simetr a - funci on exponencial y logaritmo. · pd10 simetr a. decimos que un subconjunto de r2...
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PD10
“Simetrıa - Funcion Exponencial y Logaritmo.”
2 de diciembre de 2020
PD10
Simetrıa. Decimos que un subconjunto de R2 tiene una simetrıa si al aplicarle una transfor-
macion de coordenadas el resultado es el mismo conjunto. Diremos que A ⊂ R2 es simetrico
respecto de la transformacion de coordenadas S si S(A) = A. Si S = Rl tambien diremos
que A es simetrico respecto de l.
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PD10
Simetrıa horizontal. Si A es simetrico respecto a la reflexion horizontal decimos que A
tiene simetrıa horizontal.
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PD10
Simetrıa vertical. Si A es simetrico respecto a la reflexion vertical decimos que A tiene
simetrıa vertical.
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PD10
Simetrıa vertical. Si A es simetrico respecto a la reflexion diagonal decimos que A tiene
simetrıa diagonal.
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PD10
Simetrıa a traves del origen. Si A es simetrico respecto a la reflexion a traves del origen
decimos que A tiene simetrıa a traves del origen.
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PD10
Ejemplo.
� Una circunferencia centrada en el origen tiene todas estas simetrıas.
� Toda recta horizontal tiene simetrıa horizontal.
� Toda recta vertical tiene simetrıa vertical.
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PD10
Conjunto simetrico. Un conjunto A ⊂ R se dice simetrico cuando
∀x ∈ A, [x ∈ A↔ −x ∈ A].
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PD10
Funcion par. Una funcion real f : A→ R con dominio simetrico se dice par si
∀x ∈ A, [f(−x) = f(x)].
Funcion impar. Una funcion real f : A→ R con dominio simetrico se dice impar si
∀x ∈ A, [f(−x) = −f(x)].
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PD10
Teorema. Si la funcion f : A→ R es par entonces graf(f) tiene simetrıa horizontal.
Teorema. Si la funcion f : A → R es impar entonces graf(f) tiene simetrıa a traves del
origen.
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PD10
Ejemplo.
� La funcion real f : R→ R definida por f(x) = x2 es par.
� La funcion valor absoluto f : R→ R definida por f(x) = |x| es par.
� La funcion real f : R→ R definida por f(x) = x3 es impar.
� La funcion coseno f : R→ R definida por f(x) = cos x es par.
� La funcion seno f : R→ R definida por f(x) = sin x es impar.
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Teorema (Grafica de la funcion inversa). Si la funcion real f : A → R es invertible,
entonces la grafica de la inversa f−1 es el resultado de aplicar una reflexion diagonal a la
grafica de f .
−1 1 2 3 4 5 6 7 8−1
1
2
3
4
5
6
7
8
graf(f)
graf(f−1)
y = x
x
y
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Ejemplo. Sea f : [−∞, 0[→ ]−∞,−1] con regla de correspondencia
f(x) = −√x2 + 1.
Grafique f y f−1.
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PD10
Ejemplo. Sea f : R→ R definida por
f(x) =
−x2 , x < 0
2x , x ≥ 0
Determine si existe la funcion f−1. En caso afirmativo grafique f−1.
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Numero neperiano. En el problema de interes compuesto se obtiene la sucesion
cn =
(1 +
1
n
)n
la cual se aproxima a un numero llamado numero neperiano denotado por e.
limn→∞
(1 +
1
n
)n
= e
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PD10
Funcion exponencial. La funcion exponencial se define como la funcion
exp : R→ R
con regla de correspondencia exp(x) = ex.
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5−1
1
2
3
4
5
6
7
8
(1, e)
graf(exp)
x
y
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Caracterısticas.
� dom(exp) = R.
� ran(exp) = ]0,+∞].
� ∀x ∈ R, [ex > 0].
� exp(x + y) = exp(x) · exp(y).
� La funcion exp es estrictamente creciente.
� El eje x es una asıntota horizontal de la funcion exponencial, limx→−∞ ex = 0.
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PD10
Interes continuo. Recordemos que si el interes se calcula n veces durante un ano, el monto
total M al final de t anos se puede calcular mediante la formula
M = P(
1 +r
n
)ntdonde r es el interes (o tasa) anual y P es el monto inicial o monto principal. Cuando n
tiende a infinito se puede demostrar que este numero tiende a
M(t) = Pert
y en este caso decimos que el interes compuesto es continuo o que el interes se calcula
continuamente.
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PD10
Interes continuo. Denotemos:
� r : interes (o tasa) anual.
� P : Monto inicial o monto principal.
� M(t) : Monto final despues de t anos.
M(t) = Pert
En este caso decimos que el interes compuesto es continuo o que el interes se calcula conti-
nuamente.
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PD10
Funcion logaritmo natural. La inversa de la funcion exponencial es la funcion logaritmo
natural denotada por
ln : ]0,+∞[→ R.
∀a > 0,∀b ∈ R,[
ln a = b↔ a = eb]
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PD10
Grafica de la funcion logaritmo.
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
(1, e)
(e, 1)
graf(exp)
graf(ln)
x
y
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PD10
Caracterısticas.
� La grafica del logaritmo se obtiene por reflexion diagonal de la grafica de la funcion
exponencial.
� El eje y es asıntota vertical de la grafica del logaritmo, limx→0+ lnx = −∞.
� ln 1 = 0.
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PD10
Caracterısticas. De las propiedades de la funcion exponencial podemos deducir las siguien-
tes propiedades.
� dom(ln) =]0,+∞].
� ran(ln) = R.
� ln(x · y) = ln(x) + exp(y), donde x, y > 0.
� ln
(x
y
)= ln(x)− exp(y), donde x, y > 0.
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PD10
Caracterısticas. De las propiedades de la funcion exponencial podemos deducir las siguien-
tes propiedades.
� ln (xa) = aln(x), donde a ∈ R y x > 0.
� elnx = x, para todo x > 0.
� ln (ex) = x, para todo x ∈ R.
� La funcion ln es estrictamente creciente.
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