resoluciÓ del problema

RESOLUCIÓ DEL PROBLEMA

SI VOLEM UNA FUNCIÓ QUE TINGUI COM A PUNTS FORA DEL DOMINI NOMÉS EL –2, EL 0 I EL 3;

EL MÉS FÀCIL ÉS CONSIDERAR UNA FRACCIÓ ALGÈBRICA AMB AQUESTS TRES VALORS COM A

ARRELS DEL POLINOMI DEL DENOMINADOR.

AIXÍ:

)3()2(

)()(

xxx

xPxf

La nostra funció f(x) podria ser inicialment del tipus:

Si en x = -2 ha d’haver una discontinuïtat asimptòtica, ja ho tenim, només cal que en el numerador P(-2) 0

i així ens assegurem que el límit doni infinit.

)3()2()(

lim2 xxx

xPx

0

)2(P

Si en x = 3 ha d’haver una discontinuïtat evitable, cal que aleshores el límit doni inicialment indeterminació,

per tal que després al fer el límit amb els factors ja simplificats, ens doni un nombre real.

Això passarà si afegim el factor x – 3 en el numerador. Per tant, la nostre funció pot ser aleshores:

)3()2(

3)(

xxx

xxf

Vegem-ho:

.0

0

)3()2(

)3(lim

3ind

xxx

xx

151

3)23(1

)2(1

lim3

xxx

Per últim, si volem una discontinuïtat de salt en x = 5, només ho podem aconseguir amb una funció definida

a trossos, per tant, una possibilitat és:

52

5)3()2(

3

)(

xsi

xsixxx

x

xf

351

2·5·72

)3()2(3

)( limlim55

xxx

xxf

xx

22)( limlim55

xx

xf

)()(: limlim55

xfxfAixíxx

Anem ara a calcular els límits a l’infinit:

0)3()2(

3)( limlim

xxx

xxf

xx

(El grau del denominador és més gran que el del numerador)

22)( limlim xx

xf