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Topicos sobre modelos DSGE en DynareModelo neokeynesiano con polıtica monetaria optima

Carlos Rojas Quiroz

www.carlos-rojas-quiroz.weebly.com

2 de diciembre de 2017

Carlos Rojas Quiroz Clase 6 2 de diciembre de 2017 1 / 38

Clase anterior

La semana pasada vimos dos temas con los que empezamos a cerrarlos modelos RBC: inclusion de dinero y competencia imperfecta.

En relacion al dinero, si el modelo es MIU, se cumple la dicotomıaclasica. En cambio, si se introduce un mecanismo Cash-in-Advance, eldinero sı tiene efectos sobre las variables reales de la economıa.

El modelo con competencia imperfecta es, en terminos simples, unmodelo RBC de dos sectores, donde el sector de competenciamonopolıstica (bienes diferenciados), tiene la posibilidad de establecersu precio optimo.

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Clase de hoy

Hoy estudiaremos el modelo neokeynesiano. Basicamente, buscamosconstruir una curva OA que tenga pendiente positiva, para que loschoques de demanda (principalmente monetarios) tengan efectosreales.

Si establecer el precio optimo tiene un costo, llegamos al esquema deRotemberg. Si, ademas, no todos los empresarios de bienesdiferenciados pueden establecer su precio en cada perıodo (lo quedepende de una probabilidad exogena), estamos en el modelo deCalvo.

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Rigideces de precios

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Contenido

1 The Science of Monetary Policy: A New Keynesian PerspectiveDemanda AgregadaOferta AgregadaRegla de Taylor optima

2 Polıtica monetaria optima en Dynare

3 Modelos semiestructurales

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The Science of Monetary Policy: A New KeynesianPerspective

Se hacen importantes inferencias sobre polıtica monetaria utilizando unmodelo pequeno (3 ecuaciones):

xt = Etxt+1 −Ψ(it − Etπt+1) + gt (1)

πt = βEtπt+1 + λxt + ut (2)

it = γπEtπt+1 +1

Ψgt (3)

El modelo se completa con los procesos AR(1) para los choques dedemanda y de oferta:

gt = µgt−1 + gt (4)

ut = ρut−1 + ut (5)

Donde gt ∼ N(0, σ2g ) y ut ∼ N(0, σ2

u).

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The Science of Monetary Policy: A New KeynesianPerspective

La ecuacion 1 es la demanda agregada, donde xt es la brecha deproducto, it la tasa de interes nominal y πt la inflacion. Ademas gt esun choque de demanda con un proceso AR(1).

La ecuacion 2 es la ecuacion de Oferta Agregada o Curva de Phillips.Note que ahora hay una relacion positiva entre precios y nivel deactividad (OA con pendiente positiva).

La ecuacion 3 es la regla de Taylor obtenida mediante discrecion.Donde γπ = 1 + (1−ρ)λ

ρΨα (se cumple el principio de Taylor).

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Demanda AgregadaDerivacion de la DA mediante microfundamentos

La restriccion presupuestaria es:

Wt + At(1 + it−1) = PtCt + At+1 (6)

El individuo recibe un salario nominal Wt cada perıodo que lo usa paraconsumir o acumular activos At . A inicios del perıodo t, el individuo poseeAt en activos nominales que pagan una tasa de interes it−1 (que fuepactado a finales del perıodo t − 1).

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Demanda AgregadaDerivacion de la DA mediante microfundamentos

Lagrangiano en valor presente:

` =∞∑s=t

βs−t [U(Cs) + λs(Ws + As(1 + is−1)− PsCs − As+1)] (7)

CPO’s:[Ct ] : U ′(Ct)− λtPt = 0 (8)

[At+1] : −λt + βλt+1(1 + it) = 0 (9)

Reordenando las CPO’s, llegamos a la ecuacion de Euler:

U ′(Ct)

Pt=

1

1 + ρ

U ′(Ct+1)

Pt+1(1 + it) (10)

Suponiendo una forma funcional especıfica para la utilidad: U(Cs) = C1−σs

1−σ ,entonces la ecuacion 10 se convierte en:

C−σt =(1 + it)

1 + ρEt

{C−σt+1

Pt

Pt+1

}(11)

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Demanda AgregadaDerivacion de la DA mediante microfundamentos

Aplicando logaritmos a la ecuacion 11:

ct = Etct+1 −1

σ(it − Etπt+1 − ρ) (12)

SI Yt = Ct + Rt , donde Rt es el resto del gasto agregado de la economıa,suponemos que Rt = χtYt . Por tanto:

ct = log(1− χt) + yt (13)

Definimos zt = −log(1− χt), entonces yt = ct + zt , siendo zt es unchoque de demanda AR(1):

zt = ψzt−1 +$t (14)

Donde $t ∼ N(0, σ2z ). Por tanto, Etzt+1 = ψzt , entonces:

yt = Etyt+1 + (1− ψ)zt −1

σ(it − Etπt+1 − ρ) (15)

Que es la Demanda Agregada forward looking.Carlos Rojas Quiroz Clase 6 2 de diciembre de 2017 10 / 38

Demanda AgregadaDerivacion de la DA mediante microfundamentos

Para pasar de la ecuacion 15 a una ecuacion de DA en terminos de labrecha de producto, podemos incluir el PBI tendencial, yt en ambosmiembros:

yt−yt = Etyt+1−Et yt+1+(1−ψ)zt−1

σ(it−Etπt+1−ρ)+Et yt+1−yt (16)

xt = Etxt+1 −1

σ︸︷︷︸Ψ

(it − Etπt+1) + (1− ψ)zt +ρ

σ+ Et∆yt+1︸ ︷︷ ︸

gt

(17)

xt = Etxt+1 −Ψ(it − Etπt+1) + gt (18)

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Oferta AgregadaModelo de Calvo

Estandar en modelos teoricos con rigideces de precios, pues resuelveproblemas de agregacion y permite ser incorporado en modelos deequilibrio general.

Las empresas fijan sus precios y ellos permanecen fijos hasta quereciben una senal para cambiarlos.

El proceso de llegada de esta senal es Poisson, con una probabilidadψ.

En cada perıodo t habra algunas firmas cambiando sus precios, ψ, yotra fraccion que sigue con ellos fijos, 1− ψ.

Los precios, por lo tanto, seran “traslapados”, es decir, las empresascambian sus precios en perıodos distintos.

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Oferta AgregadaModelo de Calvo

El problema de la firma i-esima a la que le corresponde cambiar deprecio en t es escoger el precio pit . Este precio puede cambiar elsiguiente perıodo con probabilidad ψ.

En el modelo de Calvo, esta probabilidad es exogena.

En el perıodo t el precio optimo para la firma es p∗t , igual que paratodas las firmas.

Asumiendo una funcion de perdida cuadratica, el problema de la firmaes:

mınpi,t

Ct = Et

( ∞∑τ=t

[(1− ψ)β]τ−t(pi ,t − p∗τ )2

)pi ,t es el precio que fija la firma i en el perıodo t, p∗τ es el nivel deprecios optimo agregado en el perıodo τ .

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Oferta AgregadaModelo de Calvo

∂Ct

pi,t= 2(pi,t−p∗t )+2(1−ψ)βEt(pi,t−p∗t+1)+2(1−ψ)2β2Et(pi,t−p∗t+2)+ ... = 0

pi ,t

∞∑j=0

[β(1− ψ)]j −∞∑j=0

[β(1− ψ)]jEt(p∗t+j) = 0

Fijacion de precios

pi ,t = (1− β(1− ψ))∞∑j=0

[β(1− ψ)]jEt(p∗t+j)

Si ψ = 1 hay plena flexibilidad de precios. Si ψ = 0 hay precioscompletamente rıgidos. A mayor probabilidad, menor ponderacion de losperıodos futuros.

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Oferta AgregadaModelo de Calvo

Descomponiendo el lado derecho de la ecuacion:

pi ,t = (1− β(1− ψ))(p∗t +∞∑j=1

[β(1− ψ)]jEt(p∗t+j))

Tomando el segundo componente del lado derecho:

= (1− β(1− ψ))(∞∑j=1

[β(1− ψ)]jEt(p∗t+j))

β(1− ψ)

β(1− ψ)

= (1− β(1− ψ))(∞∑j=1

[β(1− ψ)]j−1Et(p∗t+j))β(1− ψ)

= (1− β(1− ψ))(∞∑j=0

[β(1− ψ)]jEt(p∗t+j+1))β(1− ψ)

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Oferta AgregadaModelo de Calvo

Para terminar de resolver el segundo componente del lado derecho,llevamos un perıodo adelante la definicion de pi ,t :

Et(pi ,t+1) = (1− β(1− ψ))∞∑j=0

[β(1− ψ)]jEt(p∗t+j+1)

Reemplazando en lo obtenido hasta el momento:

= (1− β(1− ψ))(∞∑j=0

[β(1− ψ)]jEt(p∗t+j+1))︸ ︷︷ ︸

Et(pi,t+1)

(β(1− ψ)

Por lo que llegamos a la expresion:

(1− β(1− ψ))∞∑j=1

[β(1− ψ)]jEt(p∗t+j) = β(1− ψ)Et(pi ,t+1)

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Oferta AgregadaModelo de Calvo

Considerando toda la ecuacion del precio individual:

pi ,t = (1− β(1− ψ))p∗t + β(1− ψ)Et(pi ,t+1)

Siendo Et(pi ,t+1) el valor esperado de precios futuros corregidos porprobabilidad de cambio.

La ley de movimiento del nivel de precios agregado pt corresponde aun promedio ponderado entre los precios que fijan las empresas quepudieron cambiar sus precios en t y los precios que traen del perıodoanterior las empresas que no pudieron cambiarlos:

pt = ψpi ,t + (1− ψ)pt−1

pt = ψ((1− β(1− ψ))p∗t + β(1− ψ)Et(pi ,t+1)) + (1− ψ)pt−1

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Oferta AgregadaModelo de Calvo

Falta determinar el precio optimo p∗t y la expectativa de preciosfuturos Et(pi ,t+1). Para este ejemplo se asume:

p∗t = pt + φ(yt − yt) + ϑt

ϑt ∼ N(0, σ2ϑ). Luego, para Et(pi ,t+1):

pt = ψpi ,t + (1− ψ)pt−1

pi ,t =1

ψpt −

(1− ψ)

ψpt−1

Et(pi ,t+1) =1

ψEt(pt+1)− (1− ψ)

ψpt

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Oferta AgregadaModelo de Calvo

pt = ψ((1−β(1−ψ))(pt +φ(yt−yt)+ϑt)+β(1−ψ)(Et(πt+1)+ψpt)+(1−ψ)pt−1

De aquı se obtiene la curva de Phillips neokeynesiana:

pt = pt−1 + λ(yt − yt) + βEt(pt+1 − pt) + ut

πt = λxt + βEt(πt+1) + ut

Donde:

λ =φψ(1− (1− ψ)β)

(1− ψ)

ut =ψ(1− (1− ψ)β)ϑt

(1− ψ)

Mientras ψ → 1, mas vertical es la Curva de Phillips.

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Oferta AgregadaModelo de Calvo

Debilidades:

El modelo no presenta inercia inflacionaria. Se puede introducircomponente inercial pero, obviamente, es mas compleja la solucion.

La optimizacion no esta en la fuente de la rigidez.

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Regla de Taylor optima

Proviene de un proceso de optimizacion de la funcion de perdida del bancocentral:

max−1

2[x2

t + π2t ]− 1

2Et

{ ∞∑i=1

βi [αx2t+i + π2

t+i ]

}︸ ︷︷ ︸

Ft

(19)

Sujeto a:πt = λxt + βEtπt+1 + ut︸ ︷︷ ︸

ft

(20)

Donde α “mide” las preferencias del banco central por la estabilizacion dela brecha de producto respecto a la estabilizacion de precios.

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Regla de Taylor optima

La CPO obtenida es:

xt = −λαπt (21)

“the central bank pursue a “lean against the wind” policy”

Mientras que la “solucion” de la brecha de producto y de la inflacion es:

xt = −λqut (22)

πt = αqut (23)

Donde q = 1λ2+α(1−βρ)

. La ecuacion 21 se introduce en la DA y se despeja

para la tasa de interes nominal con el fin de obtener la Regla de Tayloroptima.

it = γπEtπt+1 +1

Ψgt (24)

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Regla de Taylor optimaChoque de oferta

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Regla de Taylor optimaChoque de demanda

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Regla de Taylor optima

La ecuacion 24 es obtenida mediante discrecion. En el paper de referenciatambien podemos llegar a obtener resultados mediante compromiso

Compromiso con regla simple (restringida).

Compromiso sin restriccion.

El Dynare puede calcular reglas optimas bajo discrecion y bajo compromiso(sin restriccion) e inclusive anadir reglas simples optimas.

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Contenido

1 The Science of Monetary Policy: A New Keynesian PerspectiveDemanda AgregadaOferta AgregadaRegla de Taylor optima

2 Polıtica monetaria optima en Dynare

3 Modelos semiestructurales

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Regla de Taylor bajo discrecion (manual)

v a r ygap inom p i c g u ;v a r e x o ghat uhat ;

p a r a m e t e r s p h i s igma p s i beta lambda gamma pic P s i rho mu ;p h i =0.60;a l p h a =0.50;s igma =1.00;p s i =0.75;beta =0.99;rho =0.75;mu =0.75;lambda =p h i∗ p s i∗(1−(1− p s i )∗beta ) /(1− p s i ) ;P s i =1/sigma ;gamma pic =1+(1−rho )∗ lambda /( rho∗P s i∗a l p h a ) ;q =1/( lambdaˆ2+ a l p h a∗(1−beta∗ rho ) ) ;

model ( l i n e a r ) ;ygap =ygap (+1)−P s i ∗( inom−p i c (+1) )+g ;p i c =beta∗p i c (+1)+lambda∗ygap+u ;inom =gamma pic∗p i c (+1)+1/ P s i∗g ;g =mu∗g(−1)+ghat ;u =rho∗u(−1)+uhat ;end ;

s h o c k s ;v a r ghat ; s t d e r r 0 . 0 1 ;v a r uhat ; s t d e r r 0 . 0 1 ;end ;

s t o c h s i m u l ( o r d e r = 1 , nograph , i r f =40) ;

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Regla de Taylor bajo discrecion

OJO: note que en el bloque del modelo no incluimos a nuestroinstrumento.

model ( l i n e a r ) ;ygap =ygap (+1)−P s i ∗( inom−p i c (+1) )+g ;p i c =beta∗ p i c (+1)+lambda∗ ygap+u ;g =mu∗g(−1)+ghat ;u =rho ∗u(−1)+uhat ;end ;

s h o c k s ;v a r ghat ; s t d e r r 0 . 0 1 ;v a r uhat ; s t d e r r 0 . 0 1 ;end ;

p l a n n e r o b j e c t i v e p i c ˆ2 + a l p h a ∗ ygap ˆ 2 ;

d i s c r e t i o n a r y p o l i c y ( p l a n n e r d i s c o u n t =0.99 , i n s t r u m e n t s =(inom ), nograph , i r f =40) ;

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Regla de Taylor bajo compromiso

OJO: similar que con discretionary policy .

model ( l i n e a r ) ;ygap =ygap (+1)−P s i ∗( inom−p i c (+1) )+g ;p i c =beta∗ p i c (+1)+lambda∗ ygap+u ;g =mu∗g(−1)+ghat ;u =rho ∗u(−1)+uhat ;end ;

s h o c k s ;v a r ghat ; s t d e r r 0 . 0 1 ;v a r uhat ; s t d e r r 0 . 0 1 ;end ;

p l a n n e r o b j e c t i v e p i c ˆ2 + a l p h a ∗ ygap ˆ 2 ;

r a m s e y p o l i c y ( p l a n n e r d i s c o u n t =0.99 , i n s t r u m e n t s =(inom ) ,nograph , i r f =40) ;

Carlos Rojas Quiroz Clase 6 2 de diciembre de 2017 29 / 38

Discrecion vs CompromisoChoque de oferta

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Reglas simples optimas

OJO: en el bloque del modelo se incluye la tasa de interes.

model ( l i n e a r ) ;ygap =ygap (+1)−P s i ∗( inom−p i c (+1) )+g ;p i c =beta∗p i c (+1)+lambda∗ygap+u ;inom =gamma osr∗p i c (+1)+1/ P s i∗g ;g =mu∗g(−1)+ghat ;u =rho∗u(−1)+uhat ;end ;

s h o c k s ;v a r ghat ; s t d e r r 0 . 0 1 ;v a r uhat ; s t d e r r 0 . 0 1 ;end ;

o p t i m w e i g h t s ;p i c 1 ;ygap a l p h a ;end ;

o s r p a r a m s gamma osr ;gamma osr =1.5 ;o s r ( nograph , i r f =40) ;

Carlos Rojas Quiroz Clase 6 2 de diciembre de 2017 31 / 38

Frontera de Polıtica

Mide el grado de disyuntiva que enfrenta la autoridad monetaria: ⇑ σ2π →

⇓ σ2x . Se puede implementar en el Dynare con un loop simple en el mismo

archivo1:

nn = [ 0 . 0 : 0 . 0 1 : 1 . 0 ] ;f o r j =1: l ength ( nn ) ,a l p h a=nn ( 1 , j ) ;

p l a n n e r o b j e c t i v e p i c ˆ2 + a l p h a ∗ ygap ˆ 2 ;

d i s c r e t i o n a r y p o l i c y ( p l a n n e r d i s c o u n t =0.99 , i n s t r u m e n t s =(inom ), nograph , i r f =40) ;

v a r y g a p ( j , 1 ) =oo . v a r ( 1 , 1 ) ;v a r p i c ( j , 1 ) =oo . v a r ( 3 , 3 ) ;end ;v a r i a n z a s =[ v a r p i c ∗10000 v a r y g a p ∗1 0 0 0 0 ] ;s c a t t e r ( v a r i a n z a s ( : , 1 ) , v a r i a n z a s ( : , 2 ) )x l a b e l ( ’ V a r i a n z a I n f l a c i o n ’ , ’ F o n t s i z e ’ , 1 2 )y l a b e l ( ’ V a r i a n z a Brecha PBI ’ , ’ F o n t s i z e ’ , 1 2 )

1Esto solo funciona cuando el modelo es loglinealizado.Carlos Rojas Quiroz Clase 6 2 de diciembre de 2017 32 / 38

Frontera de Polıtica

Carlos Rojas Quiroz Clase 6 2 de diciembre de 2017 33 / 38

Contenido

1 The Science of Monetary Policy: A New Keynesian PerspectiveDemanda AgregadaOferta AgregadaRegla de Taylor optima

2 Polıtica monetaria optima en Dynare

3 Modelos semiestructurales

Carlos Rojas Quiroz Clase 6 2 de diciembre de 2017 34 / 38

Modelos semiestructurales

No es necesario incluir microfundamentos, sino formular ecuaciones quesean empıricamente significativas, aunque con logica economica detras.Podemos reformular nuestro sistema de tres ecuaciones:

xy = γxxt−1 + (1− γx)Etxt+1 −Ψ(it − Etπt+1) + gt (25)

πt = αππt−1 + (1− απ)Etπt+1 + λxt + ut (26)

it = ρi it−1 + (1− ρi )(φxxt + φππt) + zt (27)

Observe que incluımos componentes forward y backward looking en elmodelo. Ademas, note que la regla de Taylor contiene un componenteinercial y que depende del valor actual de la brecha de producto y de lainflacion. Ademas, zt es una “sorpresa monetaria”.

Carlos Rojas Quiroz Clase 6 2 de diciembre de 2017 35 / 38

Modelos semiestructuralesChoque de demanda

Carlos Rojas Quiroz Clase 6 2 de diciembre de 2017 36 / 38

Modelos semiestructuralesChoque de oferta

Carlos Rojas Quiroz Clase 6 2 de diciembre de 2017 37 / 38

Modelos semiestructuralesChoque monetario

Carlos Rojas Quiroz Clase 6 2 de diciembre de 2017 38 / 38