teorema de varignon

SUBTEMA 2.4.2. RESOLUCION DE PROBLEMAS DEL TEOREMA DE VARIGNON.

1.- Una viga de 4 m de longitud soporta dos cargas, una de 200 N y otra de 400 N como se ve en la figura. Determinar los esfuerzos de reacción a que se encuentran sujetos los apoyos, considere despreciable el peso de la viga.

200 N400 N

1 m2 m

1 m

Diagrama de cuerpo libre:

200 N

400 N

1 m 2 m 1 m

Para que la viga esté en equilibrio de traslación y de rotación tenemos que:

Aplicando la primera condición del equilibrio tenemos:

ΣFy = 0 = RA + RB + (-F1)+ (-F2)= 0…….. (1)

ΣFy = 0= RA + RB = F1 + F2 ΣF y= RA + RB = 200 N + 400 N ΣFy= RA + RB = 600 N ecuación 1.

Aplicando la segunda condición del equilibrio y eligiendo el soporte A para calcular momento de torsión tenemos:

ΣMA= RB (4 m)- 400 N (3 m) – 200 N (1 m) = 0 ΣMA= RB (4 m)- 1200 N.m-200 N.m = 0 ΣMA= RB (4 m)- 1400 N.m= 0 ΣMA= RB (4 m)= 1400 N.m. despejando RB tenemos: RB = 1400 N.m = 350 N 4 m Sustituyendo el valor de RB en la ecuación 1 para hallar

RA tenemos: RA = 600 N - RB RA = 600 N – 350 N = 250 N

2.- Sobre una barra uniforme de 5 metros se coloca un peso de 60 N a 3 metros del punto de apoyo como se ve en la figura. Calcular a) El peso que se debe aplicar en el otro extremo para que la barra quede en equilibrio. b) La Tensión que soporta el cable que sujeta la barra. considere despreciable el peso de la barra.

60 N P = ?

T

3 m 2 m

Diagrama de cuerpo libre.

P2 = ¿

T = ¿

r1 = 3 m r2 = 2 m

O

60 N

a) Para que el cuerpo esté en equilibrio de traslación y rotación tenemos que:

Aplicando la primera condición del equilibrio.

ΣFy = 0 = T + (-P1)+ (-P2)….. (1) Sustituyendo en la ecuación 1 : ΣFy = T- 60 N-P2= 0 T = 60 N + P2.

b) Para calcular el valor de la tensión debemos conocer el peso que equilibrará al sistema, de donde al sustituir en la ecuación 2, tenemos que la suma de momentos en el punto O es igual a:

Aplicando la segunda condición del equilibrio y calculando momentos de torsión respecto al punto O donde se aplica la tensión tenemos_

ΣMo= P1r1-P2r2= 0 P1r1 = P2r2. despejando P2 tenemos: P2 = P1r1 P2 = 60 N x 3 m = 90 N r2 2 m Por lo tanto el peso que equilibra es de 90 N y la

tensión del cable es: T = P1 + P2 = 60 N + 90 N = 150 N

3.- Una viga uniforme de peso despreciable soporta 2 cargas de 300 N y 400 N en los extremos izquierdo y derecho respectivamente como se ve en la figura. Calcular a) ¿Cuál es el valor de la fuerza de reacción R que se ejerce para equilibrar la viga? b) ¿Dónde debe colocarse la fuerza de reacción respecto al punto A?.

C2 = 400 NR

6 mA

Diagrama de cuerpo libre:

6 m

r R = ¿

A

C2 = 400 N

C 1 = 300 N

Solución: Para que el cuerpo esté en equilibrio de traslación y de rotación tenemos:

ΣFy = 0 = R + (-C1)+ (-C2) = 0 …. (1)

ΣMA = 0 = R rR + (-C2r2)…. (2) Sustituyendo en 1: ΣF = R – 300 N- 400 N= 0 R = 700 N

b) Sustituyendo en 2 y tomando momentos respecto al punto A:

ΣMA = 700 N (rR)- 400 N (6 m) = 0 ΣMA = 700 N (rR)- 2400 N.m = 0 ΣMA = 700 N (rR) = 2400 N.m despejando rR tenemos: rR = 2400 N.m = 3.43 m 700 N por lo tanto, la reacción tiene un valor de 700 N,

que equivale a la suma de las dos cargas y queda colocada a 3.43 m del punto A.

4.- Una viga de 6 metros de longitud, cuyo peso es de 700 Newtons, soporta una carga de 1000 Newtons, que forma un ángulo de 60° y otra de 500 Newtons, como se ve en la figura siguiente. Determinar las fuerzas de los soportes A y B que la sostienen.

AB

6 m

1 m

F1 = 1000 N

F2 = 500 N

60°

Diagrama de cuerpo libre.

A

1 m

P = 700 N

2 m

B

3 m60°

F1 = 1000 N

F2 = 500 N

Solución: Aplicando la primera condición del equilibrio:

ΣFy = A + B – F1sen 60° – P – F2 = 0. ΣFy = A + B – 1000 N (0.8660) – 700 N –

500 N = 0. ΣFy = A + B – 866 N – 700 N – 500 N = 0 ΣFy = A + B – 2066 N = 0. A + B = 2066 N (ecuación 1).

Aplicando la segunda condición del equilibrio y eligiendo el punto A, para calcular momentos de torsión:

ΣMA = B (6 m) – 866 N ( 1 m) – 700 N (3 m) – 500 N ( 6 m) = 0.

Efectuando las multiplicaciones: ΣMA = B (6 m) – 866 N .m – 2100 N.m – 3000 N.m)= 0. Efectuando la suma algebraica: ΣMA = B (6 m) – 5966 N.m = 0. B (6 m) = 5966 N.m . Despejando a B tenemos: B = 5966 N.m = 994.33 N. 6 m

Regresando a la ecuación 1 y sustituyendo el valor del soporte B para hallar el valor del soporte A:

A + B = 2066 N (ecuación 1). Despejando A tenemos: A = 2066 N – B. A = 2066 N – 994.33 N = 1071.67 N.