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TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
1
INDICE
RESUMEN 3
INTRODUCCIÓN 4
MARCO TEÓRICO 5
MATERIALES Y MÉTODOS 6
RESULTADOS 7
CAPÍTULO I
1.1. El s is tema de los Números Reales .
1.2 Inecuac iones 18
1.3 Valor Abs oluto 33
1.4 Máximo Entero 39
CAPÍTULO II
2.1 Vectores en e l Plano 42
2.2 Vector en e l Es pac io 56
71.1.1 Axiomas de la Adición y Multiplicación de los nú eros reales 81.1.2 Proposiciones 91.1.3 Ecuaciones 14
1.2.1 Inecuaciones Lineales 181.2.2 Inecuaciones Cuadráticas 191.2.3 Inecuaciones Polinómicas 201.2.4 Inecuaciones Racionales 221.2.5 Problemas de aplicación de inecuaciones 26
2.1.1 Definición 422.1.2 Representación Geométrica 422.1.3 Vector Posición 442.1.4 Módulo o Norma de un Vector 442.1.5 Producto punto o escalar de dos vectores 452.1.6 Suma de vectores 462.1.7 Vector Unitario 462.1.8 Vectores paralelos 482.1.9 combinación lineal entre vectores 492.1.10 Proyección Ortogonal 502.1.11 Componente de un Vector 522.1.12 Aplicaciones a las Áreas 53
2.2.1 Definición 562.2.2 Representación Geométrica 56
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
2
32.2.3 Módulo o Norma de un Vector en 582.2.4 Cosenos Directores 592.2.5 Vector Unitario 592.2.6 Vectores Unitarios Fundamentales 602.2.7 Vectores paralelos 602.2.8 Producto Vectorial 612.2.9 Volumen del Paralelepípedo 622.2.10 Área del paralelogramo 632.2.11 Volumen del Tetraedro 64
3.2.1 Definición 683.2.2 Rectas paralelas 703.2.3 Rectas perpendiculares 703.2.4 Ecuaciones de la Recta 713.2.5 La distancia de un punto a una Recta 723.2.6 La distancia dirigida de un punto a una Recta 723.2.7 Familia de Rectas 753.2.8 Ángulo entre dos Rectas 78
3.3.1 Definición 843.3.2 Ecuaciones de la Circunferencia 843.3.3 Familia de circunferencias 903.3.4 Recta Tangente a una Curva 97
3.4.1 Traslación de los ejes coordenados 1023.4.2 Rotación de los ejes coordenados 1033.4.3Transformación de la Ecuación General. de segundo grado: por Rotación de los ejes Coordenados 1043.4.4 Transformación de coordenadas por traslación y rotación de los ejes coordenados en la forma vectorial 105
3.5.1 Teorema: Ecuación de Segundo Grado 1073.5.2 Propiedades de las Secciones Cónicas 107
3.6.1 Definición 1083.6.2 Elementos de la Parábola 1083.6.3 Ecuaciones de la Parábola 1093.6.4 Recta Tangente a la Parábola 116
3.7.1 Definición 120
¡
CAPÍTULO III
3.1 S is tema de Coorde nadas Cartes ianas 66
3.2 La Recta 68
3.3 La Circunferenc ia 84
3.4 Trans formacio nes de Coordenadas 102
3.5 Las Cónicas 107
3.6 La Parábola 108
3.7 La Elips e 120
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
3
3.7.2 Elementos de la Elipse 1213.7.3 Ecuaciones de la Elipse 1223.7.4 Recta Tangente a la Elipse 1303.7.5 Propiedades de la Elipse 134
3.8.1 Definición 1353.8.2 Elementos de la Hipérbola 1363.8.3 Ecuación de la Hipérbola 1373.8.4 Recta Tangente a la Hipérbola 1433.8.5 Asíntotas de la Hipérbola 1453.8.6 Hipérbola Equilátera o Rectangular 1463.8.7 Hipérbolas Conjugadas 147
4.1.1 Definición 1574.1.2 Operaciones con Matrices 1584.1.3 Transpuesta de una Matriz 1594.1.4 Traza de una Matriz 1594.1.5 Tipos de Matrices 1604.1.6 Transformaciones Elementales 1614.1.7 Matriz Escalonada 1624.1.8 Matrices escalonadas reducidas por filas 1624.1.9 Rango de una Matriz 1624.1.10 Inversa de una Matriz 1634.1.11 Definición (Matriz inversa mediante matriz de cofactores) 163
4.2.1 Definición 1644.2.2 Propiedades 165
4.3.1. Método de Gauss 1664.3.2 Regla de Cramer 1674.3.3 Método de la Matriz Inversa 168
174
175
177
179
3.8 La Hipérbola 135
CAPÍTULO IV
4.1 Matrices 157
4.2 Determinantes 164
4.3 S is tema de Ecuac iones Lineales 165
DISCUSIÓN
REFERENCIALES
APÉNDICE
ANEXO
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
4
2 3
RESUMEN
El presente trabajo tiene como objetivo general desarrollar un texto de matemática
básica, con un enfoque ambiental que proporcione a los estudiantes los medios
necesarios para elegir posibles estrategias de solución a los modelos matemáticos
empleados en la ingeniería ambiental, así como en los cursos de su especialidad,
La recopilaron de la información ha sido logrado apoyado básicamente en las notas
de clases y teorías selectas que se tomaron como soporte base del presente trabajo
de investigación, los resultados obtenidos se han ordenado en cuatro capítulos, en
los cuales se desarrollan los diversos temas del curso matemática básica de
acuerdo con los contenidos en el silabo, poniendo énfasis en el modelamiento
matemático y las aplicaciones orientadas a la ingeniería Ambiental.
En el primer capítulo se desarrolla una introducción al sistema de los números
reales revisando con rigor las propiedades y teoremas pues son la base para todos
los cálculos matemáticos, luego se desarrollaron las e iones e inecuaciones,
valor absoluto y máximo entero, para luego resolver ejemplos de aplicación de las
inecuaciones lineales.
En el segundo capítulo se desarrollan los temas de vectores en y y se
muestra la aplicación de las definiciones y propiedade para fortalecer en el
estudiante la orientación en el plano y el espacio vectorial.
En el tercer capítulo se realiza una introducción a la geometría analítica, y se
desarrollan los temas de rectas y cónicas presentando jemplos de aplicación a la
ingeniería Ambiental haciendo uso de las definiciones y propiedades.
En el cuarto capítulo se desarrollan los temas de matrices y determinantes,
resaltando su importancia en la aplicación de los de sistemas de ecuaciones.
El presente trabajo permitirá formar a un estudiante crítico, analítico y sobre todo le
permitirá interpretar y analizar los resultados para una mejor toma de decisiones en
su vida académica y profesional.
¡ ¡
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
5
El texto de Matemática Básica, un enfoque ambiental, permitirá los
contenidos del curso y mostrará cómo éstos principios aplican a las ciencias
ambientales, permitiendo el proceso enseñanza aprendizaje del curso de
matemática básica impartido en la Facultad de Ingeniería Ambiental y de Recursos
Naturales de la Universidad Nacional del Callao.
La Matemática básica se aplica en diversas disciplinas, pero es necesario contar con
textos orientados a las ciencias ambientales, que expliquen los fundamentos de la
matemática básica y muestre su aplicación en los problemas del medio ambiente,
por lo que es necesario que el estudiante de ingeniería ambiental conozca la
relación de la programación lineal y los contenidos de la matemática básica que le
permitirá resolver modelos matemáticos lineales y de esa manera optimizar los
recursos y aplicarlos en los problemas ambientales.
Por lo expuesto, nos planteamos el siguiente problema ¿Es necesario contar con un
texto de Matemática Básica, orientado a la formación de ingenieros ambientales?.
Debido a que los estudiantes no cuentan con textos en mercado que incluyan
todos los contenidos del silabo, con las exigencias de la asignatura, mostrándoles
las aplicaciones orientadas a la ingeniería ambiental, pues muchos de esos textos
sólo presentan problemas abstractos, se ve la necesidad de contar con un texto
adecuado para su formación profesional que le permitirá contar con los medios
necesarios para elegir posibles estrategias de solución a los modelos matemáticos
empleados en la ingeniería ambiental, así como en los cursos de su especialidad, y
con los objetivos específicos siguientes:
-Desarrollar en los estudiantes la capacidad de plantear, resolver e interpretar
los modelos matemáticos lineales.
- Estudiar los fundamentos de la matemática básica para ser utilizados en los
diversos cursos de su especialidad.
- Motivar al estudiante y despertar el interés en la matemática básica
mostrando diversas aplicaciones relacionadas con los problemas ambientales.
INTRODUCIÓN
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
6
.
),( 111 ),( 222
2121
21 ,
022
42
MARCO TEÓRICO
Los textos de Matemática básica, trasmiten los principios invariables del análisis
matemático e indican simultáneamente las diversas aplicaciones de sus contenidos
lo que nos permitirá tener acceso a una diversidad modelos matemáticos que nos
brindaran mayor orientación en los modelos del campo mbiental; a continuación
presentaremos el soporte teórico los diversos temas que se desarrollan en el
presente texto:
Respecto al tema de sistema de los números reales, se han escrito varias
definiciones, y comentarios al respecto, como por ejemplo:
El sistema de los números reales es más que tan solo un conjunto de elementos.
Es un conjunto en el que hay dos operaciones y una relación que satisfacen los
axiomas dados. Una operación es completamente diferente de una relación. La
operación de adición asocia con cualesquiera dos elementos de un
elemento único de al que llamamos . Análogamente, la operación de
multiplicación asocia con cualesquiera dos elementos de un elemento único
de al que llamamos o . Por otra parte, no es un elemento de sino
una proposición acerca de los elementos ( es menor que ). (Haaser, N.;
LaSalle, J.; Sullivan J. - 1971).
Respecto a la geometría analítica plana se desarrollan los conceptos básicos como
sistema cartesiano, distancia entre dos puntos, punto entre otros; luego se
desarrolla el tema de la línea recta, una de las definiciones sería:
Llamamos línea recta al lugar geométrico de los puntos s que tomados dos
puntos diferentes cualesquiera y del lugar, el valor de la
pendiente calculado por medio de la fórmula , resulta
siempre constante. (Lehmann, Charles – 1994)
En el tratamiento de las cónicas, para su identificación existe varios teoremas, como:
La ecuación general de segundo grado, ,
representa una cónica del género parábola, elipse o hipérbola, según que el
indicador, , sea cero, negativo o positivo. (Lehmann, Charles – 1994).
En relación al tema de matrices una de las definiciones planteadas es:
Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se
denominan los elementos de la matriz”. (Anton, Howard -1976).
¡
¡
¡
¡
¡ ¡
a y b
a b
a y b
a b a b a b
a y b a b
yxp yxp
m xxxx
yym
FEyDxCyBxyAx
ACBI
+
<
≠−−
=
=+++++
−=
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7
MATERIALES Y MÉTODOS
Para el desarrollo del presente trabajo se utilizaron rsos materiales y métodos,
como los programas WIN QSB (para la optimización) y el MATLAB para algunos
gráficos y los resultados en algunos ejemplos. La recopilaron la información ha
sido logrado apoyado básicamente en las notas de clases y teorías selectas que se
tomaron como soporte base del presente texto, pues se ha tenido el dictado del
curso por varios semestres académicos consecutivos. Los ejemplos se han
plasmado progresivamente a partir de la aplicación directa de la teoría - método
deductivo y luego se ha ido incrementando el grado de dificultad; Algunos de los
ejemplos son los que se han propuesto en las práctica calificadas, prácticas
dirigidas y exámenes evaluados a los estudiantes del curso de Matemática Básica
de la Facultad de Ingeniería Ambiental y de Recursos Naturales.
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
8
( , , . , )
;
; .
RESULTADOS
CAPÍTULO I
1.1 EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES
Los resultados del presente trabajo de investigación se han ordenado en cuatro
capítulos que detallaremos a continuación:
El presente capítulo comprende el estudio del sistema meros reales, axiomas,
teoremas y propiedades que rigen sobre ellos, pues son indispensables para realizar
cualquier cálculo matemático; Luego se planteará y resolverá sistemas de
desigualdades lineales mediante el gráfico de ellas.
Como aplicación se resolverán problemas de programación lineal relacionados con
fertilizantes y nutrientes. Se desarrollará en los siguientes ítems:
1.1. El sistema de los Números Reales.
1.2. Desigualdades.
1.3. Valor absoluto
1.4. Máximo Entero
Se llama sistema de los números reales a un conjunto , provisto de dos
operaciones internas (suma y producto), y de una relación de orden (< ) que se lee
“menor que”.
El Sistema de los Números reales se denota como
Las operaciones internas son: Suma (+) y
Producto( . )
El Sistema e los Números Reales satisface los siguientes axiomas:
f≠
+ <
∈ ∈ → + ∈
∈ ∈ → ∈
¡
¡
¡ ¡ ¡
¡ ¡ ¡
a b a b
a b a b
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9
,, )()(
0 0 ,
0)()(
.
.
)..()..(
.11.
)0
11 1... 11
..).(
..).(
1.1.1 Axio mas de la adic ió n y multiplicac ió n de los números reales :
I.-Axio mas de adic ión
II.-Axio mas de la multiplicac ión
III.-Axio mas de Dis tributividad:
A1. Clausura o Cerrada
A2. Conmutativa
A3. Asociativa
A4. Existe uno y sólo un elemento que llamamos (0); tal que
Elemento neutro de la adición
A5. Para todo , existe uno y sólo un elemento denotado “-a” tal que se
cumple: ; -a se llama Inverso aditivo de a.
M1. Clausura o cerradura
M2. Conmutativa
M3. Asociativa
M4. Existe uno y sólo un elemento, que llamamos “1” tal que para todo , se
cumple , “1” es elemento neutro de la multiplicación
M5. Para todo (a , existe uno y sólo un elemento al que lo denotamos
por: , tal que se cumple
D1. Si :
D2. Si:
Las propiedades de los números reales y de las operaciones (suma y producto), las
mencionaremos en las proposiciones siguientes.
IRbaIRbIRa
abbaIRbIRa
IRcba cbacba
a a a a IR
IRa
aaaa
IRbaIRbIRa
babaIRbIRa
cbacbaIRcIRbIRa
IRa
aaa
IRa
aa aaaa
cabacbaIRcIRbIRa
cbcacbaIRcIRbIRa
∈+→∈∧∈
+=+→∈∧∈
∈ → ++=++
+ = + = ∀ ∈
∈
=+−=−+
∈→∈∧∈
=→∈∧∈
=→∈∧∈∧∈
∈
==
∈ ≠
=− == −−
+=+→∈∧∈∧∈
+=+→∈∧∈∧∈
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10
)1
),( 11)( ,0
IRa 00. IRa ,).1(.
, ),.().().(
, ..)).((
0y ..
)000.( 000. 22
)(
0bsi,1
)(
)0(,.b
ac ;
..).(
0
ab ó ba ó
1.1.2 PROPOSICIONES
PROPOSICIÓN I
PROPOSICIÓN II
RELACIÓN DE ORDEN
PROPOSICIÓN III
i) El “cero”, el “uno”(1), el “opuesto de a” (-a) y el” inverso de a” ( son únicos.
ii) iii)
iv) v)
vi)
vii)
viii)Si (Ley de cancelación de la suma).
ix) Si (Ley de cancelación del producto)
x) xi)
La diferencia y el cociente de dos números reales se define como:
1.) (Diferencia)
2.) (cociente)
i)
ii)
iii)
iv) v)
vi) Si y
i) Dados dos números reales a y b sólo una de las condiciones siguientes se verifica:
(Ley de Tricotomía)
−
∈∀−−= −−=≠
∈∀= ∈∀−=−
∈∀−=−=−
∈∀=−−
=→+=+
=→≠=
≠∧≠↔≠=∨=↔= −=∨=↔=
−+=−
≠= −
−−=−
≠=↔=+=↔=−
−=−
+=+
−=−
≠−
=→=+
<<=
a
IRaaa aaaSi
a aa
IRbabababa
IRbababa
bacbca
baccbca
babababa bababa
baba
abb
a
abba
bacbcbacba
cabacba
bd
bcad
d
c
b
a
bd
bcad
d
c
b
a
aa
bcxcbax
ba
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11
0)a si 0(aIRa,0 22
IRc ,
0
0
)0a0a(si 00 -11
00 11
1100
)00()00(0
)00()00(0
)00()00(0
)00()00(0
00 22
22
00022
)()0( 2
2( 0 ) ( )
5 11, ,
4 9
3 54,5
3 4
00 11 1100
3 5 1(1 ) 4,5
3 4 3 4
ii)
iii) Si (Ley transitiva)
iv) Si (Ley de monotonía en la suma)
v) Si
vi) Si (Ley de monotonía en el producto)
vii) Si
viii)Si
ix) Si a y a-1 tienen el mismo signo
x) Si
Si
Recordemos: solo se puede invertir una desigualdad cuyos extremos tienen el
mismo signo. Por tanto: si un extremo fuese negativo y el otro positivo, la
desigualdad no se puede invertir.
xi)
xii)
xiii)Si ,
xiv)
xv) Si
xvi) Si
Si demostrar
Haciendo uso de las propiedades y
Observe que
≠>∈∀≥
<→<∧<
∈∀+<+→<
+<+→<∧<
<→>∧<
>→<∧<
−>−→<
<→<>→> −
>>→<< −−
−− >>→<<
<∧<∨>∧>↔>
≤∧≤∨≥∧≥↔≥
>∧<∨<∧>↔<
≥∧≤∨≤∧≥↔≤
≥∧≥ <↔<
≤↔≤
=∧=↔=+
−<∨>↔>∧≥
> ∧ < ↔ − < <
− −∈< >
+∈< >
+
>>→<< −− −− >>→<<
+= + ∈< >
+ +
a
cacbba
cbcaba
dbcadcba
bcaccba
bcaccba
baba
aa
baba
baba
babaab
babaab
babaab
babaab
ba baba
baba
baba
bababab
b a b b a b
xx
x
baba baba
x
x x
Ejemplo 1.1:
Soluc ión:
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
12
5 11, ,
4 9
5 11multiplicando por 3
4 9
15 113 sumando 4
4 3, obtenemos
1 13 4
4 3
13 4
3 4
13 1 1 4 1
3 4
3 54 5
3 4
3 54,5
3 4
2 35
2
2( 0 ) ( )
23 9( ) 5
4 16
23 89( )
4 16
3 89 3 89( ) ( )
4 4 4 4
3 89 3 89
4 4
3 89 3 89. . , ,
4 4
2 1 1
5 25
Como entonces:
Recordemos que solo se puede invertir una desigualdad cuyos extremos tienen el
mismo signo
,
Luego
Resolver e indicar el conjunto solución
Completamos cuadrados y hacemos uso de la propiedad
Resolver e indicar el conjunto solución
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x x
b a b a b a b
x
x
x x
x x
C S x
x x
− −∈< >
− −< <
− −< < < + <
< <+
+ < + < ++
+< <
+
+∈< >
+
− >
≥ ∧ > ↔ > ∨ < −
− − >
− >
− > ∨ − < −
− +< ∨ >
− +∴ = ∈< −∞ > ∪ < +∞ >
− <
Ejemplo 1. 2:
Soluc ión:
Ejemplo 1.3:
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
13
20 ( ) ( )
21 1 1( )
10 100 25
21 5( )
10 100
5 1 5
10 10 10
1 5 1 5
10 10
1 5 1 5. . ,
10 10
6,8] , 2( 4 ) 12,32]
00 22 22
6 8
4 2 6
216 ( 2) 36
216 4 4 36
212 4 32
2( 4 ) 12,32]
2 5 14 0
)00()00(0
2 5 14 0
( 2)( 7) 0
Soluc ión:
Ejemplo 1. 4:
Soluc ión:
Ejemplo 1.5:
Soluc ión:
Completamos cuadrados y hacemos uso de la propiedad:
Si entonces
Haciendo uso de las propiedades: Si ; ;
Luego la proposición es verdadera.
Resolver e indicar el conjunto solución
Haciendo uso de las propiedad
b a b b a b
x
x
x
x
C S x
x x x
ba baba baba
x
x
x
x x
x x
x x
x x
babaab
x x
x x
> ∧ < ↔ − < <
− − <
− <
−< − <
− +< <
− +∴ = ∈< >
∈< − ∈<
≥∧≥ <↔< ≤↔≤
< ≤
< − ≤
< − ≤
< − + ≤
< − ≤
− ∈<
− − ≥
≤∧≤∨≥∧≥↔≥
− − ≥
+ − ≥
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
14
(( 2) 0 ( 7) 0) (( 2) 0 ( 7) 0)
( 2 7) ( 2 7)
. . ; 2 7 ;
2 5 14 0
)00()00(0
2 5 14 0
( 2)( 7) 0
(( 2) 0 ( 7) 0) (( 2) 0 ( 7) 0)
( 2 7) ( 2 7)
2;7
. . 2, 7
0; 0
23 2 0
3
4 5 7 3 12 4
x x x x
x x x x
C S
x x
babaab
x x
x x
x x x x
x x x x
x x
C S x
ax b a
bx
a
x x
x x x x
+ ≥ ∧ − ≥ ∨ + ≤ ∧ − ≤
≥ − ∧ ≥ ∨ ≤ − ∧ ≤
] [∴ = −∞ − ∪ +∞
− − <
>∧<∨<∧>↔<
− − <
+ − <
+ > ∧ − < ∨ + < ∧ − >
> − ∧ < ∨ < − ∧ >
∈ − ∨ ∈
∴ = ∈< − >
+ = ≠
−=
−+ = ↔ =
+ = − ⇔ = − ⇔ = −
Ejemplo 1. 6:
Soluc ión:
1.1.3 Ecuac iones
I. Ecuac iones Lineales
Ejemplo 1.7:
Resolver e indicar el conjunto solución
Haciendo uso de las propiedad
Son ecuaciones de la forma:
Cuya solución es:
1)
2)
f
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15
3 2 3 9 2 9
2 0, 0, , ,
. 0 0 0
es equivalente a ( ) ( )
2 4 21 0
2 4 21 0 3 7 0
3 0 7 0
3 7
2 0, 0, 2( )
2 8 14 0
3) (Falso ) independientemente del valor que tome
La ecuación no es satisfecha para ningún valor real de , por lo que la solución es
.
Son ecuaciones de la forma:
Se puede resolver mediante el Teorema:
:
1) Resolveremos la ecuación
Cuando no se puede factorizar de forma sencilla entonces se debe tratar de formar
el Cuadrado de un Binomio.
Con este método trataremos de convertir la expresión cuadrática:
en la forma: . ( pueden ser negativos)
Resolver
Completamos cuadrados:
x x x
x
x
ax bx c a a b c
a b a b
a b a b a b
x x
x x x x
x x
x x
ax bx c a x a b a y b
x x
+ = − ⇔ = −
∈
+ + = ≠ ∀ ∈
= ↔ = ∨ =
= ± = ∨ = −
+ − =
( )( )+ − = ↔ − + =
( ) ( )↔ − = ∨ + =
↔ = ∨ = −
+ + = ≠ + +
+ − =
f
II. Ecuac iones Cuadráticas
Notac ión
Ejemplo 1.8:
Método de co mpletar cuadrados :
Ejemplo 1.9:
(i)
Soluc ión:
¡
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
16
2 2 2 2
2
2
8 14 ( 2(4) 4 4 ) 14
( 4) 16 14
( 4) 30
2 2
2
8 14 0 ( 4) 30 0
( 4) 30
( 4) 30
4 30
4 30 4 30
2 3 8 0
2 2 2 23 3 32 2 2
23 92 4
23 412 4
3 8 ( 2( ) ( ) ( ) ) 8
( ) 8
( )
2 23 412 4
23 412 4
3 412 4
4132 2
41 413 32 2 2 2
3 8 0 ( ) 0
( )
( )
2 0, 0, , ,
224
,donde el discriminante es = 4 02
x x x x
x
x
x x x
x
x
x
x x
x x
x x x x
x
x
x x x
x
x
x
x x
ax bx c a a b c
b b acx b ac
a
+ − = + + − −
= + − −
= + −
+ − = ↔ + − =
↔ + =
↔ + = ±
↔ = − ±
↔ = − − ∨ = − +
− − =
− − = − + − −
= − − −
= − −
− − = ↔ − − =
↔ − =
↔ − = ±
↔ = − ±
↔ = − − ∨ = − +
+ + = ≠ ∀ ∈
− ± −= ∆ − ≥
1442443
1442443
¡
En (i):
Resolver ……(i)
Completamos cuadrados:
En (i):
También se puede resolver la ecuación , mediante
la fórmula .
Dicha fórmula se obtiene completando cuadrados.
Ejemplo 1.10:
Soluc ión:
Nota:
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
17
2 3 8 0 1, 3 8
22
41 413 32 2 2 2
( 3) ( 3) 4(1)( 8) 3 413 8 0
2(1) 2
0 1( ) ... 0 0constantes,...,, 10
1 2( ) ( )( )...( ) 0;
3 220 8 35 14 0
24 (5 2) 7(5 2) 0
2(5 2)(4 7) 0
2 2
2 725 4
725 2
7 725 2 2
(5 2)(4 7) 0 (5 2) 0 (4 7) 0
. . ; ;
Ejemplo 1.11:
,
III. ECUACIONES POLINÓMICAS
Ejemplo 1.12:
Soluc ión:
Dada la ecuación cuadrática donde
reemplazamos en la fórmula:
Son de la forma:
; con ;
Luego de factorizar podremos escribir en la forma:
con ,
Donde las raíces o soluciones son los (i=1..n) y se obtienen igualando cada factor
a cero.
Dado el polinomio de tercer grado . Hallar las raíces o
soluciones.
Factorizamos
x x a b y c
x x x
x x
nnP x a a x a x naaa
nP x x r x r x r x
ir
x x x
x x x
x x
x x x x
x x
x x
C S x
− − = = = − = −
− − ± − − − ±− − = ↔ = =
↔ = − − ∨ = − +
= + + + = ≠
= − − − = ∈
+ − − =
+ − + =
+ − =
{ }
−
−
−−
+ − = ↔ + = ∨ − =
= ∨ =
= ∨ = ±
= ∈
¡
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
18
0; , , 0
, ,
7 9 0
977 9 0
12 3 5
2312 3 5 12 8
23. .
2 13 5 6 8
10 12 5 130 8
3 130 8
54
54. . ;
1.2 INECUACIONES
Definic ión.-
1.2.1 INECUACIONES LINEALES
Ejemplo 1.13:
Una inecuación es una desigualdad que contiene una o más variables
llamadas incógnitas que sólo se verifica para determinados valores de las mismas.
Son de la forma:
Para hallar la solución se despeja la variable .
1) Resolver
C.S:
2) Resolver
3.- Resolver:
ax b a b a
x
x
x x
x
x
x x x
C S x
x x x
x x x
x
x
C S x
+ ≤ ∈ ≠
≥ < >
− ≤
− ≤ ↔ ≤
97∈ −∞;
− >
− > ↔ > ↔ >
]= ∈ ;+∞
− + ≤
− + ≤
≤
≤
= ∈ −∞
¡
]
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
19
2 0, 0, , ,
22 3 9 0
)00()00(0
3 32 2
(2 3)( 3) 0 (2 3 0 3 0) (2 3 0 3 0)
( 3) ( 3)
32; 3;
)()0( 2
22 3 9 0
2 3 9 92 16 16
2 3 9 92 16 8
23 814 8
2( ) 9 0
2( ) 9 0
2( )
32
3 32
3
1.2.2 INECUACIONES CUADRÁTICAS
Ejemplo 1.14:
Soluc ión:
Otro Método de Soluc ión:
Son de la forma:
Los métodos de solución se revisarán en los siguientes ejemplos.
Resolver la inecuación
Utilizamos las propiedades de los números reales:
(Según proposición III.XI )
El Conjunto solución es C. S: .
Completando cuadrados y utilizando las propiedades de meros reales
Si
Resolver la inecuación
ax bx c a a b c
x x
babaab
x x x x x x
x x x x
x
bababab
x x
x x
x x
x
+ + ≤ ≠ ∀ ∈
− − ≥
≤∧≤∨≥∧≥↔≥
− −
+ − ≥ ↔ + ≥ ∧ − ≥ ∨ + ≤ ∧ − ≤
↔ ≥ ∧ ≥ ∨ ≤ ∧ ≤
[∈ −∞ − ∪ + ∞
−<∨>↔>∧≥
− − ≥
− + − − ≥
− + − − ≥
− ≥
− −∨
¡
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
20
23 81 3 81 3 814 16 4 16 4 16
3 9 3 94 4 4 4
32
32
( ) ( ) ( )
( ) ( )
3
C. S: ; 3;
22 3 9 0
(2 3)( 3) 0
32 , 3
0
32C. S: ; 3; .
...)( 10 0constantes,...,, 10
;0))...()(( 21
32
3
+-+
Resolver la inecuación
Utilizamos el método de los puntos o valores críticos:
1º Factorizamos
2° Hallamos los valores críticos, igualando cada factor a cero:
3° Ubicamos los puntos críticos en la recta de los números reales, formandose
intervalos:
Se le da signos alternados “+” y ” -“ a los intervalos, empezando desde la derecha;
como la desigualdad es tomaremos como solución la unión de intervalos de
signos positivos.
Si tenemos una inecuación polinómica en una variable, ordenada de la forma:
; con ; la cual podemos escribir de la
forma: donde , (i=1..n)se llaman puntos o
valores críticos.
i) Estos valores críticos se hallan igualando parcialmente cada factor a cero.
[
− ≥ ↔ − ≥ ∨ − ≤ −
↔ − ≥ ∨ − ≤ −
↔ ≥ ∨ ≤ −
∈ −∞ − + ∞
− − ≥
+ − ≥
= − =
≥
[∈ −∞ − + ∞
+++= ≠
>−−− ∈
−
x x x
x x
x x
x
x x
x x
x x
x
nn xaxaaxP naaa
nrxrxrx x ir
U
U
¡
Otro Método de Soluc ión:
1.2.3 INECUACIONES POLINÓMICAS
Inecuac iones polinó micas de grado mayor o ig ual a 2 (fac torizables )
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
21
y
4 3 28 10 104 105 0
( 1)( 5)( 3)( 7) 0
( 1) 0, ( 5) 0, ( 3) 0, ( 7) 0
V.C.: 1, 5, 3, 7
0
. . ; 7 5;1 3;
+-+-+
-7 -5 1 3
ii) Los valores críticos los ubicamos en forma ordenada en la recta nu ca real
formando intervalos.
iii) A estos intervalos, se les asignará signos (+) y (-) en forma alternada, del extremo
derecho al izquierdo comenzando siempre por derecha.
i) Si la inecuación tiene el signo >, la solución estará dada por la unión de los
intervalos de signo “+” y si es los intervalos son cerrados.
ii) Si el signo es < , la solución es la unión de los intervalos de signo “-” y si tiene ,
los intervalos serán cerrados.
iii) Los extremos son considerados abiertos en la solución final.
iv) Los términos en “x” ( los coeficientes principales de cada factor) deberán ser
siempre positivos.
Factorizamos
Igualamos cada factor a cero:
Valores críticos
Como la desigualdad es , la solución será la unión de los intervalos “+”
.
Soluc ión de una inecuac ió n
Ejemplo 1.15:
Soluc ión:
≥
≤
∞+∞−
+ − − + ≥
− + − + ≥
− = + = − = + =
= = − = = −
≥
] ]= ∈ −∞ − − +∞
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
C S x U U
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
22
2 2( 8)(2 2 3)( 7) 0
2( 7) 0, , l 2( 8)(2 2 3) 0
2( 8) 0, (2 2 3) 0
2 2 78,
4
1 7 1 78, ,
2 2
1 7 1 72 2. . ; 8 ;
( )0, ( ) 0
( )
( ) ( )
...)( 10 0constantes,...,, 10
0 1( ) ... 0 1, , ..., constantes 0
1 2
1 2
( )( )...( )0,
( )( )...( )
( 1... )
-
-8 1 72
1 72
++-
Ejemplo 1.16:
Soluc ión:
1.2.4 INECUACIONES RACIONALES
x x x x
x x x x x
x x x
x x
C S x
P xQ x
Q x
P x y Q x
nn xaxaaxP naaa
mmQ x b b x b x mb b b
n
m
x r x r x r
x x x
ir j j m
+ + − + <
+ > ∀ ∈ + + − <
+ = + − =
− ±= − =
− − − + −
− − − += ∈ −∞ −
≥ ≠
+++= ≠
= + + + ≠
− − −≥
− − −
=
− − − +
Como a inecuación equivalente es
Para hallar los valores críticos hacemos:
V.C.=
Como la desigualdad es <0, la solución será la unión de los intervalos “-”
.
Las Inecuaciones Racionales en una variable, tienen la forma:
,
Donde son polinomios tales que.
; con ;
; con ;
Podemos factorizar y reemplazar en la inecuación:
Donde los (i=1…n) y se llaman valores críticos (V.C.)
¡
U
a a a
a
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
23
y
2
50
7 12
50
( 4)( 3)
Nota
Soluc ión de una inecuac ió n Racional
Ejemplo 1.17:
Soluc ión:
.- Los factores deben ser irreducibles y no se repetirán en el numerador y
denominador, de ser el caso simplificar un factor haciendo que sea diferente de
cero.
i) Los valores críticos se hallan de la siguiente forma:
- En el numerador igualando parcialmente cada factor a cero,
- En el denominador cada factor diferente de cero.
ii) Los puntos críticos los ubicamos en forma ordenada en la recta numérica real
formando intervalos.
iii) A estos intervalos, se les asignará signos (+) y (-) en forma alternada, empezando
desde el extremo derecho hacia el izquierdo.
i) Si la inecuación tiene el signo > o , la solución estará dada por la unión de los
intervalos “+” ( en el caso los valores críticos del numerador son cerrados es decir
son parte de la solución).
ii) Si el signo es < o , la solución estará dada por la unión de los intervalos “-” (en
el caso , los valores críticos del numerador serán cerrados).
iii) Los extremos son considerados abiertos en la solución final.
iv) Los coeficientes principales de cada factor en x deberán ser siempre positivos.
Hallar el conjunto solución de la inecuación
Factorizamos:
≥
≥
≤
≤
∞+∞−
+≤
− +
+≤
− −
x
x x
x
x x
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
24
5 0 5 4 0 4
3 0 3
. . 5, 3, 4
. . ; 5 3;4
2
2
( 3) (2 )0
( 4)( 4)
2
2
( 3) ( 2)0
( 4)( 4)
2 4 ( 2)( 2) 2( 3) 0,
( 2)0; ( 3) 0
( 4)( 2)( 2)
( 2)1
0; ( 3) 0; ( 2) 0( 4)( 2)
10; 3; 2
( 4)( 2)
4 0 4
2 0 2
. . 4, 2
-
-5 3 4
++
+-
Hallamos los valores críticos:
Númerador: (V.C.cerrado) Denominador (V.C. abierto)
Hallar el conjunto solución de las siguiente inecuación:
Multiplicamos por -1:
Factorizando y como , (ver la siguiente
nota) la inecuación queda como:
Simplificamos :
La inecuación equivalente es:
(i)
Númerador : (V.C. cerrado) Denominador (V.C. abierto)
x x x x
x x
V C
C S x
x x
x x
x x
x x
x x x x x
xx
x x x
x x xx x
x xx x
x x
x x
V C
+ = → = − − ≠ → ≠
− ≠ → ≠
{ }= −
]= ∈ −∞ −
+ −≥
+ −
+ −≤
+ −
− = − + + ≥ ∀ ∈
−≤ + =
+ − +
− ≤ + = − ≠+ +
≤ = − ≠+ +
+ ≠ → ≠ −
+ ≠ → ≠ −
{ }= − −
U
¡
Ejemplo 1.18:
Soluc ión:
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
25
4; 2 3 2
( )
( ) ( )
( ) 0 ( ) ( )
( ) 0
( ) ( )( ) 0
( )
( )( )0
( ) ( )
( ) 0
( )
( )( )0
( )( )( ) 0; 0 ( )
( ) 0; 0 ( )( ) 0; 0 ( )
( ) 0; 0
32
1
10
2 3
( 1)(3 ) (2 )0
(2 )(3 )2 24 3 2
0(2 )(3 )
22 2 30
(2 )(3 )22 2 3
0( 2)( 3)
. . 4, 2
-4 -2+
+-+
De (i),
Si encontramos un factor que se repite varias veces , decir si es el factor
que se repite p-veces, procederemos de la siguiente manera:
Tabla N° 1.1. Inecuaciones Racionales Vs. Potencia de un factor lineal
Inecuación
Factor
Inecuación
Equivalente
o
o
,
p: par
- Si p es impar en la práctica se puede considerar como la unidad y la inecuación no
se modifica..
Hallar el conjunto solución de las siguiente inecuación:
Por -1:
{ } { }∈ − − ∪ − −
+
+ ≤ + ≥
+ <
+<
+ >
+>
+ ≤ + = ≤ + = < + ≠ > + ≠
+<
−
+
+− <
− +→
+ + − −<
− +
+ + − +<
− +→
+ +<
− +
+ +>
− +
∴ = ∈ − −
x
px a
px a P x
Q x
px a P x
Q x
px a P x
Q x
p
P x
Q x x a
px a P x
Q x
p
P x
Q x x a
px aP xQ x x a P x
Q x x a P xQ x x a P x
Q x x a
x
x
x
x
x x
x x
x x x x
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
C S x
Nota:
Ejempo 1.19:
Soluc ión:
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
26
22 2 3 20 0
22 2 3 0;
10
( 2)( 3)
2 0 2
3 0 3
. . 3, 2
. . ; 3 2;
1
-3 2+
++ -
Analizamos el factor cuadrático , como el discriminante es
entonces , por lo que la inecuación equivalente quedaría
como:
Númerador : (cerrado) Denominador (abierto)
Un agricultor comprará fertilizantes que contienen tres nutrientes: A, B y C. Los
requerimientos mínimos semanales son 80 unidades de A, 120 de B y 240 de C.
Existen dos mezclas populares de fertilizante en el mercado. La mezcla I cuesta $4
por bolsa, con dos unidades de A, 6 de B y 4 de C. La mezcla II cuesta $5 por bolsa,
con 2 unidades de A, 2 de B y 12 de C. ¿Cuántas bolsas de cada mezcla debe
Comprar el agricultor para minimizar el costo de satisfacer sus requerimientos de
nutriente?1
Haeussler, Ernest F., Jr.; Paul, Richard S. y Wood Richard J. MATEMÁTICA PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA DECIMOSEGUNDA EDICIÓN, México: Editorial Pearson Educación, decimosegunda edición, 2008.
x x
x x x
x x
x x
x x
V C
C S x
+ + = − <
+ + > ∀ ∈
>− +
− ≠ → ≠
+ ≠ → ≠ −
{ }= −
∴ = ∈ −∞ − +∞
V
¡
U
1.2.5 PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE INECUACIONES
Ejemplo 1.20 : (Nutrientes en fertilizantes )
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
27
80
120
240
1 :
2 :
1 24 5
1 22 2 80
1 26 2 120
1 24 12 240
0, 1, 2
1 1 2: 2 2 80 1
2 1 2: 6 2 120 2
3 1 2: 4 12 240 3
Soluc ión:
Se plantea el problema de la siguiente manera:
Tabla N° 1.2 Mezclas Vs. Nutrientes
Mezcla
Nutrientes
Tipo Uno (I) Tipo Dos (II) Requerimiento
mínimo
A 2 2
B 6 2
C 4 12
Costo por bolsa (en dólares) $4 $5
Variables de decisión:
Sea número de bolsas a comprar de la mezcla I
Sea número de bolsas a comprar de la mezcla II
Función Objetivo: Minimizar
Sujeto a las siguientes restricciones:
Requerimiento mínimo semanal del nutriente del tipo A
Requerimiento mínimo semanal del nutriente del tipo B
Requerimiento mínimo semanal del nutriente del tipo C
Condiciones de no negatividad:
Se grafica las inecuaciones en el primer cuadrante, tomando como rectas:
luego de tabular (0;40),(40,0)
luego de tabular (0;60),(20,0)
luego de tabular (0;20),(60,0)
Luego se consideran las desigualdades.
Se intersectan los gráficos de las inecuaciones, teniendo como región factible el
conjunto convexo sombreado, cuya solución optima se en en uno de los
vértices.
≥
≥
≥
= +
+ ≥
+ ≥
+ ≥
≥ =
+ = ∈
+ = ∈
+ = ∈
x
x
Z x x
x x
x x
x x
ix i
L x x L
L x x L
L x x L
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
28
1
1 2
2 3
3
1 24 5
EjeY L
L L
L L
L EjeX
Z x x
I
I
I
I
: (0,60)
:(10;30)
:(30,10)
: (60,0)
Reemplazamos cada punto en la función objetivo Min. , obteniendo:
En el punto (0,60) implica que Z =300
En el punto (10;30) implica que Z =190
En el punto (30,10) implica que Z =170
En el punto (60,0) implica que Z =240
Observamos que la función objetivo alcanza su mínimo valor optimo en el punto
(30,10). Por lo tanto:
Tenemos plan de compra 30 bolsas de la mezcla I y 10 bolsas de la mezcla II, con
un costo mínimo óptimo de $170 dólares. Ver gráfico en la figura N°1.1.
Figura N° 1.1 Región factible no acotada
= +
0 9 1 8 2 7 3 6 4 5 5 4 6 3 7 2 8 1 9 0 9 9 1 0 8
0
6
1 2
1 8
2 4
3 0
3 6
4 2
4 8
5 4
6 0
6 6
7 2
7 8
: 2 x 1 + 2 x 2 = 8 0
: 6 x 1 + 2 x 2 = 1 2 0
: 4 x 1 + 1 2 x 2 = 2 4 0
P a y o f f : 4 x 1 + 5 x 2 = 1 7 0
O p t im a l D e c is io n s (x 1 ,x 2 ) : ( 3 0 , 1 0 )
: 2 x 1 + 2 x 2 > = 8 0
: 6 x 1 + 2 x 2 > = 1 2 0
: 4 x 1 + 1 2 x 2 > = 2 4 0
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
29
1 :
2 :
1 20.30 0.20
1 215 5 10500
1 240 20 30000
0, 1, 2
2
Ejemplo 1.21: “Control de contaminac ión”
Soluc ión:
Mode lo Matemático .
A causa de reglamentaciones federales nuevas sobre la minación, una compañía
química ha introducido en sus plantas un nuevo y más caro proceso para complementar o
reemplazar un proceso anterior en la producción de un químico en particular. El proceso
anterior descarga 15 gramos de dióxido de azufre y 40 mos de partículas a la atmósfera
por cada litro de químico producido. El nuevo proceso descarga 5 gramos de dióxido de
azufre y 20 gramos de partículas a la atmósfera por cada litro producido. La compañía
obtiene una utilidad de 30 y 20 centavos por litro en procesos anterior y nuevo,
respectivamente. Si el gobierno permite a la planta descargar no más de 10,500 gramos de
dióxido de azufre y no más de 30,000 gramos de partículas a la atmósfera cada día,
¿Cuántos litros de químico deben ser producidos diaria , por cada uno de los
procesos, para maximizar la utilidad diaria? ¿Cuál es la utilidad diaria?2
Variables de decisión:
Sea número de litros producidos en el proceso I
Sea número de litros producidos en el proceso II.
Función Objetivo:
F.O:
Sujeto a las siguientes restricciones:
Condiciones de no negatividad:
Haeussler, Ernest F., Jr.; Paul, Richard S. y Wood Richard J. MATEMÁTICA PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA DECIMOSEGUNDA EDICIÓN, México: Editorial Pearson Educación, decimosegunda edición, 2008.
x
x
MaxZ x x
x x
x x
ix i
= +
+ ≤
+ ≤
≥ =
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
30
3
Siguiendo los pasos de los ejemplos anteriores, determ la solución optima del
modelo matemático.
Solución (0,1500).
Una compañía de petróleos produce en sus refinerías gasóleo (G), gasolina sin
plomo (P) y gasolina súper (S) a partir de dos tipos de crudos, C1 y C2. Las
refinerías están dotadas de dos tipos de tecnologías. La tecnología nueva Tn
utiliza en cada sesión de destilación 7 unidades de C1 y 12 de C2, para producir 8
unidades de G, 6 de P y 5 de S. Con la tecnología antigua Ta, se obtiene en cada
destilación 10 unidades de G, 7 de P y 4 de S, con un gasto de 10 unidades de C1 y
8 de C2.
Estudios de demanda permiten estimar que para el próximo mes se deben producir
al menos 900 unidades de G, 300 de P y entre 800 y 1700 de S. La disponibilidad de
crudo C1 es de 1400 unidades y de C2 de 2000 unidades. Los beneficios por unidad
producida son:
Gasolina G P S
Beneficio/u 4 6 7
La compañía desea conocer cómo utilizar ambos procesos de destilación, q se
pueden realizar total o parcialmente, y los crudos disponibles para que el beneficio
sea el máximo.3
Ríos Insua, Sixto; Ríos Insua, David; Mateos, Alfonso y Martín, Jacinto. PROGRAMACIÓN LINEAL
Y APLICACIONES, México: Grupo editor Alfaomega S.A., 1998.
Ejemplo 1.22: “Des tilac ión de crudos ”
Soluc ión:
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
31
1
2
1 2 1 2 1 24(8 10 ) 6(6 7 ) 7(5 4 ) 1 2103 110
1 2. 103 110
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
.
7 10 1400 limitacion de crudo c1
12 8 2000 limitacion de crudo c2
8 10 900 demanda de G
6x +7x 300 demanda de p
5x +4x 1700 demanda de S
5 4 800 demanda de S
0 1, 2
Modelo Matemático
Variables de decisión:
Sea: El numero de destilaciones con
El número de destilaciones con
Observe que la función objetivo es maximizar el beneficio Z del producto destilado
Z= (beneficio por unidad de G X unidades producidas de G) + (beneficio por unidad
de P X unidades producidas de P) + (beneficio por unidad de S X unidades
producidas de S)
=
Función Objetivo:
Sujeto a las siguientes restricciones:
Luego presentamos el gráfico en la figura N°1.2 y la solución al problema.
=
=
= + + + + + +
= +
+ ≤
+ ≤
+ ≥
≥
≤
+ ≥
≥ =
x nT
x aT
z x x x x x x x x
f o MaxZ x x
i
S a
x x
x x
x x
x x
x i
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
32
Figura N° 1.2. Región factible acotada
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100110120130140150160170180190200
06121824303642485460667278849096102108114120x2
x1: 7 x1 + 10 x2 = 1400
: 12 x1 + 8 x2 = 2000
: 8 x1 + 10 x2 = 900
: 6 x1 + 7 x2 = 300
: 5 x1 + 4 x2 = 1700
: 5 x1 + 4 x2 = 800Payoff: 103 x1 + 110 x2 = 18975
Optimal Decisions(x1,x2): ( 138, 44)
: 7x1 + 10x2 <= 1400
: 12x1 + 8x2 <= 2000
: 8x1 + 10x2 >= 900
: 6x1 + 7x2 >= 300
: 5x1 + 4x2 <= 1700
: 5x1 + 4x2 >= 800
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
33
; si 0
; si 0
4 ( 4) 4 , 4 4 , 0 0
IR ;0 IRa; . .
0;
2 2 2 2 2, ( es la raíz cuadrada positiva de )
0
)y x y -( 0y y
(y 0 ( -y x y )
y)- x y x (y
1.3 EL VALOR ABSOLUTO
Definic ión.-
Propiedades de l valor abs oluto:
Teoremas de l Valor Abs oluto
El valor absoluto de un número se denota y se define de la
siguiente manera:
Por ejemplo:
1. 2. 3.- 4.-
5. 6. , desigualdad triangular.
7.-
Para la solución de ecuaciones:
1)
a) |x| 0
b) |x| = 0 x = 0
2) |x| = y y (x = y x = -y)
3) |x| = |y| (x = y x = -y)
4) |x| = |y| |x|² = |y|² : x² = y² : x² - y² = 0
Para la solución de inecuaciones:
5) |x|
6) |x|
7) |x|
IRx x
x xx
x x
aa aa aa a b a b
bb
a
b
ababa
x a x a a a a
x
y
∈
≥=
− <
− = − − = = =
∈∀≥ ∈∀≥ −= =
≠= +≤+
= → = ± =
∀ ∈
≥
↔
↔ ∧≥ ∨
↔ ∨
↔
≤≤∧≥↔≤
< ↔ > ∧ < <
≤∨≥↔≥
¡
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
34
y)- x y (x
2 29)
( )( ) 0
} ,amax
773 838 717
5 20 15
5 20 15 5 20 15 5 20 15
5 35 5 5
7 1
. . 1, 7
3 0
32
3 0 3 0
3
0 3 3 ( )
0 2 3 3
0 3 0( )
32
32
;0
;0
C. S.= .
8) |x| > y
10) Si
Las propiedades 7 y 8 de las inecuaciones son verdaderas
i) ii) iii)
Resolver
Resolver
<∨>↔
≤ ⇒ ≤
− + ≤
{<→<<
∀ ∈
<→<< <→<<− <→−<<−
− =
{ }
− = ↔ − = ∨ − = −
↔ = ∨ =
↔ = ∨ =
∴ = ∈
− + =
{ }{ }
{ }
− + = ↔ − + =
↔ − = −
↔ − ≥ ∧ − = − ∨ − = − −
↔ ≤ ∧ = ∨ − =
↔ ≤ ∧ = ∨ − =
] { }{ }] { }
∈ −∞ ∈ ∨ ∈
∈ −∞ ∈
∴ ∈
x y x y
x y x y
bxbxa
y
xx xx xx
x
x x x
x x
x x
C S x
x x
x x x x
x x
x x x x x
x x x x
x x falso
x x x
x x
x
¡
I
I
Ejemplo 1.23:
Ejemplo 1.24:
Soluc ión:
Ejemplo 1.25:
Soluc ión:
f
f
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
35
4312513
4312513
1 0 1
122 1 0 1 4
2 31, ,
433 4 0
1 2 1 3 4
2 ; 1
( 1) (2 1) (3 4)
120 1;
1 (2 1) (3 4)
1 42 31 ;
1 (2 1) (3 4)
432 ;
1 (2 1) (3 4)
-1 12
43
Ejemplo 1.26:
Soluc ión:
Resolver ………….( )
Hallamos los puntos críticos (igualando cada valor absoluto a cero)
Ubicamos los puntos críticos en la recta de los números reales, separando
intervalos:
Tabla 1.3. Signos de las expresiones lineales por intervalos
valor absoluto
Intervalos
-2+1= -1
2(-2)-1= -5
3(-2)-4= -10
0+1=1
2(0)-1= -1
3(0)-4= -4
1+1=2
2(1)-1=1
3(1)-4= -1
2+1=3
2(2)-1=3
3(2)-4=2
−=−−+
−=−−+
+ = ↔ = −
− = ↔ = { }→ = −
− = ↔ =
+ − −
− ∈ −∞ −
− + − − − −
∈ −+ − − − −
∈ + − − −
∈ +∞+ − −
xxx
xxx
x x
x x PC
x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
a
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
36
; 1
65
3( ( 1)) 5( (2 1)) (3 4)
3 3 10 5 3 4
10 12
; 1
1.
121;
3 18 2
3( 1) 5( (2 1)) (3 4)
3 3 10 5 3 4
16 6
1;
32 8.
1 42 3;
1 42 3
3( 1) 5(2 1) (3 4)
3 3 10 5 3 4
4 4
1 ;
3. 1
IV. Si 43 ; , en
6 45 3
3( 1) 5(2 1) (3 4)
3 3 10 5 3 4
10 12
;
Resolveremos analizando en los cuatro intervalos:
I. Si , en ( ):
II. Si , en ( ):
III. Si , en ( ):
( ):
x
x x x
x x x
x
x
C S
x
x x x
x x x
x
x
C S
x
x x x
x x x
x
x
C S
x
x x x
x x x
x
x
∈ −∞ −
− + − − − = − −
− − + − = − +
=
= ∉ −∞ −
=
∈ −
+ − − − = − −
+ + − = − +
=
= ∈ −
{ }=
∈
+ − − = − −
+ − + = − +
− = −
= ∈
{}=
∈ +∞
+ − − = −
+ − + = −
− = −
= ∉ +∞
a
f
a
a
a
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
37
4.
1 2 3 4
38
38
. . . . .
1
. ,1
3 2 5
3 74 2
3 2 5 5 0 ( 5) 3 2 5
5 ( 5 3 2 3 2 5)
5 ( 3 4 2 7)
5 ( )
3 74 2. ;
2 1 7
83
2 1 7 2 1 7 2 1 7
2 1 7 2 1 7
(2 1 7 2 1 7) ( 7 0 ( 7 2 1 7))
( 6 3 8) ( 7 ( 7 2 1 2 1 7))
( 6 ) ( 7 (2 8))
( 83
83
83
6 ) ( 7 ( ))
( 6 ) ( )
. . ; 6;
-5 34
72
C S
G
G
C S x C S C S C S C S
x
C S x
x x
x x x x x x
x x x x x
x x x
x x x
C S x
x x
x x x x x x
x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x
C S x
f
f f
f
f
=
{ } {}{ }
= ∈
= ∈
∴ = ∈
− ≤ +
−
− ≤ + ↔ + ≥ ∧ − + ≤ − ≤ +
↔ ≥ − ∧ − − ≤ − ∧ − ≤ +
↔ ≥ − ∧ − ≤ ∧ ≤
↔ ≥ − ∧ ≥ ∧ ≤
−= ∈
+ − ≥
−
+ − ≥ ↔ + − ≥ ∨ + − ≤ −
↔ + ≥ + ∨ + ≤ −
↔ + ≥ + ∨ + ≤ − − ∨ − ≥ ∧ − + ≤ + ≤ −
↔ ≥ ∨ ≤ − ∨ ≥ ∧ − + ≤ + ∧ + ≤ −
↔ ≥ ∨ ≤ ∨ ≥ ∧ ≤ ∧ ≤ −
↔ −
−
−
≥ ∨ ≤ ∨ ≥ ∧ ∈
↔ ≥ ∨ ≤ ∨ ∈
= ∈ −∞ +∞
−∨
Luego el conjunto solución total o general está dado por:
Resolver la siguiente inecuación:
Resolver la siguiente inecuación:
U U U
U U U
U
Ejemplo 1.27:
Soluc ión:
Ejemplo 1.28:
Soluc ión:
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
38
3 10
4
1 0 1
4 0 41, 4
Ubicamos los puntos críticos en la recta de los números reales, separando intervalos:
1 4
2 ; 1 -2+1= -1
( 1)
(-2)-4= -6
( 4)
0 1;4 0+1=1
1
(0)-4= -4
( 4)
5 4; 5+1=6
1
5-4=1
4
; 1 , en
1 14 4
3 ( ( 1)) 4 10 0 4 1 0 ; ;
( 4) 4
11 4. ; ; 1
1; 4 , en
1 12 2
3 ( 1) 2 10 0 2 1 0 ; ;
( 4) 4
-1 4
Ejemplo 1.29:
Soluc ión:
Resolver la siguiente inecuación: …….( )
Hallamos los puntos críticos, igualando cada factor a cero:
Tabla N°1.4. Signos de las expresiones lineales por intervalos
valor absoluto
Intervalos
i) Si ( ):
ii) Si ( ):
x x
x x
x x
x xPC
x x
x x
x x
x x
x
x x xx x x
x x
C S x x
x x xx x x
x x
− +≥
− +
+ = ↔ = −
− = ↔ ={ }→ = −
+ −
− ∈ −∞ −
− + − −
∈ −+ − −
∈ +∞+ −
∈ −∞ −
− −− − + +≥ → ≥ → + ≥ → ≥ ∈ +∞− − +
−= ∈ +∞ −∞ − = ∈
∈ −
− + −≥ → ≥ → − ≥ → ≥ ∈ +∞− − +
b
b
f
b
I
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
39
1 12 2 2. ; 1;4 ; 4
4; , en
3 ( 1) 2 10 0
( 4) 2 4
12; 2;
13 2. ; 2; 4; 4;
1 2 3
12
12
. . . .
; 4 4;
. ;
1,
.
1,
0 1, ,
, 1, ,
, 1, , ,
12
2
- ++
[= ∈ +∞ ∈ − = ∈
∈ +∞
− + −≥ → ≥
− + −
]∈ −∞ +∞
]( )= ∈ −∞ +∞ +∞ = ∈ +∞
[[
= ∈
= ∈ ∈ +∞
∴ = ∈ +∞
∈
= ↔ ≤ < + ∈
∈ = ↔ ∈ ≤ < + ∀ ∈
≤ − < ∀ ∈ = + = + ∈
− = − ∈ ≤ ↔ < + ∈ < ↔ < ∈
≥ ↔ ≥ ∈ > ↔ ≥ + ∈ ∀ ∈ ≤ ↔ ≤
C S x x
x
x x x
x x x
x
C S x x
G
G
C S x C S C S C S
x x
C S x
x x
x
x n n x n n
x
x x x x x x x x
x x x x x x n x n n
x n x n n x n x n n x n x n n
x n x n n x n x n n x y x y x y
I
U
U I
U U
U U
¡ § ¨
§ ¨ ¢
§ ¨ ¢ § ¨ ¢ § ¨ § ¨ ¡
§ ¨ ¡ § ¨ § ¨© ¬« ® § ¨ § ¨ ¢
§ ¨ § ¨ ¢ § ¨ ¢ § ¨ ¢
§ ¨ ¢ § ¨ ¢ § ¨ § ¨¡
iii) Si ( ):
El máximo entero de un número “ ”, se denota como y es el mayor de todos
los enteros menores o iguales a , es decir:
El máximo entero es el entero más próximo que está a la izquierda de
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
10.
11. 12.
b
f
1.4. MAXIMO ENTERO
Definic ión:
Propiedades de l máximo entero.
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
40
2 3 2 2
2 23 2 2 2 3 2 3
2 22 3 2 3 2 3
2 23 4 0 3 5 0
2
3 29 3 292 2
( 4)( 1) 0 3 5 0
1, 4 ,
; 1 4 ; 3 29 3 292 2,
. . 1.19; 1 4; 4.19
3 15 11
3 15 11 3 15 12
1
. . ; 1
2 3 4 5,
1 4
+-+ +-+
3 292
3 292
Ejemplo 1.30:
Soluc ión:
Ejemplo 1.31:
Soluc ión:
Ejemplo 1.32:
Resolver la ecuación
Resolver la siguiente inecuación
Resolver la siguiente ecuación
x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
pc pc
x x
C S x
x
x x
x
C S x
x x x
− − =
− − = ↔ ≤ − − <
↔ ≤ − − ∧ − − <
↔ − − ≥ ∧ − − <
{ } { }− +
↔ − + ≥ ∧ − − <
= − =
] [( )∈ −∞ − +∞ ( )− +∈
]∴ = ∈ − −
+ ≤
+ ≤ ↔ + <
↔ < −
∴ = ∈ −∞ −
− = + ∀ ∈
− − +
© ¬ª « ®
© ¬ª « ®
U I
U
§ ¨
§ ¨
§ ¨ ¡
I
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
41
2 3 4 5
4 5 4 5 2 3 4 6
5, 4 5 2 3 2 3 4 6
45 9
, 44 2
5 9, 4
4 2
9 54
2 4
18 5 16
13 11
12 11
1712
411 4
17. . , 4
4
Soluc ión:
§ ¨¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
{ }
{ }{ }
− = +
+ = ∈ ∈ ∧ + ≤ − < +
−= ∈ ∧ + ≤ − ∧ − < +
− = ∈ ∧ ≤ − ∧ − <
− = ∈ ∧ − < ≤ −
− ∈ ∧ − < ≤ −
∈ ∧ − < − ≤ −
∈ ∧ − < ≤ −
= − ∨ −
− = − → =
= − → = −
− ∴ = ∈ −
x x
x n x x x
nx n x x x x
nx n x x
nx n x
nn
n n
n n
n
Si n x
Si n x
C S x
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
42
1 2, 21
2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1
2
1 1 1( , )
2 2 2( , )
CAPÍTULO II
2.1 VECTORES EN EL PLANO
2.1.1 Definic ión:
2.1.2 Repres entac ión Geo métrica:
En el presente capítulo se desarrollará el tema de vectores en el plano y el espacio,
resaltando su importancia en la física, se presentaran aplicaciones a áreas y
volúmenes. Se desarrollan los siguientes ítems:
2.1. Vectores en el plano
2.2. Vectores en el espacio.
Consideremos dos puntos , el segmento de recta dirigido de (punto
inicial) a (punto final) se denota por , luego al segmento dirigido se le
llama vector de a y se denota por: .
La dirección del vector está determinada por el ángulo que forma el vector
con la parte positiva del eje , medida en sentido antihorario y con lado inicial al eje
.
Figura N°2.1.Representación Geométrica de un vector en el plano
P P P
P PP PP
P P a PP
PP
X
X
x x
y
y
P x y
P x y
a
X
Y
∈
=
¡
uuur uuur
r uuur
uuur
r
q
q
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
43
1 2 12
2 2 1 1 = ( , ) ( , )
2 1 2 1 = ( , )
De donde se deduce que el punto final es: 2 1 y el punto inicial 1 2 .
(6, 4) (2, 1)
( , )
( , ) (2, 1) (6, 4)
( , ) (8, 5)
Figura N°2.2. Gráfico del vector (6, 4)
(0,0) 2-1
8
-5
(6, 4)
Las coordenadas de un vector, se calculan mediante:
Dado el vector , cuyo punto inicial es , hallar el punto final y
graficar.
Sea el punto final del vector, entonces el vector se puede denotar como:
De donde las coordenadas del punto final son:
a PP P P
a x y x y
a x x y y
P P a P P a
v A
B m n
v AB B A
B A v
m n
m n
v
X
Y
v
= = −
−
− −
= + = −
= − −
= = −
= +
= − + −
∴ = −
= −
= −
r uuur
r
r
r r
r
r uuur
r
r
r
Ejemplo 2.1:
Soluc ión:
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
44
( , ) ( , )
( , )
2 2( , )
0
. .
2 .
2 2 2 2 .
( , )
(0, 0)
( , )
(0, 0)
2.1.3 Vector pos ic ión o radio vec tor
2.1.4 Módulo o Norma de un vector:
Propiedades :
:
Está determinado mediante el punto inicial el origen de coordenadas y como punto
final cualquier punto del plano cartesiano, entonces el vector = .
Figura 2.3. Vector Posición
Es la longitud o el tamaño de un vector , se denota y se define como:
Figura 2.4. Modulo de un vector
i)
ii)
iii)
iv)
P a b v a b OP
v x y
v x y x y
v
r v r v
v v v
u v u v u v
X
P x yv
Y
X
P a b
v
Y
=
=
= = +
≥
=
=
± = + ±
r uuur
r
r
r
r r
r r r
r r r r r r
r
r
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
45
( 3,4)2 2( 3, 4) 3 4 5
1 2 1 2, y ,
1 2 1 2 1 1 2 2. , . ,
4, 3 (6,5) , el producto escalar es:
. 4,3 .(6, 5) 24 15 9 .
El producto punto es conmutativo: . .
: :
Ejemplo 2.2:
2.1.5 Producto Punto o Es calar de dos vec tores :
Ejemplo 2.3:
2.1.6 Suma de Vectores
El módulo del vector es .
Consideremos los vectores , se define el producto punto
como:
Sean los vectores
Figura 2.5. Suma de vectores Figura 2.6. Resta de vectores
v v
u u u v v v
u v u u v v u v u v
u y v
u v
u v v u
u v v u
uv
v
uu v
X
Y
X
X
Y
uv
u
v
v u
= − ( )= − = − + =
( ) ( )= =
( ) ( )= = +
( )= − =
( )= − = − + = −
=
+ −
+ −−
r r
r uuur
r r
r r
r r
r r r r
r r r r
rr
r
rr r rr
r
r
r r
Observación:
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
46
:
1
.(cos , ) (cos , )
cos.(cos , );
( , )
(0, 0)
: es el ángulo de inclinación del vector con respecto al eje .
u v
u u
aa a u u
a
a u a
a a sen u sen
x r
y r sena r sen donde r a
X
X
a x ya
Y
aX
x
y
uv
v
uu v
X
Y
−
=
= → =
= =
=
== =
=
−−
r r
r r
rr r r r
r
r r r
r r r
r r
rr
r
rr
r
rr r
Figura 2.7. Otra forma de Restar de vectores
Un vector será unitario si su módulo es uno, es decir .
Todo vector del plano, se puede expresar como:
Si el vector tiene vector unitario , entonces todo vector paralelo a dicho vector
tendrá el mismo vector unitario.
Se cumple que ; donde el vector unitario es
En la figura:
, entonces .
Figura N° 2.8. Representación de un vector mediante el ángulo de inclinación
respecto a .
2.1.7 Vector Unitario
q q q q
q
qq q
q
q
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
47
9
99 (300º ) 9 (30º )
2
99 (300º ) 9cos(30º ) 3
2
.(cos , )
9 9( , 3)2 2
, ,
12
2 :
3 :
24 : , !0 / 0 0
0 (0; 0)
EO
S
30º
N
Ejemplo 2.4:
Soluc ión:
Propiedades :
Sea el vector cuya dirección es 30º sur –este (S - E) y cuyo módulo es 9. Hallar
sus coordenadas:
Figura 2.9. Interpretación geométrica del ejemplo 2.4
El módulo del vector se denota
Luego el vector se obtiene de la siguiente forma
Sean los vectores ; escalares reales:
: . Cerradura.
. Conmutativa.
. Asociativa.
. Existencia del elemento neutro.
Donde es el vector nulo.
v
v
x Cos sen
y Sen
a a sen
v
a b y c r s
A a b
A a b b a
A a b c a b c
A a a a a
y v
x
r
r
r r
r
r r r
r r¡
r r r r
r r r r r r
r r r r r r r¡
r
r
=
= = =
= = − = −
=
= −
+ ∈
+ = +
( ) ( )+ + = + +
∀ ∈ ∃ + = + =
=
q q
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
48
2 25 : , !( ) / ( ) ( ) 0
21 :
2 : 1. , 1
1 : ( )
2 : ( ) . .
3 : ( . ) ( ).
2, 0
. .
0 :
0 :
2, // .
(0, 0)(0,0)
00
A a a a a a a
M sa
M a a
D r a b ra rb
D a r s a r a s
D r s a rs a
a b
a b b a
a b a b
X
a
Y
a
X
Y
a a
a
∀ ∈ ∃ − ∈ + − = − + =
∈
= ∈
+ = +
+ = +
=
∈ ≠
= ∨ =
>
<
∈
<>
r r r r r r r¡ ¡
r¡
r r¡
r r r r
r r r
r ur
r r¡
r r r r
r r¡
r ur
r r r r
r
. Existencia del elemento inverso.
Multiplicación por un escalar:
Distribución:
Dos vectores no nulos son paralelos si existe tal que
.
Si los vectores paralelos tienen el mismo sentido.
Si los vectores paralelos tienen sentidos opuestos.
Figura 2.10. Representación geométrica de vectores paralelos
Si dos vectores son paralelos, se denota o escribe como
2.1.8 Vectores parale los :
Definic ión:
Notac ión:
a
a a
a
a
a a
a aa
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
49
(12;7) y (2 ; 6) .
// .
(12;7) (2 ;6)
12 2 y 7=6
76 y =
636 / 7
7 72 726 7 7
(12; 7) ( ;6) y ( ;6)
2, 2
, .
21 2( , )
(1, 0) y (0,1) 1 2
.
Ejemplo 2.5:
Soluc ión:
2.1.9 Combinac ión Lineal entre Vectores
Propos ic ión:
Nota:
Dados los vectores paralelos . Hallar el valor de
Como
Luego:
Luego los vectores paralelos son .
Dados dos vectores no nulos y no paralelos, entonces todo vector
se puede escribir de modo único en la forma , donde
Figura 2.11. Combinación lineal de vectores
Todo vector se puede escribir en términos de los vectores
fundamentales , es decir , como mostraremos a
continuación:
a b m m
a b a b
m
m
m
m
a b
a b c
c r a sb r s
a a a
i j a a i a j
ba X
Y
c
r a
s b
= =
→ =
=
=
=
→ =
= = =
∈ ∈
= + ∈
= ∈
= = = +
r r
r r r r
r r
r r¡
r¡
r r r¡
r¡
r r r r r
rr
r
r
r
a
a
a a
a a
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
50
1 2 1 2 1 2 1 2( ; ) ( ; 0) (0; ) (1; 0) (0;1)
1 2
(5; 8) 5 8 (5; 8)
21 2( , ) 2 1( ; )
2,
bProy
2b
.Proy .
(0,0)
a a a a a a a a i a j
a a i a j
v v i j
a a a a a a a
a
a
a b a
b a
a ba b
b
Xa
Y
a
= = + = + = +
= +
= − = + − = −
= ∈⊥
= −
⊥
∈
=
⊥
r r r
r r r
r r r r
r¡
r r
r
r
r r¡
r
rrr
r
r rr r
rr
Ejemplo 2.6:
Definic ión:
2.1.10 Proyecc ión ortogo nal
Definic ión.-
El vector se puede expresar como
Dado , definimos vector ortogonal de .
Figura 2.12. Vector ortogonal
Observamos que el vector tiene una orientación en sentido antihorario con
respecto al vector .
Dados los vectores no nulos la proyección ortogonal de en
la dirección del vector , se denota y se define como:
A continuación daremos más detalles al respecto:
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
51
. .
. . . . .
2. .
2
.
2
.. .
.
2b
. =Proy .
2
.. =Proy .
. .b
Proy Proy
.
Figura 2.13. Proyección Ortogonal de vectores
Como el vector se puede expresar
Multiplicamos por
Multiplicamos por
es la proyección ortogonal del vector de en la dirección del vector ,se denota
:
Mediante un desarrollo análogo se obtiene la proyección ortogonal del vector
en la dirección del vector , es decir:
Luego se expresa como:
a a r b s b
b a b r b b s b b
a b r b
a br
b
ba b
r b bb
r b a b
a brb a b
b
a b
b
a bs b a b
b
a r b s bb
a a a
b bX
Y
a
rb
b
s b
r r r r
r r r r r r r
r r r
r r
r
rr r
r rr
r r r
r
r ruur r r
r r
r
r rr r r
r
r r rr r
r r r
r r
r
r
r
r
⊥= +
⊥= +
=
=
=
=
⊥
⊥
⊥⊥ ⊥
⊥=
⊥= + ⊥= +
⊥
⊥
⊥
:
:
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
52
b y Proy
b y Proy
b90º Proy 0
2
c c cProy ( ) Proy Proy , , , ; c 0
b bProy ( . ) .Proy ,
2b
.Proy .
bProy
bProy
Obs ervac iones :
2.1.11 Componente de un vector
i) Si es un ángulo agudo, tienen el mismo sentido.
Figura 2.14. Proyección ortogonal Observación (i)
ii) Si es un ángulo obtuso tienen sentidos opuestos.
Figura 2.15. Proyección ortogonal Observación (ii)
iii) Si .
Propiedades de la proyección:
i)
ii) ,
Sea el vector proyección ortogonal:
q
q
q
q
q
b a
b a
a
a b a b a b c
t a t a t
a ba b
b
b X
Y
a
a
bX
Y
a
a
rr r
rr r
rr r
r r rr r r r r urr r r
¡
r rr r
¡
r
r rr r
r
r
rr
r
r
rr
= ⇒ =
+ = + ∈ ≠
= ∈
=
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
53
b
.Proy . .
bProy
b
.
2
c c c( ) , , , ; c 0
b bCp ( . ) . , .
2,
Proy
.1 1 1. . . .
2 2 2 2
1. .
2
h
a b ba
b b
b
b
a b
b
a
a ba b
Cp ab
Cp a b Cp a Cp b a b c
t a t Cp a t
a b
b bh a Cp a
b
a bbA b h b Cp a A a b
b
A a b
b b
X
Y
a
b
=
=
+ = + ∈ ≠
= ∈
∈
⊥ ⊥= =
⊥
⊥
⊥
⊥= = → = =
⊥=
⊥
⊥
r
r r rr
r r
r
r
r r
r
rr
r rr
r rr
r
r r rr r r r r urr r r
¡
r rr r
¡
r r¡
r r
r r
r
r rrr r r r r
r
r r
r r
r
r
; donde es el vector unitario, entonces nos proporciona
la medida o longitud del vector , el cual recibe el nombre de “Componente del
vector en la dirección de ”, se denota como: .
Propiedades de la Componente de un vector:
i)
ii)
Dados los vectores no nulos , como en la siguiente figura:
Figura 2.16. Aplicación de Proyección ortogonal: áreas
Sea la altura
El área del triángulo es
2.1.12 Aplicac ión a las áreas
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
54
.
( 3;7), B(4;9), C(8;5) y D(12;-4)
(4;9) ( 3; 7) (7; 2)
(8;5) ( 3; 7) (11; 2)
(12; 4) ( 3;7) (15; 11)
21
1 1 1. (7; 2).(2;11) 14 22 18
2 2 2291
2 2
1 1 1. (11; 2).(11;15) 121 30
2 2 2291 127
1 2 2 218
)7;18(y )2;3(
103 104
)3;6( .y
( 3;7)
C(8;5)
D(12;-4)
1
2
B(4;9)
El área del paralelogramo comprendido por los vectores está dado por:
.
Hallar el área del cuadrilátero ABCD que tiene como vértices los puntos
.
Figura 2.17. Gráfico del ejemplo 2.7
Luego el área del cuadrilátero es
Dados los vértices de un trapecio isósceles , la longitud del
segmento es , la altura del trapecio es y la altura bajada desde el
vértice se intersecta con el lado en el punto . Hallar los vértices
a y b
A a b
A
a AB B A
b AC C A
c AD D A
A a b
A b c
TA A A
DA ABCD
BC
B AD P CB
X
AA
A
Y
r r
r r
r uuur
r uuur
r uuur
r r
r r
⊥=
−
= = − = − − =
= = − = − − = −
= = − = − − − = −
⊥= = = + =
⊥= = − = − =
= + = + =
−
Ejemplo 2.7:
Soluc ión:
Ejemplo 2.8:
m
m
m
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
55
103
104 )7;18(
105 )5;15(
)5;15(105
1
)1;3(10
1)3;1(
10
1
)3;1(10
1.104)3;6(.104)3;6( )15;2(
)1;3(10
1.103)15;2(.103)15;2(
)18;11(
10
10
)2;3()3;6(
Soluc ión:
B
D
ADAD
AD
AD
AD
B B
C
C
X
Y
AP
C
Figura 2.18. Gráfico del ejemplo 2.8.
Formamos el vector
El vector unitario en la dirección del vector es
, entonces su vector ortogonal es
Luego el punto , entones
Luego hallamos el punto , entonces
.
=→=→→
→
==→
→→
=→
−=⊥→
−+=+=⊥→
=
+=+=→
=
m
m m
m
m
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
56
31 2 3 1 2 3( , , ) /
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ) ( , , )
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ) ( , , ) ( , , )
1 2 3 1 2 3( , , ) ( , , )
1 2, 31
2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 1 1( , , )
2 2 2 2( , , )
2.2. VECTORES EN EL ESPACIO
2.2.1 Definic ión:
2.2.2 Repres entac ión Geo métrica:
Sea el conjunto
Definimos la igualdad de tripletas ordenadas:
Definimos la suma de tripletas ordenadas:
Definimos el producto de un escalar por una tripleta ordenada:
, donde es un escalar.
Consideremos dos puntos , el segmento de recta dirigido de (punto
inicial) a (punto final) se denota por , luego al segmento dirigido se le
llama vector de a y se denota por: .
Figura N° 2.19. Representación geométrica de un vector en el espacio.
{ }= ∈ ∧ ∈ ∧ ∈
= ≡ = ∧ = ∧ =
+ = + + +
=
∈
=
a a a a a a
a a a b b b a b a b a b
a a a b b b a b a b a b
k a a a ka ka ka k
P P P
P PP PP
P P a PP
P x y z
P x y z
Y
X
a
Z
¡ ¡ ¡ ¡
¡
uuur uuur
r uuur
r
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
57
1 2 12
2 2 2 1 1 1
2 1 2 1 2 1
= ( , , ) ( , , )
= ( , , )
2 1 1 2
3, ,
13
2 :
3 :
3 34 : , !0 / 0 0
0 (0;0; 0)
3 35 : , !( ) / ( ) ( ) 0
1 2 3( ; ; )
31 :
2 : 1. , 1
1 : ( )
2 : ( ) . .
3 : ( . ) ( ).
Las coordenadas de un vector, se calculan mediante:
De donde se deduce que el punto final es: y el punto inicial .
Sean los vectores y escalares reales:
: . Cerradura.
. Conmutativa.
. Asociativa.
. Existencia del elemento neutro.
Donde es el vector nulo.
. Existencia del elemento inverso
aditivo, donde
Multiplicación por un escalar:
Cerradura
Distribución:
a P P P P
a x y z x y z
a x x y y z z
P P a P P a
a b y c r s
A a b
A a b b a
A a b c a b c
A a a a a
A a a a a a a
a a a a
M sa
M a a
D r a b ra rb
D a r s a r a s
D r s a rs a
= = −
−
− − −
= + = −
∈
+ ∈
+ = +
( ) ( )+ + = + +
∀ ∈ ∃ ∈ + = + =
=
∀ ∈ ∃ − ∈ + − = − + =
− = − − −
∈
= ∈
+ = +
+ = +
=
r uuur
r
r
r r
r r r¡
r r¡
r r r r
r r r r r r
r r r r r r r¡ ¡
r
r r r r r r r¡ ¡
r
r¡
r r¡
r r r r
r r r
r ur
Propiedades :
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
58
3
1 2 3( , , )
2 2 21 2 3 1 2 3( , , )
0
. .
2 .
0 0 (0;0;0)
(3, 2, 1)
(5,4, 2)
(5, 4,2) (3, 2, 1)
(2,6,3)
(2,6,3)
2 2 2(2, 6, 3) 2 6 3 7
2.2.3 Módulo o Norma de un vector en :
Propiedades :
Ejemplo 2.9:
Soluc ión:
¡
r
r
r
r r
r r r
r r r
r r r r
r uuur
r uuur
r
r
r
Es la longitud o el tamaño de un vector , se denota y se define como:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
Hallar el módulo del vector que tiene como punto de inicio y como punto
final .
1º Sea el vector
2º Hallamos las coordenadas del vector:
3º El módulo del vector es:
a a a a
a a a a a a a
a
r a r a
a a a
a a
a b a b
A
B
v AB
v AB B A
v
v
v
=
= = + +
≥
=
=
= ↔ = =
± ≤ +
− −
=
= = − = − − −
=
=
∴ = = + + =
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
59
31 2 3( ; ; )
, ,
1 2 3, ,
( ; ; )
2 2 2 1
3 1
3a es el
vector unitario de . .
1
2
3
2.2.4 COSENOS DIRECTORES
2.2.5 VECTOR UNITARIO
Sea el vector
Figura N° 2.20. Representación de los cosenos directores
Donde: son los ángulos que forma el vector con los ejes positivos de X,Y y
Z respectivamente.
Los cosenos directores son:
Todo vector se puede expresar como:
Se cumple:
Un vector no nulo será unitario si su módulo es uno, es decir .
Todo vector , se puede expresar como: , donde
Si el vector tiene vector unitario , entonces todo vector paralelo a dicho vector
tendrá el mismo vector unitario.
a a a a
a
a a aCos Cos Cos
a a a
a a a Cos Cos Cos
Cos Cos Cos
u u
a aa
a a u ua
au
a
a au a
Y
X
a
a
a
a
z
= ∈
= = =
=
+ + =
∈ =
∈ = → =
r¡
r
r r r
r r r
r¡
r
r¡ r r
rr r r r
r rr
r
rr
r r
r
a b g
a b g
a b g
a b g
ag
b
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
60
3
1 2 3( ; ; )
1 2 3 = ( ;0;0) (0; ; 0) (0; 0; )
1 2 3 = (1; 0; 0) (0; 1; 0) (0; 0; 1)
1 2 3 =
(1; 0; 0), (0; 1; 0) , y
(0; 0; 1) .
3, 0
. .
0 :
0 :
2.2.6 Vectores unitarios fundamentales
2.2.7 Vectores parale los :
Definic ión.-
Cualquier vector se puede expresar como una combinación lineal de los
vectores unitarios fundamentales, es decir:
Sí
Donde los vectores unitarios fundamentales son:
Figura N° 2.21. Vectores unitarios fundamentales
Dos vectores no nulos son paralelos si existe tal que
, .
Si los vectores paralelos tienen el mismo sentido.
Si los vectores paralelos tienen sentidos opuestos.
a
a a a a
a a a
a a a
a a i a j a k
i j
k
a b
a b b a
Y
X
i
j
k
Z
∈
=
+ +
+ +
+ +
= =
=
∈ ≠
= ∨ = ∈
>
<
r¡
r
r r r r
r r
r
r r¡
r r r r¡
r
r
r
a
a a a
a
a
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
61
3, // .
1 2 3( ; ; ) 1 2 3( ; ; )
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 ( ; ; ) ( ; ; ) + +
3, ,
y
,
0 y 0
y
por x
por x
1 2 3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2
1 2 3
x ( ) ( ) ( )
Notac ión:
Propiedades :
2.2.8 Producto Vectorial
Definic ión:
Si dos vectores son paralelos, se denota o escribe como
Producto punto o escalar
Sean los vectores y definimos el producto punto o
escalar como
Sean los vectores se cumplen las siguientes propiedades:
i)
ii)
iii) Si son vectores no colineales y el ángulo comprendido entre ellos:
Sean los vectores no nulos , no colineales entonces existe un vector
ortogonal a ambos tal que: ; éste vector se obtiene a partir de
los vectores mediante una operación que se denomina el producto vectorial
, se denota .
El producto vectorial , se denota , y se define como:
a b a b
a a a a b b b b
a b a a a b b b a b a b a b
a b c
a b b a
a b c a b a c
a b
a bCos
a b
a b c
a c b c c
a b
a b c a b
a b a b
i j k
a b a a a i a b b a j b a a b k a b b a
b b b
∈
= =
⋅ = ⋅ =
∈
⋅ = ⋅
( )⋅ + = ⋅ + ⋅
⋅=
⋅ = ⋅ =
=
= = − + − + −
r r¡
r ur
r r
r r
r r r¡
r r r r
r r r r r r r
r r
r r
r r
r r r
r r r r r
r r
r r r r r
r r r r
r r r
r r r r r
q
q
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
62
x x
x x
x = 0
x
3, ,
x
x
x
x
Figura N° 2.22. Representación del producto Vectorial
i)
ii)
iii)
iv)
Sean los vectores las aristas adyacentes del paralelepípedo:
Figura N° 2.23. Paralelepípedo
EL volumen del paralelepípedo está dado por:
Propiedades :
2.2.9 Volumen de l parale lepípedo
a b b a
a b b a
a a
a b a b Sen
a b c
pV h bxc
b c
c
a
b
hb x caCp
b c
a
b
a b
b
aa b
≠
= −
=
∈
= ⋅
r r r r
r r r r
r r r
r r r r
r r r¡
r r
r r
r
r
r
r r
r
r r
r
r
r r
r
rr r
a
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
63
1
2
1 2 3
1 2 3
1 2 1
Se cumple:
p bxcV a bxcCp
p
a bxcV bxc a bxc
bxc
pV a bxc
a y b
a y b
A a b Sen a x b
a y b
A a x b
a a a
a bxc b b b
c c c
a bxc c axb b cxa
b
a
b Sen
= ⋅
( )⋅
= ⋅ = ⋅
( )= ⋅
= ⋅ =
=
( )⋅ =
( ) ( ) ( )⋅ = ⋅ = ⋅
⋅
r rr r r
r r rr r r r r
r r
r r r
r r
r r
r r r r
r r
r r
r r r
r r r r r r r r r
r
r
r
2.2.10 Área de l parale logramo :
Dados los vectores
Figura N° 2.24. Paralelogramo
El área del paralelogramo formado por los vectores , está dado por:
El área del triángulo formado por los vectores , está dado por:
Triple producto escalar:
q
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
64
1
6
)9;3;1(D),1;8;3(C),1;6;5( ),0;4;2(
)0;4;2(
)1;6;5(
)1;8;3(C
)9;3;1(D
2.2.11 Volumen de l te traedro :
Ejemplo 2.10:
Soluc ión:
Figura N° 2.25. Tetraedro
El volumen del tetraedro está dado por:
Hallar el volumen y graficar el tetraedro que tiene como vértices
.
A continuación graficamos en el espacio tridimensional:
Figura N° 2.26. Grafico del ejemplo 2.10
( )= ⋅
−−−−
−
−
−
−
TV a bxc
BA
Z
YA
B
X
b
a
c
X
Y
Z
r r r
r
r
r
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
65
)1;10;3( )1;12;5( )9;7;3(
1
6)1;10;3()1;12;5().9;7;3(
61
)3650()35()1012(103
125
13
15
110
112
1103
1125
)86;2;22(
86;2;22).9;7;3(61
1 166 14 774 722
6 6
3
3361
Luego hallaremos los vectores que se encuentran como aristas que parten de un
vértice:
, ,
Luego el volumen del tetraedro está dado por:
, sustituimos los vectores
El producto vectorial se calcula de la siguiente manera:
−==→→
−==→→
−==→→
( )= ⋅ ( )−−−=
−−+−−−−=−
+−
−−
−=
−
−=→→→→→→
→→→
→→
−−−=→→
( )−−−−=
= − − = −
=
ABc ACb ADa
TV a bxc xVT
kjikji
kji
cxb
cxb
TV
TV
TV
r r r
m
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
66
'
' '
'
( ; ) se ubica en el eje se ubica en el
eje ; es decir:
CAPÍTULO III
3.1. S is tema de coordenadas cartes ianas .
En el presente capítulo se desarrollará una introducción a la geometría analítica
desarrollaremos temas como la recta y las cónicas; Como aplicación de las cónicas
veremos ejercicios acerca de sistemas de navegación por radio, también
estudiaremos la importancia de los modelos lineales en el estudio del dióxido de
carbono en la atmósfera. Se desarrollarán los siguientes ítems:
3.1. Sistema de coordenadas cartesianas.
3.2. La Recta.
3.3. La Circunferencia
3.4 Transformación de Coordenadas
3.5 Las Cónicas
3.6 La Parábola
3.7 La Elipse
3.8 La Hipérbola
El Sistema de coordenadas en el plano, es el sistema de coordenadas
rectangulares, este sistema está conformado por dos rectas dirigidas y
, llamadas ejes de coordenadas, perpendiculares entre La recta se
conoce como eje o eje de las abscisas y la recta se conoce como eje o eje
de las ordenadas; el punto de intersección es el origen O(0;0). Estos jes
coordenados dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes, en el cual la
dirección positiva del eje es hacia la derecha y la dirección positiva del eje es
hacia arriba.
A cada punto del plano coordenado le corresponden uno y solamente un par de
coordenadas o par ordenado , donde e
X X
Y Y X X
X Y Y Y
X Y
P
x y x X y
Y
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
67
( ; ) ( ; ) ( ; )
( ; ) ( ; ) ( ; )
( ; ) ( ; ),
1 1 1( ; ) 2 2 2( ; )
2 21 2 1 2 2 1 2 1( , ) ( ) ( )
1 1 1( ; ) 2 2 2( ; )
1 2 1 2( ; )2 2
( ; )
'
'
I II
III IV
O (0;0)
Figura N° 3.1. Sistema de coordenadas cartesianas.
y dos puntos del plano cartesiano, la distancia entre
estos dos puntos está dada por:
El segmento que une a los puntos y , tiene como punto medio a:
.
Suma de pares ordenados :
Res ta de pares ordenados :
Multiplicac ión de un par ordenado por un es calar
Dis tanc ia entre dos puntos de l plano :
Sean
Punto medio de un Seg mento :
a b c d a c b d
a b c d a c b d
k a b ka kb k
P x y P x y d
d P P P P x x y y
P x y P x y
M
x x y yP
P x y
x
y
Y
Y
X X
+ = + +
− = − −
= ∈
= = − + −
+ +
¡
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
68
);( 111 );( 222
113221
1212
12 ;21
)(
1800
);(1 11
);(2 22
12
12
12
31
1
3.2 LA RECTA
3.2.1 Definic ión
.
Obs ervac ión:
Una recta es el lugar geométrico del conjunto de puntos tales que si se toman dos
puntos diferentes cualesquiera y el valor de la pendiente no
varía.
Figura N° 3.2. La Recta
La pendiente está dada por
La pendiente también se calcula como , donde es el ángulo de
inclinación de la recta con respecto al eje , donde es el ángulo comprendido
por la parte positiva del eje y la parte superior de la recta , .
Figura N° 3.3.Pendiente como ángulo de inclinación res l eje X
L
yxP yxP m
nnii PPPPPPPP mmmmm
xxxx
yymm PP
m Tgm
L X
X L
yxP
yxP
X
Y L
xx
yy
PP
PiP i
Pn
P
X
Y Ln
P
−−======
≠−−
==
=
°≤≤°
−
−
−
−
KK
q q
q
q
q
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
69
12
12
)(
:
0 0
CACO
mxx
yy
Tgm
X
ky k
Y
kx k
kyLk
X
Y
X
Y L
X
Y
m m
L
==−
−
=
=
=
=
> <
es la razón del cateto opuesto y el cateto adyacente, mos que
dicha razón es la tangente del ángulo , por lo tanto:
El gráfico de la recta varía de acuerdo con los valores que tome la pendiente:
Figura N° 3.4. Gráficos de la Recta, respecto a la pendiente
iii) Si la pendiente es cero, la recta es horizontal o para l eje ; la ecuación de
la recta es , donde es cualquier número real.
Figura N° 3.5. La Recta horizontal
iv) La pendiente no existe cuando la recta es vertical o paralela al eje ; la ecuación
de la recta es , donde es cualquier número real.
Si la pendiente es positiva Si la pendiente es negativa
q q
Cas os :
.
.
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
70
1 2 21 //
2121 //
1 2 21
21 1. 21
1 2
21
2
1
:
Figura N° 3.6. La Recta vertical
Dos rectas y son paralelas (se denota ) si tienen la misma pendiente, es
decir, si
Figura N° 3.7. Rectas paralelas
Dos rectas y son perpendiculares (se denota ) si el producto de sus
pendientes es igual -1, es decir:
Si
Figura N° 3.8. Rectas perpendiculares
Las rectas y forman 90°.
.
3.2.2 Rectas Parale las :
.
3.2.3 Rectas perpendiculares :
.
L L LL
mmLL
L L LL
LL mm
L L
X
YLL
X
Y
L
L
kxL
kX
Y
=→
⊥
⊥ −=→
=
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
71
);( 111
)(: 11
:
);0(
);( 111 );( 222
)(: 112
121 12
0
0
1:
0: 0 .0
3.2.4 ECUACIONES DE LA RECTA
Ecuac ión
Ecuac ión
Ecuac ión
Ecuac ión
Ecuac ión General de la Recta
(Forma punto pendiente)
La ecuación de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente
dada tiene por ecuación:
(Dada la pendiente y ordenada al origen)
La ecuación de la recta cuya pendiente es y cuya ordenada en el origen es
tiene por ecuación:
La ordenada al origen es el punto de intercepción del eje con la recta y sus
coordenadas son .
(Forma punto pendiente )
La ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados y
tiene por ecuación:
;
(Simétrica de la recta)
La ecuación de la recta cuyas intercepciones con los ejes e son y
, respectivamente tiene por ecuación:
La ecuación de la recta se puede representar mediante una ecuación lineal en las
variables e , es decir:
; donde o
L yxP
m
xxmyyL
L m b
bmxyL
Y L
b
L yxP yxP
xxxx
yyyyL xx
L X Y a
b
by
ax
L
L
x y
CByAxL A B
−=−
+=
−
−−
=− ≠
≠
≠
=+
=++ ≠ ≠
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
72
0,:
:
0: );( 111
22
111 ),(
0:
);( 111
22
111 ),(
-
);( 111
Nota:
3.2.5 La Dis tanc ia de un punto a una rec ta:
3.2.6 La Dis tanc ia dirigida de un punto a una rec ta:
Si despejamos la variable , tenemos:
La ecuación (i)
La ecuación ordenada al origen es (ii)
Comparando las ecuaciones (i) y (ii), tenemos que la pendiente es y la
ordenada al origen es .
La distancia de una recta dada a un punto dado se
puede obtener sustituyendo las coordenadas del punto en el primer miembro de la
ecuación de la recta, es decir:
La distancia es el segmento de recta perpendicular a la recta .
La distancia dirigida de una recta dada a un punto dado
se puede obtener mediante la siguiente fórmula:
Para elegir el signo del radical se tomará en cuenta las siguientes condiciones:
Si consideramos una recta que no pasa por el origen:
- La distancia será positiva si el punto y el origen de coordenadas están
en lados opuestos de la recta.
y
BB
Cx
B
AyL
bmxyL
B
Am
B
Cb
d CByAxL yxP
BA
CByAxLPdd
d L
d CByAxL
yxP
BA
CByAxLPdd
d yxP
≠+−=
+=
−=
=
=++
+
++==
=++
+±
++==
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
73
);( 111
);( 111 );( 111
0952:
0952:
29
8
52
9)1(5)2(2),(
221
29
8
52
9)1(5)2(2),(
221
)1;2(
)0;0(
- La distancia será negativa si el punto y el origen de coordenadas están
del mismo lado de la recta.
- Si la recta pasa por el origen de coordenadas, la distancia es positiva si el
punto está arriba de la recta y será negativa si el punto está debajo
de la recta.
Hallar la distancia de la recta al punto (2;1), interprete el signo de
la distancia como segmento dirigido.
Figura N° 3.9. Gráfico del ejemplo 3.1
La distancia del punto (2;1) a la recta está dada por:
La distancia como segmento dirigido se calcula como:
El signo negativo nos indica que el punto y el origen de coordenadas se encuentran
Del mismo lado de la recta.
d yxP
d
yxP yxP
yxL
yxL
LPdd
LPdd
X
YL
Ejemplo 3.1:
Soluc ión:
.
=+−
=+−
=+
+−==
−=
+−
+−==
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
74
)2;2(Cy )5;6(B ),4;3(
);(P
1 2
21
0256
02247
);(P 22
);(P 11
21
)2;2(
)0;0(
)4;3(
B(6;5)
);(P
12
Ejemplo 3.2:
Soluc ión:
.
Los vértices de un triángulo son los puntos . Hallar la
ecuación de la bisectriz del ángulo interior .
Figura N° 3.10. Gráfico del ejemplo 3.2
Los puntos de la bisectriz de un ángulo son equidistantes de los lados del ángulo,
por lo tanto sea el punto un punto cualquiera de la bisectriz , las distancias
dirigidas y de los lados y respectivamente hacia son iguales, es
decir:
(i)
La ecuación del lado es y la ecuación del lado
.
Como y origen están del mismo lado de BC, entonces
Como y origen están en lados opuestos de AC, entonces .
Luego en (i):
(ii)
−−
=
=−+
=−−
−=
=
−=
−
−
A
ACB
yx L
d d AC BC P
dd
AC yx BC
yx
yx dd
yx dd
dd
C
Y
A
L
yx
dd
X
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
75
2222 47
2247
56
256
06122652614655617656:
3
1 13
0 3
1 13
25
253
Reemplazando las distancias en (ii) obtenemos la ecuación de la bisectriz :
La Familia o haz de rectas está determinada por la tot dad de las rectas que
satisfacen una única condición geométrica.
Hallar la familia de rectas que tienen pendiente 3.
La totalidad de rectas que tienen pendiente 3 forman una familia de rectas paralelas
las cuales las representaremos por la ecuación:
, donde es una constante arbitraria que toma todos los valores reales;
Para cada valor que le asignemos a encontraremos una ecuación de la familia de
rectas, es decir:
Si , la ecuación de la recta es
Si , la ecuación de la recta es
Si , la ecuación de la recta es
Si , la ecuación de la recta es
L
yxyx
yxL
txy t
t
t xy
t xy
t xy
t xy
+
−−−=
+
−+
( ) ( ) =−−−++∴
+=
−= −=
= =
= +=
= +=
3.2.7 Familia de Rectas :
Ejemplo 3.3:
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
76
)4(5
4
1),4(5
)0;0(
0,5
1,45
3
)0;0(
13
13253
Figura N° 3.11. Gráfico del ejemplo 3.3
Otro ejemplo de familia de rectas, serian las rectas que pasan por el punto (4;5), la
representación analítica de ésta familia de rectas es:
(i)
donde la pendiente es una constante arbitraria que toma valores reales, a ésta
ecuación también se le conoce como haz de rectas de vértice (4;5).
Como el parámetro no está definido para una recta paralela al eje Y, la ecuación (i)
no incluye a la recta que también pasa por el punto (4;5).
Figura N° 3.12. Gráfico del ejemplo 3.4
.
Ejemplo 3.4:
.
−=−
=
−=−−=−
==
=−=−
=−=
+=+=
xty
t
t
x
txy
X
Y
ty
txy
xy
X
Y
L
xy
xy
xy
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
77
1 1 1 1: 0
2 2 2 2: 0
2 2 2 2: 0
1 1 1 2 2 2( ) 0
1 2
1 : 2 16 0 2 : 4 5 10 0 3 : 3 27 0
1 2 y
2 16 (4 5 10) 0, .
(2 4 ) (1 5 ) 10 16 0, .
15
(2 4 ); .
(1 5 )
313
15
(2 4 ) 1= ;
(1 5 ) 3
- 6 12 1 5 1
: 2 6 26 0
Ecuac ión de la rec ta que pas a por la inters ecc ión de dos rec tas :
Ejemplo 3.5:
Soluc ión:
La familia de rectas que pasan por la intersección de ctas y
, se pueden obtener mediante la ecuación (i), con la única
excepción de la recta :
(i)
Donde el parámetro puede tomar todos los valores reales.
Este proceso nos ayuda a hallar la ecuación de la recta buscada sin la necesidad
de hallar el punto de intersección de las rectas y .
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas
y y que es paralela a la recta .
La familia de rectas que pasan por el punto de intersección de las rectas
tiene por ecuación
(i)
Tiene pendiente
Como la recta buscada es paralela a la recta cuya pendiente es , entonces
tienen la misma pendiente, es decir:
Luego los reemplazamos en la ecuación (i), obtenemos:
L A x B y C
L A x B y C
L A x B y C
A x B y C k A x B y C
k
L L
L
L x y L x y L x y
L L
x y k x y k
k x k y k k
km k
k
L
km k
k
k k k
L x y
+ + =
+ + =
+ + =
+ + + + + =
+ − = − + = − + =
+ − + − + = ∀ ∈
+ + − + − = ∀ ∈
+= − ≠
−
+= − ≠
−
− = − → = −
∴ − + − =
¡
¡
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
78
1 2
2 11 2
1 2
( ) , . 11 .
1 1 2
2
- 1 2 . 1
-
1 1: 0 2 2: 0
1 21 2 2 2
( , )
)0;0(1
2
)0;0(
1
2
3.2.8 Ángulo entre dos rec tas :
.
Notas :
3.2.9 Dis tanc ia entre dos rec tas :
El ángulo comprendido por dos rectas y está determinado por la siguiente
fórmula:
Donde es la pendiente de la recta inicial y es la pendiente de la recta final
.
Figura N° 3.13. Ángulo entre dos rectas
Si , el ángulo que forman las rectas es de 90°.
Cuando dos rectas se interceptan forman dos ángulos uno agudo y el otro obtuso,
por ello es importante determinar la recta inicial y final para hallar el ángulo buscado.
Si las rectas y , son paralelas, entonces la
distancia entre dichas rectas está dada por la siguiente expresión:
Figura N° 3.14. Distancia entre dos rectas paralelas
q
q
q
L L
m mTg m m
m m
m L m
L
m m
L Ax By C L Ax By C
C Cd L L
A B
X
Y
LL
d
X
Y
L
L
−= ≠ −
+
= −
+ + = + + =
−=
+
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
79
1 :12 5 3 0 2 :12 5 9 0
1 2 2 2
3 9 12( , )
1312 5
);( 111 2 2 2( ; )
3 3 3( ; )
1 1
2 2
3 3
11
12
1
1 ( 3; 2) 2 (4; 7)
3 (5; 1)
3 2 11 1 5 1 5 11 1
5 1 1 3 27 1 4 1 4 72 2
4 7 1
1 613( 1 7) 2(5 4) (35 ( 4))
2 2
261 612 2
Ejemplos 3.6:
Soluc ión:
Área de un triángulo
Ejemplo 3.7:
Soluc ión:
Hallar la distancia entre las rectas paralelas y .
La distancia entre las dos rectas paralelas es:
.
El área del triángulo que tiene como vértices los puntos , y
está determinado por el valor absoluto de la siguiente expresión:
, es decir .
Hallar el área del triángulo que tiene como vértices los puntos , y
.
Reemplazamos las coordenadas de los vértices del triángulo en la expresión :
Luego el área es .
L x y L x y
d L L
A yxP P x y
P x y
x y
K x y
x y
A K
P P
P
K
K
K K
A k
+ − = + + =
− −= =
+
= =
−
−
− − −
= − = − − +
( )= − − − − − + − − → =
= = = m
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
80
4
Ejemplo 3.8: APLICACIÓN
En la tabla 3.1 se enumera el nivel promedio de dióxido de carbono en la atmósfera,
medido en partes por millón en el observatorio Mauna Loa de 1980 a 2002. Use la
información que en ella aparece para encontrar un mode para el nivel de dióxido
de carbono.4
Tabla N° 3.1. Nivel de CO2. Steward (2008)
Stewart, James. CÁLCULO: TRASCENDENTES TEMPRANAS, México: editorial Cengage
Learning, sexta edición, 2008.
Año
Nivel de CO2
(en ppm)
1980
1982
1984
1986
1988
1990
1992
1994
1996
1998
2000
2002
338.7
341.1
344.4
347.2
351.5
354.2
356.4
358.9
362.6
366.6
369.4
372.9
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
81
12 12
1 1
12 12 122
1 1 1
1980 338.71982 341.11984 344.41986 347.21988 351.51990 354.21992 356.41994 358.91996 362.61998 366.62000 369.42002 372.9
Soluc ión:
Mediante un procedimiento de Estadística llamado Regresión Lineal, se obtiene un
mejor modelo lineal.
Un modelo lineal está representado por la ecuación de una recta,
usualmente se emplean las variables , es decir:
La recta se puede expresar con otras variables, como:
(i)
Donde : es la cantidad de dióxido de carbono en la atmósfera medido en (ppm), :
representa el año.
Tomaremos en cuenta las siguientes fórmulas de regresión lineal:
Donde representa el número de datos.
t2
? t2
x e y y ax b
C at b
C t
i ii i
C a t nb
i i ii i i
Ct a bt a t
n
= +
= +
= =
= +∑ ∑
= = =
= +∑ ∑ ∑
AÑO Nivel CO2 Ct
670626 3920400
676060.2 3928324
683289.6 3936256
689539.2 3944196
698782 3952144
704858 3960100
709948.8 3968064
715646.6 3976036
723749.6 3984016
732466.8 3992004
738800 4000000
746545.8 4008004
23892 4263.9 8490312.6 47569544?t ?C ?Ct
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
82
12 12
1 1
4263.9 23892 12
12 12 122
1 1 1
8490312.6 23892 47569544
( )=1.55192308
( )
( )2734.55385
( )
1.55192308 2734.55385
Sustituyendo los resultados de las operaciones en las ecuaciones de regresión
lineal, obtenemos:
Resolvemos el sistema de ecuaciones mediante la regla Cramer (ver Capítulo
IV):
DET(S)= - 6864 DET(a)= -10652.4 DET(b)= 18769977.6
(ii)
Luego sustituimos (ii) en (i) y obtenemos la recta de regresión:
El gráfico de la recta de regresión se presenta en la figura N° 3.15.
Figura N° 3.15. Ecuación de la recta por regresión. Steward (2008)
i ii i
C a t nb a b
i i ii i i
Ct a bt a t b a
Det aa
Det s
Det bb
Det s
C t
= =
= +∑ ∑ = +
= = =
= +∑ ∑ ∑ = +
=
= = −
= + −
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
83
1.55192308 2734.55385 1989
(1989) 1.55192308(1989) 2734.55385 352.22
2012
(2012) 1.55192308(2012) 2734.55385 387.91
387.91
1.55192308 2734.55385 > 400
1.55192308 > 3134.55385
3134.553852019.79
1.55192308
Ejemplo 3.9:
Soluc ión:
Utilice el modelo lineal del ejemplo anterior para est mar el nivel promedio de CO2
correspondiente al año 1989 y predecir el nivel para el año 2012. Según este
modelo, ¿Cuándo excederá el nivel de CO2 las 400 partes por millón?
En la ecuación , para , se estima el nivel
promedio de CO2 :
Esto es un ejemplo de interpolación porque ha sido estimado un valor que se
encuentra entre los valores observados.
Cuando , se estima el nivel promedio de CO2 :
De esta manera se predice que el nivel promedio de CO2 en el año 2012 será
ppm.
Este es un ejemplo de extrapolación, pues se pronosticó un valor fuera de la región
de las observaciones. En consecuencia está mucho menos seguro acerca de la
exactitud de su predicción.
El nivel de CO2 excede las 400 partes por millón cuando:
Por lo tanto, se pronostica que el nivel de CO2 excederá de 400 ppm hacia el año
2020. Esta predicción implica un momento remoto con re a sus
observaciones, por lo que es riesgosa.
C t t
C
t
C
t
t
t
= + − =
= − ≈
=
= − ≈
−> ≈
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
84
2: ( ; ) / ( , ) , 0
( ; )
( ; )
0
)0;0(
( ; )
2 2 2: ( ) ( )
3.3 LA CIRCUNFERENCIA
3.3.1 Definic ión:
.
3.3.2 Ecuac iones de la Circunferenc ia:
A. Ecuac ión Ordinaria de la Circunferenc ia:
Una circunferencia es el conjunto de puntos que pertenecen al plano de tal
manera que se conservan siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese
plano.
El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia constante se llama
radio, es decir:
Figura N° 3.16. La circunferencia
Donde es cualquier punto que pertenece a la circunferencia.
La ecuación de la circunferencia se puede expresar de diferentes maneras, como
detallamos a continuación:
La ecuación de la circunferencia cuyo centro es un punto cualquiera del plano
y cuyo radio es la constante , tiene por ecuación:
C
C p x y d c p r r
p x y
c h k
r
X
Y
c
p x yr
C x h y k r
{ }∈ = >
>
− + − =
¡
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
85
( ; )
( ; ) ( ; )
0
2: ( ; ) / ( , ) , 0
2 2( ) ( ) , 0
2 2 2: ( ) ( ) , 0
0
2 2 2:
0 0.
)0;0(
( ; )
Figura N° 3.17. Circunferencia de centro
Sea un punto cualquiera que pertenece a la circunferencia de centro y
radio , entonces debe cumplir con la definición de circunferencia:
Aplicamos la definición de distancia entre dos puntos:
Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación, obtenemos la ecuación
ordinaria de la circunferencia:
La ecuación de la circunferencia cuyo centro es el ori del sistema de
coordenadas (0;0) y cuyo radio es la constante , tiene por ecuación:
Notemos que la ecuación canónica es un caso particular de la ecuación ordinaria de
la circunferencia haciendo
c h k
p x y c h k
r
C p x y d c p r r
x h y k r r
C x h y k r r
r
C x y r
h y k
X
Y
c
p x y
r
>
{ }∈ = >
− + − = >
− + − = >
>
+ =
= =
¡
B. Ecuac ión Canónica de la Circunferenc ia:
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
86
2 2: 0
,
2 2 2: ( ) ( ) , 0
2 2 2 2 2: 2 2 0
2 2: 0 2 2 22 , 2 ,
2 2: 0
2 2 2 22 24 4 4 4
: ( ) ( ) 0
2 22 2 42 2 4
: ( ) ( )
C. Ecuac ión General de la Circunferenc ia:
La ecuación General de la circunferencia se puede escribir en la siguiente forma:
(i)
Donde son constantes reales.
Para hallar la ecuación ordinaria se puede completar cuadrados en (i), lo cual es
recomendable pues la ecuación ordinaria brinda en forma explícita las coordenadas
del centro y radio.
Si tomamos la ecuación ordinaria de la circunferencia:
(ii)
Luego desarrollamos la ecuación (ii) obtenemos:
La cual se puede expresar en la forma:
, donde
Por lo tanto se deduce que la ecuación de una circunferencia se puede escribir en la
forma (i).
Ahora veamos si toda ecuación de la forma (i) representa una circunferencia, para
ello tomaremos a la ecuación (i)y lo pasaremos a la ecuación (ii):
Completando cuadrados:
Obtenemos: (iii)
Comparando las ecuaciones (ii) y (iii), observamos que la ecuación (iii) representa o
no a una circunferencia dependiendo del segundo miembro de dicha ecuación,
consideramos los siguientes casos:
C x y ax by c
a b y c
C x h y k r r
C x y hx ky h k r
C x y ax by c a h b k c h k r
C x y ax by c
a a b bC x ax y by c
a b a b cC x y
+ + + + =
− + − = >
+ − − + + − =
+ + + + = = − = − = + −
+ + + + =
+ + − + + + − + =
+ −+ + + =
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
87
2 2 44
02 2( ; )
2 2 42
2 2 44
02 2( ; )
2 2 44
0
2 2 8 10 8 0
2 2( 8 16) 16 ( 10 25) 25 8 0
2 2( 4) ( 5) 49
7 ( ; ) ( 4;5)
2 2 2: ( ) ( ) , 0
, .
2 2: 0
, y .
a) Si , la ecuación (iii) representa una circunferencia de centro y
radio .
b) Si , la ecuación (iii) representa un punto de coordenadas .
c) Si , la ecuación (iii) no representa lugar geométrico alguno en la
geometría real. (en este caso también se le conoce como circunferencia imaginaria).
Determinar si la ecuación representa a una circunferencia.
Completamos cuadrados
Obtenemos la ecuación , la cual representa a una
circunferencia de radio y centro .
1. La ecuación de la circunferencia queda
determinada por tres constantes independientes
2. La ecuación de la circunferencia queda determinada por
tres constantes independientes
3. La ecuación de una circunferencia que determinada por puntos que
pertenecen a dicha circunferencia.
a b c a b
a b c
a b c a b
a b c
x y x y
x x y y
x y
r c h k c
C x h y k r r
h k y r
C x y ax by c
a b c
+ − > − −
+ −
+ − = − −
+ − <
+ + − − =
+ + − + − + − − =
+ + − =
= = −
− + − = >
+ + + + =
Ejemplo 3.10:
Soluc ión:
Notas :
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
88
(6;2), (3; 7) y ( 1; 5)
2 2: 0
, y .
(6; 2) 36 4 6 2 0
(3; 7) 9 49 3 7 0
( 1; 5) 1 25 5 0
6 2 40
3 7 58
5 26
6, 4, y 12
2 2: 6 4 12 0
2 2: ( 3) ( 2) 25
( ; ) (3; 2) 5.
Ejemplo 3.11:
Soluc ión:
Determinar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que para por los tres
puntos .
Sea (i)
la ecuación general de la circunferencia buscada, el problema se reduce a
determinar las constantes
Como los puntos dados pertenecen a la circunferencia , sus coordenadas deberán
satisfacer la ecuación (i):
Luego tenemos el sistema de ecuaciones:
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos
Luego lo reemplazamos en la ecuación (i):
Completando cuadrados obtenemos la ecuación ordinaria de la circunferencia:
Cuyo centro es y radio
− − −
+ + + + =
∈ → + + + + =
− ∈ → + + − + =
− − ∈ → + − − + =
+ + = −
− + = −
− − + = −
= − = = −
+ − + − =
− + + =
= − =
C x y ax by c
a b c
C
C a b c
C a b c
C a b c
a b c
a b c
a b c
a b c
C x y x y
C x y
c h k c r
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
89
(3;11) ( 2;8)
: 3 2 8 0
2 2 2: ( ) ( ) , 0
(3;11) ( 2;8)
2 2 2(3;11) (3 ) (11 )
2 2 2( 2;8) ( 2 ) (8 )
2 2 29 6 121 22
2 2 22 4 64 16
5 3 32
)0;0(
(3; 11)
( ; )( 2 ; 8)
: 3 2 8 0
Ejemplo 3.12:
Soluc ión:
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos y , cuyo
centro está sobre la recta .
Figura N° 3.18. Gráfico del ejemplo3.12
Supongamos que la ecuación ordinaria de la circunferencia buscada es:
(i)
Como los puntos y pertenecen a la circunferencia , entonces sus
coordenadas deberán satisfacer la ecuación (i), es decir:
Las cuales se pueden expresar como:
(ii)
(iii)
Restando las ecuaciones (ii) y (iii), obtenemos:
(iv)
−
− + =
− + − = >
−
∈ → − + − =
− ∈ → − − + − =
− + + − + =
+ + + − + =
+ =
−
− + =
L x y
C x h y k r r
C
C h k r
C h k r
h h k k r
h h k k r
h k
X
c h k
L x yY
g
gg
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
90
( ; ) ( ; )
: 3 2 8 0
( ; ) 3 2 8
5 3 32
3 2 8
4019
13619
53 219
2 240 136 561819 19 361:
2 21 1 1 1: 0
2 22 2 2 2: 0
1 2 0
1 2 0,
1 2: 0,
2 2 2 21 1 1 2 2 2: ( ) 0,
1 2
2 21 2 1 2 1 2: (1 ) (1 ) ( ) ( ) 0,
1
Sea el centro de la circunferencia, como , entonces sus
coordenadas deberán satisfacer la ecuación , es decir:
(v)
Luego resolvemos el sistema de ecuaciones (iv) y (v):
Obtenemos y reemplazando en (ii) o (iii) hallamos
Reemplazando en la ecuación (i), obtenemos la ecuación de la circunferencia
Consideremos las ecuaciones de dos circunferencias cualesquiera:
La ecuación
Podemos dividir por y obtenemos la ecuación: , es decir:
(i)
La ecuación (i) representa una familia de circunferencias.
Los centros de pasan por la recta llamada recta de los centros.
La ecuación (i) tiene la forma:
(ii)
Si , consideramos los siguientes casos:
c h k c h k L
L x y
c h k L h k
h k
h k
h k r
C x y
C x y a x b y c
C x y a x b y c
mC nC
m nmC kC k
F C kC k
F x y a x b y c k x y a x b y c k
C y C
F k x k y a ka x b kb y c kc k
k
∈
− + =
∈ → − = −
+ =
− = −
= = =
( ) ( )− + − =
+ + + + =
+ + + + =
+ =
+ = =
+ = ∈
+ + + + + + + + + = ∈
+ + + + + + + + + = ∈
≠ −
3.3.3 FAMILIA DE CIRCUNFERENCIAS
¡
¡
¡
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
91
- 1 2
1 2 2
- 1 2
1 2 2
- 1 2
1 2
-
1
1 2 1 2 1 2( ) ( ) 0 1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
Si las circunferencias se interceptan en dos puntos diferentes, la familia
de circunferencias en (ii) representa todas las circunferencias que pasan por los
dos puntos de intersección de , excepto .
Si son tangentes entre sí, la familia en (ii) representa todas las
circunferencias que son tangentes a en su punto común, excepto .
Si no se interceptan, la familia de curvas en (ii) representa una
circunferencia para cada valor de , ningún par de circunferencias de la familia
tiene un punto en común con alguna de las circunferen s .
Eje Radical:
Si , reemplazamos en la ecuación (ii) y observamos que la familia de curvas
representa una recta de ecuación:
, donde
Dicha recta es llamada eje radical de , si no son concéntricas, luego
se tiene que:
Si se interceptan en dos puntos diferentes, el eje radica por estos
dos puntos, es decir es una cuerda común a las dos circunferencias.
Si son tangentes entre sí, su eje radical es la tangente mún a ambas
circunferencias.
Si no tienen punto de intercepción, su eje radical no tiene ningún punto en
común con las dos circunferencias.
El eje radical de dos circunferencias es perpendicular a la recta que une a los
centros.
C y C
F
C y C C
C y C F
C y C C
C y C F
k F
C y C
k F
a a x b b y c c a a b b
C y C C y C
C y C
C y C
C y C
= −
− + − + − = ≠ ∨ ≠
o
o
o
Nota:
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
92
2 21
2 22
: 4 4 4 12 6 0
: 8 14 56 0
2 23 31 11 12 2 2 2
2 22 2
: ( ) ( ) 4, cuyo radio es 2 y centro ( ; )
: ( 4) ( 7) 9, cuyo radio es 3 y centro ( 4; 7)
32
12
7 11
4 9
11: 7 ( 4)
9
:11 9 19 0
)0;0(
2( 4 ; 7 )
312 21
( ; )
Ejemplo 3.13:
Soluc ión:
Hallar la ecuación del eje radical de las circunferencias:
,
Y demostrar que el eje radical es perpendicular a la recta que una a los centros.
Completamos cuadrados para hallar las ecuaciones ordinarias de las
circunferencias:
Sea la recta que pasa por los centros de las circunferencias, cuya pendiente es
Entonces la ecuación de la recta está dada por , es decir
Graficamos:
Figura N° 3.19. Gráfico del ejemplo 3.13
C x y x y
C x y x y
C x y r c
C x y r c
cl
cm
cl cl y x
cl x y
X
c
c
l
+ − + − =
+ + + + =
−− + + = =
+ + + = = − −
− += =
+
+ = +
− − =
− −
−
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
93
1 2 0, donde 1
2 2 2 233 ( 8 14 56) 0
21
1 04
39 11 56 0
2
:18 22 115 09
11
. 1
0 ( 2; 7)
2 21
2 22
: 10 12 25 0
: 8 18 81 0
)0;0(
1
23
La ecuación del eje radical está dada por:
Reemplazando las ecuaciones de las circunferencias:
, donde
La ecuación del eje radical es , Cuya pendiente es
Como , podemos deducir que el eje radical es perpendicular a la recta
que une a los centros de las circunferencias.
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto y por la
intersección de las circunferencias:
Figura N° 3.20. Gráfico del ejemplo 3.14
C kC k
x y x y x y x yC
C
x y
l x ylm
l cm m
p
C x y x y
C x y x y
X
Y
C
CC
+ = = −
+ − + − − + + + + = = =
− − − − =
+ + = = −
= −
−
+ + − + =
+ − − + =
Ejemplo 3.14:
Soluc ión:
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
94
1 2 y
1 2: 0, donde 1
1 2 y
2 2 2 2: 10 12 25 ( 8 18 81) 0, 1
2 2: (1 ) (1 ) (10 8 ) (12 18 ) 81 25 0, 1
0 ( 2; 7)
2 20 ( 2;7) (1 ) (1 ) (10 8 ) (12 18 ) 81 25 0
(1 )4 (1 )49 (10 8 )( 2) (12 18 )7 81 25 0
24 26 013
12
13 13 13 13 1312 12 12 12 12(1 )4 (1 )49 (10 8( ))( 2) (12 18( ))7 81( ) 25 0
2 23 : 25 25 16 378 1353 0
1 1( ; )
2 2 2: ( ) ( ) , 0
2 2( , )
2 2 2 21 1( ) ( )
La familia de circunferencias que pasan por las intersecciones de está dada
por:
Reemplazamos las ecuaciones de :
factorizando obtenemos:
(i)
El punto pertenece a una de las circunferencias de la familia , por lo
que podemos sustituir sus coordenadas en :
, entonces
Sustituyendo el valor de en la ecuación (i):
Luego la ecuación de la circunferencia es:
Sea la longitud de la tangente trazada desde el punto exterior a la
circunferencia cuya ecuación es
Luego en el triángulo recto en ,
, donde es punto de tangencia,
Entonces
C C
F C kC k
C C
F x y x y k x y x y k
F k x k y k x k y k k
p F
F
p F k x k y k x k y k
k k k k k
k k
k
C x y x y
t p x y
C x h y k r r
tcp p tp
d c p t r tp
t x h y k r
+ = ≠ −
+ + − + + + − − + = ≠ −
+ + + + − − + + + = ≠ −
−
− ∈ → + + + + − − + + + =
+ + + + − − − + + + =
− = =
+ + + + − − − + + + =
+ + − + =
− + − = >
= +
= − + − −
Propiedades de l e je Radical:
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
95
2 2: 0
2 21 1 1 1
1 1( ; )
1 2 y
2 21 1 1 1: 0 2 2
2 2 2 2: 0
)0;0(
( ; )
1 1( ; )
Figura N° 3.21. Longitud de la tangente
Si la ecuación de la circunferencia está dada en la forma general
, entonces la longitud de la tangente es
.
1. Se puede trazar dos rectas tangentes desde el mismo punto a la
circunferencia con la característica de que sus longitudes son iguales.
2. Dadas tres circunferencias no concéntricas dos a dos, i tomamos el eje radical
de cada par de circunferencias tendremos tres ejes radicales. Si las tres
circunferencias no tienen una recta común a los centros, los tres ejes radicales se
interceptan en un punto llamado centro radical.
3. Sea la recta el eje radical de dos circunferencias no concéntricas , se
cumple que las longitudes de las tangentes trazadas desde cada de a las
dos circunferencias son iguales.
Sean y
Nota:
Propiedades :
C x y ax by c
t x y ax by c
p x y
l C C
l
C x y a x b y c C x y a x b y c
X
Y
c h k
p x y
r
ttp
+ + + + =
= + + + +
+ + + + = + + + + =
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
96
( ; )
1 2 y ( ; )
1 2 y
2 2 21 1 1 1
2 2 22 2 2 2
1 2 y 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0
1 2 y
(5;6)
2 2: 4 4 40 12 73 0
2 2
2 2 734: 10 3 0
2 21 1 1 1
(5;6)
2 2 7345 6 10(5) 3(6)
445
2
Dos circunferencias no concéntricas. Sea un punto que pertenece al eje
radical y sean las longitudes de las tangentes trazadas desde a
respectivamente, entonces:
Como las longitudes son iguales, tenemos:
Es la ecuación del eje radical de las circunferencias .
Hallar la longitud de la tangente trazada desde el punto exterior a la
circunferencia
.
Debemos hacer que los coeficientes de sean la unidad, es decir:
Como la longitud de la tangente está dada por ,
Sustituimos las coordenadas del punto obtenemos:
Por lo tanto la longitud de la tangente es:
.
p x y
t t p x y
C C
t x y a x b y c
t x y a x b y c
t t a a x b b y c c
C C
p
C x y x y
x e y
C x y x y
t x y ax by c
p
t
t
= + + + +
= + + + +
− + − + − =
+ + − + =
+ + − + =
= + + + +
= + + − +
=
Ejemplo 3.15:
Soluc ión:
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
97
2 2 0
:
2 0; 0
2 4 0
2 4 0
2 4 0
3.3.4 RECTA TANGENTE A UNA CURVA
3.3.5 RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
Sea la ecuación de Segundo grado de una curva plana de ejes paralelos o
coincidentes a los ejes coordenados:
(i)
Y la ecuación de una recta (ii)
Para resolver el sistema de ecuaciones (i) y (ii) se puede reemplazar por
en la ecuación (i), y obtenemos la ecuación cuadrática en la variable , como:
(iii)
Luego analizamos las soluciones de la ecuación (iii):
1. Si el discriminante , la ecuación (iii) tiene dos soluciones reales y
diferentes, lo que significa que es una recta secante de la curva (i).
2. Si el discriminante , la ecuación (iii) tiene soluciones reales e
iguales ( es decir las ecuaciones i y ii tienen un punto en común), lo que significa
que la recta es una recta tangente a la curva; conocida como la Condición de
Tangencia.
3. Si el discriminante , la ecuación (iii) no tiene soluciones reales, lo
que significa que la recta y la curva no tienen puntos de intercepción.
La ecuación de la recta tangente y de toda recta está determinada por su pendiente
y un punto que pertenece a la recta.
Si contamos con uno de estos datos, el otro dato debe determinarse a partir de las
condiciones del problema.
Ax Cy Dx Ey F
L y mx k
y mx k
x
ax bx c a
b ac
L
b ac
L
b ac
L
+ + + + =
= +
+
+ + = ≠
∆ = − >
∆ = − =
∆ = − <
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
98
2 2 2: ( ) ( ) , 0 1 1( ; )
21 1: ( )( ) ( )( )
2 2: ( 6) ( 4) 9
(3;10)
)0;0(
(3;10)1
1
2
2
(-6;4)
Tomaremos en cuenta tres procedimientos para determinar la ecuación de la recta
tangente denotada por a una circunferencia , se puede utilizar sólo uno de
ellos:
1. La ecuación de la recta tangente a una circunferencia
en el punto de tangencia está dada por:
.
2. La condición de tangencia.
3. La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado hacia el
punto de tangencia .
Hallar la ecuación de las rectas tangentes a la circunferencia ,
trazados desde el punto .
Bosquejamos el gráfico:
Figura N° 3.22. Gráfico del ejemplo 3.16
tL C
tL
C x h y k r r tp x y
tL x h x h y k y k r
tp
C x y
p
X
Y
tL
tp
tL
tp
− + − = >
− − + − − =
+ + − =
Ejemplo 3.16:
Soluc ión:
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
99
(3;10)
: 10 ( 3)
: 10 3 0
1( ; )
2
6 4 10 33
1 2
9 6
1
272 108 27 03 3
4
1
3 3: 10 ( 3)
4
2
3 3: 10 ( 3)
4
(3;10)
Tomaremos en cuenta que la recta tangente a una circunferencia es
perpendicular al radio trazado hacia el punto de tangencia .
Como , entonces la ecuación de la recta tangente está dada por:
(i)
La distancia tomada desde el centro de la circunferencia a la recta tangente es
igual al radio de la circunferencia, es decir:
=
Elevando al cuadrado, obtenemos:
Luego como encontramos dos valores para la pendiente, esto significa que dos
rectas tangentes cumplen con las condicione del proble , sustituimos los valores
de en (i) y obtenemos las
ecuaciones de las rectas tangentes:
.
Como , entonces la ecuación de la recta tangente está dada por:
tL C
tp
tL
tL y m x
tL mx y m
tr d C L
m m
m
m
m
m m m
m
tL y x
tL y x
tL
∈
− = −
− + − =
=
− − + −=
+
− +
+
− + =±
→ =
−− = −
+− = −
∈
Otra forma de res olver e l problema, es utilizando la condic ió n de tangenc ia, la
cual aplicaremos a continuac ión:
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
100
: 10 ( 3)
: ( 3) 10
2 2: ( 6) ( 4) 9
2 2( 6) ( ( 3) 10 4) 9
2 2( 6) ( ( 3) 6) 9
2 2 2 2(1 ) 6( 6 2) 9( 4 7) 0
2 2 2(1 ), 6( 6 2), 9( 4 7)
2 4 0
22 2 26( 6 2) 4(1 )9( 4 7) 0
28 12 3 03 3
4
1
3 3: 10 ( 3)
4
2
3 3: 10 ( 3)
4
2 2: 8 6 0
(7;1)
tL y m x
tL y m x
C x y
x m x
x m x
m x m m m m
a m b m m c m m
b ac
m m m m m
m m m
tL y x
tL y x
C x y x y
p
− = −
= − +
+ + − =
+ + − + − =
+ + − + =
+ − − − + − + =
= + = − − − = − +
− =
( )− − − − + − + =
− + =±
→ =
−− = −
+− = −
+ − + =
(i)
Luego reemplazamos (i) en la ecuación de la circunferencia ,
y obtenemos:
Donde
Aplicaremos la condición de tangencia, para ello haremos que el discriminante sea
igual a cero:
Reemplazando en (i), las ecuaciones de las rectas tangentes son :
.
Hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia en
el punto .
Ejemplo 3.17:
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
101
2 2: ( 4) ( 3) 25
1 ( 3) 4
7 4 3
. 1 y
343 4
( ) 1
3: 1 ( 7)
4
: 3 4 25 0
)0;0(
(4; 3)
( 7 ; 1)
1
Soluc ión:
Hallamos la ecuación ordinaria de la circunferencia:
Graficamos:
Figura N° 3.23. Gráfico del ejemplo 3.17
Hallamos la pendiente de la recta que pasa por el centro y el punto de tangencia
de la circunferencia, es decir
Como la recta tangente y la recta son perpendiculares, entonces
, donde son las pendientes de las rectas y
respectivamente
La ecuación de la recta tangente está dada por:
Por lo tanto:
C x y
L
Lm
tL L
t Lm m t Lm m tL L
t tm m
tL y x
tL x y
X
Y
c
tp
r
L
− + + =
− −= =
−
= −
= − → = −
−− = −
+ − =
−
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
102
'( ; )
( ; ) ( '; ')
'
'
'
' ,
5 ' 2
9 ' 3
' 7, ' 6
( ; )
(0;0)
'( ; )'
'
3.4 TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
3.4.1 TRASLACIÓN DE LOS EJES COORDENADOS
Ejemplo 3.18:
Si queremos trasladar los ejes coordenados a un nuevo origen al cual
denotaremos por , y si las coordenadas de cualquier punto antes de la
traslación son y después de la traslación serán , las ecuaciones de
transformación del sistema inicial al nuevo sistema de coordenadas son:
Figura N° 3.24. Traslación de ejes coordenados.
Si trasladamos el punto p(-5;9) al sistema con el nuevo origen O’(2;3), tomamos en
cuenta las ecuaciones de transformación para el traslado y al sustituir
los datos, obtenemos
Despejando obtenemos que son las coordenadas del punto p en en
nuevo sistema.
X e Y
O h k P
x y x y
x x h
y y k
x x h
y y k
x
y
x y
p x y
O
O h k
h
k
x
y
X
Y
X
Y
= +
= +
= +
= +
− = +
= +
= − =
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
103
( ; ) ( '; ') , las ecuaciones de transformación del
sistema original al nuevo sistema de coordenadas ' ' están dadas por:
' cos '
' ' cos
( ; ) ( '; ')
'
' '
'
cos( ) (1)
( ) (2)
' '
' ' cos( ) (3)
' ' ( ) (4)
'
'
'
O
3.4.2 ROTACIÓN DE LOS EJES COORDENADOS
Si los ejes coordenados giran un ángulo en torno o alrededor de su origen como
centro de rotación, las coordenadas de un punto cualquiera antes de la rotación
son y después de la rotación es
Figura N° 3.25. Rotación de ejes coordenados
Determinaremos la relación entre las coordenadas y , para ello
trazamos los segmentos que son las ordenadas del punto
correspondientes a los sistemas y respectivamente, , y el ángulo
.
Las coordenadas del punto en el sistema son:
Las coordenadas del punto en el sistema son:
q
q q
q q
b
q b
q b
b
b
q
b
P
x y x y
XY X Y
x x y sen
y x sen y
x y x y
AP y A P P
XY X Y OP r
POA
P XY
x OA r
y AP rsen
P X Y
x OA r
y A P rsen
A
A
P
X
X
YY
r
= −
= +
=
=
= = +
= = +
= =
= =
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
104
Desarrollamos la ecuación (1) cos( ) cos cos s s
Luego sustituimos las ecuaciones (3) y (4) y obtenemos la ecuación de transformación:
' cos 's
En forma similar:
Desarrollamos la ecuación (2) ( ) cos cos
Luego sustituimos las ecuaciones (3) y (4) y obtenemos la ecuación de transformación:
' 'cos
2 2 0; 0
'cos '
' ' cos
2 2( ' cos ' ) ( ' cos ' )( ' ' cos ) ( ' 'cos )
( ' cos ' ) ( ' ' cos ) 0; 0
2 2 2 2 2 2 2( ' cos 2 ' ' cos ' ) ( ' cos ' ' cos ' '
2 2 2 2 2' cos ) ( ' 2 ' ' cos ' cos ) ( 'cos ' ) ( ' 'cos ) 0
2 2 2 2 2 2' ( cos cos ) ' ( cos cos )
2 2' '( 2 cos cos 2 cos ) '( cos ) '( cos ) 0
x r r r en en
x x y en
y rsen rsen r sen
y x sen y
Ax Bxy Cy Dx Ey F B
x x y sen
y x sen y
A x y sen B x y sen x sen y C x sen y
D x y sen E x sen y F B
A x x y sen y sen B x sen x y x y sen
y sen C x sen x y sen y D x y sen E x sen y F
x A B sen Csen y Asen Bsen C
x y Asen B Bsen Csen x D Esen y Dsen E F
q b q b q b
q q
q b q b q b
q q
q q
q q
q q q q q q q q
q q q q
q q q q q q q q
q q q q q q q q q q
q q q q q q q q
q q q q q q q q q q
= + = −
= −
= + = +
= +
+ + + + + = ≠
= −
= +
− + − + + + +
+ − + + + = ≠
− + + + −
− + + + + − + + + =
+ + + − + +
+ − + − + + + + − + + =
3.4.3 TRANSFORMACIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL DE SEGUDO GRADO
POR ROTACIÓN DE LOS EJES COORDENADOS
Dada la ecuación general de segundo grado:
(1)
Tenemos en cuenta que las ecuaciones de transformación son:
(2)
Luego sustituimos (2) en (1):
Agrupando términos se tiene:
Lo cual se reduce a:
(3)
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
105
' '
2 22 cos cos 2 cos 0
2 22( ) cos (cos ) 0
( ) 2 cos 2 0
cos 2 ( ) 2
i) ; 2 ; 0 90 , 0 2 180
ii) ; cos 2 0
0 cos 2 0 45
, en términos del ángulo doble correspondiente:
1 cos(2 )2cos y 1 cos(2 )
2
0
'
'
1
Como la ecuación (3) va a carecer del término , el coeficiente debe anularse,
por lo tanto:
(4)
Se presentan los siguientes casos:
Si donde
Si la ecuación (4) se reduce a
Como , entonces , por lo que .
Podemos apoyarnos en las siguientes fórmulas para determinar el coseno y seno
del ángulo
Figura N° 3.26. Transformación de coordenadas: forma vectorial
x y
Asen B Bsen Csen
C A sen B sen
C A sen B
B A C sen
A CB
TgA C
A C B
B
sen
PX
Y
X
Y
q q q q q q
q q q q
q q
q q
q q q
q
q q
q
qq qq
mm
m
− + − + =
− + − =
− + =
= −
≠ =−
≤ < ° ≤ < °
= =
≠ = = °
+= −=
⊥
=
Nota:
3.4.4 Trans formació n de coordenadas por tras lac ión y ro tac ión de los e jes
coordenados en la forma vectorial:
urur
ur
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
106
' '
0' .
0' .
( ; )
' '
2 2
2 2
' '1
Si tenemos la ecuación de una cónica en el sistema , y queremos
transformar sus coordenadas al sistema , podemos utilizar las siguientes
ecuaciones, derivadas del análisis vectorial:
(i)
Dichas ecuaciones se sustituyen en la ecuación de la cónica, de esta manera se
obtienen las coordenadas de la cónica en el sistema .
Donde representa a los puntos que pertenecen al plano , es el punto
sobre el cual se trasladan los ejes coordenados.
Para realizar la traslación y rotación a la vez, bastará con sustituir las ecuaciones
dadas en (i), en las ecuaciones canónicas de las cónicas en el plano , por
ejemplo si la cónica es una hipérbola se sustituyen las ecuaciones dadas en (i) en:
.
a
m
m
X Y
XY
x P P
y P P
XY
P x y XY oP
X Y
x y
a b
[ ]= −
[ ]⊥
= −
− =
ur
ur
Obs ervac ión:
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
107
2 2 0
2 4
5
6
0 1 1
1
( , )
( , )
3.5 LAS CÓNICAS
3.5.1 TEOREMA:
3.5.2 PROPIEDAD DE LAS SECCIONES CÓNICAS :
Obs ervac ión:
La ecuación general de segundo grado,
Representa una cónica del género parábola, elipse o hipérbola, según que el
indicador , se cero, negativo o positivo.5
Otra propiedad característica de las secciones cónicas se refiere a un concepto
llamado excentricidad. Una sección cónica puede definirse como una curva descrita
por un punto que se mueve en un plano de manera que la razón de sus distancias a
un punto fijo y a una recta fija es constante. Esta razón constante se llama
excentricidad de la curva y se designa por . (No debe confundirse con el número
de Euler.) La curva es una elipse si , una parábola si , y una
hipérbola si . El punto fijo se llama foco y la recta fija directriz. 6
1. La recta fija y el punto fijo se encuentran en el mismo plano
2. El punto fijo no pertenece a la curva.
3. La excentricidad, se puede expresar como , donde es un punto
cualquiera que pertenece a la curva, es el foco y la directriz.
Lehmann, Charles H. GEOMETRÍA ANALÍTICA, México: editorial Limusa S.A., 1994.
Apóstol, Tom M. CALCULUS VOLUMEN I CÁLCULO CON FUNCIONES DE UNA VARIABLE, CON
UNA INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA LINEAL, México: Editorial rté, S.A., segunda edición,
1998.
Ax Bxy Cy Dx Ey F
I B AC
e
e e e
e
d P Fe
d P LP
F L
+ + + + + =
= −
< < =
>
=
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
108
2: ( ; ) / ( , ) ( ; )
)0;0(
( ; )
B
D
3.6 LA PARÁBOLA
3.6.1 DEFINICIÓN:
3.6.2 Elementos de la Parábola
Una parábola es un conjunto de puntos que pertenecen al plano, que equidistan de
una recta fija del plano y de un punto fijo del plano, que no pertenece a la recta fija.
Donde el punto fijo es llamado foco de la parábola y la recta fija se llama
Directriz de la parábola.
Figura N° 3.27. La parábola
: Vértice de la Parábola (es el punto medio del segmento que une a la directriz y
al foco ).
: es el foco de la parábola
: es una recta llamada eje focal de la parábola y en ella se encuentran el vértice y
el foco.
: es la Directriz de la parábola.
: es una cuerda que une a dos puntos cualesquiera de la parábola, si la cuerda
pasa por el foco se llama cuerda focal.
A
{ }∈ =P p x y d p L d p F
F DL
V
F
L
DL
AB
X
Yp x y
F
V
DL
L
L
R
¡
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
109
( 1)
( , ) ( , )
( ; )
2: ( ) 4 ( )
)0;0(
( ; )
Q
PF
LR
e e
Dp d V F d V L
V h k
P y k p x h
X
Y
p x y
F
h
DL
kV
: es un segmento llamado radio focal o radio vector de la parábola (une
cualquier punto de la parábola con el foco).
: es el lado recto de la parábola (cuerda focal perpendicular al eje focal)
D: el punto de intersección del eje focal con la directriz.
: excentricidad .
Sea
Consideremos el caso en el cual la parábola tiene vértice un punto
cualquiera del plano cartesiano y eje focal paralelo a je X , su ecuación está dada
por:
Veamos:
Figura N° 3.28. Ecuación de la parábola
=
= =
− = −
3.6.3 Las ecuac iones de La Parábola:
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
110
( ; ) Q( - ; ) Q
:
( ; )
( , ) ( ; )
( ,Q) ( ; )
2 2 2 2( ( )) ( ) ( ( )) ( )
2 2 2( ) ( ) ( )
2( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ; )
2: ( ) 4 ( )
( ; )
2: ( ) 4 ( )
Las coordenadas del foco son , el punto , el segmento es
perpendicular a , La recta directriz tiene ecuación .
Sea el punto un punto cualquiera que pertenece a la parábola, entonces
satisface la definición
Esto es:
Luego sustituimos las distancias:
Elevando al cuadrado obtenemos:
Luego obtenemos la ecuación cartesiana de la parábola de vértice y eje focal
paralelo al eje X es:
.
A continuación describiremos los elementos de la parábola con sus respectivas
ecuaciones ordinaria, canónica y general:
1. La ecuación de la parábola de vértice el punto y eje focal paralelo al eje X
está dado por:
Tenemos dos casos:
F h p k h p y P
DL DL x h p
p x y
d p L d p F
d p d p F
x h p y y x h p y k
x h p x h p y k
x h p x h p x h p x h p y k
V h k
P y k p x h
V h k
P y k p x h
+
= −
=
=
− − + − = − + + −
− + = − − + −
( )( )− + − − − − + + − − = −
− = −
− = −
Ecuac ión Ordinaria:
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
111
( ; )
( ; )
4
:
(0;0)
Si 0 la parábola se abre hacia
la izquierda.
(0;0)
Si 0 la parábola se abre hacia la derecha
Figura N° 3.29. Parábola de eje paralelo al eje X (p>o)
Figura N° 3.30. Parábola de eje paralelo al eje X (p<o)
En ambos casos los elementos de la parábola son:
Vértice:
Foco:
Longitud del lado recto:
Ecuación de la recta directriz:
Elementos de la Parábola:
V h k
F h p k
LR p
DL x h p
X
Y
F
h
DL
k
V
p
h p h p
X
Y
F
h
DL
kV
h p
p
h p
+
=
= −
<
+ −
+
>
−
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
112
( ; )
2: ( ) 4 ( )
0
0
( ; )
( ; )
4
:
)0;0(
)0;0(
2. La ecuación de la parábola de vértice el punto y eje focal paralelo al eje Y
está dado por
Tenemos dos casos:
Si : la parábola se abre hacia arriba
Figura N° 3.31. Parábola de eje paralelo al eje Y (p>o)
Si : La parábola se abre hacia abajo.
Figura N° 3.32. Parábola de eje paralelo al eje Y (p<o)
Vértice:
Foco:
Longitud del lado recto:
Ecuación de la recta directriz:
V h k
P x h p y k
p
p
V h k
F h k p
LR p
DL y k p
X
Y
DL
h
k
k pF
V
k p
X
Y
DL
h
k
k p F
F
V
k p
− = −
>
<
+
=
= −
+
−
+
−
Elementos de la Parábola:
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
113
(0; 0)
2: 4
( ; 0) (0; 0)
Si 0 la parábola se abre
hacia la izquierda.
( ; 0)(0; 0)
Si 0 la parábola se abre hacia la derecha
Nota:
Ecuac ión Canónica:
La ecuación canónica se da cuando el vértice es el origen de coordenadas.
1. La ecuación de la parábola de vértice el punto y eje focal paralelo al eje X
está dado por:
Tenemos dos casos:
Figura N° 3.33. Parábola de ecuación canónica, eje paralelo al eje X (p>o)
Figura N° 3.34. Parábola de ecuación canónica, eje paralelo al eje X (p<o)
V
P y px
X
Y
F p
DL
V p
p
X
Y
F p
DL
V
p
p
=
−
<
>
−
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
114
(0;0)
( ;0)
4
:
(0; 0)
2: 4
0
0
(0; )
(0 ; 0 )
(0; )
(0; 0)
Elementos de la Parábola:
En ambos casos los elementos de la parábola son:
Vértice:
Foco:
Longitud del lado recto:
Ecuación de la recta directriz:
2. La ecuación de la parábola de vértice el punto y eje focal paralelo al eje Y
está dado por:
Tenemos dos casos:
Si , la parábola se abre hacia arriba.
Figura N° 3.34. Parábola de ecuación canónica, eje paralelo al eje Y (p>o)
Si , la parábola se abre hacia abajo.
Figura N° 3.35. Parábola de ecuación canónica, eje paralelo al eje Y (p<o)
V
F p
LR p
DL x p
V
P x py
p
p
X
DL
F p
V
p
Y
X
Y
DL
F p
V
p
=
= −
=
>
<
−
−
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
115
(0 ;0)
(0; )
4
:
1)
2: 0
2)
2: 0
2: ( 4) 12( 6)
2: ( 4) 12( ( 6))
Elementos de la Parábola:
Ecuac ión general de la parábola
Nota:
Ejemplo 3.19:
Soluc ión:
Vértice:
Foco:
Longitud del lado recto:
Ecuación de la recta directriz:
En este bloque consideramos las parábolas de eje para o coincidente a los ejes
coordenados, tenemos dos casos:
La ecuación de la parábola de eje paralelo o coincidente con el eje está dada
por:
La ecuación de la parábola de eje paralelo o coincidente con el eje está dada
por:
Para hallar la ecuación ordinaria de la parábola se debe completar cuadrados.
Hallar los elementos de la siguiente parábola
La ecuación dada es de una parábola de eje paralelo al eje , dándole forma de la
ecuación ordinaria tenemos:
(i)
V
F p
LR p
DL y p
Y
P x ax by c
X
P y ay bx c
P x y
Y
P x y
=
= −
+ + + =
+ + + =
− = − +
− = − − −
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
116
2: ( ) 4 ( )
4 6 (4; 6)
4 12 3
(4; 9)
4 12 12
:
: 3
2: 4 1 1 1( ; )
1 1: . 2
(0;0) 4
6
9
( 4 ; 6 )
3
1 02
Luego comparamos (i) con la ecuación ordinaria que le corresponde:
Como y , el vértice es
Como es negativo por lo que la parábola se abre hacia abajo.
Luego el foco es
Longitud del lado recto:
Ecuación de la recta directriz:
Figura N° 3.36. Gráfico del ejemplo 3.19
1. La recta tangente a la parábola en cualquier punto que
pertenece a la curva, tiene por ecuación:
P x h p y k
h k V
p p
F
LR p
DL y k p
DL y
tL P x py P x y
tL x x p y y
X
Y
DL
F
V
− = −
= = − −
= − → = −
−
= = − =
= −
= −
=
( )= +
−
−
−
−
−
3.6.4 RECTA TANGENTE A LA PARÁBOLA
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
117
2: 4 1 1 1( ; )
1 1: 2
2: ( ) 4 ( )
1 1 1( ; )
11: ( )( ) 4
2
2: ( ) 4 ( )
1 1 1( ; )
11: ( )( ) 4
2
2: ( ) 4 ( )
: ( ) , 0
2: ( ) 4 ( )
: ( ) , 0
2. La recta tangente a la parábola en cualquier punto que
pertenece a la curva, tiene por ecuación:
3. La recta tangente a la parábola en cualquier punto
que pertenece a la curva, tiene por ecuación:
4. La recta tangente a la parábola en cualquier punto
que pertenece a la curva, tiene por ecuación:
5. La recta tangente de pendiente a la parábola , tiene
por ecuación:
6. La recta tangente de pendiente a la parábola , tiene
por ecuación:
1. La recta normal a una parábola en un punto que pertenece a dicha parábola, es
perpendicular a la recta tangente a la parábola en dicho punto.
2. La recta normal a una parábola en un punto que pertenece a dicha parábola,
forma ángulos iguales con el radio vector de dicho punto y la recta, que es paralela
al eje focal y que pasa por el punto antes mencionado.
tL P y px P x y
tL yy p x x
tL P x h p y k
P x y
t
y yL x h x h p k
tL P y k p x h
P x y
t
x xL y k y k p h
tL m P x h p y k
t
pL x h m y k m
m
tL m P y k p x h
t
pL y k m x h m
m
=
( )= +
− = −
+ − − = −
− = −
+ − − = −
− = −
− = − + ≠
− = −
− = − + ≠
Propiedades :
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
118
2: ( 2) 8( 5)
2 , 5, 2
1 1( ; ) (7;6)
7: ( 2)(6 2) 4(2) 5
2
: 1 0
2 22 2 2 3 6 9 0
2, 2 2 1 ,
2 2 2 2(2 ) 2 2
2 1
Nos apoyamos en el siguiente triángulo rectángulo, par en general, pues algunas
veces vamos a trabajar con ángulos no usuales:
13
1
2
2cos
3
13
1
2
1s
3
2
2 23 1cos(2 )
3
Ejemplo 3.20:
Soluc ión:
Ejemplo 3.21:
Soluc ión:
Hallar la recta tangente a la parábola en el punto (7;6).
En la ecuación de la parábola observamos que y el punto dado
es , sustituyendo estos valores en la ecuación de la recta tangente
en el punto (7;6) obtenemos:
.
Transformar la ecuación en otra que carezca del
término , realizando una rotación de los ejes coordenados.
Comparando la ecuación dada con la ecuación general de segundo grado,
observamos que luego sustituimos esto valores en la
siguiente ecuación:
y
P y x
k h p
x y tL
t
xL y
tL x y
x xy y x y
xy
A B y C
B kTg
A C k
en
k
k
k
− = −
= = =
=
+ − − = −
− − =
+ + + + − =
= = =
= = = =− −
+= = −
= =
=
q
q q
q
q
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
119
cos y sen
'cos '
' ' cos
2 ' '2 13 3 3
' 2 '213 3 3
' '
' '
2 ' ' 2 ' ' ' 2 ' ' 2 ' 2 ' ' ' 2 '2 2
3 3 3 3 3 32( ) 2 2( )( ) ( ) 3( ) 6( ) 9 0
29 ' 3 3( 2 ' ') 3 6( ' 2 ') 27 0
23 ' 2 2 ' ' 9 0
La cual representa a una parábola en el sistema cartesiano ' ' .
Luego sustituimos los valores de en las ecuaciones de transformación:
, obteniendo
Luego reemplazamos las ecuaciones de transformación en la ecuación de la cónica
dada:
Luego de desarrollar y factorizar, obtenemos la siguiente ecuación:
q q
q q
q q
x x y sen
y x sen y
x y
x y
x x y
y x y
x y x y x y x y x y x y
x x y x y
x x y
X Y
= −
= +
−
+
= − =
= + =
− − + + − ++ + + + − =
+ − + + − =
+ + − =
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
120
( ; )
( ; )
21 2{ ( , ) / ( , ) ( , ) 2 }
´´
1
2
2
1
1
2
'
'( ; )
(0;0)
3.7 LA ELIPSE
3.7.1 Definic ión:
Es el conjunto de puntos que pertenecen al plano tales que si tomamos un punto
cualquiera de la curva la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese
plano es siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos
fijos.
Los dos puntos fijos son llamados focos de la elipse y se denotan por F1 y F2, está
definición excluye el caso en el que el punto está sobre el segmento que une
a los focos, entonces:
Figura N° 3.37. La elipse
P x y
P x y
E p x y d P F d P F a
XY
DL
DL
F
F
V
V
L
R
L
RP x y
X
Y
C
= ∈ + =¡
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
121
1 2( ; ) 2
1 2
1 2 1 2( ; ) 2
1 2 1 2( ; ) 2
y ' '
22
1 2 y
1 2 1 2 y
1
3.7.2 Elementos de la e lips e :
Notas :
F1 y F2: focos de la elipse, .
y : vértices de la Elipse.
: centro de la elipse (punto medio del segmento que une a los focos o a los
vértices).
: segmento llamado eje mayor de la elipse,
: segmento llamado eje menor de la elipse,
: cada segmento es llamado lado recto de la elipse, y cada uno tiene
longitud .
: radio focal o radio vector de la elipse (segmento que une un punto
cualquiera de la elipse con uno de los focos).
y : rectas directrices de la elipse correspondientes a los focos
respectivamente.
: excentricidad de la elipse, par toda elipse se cumple que .
1. La recta que pasa por los focos es llamada eje focal de la elipse.
2. La cuerda de una elipse es un segmento de recta que une dos puntos de la
elipse.
3. La cuerda de una elipse que pasa por el centro se lla iámetro de la elipse.
4. La cuerda de una elipse que pasa por alguno de sus focos se llama cuerda focal
de la elipse.
d F F c
V V
C
V V d V V a
B B d B B b
LR L R
b
a
F P F P
DL DL F F
ea
ce
=
=
=
<=
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
122
( ; )
2 2
2 2
( ) ( ): 1
1 2( ; ) y ( ; )
( ; )
1 2( , ) ( , ) 2
2 2 2 2( ( )) ( ) ( ( )) ( ) 2
2 2 2 2(( ) )) ( ) 2 (( ) )) ( )
2 2 2 2 2 2 2(( ) ) ( ) 4 4 (( ) ) ( ) (( ) ) ( )
2 2 2 2 2(( ) ) 4 4 (( ) ) ( ) (( ) )
2 2 2 2 2 2 2( ) 2 ( ) 4 4 (( ) ) ( ) ( ) 2 ( )
( ; )
( ; )
( ; )1( ; )2
3.7.3 ECUACIONES DE LA ELIPSE
Consideremos el caso en el cual la elipse tiene centro un punto
cualquiera del plano cartesiano y eje focal paralelo a je , su ecuación está dada
por:
Figura N° 3.38. Elipse de eje paralelo al eje .
Los focos de la elipse son
Veamos:
Sea un punto cualquiera que pertenece a la elipse , entonces satisface la
definición:
, donde
Elevando al cuadrado:
E C h k
X
x h y kE
a b
X
F h c k F h c k
P x y E
d P F d P F a a c
x h c y k x h c y k a
x h c y k a x h c y k
x h c y k a a x h c y k x h c y k
x h c a a x h c y k x h c
x h c x h c a a x h c y k x h c x h c
k
k b
k b
C h k
h
p x y
X
Y
F h c k F h c k
− −+ =
− +
+ = >
− − + − + − + + − =
− + + − = − − − + −
− + + − = − − − + − + − − + −
− + = − − − + − + − −
− + − + = − − − + − + − − − +
+
−
− +
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
123
2 2 2(( ) ) ( ) ( )
2 2 2 2 4 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(( ) ) ( ) 2 ( ) ( )
( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ); , 0
2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) , donde
2 2
2 2
( ) ( ): 1
12
2
2
2
1 2( , 0), ( , 0)
1 2( , 0), ( , 0)
( ; 0 ) ( ; 0 )2 2( ; 0) ( ; 0 )1 1
2 (0, )
(0, )1
a x h c y k a c x h
a x h c a y k a a c x h c x h
a x h a c x h a c a y k a a c x h c x h
a c x h a y k a a c a c a c
b x h a y k a b a c b
x h y kE
a b
b
y
a
xE
V a V a
F c F c
F c V aV a F c
B b
B b
X
Y
− − + − = − −
− − + − = − − + −
− − − + + − = − − + −
− − + − = − > − >
− + − = − =
− −+ =
=+=
−
−
− −
−
Elevando al cuadrado:
Luego la ecuación ordinaria de la elipse es:
A continuación describiremos los elementos de la Elipse con sus respectivas
ecuaciones ordinaria, canónica y general, cuyos ejes f les son paralelos a los ejes
coordenados:
1. La ecuación de la Elipse de centro en el origen de coordenadas y eje focal en el
eje X está dada por: .
Figura N° 3.39. La elipse: ecuación canónica, eje mayor el eje X
Donde:
1) a :Longitud del semi eje mayor yb : Longitud del semi eje menor
2) Los Vértices de la Elipse
3) Los Focos son los puntos
ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
124
1 2(0, ), (0, )22
1
2
222
12
2
2
2
),0(),,0( 21
),0(),,0( 21
)0,(),0,( 21
22
1
2
222
( 0; )2
(0 ; )2
( 0 ; )1
( 0; )1
2 ( ; 0 )1 ( ; 0)
4) Los extremos del eje menor son
5) Lado Recto
6) Excentricidad
7) Ecuación de la directriz
8) a, b y c están ligados por la relación:
2. La ecuación de la Elipse de centro en el origen de coordenadas y eje focal en el
eje Y está dada por:
Figura N° 3.40. La elipse: ecuación canónica, eje mayor el Y
Donde:
1) a : Longitud del semi eje mayor y b : Longitud del semi eje menor
2) Los Vértices de la Elipse
3) Los Focos son los puntos
4) Los extremos del eje menor son
5) Lado Recto
6) Excentricidad
7) Ecuación de la directriz
8) a, b y c están ligados por la relación:
B b B b
a
bLR
a
ce
c
ax
cab
a
y
b
xE
aVaV
cFcF
bBbB
a
bLR
a
ce
c
ay
cab
V a
F c
F c
V a
B bB b
X
Y
−
=
<=
±=
−=
=+=
−
−
−
=
<=
±=
−=
−
−
−
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
125
1)()(
2
2
2
2
),(),,( 21
),(),,( 21
),(),,( 21
22
1
2
222
( ; )( ; )1( ; )2 2( ; )
1 ( , )
2 ( ; )
1( , )
(0;0)
ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE
Es la ecuación de la elipse de centro C (h,k) cualquier punto del plano y ejes focales
paralelos a los ejes coordenados, tenemos:
1. La ecuación de la Elipse de centro en el punto C(h,k) y eje focal paralelo al eje
X, está dada por:
Figura N° 3.41. La elipse, ecuación ordinaria, eje mayor paralelo al eje X
Donde:
1) a : Longitud del semi eje mayor y b : Longitud del semi eje menor
2) Los Vértices de la Elipse
3) Los Focos son los puntos
4) Los extremos del eje menor son
5) Lado Recto
6) Excentricidad
7) Ecuación de la directriz
8) a, b y c están ligados por la relación:
=−
+−
=
+−
+−
+−
=
<=
±=
−=
+
−
− + +−
+
−
b
ky
a
hxE
kahVkahV
kchFkchF
bkhBbkhB
a
bLR
a
ce
c
ahx
cab
k
k b
k b
C h k
h X
Y
F h c k F h c k V h a kV h a k
B h k b
B h k b
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
126
1)()(
2
2
2
2
),(),,( 21
),(),,( 21
),(),,( 21
22
1
2
222
( ; )2
( ; )2
( ; )1
( ; )1
2 ( ; )1 ( ; )
(0;0)
( ; )
2. La ecuación de la Elipse de centro en el punto C(h,k) y eje focal paralelo al eje
Y, está dada por:
Figura N° 3.41. La elipse, ecuación ordinaria, eje mayor paralelo al eje Y
Donde:
1) a : Longitud del semi eje mayor y b : Longitud del semi eje menor
2) Los Vértices de la Elipse
3) Los Focos son los puntos
4) Los extremos del eje menor son
5) Lado Recto
6) Excentricidad
7) Ecuación de la directriz
8) a, b y c están se relacionan mediante la ecuación: .
=−
+−
=
+−
+−
+−
=
<=
±=
−=
+
+
−
−
+−
+
+
−
−
a
ky
b
hxE
akhVakhV
ckhFckhF
kbhBkbhB
a
bLR
a
ce
c
aky
cab
V h k a
F h k c
F h k c
V h k a
B h b kB h b k
Y
h
k
k c
k a
k c
k a
C h k
X
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
127
022
2 225 16 100 192 276 0
2 2( 2) ( 6)1
16 25
2 25
2 16
Nota:
ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE
Ejemplo 3.22:
Soluc ión:
En las ecuaciones canónica y ordinaria, El eje focal la elipse es paralelo o
coincidente al eje coordenado asociado a la variable cuyo denominador es mayor.
Si los coeficientes y son del mismo signo, la ecuación:
Representa una elipse de ejes paralelos a los coordenados, o bien un punto, o no
representan ningún lugar geométrico real; para ello co letamos cuadrados y
verificamos si la ecuación es concordante con las ecuaciones canónicas u ordinarias
de la elipse.
Dada la ecuación cuadrática
i) Determinar si la ecuación dada representa a una elipse.
ii) Si se cumple (i), entonces graficar y hallar sus elementos.
i) Completamos cuadrados en la ecuación dada obtenemos:
(1)
La cual representa a una elipse de eje paralelo al eje , pues el denominador mayor
está asociado a la variable .
ii) Para hallar los elementos de la elipse en la ecuación (1) identificamos al mayor
denominador quién será igual al cuadrado de la longitud del semieje mayor “ ” de la
elipse, es decir:
Luego el otro denominador debe ser
A B
EDYCXBYAX
x y x y
x y
Y
y
a
a
b
=++++
+ + − + =
+ −+ =
=
=
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
128
5 y 4
5 y 4
222
2 2 25 4
2 9 3
1 2( 2;1), ( 2;11)
1 2( 2;3), ( 2;9)
1 2( 6;6), (2; 6)
22 32
5
31
5
( 2 ; 11)2
( 2; 9)2
( 2 ; 3 )1
( 2; 1)1
2 ( 2 ; 6 )1 ( 6; 6)
2
6
9
11
3
1
(0;0)
( 2; 6 )
43:
32
(0;0)
7:
31
De donde .
Luego hallaremos el valor de , sustituimos en la ecuación
En la ecuación (1), el centro de la elipse es el punto C(-2,6).
Figura N° 3.42. Gráfico del ejemplo 3.22.
Donde:
1) a =5 Longitud del semi eje mayor y b = 4 Longitud del semi eje menor
2) Los Vértices de la Elipse
3) Los Focos son los puntos
4) Los extremos del eje menor son
5) Lado Recto
6) Excentricidad
a b
c a b
cab
b
b b
V V
F F
B B
bLR
a
ce
a
V
F
F
V
BB
Y
C
X
L yD
L yD
= =
= =
−=
= −
= → =
− −
− −
−
= =
= = <
−
−
−
−
−
−
−
=
= −
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
129
1,2
2 25: 6
3
1 2
1 2
25 25: 6 : 6
3 37 43
: : 3 3
( 3; 6) y (5;-6)
3 5 6 6; 1; 6
2 2
2 2
1( , ) 1 ( 3) 6 ( 6) 4
226
226 2 3
4
( 3 ; 6 )1( 5; 6)11; 6
(0;0)
7) Ecuación de la directriz
Dados los vértices de una elipse y la longitud de cada lado recto es
6.Hallar la ecuación de la elipse.
Figura N° 3.43.Gráfico del ejemplo 3.23.
Como el centro de la elipse es el punto medio del segmento que une a los vértices,
entonces:
Luego
Por dato del problema
Sustituyendo el valor de , tenemos:
D
aL y k y
c
D D
D D
L y L y
L y L y
C C
d V C a a
bLR
a
ab
LR b
V V
X
Y
C
= ± → = ±
= − = +
= − =
− −
( ) − + − −= −
( ) ( )= = − − + − − − → =
= =
= = → =
− − −( )−
Ejemplo 3.23:
Soluc ión:
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
130
1)()(
2
2
2
2
1, 6, 4, y 2 3
2 2( 1) ( 6)1
16 12
2 2 2 2 2 2:
1 1 1( ; )
2 2 2 21 1:
2 2 2 2 2 2:
1 1 1( ; )
2 2 2 21 1:
( ; 0 ) ( ; 0 )2 2( ; 0) ( ; 0 )1 1
2 (0, )
(0, )1
( ; )1 1 2
Del gráfico, el eje focal es paralelo al eje , entonces la ecuación de la elipse tiene
la forma: (i)
Sustituyendo en la ecuación (i), tenemos la ecuación
de la elipse:
1. La recta tangente a la elipse en cualquier punto
que pertenece a la elipse, tiene por ecuación:
Figura N° 3.44. Recta tangente a una elipse horizontal.
2. La recta tangente a la elipse en cualquier punto
que pertenece a la elipse, tiene por ecuación:
X
b
ky
a
hxE
h k a b
x yE
TL E b x a y a b
p x y
TL b x x a y y a b
TL E a x b y a b
p x y
TL a x x b y y a b
F c V aV a F c
B b
B b
X
YL T
p x y
=−
+−
=
= = − = =
− += + =
+ =
+ =
+ =
+ =
− −
−
3.7.4 RECTA TANGENTE A UNA ELIPSE
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
131
2 2 2 2 2 2: ( ) ( )
1 1 1( ; )
2 2 2 21 1: ( )( ) ( )( )
2 2 2 2 2 2: ( ) ( )
1 1 1( ; )
2 2 2 21 1: ( )( ) ( )( )
2 2 2 2 2 2:
2 2 2:
: 3 3 43 0
2 2 32: ( 6) ( 11)
9
( 0; )2
(0 ; )2
( 0 ; )1
( 0; )1
2 ( ; 0 )1 ( ; 0)
( ; )1 1 2
Figura N° 3.45. Recta tangente a una elipse vertical.
3. La recta tangente a la elipse en cualquier
punto que pertenece a la elipse, tiene por ecuación:
4. La recta tangente a la elipse en cualquier
punto que pertenece a la elipse, tiene por ecuación:
5. Las rectas tangente de pendiente a la elipse tienen
por ecuación:
6. Para hallar la ecuación de la recta tangente también se puede emplear la
condición de tangencia.
La recta es recta tangente a la circunferencia
y es directriz de la elipse , uno de los focos de la elipse
TL E b x h a y k a b
p x y
TL b x h x h a y k y k a b
TL E a x h b y k a b
p x y
TL a x h x h b y k y k a b
TL m E b x a y a b
TL y mx a m b
L x y
C x y E
V a
F c
F c
V a
B bB b
X
Y
TL
p x y
− + − =
− − + − − =
− + − =
− − + − − =
+ =
= ± +
+ − =
− + − =
−
−
−
Ejemplo 3.24:
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
132
' '
' '
1 1
1 1( 1) 1 1
C(6;11)
1( ; )
(0; )
: 3 3 43 0, 1
1
8
''
se encuentra sobre el eje , si y la recta divide al segmento que une a
los centros de y en razón de 1 a 8.
i) Hallar la ecuación de la elipse en el Sistema que ha rotado .
ii) Hallar la ecuación de la elipse en el Sistema .
i) Hallaremos la ecuación ordinaria de la elipse en el Sistema que ha rotado
.
Figura N° 3.46. Gráfico del ejemplo 3.24
Sea la pendiente de la recta la cual es perpendicular a la recta , entonces el
producto de sus pendientes es igual a -1; es decir:
Y E C L
C E
X Y
XY
X Y
m L L
m m
C h k
F p
L x y m
L
n
n
TP
X
Y
XY
f
m
∩ =
− = − → =
+ − = = −
Soluc ión:
ur
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
133
1
1 : 11 1( 6)
1 : 5 0
1(0; ) 0 5 0 5
1
1
: 3 3 43 0 14 29 14 29 y ;
: 5 0 3 3 3 3
4 2( , )
3 1
32 2( ; ) 8
3
( ) (0;5) (6;11) ( 6; 6) 6 2
1 1 1( 6; 6) ;
6 2 2 2
1 9 .
1 1
4 2 1 1(6;11) 9. ; ( 6; 1)
3 2 2
1( , ) 6 2
( , )1
( , )
( , )
( , )
(8 )
El punto (6;11) pertenece a la recta , cuya ecuación está dada por:
Como , entonces satisface su ecuación
Hallamos el punto de tangencia , para ello resolvemos el sistema de
ecuaciones:
Como y .
De la ecuación:
Donde es un punto de la elipse y es la directriz, se puede tomar al vértice como
el punto , es decir:
L
L y x
L x y
F p L p p
TP L L
T
L x yx y P
L x y
Tn d c P Td C P n
CF F C CF
CF
CF
C C n
C C
d C F c
d P Fe
d P L
P L
P
d V F c
d V L a
a c c
n a a a
− = −
− + =
∈ − + = → =
= ∩
+ − = → = = → − + =
= = = =
= − = − = − − → =
− − = = − − =
= +
− − = + → = − −
= =
= <
=
−=
− −
uuur uuur
uuurur
uuur
ur
m
m
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
134
2 128 8 232 2
3
2 2 2 2 14
' '
2 2( ' 6) ( ' 1): 1
128 56
1 2( , ) ( , ) 2
2 2 2 2( 12) ( 7) ( ) ( 5) 2
2 2 2 2( 12) ( 7) 2 ( ) ( 5)
2 2: 23 23 18 62 258 1049 0
a c ca a
aa
a c b b
X Y
x yE
XY
d P F d P F a
x y x y a P
x y a x y
E x y xy y x
−= → = → =
−
− = =
+ ++ =
+ =
+ + + + + − =
+ + + = − + −
+ − − + − =
Luego como , reemplazando los valores obtenemos
Luego la ecuación de la elipse en el sistema de coordenadas es:
ii) Hallaremos la ecuación general de la elipse en el Sistema .
Si aplicamos la definición de elipse
, es un punto de la elipse
Elevando al cuadrado obtenemos:
1. La recta normal a una elipse en cualquiera de sus puntos es bisectriz del ángulo
formado por los radios vectores de ese punto.
2. Las rectas tangentes a una elipse trazadas en los extremos de un diámetro son
paralelas entre sí.
3. Si dos elipses tienen la misma excentricidad, las longitudes de sus semiejes
mayor y menor son proporcionales.
3.7.5 PROPIEDADES DE LA ELIPSE:
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
135
21 2{ ( , ) / ( , ) ( , ) 2 , }
}2),(),(/),({ 212
1
}2),(),(/),({ 212
2
1
2
( , )Y
X
3.8 LA HIPERBOLA
3.8.1 Definic ión:
Obs ervac ión:
Es el conjunto de puntos que pertenecen al plano tales que el valor absoluto de la
diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, siempre será igual a una
cantidad constante positiva y menor que la distancia e puntos fijos.
Es decir:
Donde F1 y F2 son los puntos fijos llamados focos de la Hipérbola, ésta definición
excluye el caso en el que los puntos del plano están sobre la recta que pasa por los
focos, excepto el segmento que une a los focos.
Figura N° 3.47. hipérbola.
Toda Hipérbola se compone de dos ramas H1 y H2 definidas por:
H p x y d P F d P F a a c
aFPdFPdRyxpH
aFPdFPdRyxpH
F
F
p x y
= ∈ − = <
=−∈=
−=−∈=
¡
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
136
1 2 1 2( ; ) 2
1 2
1 2
1 2( ; ) 2
1 2 1 2 , 1 2( ; ) 2
y ' '
22
´´
1
2
2
1
1
2
'
'
(0;0)
'
1
2
3.8.2 ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA
Figura N° 3.48. Elementos de la Hipérbola.
1) : Focos de la hipérbola, ( se denomina distancia focal).
2) y : vértices de la Hipérbola.
3) : centro de la hipérbola y es el punto medio del segmento que une a los focos o
a los vértices.
4) : el segmento que une a los vértices se denomina eje transverso,
.
5) : se llama eje conjugado y son los vértices conjugados, .
6) : son cuerdas focales perpendiculares al eje focal, se denominan
lados rectos de la Hipérbola, y cada uno tiene longitud .
F y F d F F c
V V
C
V V
d V V a
B B B B d B B b
LR L R
b
a
XY
DL
DL
V
V
F
F
L
R
L
R
X
Y
C
T
TE
L
L
=
=
=
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
137
1 2 y
1 2
1 2 y
1
'
'
, 2 2 2
1 2
( ; )
2 2
2 2
( ) ( ): 1
7) : radio focal o radio vectores de la Hipérbola (segmento que une un
punto cualquiera de la Hipérbola con uno de los focos).
8) y : rectas directrices de la Hipérbola correspondientes a los focos
respectivamente.
9) : excentricidad de la Hipérbola, se cumple que .
10) : cuerda de la Hipérbola es un segmento de recta que une dos puntos
cualesquiera de la Hipérbola.
11) cuerda focal, es la cuerda de la hipérbola que pasa por alguno de sus focos.
12) Las constantes se relacionan mediante la ecuación ,
Donde: “ ” es el semieje transverso, “ ” es el semieje conjugado y “ ” es la
distancia del centro a cada uno de los focos.
13) y : Rectas denominadas asíntotas de la Hipérbola.
1. La recta que pasa por los focos es llamada eje focal de la Hipérbola.
2. La recta que pasa por el centro y es perpendicular al eje focal se llama eje
normal.
Consideremos el caso en el cual la Hipérbola tiene centro un punto
cualquiera del plano cartesiano y eje focal paralelo a je , su ecuación está dada
por:
F P F P
DL DL
F F
ec
ea
TT
TE
a b y c b c a
a b c
L L
H C h k
X
x h y kH
a b
= >
= −
− −− =
Notas :
3.8.3 ECUACIONES DE LA HIPÉRBOLA
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
138
1 2( ; ) y ( ; )
( ; )
1 2( , ) ( , ) 2 ,
2 2 2 2( ( )) ( ) ( ( )) ( ) 2
2 2 2 2
2 2 2 2
(( ) ) ( ) (( ) ) ( ) 2 (i)
(( ) ) ( ) (( ) ) ( ) 2 (ii)
2 2 2 2(( ) ) ( ) 2 + (( ) ) ( )
2 2 2 2 2(( ) ) (( ) ) 4 +4 (( ) ) ( )
2 2 24 ( ) 4 4 (( ) ) ( )
2 2 2(( ) ) ( ) ( )
( ; )
( ; )
( ; )1( ; )2
Figura N° 3.49. Determinación de la ecuación ordinaria de la hipérbola.
Los focos de la Hipérbola son
Veamos:
Sea un punto cualquiera que pertenece a la Hipérbola , entonces
satisface la definición
Desarrollando el valor absoluto se tiene:
Si partimos desde la ecuación (i) o la ecuación (ii) obtendremos el mismo resultado,
por lo tanto tomaremos la primera ecuación:
Elevando al cuadrado y ordenando, obtenemos:
F h c k F h c k
P x y H
d P F d P F a a c
x h c y k x h c y k a
x h c y k x h c y k a
x h c y k x h c y k a
x h c y k a x h c y k
x h c x h c a a x h c y k
c x h a a x h c y k
a x h c y k c x h a
K C h k
h
p x y
X
Y
F h c k F h c k
h c h c
− +
− = <
− − + − − − + + − =
− + + − − − − + − =
∨
− + + − − − − + − = −
− + + − = − − + −
− + − − − = − − + −
− − = − − + −
− − + − = − −
− +
− +
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
139
2 2 2 2 2 4 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2
2 2 2 2 2 2 2 2
(( ) ) ( ) ( ) 2 ( )
( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( )
( ) ( )( ) ( )
2 2 0 2 2 2
2 2 2 2 2 2( ) ( )
2 2
2 2
( ) ( ): 1
2 2
2 2: 1
Elevamos al cuadrado:
Como y , hacemos
Reemplazando en la ecuación anterior obtenemos:
Luego la ecuación ordinaria de la Hipérbola es:
A continuación describiremos los elementos de la Hipérbola con sus respectivas
ecuaciones ordinaria, canónica y general, cuyos ejes son paralelo s ejes
coordenados:
1. La ecuación de la Hipérbola con centro en el origen de coordenadas y eje focal
coincidente con el eje X, está dada por:
.
El grafico de una ecuación canónica, es decir de centro (0;0), es:
Figura N° 3.50. Hipérbola de ecuación canónica, de eje focal el eje X.
a x h c y k c x h a a c x h
a x h a c a c x h a y k c x h a a c x h
a c a c a x h a y k
a c a c a c b
b x h a y k a b
x h y kH
a b
x yH
a b
− − + − = − + − −
− + − − + − = − + − −
− = − − − −
< − > − =
− − − =
− −− =
− =
ECUACIÓN CANÓNICA DE LA HIPÉRBOLA
- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5- 3
- 2
- 1
0
1
2
3
x
y
y
x V V F F
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
140
)0,(),0,( 21
)0,(),0,( 21
1:2
2
2
2
),0(),,0( 21
),0(),,0( 21
(0;0)
1( 0; )
1(0; )
( 0; )2
(0; )2
Sus elementos son:
1. Los vértices de la Hipérbola son:
2. Focos:
3. Eje focal : y = 0
4. Eje conjugado: x = 0
5. Ecuación de las asíntotas:
2. La ecuación de una Hipérbola con centro en el origen de coordenadas y eje focal
coincidente con el eje , está dado por:
Figura N° 3.51. Ecuación canónica de la hipérbola, de eje focal el eje Y.
Sus elementos son:
1. Los vértices de la Hipérbola son:
2. Focos:
3. Eje focal : x = 0
4. Eje conjugado: y = 0
5. Ecuación de las asíntotas:
aVaV
cFcF
xa
by
Y
b
x
a
yH
aVaV
cFcF
xb
ay
V a
F c
V a
F c
−
−
±=
=−
−
−
±=
−
−
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
141
1)()(
:2
2
2
2
),(),,( 21
),(),,( 21
1 2( , ) y ( , )
)(
( ; )
( ; )
121 2
2
1
ECUACIÓN ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA
Es la ecuación de la Hipérbola de centro (h,k) cualqu l plano, cuyos ejes
focales son paralelos a los ejes coordenados:
1. La ecuación de una Hipérbola de centro en el punto (h,k) cualquier punto del
plano y eje focal paralelo al eje X, está dado por:
Figura N° 3.52.Gráfico de la ecuación ordinaria de la hipérbola, de eje focal paralelo
al eje X.
Sus elementos son:
1. Los vértices de la Hipérbola son:
2. Focos:
3. Vértices conjugados
3. Eje focal : y = k
4. Eje conjugado: x = h
5. Ecuación de las asíntotas:
=−
−−
+−
+−
− +
−±=−
+
−
− +− +
b
ky
a
hxH
kahVkahV
kchFkchF
B h k b B h k b
hxa
bky
k
k b
k b
C h k
h
p x y
X
Y
FF
h c h ch a
h a
V V
B
B
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
142
1)()(
:2
2
2
2
),(),,( 21
),(),,( 21
1 2( , ) y ( , )
)(
(0;0)
1
1
2
2
21
2. La ecuación de la Hipérbola de centro en el punto (h,k) cualquier punto del plano
y eje focal paralelo al eje Y, está dado por:
Figura N° 3.53. Gráfico de la ecuación ordinaria de la hipérbola, de eje focal paralelo
al eje Y.
Sus elementos son:
1. Los vértices de la Hipérbola son:
2. Focos:
3. Vértices conjugados
4. Eje focal : x = h
5. Eje conjugado: y = k
6. Ecuación de las asíntotas:
=−
−−
+−
+−
− +
−±=−
+
+
−
−
− +
b
hx
a
kyH
akhVakhV
ckhFckhF
B h b k B h b k
hxb
aky
V
F
V
F
h
k
k a
k c
k a
k c
BB
h bh b
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
143
2 2 0
2 2 2 2 2 2:
1 1 1( ; )
2 2 2 21 1:
2 2 2 2 2 2:
1 1 1( ; )
2 2 2 21 1:
2 2 2 2 2 2: ( ) ( )
1 1 1( ; )
2 2 2 21 1: ( )( ) ( )( )
2 2 2 2 2 2: ( ) ( )
1 1 1( ; )
2 2 2 21 1: ( )( ) ( )( )
2 2 2 2 2 2: 2 2 2: ,
ECUACION GENERAL DE LA HIPERBOLA
3.8.4 RECTA TANGENTE A LA HIPÉRBOLA
La ecuación:
, donde A,C,D,E y F son constantes; A y C tienen
signos opuestos;
Representa la ecuación general de la hipérbola de ejes paralelos a los ejes
coordenados o un par de rectas que se cortan.
1. La ecuación de la recta tangente a la Hipérbola , en
cualquier punto que pertenece a la Hipérbola , tiene por ecuación:
2. La ecuación de la recta tangente a la Hipérbola en cualquier
punto que pertenece a la Hipérbola , tiene por ecuación:
3. La ecuación de la recta tangente a la Hipérbola ,
en cualquier punto que pertenece a la Hipérbola , tiene por ecuación:
4. La ecuación de la recta tangente a la Hipérbola en
cualquier punto que pertenece a la Hipérbola , tiene por ecuación:
5. Las ecuaciones de las rectas tangentes de pendiente a la hipérbola
, son
AX CY DX EY F
H b x a y a b
p x y
TL b x x a y y a b
H b y a x a b
p x y
TL b y y a x x a b
H b x h a y k a b
p x y
TL b x h x h a y k y k a b
H b y k a x h a b
p x y
TL b y k y k a x h x h a b
m
H b x a y a b T
bL y mx a m b m
a
+ + + + =
− =
− =
− =
− =
− − − =
− − − − − =
− − − =
− − − − − =
− = = ± − >
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
144
2 2 2 2 2 2:
2 2 2: ,
2 2 2 2 2 2: ( ) ( )
2 2 2: ( ) ,
2 2 2 2 2 2: ( ) ( )
2 2 2: ( ) ,
2 2( 3) ( 4): 1
4 12
: 2 18 0
12
12
:2
2 22 3 ( 4)
14 12
6. Las ecuaciones de las rectas tangentes de pendiente a la hipérbola
, son:
7. Las ecuaciones de las rectas tangentes de pendiente a la hipérbola
, son:
8. Las ecuaciones de las rectas tangentes de pendiente a la hipérbola
, son:
Dada la hipérbola . Hallar la ecuación de la recta tangente a
la hipérbola que es paralela a la recta .
Sea la recta tangente de pendiente , como es paralela a de
pendiente , entonces: .
Luego la recta tangente tiene la forma:
(i)
Mediante la condición de tangencia sustituimos la ecua i) en la ecuación de la
Hipérbola:
m
H b y a x a b
T
bL y mx a b m m
a
m
H b x h a y k a b
T
bL y k m x h a m b m
a
m
H b y k a x h a b
T
bL y k m x h a b m m
a
y xH
H L x y
TL Tm TL L
m Tm m
T
xL y l
x l x
− =
= ± − <
− − − =
− = − ± − >
− − − =
− = − ± − <
− −− =
− + =
=
= =
= +
( )+ − −− =
Ejemplo 3.25:
Soluc ión:
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
145
2 22 6 ( 4)1
16 12
2 2 212( 4 36 24 2 (2 6)) 16( 8 16) 12(16)
2 2 212 48 12(36) 12(24) 24 (2 6)) 16 16(8) 256 12(16)
2 2(12 16) ( 48 144 128) 48 432 288 256 192 0
2 24 (272 48 ) 48 288 16 0
2 24 (48 272) (48 288 16) 0
2 20 (48 272) 4(4) (48 288 16) 0
2 2(48 272) 4(4) (48 288 16) 0
2 22304 73984 26112 16 48 288 16 0
2 2144 4624 1632 48 288 16 0
2192 1920 4608 0
2 10 24 0
( 6)( 4) 0 6 4
6 , : 6 : 2 12 02
4 , : 4 : 2 8 02
1: 2 12 0 y
2: 2 8 0 .
2 2 2 2 2 2:
1 : 0 2 : 0
( )+ − −− =
+ + − − − − − + =
+ + − − − − + − =
− + − + + + + − − − =
− + − + − − =
+ − − − − =
= → − − − − − =
− − − − − =
+ − + − − =
+ − + − − =
− + =
− + =
− − = ↔ = ∨ =
= = + → − + =
= = + → − + =
− + = − + =
− =
− = + =
x l x
x l l x l x x
x l l x l x x
x l x l l
x l x l l
x l x l l
l l l
l l l
l l l l
l l l l
l l
l l
l l l l
Si lT T
xL y L x y
Si lT T
xL y L x y
H
L
TL x y TL x y
H b x a y a b
L bx ay L bx ay
V
sustituimos en (i), obtenemos
sustituimos en (i), obtenemos
Por lo tanto encontramos dos rectas tangentes a la hipérbola que son paralelas a
la recta , las cuales tienen por ecuación:
Dada la hipérbola , tiene por asíntotas las rectas
y .
3.8.5 ASÍNTOTAS DE LA HIPÉRBOLA
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
146
2 2 2 2 2 2:
2 2 2:
0 y 0
0
2 2: ' ' 2
' '
0
Nota 1:
Nota 2:
3.8.6 HIPÉRBOLA EQUILÁTERA O RECTANGULAR
Cas o particular:
Las asíntotas se obtienen sustituyendo el término constante por cero y aplicando
diferencia de cuadrados, luego se aplican propiedades de los números reales.
Para graficar una hipérbola se sugiere ubicar en el plano cartesiano los vértices y
los vértices conjugados, se forma un rectángulo de lados paralelos a los ejes
transverso y conjugado; luego se trazan las asíntotas por los vértices de este
rectángulo las mismas que coinciden con las diagonales de dicho rectángulo.
Es aquella hipérbola cuyos ejes transverso y conjugado son de igual longitud.
Si la hipérbola es equilátera, entonces , luego la
ecuación toma la forma:
Sus asíntotas son
Dado , la constante (i)
La ecuación (i) también representa una hipérbola equilátera, cuyas asíntotas son los
ejes coordenados.
Si se giran los ejes coordenados un ángulo de 45°, la ecuación (i) se transforma en
ecuación de una hipérbola equilátera en el sistema de coordenadas
.
En la siguiente figura se muestra la grafica de la ecuación (i) para el caso :
H b x a y a b a b
H x y a
x y x y
xy k k
H x y k
X Y
k
− = =
− =
− = + =
= ≠
− =
>
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
147
2 2
2 2: 1
2 2
2 2: 1
''
45°
Figura N° 3.54. Hipérbola equilátera o rectángular.
Se dice que dos hipérbolas son conjugadas si el eje transverso de cada una es
idéntico al eje conjugado de la otra.
Si la ecuación de la hipérbola es , entonces la hipérbola conjugada
correspondiente es:
.
Figura N° 3.55. Hipérbolas conjugadas.
3.8.7 HIPÉRBOLAS CONJUGADAS
x yH
a b
C
y xH
b a
X
Y
H
CH
X
YXY
− =
− =
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
148
2 2
: 1144 25
2 2
: 125 144
( 3,5) ( 3,9) ( 3,7)
( , ) 4
( , ) 2
, 2 2 2
2 2 2(4) (2) 2 3
2 2
2 2
( ) ( ): 1 ( , ) ( 3, 5)
2 2
2 2
( 5) ( 3): 1
(2) (2 3)
Las hipérbolas conjugadas y tienen el mismo centro, un par de asíntotas
comunes y todos sus focos equidistan del centro.
Sea , la hipérbola conjugada correspondiente es:
Hallar la ecuación de la hipérbola de centro , foco y vértice
Sabemos que la distancia del centro a uno de los focos es la longitud , es decir:
,
Sabemos que la distancia del centro a uno de los vértices es la longitud , es decir:
,
Luego la ecuación que asocia a los escalares es
Entonces
Luego la ecuación de la hipérbola es de la forma:
, donde
Gráfico:
H CH
x yH
C
y xH
C F V
c
d C F c c
a
d C V a a
a b y c c a b
b b
y k x hH
a bC h k C
y xH
Ejemplo 3.26:
Ejemplo 3.27:
Soluc ión:
− =
− =
− − −
= → =
= → =
− =
− = → =
− −− = = −
− +− =
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
149
2 23 4 3 2 21 7 2 0
3, 4 3 2 ,
4 3 4 3(2 ) 4 3
3 2
Nos apoyamos en el siguiente triángulo rectángulo, par en general, pues algunas
veces vamos a trabajar con ángulos no usuales:
17
1
2
2cos
7
17
1
2
3s
7
2
4 37 1cos(2 )
7
( 0;0 )
1
1
2
2
3
5
79
3
1
21
3 2 3 3 2 3
Figura N° 3.56. Gráfico del ejemplo 3.27.
Transformar la ecuación en otra que carezca
del término , realizando una rotación de los ejes coordenados.
Comparando la ecuación dada con la ecuación general de segundo grado,
observamos que luego sustituimos esto valores en la
siguiente ecuación:
y
Ejemplo 3.28:
Soluc ión:
x xy y x y
xy
A B y C
B kTg
A C k
en
k
k
k
V
F
V
F
BB
+ + + + + =
= = =
= = = =− −
+= =
−= =
=
−− − − +
q
q q
q
q
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
150
cos y sen
'cos '
' ' cos
2 ' 3 '327 7 7
3 ' 2 '3 27 7 7
' '
' '
2 ' 3 ' 2 ' 3 ' 3 ' 2 ' 3 ' 2 ' 2 ' 3 ' 3 ' 2 '2 2
7 7 7 7 7 73( ) 4 3( )( ) 2( ) 21( ) 7( ) 2 0
2 2 2 ' 3 ' 3 ' 2 '42 ' 7 ' 7 21( ) 7 7 ( ) 14 0
7 7
2 26 ' ' 3 3 ' ' 2 0
La cual representa a una hipérbola en el sistema cartesiano ' ' .
3
4 1 : 4 5 66 0
16 5;
3 3
31
4
3
43 y 4
Luego sustituimos los valores de en las ecuaciones de transformación:
, obteniendo
Luego reemplazamos las ecuaciones de transformación en la ec ión de la cónica
dada:
Luego de desarrollar y factorizar, obtenemos la siguiente ecuación:
Dadas la excentricidad y la recta directriz correspondiente
al foco , ambos de la cónica . Hallar la ecuación de la hipérbola
cuyos focos y vértices son respectivamente los vértices y focos de .
Como la excentricidad , entonces la cónica representa a una elipse, luego
, entonces . ……….(i)
Bosquejamos el gráfico:
q q
q q
q q
b
b
b
x x y sen
y x sen y
x y
x y
x x y
y x y
x y x y x y x y x y x y
x y x yx y
x y x y
X Y
e L x y
F H
e
ce
ac l a l
= −
= +
−
+
= − =
= + =
− − + + − ++ + + + + =
− +− + + + =
− + − + =
= + + =
= <
= = = =
Ejemplo 3.29:
,
Soluc ión:
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
151
41 5 1
1 1. 1 41 5
54
54:
16 53 3;
5 5 163 4 3( ) 5
5
: 5 4 20 0
1
1 : 4 5 66 0( 4; 10)
: 5 4 20 0
1 : 4 5 66 016 53 3;
52 503 3;
Sea y las pendientes de las rectas y respectivamente, como
, sustituyendo el valor de , obtenemos .
Luego la ecuación de la recta está dada por ……… (ii)
Como el punto , entonces sustituimos sus coordenadas en (ii):
Por lo que sustituyendo el valor de en la ecuación (ii) y desarrollando
obtenemos:
Sea el punto , tal que , para hallar las coordenadas del punto se
debe resolver el sistema de ecuaciones:
m m L L
L L m m m m
L L y x b
L
b b
b
L x y
Q L L Q Q
L x yQ
L x y
L x y
L
F
C
X
Y
H
−=
⊥ → = − −= =
= +
( )∈
= + → = −
= −
− − =
{ }∩ =
+ + =→ − −
− − =
+ + =( )•
( )•
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
152
'
16 5 73 3 3
; ( 4; 10) 4;5
7 413
1(4;5)
41
2
1( ; )
16 5 23 3
2 2
4( ) 5 66 163
34 5
287 741
33 41
41
3 =3 41 y 4 4 41
( ; )
2
( ; ) ( 4; 10)
16 41 1( ; ) ( 4; 10) . (4;5)
3 41
52 503 3( ; ) ;
3 41 4 41 ,
2 2 2
287
2 2
2 2
' ': 1
(3 41) ( 287 )
' '
52 50 13 3 41
' ( ; ) ( ; ) (4;5) 52 50 13 3 41
' ( ; ) ( ; ) ( 5; 4)
Para hallar el vector unitario en la dirección de
Luego
De la ecuación
Luego sustituimos en la ecuación (i), y obtenemos:
Para hallar las coordenadas del centro de la elipse , consideramos la
siguiente ecuación:
Luego las coordenadas del centro de la elipse son:
Para hallar la ecuación de la hipérbola , tomamos en cuenta que
, luego las constantes están asociadas mediante las
siguiente relación , sustituyendo los valores de , obtenemos:
Por lo que la ecuación de la hipérbola, está dada por:
(iii)
Luego consideramos las ecuaciones de transformación para rotación y traslación de
ejes coordenados:
m
m m
b
m
m m
ur
uuur uuur
uuur
uuurur ur
uuur
ur
ur ur
X
QF F Q QF
QF
QF
QF
ad F L c
c
ll
l
ll
l
c l a l
C h k
ah k
c
h k
C h k
H
a y c a b y c
c a b a y c
b
x yH
ox P P oy P P
x x y y x y
( ) ( )= − = − − − → =
=
= → =
= −
( )+ += −
+
= → =
=
= = =
= − − +
= − − +
( )=
= =
− =
=
− =
[ ]= − [ ]⊥
= −
= − = − −
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
153
12 15 458'
3 41
12 15 60'
3 41
2 2
2 2
12 15 458 12 15 60
3 41 3 41: 1
(3 41) ( 287)
PA PB
x yx
y xy
x y y x
H
+ −=
− +=
+ − − + − =
−
(iv)
Luego sustituimos (iv) en (iii), y obtenemos la ecuación de la hipérbola en las
variables x e y, es decir en el sistema de coordenadas original XY :
Figura N° 3.57. Gráfico del ejemplo 3.29.
En el sistema de navegación por radio LORAN (LOng RAnge Navigation), dos
estaciones de radio localizadas en A y B, transmiten en forma simultánea señales a un
barco o avión localizado en P. La computadora de abordo convierte la diferencia de
tiempo de recibir estas señales en una diferencia , y esto, de acuerdo
con la definición de una hipérbola, localiza al barco o avión en una rama de una
hipérbola (véase la figura N°3.1). Suponga que la estación B se localiza a 400 millas
este de la estación A sobre la costa.
Ejemplo 3.30: (Aplicac ión s is te mas de navegac ión)
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
154
( )
/
PA PB 2
t(P,A) (P,B) 1200
d(P,A) (P,B)1200
980 980
7
Un barco recibe la señal de B 1200 microsegundos antes de recibir la señal de
A.
(a) Si se supone que la señal de radio viaja a una rapidez de 980 ,
encuentre la ecuación de la hipérbola sobre la que se aliza el barco.
(b) Si el barco se dirige al norte de B, ¿qué tan lejos de la costa está el
barco?7
Figura N° 3.58. Estaciones de radio. Steward (2008)
(a) Sabemos que la definición de Hipérbola está dada por:
(i)
Tenemos como dato:
, sabemos que , de donde
Stewart, James. CÁLCULO: TRASCENDENTES TEMPRANAS, México: ial Cengage
Learning, sexta edición, 2008.
s
pies s
a
t d vtd
tv
d
m
m
Soluc ión:
− =
− = = =
− =
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
155
d(P,A) (P,B) 1200(980) 1176000
2 1176000
1 24502 1176000
5280 11
1225
11
2
2 400 200
, 2 2 2
2
2 21225(200)
11
2 3339375
121
2 2
2 21
2 2
21
3339375122512111
2 2121 121: 11500625 3339375
d
a
a mi mi
a mi
c
c mi c mi
a b y c c a b
b
b
x y
a b
x y
x yH
− = =
=
= =
=
= → =
− =
− =
=
− =
− =
∴ − =
(ii)
De las ecuaciones (i) y (ii), tenemos:
pies, pero (1milla = 5280 pies)
Luego, como las antenas se ubican en lugar de los focos y sabemos que la distancia
entre los focos es , así como la distancia entre las antenas es 400 mi, entonces
deducimos que:
La ecuación que asocia a los escalares es
Sustituyendo valores:
Luego la ecuación de la hipérbola tiene la forma canón :
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
156
2 2121(200) 121: 1
1500625 3339375
247.8200371 . 248 .
(b) Si el barco se dirige al norte de B sus coordenadas serian (200,y),
entonces debe verificar la ecuación de la hipérbola:
Despejando y, obtenemos:
yH
y mi mi
− =
= ≈
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
157
11 12 13 1 1
21 22 23 2 2
31 32 33 3 3
1 2 3
1 2 3
....
....
....
....
....
CAPÍTULO IV
4.1 Matrices
4.1.1 Definic ión:
Notac ión:
En el presente capítulo se estudiaran las matrices y determinantes así como su
importancia en la solución de sistemas de ecuaciones; mo aplicación
resolveremos problemas de flujo máximo y problemas relacionados con sustancias
químicas que afectan al medio ambiente.
Se desarrollará los siguientes ítems:
4.1. Matrices
4.2. Determinantes
4.3. Sistemas de ecuaciones.
Una Matriz es un arreglo u ordenación rectangular de mxn elementos ( ) ,
dispuestos en “m” filas y n columnas y encerrados entre corchetes o paréntesis.
El nombre de una matriz se escribe en mayúsculas y lo mentos en minúsculas.
el orden de la matriz es “mxn” (m filas y n columnas)
Los elementos de la matriz se representan por donde representa a las filas y
representa a las columnas.
∈
( ) = =
=
¡
M
M
i j i j mxnmxnA a a
j n
j n
j n
iji i i in
m m m mj mn
a a a a a
a a a a a
a a a a a
A
aa a a a
a a a a a
i ja i
j
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
158
2 3 4 1
0 1 5 2
4 6 8 323 5
( )
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
1 2 1 2
Ejemplo 4.1:
4.1.2 Operac iones con matrices :
1. Igualdad de matrices :
2. Suma de Matrices :
3. Multiplicac ión de una cons tante por una matriz :
4. Multiplicac ión de matrices :
Si es una matriz de orden 3x4 y el elemento
Las matrices y son iguales si y sólo si tienen el mismo orden
y sus elementos correspondientes son iguales (para cada y para cada
).
Sean las matrices y
Entonces
Observación:
Sean “c” una constante , y una matriz
Entonces: 3.
Sean las matrices y
Entonces el producto = . =
A a
i jA a i jB b
i j i ja b i j
i j mxnA a i j mxn
B b
i j i j i j i jmxn mxn mxnA B a b a b
A B A B
i j mxnA a
i j i jmxn mxncA c a ca
n n
n n
m m mn m m mn
a a a ca ca ca
a a a ca ca cac
a a a ca ca ca
i j m x nA a i j n x p
B b
AB i j m x na i j n x p
b i j m x pc
− = −
=
= =
=
= =
+ = + = +
− = + −
=
= =
= =
= =
L L
L L
M M M M M M
L L
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
159
( ) ( )
( )
( ). .( )
.( )
( ).
( ) (k ) ( )
1.
( )
( )
( )
( )
1
( )
Nota
Propiedades :
4.1.3 Trans pues ta de una matriz :
4.1.4 Traza de una matriz
: no siempre son iguales.
O: es la matriz cero, , .
Es la matriz que se obtiene cambiando las filas por co mnas
Si su transpuesta es
Propiedades:
Es la sumatoria de los elementos de la diagonal de una matriz cuadrada
AB y BA
A B B A
A B C A B C
A O O A A
A A O
AB C A BC
A B C AB AC
A B C AC BC
k AB A B A kB
OA O A A
i j m xnA a T
j i n x mA a
T T TA B A B
T TA A
T TkA kA
T T TAB B A
n
i ii
Tr A a
+ = +
+ + = + +
+ = + =
+ − =
=
+ = +
+ = +
= =
= =
= =
+ = +
=
=
=
=
= ∑
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
160
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) . ( )
0;
11
22
0 0
0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
3
3 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Propiedades :
4.1.5 Tipos de Matrices
Matriz cuadrada
Matriz Diagonal
Matriz Es calar
Matriz Identidad
Matriz S imétrica
R mxn
Matriz Antis imétrica:
R mxn
Tr A B Tr A Tr B
Tr AB Tr BA
Tr kA k Tr A
i ja i j
n n
a
a
a
k
k
k
x
I
A
A TA A
TA A
+ = +
=
=
= ≠
=
= −
=
: el número de filas es igual al número de columnas.
: ;
: ;
:
:
se llama simétrica si
se llama antisimétrica si
L
K
M M M
K
L
K
M M M M
K
Î
Î
ó
ó
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
161
2
2
. .
11 12 1
21 22 2
1 2
Matriz Idempote nte
Matriz Involutiva
Matriz Ortogonal
R nxn
4.1.6 Trans formacio nes e leme ntales :
Obs ervac iones :
A A A
A A I I
A T TA A A A I I
n
n
m m mn m x n
a a a
a a aA
a a a
i jF F
i i jF F F
A B B A
es idempotente
Es involutiva , : matriz identidad
se llama ortogonal si se verifica , : matriz identidad
Sea la Matriz
Establecemos las siguientes operaciones elementales:
i) Intercambiar una fila (o columna) con otra fila (o columna),
ii) Sumar a una fila (o columna) una múltiplo de la otra fila (o columna)
- Las operaciones elementales se efectúan sólo por filas, o solo por columnas.
- Una matriz es equivalente de otra matriz , si se puede obtener de ,
luego de un número finito de transformaciones elementa .
ó
ó
=
=
= =
=
↔
= +
Î
L
L
M M M
L
a
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
162
3 4 1 2 0 2 1 4 5
0 0 8 2 5 6 0 0 3, 0 0 00 0 0 0 4 1
0 0 00 0 0 0 0 0
0 1 4 0 0 3 00 1 0 5 0 1 4 0 5
0 0 0 1 0 2 00 0 1 2 ; 0 0 0 1 1 ;
0 0 0 0 1 2 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
4.1.7 Matriz es calonada:
Ejemplo 4.2:
4.1.8 Matriz es calonada reduc ida por filas
Ejemplo 4.3:
4.1.9 Rango de una matriz : Rang o (A)
Cuando el número de ceros anteriores a la primera componente distinta de cero de
una fila, crece fila a fila, hasta llegar a filas que sean nulas.
donde son los elementos distinguidos (no pueden estar en la sma columna)
(Forma Canónica)
Cuando los elementos distinguidos son “1” y son los únicos componentes distintos
de cero en su respectiva columna. La matriz Identidad es una “matriz escalonada
reducida”.
; matriz
identidad
Es el máximo número de Filas no-nulas (diferentes de cero) de una matriz , luego de
haber sido reducida a la forma Escalonada utilizando transformaciones elementales
entre filas.
−
−
−
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
163
1
1
1
1121
122211 1y 0
11 1211 23 12 22
22 23
det( )
)(1
)(1
y 0 11
)1(
Propiedad:
4.1.10 Invers a de una Matriz:
Definic ión:
4.1.11 Definic ión: (Matriz invers a mediante la matriz de Cofactores )
Obs ervac iones :
El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal.
Una matriz A es inversible si existe otra matriz B, (a cuadradas), tal que
i) Mediante transformaciones elementales, es posible hallar la inversa de una
matriz cuadrada.
ii) Una matriz A cuadrada de orden nxn tiene inversa si y sólo si el Rango(A)=n.
iii) El método de Gauss para hallar la matriz inversa es aquel que utiliza las
transformaciones elementales:
La matriz A2x2 tiene inversa
Determinante de la matriz de segundo orden:
La matriz Anxn tiene inversa
i) Al cofactor del elemento de una matriz A es denotado por y está definida
por :
A
AB BA I
A
A I I A
aa
aa
AAAA
a aA A a a a a
a a
tCAA
AadjA
AAA
ija ijA
ijji
ij MA
−
= =
−
[ ] [ ] [ ] − →
−
−=≠↔ −−
= = = −
==≠↔ −−
+−=
M M
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
164
333231
232221
131211
333231
232221
131211
)()(
1 1
1 1 1
1 1
1 1 1
1 -1
1) . .
2) ( . ) .
3) ( ) ( )
4) ( ) . ; : constante
5) ( )
:
ijM A i
j
aaa
aaa
aaa
A
AAA
AAA
AAA
CA
tCAAadj
T T
A A A A I
A B B A
A A
KA k A K
A A
nxnMA
RMDet nxn
es el determinante de la matriz que previamente se ha reducido en la fila y
la columna .
ii) Si a cada elemento de la matriz A sustituimos por sus ivos cofactores,
obtenemos una matriz que se denomina matriz de cofactores (CA).
Si , la matriz de cofactores es
iii) La matriz adjunta de A es:
Sea la matriz y la función determinante que satisface:
Entonces es una función que aplicada a una matriz, le igna un valor numérico
único.
Ejemplo 4.4:
Propiedades :
4.2 DETERMINANTES
4.2.1 Definic ión:
=
=
=
− −
− − −
− −
− − −
−
= =
=
=
=
=
∈
→
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
165
)(det
),,,(det 1 ),,,(det 1 ),,,(det 1
),,,(det 1 ),,,(det 1
),,,,(det 1 ),,,,(det 1
0)(det
0)(det
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
1 1
1 111 12 1
21 22 2 2 2
1 2 1 1
1 1.
Notac ión:
4.2.2 Propiedades :
4.3 S ISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
El determinante de una matriz se denota como o por
1.
2.
3. (intercambio de columnas)
4. Si y tiene una columna cuyos elementos son ceros, entonces .
5. Si y tiene una columna cuyos elementos son ceros, entonces .
Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
El cual se puede escribir matricialmente como:
O también de la forma:
A A
nji CCCC ni CCC nj CCC
ni CkCC ni CCCk
nji CCCC nij CCCC
nxnMA A
nxnMA A
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
mxn nx mx
n
n
m m mn n mmxn n x m x
A X B
x ba a a
a a a x b
a a a x b
m x n nx m xA X B
=+ +
=
= −
∈ =
∈ =
= = =
[ ] [ ] [ ]
=
=
KK KK KK
KK KK
KK KK
L
L
M M M
L
L
L
M M M M M
L14444244443 123 14243
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
166
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
322
522
82
4
3
2
1
1
:
2036
454
7
31211109
28765
1432 ( )
( )
( )
4.3.1 Método de Gaus s
Condic iones :
Ejerc ic ios 4.1:
Formamos la “Matriz Aumentada”
i) El sistema posee solución única s.s.s Rango =Rango = n
(n: número de incognitas).
ii) El sistema no posee solución s.s.s Rango > Rango
iii) El sistema posee infinitas soluciones s.s.s Rango =Rango < n
(n: número de incognitas).
Resolver los sistemas de ecuaciones:
a)
b) ; no posee sol.
c)
[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
=++
−=−+−
=+−+
−=−+
=
−=
=
=
=++
=+−
=−+
=+++
=+++
=+++
BA
n
n
m m mn m
a a a b
a a a b
a a a b
BA A
BA A
BA A
wzx
wyx
wzyx
wzx
w
z
y
x
R
zyx
zyx
zyx
tzyx
tzyx
tzyx I
II
III
L
L
M M M M
L
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
167
( )
5( ) ( ) ).......31284
).........1432
) )
1 1
1 111 12 1
21 22 2 2 2
1 2 1 1
11 12 1
21 22 2
1 2
0
1 12 1
2 22 21
2
11 1 1
21 2 22
1
11 12 1
21 22 2
1 2
......., , , 22
11
Consideramos las ecuaciones:
Si en fijamos z y t encontramos un valor para “y”, luego en encontramos un
valor para “x”
Si fijamos infinitos valores para “z” y “t”, obtendremos infinitos valores para “y” y “x”.
Consideremos el sistema de ecuaciones lineales:
(Donde debe ser cuadrada e inversible)
Sean los siguientes determinantes:
Si , el sistema tiene soluciones infinitas o no tiene solución.
; ,………….,
Donde:
I
I II iitzy
itzyx
ii i
mxn nx mx
n
n
m m mn n mmxn n x m x
A X B
x ba a a
a a a x b
a a a x b
A
n
n
m m mn
a a a
a a aA
a a a
n
n
m m mn
b a a
b a a
b a a
n
n
m m mn
a b a
a b a
a b a
n
m m m
a a b
a a b
a a b
nnxxx
−
−=−−−
=+++
[ ] [ ] [ ]
=
[ ]
∆ = =
=∆
∆ = ∆ = ∆ =
∆
∆=
∆
∆=
∆
∆=
4.3.2 REGLA DE CRAMER
L
L
M M M M M
L14444244443 123 14243
L
L
M M M
L
L
L
M M M
L
L
L
M M M
L
L
L
M M M
L
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
168
1 1.
1 1
1
1
. .
. .
.
8
4.3.3 Método de la Matriz Invers a
Ejemplo 4.5: Aplicac ión
Soluc ión:
Sea el sistema de ecuaciones lineales
(i)
Donde: es una matriz inversible
El sistema (i) se puede representar de la manera abreviada siguiente:
Desarrollando obtenemos:
Donde es la matriz de incógnitas del sistema.
Un granjero prepara una mezcla de avena y maíz como al mento para su ganado.
Cada onza (28g) de avena produce 4 g de proteína y 18 g de carbohidratos, y cada
onza de maíz produce 3 g de proteína y 24 de carbohidratos. ¿Cuántas onzas de
cada grano se pueden usar para cumplir las
necesidades nutritivas de 200 g de proteína y 1320 g de carbohidratos por ración?8
Swokowski, Earl W. y Cole, Jeffery A. ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA CON GEOMETRÍA
ANALÍTICA, México D.F.: Grupo Editorial Iberoamérica, tercera edición, 1996.
m x n nx m xA X B
A
AX B
A A X A B
I X A B
X A B
X
=
[ ]
=
− −
−
−
=
=
⇒ =
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
169
4 3 200
3 4 220
220
200
43
34
1
743
34
74
73
73
74
43
34
711
40
20
7880
7600
7660
7800
220
200
74
73
73
74
Tabla 3.2 Alimento Vs. Nutrientes del ejemplo 4.5
Alimento
nutrientes
avena maíz Pedido de
nutrientes
proteína 4 g 3 g 200g
carbohidratos 18 g 24g 1320g
Sean:
: El número de onzas de avena
: El número de onzas de maíz
Obtenemos el sistema de ecuaciones:
El cual se puede expresar en la siguiente forma matricial:
Luego ( )
Reemplazando en ( ):
x
y
x y
x y
BXA
y
x
BAX
BAX
A A
y
xX
+ =
+ =
=
=
−=
==
−
−
=
−
−=−
=
=
=
+−
−=
−
−
{ 321321
a
a
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
170
003
5.8)1(5.88610
1
9
Para cumplir las necesidades nutritivas de 200 g de proteína y 1320 g de
carbohidratos por ración se puede usar las siguientes cada tipo de grano:
20 onzas de avena
40 onzas de maíz
La especialidad de un negocio es preparar mezclas de cafés para gourmets. El
propietario desea preparar bolsas de 1 lb mezclando cafés de Perú, Brasil y Kenya,
que cueste a $8.50. El costo de las variedades de café es $10, $6 y $8,
respectivamente, por libra. La cantidad de café de Perú debe ser el triple de la
cantidad del café brasileño. Calcule la cantidad de cada tipo de café en la mezcla.9
Sea:
: El número de lb de café del Perú a usar en la mezcla
: El número de lb de café del Brasil a usar en la mezcla
: El número de lb de café del Kenya a usar en la mezcla
El sistema de ecuaciones asociado al problema es el siguiente:
Para hallar la solución emplearemos el método matricial.
Swokowski, Earl W. y Cole, Jeffery A. ÁLGEBRA Y TRIGO TRÍA CON GEOMETRÍA
ANALÍTICA, México D.F.: Grupo Editorial Iberoamérica, tercera edición, 1996.
=
=
=+−
==++
=++
x
y
x
y
z
zyx
zyx
zyx
Ejemplo 4.6:
Soluc ión:
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
171
0
5.8
1
031
8610
111
1
031
8610
111
03
86
01
810
31
610
610
11
810
11
86
1131
11
01
11
03
1131
610
01
810
03
86
422
413
36824
( )
4436
218
2324
1 ( )
{ 32144 344 21BXA
z
y
x
BAX
BAX
A
A
tadj A CA
adj AA
A
=
−
=
−=
−− −
+−+
−−+
−−
−+−
−+
−
+−−
−+
=
−+−
−
−
− =
( )
Para hallar la matriz inversa utilizaremos el método de la matriz adjunta.
En primer lugar hallamos el determinante de la matriz :
= = 1 -1 +1 =24+8-36 = -4
En segundo lugar hallaremos la matriz de cofactores:
CA= =
En tercer lugar hallaremos la matriz adjunta de A:
=
Luego la matriz inversa está dada por:
a
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
172
4436
218
2324
411
11942
41
2
42
43
6
1
11942
41
2
42
43
6
0
5.8
1
2
18183
83
81
21
)(
- y , 2)(
−+−
−
−
−=−
+−
−−
−−
−=
+−
−−
−−
++=
A
BAX
z
y
x
x
y
z
xp
cba cbxaxxp
=
= = =
Los valores de las incógnitas son:
= lb de café del Perú a usar en la mezcla
= lb de café del Brasil a usar en la mezcla
= lb de café del Kenya a usar en la mezcla
Un fabricante de Equipo eléctrico cuenta con la siguiente información, acerca de las
ganancias semanales que se obtienen con la producción y venta de cierto tipo de
motor eléctrico.
Cantidad producida, 25 50 100
Ganancia en dólares, 5250 7500 4500
Determinar de tal manera que la gráfica de se ajuste a
esta información.
Ejemplo 4.7:
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
173
- )(
450010010000)100(
7500502500)50(
525025625)25(
4500
7500
5250
110010000
1502500
125625
1
10
Según la función cuadrática , ¿ Cuántos motores se deben producir cada
semana para obtener una ganancia máxima?¿Cuál es la ut idad o ganancia
semanal máxima?10
El sistema de ecuaciones asociado al problema es el siguiente:
Emplearemos el método matricial:
Donde
En forma similar a los ejemplos anteriores desarrollados, se determina el resultado
del problema a=-2, b=240, y c=500 x=60 Pmax(60)=$7700.
Swokowski, Earl W. y Cole, Jeffery A. ÁLGEBRA Y TRIGO TRÍA CON GEOMETRÍA ANALÍTICA, México D.F.: Grupo Editorial Iberoamérica, tercera edición, 1996.
xp
cbap
cbap
cbap
BXA
c
b
a
BAX
Soluc ión:
=++=
=++=
=++=
=
−=
{ {444 3444 21
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
174
DISCUSIÓN
Los diversos textos de consulta que se emplean para el curso de matemática básica
presentan contenidos variados, no habiendo necesariamente textos que incluyan
todo el contenido del curso Matemática Básica dictado la Facultad de Ingeniería
Ambiental y de Recursos Naturales; la mayoría de los abordan el tema de
ecuaciones e inecuaciones con ejercicios en variables definidas, nosotros
asociamos estos temas con la optimización desarrollando los ejemplos de
programación lineal con el método geométrico, dándoles la aplicación orientada a la
ingeniería Ambiental.
Respecto a las cónicas muchos textos desarrollan éstos temas mediante la forma
cartesiana o vectorial, nosotros abordamos el tema de forma cartesiana y
empleamos algunos conceptos de la Geometría vectorial.
Respecto a los temas de matrices y Determinantes se desarrollan los contenidos de
la manera usual describiendo las definiciones y propiedades, resaltando la
importancia de los mismos, para luego desarrollar los mplos, pero además
presentamos ejercicios relacionados con la Ingeniería Ambiental.
El estudiante encontrará relación del curso con su carrera profesional, lo cual
despertará interés en el curso y resaltará la importancia del mismo en su carrera
profesional.
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
175
REFERENCIALES
1. Anton, Howard. INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA LINEAL, México: Editorial
Limusa, primera edición, 1976.
2. Apóstol, Tom M. CALCULUS VOLUMEN I CÁLCULO CON FUNCIONES DE
UNA VARIABLE, CON UNA INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA LINEAL, xico:
Editorial Reverté, S.A., segunda edición, 1998.
3. Chavez Vega, Carlos. ESPACIOS VECTORIALES EUCLIDEOS, Lima: Ed
San Marcos E.I.R.L., segunda edición. 1995.
4. Epen, Gould y Schmidt. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES LA CIENCIA
ADMINISTRATIVA, México: editorial Prentice-Hall Hispanoamérica S.A., tercera
edición, 1992.
5. Espinoza Ramos, Eduardo. GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA, Lima-Perú: primera
edición, 1995.
6. Figueroa R. MATEMÁTICA BÁSICA I, Lima-Perú: Editorial América, Sexta
edición, 1996.
7. Haaser Norman B., LaSalle, Joseph P. y Sullivan Joseph A. ANÁLISIS
MATEMÁTICO 1 CURSO DE INTRODUCCIÓN, México: Editorial primera
edición, 1971.
8. Haeussler, Ernest F., Jr.; Paul, Richard S. y Wood Richard J. MATEMÁTICA
PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA DECIMOSEGUNDA EDICIÓN, xico:
Editorial Pearson Educación, decimosegunda edición, 2008.
9. Hoffman, l. D. y Bradley, Gerald. CÁLCULO: PARA ADMINISTRACIÓN,
ECONOMÍA, CIENCIAS BIOLÓGICAS Y SOCIALES, Bogotá-Colombia: editorial Mc
Graw Hill, séptima edición, 2001.
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
176
10. Lehmann, Charles H. GEOMETRÍA ANALÍTICA, México: editorial Li sa S.A.,
1994.
11. Ríos Insua, Sixto; Ríos Insua, David; Mateos, Alfonso y Martín, Jacinto.
PROGRAMACIÓN LINEAL Y APLICACIONES, México: Grupo editor Alfaomega
S.A., 1998.
12. Stewart, James. CÁLCULO: TRASCENDENTES TEMPRANAS, México: editorial
Cengage Learning, sexta edición, 2008.
13. Swokowski, Earl W. y Cole, Jeffery A. ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA CON
GEOMETRÍA ANALÍTICA, México D.F.: Grupo Editorial Iberoamérica, tercera
edición, 1996.
14. Venero B., Armando. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO, Lima-
Perú: editorial Gemar, 1991.
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
177
2 2 0
2 4
2 2 0
11
¿ 0?
¿ 0?
0
0
ImplementarCónica
APÉNDICE
TRANSFORMACIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL DE SEGUDO GRADO POR
ROTACIÓN Y TRASLACIÓN DE LOS EJES COORDENADOS 11
Dada la ecuación general de las cónicas:
( )
Donde el indicador y consideremos la ecuación ( ) que represente a
la parábola, elipse e hipérbola sin tomar en cuenta ca excepcionales.
Dada la ecuación general de segundo grado:
(i)
Elaboración propia.
Clasificación de las Cónicas
es una Parábola
no si
si
es una Hipérbola
no
es una Elipse
Ax Bxy Cy Dx Ey F
I B AC
Ax Bxy Cy Dx Ey F
I
I
I
I
+ + + + + =
= −
+ + + + + =
≠
>
<
=
b
b
b b
b
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
178
1'
1'
', '
' '
' '' '' ' '' ''
'' ''
Introduciremos una nueva técnica para el estudio de esta ecuación, que nos
permitirá realizar una traslación y rotación sobre el plano .
Consiste en que en el nuevo sistema los coeficientes cuadráticos de
tengan coeficiente uno , luego es claro que el cambio de variable es el
siguiente
, ,estas dos relaciones se sustituyen en la ecuación (i), luego
obtenemos una ecuación (ii) en las variables .
El paso I podría ser llamado dilatación o contracción de coordenadas,
Consiste en hacer desaparecer el producto de la relación (ii).Luego el nuevo
cambio de variable o transformación es:
, , sustituimos estas relaciones en (ii) , obtenemos una
ecuación (iii) en las variables
Luego se observa que tipo de cónica representa la ecuación (iii) y se procede a
hallar sus elementos como centro y excentricidad y también de otras
propiedades.
El paso II, podría ser llamado de rotación de coordenadas.
XY
x xA
y yC
x y
x y
x x y y x y
x y y
Pas o I:
Obs ervac ión:
Pas o II:
Obs ervac ión:
? ?? ?
?? ??? _?? ???
= =
= + = −
TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R
179
ANEXOS
Tab
la N
° 1.
Res
umen
rel
ativ
o a
las
cóni
cas.
Fue
nte:
Leh
man
n (1
994)
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