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Estadística. Profesora María Durbán1
Tema 7: Procesos Estocásticos
7.1 Introducción y conceptos básicos
7.2 Estadísticos de un proceso estocástico
7.3 Estacionariedad de un proceso estocástico
7.4 Ergodicidad de un proceso estocástico
7.5 Ejemplos
Estadística. Profesora María Durbán2
Al final del tema el alumno será capaz de:Entender el concepto de proceso estocástico
Interpretar y calcular los estadísticos de los procesos estocásticos: esperanza, autocovarianza y autocorrelación
Interpretar y comprobar la estacionariedad de los procesos estocásticos
Interpretar y determinar si un proceso es ergódico
Saber calcular probabilidades en procesos estocásticos formados a través de distribuciones estudiadas en los temas anteriores
Referencias:Capítulo 8 de Introducción a los Sistemas de Comunicación. Stremler, C.G. (1993)Apuntes de la Universidad de Vigo (página Web)Capítulo 6 de Principios de Probabilidad, variables aleatorias y señales aleatorias
Tema 7: Procesos Estocásticos
Estadística. Profesora María Durbán3
Tema 7: Procesos Estocásticos
7.1 Introducción y conceptos básicos
7.2 Estadísticos de un proceso estocástico
7.3 Estacionariedad de un proceso estocástico
7.4 Ergodicidad de un proceso estocástico
7.5 Ejemplos
Estadística. Profesora María Durbán4
En los temas 1-6 hemos estudiado procesos que no varían con el tiempo o sólo dependen de una variable.
Por ejemplo, estudiamos el número de llamadas que se producen en una central telefónica.
Y, si definimos X como el número de llamadas que se reciben en una hora, podemos decir que X sigue una distribución de Poisson de media λ
¿Pero, qué pasa si queremos definir ahora otra variable que corresponda al número de llamadas recibidas en la misma centralita durante todo el
día de trabajo (8 horas)?
Podríamos definir una nueva X’, variable que seguiría una distribución de Poisson, definida como número de llamadas recibidas en la centralita durante 8 horas, con una nueva λ’ que sería igual a 8·λ.
7.1 Introducción y conceptos básicos
Estadística. Profesora María Durbán5
Y las representaciones serían (si λ=2, por ejemplo):
λ=2
λ’=16
7.1 Introducción y conceptos básicos
Estadística. Profesora María Durbán6
Definición
7.1 Introducción y conceptos básicos
Así, para cada tiempo que fijemos tendríamos una variable aleatoria.
Entonces, se define una familia de variables aleatorias que dependen de una variable determinista. En este caso el tiempo
PROCESO ESTOCÁSTICO
Se define el proceso estocástico X(t) como el número de llamadas que se producen en la centralita en el tiempo (0,t)
Así, para cada valor de t que se elija, tendremos una variable aleatoria distinta, con forma similar pero distinto valor.
En los temas anteriores definimos X(x), en este caso X(λ)
Ahora debemos representar X(x,t), en este caso, X(λ,t).
En general, diremos X(t) igual que antes llamábamos X y no X(λ)
Estadística. Profesora María Durbán7
7.1 Introducción y conceptos básicos
EjemplosEn los sistemas de comunicaciones aparecen señales aleatorias como:
La señal de información, tiene pulsos de voz de duración aleatoria y posición aleatoria
Una interferencia en el canal que es debida a la presencia cercana de otros sistemas de comunicaciones o
El ruido en un receptor es debido al ruido térmico en resistencias y componentes del receptor.
Así, la señal recibida va ser una señal con varias componentes aleatorias. Aunque no es posible describir este tipo de señales con una expresión matemática, se pueden utilizar sus propiedades estadísticas
Son señales aleatorias en el sentido de que antes de realizar el experimento no es posible describir su forma exacta
Estadística. Profesora María Durbán8
7.1 Introducción y conceptos básicos
Proceso EstocásticoEs una función de dos variables, t y x, una determinista y otra aleatoria
a) X(x,t) es una familia de funciones temporales
b) Si se fija x, tenemos una función temporal X(t) llamada realización del proceso
c) Si se fija t, tenemos una Variable Aleatoria
d) Si se fijan t y x, tenemos un número real o complejo (muy normal en teoría de la señal)
Estadística. Profesora María Durbán9
Espacio de tiempos, T
Conjunto de los posibles valores del tiempo que puede tomar el proceso estocástico
Espacio de estados, S
Conjunto de los posibles valores del proceso estocástico (resultado numérico, real o complejo)
TDiscreto
S
Continuo
Discreto
Continuo
Proceso discreto en el tiempo
Proceso continuo en el tiempo
Proceso discreto en el espacio de estados
Proceso continuo en el espacio de estados
7.1 Introducción y conceptos básicos
Estadística. Profesora María Durbán10
Ejemplo 1Distintas realizaciones del proceso X(t) = N·cos((2π/24)t+φ) siendo N y φ VA con distribuciones P(10) y U(0,2π) respectivamente.
7.1 Introducción y conceptos básicos
Estadística. Profesora María Durbán11
7.1 Introducción y conceptos básicos
En general:
Estadística. Profesora María Durbán12
Ejemplo 2Caracterizar la continuidad del número de llamadas que llegan a la centralita.
Es continuo en el tiempo, porque puede tomar cualquier valor real:t =1 horat =1,67 horast = 8 horast = 35 horas, etc.
Es discreto en el espacio de estadosX(λ, t=t0) es siempre un número entero
Ejemplo 3El tiempo que un ordenador tarda en ejecutar una tarea es una VA Y~Exp(λ). Para hacer un estudio de la evolución temporal del sistema se construye el proceso estocástico X(t) definido como el tiempo que resta para completar la tarea sabiendo que ya ha consumido t minutos.
Dibujar una realización del proceso y especificar los espacios T y S
7.1 Introducción y conceptos básicos
Estadística. Profesora María Durbán13
0 20 40 60
tiempo
02
46
x
λ=1/36
7.1 Introducción y conceptos básicos
Estadística. Profesora María Durbán14
Función de distribución
Dado un proceso estocástico cualquiera, si fijamos un tiempo t=t0tendremos una V.A. X(t0) que tendrá una función de distribución asociada.
Si, para el mismo proceso, fijamos otro instante t=t1 tendremos otra VA, en principio, distinta a la anterior, con una función de distribución diferente.
Se define la función de distribución de primer orden del proceso X(t) como
))((),( xtXPtxFX ≤=
Y, por tanto, se tiene también la función de densidad de primer orden derivando la función de distribución respecto a x
dxtxdFtxf X ),(),( =
7.1 Introducción y conceptos básicos
Estadística. Profesora María Durbán15
Función de distribución de segundo orden
De igual modo:
Se define la función de distribución de segundo orden del proceso X(t) como
Y, se puede obtener la función de densidad de segundo orden derivando la función de distribución parcialmente respecto a x1 y a x2
))()((),,,( 22112121 xtXxtXPttxxF ≤∩≤=
21
21212
2121),,,(),,,(
xxttxxFttxxf
∂∂∂
=
7.1 Introducción y conceptos básicos
Estadística. Profesora María Durbán16
Aplicación de la función de distribución y función de densidad
Realización de un proceso continuo en el tiempo con función de densidad de primer orden gaussiana
7.1 Introducción y conceptos básicos
Estadística. Profesora María Durbán17
Tema 7: Procesos Estocásticos
7.1 Introducción y conceptos básicos
7.2 Estadísticos de un proceso estocástico
7.3 Estacionariedad de un proceso estocástico
7.4 Ergodicidad de un proceso estocástico
7.5 Ejemplos
Estadística. Profesora María Durbán18
Media
La media de un proceso estocástico corresponde a:
En el caso real: [ ] ∫+∞
∞−
⋅== dxtxfxttXE x ),()()( μ
En el caso complejo: [ ] [ ] [ ])()()( tYEjtXEtZE ⋅+=
Característica:
Para cada t, se tiene una VA distinta → una media distinta
La media es, en general, una función dependiente del tiempo
Se puede entender gráficamente como el centro de gravedad de la función densidad de probabilidad
7.2 Estadísticos de un proceso estocástico
Estadística. Profesora María Durbán19
Ejemplo 4Considerar la oscilación aleatoria X(t) = cos (2Π·f·t + B·Φ), donde f es una constante real, Φ es una variable aleatoria uniforme en [− Π/2, Π/2], y B es una variable aleatoria discreta, independente de Φ, tal que P(B=0)=p y P(B=1)=q.
Definir y calcular la esperanza de la variable aleatoria X(t).
Para cada t, cos (2Π·f·t+Φ) es una variable aleatoria función de φ. Podemos escribir:
7.2 Estadísticos de un proceso estocástico
[ ] [ ]( ) cos(2 )E X t E ft Bπ φ= +
[ ] [ ][ ]
cos(2 ) | 0 Pr( 0) cos(2 ) | 1 Pr( 1)
cos(2 ) cos(2 )
E ft B B B E ft B B B
p f qE ft
π φ π φ
π π φ
= + = = + + = =
= + +
[ ]/ 2
/ 2
1 2cos(2 ) cos(2 ) cos(2 )E ft ft ftπ
ππ φ π φ φ π
π π−+ = + ∂ =∫
( )2( ) cos 2x t p q f tμ ππ
⎛ ⎞= + ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
Estadística. Profesora María Durbán20
Ejercicio 1Un transmisor envía pulsos rectangulares de altura y posición aleatorias. Cada pulso transmitido corresponde a una realización del proceso estocástico
X(t) = V·h(t − T), t > 0,
Donde l altura V del pulso es una variable aleatoria uniforme en [0,v0], y T es una variable aleatoria exponencial de parámetro λ, independiente de V, y la función determinista h(t) es
en el resto
Calcular la función valor medio del proceso estocástico X(t)
7.2 Estadísticos de un proceso estocástico
Estadística. Profesora María Durbán21
Varianza
Recordamos:
La media de un proceso estocástico corresponde a:
En el caso real: [ ] ( )∫+∞
∞−
⋅−== dxtxftxttXVar xx ),()()()( 22 μσ
[ ] [ ] [ ] [ ]22222 )()()()()( ttXEtXEtXEt xx μσ −=−=
En el caso de que la media del proceso estocástico sea siempre cero, la varianza y el valor cuadrático medio coincidirían.
7.2 Estadísticos de un proceso estocástico
[ ] ( )22( ) ( ) ( ) ( , )x xVar X t t x t f x t dxσ μ+∞
−∞
= = − ⋅∫
[ ] [ ]( )22Var X E X E X⎡ ⎤= −⎣ ⎦
Estadística. Profesora María Durbán22
Correlación
O esperanza del producto de Variables Aleatorias como función de dos variables temporales tk y ti dada por:
En el caso de que t1 = t2 se tiene el valor cuadrático medio del proceso estocástico que es una función de una variable temporal:
[ ]1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( , ) ( ) ( ) ( , ; )XR t t E X t X t x x f x x t t x x+∞ +∞
−∞ −∞= = ∂ ∂∫ ∫
2 2( ) ( ) ( ; )XR t E X t x f x t x+∞
−∞⎡ ⎤= = ∂⎣ ⎦ ∫
Potencia del proceso
7.2 Estadísticos de un proceso estocástico
Estadística. Profesora María Durbán23
Covarianza
Covarianza del proceso X(t) como una función de dos variables temporales tk y ti dada por:
En el caso de que tk = ti se tiene la varianza del proceso estocástico
( ) ( )[ ]
( ) ( )∫ ∫∞+
∞−
∞+
∞−
−⋅−=
=−⋅−=
dxdyyxftytx
ttXttXEttC
tXtXXX
xxX
),()()(
)()()()(),(
)2(),1(21
222121
μμ
μμ
De las definiciones de correlación y covarianza, se puede obtener:
)()(),(),( 212121 ttttRttC xxXx μμ ⋅−=
En el caso de que la media del proceso estocástico sea siempre cero, la función de correlación y la de covarianza coincidirían.
7.2 Estadísticos de un proceso estocástico
Estadística. Profesora María Durbán24
Matriz de Correlación de dos procesosDados dos procesos X(t) e Y(t). Todas las propiedades de correlación se pueden colocar de forma matricial según una matriz de funciones de dos dimensiones temporales.
En el caso de que t=u la matriz de correlación tiene la expresión siguiente, siendo una matriz de funciones de una variable temporal y simétrica.
( , ) ( , )( , )
( , ) ( , )X XY
YX Y
R t u R t uR t u
R t u R t u⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
[ ]( , ) ( ) ( )XYR t u E X t Y u=
[ ][ ]
2
2
( ) ( ) ( )( , )
( ) ( ) ( )
E X t E X t Y tR t t
E Y t X t E Y t
⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥=⎢ ⎥⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦
7.2 Estadísticos de un proceso estocástico
Estadística. Profesora María Durbán25
Ejemplo 4Si X(t) representa un proceso estocástico de media μx(t) = 3 y función de correlación RX(t1, t2) = 9 + 4e−0,2·|t1−t2|. Calcular la esperanza, la varianza y la covariancia de las variables aleatorias Z = X(5) y T = X(8).
1) Esperanzas E(Z) = E(X(5)) = μx(5) = 3E(T ) = E(X(8)) = μx(8) = 3
2) Varianzas E(Z2) = E(X(5)·X(5)) = RX(5,5) = 13E(T2) = E(X(8)·X(8)) = RX(8,8) = 13Var(Z) = E(Z2) − (E(Z))2 = 4Var(T) = E(T2) − (E(T))2 = 4
3) Covarianzas E(ZT) = E(X(5)X(8)) = RX(5, 8) = 9+4e−0.6
Cov(Z,T) = E(ZT) − E(Z)E(T ) = 4·e−0.6
O también como, Cov (Z,T) = KX(5, 8) = RX(5, 8) −μx(5)·μx(8) = 4·e−0.6
7.2 Estadísticos de un proceso estocástico
Estadística. Profesora María Durbán26
IndependenciaDos procesos X(t) e Y(t) son independientes si su función de densidad conjunta de cualquier orden se puede descomponer como el producto de dos funciones de densidad marginales, una conteniendo términos sólo dependientes del proceso X(t) y la otra dependientes de Y(t).
IncorrelaciónDos procesos X(t) e Y(t) son incorrelados si CXY(t1, t2) = 0 para cualquier valor de t1 y t2.
[ ] [ ] [ ])()()()( tYEtXEtYtXE ⋅=⋅
)()(),( 2121 ttttR YXXY μμ ⋅=
OrtogonalidadDos procesos X(t) e Y(t) son ortogonales si RXY(t1, t2)=0 para cualquier valor de t1 y t2. )()(),( 2121 ttttC YXXY μμ ⋅−=
7.2 Estadísticos de un proceso estocástico
Estadística. Profesora María Durbán27
EjercicioCalcular la función de correlación del proceso X(t) = A·cos (2Π·f·t+Φ), donde A y Φ son variables aleatorias independientes, siendo Φ una variable aleatoria uniforme en [− Π, Π], y A exponencial de parámetro λ.
EjercicioEl tiempo que un ordenador tarda en ejecutar una tarea es una v.a. Y ~Exp(λ). Para hacer un estudio de la evolución temporal del sistema se construye el proceso estocástico X(t) definido como el tiempo que resta para completar la tarea sabiendo que ya ha consumido t minutos.
a) Determina E[X(t)], Var[X(t)], E[X(t)2].b) Indica si cada una de las funciones del aparatado anterior depende del tiempo e interpreta el resultado.
7.2 Estadísticos de un proceso estocástico
Estadística. Profesora María Durbán28
Tema 7: Procesos Estocásticos
7.1 Introducción y conceptos básicos
7.2 Estadísticos de un proceso estocástico
7.3 Estacionariedad de un proceso estocástico
7.4 Ergodicidad de un proceso estocástico
7.5 Ejemplos
Estadística. Profesora María Durbán29
Cuando utilizamos un modelo estocástico, generalmente vamos a estar interesados en predecir el comportamiento del proceso en el futuro y paraello nos basamos en la historia del proceso. Estas predicciones no serán correctas a menos que las condiciones futuras sean análogas a las pasadas
El mecanismo físico que genera el experimento no cambia con el tiempo
Un proceso estocástico es estacionario si sus propiedades estadísticas son invariantes ante una traslación del tiempo
7.3 Estacionariedad de un proceso estocástico
Estadística. Profesora María Durbán30
Ejemplo 5El número de llamadas que llegan a una centralita hasta el instante t
El número medio de llamadas no esconstante, dependede t
No estacionario
7.3 Estacionariedad de un proceso estocástico
Estadística. Profesora María Durbán31
Ejemplo 6Distintas realizaciones del proceso X(t) = N·cos((2π/24)t+φ) siendo N y φ VA con distribuciones P(10) y U(0,2π) respectivamente.
La media del proceso se mantiene constante puede serestacionario
7.3 Estacionariedad de un proceso estocástico
Estadística. Profesora María Durbán32
Estacionariedad (en sentido estricto)
Un proceso X(t) es estacionario en sentido estricto si la función de densidad de densidad conjunta, de cualesquiera de sus n v.a. medidas en instantes t1,…,tn, permanece constante cuando transcurre cualquier intervalo de tiempo ε
Esta es una condición muy fuerte ya que implicaría estudiar infinitas funciones de densidad conjunta
EstacionariedadEstacionariedad en sentido den sentido déébilbil
1 1 1 1( ,.... ; ,..., ) ( ,.... ; ,..., )n n n nf x x t t f x x t tε ε= + +
7.3 Estacionariedad de un proceso estocástico
Estadística. Profesora María Durbán33
Estacionariedad (en sentido débil)
Un proceso X(t) es débilmente estacionario si:
Propiedades:
La potencia no depende de t
ya que
ya que
[ ]1 2 2 1
( ) (independiente del tiempo)( , ) ( ) (depende solo de la distancia
entre los tiempos considerados)X X
E X tR t t R t t
μτ τ
=
= = −
2( )E X t⎡ ⎤⎣ ⎦2( ) (0)XE X t R⎡ ⎤ =⎣ ⎦
( ) ( )X XR Rτ τ= −
[ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )X XR E X t X t E X t X t Rτ τ τ τ= − = − = −
7.3 Estacionariedad de un proceso estocástico
Estadística. Profesora María Durbán34
Estacionariedad (en sentido débil)
Un proceso X(t) es débilmente estacionario si:
Propiedades:
Estacionario en sentido estricto débil
Si el proceso es gaussiano: estricto = débil
[ ]1 2 2 1
( ) (independiente del tiempo)( , ) ( ) (depende solo de la distancia
entre los tiempos considerados)X X
E X tR t t R t t
μτ τ
=
= = −
7.3 Estacionariedad de un proceso estocástico
Estadística. Profesora María Durbán35
Distintas realizaciones del proceso X(t) = A·cos((2π/24)t+φ) siendo A constante y φ una VA con distribución U(-π, π).¿Es X(t) débilmente estacionario?
0 20 40 60
tiempo
-10
-50
510
7.3 Estacionariedad de un proceso estocásticoEjemplo 7
Estadística. Profesora María Durbán36
Distintas realizaciones del proceso X(t) = A·cos((2π/24)t+φ) siendo A constante y φ una VA con distribución U(-π, π).¿Es X(t) débilmente estacionario?
Utilizando:
[ ] [ ] 1( ) cos((2 / 24) ) cos((2 / 24) ) 02
E X t AE t A t dπ
π
π φ π φ φπ−
= + = + =∫
[ ] [ ]( , ) ( ) ( ) cos((2 / 24) )cos((2 / 24)( ) )XR t t E X t X t E t tτ τ π φ π τ φ+ = + = + + +
cos( ) cos( ) cos( ) sen( )sen( ) 2cos( )cos( ) cos( ) cos( )
α β α β α β
α β α β α β
± =
⇓= + + −
m
Ejemplo 7
7.3 Estacionariedad de un proceso estocástico
Estadística. Profesora María Durbán37
Distintas realizaciones del proceso X(t) = A·cos((2π/24)t+φ) siendo A constante y φ una VA con distribución U(-π, π).¿Es X(t) débilmente estacionario?
débilmente estacionario
[ ] [ ] 1( ) cos((2 / 24) ) cos((2 / 24) ) 02
E X t AE t A t dπ
π
π φ π φ φπ−
= + = + =∫
[ ] [ ]
[ ]
( , ) ( ) ( ) cos((2 / 24) )cos((2 / 24)( ) )1 cos((2 / 24)(2 ) 2 ) cos((2 / 24) )21 cos((2 / 24) )2
XR t t E X t X t E t t
E t
τ τ π φ π τ φ
π τ φ π τ
π τ
+ = + = + + +
= + + +
=
2cos( ) cos( ) cos( ) cos( )α β α β α β= + + −
Ejemplo 7
7.3 Estacionariedad de un proceso estocástico
Estadística. Profesora María Durbán38
EjercicioSea U una VA uniforme en [0,1], a partir de ella se construye el procesoX(t)=exp(-Ut)
a) Para cada valor de t, determina el rango de X(t)b) Calcula E[X(t)] y Rx(t1,t2)c) Estudia la estacionariedad en sentido amplio
Si X e Y son VA normales, independientes, con media 0 y varianza 1, se define el proceso Z(t)=Xcos(2πt)+Ysin(2πt)
a) Determinar la función de probabilidad conjunta de Z(t1) y Z(t2)b) Calcula la media y la autocovarianza del proceso Z(t)c) Estudia la estacionariedad en sentido débil y estricto
Ejercicio
7.3 Estacionariedad de un proceso estocástico
Estadística. Profesora María Durbán39
Tema 7: Procesos Estocásticos
7.1 Introducción y conceptos básicos
7.2 Estadísticos de un proceso estocástico
7.3 Estacionariedad de un proceso estocástico
7.4 Ergodicidad de un proceso estocástico
7.5 Ejemplos
Estadística. Profesora María Durbán40
En muchas ocasiones, sólo disponemos de una realización del proceso (es decir, disponemos de una función temporal), en este caso, para conocer el proceso calculamos sus promedios temporales
Sea X(t) un proceso estacionario, definimos la media temporal o valor medio en el tiempo como:
La autocorrelación temporal se define como:
Ambas son VA ya que toman valores distintos para cada realización del proceso
1lim ( ) lim2
T
X T T TTM X t dt
Tμ∞ ∞−
= =∫uuur uuur
1lim ( ) ( )2
T
X T TA X t X t dt
Tτ∞ −
= +∫uuur
7.3 Ergodicidad de un proceso estocástico
Estadística. Profesora María Durbán41
Diremos que un proceso es ergódico si sus promedios estadísticos coinciden con los temporales sólo necesitamos una realización del proceso para conocer los promedios estadísticos
Ergodicidad en media : Dado que la media temporal μT no depende del tiempo, para que un proceso sea ergódico en media, es necesario que la media del proceso μX sea constante, esto se cumple si el proceso es estacionario
Ejemplo 8Sea A una VA N(0,1), definimos el proceso X(t)=A. ¿Es ergódico en media?
No es ergódico en media[ ] 0
1 02
X
T
T T
E A
A t AT
μ
μ−
= =
= ∂ = ≠∫
7.3 Ergodicidad de un proceso estocástico
Estadística. Profesora María Durbán42
Ergodicidad en autocorrelación : Sea . Si construimos el proceso , entonces , por lo tanto es ergódico en autocorrelación si es ergódico en media
Ejemplo 7Sea considera el proceso X(t)=acos(wt)+bcos(wt), donde a y b son dos VA independientes uniformemente distribuidas en [-1,1], estudiar la ergodicidad en media y autocorrelación.
[ ] [ ]cos( ) sin 0 0 01 sin( )( cos( ) sin ) lim 0
2
X
T
T T TT
E a wt E b wtwTa wt b wt t
T wT
μ
μ μ∞−
= + = + =
= + ∂ = → =∫ uuur
[ ]( ) ( ) ( )XR E X t X tτ τ= +( ) ( ) ( )Z t X t X tτ τ= + [ ]( ) ( )XE Z t Rτ τ=
( )Z tτ( )X t
[ ] 1( ) ( ) ( ) cos( )3
1 ( ) ( )2
X
T
T
R E X t X t w
X t X t tT
τ τ τ
τ−
= + =
+ ∂∫sin( ) cos( )sin( ) sin( )cos( )α β α β α β± = ±
Ergódico en media
7.3 Ergodicidad de un proceso estocástico
Estadística. Profesora María Durbán43
[ ] [ ]cos( ) sin 0 0 01 sin( )( cos( ) sin ) lim 0
2
X
T
T T TT
E a wt E b wtwTa wt b wt t
T wT
μ
μ μ∞−
= + = + =
= + ∂ = → =∫ uuur
( ) ( ) ( )Z t X t X tτ τ= + [ ]( ) ( )XE Z t Rτ τ=
( )Z tτ( )X t
[ ]
2 2
1( ) ( ) ( ) cos( )3
1 1lim ( ) ( ) ( ) cos( )2 2
X
T
T T
R E X t X t w
X t X t t a b wT
τ τ τ
τ τ∞ −
= + =
+ ∂ = +∫uuur
No es ergódico en autocorrelación
Ergodicidad en autocorrelación : Sea . Si construimos el proceso , entonces , por lo tanto es ergódico en autocorrelación si es ergódico en media
Ejemplo 7Sea considera el proceso X(t)=acos(wt)+bcos(wt), donde a y b son dos VA independientes uniformemente distribuidas en [-1,1], estudiar la ergodicidad en media y autocorrelación.
[ ]( ) ( ) ( )XR E X t X tτ τ= +
7.3 Ergodicidad de un proceso estocástico
Estadística. Profesora María Durbán44
Tema 7: Procesos Estocásticos
7.1 Introducción y conceptos básicos
7.2 Estadísticos de un proceso estocástico
7.3 Estacionariedad de un proceso estocástico
7.4 Ergodicidad de un proceso estocástico
7.5 Ejemplos
Estadística. Profesora María Durbán45
Proceso de PoissonEs un proceso de tiempo continuo y estado discreto.
X(t)= número de sucesos en [0,t]X(t)~P(λt)μX=λtCx(t1,t2)=λmin{t1,t2}
“Ruido”= señales indeseables que constituyen una interferencia en un sistema de comunicaciones. Hay dos tipos de ruido: el ruido externo alsistema (atmosférico) ruido interno al sistema (fluctuaciones aleatoriasdebidas a dispositivos). Generalmente se representan las interferenciasmediante un ruido blanco
Ruido blanco: Un proceso es un ruido blanco si las variables X(t1), X(t2) están incorreladas para todo t. Si las variables son gaussianas incorreladas = independientes
Ruido
7.5 Ejemplos
Estadística. Profesora María Durbán46
Procesos GaussianosDiremos que un proceso es gaussiano, si cualquier colección de VA del
proceso tiene distribución conjunta gaussianaEl proceso está totalmente descrito si conocemos sufunción media y su
autocovarianza (o auticorrelación)
Estacionariedad en sentido débil = estacionariedad en sentido estrictoUn proceso es independiente C(ti,tj)=0
Sean X e Y dos VA normales con media 0 y varianza Y, se define el proceso gaussiano: Z(t)=Xcos(2πt)+Ysin(2πt)
Ejercicio. Febrero 2003
-3 -2 -1 0 1 2 3
tiempo
-2-1
01
2
x1
7.5 Ejemplos
Estadística. Profesora María Durbán47
Procesos GaussianosDiremos que un proceso es gaussiano, si cualquier colección de VA del
proceso tiene distribución conjunta gaussianaEl proceso está totalmente descrito si conocemos sufunción media y su
autocovarianza (o auticorrelación)
Estacionariedad en sentido débil = estacionariedad en sentido estrictoUn proceso es independiente C(ti,tj)=0
Sean X e Y dos VA normales con media 0 y varianza Y, se define el proceso gaussiano: Z(t)=Xcos(2πt)+Ysin(2πt)
a) Determinar la función de probabilidad conjunta de de Z(t1) y Z(t2)b)Estudiar la estacionariedad en sentido débil y estricto
Ejercicio. Febrero 2003
7.5 Ejemplos
Estadística. Profesora María Durbán48
Procesos AutorregresivosUn proceso autorregresivo tiene la siguiente forma:
2( ) ( 1) ~ (0, )t tX t c X t Nα ε ε σ= + − +
[ ] [ ]2 2
2 2( ) Var X(t) ( )1 1 1X
cE X t Rτσ α στ
α α α= = =
− − −
0 20 40 60 80 100
-4-2
02 α=0.7
0 20 40 60 80 100
-3-2
-10
12
3 α−0.5
7.5 Ejemplos
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