resoluciÓ del problema
TRANSCRIPT
RESOLUCIÓ DEL PROBLEMA
SI VOLEM UNA FUNCIÓ QUE TINGUI COM A PUNTS FORA DEL DOMINI NOMÉS EL –2, EL 0 I EL 3;
EL MÉS FÀCIL ÉS CONSIDERAR UNA FRACCIÓ ALGÈBRICA AMB AQUESTS TRES VALORS COM A
ARRELS DEL POLINOMI DEL DENOMINADOR.
AIXÍ:
)3()2(
)()(
xxx
xPxf
La nostra funció f(x) podria ser inicialment del tipus:
Si en x = -2 ha d’haver una discontinuïtat asimptòtica, ja ho tenim, només cal que en el numerador P(-2) 0
i així ens assegurem que el límit doni infinit.
)3()2()(
lim2 xxx
xPx
0
)2(P
Si en x = 3 ha d’haver una discontinuïtat evitable, cal que aleshores el límit doni inicialment indeterminació,
per tal que després al fer el límit amb els factors ja simplificats, ens doni un nombre real.
Això passarà si afegim el factor x – 3 en el numerador. Per tant, la nostre funció pot ser aleshores:
)3()2(
3)(
xxx
xxf
Vegem-ho:
.0
0
)3()2(
)3(lim
3ind
xxx
xx
151
3)23(1
)2(1
lim3
xxx
Per últim, si volem una discontinuïtat de salt en x = 5, només ho podem aconseguir amb una funció definida
a trossos, per tant, una possibilitat és:
52
5)3()2(
3
)(
xsi
xsixxx
x
xf
351
2·5·72
)3()2(3
)( limlim55
xxx
xxf
xx
22)( limlim55
xx
xf
)()(: limlim55
xfxfAixíxx
Anem ara a calcular els límits a l’infinit:
0)3()2(
3)( limlim
xxx
xxf
xx
(El grau del denominador és més gran que el del numerador)
22)( limlim xx
xf