.
Seguidamente vamos a expresar la ecuación matricial anterior,
donde sabemos que:
{d}={F}·{P}
26
1. El vector carga será del tipo Px, Py, Mz, en el extremo 2, por
cuanto la modelización que vamos a desarrollar será aplicable a
estructuras planas de nudos rígidos.
2. El vector desplazamiento será del tipo dx, dx, z, en coherencia
con la tipología en estudio.
En la ecuación matricial siguiente, aunque posteriormente nos
ceñiremos al caso de barra plana de extremos empotrado-libre,
expresamos la relación entre cargas y movimientos en los extremos
de una barra, de forma general.
Denominamos al extremo izquierdo como 1 y al extremo derecho
como 2, en la exposición que estamos haciendo, con lo que el caso
que vamos a estudiar se corresponde con la submatriz F22.
Utilizamos en los dos extremos el mismo convenio de signos en
cargas y desplazamientos, correspondientes a los sentidos positivos
del primer cuadrante.
En este caso por la tipología estructural a que se refiere la
modelización de nuestro caso particular en estudio, las barras se
encuentran sometidas no solamente a axiles, sino también a
cortantes y flectores y por ello el vector de cargas, será :
Donde los valores de P1x, P1y y M1z se corresponden con el
sistema de reacciones en el extremo 1 y el resto de valores en el
extremo 2 serán el vector carga en el extremo 2.
En cuanto al vector desplazamiento o movimiento hemos de
considerar que al estar el extremo 1 empotrado, serán nulos los
desplazamientos en x e y , así como los giros en z de dicho extremo
1.
27
Estudiamos aquí el caso de una barra como la que vemos en la
figura siguiente, con empotramiento en el extremo 1 y libre en el
extremo 2, de manera que dicho extremo 2 puede presentar:
- desplazamientos en x
- desplazamientos en y
- giros en z
Cada uno de los valores que aparecen en la ecuación matricial
siguiente es un escalar, de forma que la ecuación matricial referida,
se corresponde con un sistema de ecuaciones tal y como el que
sigue :
dx = f11 .Px + f12 .Py + f13 . Mz
dy = f21 .Px + f22 .Py + f23 . Mz
z = f31 .Px + f32 .Py + f33 . Mz
El sistema de ecuaciones anterior es, por tanto, la expresión de las
deformaciones que aparecen en el extremo libre de la barra, 2, en
función de las cargas que actúan en dicho extremo.
En lo que sigue vamos a calcular el valor de los parámetros
escalares fij que componen la matriz de flexibilidad referida
anteriormente.
Para ello, vamos a establecer la relación que se produce entre cada
una de las cargas que actúan en el extremo libre, con los posibles
desplazamientos del mismo extremo de la barra, ya que el
28
desplazamiento del extremo empotrado es nulo, consecuencia de la
propia vinculación.
CONCLUSION
Puedo concluir que al identificarse los desplazamientos en los
grados de libertad suprimidos de la estructura hiperestática que
coincidan con los de la estructura isostática fundamental. Esto
implicara el planteamiento de tantas ecuaciones de compatibilidad
de desplazamientos como incógnitas hiperestáticas. Resolviendo el
sistema formado por las ecuaciones de compatibilidad se obtiene el
valor de las incógnitas hiperestáticas.
Desde un punto de vista práctico, es necesario realizar los
siguientes pasos para resolver un problema hiperestático:
29
1. Determinación del grado de hiperestaticidad, selección de las
incógnitas hiperestáticas y obtención la estructura isostática
fundamental
2. Obtención de las leyes de esfuerzos de la estructura isostática
fundamental
3. Planteamiento del sistema de ecuaciones de compatibilidad
4. Obtención de las incógnitas hiperestática mediante la
resolución del sistema de ecuaciones de compatibilidad
5. Resolución de la estructura isostática fundamental con las
reacciones hiperestáticas actuando como cargas exteriores
30
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