teorÍa de juegos - gta.unlu.edu.ar

Estudia situaciones de competición y cooperación en las que coexisten varios “tomadores de decisiones”, cada uno de los cuales quiere optimizar el resultado de sus acciones, usando métodos matemáticos.

TEORÍA DE JUEGOS

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SUGIERE UN CURSO DE ACCIÓN

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TEORÍA DE JUEGOS

Decisiones estratégicas en la guerra. Competición económica de empresas. Problemas sociales de distribución justa de recursos. Comportamiento de animales en situaciones competitivas. Sistemas electorales. Juegos de salón

TEORÍA DE JUEGOS

Estudia situaciones de competición y cooperación en las que coexisten varios “tomadores de decisiones”, cada uno de los cuales quiere optimizar el resultado de sus acciones, usando métodos matemáticos.

TEORÍA DE JUEGOSJUEGOS

PAGO

JUGADORES

TIPOS DE JUEGOSJugadas secuenciales o jugadas simultáneas.

Cantidad de jugadores.

Información perfecta o incompleta.

Juegos con jugadas azarosas.

JUGADORES

Son RACIONALES: Deducen todas las consecuencias lógicas de una situación dada.

NO tienen problemas de tiempo ni de memoria.

EJEMPLOS

NIM

Dos jugadores.

Alternan movidas.

Movida: elegir una pila y sustraer cualquier cantidad de fichas (de esa pila). Al menos una ficha debe ser sustraída.

Gana quien remueve la última ficha.

2

34

23

4

23

1NO IMPORTA LA JUGADA QUE REALICE EL JUGADOR II A PARTIR DE AQUIEL JUGADOR I IGUALA LAS PILAS(ESTRATEGIA GANADORA)

JUGADA GANADORA(DESDE ESTA POSICION)

EJEMPLOS

NIM

2

34

23

4

23

1NO IMPORTA LA JUGADA QUE REALICE EL JUGADOR II A PARTIR DE AQUIEL JUGADOR I IGUALA LAS PILAS(ESTRATEGIA GANADORA)

JUGADA GANADORA(DESDE ESTA POSICION)

POSICIONES GANADORAS Y PERDEDORAS

23

4

23

1

POSICION N POSICION P

EJEMPLOS

NIM Ajedrez HEX

JUEGOS COMBINATORIOS

EJEMPLOSLa Batalla del Mar de BismarckLugar. Pacífico Sur. Año. 1943.Situación. El almirante japonés Imamura debe transportar tropas a través del mar de Bismarck hacia Nueva Guinea, y el almirante norteamericano Kenney quiere bombardear el transporte.‣ Imamura tiene dos opciones de ruta:

Ruta Norte (tarda 2 días) Ruta Sur (tarda 3 días)

‣ Kenney debe elegir una de estas rutas para enviar a sus aviones.

Si Kenney elige la ruta equivocada puede llamar de vuelta a los aviones, pero pierde un día de bombardeo.Kenney quiere maximizar la cantidad de días de bombardeo. Imamura quiere minimizarla.

EJEMPLOSLa Batalla del Mar de Bismarck

Imamura

KenneyNorte

Sur

Norte Sur

21

23

ESTRATEGIA OPTIMA ESTRATEGIA OPTIMA

EJEMPLOSLa Batalla del Mar de Bismarck (Versión 2)

Imamura

KenneyNorte

Sur

Norte Sur

23

Si Kenney elige la ruta equivocada puede llamar de vuelta a los aviones, pero pierde dos días de bombardeo.

JUEGOS DE SUMA CERO

01

EJEMPLOSEl Dilema del PrisioneroSituación. Dos prisioneros cometieron un crimen juntos y son interrogados por separado. Cada prisionero tiene dos opciones: delatar al otro prisionero o no delatarlo.

Si uno delata y el otro no, el delator queda libre y el otro es condenado a 10 años.

Si los dos se delatan, a ambos se les reduce la pena en 1 año.

Si ninguno delata al otro, cada prisionero es condenado a 1 año de prisión por un cargo menor.

Prisionero 1No delata

Delata

-1,-1

Prisionero 2

Delata

No delata

-10,00,-10-9,-9

-1-100-9

EJEMPLOSEl Dilema del PrisioneroSituación. Dos prisioneros cometieron un crimen juntos y son interrogados por separado. Cada prisionero tiene dos opciones: delatar al otro prisionero o no delatarlo.

Prisionero 1No delata

Delata

-1,-1

Prisionero 2

Delata

No delata

-10,00,-10-9,-9

Si uno delata y el otro no, el delator queda libre y el otro es condenado a 10 años.

Si los dos se delatan, a ambos se les reduce la pena en 1 año.

Si ninguno delata al otro, cada prisionero es condenado a 1 año de prisión por un cargo menor.

EJEMPLOSLa Batalla de los SexosSituación. Dos personas quieren salir juntas; o a un partido de fútbol o al ballet. Se olvidaron a qué evento irían, están en lugares diferentes e incomunicados. Cada uno tiene que decir a dónde ir. El objetivo principal es encontrarse. Una de las personas tiene preferencia por el fútbol y la otra por el ballet.

Persona 1Ballet

FútbolPersona 2

2,1

JUEGOS DE SUMA GENERAL

Fútbol

Ballet

1,20,00,0

Juegos Combinatorios

] 20 fichas

Dos jugadores.

Alternan movidas.

Movida: remover 1, 2 ó 3 fichas.

Gana quien remueve la última ficha.

REGLAS

JUEGOS COMBINATORIOSI II

Juegos CombinatoriosDos jugadores: I y II.

Hay un conjunto de posibles posiciones del juego.

Las reglas del juego especifican para cada jugador y cada posición cuales movidas a otras posiciones del juego son legales.

Los jugadores alternan movidas.

Información Perfecta: cada jugador conoce las reglas y las posibles movidas del otro jugador.

El juego termina cuando (en una cantidad finita de movidas) se llega a una posición desde la que no hay movidas legales disponibles.

CHOMP!

CHOMP!

CHOMP!

CHOMP!

Si el juego no termina nunca se declara empate.

Tipos de juego: imparcial y partisano.

El último en mover gana Normal.

El último en mover pierde Misère.

No se permiten:

‣ Movidas aleatorias.

‣ Movidas ocultas o simultáneas.

DEFINICIONES Y OBSERVACIONES

JUEGOS COMBINATORIOS

IMPARCIALES NORMALES

SIN EMPATE

]ANALISIS DEL EJEMPLO

20 fichas

Dos jugadores.

Alternan movidas.

Movida: remover 1, 2 ó 3 fichas.

Gana quien remueve la última ficha.

REGLAS

# fichas Gana

Próximo jugador

Próximo jugador

Próximo jugador

Jugador Anterior

Próximo jugador

¿Quién tiene estrategia ganadora?

# fichas Gana

N

N

N

P

N

¿Quién tiene estrategia ganadora?

# fichas Gana

N

N

N

P

N

N

P

N

N

N

¿Quién tiene estrategia ganadora?

# fichas Gana

N

N

N

P

N

N

P

N

N

N

8

12

4

¿Quién tiene estrategia ganadora?

] 20 fichas

Dos jugadores.

Alternan movidas.

Movida: remover 1, 2 ó 3 fichas.

Gana quien remueve la última ficha.

REGLAS

# de fichas no es múltiplo de 4 gana el próximo en mover. Posición N.

# de fichas es múltiplo de 4 gana el jugador anterior. Posición P.

Como � (Posición P) entonces el Jugador 2 gana.

20 ≡ 0 (4)

ANALISIS DEL EJEMPLOANÁLISIS

] 20 fichas

Cualquier movida del Jugador 1 deja un número de fichas � . El Jugador 2 retira entonces las fichas necesarias para dejarle al Jugador 1 un cantidad múltiplo de 4.

≢ 0 (4)

ESTRATEGIA GANADORA

# de fichas no es múltiplo de 4 gana el próximo en mover. Posición N.

# de fichas es múltiplo de 4 gana el jugador anterior. Posición P.

Como � (Posición P) entonces el Jugador 2 gana.

20 ≡ 0 (4)

ANÁLISISANALISIS DEL EJEMPLO

] n fichas

# de fichas no es múltiplo de 4 gana el próximo en mover. Posición N.

# de fichas es múltiplo de 4 gana el jugador anterior. Posición P.

MISMO ANÁLISIS

CONJUNTO DE SUSTRACCION S={1,2,3}

{n ≡ 0 (4) Gana Jugador 2n ≢ 0 (4) Gana Jugador 1

Si estoy en una posición N muevo a un múltiplo de 4.

ESTRATEGIA GANADORA

] n fichas

CONJUNTO DE SUSTRACCION S={1,2,3}

{n ≡ 0 (4) Posición Pn ≢ 0 (4) Posición N

Si estoy en una posición N muevo a un posición P.

Si estoy en una posición P solo puedo mover a un posición N.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20…

Posición terminal: no existen movidas posibles desde allí.

Todas las posiciones terminales son P.

Desde cualquier posición N existe, al menos, una movida hacia una posición P.

Toda movida desde una posición P es hacia una posición N.

POSICIONES N Y P

# fichas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Posición P N N N P N N N P N

ALGORITMOPaso 1: Etiquetar con P todas las posiciones terminales.

Paso 2: Etiquetar con N a toda posición que pueda alcanzar una posición P.

Paso 3: Etiquetar con P a toda posición que sólo puede alcanzar posiciones N.

Paso 4: Cuando no se encuentran más posiciones P en el Paso 3, volver al Paso 2.

# fichas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Posición P N P N N N N P N P

# fichas 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Posición N N N N P N P N N N

EJEMPLOS

Conjunto de sustracción {1,3,4}

# fichas = �

� Posición P.

� Posición N.

n

n ≡ 0 (7) o n ≡ 2 (7) ⇒

n ≡ 1,3,4,5,6 (7) ⇒

ANÁLISIS

EJEMPLOS

Si hay 100

fichas, ¿quién

tiene estrategia

ganadora?

Paso 1: Etiquetar con P todas las posiciones terminales.

Paso 2: Etiquetar con N a toda posición que pueda alcanzar una posición P.

Paso 3: Etiquetar con P a toda posición que sólo puede alcanzar posiciones N.

Paso 4: Cuando no se encuentran más posiciones P en el Paso 3, volver al Paso 2.

ALGORTIMO

EXISTENCIA DE POSICIONES N Y PN0 = ∅

Ni+1 = {posiciones que tienen una movida a una posición en � }Pi

P0 = {posiciones terminales}

Pi+1 = {posiciones que todas las movidas caen en � }Ni

N1 = {posiciones que tienen una movida a una posición en � }P0

P1 = {posiciones que todas las movidas caen en � }N1

EXISTENCIA DE POSICIONES N Y PN0 = ∅

Ni+1 = {posiciones que tienen una movida a una posición en � }Pi

P0 = {posiciones terminales}

Pi+1 = {posiciones que todas las movidas caen en � }Ni

N = ⋃i≥0

Ni P = ⋃i≥0

Pi

Posiciones N Posiciones P

N ∪ P = X

N ∩ P = ∅

Si � es el conjunto (finito) de posiciones del juego

X

N1 = {posiciones que tienen una movida a una posición en � }P0

P1 = {posiciones que todas las movidas caen en � }N1

Si estoy en una posición N muevo a una posición P. ¡Al menos hay una!

Mi oponente, desde una posición P, sólo puede mover a una posición N.

Como el juego termina en una posición terminal, que es P, yo gano.

ESTRATEGIA GANADORA PARA TODOS LOS JUEGOS

8

3

CHOMP!

Juega I

CHOMP!

Juega I

CHOMP!

CHOMP!

Juega II

CHOMP!

Juega II

CHOMP!

CHOMP!

Esta es una posición N: ¿pueden encontrar la jugada ganadora?

CHOMP!

P PN N N N

N N N N P

Primeras posiciones N y P

P

Primeras posiciones N y P

Jugada ganadora

Jugada ganadora

Jugada ganadora

Jugada ganadora

Jugada ganadora

ResueltoJugada ganadora

El jugador I siempre gana el CHOMP!

El jugador I siempre gana el CHOMP!

El jugador I siempre gana el CHOMP!

El jugador I siempre gana el CHOMP!

El jugador I siempre gana el CHOMP!

El jugador I siempre gana el CHOMP!

El jugador I siempre gana el CHOMP!

El jugador I siempre gana el CHOMP!

El jugador I siempre gana el CHOMP!

NIM “original”: 3 pilas.

NIM general: n pilas.

Elegir una pila y remover cualquier cantidad de fichas de dicha pila (al menos una).

MOVIDA

NIM

NOTACIÓN

NIM: Análisis del caso n=2

Notamos las posiciones “x,y”:- “x” = # fichas en pila 1.- “y” = # fichas en pila 2.

Posición 0,0 1,0 0,1 1,1 2,0 0,2 2,1 1,2 2,2 3,0

Tipo P N N P N N N N P N

Posición n,0 0,n n,1 1,n 2,n n,2 n,n n,m

Tipo N N N N N N P N

CONCLUSION

NIM: Análisis del caso n=2

Las posiciones P son exactamente las posiciones donde las pilas tienen la misma cantidad de fichas.

Si estoy en una posición N (distinta cantidad de fichas en cada pila) igualo las pilas.

ESTRATEGIA GANADORA

27 = 16 + 8 + 2 + 1= 24 + 23 + 21 + 20

= 1.24 + 1.23 + 0.22 + 1.21 + 1.20

11011 = (27)2

Se usan los dígitos 0 y 1

Recordatorio: Desarrollo en base 2 (binario)

6 ⊕ 10(6)2 = 110

(10)2 = 10101010

110

11006 ⊕ 10 = 12

+

13 ⊕ 20(13)2 = 1101

(20)2 = 1010010100

1101

1100113 ⊕ 20 = 25

+

(12)2

(25)2

Suma NIM entre dos números enteros

‣ Asociativa

‣ Conmutativa

‣ Tiene por elemento neutro al 0

‣ Cada número es su propio inverso aditivo

‣ En particular: tiene ley cancelativa:

x ⊕ y = x ⊕ z ⇒ y = z

Suma NIM: propiedades

OBJETIVO Probar que el conjunto coincide con las posiciones P del juego.

𝒫

Teorema (Bouton, 1902): Una posición

es P si, y solo si,

(x1, …, xn)x1 ⊕ ⋯ ⊕ xn = 0.

Demostración.

𝒫 = {(x1, …, xn) : x1 ⊕ ⋯ ⊕ xn = 0}

𝒩 = {(x1, …, xn) : x1 ⊕ ⋯ ⊕ xn ≠ 0}

Solución al NIM general de n pilas

Todas las posiciones terminales son P.

Desde cualquier posición N existe, al menos, una movida hacia una posición P.

Desde cualquier posición P toda movida es hacia una posición N.

Definición de posiciones N y P

Todas las posiciones terminales están en .

Desde cualquier posición que está en existe, al menos, una movida hacia una posición que está en .

Desde cualquier posición que está en toda movida es hacia una posición que está en .

Queremos ver…

𝒫

𝒫

𝒫

𝒩

𝒩

La única posición terminal es , cuya suma NIM es .

(0,…,0)0

(0,…,0) ∈ 𝒫

Todas las posiciones terminales son 𝒫

Todas las posiciones terminales están en .

Desde cualquier posición que está en existe, al menos, una movida hacia una posición que está en .

Desde cualquier posición que está en toda movida es hacia una posición que está en .

𝒫

𝒫

𝒫

𝒩

𝒩

Queremos ver…

‣ Paso 1: Escribo la cantidad de fichas de cada pila en base 2 y “dibujo” la suma.

111011011

11111+

01010

‣ Pila 1

‣ Pila 2

‣ Pila 3

111011011

11111

Desde una posición en podemos ir a una en 𝒫𝒩

‣ Paso 1: Escribo la cantidad de fichas de cada pila en base 2 y “dibujo” la suma.

‣ Paso 2: Busco la columna más a la izquierda que tenga una cantidad impar de 1’s.

111011011

11111+

01010

‣ Pila 1

‣ Pila 2

‣ Pila 3

111011011

11111

Desde una posición en podemos ir a una en 𝒫𝒩

‣ Paso 1: Escribo la cantidad de fichas de cada pila en base 2 y “dibujo” la suma.

‣ Paso 2: Busco la columna más a la izquierda que tenga una cantidad impar de 1’s.

111011011

11111+

01010

‣ Pila 1

‣ Pila 2

‣ Pila 3

111011011

11111

Desde una posición en podemos ir a una en 𝒫𝒩

‣ Paso 1: Escribo la cantidad de fichas de cada pila en base 2 y “dibujo” la suma.

‣ Paso 2: Busco la columna más a la izquierda que tenga una cantidad impar de 1’s.

‣ Paso 3: Elijo cualquiera de las pilas que tienen un 1 en esa columna y la modifico para que haya una cantidad de 1’s par en todas las columnas.

111011011

11111+

01010

‣ Pila 1

‣ Pila 2

‣ Pila 3

111011011

11111

Desde una posición en podemos ir a una en 𝒫𝒩

‣ Paso 1: Escribo la cantidad de fichas de cada pila en base 2 y “dibujo” la suma.

‣ Paso 2: Busco la columna más a la izquierda que tenga una cantidad impar de 1’s.

‣ Paso 3: Elijo cualquiera de las pilas que tienen un 1 en esa columna y la modifico para que haya una cantidad de 1’s par en todas las columnas.

111011011

1111101010

‣ Pila 1

‣ Pila 2

‣ Pila 3

111011011

11111

Elijo

+

Desde una posición en podemos ir a una en 𝒫𝒩

‣ Paso 1: Escribo la cantidad de fichas de cada pila en base 2 y “dibujo” la suma.

‣ Paso 2: Busco la columna más a la izquierda que tenga una cantidad impar de 1’s.

‣ Paso 3: Elijo cualquiera de las pilas que tienen un 1 en esa columna y la modifico para que haya una cantidad de 1’s par en todas las columnas.

111011011

1111101010

‣ Pila 1

‣ Pila 2

‣ Pila 3

111011011

11111

Elijo

+

Desde una posición en podemos ir a una en 𝒫𝒩

‣ Paso 1: Escribo la cantidad de fichas de cada pila en base 2 y “dibujo” la suma.

‣ Paso 2: Busco la columna más a la izquierda que tenga una cantidad impar de 1’s.

‣ Paso 3: Elijo cualquiera de las pilas que tienen un 1 en esa columna y la modifico para que haya una cantidad de 1’s par en todas las columnas.

111011011

1111101010

‣ Pila 1

‣ Pila 2

‣ Pila 3

111011011

11111

+

Desde una posición en podemos ir a una en 𝒫𝒩

‣ Paso 1: Escribo la cantidad de fichas de cada pila en base 2 y “dibujo” la suma.

‣ Paso 2: Busco la columna más a la izquierda que tenga una cantidad impar de 1’s.

‣ Paso 3: Elijo cualquiera de las pilas que tienen un 1 en esa columna y la modifico para que haya una cantidad de 1’s par en todas las columnas.

011011011

1111100010

‣ Pila 1

‣ Pila 2

‣ Pila 3

111011011

11111

+

Desde una posición en podemos ir a una en 𝒫𝒩

‣ Paso 1: Escribo la cantidad de fichas de cada pila en base 2 y “dibujo” la suma.

‣ Paso 2: Busco la columna más a la izquierda que tenga una cantidad impar de 1’s.

‣ Paso 3: Elijo cualquiera de las pilas que tienen un 1 en esa columna y la modifico para que haya una cantidad de 1’s par en todas las columnas.

011011011

1111100010

‣ Pila 1

‣ Pila 2

‣ Pila 3

111011011

11111

+

Desde una posición en podemos ir a una en 𝒫𝒩

‣ Paso 1: Escribo la cantidad de fichas de cada pila en base 2 y “dibujo” la suma.

‣ Paso 2: Busco la columna más a la izquierda que tenga una cantidad impar de 1’s.

‣ Paso 3: Elijo cualquiera de las pilas que tienen un 1 en esa columna y la modifico para que haya una cantidad de 1’s par en todas las columnas.

010011011

1111100000

‣ Pila 1

‣ Pila 2

‣ Pila 3

111011011

11111

+

Desde una posición en podemos ir a una en 𝒫𝒩

‣ Paso 1: Escribo la cantidad de fichas de cada pila en base 2 y “dibujo” la suma.

‣ Paso 2: Busco la columna más a la izquierda que tenga una cantidad impar de 1’s.

‣ Paso 3: Elijo cualquiera de las pilas que tienen un 1 en esa columna y la modifico para que haya una cantidad de 1’s par en todas las columnas.

010011011

1111100000

Pila 2

1110 100

+

13 4

Desde una posición en podemos ir a una en 𝒫𝒩

𝒩

‣ Paso 1: Escribo la cantidad de fichas de cada pila en base 2 y “dibujo” la suma.

‣ Paso 2: Busco la columna más a la izquierda que tenga una cantidad impar de 1’s.

‣ Paso 3: Elijo cualquiera de las pilas que tienen un 1 en esa columna y la modifico para que haya una cantidad de 1’s par en todas las columnas.

010011011

1111100000

Pila 2

1110 100

+

13 4

Encontré una movida legal de a 𝒫

Desde una posición en podemos ir a una en 𝒫𝒩

𝒩

‣ Paso 1: Escribo la cantidad de fichas de cada pila en base 2 y “dibujo” la suma.

‣ Paso 2: Busco la columna más a la izquierda que tenga una cantidad impar de 1’s.

‣ Paso 3: Elijo cualquiera de las pilas que tienen un 1 en esa columna y la modifico para que haya una cantidad de 1’s par en todas las columnas.

010011011

1111100000

Pila 2

1110 100

+

13 4

Encontré una movida legal de a 𝒫

Desde una posición en podemos ir a una en 𝒫𝒩

Todas las posiciones terminales están en .

Desde cualquier posición que está en existe, al menos, una movida hacia una posición que está en .

Desde cualquier posición que está en toda movida es hacia una posición que está en .

𝒫

𝒫

𝒫

𝒩

𝒩

Queremos ver…

(x1, …, xn) ∈ 𝒫 ⇒ x1 ⊕ ⋯ ⊕ xn = 0.

(x1, x2, …, xn) → (y1, x2, …, xn)

QUIERO VER QUE ESTÁ EN𝒩

y1 ⊕ x2 ⊕ ⋯ ⊕ xn = 0

⇒ y1 ⊕ x2 ⊕ ⋯ ⊕ xn = x1 ⊕ x2 ⊕ ⋯ ⊕ xn

⇒ y1 = x1

Pila 1x1

y1

Saco fichas

Toda movida desde una es hacia una 𝒫 𝒩

(x1, …, xn) ∈ 𝒫 ⇒ x1 ⊕ ⋯ ⊕ xn = 0.

(x1, x2, …, xn) → (y1, x2, …, xn)

QUIERO VER QUE ESTÁ EN𝒩

y1 ⊕ x2 ⊕ ⋯ ⊕ xn = 0

⇒ y1 ⊕ x2 ⊕ ⋯ ⊕ xn = x1 ⊕ x2 ⊕ ⋯ ⊕ xn

⇒ y1 = x1

Pila 1x1

y1

Saco fichas

Absurdo

Toda movida desde una es hacia una 𝒫 𝒩

Todas las posiciones terminales están en .

Desde cualquier posición que está en existe, al menos, una movida hacia una posición que está en .

Desde cualquier posición que está en toda movida es hacia una posición que está en .

𝒫

𝒫

𝒫

𝒩

𝒩

Vimos…

812 13

(8)2 = 1000(12)2 = 1100(13)2 = 1101

11001000

1101+

1001 (9)2

¿MOVIDAS GANADORAS?

Posición N

EJEMPLO

812 13

(8)2 = 1000(12)2 = 1100(13)2 = 1101

11001000

1101+

1001 (9)2‣ Sacar 7 de la pila de 8

‣ Sacar 7 de la pila de 12

‣ Sacar 9 de la pila de 13

MOVIDAS GANADORAS

Posición N

EJEMPLO

Tarea: SOS Game

Alternan movidas.

Movida: elegir uno de los cuadrados y escribir la letra “S” o la letra “O” dentro.

Gana quien logra completar “SOS” en cuadrados contiguos.

REGLAS

Tarea: SOS Game

Alternan movidas.

Movida: elegir uno de los cuadrados y escribir la letra “S” o la letra “O” dentro.

Gana quien logra completar “SOS” en cuadrados contiguos.

Muestren que el jugador I tiene una

estrategia ganadora. ¡Encuéntrenla!

Si el juego tuviese solo 4 cuadrados y el jugador I escribe una “S” en el primer cuadrado entonces el jugador II puede ganar.

AYUDA

Tarea: SOS Game

¿Pueden resolver el

problema para cualquier

cantidad de cuadrados?

……

n