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TEMA ITEORÍA DE CAMPOS

campo de una magnitud• Definición: es la región del espacio donde una

magnitud está definida y tiene un valor.• Tipos:

– Campo escalar: cuando la magnitud definida es un escalar– Campo vectorial: cuando la magnitud definida es una

magnitud vectorial• En general, en cada punto del campo el valor de la

magnitud depende de las coordenadas del punto y del tiempo [U = f(x, y, z, t), Ᾱ = f’(x, y, z, t)]

• Si el valor de la magnitud no depende del tiempo se dice que el campo es estacionario. Entonces las funciones son unívocas y contínuas.

campos escalares

Se unen todos los puntos con igual valor de la magnitud dando lugar a “superficies equiescalares” o en el plano a isolíneas.

Son superficies (líneas), cerradas que no se cortan.

campos vectoriales

Partiendo de un punto P, se traza una línea tangente al valor de la magnitud en ese punto llegando a P’, punto por el que se traza una línea tangente….

representación de campos estacionarios

5ºC

10ºC

15ºC

P

P’

Líneas de campo

Por convenio, la densidad de las líneas de campo es proporcional al módulo del vector.

gradiente de un escalar• Es una aplicación vectorial sobre un

campo escalar, tal que a cada punto P, en el que el valor de la magnitud es U, se le hace corresponder un vector cuya proyección sobre cualquier dirección, es igual a la derivada de la magnitud U en el punto P, siguiendo esa dirección:

• En un espacio tridimensional utilizando un sistema cartesiano de referencia:

• Dado que:

• Físicamente, el gradiente en un punto P de un campo, en el que el valor de la magnitud es U, corresponde a un vector normal a la superficie equipotencial a la que P pertenece, que tiene como módulo el valor de la variación de U en cada punto y sentido el valor creciente de la magnitud.

grad U dr dU ����������������������������

U U Ugrad U i j k

x y z

��������������

U U UdU dx dy dz

x y z

U=cte

U+dU=cte’

P

grad U

drα

grad U dr dU ����������������������������

dt

dn grad U dt dn dU

������������������������������������������

0grad U dt dU ����������������������������

grad U dn dU ����������������������������

dUgrad U

dn

����������������������������

02

cos

U U Ugrad U i j k U

x y z

��������������

flujo de un vector• Toda superficie se representa por un

vector normal a la superficie y cuyo módulo es el valor de la superficie.

• Se llama flujo de un vector a través de una superficie al producto escalar del vector por el vector representativo de la superficie.

• Si dφ > 0, se dice que el vector entra en la superficie

• Si dφ < 0, se dice que el vector sale de la superficie

Flujo total:

dx

dy

dS

v

; 0, 0 ; 0,2 2

d v dS d si d si

��������������

v dS ��������������

divergencia de un vector• Dado un campo vectorial (ū), se entiende por divergencia de, una aplicación

escalar que a cada punto P del campo, en el que el valor de la magnitud es ū, le hace corresponder un escalar ligado a dicho punto, cuyo valor es la derivada del flujo del vector, calculado a través de una superficie elemental cerrada que contenga a P.

• Aunque matemáticamente no sea correcto, esta expresión equivale al flujo en cada punto.

• Los valores posibles de la divergencia serán:en dicho punto nacen líneas de campo. Todos los

puntos en los que esto ocurre se llaman "manantiales" o "fuentes".

•entra más magnitud de la que sale, o lo que es lo mismo, que en

dicho punto mueren líneas de campo. Todos estos puntos se llaman "sumideros".llega tanta magnitud como la que sale, o lo que es lo mismo, que a

dicho punto, llegan tantas líneas de campo como las que salen de él.

0lim

u dsdiv u

��������������

0div u

0div u

0div u

cálculo de la divergencia• Aplicando la definición, si

consideramos un espacio de tres dimensiones y un sistema cartesiano de referencia, para calcular la divergencia se toma el punto del campo en el que la magnitud vale v (vx, vy, vz), se construye tomándolo como origen de coordenadas un paralelepípedo elemental de lados dx, dy, dz, y se calcula a través de cada superficie, el valor del flujo del vector.

1 1 2 2; ;x xx x x

v vd v dS v dydz d v dS v dx dydz d dxdydz

x x

����������������������������

x

y

z

Flujo del vector a través de las superficies normales al eje x (amarilla y rosa):

dS2

dS1

0lim

yx z

yx z

vv vu ds vx y z v v

div u vdxdydz x y z

��������������

teorema de Gauss o de la divergencia

• el flujo de un vector calculado sobre una superficie cerrada es igual, a la divergencia del vector calculada sobre el volumen total que dicha superficie encierra.

• Aplicando la definición de integral:

s

v ds = div v d

v

ds

1

ds2

i

1 2

1 1

n ni

i ii i iis

v sv ds = div v div v d

������������� �

circulacion de un vector• Se entiende por circulación de un vector a lo largo de una línea, al producto

escalar del vector por el vector representativo de dicha línea:

• Si U deriva de un potencial escalar:

A

B

dl

v;

B

A

dC = v dl = | v | | dl | cos C = v dl

B B B

A A A

C = v dl grad U dl dU = U(B) - U(A) ����������������������������

v = grad U��������������

rotacional de un vector• Dado un campo vectorial (v), se denomina rotacional de (v), a una aplicación

vectorial que en cada punto P del campo, al vector (v), le hace corresponder otro vector (rot v), tal que, definida una superficie que contenga a P, la dirección de dicho vector es normal a la superficie, su módulo, corresponde a la circulación de (v), a lo largo de la línea que limita dicha superficie, y su sentido corresponde al del avance de un tornillo que se gire en el sentido en el que la circulación se calcula.

• El rotacional puede pues definirse como la circulación puntual.• Cuando el rotacional es cero, el campo se llama irrotacional, y es demostrable

que en este caso, el campo vectorial deriva de un campo escalar U, siendo:

P

rot v

v

dl

S

v grad U��������������

0limnS

v dl v = vrot

s

calculo del rotacional• Tomando el punto P de un campo vectorial, en el que el valor representativo de

la magnitud es , de componentes . Sobre cada uno de los planos XY, YZ, ZX, definimos una superficie elemental. Si calculamos la circulación de a lo largo del perímetro de cada una de estas superficies, y dividimos por el valor de la superficie, obtendremos cada una de las tres componentes del vector rotacional.

• Circulación a lo largo de PP1: vydy

• Circulación a lo largo de P1P2:

• Circulación a lo largo de P2P3:

• Circulación a lo largo de P3P: vzdz

• Circulación total:

• De donde:

v

, ,x y zv v vv

v

P P1

P2

dy

P3

P6

P4

P5

dx

dz

roty v

rotz v

P3

x

y

rotx v

zz

v v + dy dzy

yy

v- v + dz dy

z

y yz zy z y z

v vv vv dy + v + dy dz - v + dz dy - v dz = - dydz y z y z

yzx

vv v = - roty z

teorema de Stokes o del rotacional

• la circulación de un vector a lo largo de una línea cerrada es igual al flujo del rotacional de dicho vector calculado sobre una superficie que tenga esa línea como borde.

• Aplicando la definición de integral:

Si S2

li

l2

v

11 1

( )n n n

ii i i i

ii= i= il s

v dl v dl = ( v dl ) s rot v s rot v ds

s

������������������������������������������������������������������������������������

l s

v dl = rot v ds ��������������

operadores de segundo orden• Laplaciana de una función escalar: se llama Laplaciana de una función escalar a

un operador de segundo orden definido por:

• Laplaciana de un vector: se llama Laplaciana de un vector, a otro vector definido como:

2 2 2

2 2 2

U U UU = div grad U = U = + +

x y z

������������������������������������������

v = grad ( div v ) - rot ( rot v ) ������������������������������������������

2 2 22 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

y y yx x x z z zv v vv v v v v v

v = + + i + + + j + + + k x y z x y z x y z