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Topicos sobre modelos DSGE en DynareModelos RBC - SOE

Carlos Rojas Quiroz

www.carlos-rojas-quiroz.weebly.com

18 de noviembre de 2017

Carlos Rojas Quiroz Clase 6 18 de noviembre de 2017 1 / 57

Contenido

1 Economıa abierta

2 [Schmitt-Grohe and Uribe, 2003]

3 [Aguiar and Gopinath, 2007]


Economıa abierta

Modelos RBC de economıa pequena y abierta (SOE) incluyen por logeneral un activo internacional libre de riesgo que los hogares puedenobtener sin que hayan presiones sobre la tasa de interes externa.

Ello genera, principalmente, dos dificultades tecnicas:1 En la economıa hay dos activos (Kt y Dt) que dan el mismo retorno,

por lo que -en ausencia de cualquier costo de transaccion entre ellos-su demanda esta indeterminada.

2 Se generan multiples estados estacionarios: diferentes niveles de activosinternacionales generan diferentes estados estacionarios.


Economıa abierta

Para lidiar con el primer problema se anade un costo de ajuste alcapital con el fin de que se determine la eleccion entre capital y elactivo internacional.

Para solucionar el segundo punto podemos asumir que la tasa deinteres internacional crece conforme la deuda aumenta.

Sin embargo, hay varias formas de “cerrar” un RBC para EPAs. Laidea es evitar que el activo internacional tenga una dinamica explosiva.


Contenido

1 Economıa abierta




[Schmitt-Grohe and Uribe, 2003]

Los autores tienen como objetivo evaluar cuantitativamente cincoformas distintas de inducir estacionariedad en un modelo RBC paraEPAs.

1 Factor de descuento endogeno o preferencias a la Usawa (interno yexterno).

2 Tasa de interes elastica respecto a la deuda.3 Costos de ajuste de portafolio.4 Mercado de activos completo.

Se encuentra que cualquiera de estas especificaciones generaresultados cuantitativamente similares respecto a los segundosmomentos del modelo y a las funciones impulso respuesta.


[Schmitt-Grohe and Uribe, 2003]Modelo 1: Endogenous discount factor

Funcion de utilidad intertemporal:

Et

∞∑t=0

θtU(Ct , Lt) (1)

Donde θ0 = 1 y θt+1 = β(Ct , Lt)θt ∀t ≥ 0. Observe que el factor dedescuento, que antes era una constante, ahora es una variable quedepende del consumo y el trabajo, cumpliendose que βC < 0 y βL > 0. Larestriccion presupuestaria es:

Dt = (1 + rt−1)Dt−1 − Yt + Ct + It + κ(Kt+1 − Kt) (2)

Observe tambien que Dt ya no se interpreta como un activo, sino comodeuda y que κ(·) es la forma general de la funcion estudiada la claseanterior. Finalmente, es importante tomar en cuenta que hay una nuevavariable predeterminada en el modelo.



Ademas, la funcion de produccion y la ecuacion de evolucion del capitalson las de siempre:

Yt = ZtF (Kt , Lt) (3)

Kt+1 = It + (1− δ)Kt (4)

Finalmente se anade la condicion de No Ponzi:

lımj→∞

EtDt+j

Πjs=1(1 + rs)

≤ 0 (5)



El lagrangiano de valor presente es:

` =∞∑t=0

θt [U(Ct , Lt)+

λt(Dt − (1 + rt−1)Dt−1 + Yt − Ct − It − κ(Kt+1 − Kt))]+

ηt(θt+1 − β(Ct , Lt)θt)

El consumidor elegira los niveles de Ct , Lt , Dt , Kt+1 y θt+1 quemaximicen su utilidad.



[Kt+1] :λt [1 + κ′(Kt+1 − Kt)] = β(Ct , Lt)Etλt+1 × ...

...× [Zt+1FK (Kt+1, Lt+1) + 1− δ + κ′(Kt+2 − Kt+1)](6)

[Ct ] : λt = UC (Ct , Lt)− ηtβC (Ct+1, Lt+1) (7)

[Lt ] : −UL(Ct , Lt) + ηtβL(Ct , Lt) = λtZtFL(Kt , Lt) (8)

[Dt ] : λt = β(Ct , Lt)(1 + rt)Etλt+1 (9)

[θt+1] : ηt = −EtU(Ct+1, Lt+1) + Etηt+1β(Ct+1, Lt+1) (10)



Note que las CPO’s que se obtienen derivando el consumo y el trabajoahora contienen un termino adicional debido a la forma de modelar elfactor de descuento endogeno. El modelo se cierra con el supuesto de latasa de interes internacional y el proceso AR(1) para la PTF:

rt = r (11)

lnZt+1 = ρlnZt + εt+1 (12)



Equilibrio competitivo

Es un conjunto de procesos {Dt ,Ct , Lt ,Yt , It ,Kt+1, ηt , λt}∞t=0 quesatisfacen las ecuaciones 2-10, todas con igualdad, dadas las ecuaciones 11y 12 y los valores Z0,D−1,K0.



Las formas funcionales especıficas que se utilizan son:

U(Ct , Lt) =[Ct − ω−1Lωt ]1−γ − 1

1− γ(13)

β(Ct , Lt) = [1 + Ct − ωLωt ]−ψ1 (14)

F (Kt , Lt) = Kαt L

1−αt (15)

κ(X ) =κ

2X 2 (16)



Aparece un nuevo parametro (ψ1) que se calibrara de acuerdo al valor dela balanza comercial (como % del PBI) de las cuentas nacionales. Enestado estacionario:

TB

Y= 1− C

Y− I

Y(17)

TB

Y= 1−

[(1 + r)1ψ1 + Lω

ω − 1]

Y− I

Y(18)


[Schmitt-Grohe and Uribe, 2003]Modelo 1a: Endogenous discount factor without internalization

Una formulacion alternativa del anterior modelo es suponer que el factorde descuento tiene componentes externos (es decir, depende del nivel deconsumo y trabajo agregado de la economıa, que el individuo toma comodados), tal que:

θt+1 = β(Ct , Lt)θt ∀ t ≥ 0 (19)

Dado que se asume que todos los individuos son iguales, entonces enequilibrio:

Ct = Ct (20)

Lt = Lt (21)



CPOs:

[Kt+1] :λt [1 + κ′(Kt+1 − Kt)] = β(Ct , Lt)× ...

...× Etλt+1[Zt+1FK (Kt+1, Lt+1) + 1− δ + κ′(Kt+2 − Kt+1)](22)

[Ct ] : λt = UC (Ct , Lt) (23)

[Lt ] : −UL(Ct , Lt) = λtZtF (Kt , Lt) (24)

[Dt ] : λt = β(Ct , Lt)(1 + rt)Etλt+1 (25)




Es el conjunto de procesos{Dt ,Ct , Lt , Ct , Lt ,Yt , It ,Kt+1, λt

}∞t=0

que

satisface las ecuaciones 2-5 y 20-25, todas con igualdad, dadas lasecuaciones 11 y 12 y los valores Z0,D−1,K0.


[Schmitt-Grohe and Uribe, 2003]Modelo 2: Debt elastic interest rate

En este modelo se asume que la tasa de interes domestica es creciente enel nivel agregado de deuda externa (Dt):

rt = r + p(Dt) (26)

Donde p(·) es estrictamente creciente. Ademas, en este modelo asumimosun factor de descuento constante, tal que ahora θt = βt , donde β ∈ (0, 1).



CPO’s:

[Kt+1] :λt [1 + κ′(Kt+1 − Kt)] =

βEtλt+1[Zt+1FK (Kt+1, Lt+1) + 1− δ + κ′(Kt+2 − Kt+1)](27)

[Ct ] : λt = UC (Ct , Lt) (28)

[Lt ] : −UL(Ct , Lt) = λtZtF (Kt , Lt) (29)

[Dt ] : λt = β(1 + rt)Etλt+1 (30)



En equilibrio, debido a que los consumidores son identicos, se tiene:

Dt = Dt (31)

En tanto, la forma funcional de la prima de riesgo se asume como:

p(Dt) = ψ2(exp(Dt − D)− 1) (32)

Las formas funcionales para la utilidad, la funcion de produccion y loscostos de ajuste al capital se mantienen. En tanto, el parametro β secalibra de forma tal que cumpla:

β =1

1 + r(33)

El valor de D es similar al que se obtuvo en el Modelo 1 y ψ2 se calibracon un valor que genere la misma volatilidad en la Cuenta Corriente(como % del PBI) del Modelo 1.




Es el conjunto de procesos{Dt , Dt ,Ct , Lt ,Yt , It ,Kt+1, rt , λt

}∞t=0

quesatisface las ecuaciones 2-5 y 26-31, todas con igualdad, dada la ecuacion12 y los valores Z0,D−1,K0.


[Schmitt-Grohe and Uribe, 2003]Modelo 3: Portfolio adjusment cost

En este modelo la estacionariedad es inducida por la presencia de costosconvexos que enfrenta el consumidor por mantener activos en cantidadesdiferentes al nivel de largo plazo de los mismos. Aquı asumimos quert = r . En este modelo la restriccion presupuestaria es:

Dt = (1 + rt−1)Dt−1 −Yt + Ct + It + κ(Kt+1 −Kt) +ψ3

2(Dt − D)2 (34)



CPO’s: las mismas del modelo anterior, salvo que ahora se modifica laCPO asociada a Dt :

λt [1− ψ3(Dt − D)] = β(1 + rt)Etλt+1 (35)

Si el hogar decide pedir prestado una unidad adicional, entonces elconsumo actual se incrementa por una unidad menos el costo marginal deajuste de portafolio. El siguiente perıodo el hogar paga la deuda adicionalmas los intereses.




Es el conjunto de procesos {Dt ,Ct , Lt ,Yt , It ,Kt+1, rt , λt}∞t=0 que satisfacelas ecuaciones 3-5, 11,27-29, 34 y 35, todas con igualdad, dada laecuacion 12 y los valores Z0,D−1,K0.



La calibracion sigue siendo la misma que en los modelos anteriores para losparametros en comun. Aca tambien asumimos que β = 1

1+r . Esto nospermite calibrar de forma independiente el valor de Dt en estadoestacionario, tal que D = D. El valor de D es igual a la de los modelos 1 y2. Finalmente, el parametro ψ3 se calibra de forma tal que genere unadinamica (funcion impulso respuesta) de la Cuenta Corriente (como % delPBI) similar que la del modelo 1 y 2.


[Schmitt-Grohe and Uribe, 2003]Modelo 4: Complete asset markets

Hasta ahora hemos supuesto mercados incompletos: los consumidorestienen acceso a un solo activo financiero que paga una tasa de interes reallibre de riesgo. Ahora, los agentes tienen acceso a un mercado de activoscompletos: hay un precio por el activo en cada estado del mundo. Por sısolo, este supuesto induce la estacionariedad. La nueva restriccionpresupuestaria es:

Etrt+1Bt+1 = Bt + Yt − Ct − It − κ(Kt+1 − Kt) (36)

Donde Bt+1 es una variable aleatoria que indica el numero de activoscomprados en el perıodo t que generaran una ganancia en cada estado delperıodo t + 1. La variable rt+1 es el precio en el perıodo t de un activo quepagara una unidad del bien de consumo en un estado particular delperıodo t + 1, dividido por la probabilidad de ocurrencia de dicho estadodado el conjunto de informacion disponible en t.



La condicion de No Ponzi es:

lımj→∞

Etqt+jBt+j ≥ 0 (37)

Que se cumple en todos los perıodos y en todos los estados posibles. Lavariable qt es el precio en el perıodo inicial de una unidad del bien que seraentregado en un estado particular del perıodo t, dividido por laprobabilidad de ocurrencia de dicho estado, dado el conjunto deinformacion disponible en el perıodo inicial:

qt = r1r2...rt (38)

Siendo q0 ≡ 1. La CPO asociada al consumo es:

λtrt+1 = βλt+1 (39)

Ojo: en cada perıodo t hay una CPO para cada posible estado en t + 1.Carlos Rojas Quiroz Clase 6 18 de noviembre de 2017 27 / 57


En el resto del mundo, los consumidores tendran el mismo acceso alconjunto de activos financieros completos. Por tanto, para ellos tambien secumple lo siguiente:

λ∗t rt+1 = βλ∗t+1 (40)

Asumiendo que el factor de descuento es el mismo para consumidoresdomesticos como extranjeros, se tiene:

λt+1

λt=λ∗t+1

λ∗t(41)

Esta expresion se mantiene en todos los perıodos y para todos los estadosposibles. Luego, la utilidad marginal del consumo es proporcional a sucontraparte extranjera:

λt = Ξλ∗t (42)

Donde Ξ es una constante que determina las diferencias de riqueza entrepaıses.



Dado que hablamos de una EPA, λ∗t es una variable exogena. Ademascomo estamos interesados solo en el efecto de un choque de productividaddomestico, entonces λ∗t = λ∗. Por tanto, la condicion de equilibrio seconvierte en:

λt = ψ4 (43)

Donde ψ = Ξλ∗. La calibracion de ψ4 es tal que asegura que el nivel deestado estacionario del consumo en este modelo sea igual que en el de losmodelos anteriores.




Es el conjunto de procesos {Ct , Lt ,Yt , It ,Kt+1, λt}∞t=0 que satisface lasecuaciones 3 y 4, 27-29 y 43, todas con igualdad, dada la ecuacion 12 ylos valores Z0,K0.


[Schmitt-Grohe and Uribe, 2003]Resultados cuantitativos: Segundos momentos


[Schmitt-Grohe and Uribe, 2003]Resultados cuantitativos: Funciones Impulso-Respuesta


[Schmitt-Grohe and Uribe, 2003]Analisis de sensibilidad

Los autores modifican la funcion de utilidad a una del tipo KPR (antes seutilizo una GHH) de tal forma que ahora aparezca el efecto ingreso:

U(Ct , Lt) =[Cωt (1− Lt)

1−ω]1−γ − 1

1− γ(44)

Cuando se implementan los modelos 1 y 1a, la forma funcional del factorde descuento endogeno es:

β(Ct , Lt) = [1 + Cωt (1− Lt)1−ω]−ψ1 (45)


[Schmitt-Grohe and Uribe, 2003]Resultados cuantitativos: Segundos momentos


[Schmitt-Grohe and Uribe, 2003]Resultados cuantitativos: Funciones Impulso-Respuesta


Contenido

1 Economıa abierta




[Aguiar and Gopinath, 2007]

Los autores evaluan la hipotesis que choques a la tendencia (regimeswitches) son las principales generadoras de las fluctuaciones agregadas eneconomıas emergentes, por encima de choques de productividadtransitorios.

Alta volatilidad de los ciclos economicos y dramaticas reversiones dela cuenta corriente (sudden stop).

Frecuentes cambios de regımenes, contraciclicidad de la cuentacorriente y volatilidad del consumo mayor que del PBI.

Buscan construir un modelo que replique estos hechos estilizados deforma cualitativa y cuantitativa. Lo interesante es que un mismomodelo logra replicar hechos de EM y DM.

Identifican el componente de corto y largo plazo de la PTF o residuode Solow a traes de la hipotesis de ingreso permanente.


[Aguiar and Gopinath, 2007]Hechos estilizados



Figura 1: Logaritmo del PBI per capita anual



Figura 2: Logaritmo del residuo de Solow


[Aguiar and Gopinath, 2007]El modelo

Los autores utilizan un modelo con dos choques de productividad: unotransitorio y otro permanente (que afecta al componente tendencial). Lafuncion de produccion es:

Yt = exp(Zt)K1−αt (ΓtLt)

α (46)

Donde α ∈ (0, 1). Los dos procesos tecnologicos se caracterizan pordistintas propiedades estocasticas. Zt sigue un proceso AR(1):

Zt = ρZZt−1 + εZt (47)

Donde |ρz | < 1 y εZt es el error i.i.d de una distribucion Normal con mediacero y desviacion estandar σZ .



En tanto, Γt es el acumulado de los choques de “crecimiento”:

Γt = exp(gt)Γt−1 = Πts=0 exp(gs) (48)

gt = (1− ρg )µg + ρggt−1 + εgt (49)

Donde |ρg | < 1 y εgt es el error i.i.d de una distribucion Normal con mediacero y desviacion estandar σg . El termino µg es la tasa de crecimiento delargo plazo de la productividad. Observe que una realizacion de g afectapermanentemente Γ, por lo que el PBI es no estacionario.



Para volver estacionaria una variable del modelo (dado que PBI es noestacionario, todas aquellas que estan “afectadas” por esa variabletambien son no estacionarias) proseguimos con lo siguiente:

Xt ≡Xt

Γt−1(50)

En tanto, la funcion de utilidad es una KPR (consistente con la senda decrecimiento balanceada):

Ut =[Cγt (1− Lt)

1−γ ]1−σ

1− σ(51)

Donde 0 < γ < 1. Ademas, en Estado Estacionario se cumple que:β(1 + r∗) = exp(µg [1− γ(1− σ)]).



La restriccion presupuestaria del consumidor es:

Ct+Kt+1 = Yt+(1−δ)Kt−φ

2

(Kt+1

Kt− exp(µg )

)2

Kt−Bt+qtBt+1 (52)

¿Que sucede en Estado Estacionario con la funcion de costos cuadraticosdel capital? La deuda es denotada con Bt y qt es el precio en el perıodo tde la deuda del perıodo t + 1. El modelo se “cierra” suponiendo que qt esuna funcion de la deuda de la economıa

1

qt= 1 + rt = 1 + r∗ + ψ

[exp

(Bt+1

Γt− B

)− 1

](53)

Donde r∗ es la tasa de interes internacional y B es el nivel de EE de ladeuda. OJO: se asume que el Bt de esta ecuacion es externo.



Como se menciono antes, para volver estacionario el modelo, debemosdividir las variables por Γt−1. Ası, para la RP:

Ct

Γt−1+

Kt+1

Γt

Γt

Γt−1=

Yt

Γt−1+ (1− δ)

Kt

Γt−1−

φ

2

( Kt+1

Γt

ΓtΓt−1

KtΓt−1

− exp(µg )

)2

Kt

Γt−1− Bt

Γt−1+ qt

Bt+1

Γt

Γt

Γt−1

(54)

Donde reemplazamos ΓtΓt−1

= exp(gt):

Ct + Kt+1 exp(gt) = Yt + (1− δ)Kt−

φ

2

(Kt+1

Kt

exp(gt)− exp(µg )

)2

Kt − Bt + qtBt+1 exp(gt)(55)



Lo mismo para la ecuacion de evolucion del capital, cuya transformacioninicial es esta:

Kt+1

Γt

Γt

Γt−1= (1− δ)

Kt

Γt−1+

ItΓt−1

−

φ

2

( Kt+1

Γt

ΓtΓt−1

KtΓt−1

− expµg

)2

Kt

Γt−1

(56)

Y que se convierte finalmente en lo siguiente:

Kt+1 exp(gt) = (1− δ)Kt−1 + It−

φ

2

(Kt+1

Kt

exp(gt)− exp(µg )

)2

Kt

(57)


[Aguiar and Gopinath, 2007]Estimacion

Para estimar la importancia relativa del choque tendencial respecto altransitorio se siguieron dos metodos:

1 Estimacion directa: utilizando la serie de Residuo de Solow y aplicandouna descomposicion a la Beveridge-Nelson. Brinda resultados que noson robustos a la eleccion del numero de rezagos que utiliza.

2 Estimacion estructural: utilizando el modelo RBC anteriormentedescrito, se calibran los valores que no forman parte de los procesosrelacionados a la productividad y estos se estiman


[Aguiar and Gopinath, 2007]Estimacion

Antes de mostrar los resultados, los autores realizan una serie de ejerciciosinformativos:

Las funciones I-R muestran que la volatilidad del consumo y elcomovimiento de las exportaciones netas con el PBI son muyinformativas.

Conforme aumenta la importancia de los choques permanentes, lavolatilidad de las NX y del C (ambas respecto al PBI) aumentan.Ademas, hay una gran sensibilidad de la correlacion NX − Y cuandoel choque permanente se vuelve mas importante.


[Aguiar and Gopinath, 2007]Resultados

Figura 3: Parametros estimados



Figura 4: Momentos: Mexico



Figura 5: Momentos: Canada



Figura 6: Funcion de autocovarianza del residuo de Solow (data y modelo) paraMexico



Figura 7: Funcion de autocovarianza del residuo de Solow (data y modelo) paraCanada



Figura 8: Fenomeno Sudden-Stop


Referencias

Aguiar, M. and Gopinath, G. (2007).Emerging Market Business Cycles: The Cycle Is the Trend.Journal of Political Economy, 115:69–102.

Schmitt-Grohe, S. and Uribe, M. (2003).Closing small open economy models.Journal of international Economics, 61(1):163–185.


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