resolució del problema

RESOLUCIÓ DEL PROBLEMA

SI ASSOCIEM CADA PAS DE GENT NOVA QUE SAP EL SECRET

AMB UN ELEMENT D’UNA SUCCESSIÓ

TENIM EL SEGÜENT

11 a

42 a

163 a

ETCÈTERA...

Així doncs, com que el procés sempre és el mateix, el que tenim és una

progressió geomètrica de

primer terme 1 i raó r = 4

11 a

42 a

2

3 4a

DE TOTA MANERA, COM QUE EL QUE VOLEM ÉS EL NOMBRE TOTAL DE PERSONES QUE HO SABEN, EL QUE HEM DE TENIR EN COMPTE ÉS LA

SUMA DE TOTS ELS TERMES.

ÉS A DIR:

r

raS

n

n

1

11

EN EL NOSTRE CAS:

3

41

41

411

nn

nS

Cal tenir en compte, però, que quan passa la primera hora ja estem en el tercer terme de

la successió, i per tant, les persones que saben el secret al cap d’una hora són:

213

63

3

641

3

41 3

3

S

1 hora

1 + 4 + 16 = 21

D’AQUESTA MANERA, A LES DUES HORES HO SABRAN S4 PERSONES, I A

LES TRES HORES HO SABRAN PER TANT:

341 PERSONES

3413

1023

3

10241

3

41 5

5

S

A LES CINC HORES HO SABRAN:

5461 PERSONES

54613

16383

3

163841

3

41 7

7

S

SI VOLEM QUE LA SUMA TOTAL SIGUI DE 21845, NOMÉS CAL VEURE EN QUIN PAS ENS TROBEM, I PER AIXÒ RESOLEM LA SEGÜENT

EQUACIÓ:

ESTEM EN EL PAS 8, I AIXÒ ES CORRESPON AMB DUES HORES MENYS. PER TANT, HO SABRÀ TOTA SANTA PERPÈTUA EN 6

HORES

8

:

44

465536

4655351

6553541

218453

41

8

n

aixíi

n

n

n

n

n