teoremas_de_integraci¾n_del_anßlisis_vectorial
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7/24/2019 Teoremas_de_integracin_del_anlisis_vectorial
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LOS TEOREMAS DE INTEGRACIN
DELANALISIS VECTORIAL
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Teorema de GreenSeaDuna regin simple y sea Csu frontera. Supongamos que
y tienen primera derivada continua. Entonces
RDP :
RDQ :
dxdyyP
xQQdyPdx
DC =++
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Ejemplo
Comprobar el teorema de Green para , donde
D es el crculo unidad centrado en el origen.
xyyxQxyxP == ),y),
rea de una regin plana
Si Ces una curva cerrada simple que acota una regin en la cual es
aplicable el teorema de Green, entonces el !rea de la reginDacotada
por esDC =
= D ydxxdyA "#
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Ejemplo
Si a>$, calcular el !rea de la regin encerrada por la %ipocicloide definid
por usando la parametri&acin
y+
'"'"'" ayx =+
"$,,cos '' == asenyax
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orma !e"#orial u#ili$ando el ro#a"ional
( ) dAkFrotsdFDD
=
Ejemplo ),), " xyxyyxF +=
(ntegrar en la regin del gr!fico que siguekFrot
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Teorema de S#o%e& para gr'(i"a&
Sea Suna superficie orientada, definida por una funcin con
segunda derivada continua es una
regin donde es v!lido el teorema de Green, y sea un campo
vectorial sobre S. Entonces, si denota la frontera de S,
orientada como acabamos de definir, se tiene
Dtxyxfz = ),donde,),F
S
( ) == SSS sdFdSFdSFrot
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Ejemplo
sar el teorema de Sto*es para evaluar la integral de lnea
donde Ces la interseccin del cilindro y el plano
y la orientacin de Ccorresponde a un movimiento en sentido contrario
al de las agu+as del relo+ en el planoxy
+ dzzdyxdxy '''
#"" =+yx #=++ zyx
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Teorema de S#o%e& para &uper(i"ie& parame#ri$ada&
Sea Suna superficie orientada definida mediante una parametri&acin
biyectiva , dondeDes una regin donde es aplicable
el teorema de Green. Sea la frontera orientada de Sy seaFun campovectorial definido sobre S. Entonces
SRD ":
S
( ) = SS sdFSdF
EjemploSea Sla superficie mostrada en la figura, con la orientacin indicada. Sea . Evaluar),,
xzexyF = ( ) SdFS
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)Cu'ndo un "ampo !e"#orial e& un gradien#e*
ara cualquier curva orientada cerrada y simple C, =C sdF $
ara dos curvas orientadas simples cualesquiera C# y C", que tengan
los mismos e-tremos,
="# CC
sdFsdF
Fes el gradiente de una funcinf es decir, fF =
$= F
Ejemplo )cos,cos,),, yzyxyzzyzyxF +=
/emostrar que dic%o campo es irrotacional y encontrar un potencial
Escalar para 0l.
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Teorema de Gau&&
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Teorema de la di!ergen"ia de Gau&&
Sea Wuna regin elemental sim0trica en el espacio y sea la superfici
cerrada y orientada que limita a W. SeaFun campo vectorial definido en
W. Entonces
W
( ) =W W SdFdVF
Ejemplo
),,"""
zyxF=
( )
=W W
SdnFdVFdiv
Sea y sea Sla esfera unitaria con centro en el origen.
Evaluar s dSnF
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