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Repaso del concepto de Función (parte 2)

MATE 3013

Funciones Crecientes

Una función creciente es una función cuya gráfica sube:

Funciones decrecientes

Una función decreciente es una función cuya gráfica baja:

Funciones Constantes

Una función constante es una función cuya gráfica es una línea horizontal:

Ejemplo

a)¿Es esta la gráfica de una función?

Observe la gráfica de 𝒚 = 𝟗 − 𝒙𝟐 que se ofrece a continuación:

La gráfica pasa la prueba de la línea vertical.

Ejemplo (continuación)

b. Encuentre el dominio y el campo de valores.

c. Encuentre los intervalos sobre los cuales f es creciente y decreciente.

• Como la gráfica sube a medida que x aumenta de -3 a 0, decimos que f es creciente en el intervalo (-3,0).

• Como la gráfica baja a medida que x aumenta de 0 a 3, decimos que f es decreciente en el intervalo (0,3).

Intervalos de crecimiento

En cada caso determinar donde la función es creciente y/o decreciente.

𝒇 𝒙 = 𝟑 g 𝒙 = −𝟐𝒙 + 𝟖

h 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏𝟒 g 𝒙 =𝟏

𝒙+𝟏

función es constante, ni creciente ni decreciente

función es decreciente en todo su dominio

función es decreciente en (−∞, 𝟑) y creciente de (𝟑,∞)

función es decreciente en todo su dominio

Intervalos de crecimiento

En cada caso determinar donde la función es creciente y/o decreciente.

𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟒

g 𝒙 = 𝟑 −𝟏

𝟐

𝒙

h 𝒙 = 𝒍𝒐𝒈𝟐(𝒙 − 𝟏)

función creciente en (-∞, 0) y (0,∞) y decreciente en (-2,0)

función es decreciente en todo su dominio

función es creciente en todo su dominio

Ecuaciones definidas por partes

b) ¿Es esta la gráfica de una función?

Observe la ecuación que se ofrece a continuación: a) Trace la gráfica que corresponde a esta ecuación.

Gráficas definidas por partes

Para trazar la gráfica con la calculadora TI 84 usaremos dos menús:

Gráficas definidas por partes (cont)

Entramos la segunda regla en Y2:

Oprimir la tecla GRAPH:

Ecuaciones definidas por partes

b) ¿Es esta la gráfica de una función?

Observe la ecuación que se ofrece a continuación: a) Trace la gráfica que corresponde a esta ecuación.

Funciones definidas por partes

Notar que la gráfica pasa la prueba de

la línea vertical.

y = 𝟐𝒙 + 𝟓 𝒔𝒊 𝒙 ≤ −𝟏𝒙𝟐, 𝒔𝒊 − 𝟏 < 𝒙 < 𝟏

𝟐, 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟏

a)¿Es esta la gráfica de una función?

Observe la ecuación que se ofrece a continuación y la gráfica que produce.

Funciones definidas por partes

f(x) = 𝟐𝒙 + 𝟓 𝒔𝒊 𝒙 ≤ −𝟏𝒙𝟐, 𝒔𝒊 − 𝟏 < 𝒙 < 𝟏

𝟐, 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟏

Determine los siguientes valores: a) f(-5)

b) f(⅔)

c) f(4)

x = -5 pertenece al primer segmento del plano donde los valores de y se determinan con la regla 2x + 5

Por lo tanto, f(-5) = 2(-5) + 5

= -5 x = ⅔ pertenece al segundo segmento del plano donde los valores de y se determinan con la regla x2

Por lo tanto, f(⅔) = (⅔)2

= 4/9 x = 4 pertenece al tercer segmento del plano donde el valore de y que corresponde a cualquier x es 2.

Funciones definidas por partes

f(x) = 𝟐𝒙 + 𝟓 𝒔𝒊 𝒙 ≤ −𝟏𝒙𝟐, 𝒔𝒊 − 𝟏 < 𝒙 < 𝟏

𝟐, 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟏

Determine los intervalos donde f(x) es a) creciente:

b) decreciente

x = -5 pertenece al primer segmento del plano donde los valores de y se determinan con la regla 2x + 5

Por lo tanto, f(⅔) = (⅔)2

= 4/9

Ejemplo de Valor Absoluto Observemos la gráfica de y = |2x– 3| :

0

1

2

3

4

5

6

7

-2 -1 0 1 2 3 4 5

a)¿Es esta la gráfica de una función? b) Determine: f(-4) f(3) c) ¿Dónde es creciente la gráfica? d) ¿Dónde es decreciente la gráfica?

= 2 −𝟒 − 3 = −8 − 3 = −11

= 11 = 2 𝟑 − 3 = 6 − 3 = 3 = 3

−∞, 1.5

1.5,∞,

Funciones definidas por partes

Usamos la regla f(t) = t – 1 f(1) = 1 – 1 f(1) = 0

Determinar: a) f(1)

b) f(0) – f(4)

c) f(5) + f(-5)

Dado la función:

Usamos dos reglas, la primera y la segunda f(0) = 0 – 1= -1 f(4) = 2(4) = 8 f(0) – f(4) = -1 – 8 f(0) – f(4) = -9

Usamos dos reglas, la primera y la tercera f(5) = 𝟓𝟑 = 𝟏𝟐𝟓 f(-5) = -5 – 1 = -6 f(5)- f(-5) = 125 – (-6) = 131