tarea#3 - criterios de estabilidad de routh

CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH

ELABORADO POR: GRUPO #5

-Hanliet Lira 2007-21950

-Claudia Mendez 2007-21558

-Sergio Mendieta 2007-21604

-Sabrina Mendoza 2007-21557

-Francisco Sevilla 2007-21835

-Frederick Ramirez 2007-21655

GRUPO 4T1 – ELECTRONICA 10/Nov/2010

OBJETIVOS

Entender el concepto de Estabilidad de los Sistemas de Control LTI.

Conocer y comprender los Criterios de Estabilidad de Routh y su significado en la determinación de la estabilidad de los sistemas.

ESTABILIDAD

•“Estabilidad”, definido simplemente, es la cuantificación de cómo los sistemas responden a perturbaciones externas.

•Cualquier diseño en sistemas de control esta restringido en el dominio de la estabilidad.

•Para que el sistema funcione correctamente las condiciones de estabilidad deben satisfacerse

ESTABILIDAD

•Para el análisis de estabilidad se considera a las perturbaciones como condiciones iniciales del sistema.

•La estabilidad de un sistema lineal:•BIBO(Bounded Input - Bounded Output)•ZIZO(Zero Input – Zero Output)

Sistema LinealEntrada Salida

Perturbaciones

CRITERIOS DE ESTABILIDAD DE ROUTH

•El criterio de estabilidad de Routh permite determinar la cantidad de polos en lazo cerrado que se encuentran en el semiplano derecho del plano s (raíces positivas) sin tener que factorizar el polinomio.

•Este criterio de estabilidad sólo se aplica a los polinomios con una cantidad finita de términos

•Es una forma simple para determinar la estabilidad de un sistema dado.

•Este metodo no necesita resolver la ecuacion diferencial que describe el sistema fisico.

•Requiere unicamente el analisis de los polos que se encuentran en la funcioncaracteristica (denominador de la funcion de transferencia)

PROCEDIMIENTOCRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH

1. Escribir el polinomio en s del denominador en la forma siguiente:Los coeficientes son cantidades reales . Se elimina cualquier raíz cero

2. Si alguno de los coeficientes es cero o negativo, ante la presencia de al menos un coeficiente positivo, hay una raíz, o raíces imaginarias o que tiene partes reales positivas. En tal caso, el sistema no es estable.

La condición necesaria, pero no suficiente, para la estabilidad es que todos los coeficientes de la ecuación estén presentes y tengan signo positivo

PROCEDIMIENTOCRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH

3. Si todos los coeficientes son positivos, ordenar los coeficientes del polinomio en renglones y columnas de acuerdo con el arreglo siguiente

PROCEDIMIENTOCRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH

Los coeficientes b1, b2, b3,…, c1, c2, c3,…, d1, d2,… se evalúan del modo siguiente:

La evaluación continua hasta que todas las restantes son cero

Ejemplo 1:

Dada la siguiente ecuación características, determine la estabilidad del sistema:

Ejemplo 1:

Dada la siguiente ecuación características, determine la estabilidad del sistema:

1 3 5

2 4

1 5

-6

5

Hay dos cambios de signo en los coeficientes de la primera columna. Estos

significa que existen dos raíces con partes reales positivas, por lo que el

sistema es inestable.

>> den=[1 2 3 4 5];

>> r=roots(den)

r =

0.2878 + 1.4161i

0.2878 - 1.4161i

-1.2878 + 0.8579i

-1.2878 - 0.8579i

>> zplane(0,r)

Ejemplo 1: (Solución en MATLAB®)

Ecuación Característica:

Ejemplo 2:

Considere el sistema de la figura. Determine el rango de valores de K para la estabilidad.

La ecuación característica del sistema es:

La función de transferencia es:

Ejemplo 2:

Determine el rango de valores de K para la estabilidad.

1 3 K

3 2

K

K

Ejemplo 2:

Determine el rango de valores de K para la estabilidad.

1 3 K

3 2

K

K

Para que el sistema sea estable K debe cumplir las siguientes condiciones:

Por lo tanto, el rango de K es:

>>k=-2

>>den=[1 3 3 2 k];

>> r=roots(den)

r =

-2.2372

-0.6189 + 1.2242i

-0.6189 - 1.2242i

0.4751

>> zplane(0,r)

Ejemplo 2: (Solución en MATLAB®)

Ecuación Característica:

>>k=-1

>>den=[1 3 3 2 k];

>> r=roots(den)

r =

-2.1365

-0.5860 + 1.0832i

-0.5860 - 1.0832i

0.3086

>> zplane(0,r)

Ejemplo 2: (Solución en MATLAB®)

Ecuación Característica:

>>k=0

>>den=[1 3 3 2 k];

>> r=roots(den)

r =

0

-2.0000

-0.5000 + 0.8660i

-0.5000 - 0.8660i

>> zplane(0,r)

Ejemplo 2: (Solución en MATLAB®)

Ecuación Característica:

>>k=0.25

>>den=[1 3 3 2 k];

>> r=roots(den)

r =

-1.9554

-0.4442 + 0.7883i

-0.4442 - 0.7883i

-0.1562

>> zplane(0,r)

Ejemplo 2: (Solución en MATLAB®)

Ecuación Característica:

>>k=0.5

>>den=[1 3 3 2 k];

>> r=roots(den)

r =

-1.9034

-0.3396 + 0.7169i

-0.3396 - 0.7169i

-0.4175

>> zplane(0,r)

Ejemplo 2: (Solución en MATLAB®)

Ecuación Característica:

>>k=1

>>den=[1 3 3 2 k];

>> r=roots(den)

r =

-1.7549

-1.0000

-0.1226 + 0.7449i

-0.1226 - 0.7449i

>> zplane(0,r)

Ejemplo 2: (Solución en MATLAB®)

Ecuación Característica:

>>k=1.25

>>den=[1 3 3 2 k];

>> r=roots(den)

r =

-1.6046

-1.2772

-0.0591 + 0.7787i

-0.0591 - 0.7787i

>> zplane(0,r)

Ejemplo 2: (Solución en MATLAB®)

Ecuación Característica:

>>k=1.5

>>den=[1 3 3 2 k];

>> r=roots(den)

r =

-1.4903 + 0.2551i

-1.4903 - 0.2551i

-0.0097 + 0.8100i

-0.0097 - 0.8100i

>> zplane(0,r)

Ejemplo 2: (Solución en MATLAB®)

Ecuación Característica:

>>k=1.75

>>den=[1 3 3 2 k];

>> r=roots(den)

r =

-1.5311 + 0.3776i

-1.5311 - 0.3776i

0.0311 + 0.8383i

0.0311 - 0.8383i

>> zplane(0,r)

Ejemplo 2: (Solución en MATLAB®)

Ecuación Característica:

>>k=2

>>den=[1 3 3 2 k];

>> r=roots(den)

r =

-1.5661 + 0.4588i

-1.5661 - 0.4588i

0.0661 + 0.8641i

0.0661 - 0.8641i

>> zplane(0,r)

Ejemplo 2: (Solución en MATLAB®)

Ecuación Característica:

Ejemplo 3:

Dada la siguiente ecuación características, determine la estabilidad del sistema:

1 3 2

2 4

1 2

0

?

Si todo un renglón en el arreglo de Routh esta compuesto por ceros, indica

que hay raíces de igual valor y opuestas en el plano complejo. Para continuar

el arreglo se forma un polinomio auxiliar con los coeficientes del renglón

anterior.

Caso Especial 1:

Ejemplo 3:

Determine la estabilidad del sistema:

2 0

2

Caso Especial 1:

Polinomio auxiliar con los coeficientes del

renglón anterior.

Derivada del polinomio auxiliar

>>den=[1 2 3 4 2];

>> r=roots(den)

r =

-0.0000 + 1.4142i

-0.0000 - 1.4142i

-1.0000 + 0.0000i

-1.0000 - 0.0000i

>> zplane(0,r)

Ejemplo 3: (Solución en MATLAB®)

Ecuación Característica:

Ejemplo 4:

Dada la siguiente ecuación características, determine la estabilidad del sistema:

Caso Especial 2:

Ejemplo 4:

Dada la siguiente ecuación características, determine la estabilidad del sistema:

2 2 1 3

3 3 2 2

03

5

03

661

b

3

1

3

432

b

3

5

3

493

b

0

1

0

101c

3

1

Ejemplo 4:

13)1(31c

52

132

39

1612 2

39

5615 2

522´c

202

3

c

39

1612 2

1

d

39

5615 2

2

d

>>den=[2 3 2 3 1 2 3 2];

>> r=roots(den)

r =

-1.4567

0.7090 + 0.6667i

0.7090 - 0.6667i

-0.0955 + 1.1048i

-0.0955 - 1.1048i

-0.6351 + 0.4313i

-0.6351 - 0.4313i

>> zplane(0,r)

Ejemplo 4: (Solución en MATLAB®)

Ecuación Característica:

CRITERIOS DE ESTABILIDAD DE ROUTH(CONCLUSION)

El criterio de estabilidad de Routh- Hurwitz plantea que el número de raíces de la ecuación con partes reales positivas es igual al número de cambios de signo de los coeficientes de la primera columna del arreglo.

La condición necesaria y suficiente para que todas las raíces de la ecuación se encuentren en el semiplano izquierdo del plano s es que todos los coeficientes de la ecuación sean positivos y que todos los términos de la primera columna del arreglo tengan signo positivo.