solucion al problema

Una masa que pesa 4 lb, estira un resorte 3 pulgadas al llegar al reposo en equilibrio y se le aplica una velocidad de √2 pies/seg dirigida hacia abajo. Despreciando todas las fuerzas de amortiguación o externas que puedan estar presentes, determine la ecuación de movimiento de la masa junto con su amplitud, periodo y frecuencia natural. Cuánto tiempo transcurre desde que se suelta la masa hasta que pasa por la posición de equilibrio

SOLUCION

Como es un caso de movimiento sin amortiguación, la ecuación diferencial es:

(d^2 x)/(d^2 t)+k/m x=0

La ecuación característica es:

r^2+k/m x=0

De modo que:

r^2=-k/m

Entonces:

r=√(-k/m)

r=±√(k/m) i

La ecuación de movimiento es de la forma:

x(t)= C_(1 ) cos(√(k/m) t)+C_(2 ) sen(√(k/m) t)

Sabemos que

mg=4

l=3 pulgadas=0.25 pies

Empleando la ley de Hooke:

F=kl

Entonces:

4=k(0.25)

Por lo tanto:

k=16 lb⁄pie

Por otra parte, como:

g=32 pie⁄〖seg〗^2

Y

mg=4

Se tiene que:

m=4/32=1/8

Por lo tanto:

√(k/m)=√(16/(1⁄8))=8√2

Luego la ecuación de movimiento es:

x(t)= C_(1 ) cos(8√2t)+C_(2 ) sen(8√2t)

y

x^'(t) =- (8√2t)+C_(1 ) sen(8√2t)+(8√2t)+C_(2 ) cos(8√2t)

Como las condiciones iniciales son:

x(0)=6 pulgadas=0.5 pie

x'(0)=√(2 pie⁄seg)

Se tiene

0.5=x(0)=C_(1 ) cos(0t)+C_(2 ) sen (0t)

〖0.5= C〗_(1 )

C_(1 )=1/2

Y:

〖√(2=) x〗^' (0)=- (8√2t) C_(1 ) sen(0t)+(8√2t) C_(2 ) cos(0t)

√(2=) (8√2) C_(2 )

C_(2 )=1/8

Entonces la ecuación de movimiento es:

x(t)=1/2 cos(8√2t)+1/8 sen(8√2t)

Para expresar la solución en forma sinodal, hacemos:

A=√ (〖C_1〗^2+〖C_2〗^2 )

A=√ ((1/2)2+(1/8)2)

A=√ (17/8)

tan (∅)=C_(1 )/C_(2 ) =(1⁄2)/(1⁄8)=8/2=4

Entonces:

x(t)=√17/8 sen(8√(2t+∅)

Con ∅=arctan(4)=1.326

Por lo tanto:

La amplitud es

A=√(17/8)

El periodo es:

T= 2π/(8√2)=π/(4√2)

Y la frecuencia natural:

f= (4√2)/π

Finalmente, el tiempo que transcurre desde que se suelta la masa hasta que pasa por la posición de equilibrio es:

8√2t+∅=π

t= (π-∅)/(8√2)

t=0.16042