tema 9: descomposición de figuras y equivalencia de áreas matemáticas ii 1

Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas

Matemáticas II 1

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Matemáticas II 2

Así como es importante estudiar otras asignaturas y otras áreas de las Matemáticas, también lo es el estudio de la Geometría.

En este tema trataremos con la Geometría Plana o Euclidiana. Esta rama de las matemáticas estudia las propiedades de superficies y figuras planas, como por ejemplo el cálculo de perímetros y áreas.

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Vamos a trabajar con Perímetros y Áreas

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Perímetro es la medida del contorno u orilla de una figura plana.

Recuerda . . .

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y Área o Superficie es la medida del espacio plano que ocupa una figura.

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Perímetro = 2 a + 2 b

a

b

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3 cm

7 cm

(2 x 3) + (2 x 7) = 20 cm

Perímetro = 2 a + 2 b

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Rectángulo

Imagina que tienes una recámara que mide 3 metros de ancho y 4 metros de largo y quieres alfombrarla. ¿Cuántos metros cuadrados necesitas?

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Matemáticas II 9

Representemos con un dibujo la recámara.

4 m

3 m

Tomemos como unidad de comparación 1 cuadrado que mide 1 metro por lado.

1 m

1 m

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9 11 12

1 2 3 4

5 6 7 8

¿Cuántos de esos cuadrados caben en ese rectángulo?

4 m

3 m

Sería lo mismo si multiplicamos 4 x 3 = 12

Entonces ya sabes que necesitas 12 m2 de alfombra.

Generalizando . . .

10

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Área = base x altura

a altura

b base

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3 cm

7 cm

7 x 3 = 21 cm2Área = b h.

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b

a

b

a

A = b x a

Paralelogramo

El área del paralelogramo es igual a la de un rectángulo de igual base y de igual altura. Se explica en la figura siguiente:

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Suma de los Tres Lados

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Perímetro = a + b + c

a b

c

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Perímetro = a + b + c

4 cm

3 cm

5 cm

3 + 4 + 5 = 12 cm

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Dado un triángulo cualquiera, se toma otro de la misma forma y tamaño y con los dos se forma un paralelogramo. Entonces el área del triángulo es la mitad del área del paralelogramo formado.

Triángulo

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b

a

b

a

b

aÁrea del parelogramo = b x a

Área del triángulo = b x a 2

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Base por Alturaentre Dos

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b

h Altura

Base

Área = b . h 2

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h 6 cm

b 4 cm

Área = b . h 2

4 x 62

= 12 cm2

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b

a

d c

Suma de los lados

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a = 9 cm

b = 5 cm

Perímetro = a + b + c + d

9 + 5 + 3 + 3 = 20 cm

d =

3

cm

c = 3

cm

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Para encontrar la fórmula correspondiente, basta dividir el trapecio en dos triángulos de diferente base pero misma altura y sumar las áreas de cada uno:

b x h 2

A =

B x h 2

A =hA

b

B

A = +B h

2b h

2=

B h + b h2

=( B + b ) h

2

Trapecio

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h

b

B

Base menor

Base mayor

Base mayor + base menor por altura entre dos

altura

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alturah

b Base menor

B Base mayor

Área = ( B + b ) h 2

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h

b

B= 9

= 5

= 2.5

( 9 + 5 ) 2.5 = 17.5 cm2

2

Área = ( B + b ) h 2

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l

l

Suma de los lados

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Perímetro = l + l + l+ l = 4 l

5 cm

5 cm

5 + 5 + 5 + 5 = 20 cm4 x 5 = 20

cm

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l

l

Lado x lado = lado al cuadrado

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Área = l . l = l 2

4 cm

4 cm

4 x 4 = 42 = 16 cm2

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Suma de los lados

l

l

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4 cm

4 cm

Perímetro = l + l + l+ l = 4 l

4 + 4 + 4 + 4 = 16 cm4 x 4 = 16

cm

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D

d

Diagonal mayorDiagonal menor

Diagonal mayor por diagonal menor

entre dos

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D

d

8 cm5 cm

8 x 5 = 20 cm2

2

Área = D d 2

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Perímetro = n . l

l

l

l

ll

l

n = No. de lados l = medida del lado

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3 cm

Pentágono

P = 5 x 3 = 15 cmP = 5 x 3 = 15 cm

4 cm

Hexágono

P = 6 x 4 = 24 cmP = 6 x 4 = 24 cm

2 cm

Octágono

P = 8 x 2 = 16 cmP = 8 x 2 = 16 cm

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Uniendo el centro con cada uno de los vértices, un polígono regular puede dividirse en tantos triángulos iguales como lados tiene. Por ejemplo, el hexágono se divide en 6 triángulos.

Polígonos Regulares

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al

A = 6 l a 2

l a 6=2

A = P a 2

Como 6 x l es igual al perímetro del hexágono, se tiene:

Donde P indica el perímetro. Procediendo de la misma manera se demuestra que, en general, el área de un polígono regular se obtiene multiplicando el perímetro por la apotema y dividiendo entre dos.

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a

Área = P . a 2

apotema

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a = 2cm

Área = P . a 2

3.5 cm

(3.5 x 6) x 22

A =

422

A =

21 cm2A =

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Sugerencias y Comentarios

Elaboró: Profra. Sandra Luz García GarzaDiseño: L.C.A. Esther Elizabeth González Glz.

Bibliografía: Libro Para el Maestro, MatemáticasEducación Secundaria, S.E.P.