relaciÓn de ejercicios de integrales...integrales indefinidas resueltas 3 12. ³x x 2 1 dx sol: (x2...

INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS

1

RELACIÓN DE EJERCICIOS DE INTEGRALES.

1. dxx5

kx

kx

dxx

615

6155

2. dxxx )(

kxx

kxx

kxx

dxxxdxxx3

2

2

2

321

2

111)()(

322

3

21

2

1

112/1

kxxx

3

2

2

2

3. dxxx

x

4

3 Sol: kxxx 2

10

16

kxx

kxx

dxxxdxxx

x

2

54

1

2

13

12

34

1

12

13)

4

13(

4

3 2

5

2

11

2

31

2

1

2

3

2

1

kxxxkx

x 25

10

16

52

16

4. x

dxx2

Sol: kxx 2

5

2

kxx

kx

kx

kx

dxxdx

x

x

x

dxx

5

2

5

2

2

51

2

3

252

51

2

3

2

3

2

1

22

5. dxxxx

2

412

Sol: kxxx

281

kxxx

dxxxdxxxx

2

12

34

12)24(2

411

2

3

12

2

3

2

2

kxxx

kx

xx

kxxx

281

21

81

2

2

14

12

1

2

1

1

INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS

2

6. 4 x

dx Sol: kx 4 3

3

4

kxkx

kx

kx

dxxx

dx

4 3

4

3

4

31

4

1

4

1

4 3

4

3

4

4

31

4

1

7. dxx

x

2

3

2 1

Sol: kxxx

x 33 22

5

34

3

5

Kxxx

dxxxxdxxxdxx

x

3

1

3

82

5).2(

1 3

1

3

8

5

3

2

3

5

4

2

3

1

2

2

3

2

KxxxKxxx 33 853

1

3

8

5.3

4

3

5

1.3

4

3

5

1

Kxxxx 33 225.3.

4

3

5

1

8. dxx

xL Sol: kxL 2

2

1

kx

dxffdxx

xdxx

x

2

))(Ln('

1)Ln(

)Ln(2

9. dxxx2

sec tg Sol: kx tg2

1 2

kx

dxffdxxx

2

) tg('sec tg

212

10. dxxx cos sen2

Sol: kx

3

sen3

kx

dxffdxxx

3

sen'cos sen

322

11. dxxx sencos3

Sol: kx

4

cos4

kx

dxxxdxxx

ff

4

cos) sen(cos sencos

4

'

33

3

INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS

3

12. dxxx 12

Sol: kx 32)1(

3

1

kx

kx

dxxxdxxx

ff

3

)1(

2

3

)1(

2

1)1(2

2

11

322

3

2

2

1

2

'

2

2/1

13. 322

x

xdx Sol: kx 32

2

1 2

kxkx

dxxxx

xdx

ff

322

1

2

1

)32(

4

1)32(4

4

1

32

22

1

2

2

1

2

'2

2/1

o

kxkfdxf

f

x

xdx

x

xdx

32

2

1

2

'

322

4

4

2

32

2

22

14. 13

2

x

dxx Sol: kx 1

3

2 3

kxkx

dxxxdxxxx

dxx

13

2

2

1

)1(

3

1)1(3

3

1)1(

1

32

1

3

2

1

322

1

32

3

2

kxkfdxf

f

x

dxx

x

dxx

1

3

2

2

'

12

3

3

2

1

3

3

2

3

2

15. dxx

x

sen

cos2

Sol: kx

sen

1

kx

kx

dxxxdxx

x

ff

sen

1

1

sen sencos

sen

cos 12

'2

2

16. dxxx42

)1( Sol: kx

10

)1(52

kx

kx

dxxxdxxx

ff

10

)1(

5

)1(

2

1)1(2

2

1)1(

525242

'

42

4

17. dxx

x 3cos

sen Sol: k

x

2cos2

1

kx

kx

dxxxdxx

x

ff

2

23

'

3cos2

1

2

coscos sen

cos

sen

3

INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS

4

18. dxx

x 2cos

tg Sol: k

x

2

tg2

kx

dxx

xdxx

x

ff

2

tg

cos

1 tg

cos

tg2

'

22

1

19. dxx

x 2sen

cotg Sol: k

x

2

cotg2

kx

dxx

xdxx

x

2

cotg

sen

1 cotg

sen

cotg2

22

20. dxxx

1 tgcos

12

Sol: kx 1 tg2

kxkx

dxxx

dxxx

1 tg2

2

1

)1 tg()1 tg(

cos

1

1 tgcos

1 2

1

2

1

22

21.

dx

x

x

1

)1( L Sol: k

x

2

)1( L2

kx

dxx

xdxx

x

ff

2

)1( L

1

1)1( L

1

)1( L2

'

1

22. dx

x

x

1 sen2

cos Sol: kx 1 sen2

kxkx

dxxxdxx

x

ff

1 sen2

2

1

)1 sen2(

2

1)1 sen2(cos2

2

1

1 sen2

cos 2

1

2

1

' 2/1

23. dxx

x

2)2cos1(

2 sen Sol: k

x

)2cos1(2

1

kx

dxxxdxx

x

1

)2cos1(

2

1)2cos1(2 sen2

2

1

)2cos1(

2 sen1

2

2

kx

)2cos1(2

1

INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS

5

24. dxx

x

2sen1

2sen Sol: kx 2sen12

dxxxxdxxxdxx

x

ff

2/1

2

1

2

'

2

1

2

2)sen1(cos2sen)sen1(2sen

sen1

2sen

kxkx

22

1

2

sen12

2

1

)sen1(

25. dxx

x

2cos

1 tg Sol: kx 3

)1 (tg3

2

kxkx

dxx

xdxx

x

3

2

3

2

2

1

2)1 (tg

3

2

2

3

)1 tg(

cos

1)1 tg(

cos

1 tg

26. dxx

x

3)2 sen32(

2 cos Sol: k

x

2)2 sen32(

1

12

1

kx

dxxxdxx

x

2

)2 sen32(

6

1)2 sen32(2cos6

6

1

)2 sen32(

2 cos2

3

3

kx

2

)2 sen32(

1

12

1

27. dxx

x

3 43cos

3 sen Sol: k

x

3 3cos

1

kx

kx

dxxxdxx

x

ff

3

3

1

3

4

'3 4 3cos

1

3

1

3cos

3

13cos3 3sen

3

1

3cos

3 sen

3/4

28. 2Ln x dx

x Sol: 3Ln

3

xk

2 32Ln 1 Ln

Ln3

x dx xx dx k

x x

INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS

6

29. 21

sen arc

x

dxx Sol: k

x

2

sen arc2

kx

dxx

xx

dxx

2

sen arc

1

1 sen arc

1

sen arc2

22

30. 2

2

1

cos arc

x

dxx Sol: k

x

3

cos arc 3

kx

dxx

xx

dxx

3

cos arc

1

1 cos arc

1

cos arc3

2

2

2

2

31. dx

x

x21

tg arc Sol: k

x

2

tg arc 2

kx

dxx

xdxx

x

2

tg arc

1

1 tg arc

1

tg arc2

22

32. dx

x

x21

ctg arc Sol: k

x

2

ctg arc 2

kx

dxx

xdxx

x

2

ctg arc

1

1 ctg arc

1

ctg arc2

22

33. dxx

x

12 Sol: kx )1(Ln

2

1 2

kxkfdxf

fdx

x

xdx

x

x

)1(Ln

2

1Ln

'

1

2

2

1

1

2

22

34. x

dx

1 Sol: kx 1 Ln

kxkfdxf

fdx

xx

dx

1LnLn'

1

1

1

35. 73x

dx Sol: kx 73 L

3

1

kxkfdxf

fdx

xx

dx

73Ln

3

1Ln

'

73

3

3

1

73

INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS

7

36. x

dx

25 Sol: kx 25 L

2

1

kxkfdxf

fdx

xx

dx

25Ln2

1Ln

'

25

2

2

1

25

37. dxxx

x

32

12

Sol: kxx 32 L2

1 2

kxxdxxx

xdx

xx

xdx

xx

x

32 L2

1

32

22

2

1

32

)1(2

2

1

32

1 2

222

38. Ln

dx

x x Sol: kx Ln Ln

1

'Ln | | Ln | Ln |

Ln Ln

dxdx fx dx f k x k

x x x f

39. dxx tg Sol: kx cos Ln

Kxdxx

xdx

x

xdxx cos Ln

cos

sen

cos

sen tg

40. dxx2 tg Sol: kx 2cos L2

1

Kxdxx

xdx

x

xdxx 2cos Ln

2

1

2cos

2 sen2

2

1

2cos

2 sen2 tg

41. dxx ctg Sol: kx sen Ln

Kxdxx

xdxx sen Ln

sen

cos ctg

42. dxx )7(5 ctg Sol: kx )7(5 sen L5

1

Kxdxx

xdx

x

xdxx

)7(5 sen Ln

5

1

)7(5 sen

)7(5cos5

5

1

)7(5 sen

)7(5cos)7(5 ctg

43. x

dx

3 ctg Sol: kx 3 cos L

3

1

Kxdxx

xdx

x

xdxx

x

dx3cos Ln

3

1

3cos

3 sen3

3

1

3cos

3 sen3 tg

3 ctg

INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS

8

44. dxx

3 ctg Sol: k

x

3 sen 3L

Kx

dxx

x

dxx

x

dxx

3 sen Ln3

3 sen

3cos

3

1

3

3 sen

3cos

3 ctg

45. dxeexx

) (ctg Sol: kex sen L

Kedxe

eedxee

x

x

xxxx sen Ln

sen

)(cos) (ctg

46.

dx

xx

4ctg4 tg Sol: k

xx

4 sen Ln44 cos Ln

4

1 :Sol

dx

x

x

dxx

xdx

x

x

x

xdx

xx

4 sen

4cos

4cos

4 sen

4 sen

4cos

4cos

4 sen

4ctg4 tg

kx

xdxx

x

dxx

x

4

sen Ln 44cos Ln 4

1

4 sen

4cos

4

1

44cos

4 sen4

4

1

47. dxx

x

3 sen2

cos Sol: kx )3 sen2( Ln

2

1

kxdxx

xdx

x

x

)3 sen2( Ln2

1

3 sen2

cos2

2

1

3 sen2

cos

48. xx

dx

tg arc)1(2

Sol: kx tg arc Ln

kxdxx

x

xx

dx

tg arc Ln tg arc

1

1

tg arc)1(

2

2

49. )1 tg3(cos2

xx

dx Sol: kx )1 tg3( Ln

3

1

kxdxx

xdxx

x

xx

dx

)1 tg3( Ln3

1

1 tg3

cos

3

3

1

1 tg3

cos

1

)1 tg3(cos

22

2

INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS

9

50. xx

dx

sen arc12

Sol: kx sen arc Ln

kxdxx

x

xx

dx

sen arc Ln sen arc

1

1

sen arc1

2

2

51. dxx

x

2 sen32

2cos Sol: kx 2 sen32 Ln

6

1

kxdxx

xdx

x

x

2 sen32 Ln6

1

2 sen32

2cos6

6

1

2 sen32

2cos

52. dxex2

Sol: kex 2

2

1

kekedxefdxedxexffxx

222

2

1'2

2

1

53. dxe

x

2 Sol: ke

x

22

kekedxefdxedxe

x

ff

xx

222 2'2

12

54. dxxex

cos sen

Sol: ke x sen

kekedxe'fdxxcose x senffx sen

55. 2xa x dx Sol: k

a

ax

L2

2

kaa

dxaxaa

dxxa x

aD

xx

x

2

2

22

Ln2

1 Ln2

Ln2

1

)(

56. dxe a

x

Sol: kae a

x

kaedxea

adxe a

x

a

x

a

x

1

INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS

10

57. dxex 22

Sol: kex 4

4

1

kedxedxedxexxxx

44422

4

14

4

1

58.

dxex3

Sol: kex 3

3

1

kedxedxexxx

333

3

1)3(

3

1

59. dxexx

5 Sol: ke xx

15 Ln

5

ke

kee

dxeee

dxedxexx

xxxxx

15Ln

5)5(

)5(Ln

1)5(Ln)5(

)5(Ln

1)5(5

60. dxaexx 55

Sol: ka

ae

xx

L5

1 55

kaa

exdaaa

dxedxaexxxxxx 555555

Ln 5

1

5

1 Ln5

Ln 5

15

5

1

ka

ae

xx

L5

1 55

61. dxxe

xx)2(

342

Sol: kexx 342

2

1

kedxxedxxexxxxxx

343434 222

2

1)2(2

2

1)2(

62. dxba

baxx

xx

2

)( Sol: kx

ba

a

b

b

axx

2 L L

dxa

b

b

adx

ba

b

ba

adx

ba

bbaadx

ba

bax

x

x

x

xx

x

xx

x

xx

xxxx

xx

xx

222)( 22222

kx

a

b

a

bb

a

b

adx

a

b

b

axxxx

2

Ln

1

Ln

12

INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS

11

kx

a

b

abb

a

ba

xx

2 Ln Ln

1

Ln Ln

1

kxba

a

b

b

a

kxba

a

b

ba

b

axxxx

2 L L

2 Ln Ln Ln Ln

63. dx

e

ex

x

43 Sol: ke

x )43( Ln4

1

kedxe

edx

e

e x

x

x

x

x

)43( Ln

4

1

43

4

4

1

43

64. xdx5cos Sol: kx 5sen 5

1

kxkxfdxxfxfxdxxdx

5 sen 5

1)( sen)(cos)('5cos5

5

15cos

65. dxx

3sen Sol: k

x

3cos3

kx

kxfdxxfxfdxx

dxx

)3

cos(3)( cos)( sen)('3

sen3

13

3sen

kx

3cos3

66. dxx )27(sec2 Sol: kx )27( tg

7

1

kxfdxxfxfdxxdxx )( tg)(sec)(')27(sec77

1)27(sec

222

kx )27( tg7

1

67. dxxx2

3cos Sol: kx 23 sen

6

1

kxdxxxdxxx )3( sen6

1)3cos(6

6

1)3cos(

222

INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS

12

68. dxx tg2

Sol: kxx tg

Por trigonometría sabemos que ,1sectgsec1tg2222 xxxx entonces

kxxdxdxxdxxdxx tgsec)1(sec tg222

69. cos Ln( )x

dxx Sol: sen Ln( )x k

cos Ln( ) 1cos Ln( ) sen Ln( )

xdx x dx x k

x x

70. dxx tg3

Sol: kxx

cosLn2

tg2

dxxdxxxdxxxdxxxdxxff

tgsec tg)1(sec tgtg tg tg2223

1

kxx

dxx

xxdx

x

xx

cosLn

2

tg

cos

sen

2

tg

cos

sen

2

tg222

71. x

dxxcos Sol: kx sen2

kxdxx

xdxx

xx

dxx sen2

2

1cos2

1coscos

72. dxx

x

41

Sol: kx 2 sen arc

2

1

kxf

kxfdx

xf

xfdx

x

xdx

x

x

)(arccos

)( sen arc

))((1

)('

)(112224

kxxf

dxxfdx

x

x

)( sen arc

2

1

))((1

)('

)(1

2

2

1 2

222

73. 241 x

dx Sol: kx )(2 sen arc

2

1

kxxf

dxxf

x

dx

x

dx

x

dx

)(2 sen arc2

1

))((1

)('

)2(1

2

2

1

)2(1412222

INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS

13

74. 249 x

dx Sol: k

x)

3

2( sen arc

2

1

22222

3

21

3

2

2

3

3

1

3

21

3

1

3

213)

9

41(9

49 x

dx

x

dx

x

dx

x

dx

x

dx

kx

xf

dxxf

x

dx

)3

2( sen arc

2

1

))((1

)('

3

21

3

2

2

1

22

75. 222xba

dx Sol: k

a

bx

b)( sen arc

1

222

2

222

222

1

1

1

1

1)1(a

bx

dxa

b

b

a

a

a

bx

dx

a

a

bxa

dx

a

xba

dx

xba

dx

ka

bx

bxf

dxxf

a

bx

dxa

b

b

)( sen arc1

))((1

)('

1

1

22

76. dxe

ex

x

43 Sol: ke

x )43( Ln4

1

kedxxf

xfdx

e

edx

e

e x

x

x

x

x

)43( Ln

4

1

)(

)('

43

4

4

1

43

77. dxe

ex

x

2

2

2 Sol: ke

x )2( Ln2

1 2

kedxxf

xfdx

e

edx

e

e x

x

x

x

x

)2( Ln

2

1

)(

)('

2

2

2

1

2

2

2

2

2

2

78. dxe

ex

x

21

Sol: kex )( tg arc

kekxfdxxf

xfdx

e

edx

e

e x

x

x

x

x

)( tg arc)( tg arc

))((1

)('

)(11 222

INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS

14

79. 221 x

dx Sol: kx )2( tg arc

2

1

kxdxxf

xf

x

dx

x

dx

x

dx

)2( tg arc2

1

))((1

)('

)2(1

2

2

1

)2(121 2222

80. 24 x

dx Sol: k

x)

2( tg arc

2

1

kx

x

dx

x

dx

x

dx

x

dx

)

2( tg arc

2

1

21

2

1

24

1

21

4

1

)4

1(44

2222

81. 44 ax

xdx Sol: k

a

x

a)( tg arc

2

12

2

2

2

2

2

22

42

2

24

4

44

4

44

44

1

2

2

1

1

1

1

1

)1(a

x

dxa

x

a

a

a

x

xdx

a

a

x

xdx

a

a

xa

xdx

ax

xdx

ka

x

a

a

x

dxa

x

a

)( tg arc2

1

1

2

2

12

2

22

2

2

2

2

82. xa

xdx22 sen

cos Sol: k

a

x

a)

sen( tg arc

1

22

2

22

2

22

22 sen

1

cos1

sen1

cos1

)sen

1(

cos

sen

cos

a

x

xdx

a

a

x

xdx

a

a

xa

xdx

xa

xdx

ka

x

a

a

x

xdxa

a

a

x

xdxaa

a

) sen

( tg arc1

sen1

cos1

1

sen1

cos1

1222

INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS

15

83. )(Ln1 2 xx

dx Sol: kx ))(Ln( sen arc

kxxf

dxxf

x

dxx

xx

dx

))(Ln( sen arc))((1

)('

))( Ln(1

1

)(Ln1222

84. dxx

xx

21

arccos Sol: kxx 22

1))(arccos(2

1

dxx

xdx

xxdx

x

xdx

x

xdx

x

xx

f

f

2

'

2222 12

2

1

1arccos

11

arccos

1

arccos

1

kxxdxf

fdxff

221

1))(arccos(2

1

2

''

85. dxx

xx

21

arctg Sol: kxx 22

) arctg(2

1)1Ln(

2

1

dxx

xdxx

xdx

x

xdx

x

xdx

x

xx22222 1

1 arctg

1

2

2

1

1

arctg

11

arctg

kxxdxffdxxf

xf

221

) arctg(2

1)1Ln(

2

1'

)(

)('

86. dxx

x

1

Sol: kx 3)1(

3

4

dxffdxxx

dxxx

dxx

x'1

2

121

112

12

1

kxk

x

3

2

3

)1(3

4

2

3

12

Veamos como podemos realizar esta misma integral por el método de sustitución o cambio

de variable.

Haciendo el cambio tx 1 , calculamos dx: dtxdxdtdxx

22

1 y

sustituimos en nuestra integral:

INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS

16

ktktkt

dttdttdtxx

tdx

x

x 32

32

3

2

1

3

4

3

4

2

32222

1

una vez realizada la integral hay que deshacer el cambio de variable y volver a la variable x,

con lo que nos quedará:

kx 3)1(

3

4

87. dxxx 1

1 Sol: kx 14

dxffdxxx

dxxx

dxxx

'12

12

1

11

1

12

12

1

kxk

x

14

2

1

12

2

1

Veamos como podemos realizar esta misma integral por el método de sustitución o cambio

de variable.

Haciendo el cambio tx 1 , calculamos dx: dtxdxdtdxx

22

1 y

sustituimos en nuestra integral:

ktktkt

dttdtt

dtxtx

dxxx

44

2

122

122

1

1

12

12

1

2

1

una vez realizada la integral hay que deshacer el cambio de variable y volver a la variable x,

con lo que nos quedará:

kx 14

88. dxxx 1 Sol: kxx 2

3

2

5

)1(3

2)1(

5

2

Hacemos la sustitución 1 1 22 txtx

Calculamos la diferencial de x: dttdx .2 y sustituimos en la integral que deseamos

calcular. Tendremos:

INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS

17

k

ttdtttdttttdtttdxxx

352).(2.).1(22).1(1.

35242222

kxxktt 2

3

2

5

35)1(

3

2)1(

5

2

3

2

5

2

89. dxxx72

)35( Sol: kx 82)35(

80

1

Directamente:

kx

dxffdxxxdxxx8

)35(

10

1')35(10

10

1)35(

8277272

kx 82)35(

80

1

Por sustitución:

Hacemos x

dtdxdtxdxtx

101035

2 y sustituimos en nuestra integral

kxkt

dttx

dtxtdxxx

828

7772)35(

80

1

810

1

10

1

10)35(

90. dxxx10

)52( Sol: kxx

11

)52(5

12

)52(

4

1 1112

Por sustitución:

Hacemos dtdxt

xtx2

1

2

552

y sustituimos en nuestra integral

dtttdtttdttt

dxxx )5(4

1)5(

4

1

2

1

2

5)52(

1011101010

kxx

ktt

11

)52(5

12

)52(

4

1

115

124

1 11121112

91. dxxex

Sol: kxex )1(

Por el método de integración por partes:

kexkexedxexeevdxedv

dxduxudxxe

xxxxx

xx

x

)1(

INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS

18

92. dxexxIx

)53(2

Sol: kxxex )105(

2

Por el método de integración por partes:

xx

x

evdxedv

dxxduxxudxexxI

)32(53)53(

22

2( 3 5) (2 3)x xx x e e x dx

La integral que nos ha quedado es del mismo tipo que la que pretendemos calcular, por lo

que nuevamente aplicaremos el método de integración de partes:

Hacemos

xx

evdxedv

dxduxu 232 y sustituimos:

dxeexexxdxxeexxI

xxxxx232()53()32()53(

22

keexexxdxeexexxxxxxxx

2)32()53(2)32()53(22

kxxekexxxxx )105(2)32()53(

22

93. dxxx )Ln( Sol: kxx

2

1)(Ln

2

1 2

Por el método de integración por partes:

dx

xxxx

xvxdxdv

dxx

duxu

dxxx1

2

1)Ln(

2

1

2

1

1)Ln(

)Ln( 22

2

kxxkxxxdxxxx

2

1)Ln(

2

1

2

1

2

1)Ln(

2

1

2

1)Ln(

2

1 2222

94. dxx)Ln( Sol: kxx 1)(Ln

Por el método de integración por partes:

dx

xxxx

xvdxdv

dxx

duxudxx

1)Ln(

1)Ln(

)Ln(

INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS

19

kxxkxxxdxxx 1)Ln()Ln()Ln(

95. dxxx sen Sol: kxxx cos sen

Por el método de integración por partes:

dxxxx

xvdxxdv

dxduxudxxx coscos

cos sensen

kxxxdxxxx sencoscoscos

96. dxxx2

cos Sol: kxxxx

2cos8

12 sen

4

1

4

2

Por el método de integración por partes, hacemos dxduxu y xdxdv 2cos

Para calcular el valor de v recurrimos a las razones trigonométricas del ángulo mitad y

tendremos que 2

2cos1cos

2 xx

. Por tanto,

)2 sen2

1(

2

1)2cos1(

2

1

2

2cos1cos

2xxdxxdx

xxdxv

En consecuencia:

dxxxxxxdxxx )2 sen2

1(

2

1)2 sen

2

1(

2

1cos

2

kx

xxxxdxxxxxx 2cos

4

1

22

1)2 sen

2

1(

2

1)2 sen

2

1(

2

1)2 sen

2

1(

2

1 222

kxxxx

kxx

xxx 2cos8

12 sen

4

1

42cos

8

1

42 sen

4

1

2

1 222

97.

xdxex

cos Sol: kxxe x )cossen (2

1

xdxexe

xvxdxdv

dxedueuxdxeI

xxxx

x sen sen

sencoscos

xdxexe

xx sen sen

INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS

20

Al aplicar el método de partes nos ha quedado una integral del mismo tipo que la que

pretendemos calcular, por lo que volvemos a aplicar el mismo método. En ella hacemos:

sen cos

x xu e du e dx

dv x dx v x

Sustituyendo en la expresión anterior nos queda:

dxexexxexdxexeI

xxxxx)(coscos sen sen sen

dxexexxe

xxxcoscos sen

es decir, volvemos a la misma integral que pretendemos calcular. Entonces:

(sen cos )sen cos 2 sen cos

2

xx x x x e x x

I e x x e I I e x x e I

En consecuencia:

kxxe

xdxeIx

x

2

)cos (sencos

98. dxx)Ln(1 Sol: kxxx )1(Ln)1(

dxx

xxx

xvdxdv

dxx

duxudxx

1

1)Ln(11

1)Ln(1

)Ln(1

dx

xxxdx

x

xxxdx

x

xxx

1

11)Ln(1

1

11)Ln(1

1)Ln(1

kxxxxkxxxx )Ln(1)Ln(1)Ln(1)Ln(1

kxxx )1(Ln)1(

INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS

21

99. dxxxn

)Ln( Sol: kn

xn

xn

1

1)(Ln

1

1

Por el método de integración por partes:

dxx

xn

xxn

xn

vdxxdv

dxx

duxu

dxxx nn

nn

n 1

1

1)Ln(

1

1

1

1

1)Ln(

)Ln( 11

1

kxnn

xxn

dxxn

xxn

nnnn 111

1

1

1

1)Ln(

1

1

1

1)Ln(

1

1

kn

xn

xn

1

1)(Ln

1

1

100. dxx sen arc Sol: kxxx 21 arcsen

Hacemos el siguiente cambio:

xv

dxx

du

dxdv

xu2

1

1 sen arc

Sustituyendo en la fórmula de integración por partes obtenemos:

dxxxxxdxx

xxxdxx .)1.( sen arc.1

1 sen arc.. sen arc 2

1

2

2

kx

xxdxxxxx

2

1

)1(

2

1 sen arc..)1.(2

2

1 sen arc.

2

1

2

2

1

2

kxxx 21 sen arc.

101. dxx 21 Sol: kxxx 21arcsen

2

1

dx

x

xdx

xdx

x

xdxx

2

2

22

22

11

1

1

11

dx

x

xx

2

2

1 sen arc

La integral que nos queda la realizaremos por partes:

INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS

22

2

222

2

11

11xvdx

x

xdv

dxxu

dxx

xxdx

x

x

dxxxx22

11

Sustituyendo nos queda:

dxxxxxdx

x

xxdxx

22

2

22

11 sen arc1

sen arc1

y se nos repite la misma integral. Entonces:

dxxxxxdxx222

11 sen arc1

kxxxdxxxxxdxx 2222

1 sen arc2

111 sen arc12

102. dxxx sen arc Sol: kxxxx 221 arcsen)12(

4

1

Hacemos el siguiente cambio:

2

1

1

sen arc2

2

xv

dxx

du

xdxdv

xu

Sustituyendo en la fórmula de integración por partes obtenemos:

dx

x

xx

xdx

x

xx

xdxxx

2

22

2

22

12

1 sen arc

21

1

2 sen arc

2 sen arc

Por el ejercicio anterior tenemos que :

2

222

2

11

11xvdx

x

xdv

dxxu

dxx

xxdx

x

x

22 2 2

2

11 1 1

1

xx x x dx x x dx

x

INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS

23

dx

x

xxxxdx

x

xdx

xxxdx

x

x

2

22

2

2

2

2

2

2

1 sen arc1

11

11

1

En consecuencia:

dx

x

xxxxdx

x

x

2

22

2

2

1 sen arc1

1

Por tanto:

xxxdxx

xxxxdx

x

x sen arc1

2

1

1 sen arc1

12

2

2

22

2

2

Sustituyendo obtenemos:

dx

x

xx

xdxxx

2

22

12

1 sen arc

2 sen arc

kxxxxx

sen arc12

1

2

1 sen arc

2

22

kxxxxx

sen arc4

11

4

1 sen arc

2

22

kxxxx 221 arcsen)12(

4

1

103. xdx tg arc Sol: kxxx )1(Ln 2

1 tg arc

2

dx

xxxx

xvdxdv

dxx

duxuxdx

22

1

1 tg arc1

1 tg arc

tg arc

kxxxdxx

xxxdx

x

xxx

)1( Ln

2

1 tg arc

1

2

2

1 tg arc

1 tg arc

2

22

104. dxx tg arc Sol: kxxx tg arc )1(

dx

xxxxx

xvdxdv

dxxx

duxudxx

2

1

1

1 tg arc2

1

1

1 tg arc

tg arc

tdt

t

txx

tdtdx

txdx

x

xxx 2

12

1 tg arc

212

1 tg arc

2

2

INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS

24

dt

t

txxdt

t

txx

2

2

2

2

1

11 tg arc

1 tg arc

dt

txxdt

t

txx

22

2

1

11 tg arc

1

11 tg arc

kttxxdtt

dtxx tg arc tg arc1

1 tg arc

2

kxxxkxxxx tg arc)1( tg arc tg arc

105. dxxx )1( Ln2

Sol: kxxxx 221)1( Ln

Hacemos: )1( Ln2

xxu y dxdv con lo cual

dx

x

x

xxdx

x

x

xxdu

2222 11

1

1

12

21

1

1

dxx

dxx

xx

xxdu

22

2

2 1

1

1

1

1

1

y xv

Sustituyendo en la fórmula de integración por partes, obtenemos:

dxx

xxxxdxxx2

22

1

1)1( Ln)1( Ln

kxxxxdxx

xxxx

22

2

21)1( Ln

12

2)1( Ln

106. dxx

xx

21

sen arc Sol: kxxx sen arc1

2

2

22

2

2

112

2

1

1

1 sen arc

1

sen arc

xdxx

xvdx

x

xdv

dxx

duxu

dxx

xx

dxxxdxx

xxx sen arc11

11 sen arc1

2

2

22

kxxx sen arc1 2

INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS

25

107.

dx

xx

x

)2)(1(

12 Sol:

3( 2)Ln

1

xk

x

Tenemos una integral de tipo racional donde el grado del numerador es menor que el grado del

denominador. Vamos a descomponer el integrando en fracciones simples:

2

10)2)(1(

x

xxx (raíces reales simples)

Entonces:

)2)(1(

)1()2(

21)2)(1(

12

xx

xBxA

x

B

x

A

xx

x

Vamos a calcular los coeficientes indeterminados. Al ser los denominadores iguales, los

numeradores también lo serán. Por tanto:

3 32

111)1()2(12

BBx

AAxxBxAx

Por tanto,

dxx

dxx

dxxx

dxxx

x

2

13

1

1

2

3

1

1

)2)(1(

12

3( 2)Ln ( 1) 3 Ln ( 2) Ln

1

xx x k k

x

108. )5)(3)(1( xxx

xdx Sol:

6

5

1 ( 3) Ln

8 ( 1)( 5)

xk

x x

Tenemos una integral de tipo racional donde el grado del numerador es menor que el grado del

denominador. Vamos a descomponer el integrando en fracciones simples:

5

3

1

0)5)(3)(1(

x

x

x

xxx (raíces reales simples)

Entonces:

5315)(3)(1( x

C

x

B

x

A

xxx

x

)5)(3)(1(

)3)(1()5)(1()5)(3(

xxx

xxCxxBxxA

INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS

26

Para calcular los coeficientes indeterminados, al ser los denominadores iguales, los

numeradores también lo serán. Por tanto:

8

5855

4

3 433

8

1811

)3)(1()5)(1()5)(3(

CCx

BBx

AAx

xxCxxBxxAx

Por tanto,

dx

xxxxxx

xdx

5

8

5

3

4

3

1

8

1

)5)(3)(1(

kxxxdxx

dxx

dxx

)5(Ln8

5)3(Ln

4

3)1(Ln

8

1

5

1

8

5

3

1

4

3

1

1

8

1

kxx

xkxxx

5

6

)5)(1(

)3( Ln

8

1)5( Ln5)3( Ln6)1( Ln

8

1

109.

dx

xx

xx

4

83

45

Sol: 3 2 2 5

3

( 2)4 Ln

3 2 ( 2)

x x x xx k

x

Al ser el grado del numerador mayor que el grado del denominador, antes de aplicar el método

de descomposición en fracciones simples tendremos que dividir. De esta forma obtenemos:

5 4 22

3 3

8 4 16 84

4 4

x x x xx x

x x x x

En consecuencia:

5 4 22

3 3

8 4 16 8( 4)

4 4

x x x xdx x x dx dx

x x x x

3 2 2

3

4 16 84

3 2 4

x x x xx dx

x x

A la integral que nos queda le aplicamos el método de descomposición en fracciones simples.

Calculamos las raíces del denominador:

INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS

27

3 20

4 0 ( 4) 02

xx x x x

x

Entonces:

2

3

4 16 8 ( 2)( 2) ( 2) ( 2)

4 2 2 ( 2)( 2)

x x A B C A x x Bx x Cx x

x x x x x x x x

Como los denominadores son iguales, los numeradores también lo serán; por tanto:

24 16 8 ( 2)( 2) ( 2) ( 2)x x A x x Bx x Cx x

Calculamos los coeficientes indeterminados: le vamos asignando los valores de las raíces

0 8 4 2

2 40 8 5

2 24 8 3

x A A

x B B

x C C

Por tanto, la fracción descompuesta en fracciones simples nos queda:

2

3

4 16 8 2 5 3

4 2 2

x x

x x x x x

La integral de la función pedida será:

5 4 3 2 2

3 3

8 4 16 84

4 3 2 4

x x x x x xdx x dx

x x x x

3 2 2 5 3

43 2 2 2

x xx dx

x x x

3 2 2 5 34

3 2 2 2

x xx dx dx dx

x x x

3 2 1 1 14 2 5 3

3 2 2 2

x xx dx dx dx

x x x

3 2

4 2 Ln | | 5 Ln | 2 | 3 Ln | 2 |3 2

x xx x x x k

3 2 2 5

3

( 2)4 Ln

3 2 ( 2)

x x x xx k

x

INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS

28

110. )2)(1( 2

4

xx

dxx Sol:

2

3

1 ( 1) 162 Ln Ln | 2 |

2 6 ( 1) 3

x xx x k

x

Como el grado del numerador es mayor que el del denominador, tenemos que dividir,

obteniendo:

4 2

2 2

5 42

( 1)( 2) ( 1)( 2)

x xx

x x x x

Con lo que

4 2 2 2

2 2 2

5 4 5 4( 2) 2

( 1)( 2) ( 1)( 2) 2 ( 1)( 2)

x dx x x xx dx dx x dx

x x x x x x

y tendremos que integrar la función racional que nos queda, donde el grado del numerador es

menor que el grado del denominador.

Descomponemos en fracciones simples:

2

2 2

5 4 ( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 1)

( 1)( 2) 1 1 2 ( 1)( 2)

x A B C A x x B x x C x x

x x x x x x x

Como los denominadores son iguales, también lo serán los numeradores. Entonces:

25 4 ( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 1)x A x x B x x C x x

Calculamos los coeficientes indeterminados:

11 1 6

6

11 1 2

2

162 16 3

3

x A A

x B B

x C C

Entonces: 2

2

1 1615 4 6 32

( 1)( 2) 1 1 2

x

x x x x x

Y, por tanto:

INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS

29

4 2 2 2

2 2

1 1615 4 6 322 2

( 1)( 2) 2 ( 1)( 2) 2 1 1 2

x dx x x xx dx x dx

x x x x x x x

2

1 161

6 3222 1 1 2

xx dx dx dx

x x x

2 1 1 1 1 16 12

2 6 1 2 1 3 2

xx dx dx dx

x x x

2 1 1 162 Ln | 1| Ln | 1| Ln | 2 |

2 6 2 3

xx x x x k

2 1 16

2 Ln | 1| 3 Ln | 1| Ln | 2 |2 6 3

xx x x x k

2

3

1 1 162 Ln Ln | 2 |

2 6 ( 1) 3

x xx x k

x

111. )2()1( 2 xx

dx Sol:

1 2Ln

1 1

xk

x x

Como el grado del numerador es menor que el grado del denominador aplicamos la

descomposición en fracciones simples directamente:

2

2 2 2

1 ( 1)( 2) ( 2) ( 1)

( 1) ( 2) ( 1) ( 1) ( 2) ( 1) ( 2)

A B C A x x B x C x

x x x x x x x

21 ( 1)( 2) ( 2) ( 1)A x x B x C x

Calculamos los coeficientes:

1 : 1 1

2 : 1

0 : 1 2 2 1 2 2 1 1

x B B

x C

x A B C A A

Entonces:

2 2

1 1 1 1

( 1) ( 2) 1 ( 1) ( 2)dx dx dx dx

x x x x x

INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS

30

21 1( 1)

1 2dx x dx dx

x x

1( 1) 1 2Ln | 1| Ln | 2 | Ln

1 1 1

x xx x k k

x x

112. dxxxx

x

44

823

Sol: kx

x

x

2

2)2(Ln

2

3

Igual que en el anterior, aplicamos la descomposición en fracciones simples:

Calculamos las raíces del denominador:

3 2 2 20

4 4 0 ( 4 4) 0 ( 2) 02 (doble)

xx x x x x x x x

x

Entonces:

2

3 2 2 2

8 ( 2) ( 2)

4 4 2 ( 2) ( 2)

x A B C A x Bx x Cx

x x x x x x x x

28 ( 2) ( 2)x A x Bx x Cx

Calculamos los coeficientes:

0 8 4 2

2 6 2 3

1 7 7 7 2 3 2 2

x A A

x C C

x A B C B A C B

Entonces:

3 2 2

8 2 2 3

4 4 2 ( 2)

xdx dx

x x x x x x

2

2

1 1 12 2 3 2Ln | | 2Ln | 2 | 3 ( 2)

2 ( 2)dx dx dx x x x dx

x x x

1 2

2

( 2) 3 ( 2)2Ln | | 2Ln | 2 | 3 Ln

1 2

x xx x k k

x x

113. 3

3 2

( 1)

xdx

x x

Sol: kx

x

x

x

2

2

2 )1(Ln

)1(2

34

114. dxxx

x

3)1(

23 Sol:

2

2 2

( 1) 4 9Ln

2( 1)

x xk

x x

INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS

31

Descomponemos el integrando en fracciones simples:

3 2

3 2 3 3

3 2 ( 1) ( 1) ( 1)

( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1)

x A B C D A x Bx x Cx x Dx

x x x x x x x x

3 23 2 ( 1) ( 1) ( 1)x A x Bx x Cx x Dx

Calculamos los coeficientes:

0 2

1 5 5

1 1 8 4 2 1 16 4 2 5 2 6

2 8 2 2 2 8 2 2 2 10 0

x A

x D D

x A B C D B C B C

x A B C D B C B C

Resolviendo el sistema resultante, obtenemos:

2 6 2 6 2

0 2

B C B B B

B C C B

Entonces:

3 2 3

3 2 2 2 2 5

( 1) 1 ( 1) ( 1)

xdx dx dx dx dx

x x x x x x

2 3

1 1 1 12 2 2 5

1 ( 1) ( 1)dx dx dx dx

x x x x

2 32 Ln | | 2 Ln | 1| 2 ( 1) 5 ( 1)x x x dx x dx

1 2( 1) ( 1)2 Ln | | 2 Ln | 1| 2 5

1 2

x xx x k

2 2

2 2 2 2

( 1) 2 5 ( 1) 4( 1) 5Ln Ln

1 2( 1) 2( 1)

x x xk k

x x x x x

2

2 2

( 1) 4 9Ln

2( 1)

x xk

x x

INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS

32

115. 22

2

)4()2( xx

dxx Sol: k

x

x

xx

x

2

2 2

4Ln

86

125

116. dxx

x

14 3 Sol: kxx 1Ln

3

4 4 34 3

117. dxx

xx

4

33

6 Sol: kxx 12 134 9

13

2

27

2

118. dxxx

x

4 56 7

6 1 Sol: kxx

xx )1(Ln 24Ln 2

126 12

126

119. dxxx

xx

14 157 8

7

Sol: kxxxxx

14 57 214 3714

5

1

4

1

3

1

2

14

120. 3 11 xx

dx Sol: kxLnx

xx

663

1112

1

3

16

121. dxee

exx

x

22 Sol:

1 1Ln

3 2

x

x

ek

e

122. 1xe

dx Sol: kex x )1(Ln

123. dxee

exx

x

232 Sol:

1Ln

2

x

x

ek

e

124. dxx3sen Sol: kxx coscos3

1 3

125.