sudirmancanda.files.wordpress.com · bahan matematika xii sudirman 1 ktsp sman15mks rumus-rumus...

Bahan Matematika XII

Sudirman KTSP sman15mks 1

RUMUS-RUMUS INTEGRAL TAK TENTU:

1. 1,1

1 ncxn

adxax nn

2. cxdxx

||ln1

3. ckxkdx

4. cxdxx cos.sin

5. cxdxx sin.cos

6. cxdxx tan.sec2

7. cbaxa

dxbax )cos(1

)sin(

8. cbaxa

dxbax )sin(1

)cos(

9. cbaxa

dxbax )tan(1

)(sec2

SIFAT-SIFAT INTEGRAL TAK TENTU

1. dxxfkdxxkf )()(

2. dxxgdxxfdxxgxf )()()}()({

RUMUS TRIGONOMETRI PEMBANTU INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI

1. 1cossin 22 xx

2. xx 22 sec1tan

3. xxctn 22 csc1

4. xxx 22 cossin2cos

1cos2 2 x

x2sin21

5. )sin()sin(2

1cos.sin BABABA

6. )sin()sin(2

1sin.cos BABABA

7. )cos()cos(2

1cos.cos BABAsBA

8. )cos()cos(2

1sin.sin BABAsBA

9. xx 2cos12

1cos2

10. xx 2cos12

1sin 2

RUMUS INTEGRAL TENTU Jika f(x) adalah turunan pertama fungsi F(x) yang kontinu

pada selang [a,b] maka berlaku

)()(|)().( aFbFxFdxxf ba

b

a

SIFAT-SIFAT INTEGRAL TERTENTU

1.

b

a

b

a

dxxfkdxxkf )()(

2.

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()}()({

INTEGRAL SUBTITUSI

cun

kduuk nn 1

1.

INTEGRAL PARSIAL

duvvudvu ...

INTEGRAL DENGAN SUBTITUSI TRIGONOMETRI

Bentuk dxxa 22, dimisalkan x = a.sin t untuk

memperoleh 22 xa = a cos t, sehingga diperoleh

dxxa 22 =

ca

xaxax arcsin

22

1 22

PENGGUNAAN INTEGRAL 1. Menentukan luas daerah antara kurva dan sumbu X.

a. Di atas sumbu X.

b. Dibawah sumbu X

L

y=f(x

)

Y

X a b

L = b

a

dxxf ).(

L X

Y

a b

y=f(x)

L =

b

a

dxxf ).(



2. Menentukan luas daerah antara dua kurva.

3. Menentukan Volume benda putar yang terjadi jika daerah

yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X pada

selang bxa diputar mengelilingi sumbu X

sejauh 3600.


yang dibatasi oleh dua kurva y1 = f(x) dan y2 =

g(x) pada selang bxa diputar mengelilingi

sumbu X sejauh 3600.


yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu Y pada

selang bya diputar mengelilingi sumbu Y

sejauh 3600.

b

a

dyxV 2


yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X pada

selang bxa diputar mengelilingi sumbu Y

sejauh 3600 .

b

a

dxyxV ..2

SOAL-SOAL UN, UAN DAN EBTANAS D9-P55-2006/2007

1. Diketahui

t

dppp1

2 3)563( . Nilai 3t =

….

a. 2

b. 6

c. 9

d. 12

e. 15

2. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan garis

x + y = 6 adalah ….

a. 54 satuan luas

b. 32 satuan luas

c. 6

520 satuan luas

d. 18 satuan luas

e. 3

210 satuan luas

3. Volume benda putar yang terjadi juka daerah yang

dibatasi oleh garis y = 2x dan parabola y = x2 diputar

sejauh 3600 mengelilingi sumbu X adalah ….

a. 5

32 satuan volume

b. 15

64 satuan volume

c. 15

52 satuan volume

a b X

Y

y1 = f(x)

y2 = g(x)

L

dxyyL

b

a

)( 12 atau

b

a

dxxfxgL )}()({

X

Y

a b

y = f(x)

b

a

b

a

dxxfdxyV 22 )}({

X

Y

a b

y1=f(x)

y2=g(x)

V =

b

a

dxyy )(2

22

1 atau

V =

b

a

dxxgxf })()({ 22

b

a

b

a

dxxfdxyV 22 )}({



d. 15

48 satuan volume

e. 15

32 satuan volume

D9-P22-2006/2007

4. Diketahui

p

dttt1

2 14)263( . Nilai dari -4p

= ….

a. -6

b. -8

c. -16

d. -24

e. -32

5. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan garis

y = 5x - 4 adalah ….

a. 6

11 satuan luas

b. 3

8 satuan luas

c. 2

9 satuan luas

d. 2

11 satuan luas

e. 2

15 satuan luas

6. Volume benda putar yang terjadi juka daerah yang

dibatasi oleh garis y = x dan parabola y = x2 diputar

mengelilingi sumbu X sejauh 3600 adalah ….

a. 5

3 satuan volume

b. 15

4 satuan volume

c. 5

1 satuan volume

d. 15

2 satuan volume

e. 15

1 satuan volume

D10-P11-2005/2006

7. Nilai 2

0

sin.2cos xdxx ….

a. - 3

2

b. - 3

1

c. 0

d. 3

1

e. 3

2

8. Volume benda putar yang terjadi juka daerah antara

kurva y = 7 – x2 dan garis y = x + 7 diputar

mengelilingi sumbu X adalah ….

a. 5

11 satuan volume

b. 5

9 satuan volume

c. 15

16 satuan volume

d. 3

2 satuan volume

e. 15

8 satuan volume

9. Perhatikan gambar berikut!

Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah ….

a. 3

1 satuan luas

b. 2

1 satuan luas

c. 6

5 satuan luas

d. 6

7 satuan luas

e. 3

4 satuan luas

D10-P11-2004/2005

10. Hasil dari

1

0

2 133 xx dx = ….

a. 2

7

b. 3

8

c. 3

7

0 X

Y y = x

y = x2 – 4x + 4



d. 3

4

e. 3

2

11. Luas daerah yang diarsir pada gambar berikut adalah

….

a. 42

1 satuan luas

b. 56

1 satuan luas

c. 56

5 satuan luas

d. 136

1 satuan luas

e. 306

1 satuan luas

12. Hasil dari xdx5sin = ….

a. Cxx sin.cos6

1 6

b. Cxx sin.cos6

1 6

c. cxxx 53 sin5

1sin

3

2sin

d. cxxx 53 sin5

1sin

3

2sin

e. cxxx 53 sin5

1sin

3

2sin

D10-P2-2004/2005

13. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang

dibatasi oleh kurva 2

1

2xy , garis xy2

1 dan

garis x = 4 diputar 3600 terhadap sumbu X adalah

….

a. 233

1 satuan volum

b. 243

2 satuan volum

c. 263

2 satuan volum

d. 273

1 satuan volum

e. 273

2 satuan volum

14. Hasil dari dxxx 2

1

)54(2 = ….

a. cxx 54)5(3

4

b. cxx 54)5(3

2

c. cxx 54)5(6

1

d. cxx 54)5(6

1

e. cxx 54)5(3

4

D10-P3-2003/2004

15. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 9x +

15 dan y = -x2 +7x -15 adalah ….

a. 23

2 satuan luas

b. 25

3 satuan luas

c. 33

1 satuan luas

d. 33

2 satuan luas

e. 43

1 satuan luas

16. Nilai dari

2

0

.3cos.5sin dxxx = ….

a. 2

1

b. 16

3

c. 0

d. 16

3

e. 2

1

17. Hasil dari ....2cos2 dxxx

a. 2x2sin2x + 8x.cos2x – 16sin 2x + c

Y

X

-1 1 5 -1 0

5



b. x2sin2x +2x.cos2x – 2 sin2x +c

c. x sin2x + 2x cos2x + c

d. cxxxxx 2sin4

12cos

2

12sin2

2

1

e. cxxxxx 2sin2

12cos

2

12sin2

2

1

D10-P3-2002/2003

18. Jika f(x) = (x-2)2-4 dan g(x) = -f(x), maka luas daerah

yang dibatasi oleh kurva f dan g adalah….

a. 103

2 satuan luas

b. 213

1 satuan luas

c. 223

2 satuan luas

d. 423

2 satuan luas

e. 453

1 satuan luas

19. Volume benda putar yang terjadi karena daerah yang

dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu X, dan garis x = 2

diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 3600 adalah ….

a. 16 satuan volum

b. 8 satuan volum

c. 6 satuan volum

d. 4 satuan volum

e. 2 satuan volum

20.

12

0

.....cos).6

sin( d

a. 34

1

4

1

24

b. )4

13

2

1

24(

2

1

c. )36

1(8

1

d. )316

(8

1

e. )316

(8

1

21. Nilai ....).1sin(. 2 dxxx

a. – cos (x2+1) + c

b. cos (x2+1) + c

c. –2

1 cos (x2+1) + c

d. 2

1 cos (x2+1) + c

e. -2 cos (x2+1) + c

22. ....

)1(

6

2

1

2

2

x

dxx

a. (x2 – 4) cx 2

1

2 )1(

b. (2x2 – 4) cx 2

1

2 )1(

c. (3x2 – 4) cx 2

1

2 )1(

d. (4x2 – 4) cx 2

1

2 )1(

e. (6x2 – 4) cx 2

1

2 )1(

D12-P3-19-2001/2002

23. Grafik y = f(x) melalui titik (2,3) dan f’(x) = x2 – x

+ 2, maka grafik y = f(x) memotong sumbu Y di titik

….

a. (0,-3)

b. (0,-2)

c. )3

5,0(

d. (0,2)

e. )3

5,0(

24. Luas daerah yang diarsir pada gambar berikut adalah

….

a. 16

b. 12

c. 8

d. 4

e. 0

25. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan garis x +

y – 2 = 0 diputar mengelilingi sumbu X sejauh 3600.

Volume benda putar yang terjadi adalah ….

a. 153

2 satuan volum

X

Y y = x3-6x

2+8x



b. 155

2 satuan volum

c. 145

3 satuan volum

d. 145

2 satuan volum

e. 105

3 satuan volum

26.

3

6

2 .....cossin dxxx

a. )133(3

1

b. )133(24

1

c. )233(6

1

d. )233(24

1

e. )133(6

1

27. Hasil

7

22 1

3

x

xdx adalah ….

a. 8 3

b. 9 3

c. 11 3

d. 13 3

e. 15 3

D12-P3-2000/2001

28. Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang

dibatasi oleh kurva 2

2

yx pada interval

42 y diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 3600

adalah …

a. 2

1

b. 6

1

c. 48

7

d. 48

1

e. 320

7

29. Hasil dari 12 2xx dx = ….

a. cx 122

3 2

b. c

x 12

1

2

3

2

c. c

x 12

1

3

2

2

d. cxx 12)12(3

2 22

e. cxx 12)12(6

1 22

P3-D12-99/00

30. Nilai

2

0

2 4318 xx dx = ….

a. 4 2

b. 16

c. 112

d. 128

e. 168

31. Luas daerah yang dibatasi kurva y = -x2 +

3x, dan sumbu X pada 60 x adalah …

satuan.

a. 102

1

b. 132

1

c. 17

d. 18

e. 27


dibatasi oleh parabola y = x2 dan parabola y2 = 8x

diputar mengelilingi sumbu X sebesar 3600 adalah ….

a. 95

4 satuan volume

b. 55

4 satuan volume

c. 45

4 satuan volume

d. 35

4 satuan volume

e. 25

4 satuan volume

P3-D12-97/98



33. Gradien garis singgung pada setiap titik (x,y) dari suatu

kurva dinyatakan dengan 7106 2 xxdy

dx.

Kurva melalui titik (-1,-12) maka persamaan kurva

adalah ….

a. y = 2x3 – 5x2 + 7x – 12

b. y = 2x3 – 5x2 + 7x – 2

c. y = 2x3 – 5x2 + 7x + 2

d. y = 3x3 – 10x2 + 7x – 2

e. y = 3x3 – 10x2 + 7x + 2

34. Diketahui

2

0

216 x dx.

a. Nyatakan x dalam fungsi trigonometri!

b. Tentukan turunan pertama dari x!

c. Hitunglah

2

0

216 x dx.

(Essay)

P2-D12-96/97


dibatasi oleh kurva y = 3x – 2, garis x = 1,

dan garis x = 3 diputar mengelilingi sumbu X adalah

… satuan volume.

a. 34

b. 38

c. 46

d. 50

e. 52

36. Nilai

3

6

....)sin5cos3( dxxx

a. 4-4 3

b. -1- 3

c. 1- 3

d. -1+ 3

e. 4+4 3

37. Hasil dari 53

6

x

dx adalah ….

a. 6 ln(3x+5) + c

b. 3 ln(3x+5) + c

c. 3 ln(6x+5) + c

d. 2 ln(3x+5) + c

e. ln(3x+5) + c

P3-D5-95/96

38. Diketahui F’(x) = 3x2 + 6x + 2 dan F(2) = 25. F’(x)

adalah turunan dari F(x), maka F(x) = ….

a. 3x3 + 6x2 +2x – 27

b. x3 + 3x2 +2x – 1

c. x3 + 3x2 +2x + 1

d. x3 + 3x2 +2x + 49

e. x3 + 3x2 +2x – 49

39.

4

2

....).cos6sin2( dxxx

a. 2 + 6 2

b. 6 + 2 2

c. 6 - 2 2

d. -6 + 2 2

e. -6 - 2 2

40. ....2cos)13( dxxx

a. cxxx 2cos4

32sin)13(

2

1

b. cxxx 2cos4

32sin)13(

2

1

c. cxxx 2cos2

32sin)13(

2

1

d. cxxx 2cos2

32sin)13(

2

1

e. cxxx 2cos4

12sin)13(

2

1

P5-D5-94/95

41. Diketahui F’(x) = 3x2 – 2x + 1 dan F(0) = -1, maka

F(x) = ….

a. x3 – x2 + x – 1

b. x3 – x2 + x + 1

c. x3 – x2 + x – 2

d. 3x3 – 2x2 + x – 1

e. 3x3 – 2x2 + x – 2

42. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah adalah

… satuan luas.

a. 26

5

y = -x2 – 2x + 2

x+y=0 Y

X 0



b. 42

1

c. 52

1

d. 96

5

e. 106

5

43. Daerah yang dibatasi oleh kurva xy3

22 , sumbu

X dan garis x = 2, diputar mengelilingi sumbu X sejauh

3600. Volume benda putar yang terjadi adalah …

satuan volume.

a. 3

16

b. 3

8

c. 3

4

d. 3

2

e. 3

1

44. Diketahui

32

12)(

2x

xxf , maka

.....).( dxxf

a. 2432 )32( x + c

b. 6 32 2x + c

c. 632 )32( x + c

d. 3 32 2x + c

e. 2 32 2x + c

P5-D6-94/95

45. ....)3)(1( dxxx

a. x2 + 2x – 3 + c

b. x3 + 2x2 – 3x + c

c. cxxx 33

1 23

d. cxxx 32

1

3

1 23

e. 3x3 - 2x2 – 3 + c

46. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x + 1

dan sumbu X pada interval 41 x diputar

mengelilingi sumbu X sejauh 3600. Volume benda putar

yang terjadi adalah ….

a. 10

b. 102

1

c. 21

d. 38

e. 39

47. ....)34sin( dxx

a. cx )34cos(4

1

b. cx )34cos(4

1

c. cx )34cos(3

1

d. cx )34cos(3

1

e. cx )34cos(4

Rumus-rumus dan ketentuan-ketentuan yang perlu diketahui:

1. Persamaan garis yang memotong sumbu X di (a,0) dan

memotong sumbu Y di (0,b) adalah

ay + bx = ab

2. Persamaan garis yang melalui titik (a,b) dan (p,q)

adalah ap

ax

bq

by

3. Persamaan garis yang melalui titik (a,b) dengan

gradient m adalah y = m (x-a) + b.

4. Untuk menggambar garis jika persamaan garisnya

diketahui, dapat dilakukan langkah-langkah sebagai

berikut:

a. Tentukan dua titik yang berbeda yang memenuhi

persamaannya (sebaiknya titik potong dengan

sumbu koordinat yaitu titik potong dengan sumbu

X, (y=0) dan titik potong dengan sumbu Y (x=0))

b. Hubungkanlah kedua titik tersebut dengan sebuah

garis lurus.

5. Untuk menggambar atau menentukan daerah yang

memenuhi dari suatu pertidaksamaan liner dua variabel,

maka dapat dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:

a. Nyatakanlah pertidaksamaan tersebut dalam

persamaan liner dua variabel.

b. Gambarlah grafiknya sesuai langkah-langkah

menggambar garis yang persamaannya diketahui.

c. Pilihlah salah satu titik diluar garis (sebaiknya titik

(0,0)).



d. Ujilah pada pertidaksamaan, dan bandingkanlah

nilainya. Jika sesuai tanda ketidaksamaannya, maka

daerah itu merupakan daerah penyelesaian atau

sebaliknya.

e. Arsirlah daerah yang tidak memenuhi.

f. Daerah yang tidak terarsir merupakan daerah

penyelesaian.

6. Nilai optimum (maksimum atau minimum) dari suatu

fungsi obyektif selalu terjadi pada salah satu titik sudut

daerah penyelesaian.

SOAL-SOAL UN, UAN DAN EBTANAS D9-P55-2006/2007

1. Perusahaan tas dan sepatu mendapat pasokan 8 unsur P

dan 12 unsur K setiap minggu untuk produksinya. Setiap

tas memerlukan 1 unsur P dan 2 unsur K dan setiap

sepatu memerluka 2 unsur P dan 2 unsur K. Laba setiap

tas adalah Rp. 18.000,- dan setiap sepatu adalah Rp.

12.000,-. Keuntungan maksimun perusahaan yang

diperoleh adalah ….

a. Rp. 120.000,-

b. Rp. 108.000,-

c. Rp. 96.000,-

d. Rp. 84.000,-

e. Rp. 72.000,-

D9-P22-2006/2007

2. Luas daerah parkir 1.760 m2. Luas rata-rata untuk mobil

kecil 4 m2 dan mobil besar 20 m2. Daya tampung

maksimum hanya 200 kendaraan, biaya parker mobil

kecil Rp. 1.000,-/jam dan mobil besar Rp. 2.000,-/jam.

Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada

kendaraan yang pergi dan datang, maka hasil maksimum

tempat parker itu adalah ….

a. Rp. 176.000,-

b. Rp. 200.000,-

c. Rp. 260.000,-

d. Rp. 300.000,-

e. Rp. 340.000,-

D10-P11-2005/2006

3. Sebuah toko bunga menjual 2 macam rangkaian bunga.

Rangkaian I memerlukan 10 tangkai bunga mawar dan

15 tangkai bunga nyelir. Rangkaian II memerlukan 20

tangkai bunga mawar dan 5 tangkai bunga anyelir.

Persediaan bunga mawar dan anyelir masing-masing 200

tangkai dan 100 tangkai. Jika rangkaian I dijual dengan

harga Rp. 200.000,- per rangkaian dan rangkaian II

dijual dengan harga Rp. 100.000,- per rangkaian, maka

penghasilan maksimum yang dapat diperoleh adalah ….

a. Rp. 1.400.000,-

b. Rp. 1.500.000,-

c. Rp. 1.600.000,-

d. Rp. 1.700.000,-

e. Rp. 1.800.000,-

D10-P11-2004/2005

4. Tanah seluas 10.000 m2 akan dibangun rumah tipe A

dan tipe B. Untuk rumah tipe A diperlukan 100 m2 dan

untuk tipe B diperlukan 75 m2. Jumlah rumah yang

dibangun sebanyak 125 unit. Keuntungan rumah tipe A

adalah Rp. 6.000.000,-/unit dan tipe B adalah Rp.

4.000.000,-/unit. Keuntungan maksimum yang dapat

diperoleh dari penjualan tersebut adalah ….

a. Rp. 550.000.000,-

b. Rp. 600.000.000,-

c. Rp. 700.000.000,-

d. Rp. 800.000.000,-

e. Rp. 900.000.000,-

D10-P2-2004/2005

5. Suatu tempat parkir yang luasmya 300 m2 digunakan

untuk memarkir sebuah mobil rata-rata 10 m2 dan

untuk sebuah bus 20 m2 dengan daya tampung 24

kendaraan. Biaya parkir untuk sebuah mobil Rp. 1.000,-

per jam dan untuk sebuah bus Rp. 3.000,- per jam. Jika

dalam satu jam tempat parkir terisi penuh dan tidak

ada kendaraan yang dating dan pergi, hasil maksimum

tempat parkir itu adalah ….

a. Rp. 15.000,-

b. Rp. 30.000,-

c. Rp. 40.000,-

d. Rp. 45.000,-

e. Rp. 60.000,-

D10-P3-2003/2004

6. Suatu tempat parkir yang luasmya 5.000 m2 digunakan

untuk memarkir sebuah mobil rata-rata 10 m2 dan

untuk sebuah bus 20 m2 dengan daya tampung 400

kendaraan. Biaya parkir untuk sebuah mobil Rp. 3.000,-

per jam dan untuk sebuah bus Rp. 5.000,- per jam. Jika

dalam satu jam tempat parkir terisi penuh dan tidak

ada kendaraan yang dating dan pergi, hasil maksimum

tempat parkir itu adalah ….

a. Rp. 1.200.000,-

b. Rp. 1.250.000,-

c. Rp. 1.400.000,-

d. Rp. 1.500.000,-

e. Rp. 2.000.000,-

D10-P3-2002/2003

7. Nilai maksimum fungsi sasaran Z = 6x + 8y dari

sistem pertidaksamaan

0,0

4842

6024

yx

yx

yx

adalah ….

a. 120

b. 118

c. 116

d. 114

e. 112

D12-P3-19-2001/2002

8. Jika (x,y) terletak pada daerah yang dibatasi oleh

,0,0 yx dan yxy 21 , maka

nilai terbesar dari 2x + y adalah ….

a. 3,5

b. 4

c. 4,5



d. 5

e. 5,5

D12-P3-2000/2001

9. Pada daerah yang diarsir, fungsi obyektif z = 10x +

5y mencapai nilai maksimum di titik …

a. P

b. Q

c. R

d. S

e. T

P3-D12-97/98

10. Pada gambar di bawah, yang merupakan penyelesaian

pertidaksamaan 63 yx , 1535 yx ,

1052 yx , adalah ….

a. V

b. IV

c. III

d. II

e. I

P2-D12-96/97

11. Daerah yang diarsir pada gambar di bawah merupakan

himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan ….

a. ,0x 126 yx , 2045 yx

b. ,0x 126 yx , 2045 yx

c. ,0x 126 yx , 2054 yx

d. ,0x 126yx , 2054 yx

e. ,0x 126yx , 2045 yx

P3-D5-95/96

12. Seorang penjahit mempunyai 120 m bahan woll dan 80

m bahan katun. Akan dibuat dua model pakaian

seragam. Setiap pakaian seragam model I memerlukan 3

m bahan wol dan 1 m bahan katun. Setiap pakaian

model II memerlukan 2 m bahan wol dan 2 m bahan

katun. Misalnya banyaknya pakain model seragam I

adalah x buah dan banyaknya pakaian seragam model II

adalah y buah. Model matemaika dari masalah tersebut

adalah ….

a. 3x+3y 120, 2x+2y 80, x 0, y 0

b. 3x+2y 1200, x+2y 80, x 0, y 0

c. 3x+2y 80, x+2y 120, x 0, y 0

d. 2x+3y 120, x+y 80, x 0, y 0

e. 2x+3y 80, x+2y 120,, x 0, y 0

P5-D5-94/95

13. Pada gambar di bawah ini, daerah yang di arsir

merupakan grafik himpunan penyelesaian system

pertidaksamaan liner. Nilai maksimum bentuk obyektif 2x

+ 3y, dengan x, y c pada himpunan penyelesaian

itu adalah ….

a. 19

b. 21

c. 22

d. 23

e. 24

KETENTUAN DALAM MATRIKS: 1. Matriks Kolaom adalah matriks yang hanya terdiri dari

satu kolom.

3x+2y=18

X+2y=6

X

P

Q

R

S

T 4 1 0

2 3

6

y=2x+2 Y

2 3 5 X

6

5

2

0

I II

III IV

V

Y

0 2 4

5

12

Y

X

T(0,4)

S(2,5)

R(5,4)

Q(6,3)

P(3,0) 0 X

Y



2. Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri dari satu

baris.

3. Matriks bujur sangkar adalah matriks yang banyaknya

baris sama dengan banyaknya kolom.

4. Jika n adalah banyaknya baris dan m adalah banyaknya

kolom matriks A, maka (nxm) disebut ordo matriks A.

5. Dua matriks dikatakan sama, apabila:

a. Ordonya sama.

b. Unsur-unsur yang seletak sama.

6. Matriks A dan B dapat dijumlahkan atau diperkurangkan

apabila ordonya sama.

7. Jumlah matriks A dan B ditulis “A+B” adalah

menjumlahkan unsure matriks A dengan unsure matriks

B yang seletak.

8. Selisih matriks A dan B ditulis “A - B” adalah

mengurangkan unsur matriks A dengan unsur matriks B

yang seletak.

9. Matriks A dan B dapat diperkalikan apabila banyaknya

kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris

pada matriks B.

10. Perkalian matriks A dengan matriks B ditulis “A.B”

dilakukan dengan cara mengalikan setiap baris pada

matriks A dengan setiap kolom pada matriks B.

11. Ttanspos matriks B ditulis “ tB ” adalah matriks yang

diperoleh dengan mengubah setiap baris pada matriks B

menjadi kolom pada matriks tB .

12. Determinan matriks dc

baA ditulis “det A = ad

- bc” atau “|A| = ad - bc”, atau

bcaddc

ba.

13. Determinan matriks

ihg

fed

cba

A ditulis “det

A =(aei+bfg+cdh)-(ceg+afh+bdi)”

14. Invers matriks dc

baA ditulis “ 1A ”

dirumuskan dengan ,||

11

ac

bd

AA

|A|=ad – bc, dan |A| 0.

15. Matriks A dikatakan matriks singulair (matriks yang

tidak memiliki invers), apabila |A| = 0 atau det A

= 0.

16. Matriks A dan B adalah dua matriks ordo (2x2) yang

saling invers apabila A.B = B.A = I. dimana I adalah

matriks identitas ordo (2x2) atau 10

01I .

17. Jika A dan B adalah dua matriks yang diketahui, maka

berlaku:

a. Jika A.X = B, maka X = 1A .B

b. Jika X.A = B, maka X = B. 1A

18. Jika 2

1

cqypx

cbyax, maka

qc

bcDx

2

1,

2

1

cp

caDy , dan

qp

baD sehingga

untuk menentukan nilai x dan y dihitung dengan:

D

Dx x dan

D

Dy

y

19. Jika

3

2

1

kjziyhx

kgzfyex

kczbyax

, maka

jik

gfk

cb

D

k

x

3

2

1

,

jkh

gke

cka

Dy

3

2

1

,

3

2

1

kih

kfe

kba

Dz , dan

jih

gfe

cba

D ,

sehingga untuk menentukan nilai x, y dan z, maka

digunakan rumus D

Dx x ,

D

Dy

y dan

D

Dz z

SOAL-SOAL UN, UAN, EBTANAS D9-P55-2006/2007

1. Diketahui dua matriks 43

21A dan

a

baB

13

2

. Jika tBA 1 ( 1A adalah

invers matriks A dan tB adalah transpose matriks B)

maka a – b = ….

a. 3

b. 2

c. 1

d. -2

e. -3

D9-P22-2006/2007

2. Diketahui matriks yxy

xyxA ,

322

11

y

xB , dan BtA dengan tA

menyatakan transpose dari A. Nilai x + 2y adalah ….



a. -2

b. -1

c. 0

d. 1

e. 2

D10-P11-2005/2006

3. Diketahui matriks 02

yxA ,

20

12B dan

21

46C . tC adalah transpose dari C. Jika

A.B = tC , maka nilai x + y = ….

a. -2

b. -1

c. 0

d. 1

e. 2

D10-P11-2004/2005

4. Matriks X beordo (2x2) yang memenuhi

12

34

43

21X adalah ….

a. 45

56

b. 54

65

c. 54

56

d. 13

24

e. 810

1012

D10-P2-2004/2005


21A ,

41

23B , dan P(2x2). Jika matriks A x P =

B, matriks P adalah ….

a. 108

1813

b. 27

821

c. 108

1813

d. 27

821

e. 1214

65

D10-p3-2003/2004


6aP ,

3

4

cb

baQ , dan

3c

baR .

Nilai c yang memenuhi P + Q = 3R adalah ….

a. -1

b. -2

c. 1

d. 2

e. 4

D10-P3-2002/2003

7. Jika 0

2.

44

23

y

x, maka x + 2y =

….

a. 6

b. 5

c. 4

d. 3

e. 2

D12-P3-2000/2001


315A ,

103

2 xB dan

133

41C . Bila x

merupakan penyelesaian dari persamaan 1CBA , maka nilai x adalah ….

a. 3

b. 5

c. 7

d. 9

e. 11

P3-D12-99/00

9. Diketahui; 1

1.

xy

yx

q

p. Bentuk

22 qp dinyatakan dalam x dan y adalah ….

a. (x-y)2.

b. 2(x-y)2.

c. 2(x+y)2.

d. 2(x2-y2)

e. 2(x2+y2)

P3-D12-97/98


13A ,

622

21

kB dan

23

12C . Nilai



k yang memenuhi A + B = C-1 (C-1 invers matriks C)

adalah ….

a. -5

b. -3

c. 1

d. 3

e. 6

P2-D12-96/97


12A . Nilai k yang

memenuhi 1detdet. AAk T (det =

determinan) adalah ….

a. 2

b. 14

1

c. 1

d. 2

1

e. 4

1

P3-D5-95/96


12A dan

10

01I . Matriks (A – kI) adalah matriks

singular untuk k = ….

a. 1 atau 2

b. 1 atau -2

c. -1 atau 2

d. -1 atau -2

e. -1 atau 1

P5-D5-94/95

13. Diketahui 11

32A ,

510

50B dan X.A = B. Matriks X

adalah ….

a. 14

26

b. 42

21

c. 34

26

d. 520

106

e. 43

21

P3-D6-93/94


42

p dan

62

23

mempunyai determinan sama. Nilai p = ….

a. -3

b. -2

c. 1

d. 3

e. 5

P3-D5a-91/92

15. Diketahui persamaan matriks 30

12.X =

33

57 dengan X matriks bujursangtkar ordo 2.

Matriks X = ….

a. 11

24

b. 11

24

c. 11

42

d. 42

11

e. 24

11

I. Pengertian.

Vektor adalah besaran yang memiliki

besar dan arah.

II. Penjumlahan Vektor

1. ACBCAB

A

B C



2. Jika

z

y

x

a dan

r

q

p

b maka

rz

qy

px

ba

3. Sifat-sifat penjumlahan vector

a. Komutatif; abba

b. Assosiatif;

cbacba )()(

III. Perkalian scalar dengan vector.

Misal

z

y

x

a , maka k a =

kz

ky

kx

IV. Vektor Posisi

Misal A(a,b,c) dan B(p,q,r) maka AB =

OB - OA =

rc

qb

pa

r

q

p

c

b

a

V. Panjang Vektor.

Misal

z

y

x

a , maka | a | =

222 zyx

VI. Pembagian Ruas garis.

Misal diketahui dua titik ),,( 321 aaaA

dan ),,( 321 bbbB . Jika ada titik

),,( ppp zyxP membagi ruas garis

AB sehingga AP : PB = m : n, maka

titik P adalah:

nm

bmanx p

11 ..

nm

bmany p

22 ..

nm

bmanz p

33 ..

Menggunakan pola diagram:

),,( 321 aaaA P ),,( 321 bbbB

m : n

nm

bmanx p

11 ..

nm

bmany p

22 ..

nm

bmanz p

33 ..

VII. Perkalian Skalar dua Vektor

Misal

z

y

x

a dan

r

q

p

b , maka :

a. cos.||.|| baba

b. rzqypxba ...

c. 2|| aaa

d. ||.||

cosba

ba atau cos =

222222 . rqpzyx

zryqxp

dengan adalah sudut antara a

dan b

VIII. Sifat-sifat perkalian scalar dua vector.

1. Komutatif; abba

2. Tidak assoasiatif;

3. Distributif; cabacba )(

IX. Proyeksi vector pada vector lain.

Misal

z

y

x

a dan

r

q

p

b . Jika

vector a diproyeksikan pada b maka:

1. Proyeksi scalar orthogonal a pada

b (Panjang vector proyeksi a pada

b ) adalah:

|| b

baab

2. Proyeksi orthogonal a pada b

(vector proyeksi a pada b ) adalah:

bb

baab 2||

D9-P55-2006/2007

1. Diketahui segitiga PQR dengan P(0, 1, 4),

Q(2, -3, 2) dan R(-1, 0, 2). Besar sudut

PQR = ….

a. 1200.

b. 900.

c. 600.

d. 450.

e. 300.

2. Diketahui segitiga ABC dengan titik A(2,

-1, -3), B(-1, 1, -11) dan C(4, -3, -2).

Proyeksi vector AB pada AC adalah ….

a. kji 61212



b. kji 1646

c. kji 244

d. kji 1646

e. kji 61212

D9-P22-2006/2007

3. Dikatahui segitiga ABC dengan titik A(3,

1), B(5, 2) dan C(1, 5). Besar sudut BAC

adalah ….

a. 450

b. 600

c. 900

d. 1200

e. 1350

4. Diketahui segitiga ABC dengan titik A(-

1,3,5), B(-4,7,4) dan C(1,-1,1). Jika vector

u mewakili AB dan v mewakili AC ,

maka proyeksi u pada v adalah ….

a. kji2

12

2

3

b. kji2

12

2

3

c. kji 12126

d. kji 22

e. kji 22

D10-P11-2005/2006

5. Diketahui | a | = 6, | b | = 4, dan | ba |= 2

7 . Besar sudut a dan b adalah ….

a. 300

b. 600

c. 900

d. 1200

e. 1500

6. Diketahui titik A(1,-3,0), B(3,4,4) dan

C(2,-1,2). Panjang proyeksi vector AB

pada AC adalah ….

a. 4

b. 5

c. 6

d. 7

e. 8

D10-P11-2004/2005

7. Diketahui A(1,2,3) B(3,3,1) dan C(7,5,-3).

Jika A, B, dan C segaris (kolinier),

perbandingan AB dan BC adalah ….

a. 1:2

b. 2:1

c. 2:5

d. 5:7

e. 7:5

D10-P2-2004/2005

8. Diketahui titik A(4,9,-6) dan B(-4,-3,2).

Titik P membagi AB di dalam dengan

perbandingan 1:3. Panjang PB = ….

a. 15

b. 81

c. 90

d. 121

e. 153

D10-P3-2003/2004

9. Diketahui vector

3

2

1

a ,

1

2

3

b dan

3

2

1

c , maka cba2 = ….

a.

2

4

2

b.

2

4

2

c.

2

4

2

d.

2

4

2

e.

2

4

2

10. Diketahui vector

1

1

3

u dan vector

2

2

pv . Jika proyeksi scalar orthogonal

vector u pada arah vector v sama dengan



setengah panjang vector v , maka nilai p =

….

a. -4 dan -2

b. -4 dan 2

c. 4 dan -2

d. 8 dan -1

e. -8 dan 1

D10-P3-2002/2003

11. Diketahui titik A(-2,-2,-2), B(1,0,1) dan

titik M membagi AB di luar sedemikian

sehingga MB:MA = 1:2. Panjang vector

posisi titik M adalah ….

a. 13

b. 20

c. 34

d. 42

e. 50

12. Jika w adalah vector proyeksi orthogonal

dari vector

4

3

2

v terhadap vector

1

2

1

u , maka w = ….

a.

3

1

1

b.

2

1

0

c.

2

1

0

d.

2

4

2

e.

2

4

2

D12-P3-19-2001/2002

13. Diketahui p tegak lurus q , | p |=12, dan |

q |= 5, maka | p + q |= ….

a. 17

b. 13

c. 17

d. 105

e. 169

14. Diketahui vector-vektor

4

2

3

m ,

2

1

1

n dan

3

4

5

s . Proyeksi scalar

nm pada s adalah ….

a. -2 2

b. 22

1

c. 25

1

d. 55

1

e. 510

1

D12-P3-2000/2001

15. Vektor a dan b membentuk sudut .

Jika | a | = 6, | b |=15 dan cos =0,7 maka

nilai dari )( baa ….

a. 49

b. 89

c. 99

d. 109

e. 115

16. Diketahui | a | = 2, |b |=1. Kosinus sudut

antara a dan b adalah 2

1. Nilai | a +b |=

….

a. 7

b. 6

c. 3

d. 7

e. 6

17. Dikatahui titik A(0,1,2), B(1,3,-1) dan

C(x,y,-7) kolinear (segaris). Nilai x dan y

berturut-turut adalah ….

a. 7 dan 3

b. 3 dan 7



c. -7 dan 3

d. 3 dan -7

e. -3 dan -7

18. Diketahui | a | = 34 , |b |=5, dan

13baba . Sudut antara a dan

b adalah …

a. 1500

b. 1350

c. 1200

d. 600

e. 300

19. Diketahui kjia 666 dan

kib 96 . Panjang proyeksi vector a

pada b adalah ….

a. 133

20

b. 32

13

c. 6 3

d. 5 3

e. 1313

30

P3-D12-97/98

20. Diketahui titik A(1,-5,7), B(-4,-5,2) dan

C(4,1,3). Titik P membagi AB sehingga

AP:PB = 3:2, maka vector yang diwakili

oleh PC adalah ….

a.

7

4

2

b.

1

6

2

c.

1

4

2

d.

1

4

6

e.

1

6

6

21. Diketahui kjia 867 dan

kjib 52 . Proyeksi vector a pada

b adalah ….

a. kji 10214

b. kji3

10

3

2

3

4

c. kji3

10

3

2

3

4

d. kji 1024

e. kji 1536

P2-D12-96/97

22. Diketahui titik-titik A(2,-1,4), B(4,1,3)

dan C(2,0,5). Kosinus sudut antara AB

dan AC adalah ….

a. 6

1

b. 26

1

c. 3

1

d. 23

1

e. 22

1

P3-D6-95/96

23. Diketahui titik B(5,-3,2) dan P(8,4,-7).

Vektor kolom yang diwakili oleh PB

adalah ….

a.

5

1

13

b.

9

7

3

c.

9

7

3

d.

5

1

13



e.

5

7

3

24. Besar sudut antara vector

5

0

5

a dan

vector

10

0

10

b adalah ….

a. 00

b. 450

c. 900

d. 1350

e. 1800

P5-D5-94/95

25. Diketahui titik-titik A(1,-1,-2), B(4,3,-7)

dan C(2,-3,0). Kosinus sudut antara AB

dan AC adalah ….

a. 521

1

b. 26

1

c. 55

1

d. 22

1

e. 32

1

P5-D6-94/95

26. Diketahui titik A(2,-4,3) dan titik (12,-9,-

17). Titik P(x,y,z) pada AB sehingga

AP:AB = 1:5. Vektor posisi titik P adalah

….

a.

1

5

4

b.

5

25

20

c.

6

26

296

22

d.

3

23

253

20

e.

4

24

294

22

27. Besar sudut antara vector jia 23 dan

kjib 632 adalah ….

a. 600

b. 900

c. 1200

d. 1350

e. 1800

P3-D5-93/94

28. Diketahui

3

1

2

a dan

p

b 3

1

. Jika

sudut antara vector a dan b adalah 3

1,

maka nilai p adalah ….

a. 11

2 atau 34

b. 11

2 atau -34

c. 11

2 atau 2

d. 11

34 atau -2

e. 11

34 atau 2

29. Diketahui vector

3

2

1

u dan

1

2

4

v .

Proyeksi vector u pada v adalah ….

a. kji14

3

14

6

14

12

b. kji14

3

14

6

14

12

c. kji7

1

7

2

7

4

d. kji7

1

7

2

7

4



e. kji7

1

7

2

7

4

I. Pengertian

Transformasi adalah suatu pemetaan

yang memetakan suatu obyek (titik,

gambar) dengan bayangannya.

II. Pergeseran (translasi)

Misal diketahui titik P(x,y) digeser

(ditranslasikan) dengan skala n

mT

maka bayangannya adalah

P’(x+m, y+n) .

),('),( nymxPyxPn

mT

, artinya

x’=x+m dan y’=y+n

III. Pencerminan (refleksi)

1. Pencerminan terhadap sumbu X

(Mx)

),('),( yxPyxPxM

artinya x’=x

dan y’=-y.

2. Pencerminan terhadap sumbu Y

(My)

),('),( yxPyxPyM

artinya x’=-x

dan y’=y.

3. Pencerminan terhadap garis y = x

(My=x)

),('),( xyPyxPxyM

artinya x’=y

dan y’=x.

4. Pencerminan terhadap garis y = -x

(My=-x)

),('),( xyPyxPxyM

artinya

x’=-y dan y’=-x.

5. Pencerminan terhadap garis x=h

(Mx=h).

),2('),( yxhPyxPhxM

artinya

x’=2h-x dan y’=y.

6. Pencerminan terhadap garis y=k

(My=k)

)2,('),( ykxPyxPkyM

artinya

x’=x dan y’=2k-y.

IV. Pemutaran (rotasi).

Misal P(x,y) diputar sejauh

berlawanan arah jarum jam dan pusat

O(0,0) “( ),0(R ) dan diperoleh

bayangan P’(x’,y’), dimana:

x’ = x cos - y sin

y’ = x sin + y cos

V. Perkalian (Dilatasi)

P(x,y) ditransformasikan dengan dilatasi

pusat O(0,0) dengan factor dilatasi k “

),0( kD ” akan diperoleh bayangan

P’(x’,y’) dimana: x’ = kx dan y’ = ky

VI. Transformasi dengan matriks.

VII. Komposisi transformasi.

Jika P(x,y) ditransformasikan dengan T1

dan dilanjutkan dengan transformasi

dengan T2 dan diperoleh bayangan

P’(x’,y’), maka ditulis:

P’(x’,y’)=(T2oT1)(P(x,y)) atau:

y

xTT

y

x12

'

' dan

'

'12

11

y

xTT

y

x

VIII. Transformasi Kurva.

1. Jika kurvanya diketahui dan yang

dicari adalah bayangannya:

- Cari persamaan x dan y dengan

menggunakan rumus

'

'1

y

xT

y

x

- Subtitusi nilai x dan y pada

persamaan kurva.

No Jenis

transformasi

Matriks yang

bersesuaian

1

Mx

10

01

2

My

10

01

3

My=x

01

10

4

My=-x

01

10

5 ),0(R

cossin

sincos

6 ),0( kD

k

k

0

0



- Ubalah x’ dan y’ pada

persamaan kurva menjadi x dan

y saja, dan itulah persamaan

bayangannya.

2. Kalau bayangannya diketahui dan

kurva semula ditanyakan.

- Carilah x’ dan y’ dengan

menggunakan rumus

y

xT

y

x

'

'

- Subtitusi nilai x’ pada x dan y’

pada y dalam persamaan kurva.

- Persamaan yang diperoleh

merupakan bentuk awal dari

kurva tersebut.

Soal-soal:

D9-P55-2006/2007

1. Persamaan bayangan kurva 12 2xy

jika dicerminkan terhadap garis y = x,

dilanjutkan dengan rotasi pusat (0,0)

sejauh 900 berlawanan arah jarum jam,

adalah …

a. 12 2xy

b. 221 xy

c. 12 2 xy

d. 12 2 xy

e. 2y

D9-P22-2006/2007

2. Garis y = -3x + 1 diputar dengan R(0,900)

kemudian dicerminkan terhadap sumbu X.

Persamaan bayangannya adalah ….

a. 3y = x + 1

b. 3y = x – 1

c. 3y = -x + 1

d. 3y = -x – 1

e. y = 3x – 1

D10-P11-2005/2006

3. Persamaan bayangan kurva 3x + 2y – 12 =

0 oleh transformasi yang bersesuaian

dengan matriks 01

10, dilanjutkan

dengan pencerminan terhadap sumbu X

adalah ….

a. 2x + 3y + 12 = 0

b. 2x – 3y + 12 = 0

c. -2x – 3y + 12 = 0

d. 2x + 3y – 12 = 0

e. 2x – 3y – 12 = 0

D10-P11-2004/2005

4. Persamaan peta suatu kurva oleh rotasi

pusat O bersudut 2

, dilanjutkan dengan

dilatasi [0,2] adalah x = 2 + y – y2.

Persamaan kurva semula adalah ….

a. 42

1 2 xxy

b. 42

1 2 xxy

c. 42

1 2 xxy

d. 12 2 xxy

e. 12 2 xxy

D10-P2-2004/2005

5. Persamaan bayangan garis 2x + 3y + 1 = 0

karena refleksi terhadap sumbu Y

dilanjutkan dengan rotasi pusat O sebesar

2 adalah ….

a. 2x – 3y -1 = 0

b. 2x + 3y – 1 = 0

c. 3x + 2y + 1 = 0

d. 3x – 2y – 1 = 0

e. 3x + 2y – 1 = 0

D10-P3-2003/2004

6. Diketahui T1 adalah refleksi terhadap

sumbu Y dan T2 adalah refleksi terhadap

garis y = -x. Peta titik A oleh transformasi

T2oT1 adalah A’(-4,3). Koordinat titik A

adalah ….

a. (4,3)

b. (4,-3)

c. (3,4)

d. (-3,4)

e. (-3,-4)

7. Persamaan peta garis y = -5x + 5 oleh

refleksi terhadap sumbu X dilanjutkan

dengan refleksi terhadap garis y = x

adalah ….

a. y = 5x + 5

b. y = 5x + 1

c. 15

1xy

d. 55

1xy

e. 15

1xy

D10-P3-2002/2003

8. Jika (a,b) dicerminkan terhadap sumbu Y,

kemudian dilanjutkan dengan transformasi

sesuai dengan matriks 21

12



menghasilkan titik (1,-8) maka nilai a + b

adalah ….

a. -3

b. -2

c. -1

d. 1

e. 2

D12-P3-19-2001/2002

9. Translasi yang memetakan titik P ke titik

Q pada gambar berikut adalah ….

a. 5

7

b. 5

7

c. 11

17

d. 5

7

e. 5

7

D12-P3-2000/2001

10. Bayangan segitiga ABC dengan A(-1,3),

B(2,4) dan C(1,5) karena rotasi pusat (0,0)

sebesar 2

dilanjutkan dengan refleksi

terhadap garis y = x adalah ….

a. A’(1,3), B’(-2,-4), dan C’(-1,5)

b. A’(-1,-3), B’(2,4) dan C’(1,-5)

c. A’(-1,3), B’(2,-4) dan C’(1,5)

d. A’(-3,-1), B’(4,2) dan C’(5,1)

e. A’(3,-1), B’(2,4) dan C’(1,-5)

11. Segitiga ABC dengan A(2,1), B(6,1) dan

C(7,4) ditransformasikan dengan matriks

transformasi 10

13. Luas bangun hasil

transformasi segitiga ABC adalah ….

a. 56 satuan luas

b. 36 satuan luas

c. 28 satuan luas

d. 24 satuan luas

e. 18 satuan luas

P3-D12-99/00

12. Persamaan peta garis 2x – y + 4 = 0, jika

dicerminkan terhadap garis y = x,

dilanjutkan rotasi berpusat di (0,0) sejauh

2700 berlawanan arah jarum jam adalah

….

a. 2x – y – 4 = 0

b. 2x + y + 4 = 0

c. 2x + y – 4 = 0

d. x – 2y + 4 = 0

e. x + 2y – 4 = 0

P3-D12-97/98

13. Garis dengan persamaan 2x + y = 4

dicerminkan terhadap sumbu X,

dilanjutkan dengan transformasi yang

bersesuaian dengan materiks 21

32.


a. 3x + 4y = 4

b. 3x + 5y = 4

c. 5x + 8y = 4

d. 5x – 8y = 4

e. 5x – 4y = 4

P2-D12-96/97

14. Titik (4,8) dicerminkan terhadap garis x =

6, dilanjutkan dengan rotasi (O,600).

Hasilnya adalah ….

a. 344,344

b. 344,344

c. 344,344

d. 344,344

e. 344,344

P3-D5-95/96

15. Lingkaran yang berpusat di (3,-2) dan

berjarijari 4, diputar dengan R[0,900]

kemudian dicerminkan terhadap sumbu X.


a. 036422 yxyx

b. 036422 yxyx

c. 034622 yxyx

d. 034622 yxyx

e. 036422 yxyx

P5-D5-94/95

16. T1 adalah transformasi yang bersesuaian

dengan matriks 30

21 dan T2

bersesuaian dengan matriks 21

03.

Matriks yang bersesuaian dengan T2oT1

adalah ….

a. 63

45

b. 11

24

c. 41

63

d. 51

24

X

Y

3

8 P

Q

-12 -5



e. 41

63

P3-D5-93/94

17. Garis yang persamaannya x – 2y + 3 = 0

ditransformasikan dengan transformasi

yang bersesuaian dengan matriks

52

31. Persamaan bayangan garis itu

adalah ….

a. 3x + 2y – 3 = 0

b. 3x - 2y - 3 = 0

c. 3x + 2y + 3 = 0

d. –x + y + 3 = 0

e. x – y + 3 = 0

I. PENGERTIAN BARISAN

Barisan adalah angka-angka yang disusun

dari kiri ke kanan dan mengikuti pola

tertentu.

II. BARISAN ARITMETIKA

Barisan Aritmetika adalah suatu barisan

yang selisih antara suatu suku dengan

suku sebelumnya adalah tetap dan disebut

beda (b).

U2 - U1 = U3 – U2 = U4 – U3 = … = Un –

Un-1 = b (Un = suku ke-n)

a, a+b, a+2b, a+3b, …, a+(n-1)b. (a =

suku pertama, dan b = beda)

jadi Un = a + (n-1)b

III. BARISAN GEOMETRI

Barisan geometri adalah suatu barisan

yang perbandingan suatu suku dengan

suku sebelumnya adalah tetap dan disebut

rasio (r) . Secara umum dapat dituliskan

dengan:

13

4

2

3

1

2 ...n

n

U

U

U

U

U

U

U

U. Jika r

adalah rasio dan a adalah suku pertama,

maka suku ke-n barisan geometri adalah:

1nn arU

IV. DERET ARITMETIKA.

Jumlah suku-suku barisan aritmetika

disebut deret aritmetika. Jika nS adalah

jumlah n suku pertama dari deret

aritmetika, maka nS dirumuskan dengan

nn UUUUS ...321 atau :

))1(2(2

bnan

Sn atau :

)(2

nn Uan

S , dalam hal ini berlaku

pula nnn USS 1

V. DERET GEOMETRI

Deret geometri adalah jumlah suku-suku

barisan geometri. Jika nS adalah jumlah n

suku pertama deret geometri, maka

berlaku : r

raS

n

n1

)1( dan juga berlaku

nnn USS 1

VI. DERET GEOMETRI TAK HINGGA.

Suatu deret geometri yang rasionya antara

-1 dan 1 atau 1|| r , dapat dihitung

jumlahnya sampai suku takhingga )(S

dengan rumus 1||,1

rr

aS

VII. SIGMA

Definisi:

n

n

ii aaaaa ...321

1

Sifat-sifat sigma:

1. k

k

kii aa

2. nkkn

i

.

1

3. n

ii

n

kii

k

ii aaa

11

4. kn

iki

n

kii aa

1)(

5. kn

kiki

n

ii aa

1)(

1

Rumus-rumus sigma:

1. 2

)1(

1

nni

n

i

2. 6

)12)(1(

1

2 nnni

n

i

3. 2

1

3

2

)1(nni

n

i

Soal-soal:

D9-P55-2006/2007

1. Suku ketiga suatu barisan aritmetika

adalah 22. Jika jumlah suku ke tujuh dan

suku ke sepuluh adalah 0, maka jumlah

lima suku pertama sama dengan ….



a. 30

b. 60

c. 85

d. 110

e. 220

2. Sebuah bola pimpong dijatuhkan kelantai

dari ketinggian 2 meter. Setiap kali setelah

bola itu memantul ia mencapai ketinggian

4

3 kali ketinggian yang dicapai

sebelumnya. Panjuang lintasan bola

tersebut hingga bola berhenti adalah ….

a. 17 meter

b. 14 meter

c. 8 meter

d. 6 meter

e. 4 meter

D9-P22-2006/2007

3. Diketahui barisan aritmetika, Un

menyatakan suku ke-n. Jika U7 = 16, dan

U3 + U9 = 24, maka jumlah 21 suku

pertama dari deret aritmetika tersebut

adalah ….

a. 336

b. 672

c. 756

d. 1.344

e. 1.512

4. Sebuah mobil dibeli dengan harga

Rp.80.000.000,00. Setiap tahun nilai

jualnya menjadi 4

3 dari harga

sebelumnya. Berapa nilai jual setelah

dipakai 3 tahun?

a. Rp.20.000.000,00

b. Rp.25.312.000,00

c. Rp.33.750.000,00

d. Rp.35.000.000,00

e. Rp.45.000.000,00

D10-P11-2005/2006

5. Seorang ibu mempunyai 5 orang anak

yang usianya membentuk suatu barisan

aritmetika. Jika sekarang usia si bungsu 15

tahun dan usia si sulung 23 tahun, maka

jumlah usia kelima orang anak tersebut 10

tahun yang akan datang adalah ….

a. 95 tahun

b. 105 tahun

c. 110 tahun

d. 140 tahun

e. 145 tahun

6. Pak Hasan menabung uang di bank

sebesar Rp.10.000.000,00 dengan bunga

majemuk 10% per tahun. Besar uang pak

Hasan pada akhir tahun ke-5 adalah ….

a. Rp.10.310.000,00

b. Rp.14.641.000,00

c. Rp.15.000.000,00

d. Rp.16.000.000,00

e. Rp.16.105.100,00

D10-P11-2004/2005

7. Seutas tali dipotong menjadi 7 bagian dan

panjang masing-masing potongan

membentuk barisan geometri. Jika

panjang potongan tali terpendek sama

dengan 6 cm dan panjang potongan tali

terpanjang sama dengan 384 cm, panjang

keseluruhan tali tersebut adalah ….

a. 378 cm

b. 390 cm

c. 570 cm

d. 762 cm

e. 1.530 cm

8. Seorang anak menabung di suatu bank

dengan selisih kenaikan yabungan

antarbulan tetap. Pada bulan pertama

sebesar Rp.50.000,00, bulan kedua

Rp.55.000,00, bulan ketiga Rp.60.000,00,

dan seterusnya. Besar tabungan anak

tersebut selama dua tahun adalah ….

a. Rp.1.315.000,00

b. Rp.1.320.000,00

c. Rp.2.040.000,00

d. Rp.2.580,000,00

e. Rp.2.640.000,00

D10-P2-2004/2005

9. Dari suatu deret aritmetika diketahui U3 =

13 dan U7 = 29. Jumlah dua puluh lima

suku pertama deret tersebut adalah ….

a. 3.250

b. 2.650

c. 1.625

d. 1.325

e. 1.225

10. Sebuah bola pimpong dijatuhkan dari

ketinggian 25 m dan memantul kembali

dengan ketinggian 5

4 kali tinggi

sebelumnya. Pemantulan ini terus

berlangsung hingga bola berhenti. Jumlah

seluruh lintasan bola adalah ….

a. 100 m

b. 125 m

c. 200 m

d. 225 m

e. 250 m

D10-P3-2003/2004

11. Nilai ....5310

1n

n

a. 180

b. 195 n (1,1)n

2

3

4

5

1,21

1,331

1,4641

1,61051



c. 215

d. 240

e. 253

12. Seutas tali dibagi menjadi 5 bagian

dengan panjang membentuk suatu barisan

geometri. Jika tali yang paling pendek

adalah 16 cm dan tali yang paling panjang

81 cm, maka panjang tali semula adalah

….

a. 242 cm

b. 211 cm

c. 133 cm

d. 130 cm

e. 121 cm

D10-P3-2002/2003

13. Jumlah n suku pertama suatu deret adalah

Sn = 3n2 – 7n. Suku ke-5 deret ini adalah

….

a. 10

b. 20

c. 30

d. 40

e. 50

14. Seorang ayah membagikan uang sebesar

Rp.100.000,00 kepada 4 orang anaknya.

Makin muda usia anak makin kecil uang

yang diterima. Jika selisih yang diterima

oleh setiap dua anak yang usianya

berdekatan adalah Rp.5.000,00 dan si

sulung menerima uang paling banyak,

maka jumlah yang diterima oleh si bungsu

adalah ….

a. Rp.15.000,00

b. Rp.17.500,00

c. Rp.20.000,00

d. Rp.22.500,00

e. Rp.25.000,00

15. Rasio suatu deret geometri tak hingga

adalah 462

2lim

22 xx

xr

x dan suku

pertama deret itu adalah hasil kali scalar

vector kjia 22 dan kjib 2 .

Jumlah deret geometri tak hingga tersebut

= ….

a. 4

1

b. 3

1

c. 3

4

d. 2

e. 4

16. Diketahui sin + 2

1sin

2+

4

1sin3 +

8

1

sin4 + … adalah deret geometri

konvergen yang jumlahnya 3

2. Nilai

sin 2 adalah ….

a. 2

1

b. 23

1

c. 22

1

d. 32

1

e. 1

D12-P3-19-2001/2002

17. Jika 1052.5

1

2

i x

ix, maka x = ….

a. 1

b. 2

1

c. 3

1

d. 4

1

e. 5

1

18. Jika x6 = 162 adalah suku keenam suatu

deret geometri, dan log x2 + log x3 + log

x4 + log x5 = 4 log 2 + 6 log 3, maka

jumlah empat suku pertama deret tersebut

adalah ….

a. 803

2

b. 80

c. 27

d. 263

2

e. 26

19. Pertumbuhan sebuah pohon dalam jangka

waktu tertentu selalu tetap menurut aturan

deret geometri. Tinggi pohon pada akhir

bulan pertama adalah 50 cm, dan

diperkirakan pada akhir bulan kesebelas

akan mencapai ketinggian 2

11 meter.

Perkiraan tinggi pohon pada akhir bulan

ketujuh adalah ….

a. 5 350 cm

b. 10 2750 cm

c. 5 950 cm

d. 5 2750 cm

e. 10 7350 cm

D12-P3-2000/2001



20. Suku ke-13 dari empat suku barisan yang

berpola 16

1,

8

1,

4

1,

2

1, adalah ….

a. 32

b. 64

c. 128

d. 256

e. 512

21. Rumus jumlah n suku pertama deret

aritmetika adalah Sn = 4n – n2. Beda deret

tersebut adalah ….

a. 3

b. 3

1

c. 4

1

d. 2

3

e. -2

P3-D12-99/00

22. Diketahui 1530

1i

pi . Nilai dari

30

6

....3i

pi

a. 45

b. 54

c. 60

d. 75

e. 80

23. Suku ke-n barisan aritmetika dinyatakan

dengan Un. Jika U1 + U3 = 10 dan jumlah

25 suku pertama deret itu 675, nilai U1.U2

= ….

a. 6

b. 8

c. 10

d. 12

e. 15

24. Dalam suatu deret geometri diketahui U1 =

512 dan U4 = 64. Jumlah tujuh suku

pertama deret tersebut adalah ….

a. 1008

b. 1016

c. 2016

d. 2028

e. 2032

P3-D12-97/98

25. Jumlah deret aritmetika 4 + 7 + 10 + … +

x = 375, maka x = ….

a. 15

b. 25

c. 42

d. 46

e. 50

P2-D12-96/97

26. Jumlah n suku pertama suatu deret

geometri dirumuskan dengan

123nns . Rasio deret tersebut adalah

….

a. 8

b. 7

c. 4

d. 8

1

e. -8

P3-D5-95/96

27. Rumus jumlah n suku pertama deret

aritmetika adalah nnsn 192. Beda

deret tersebut adalah ….

a. 16

b. 2

c. -1

d. -2

e. -16

28. Jumlah tak hingga deret geometri adalah

81 dan suku pertamanya adalah 27.

Jumlah semua suku bernomor genap deret


a. 323

2

b. 215

3

c. 1813

9

d. 1213

6

e. 105

4

P3-D6-95/96

29. Suku ke lima dan suku kedelapan deret

geometri tak hingga berturut-turut adalah

2

1 dan

16

1. Jumlah semua suku deret


a. 16

b. 8

c. 3

16

d. 3

10

e. 3

8

P5-D6-94/95



30. Jumlah sampai tak hingga deret geometri

1 + 2

1 +

4

1 + … adalah ….

a. 13

2

b. 14

3

c. 16

5

d. 2

e. 4

P3-D5-93/94

31. Dari suatu barisan geometri ditentukan U1

+ U2 + U3 = 9 dan U1.U2.U3 = -216. Nilai

U3 pada barisan geometri tersebut adalah

….

a. -12 dan -24

b. -6 dan -12

c. -3 dan -6

d. 3 dan 12

e. 6 dan 24

P3-D6-93/94

32. Rasio suatu deret geometri tak hingga

adalah r = 2x – 3. Batas-batas x agar deret

tersebut mempunyai jumlah, adalah ….

a. x<1 atau x>2

b. x<-2 atau x>1

c. -2<x<1

d. 1<x<2

e. -1<x<1

P3-D5a-91/92

33. Suku pertama dan suku kelima dari

barisan geometri berturut-turut -6 dan

27

2, suku ketiga dari barisan itu adalah

….

a. 3

2

b. 3

1

c. 3

1

d. 3

2

e. 3

4

I. Definisi.

a . a . a . a . a . a = 6a (ada 6 bilangan a

yang sama dikalikan atau a dikalikan

sebanyak 6 kali). a disebut bilangan pokok

dan 6 disebut pangkat atau eksponen.

II. Sifat-sifat bilangan berpangkat:

1. 0,00 nn

2. 10a

3. aa1

4. mnmn aaa .

5. mnmn aa .

6. nnn baab .)(

7. mn

m

n

ab

a

8. n

na

a

1

9. 2

1

aa

10. m

nm n aa

11. nn aa

1

III. Persamaan Eksponen

1. Bentuk )()( xgxf aa

Jika )()( xgxf aa maka f(x) = g(x)

2. Bentuk )()( )()( xgxf xFxF

Jika )()( )()( xgxf xFxF maka:

1) f(x) = g(x)

2) F(x) = 1

3) F(x) = 0, asal f(x)>0 dan g(x)>0

4) F(x) = -1 asal f(x) dan g(x) sama-

sama ganjil atau sama-sama

genap.

3. Bentuk )()( )()( xfxf xGxF

Jika )()( )()( xfxf xGxF , maka:

1) F(x) = G(x)

2) F(x) = 0, asal F(x) dan G(x) tidak

0

4. Bentuk 0.. )()(2 CaBaA xfxf

Bentuk ini diselesaikan seperti

menyelesaikan persamaan kuadrat.

IV. Pertidaksamaan Eksponen

1. Jika a>0, dan )()( xgxf aa maka

)()( xgxf

2. Jika a>0 dan )()( xgxf aa maka

)()( xgxf



3. Jika 0<a<1, dan )()( xgxf aa maka

)()( xgxf

4. Jika 0<a<1 dan )()( xgxf aa maka

)()( xgxf

Soal-soal:

D9-P55-2006/2007

12. Bentuk sederhana dari

....32.3423

a. -6- 6

b. 6- 6

c. -6+ 6

d. 24- 6

e. 18+ 6

13. Akar-akar persamaan 1233 12 xx

adalah x1 dan x2. Nilai 2x1 + 2x2 = ….

a. -4

b. -2

c. -1

d. 9

4

e. 3

2

D9-P22-2006/2007

14. Bentuk sederhana dari

504231 adalah ….

a. -2 2 - 3

b. -2 2 +5

c. 8 2 - 3

d. 8 2 +3

e. 8 2 +5

15. Akar-akar persamaan eksponen

093.283 12 xx adalah x1 dan x2.

Jika x1 > x2, maka nilai 3x1 - x2 = ….

a. -5

b. -1

c. 4

d. 5

e. 7

D10-P11-2005/2006

16. Akar-akar persamaan eksponen

0813.1032 xx adalah x1 dan x2.

Jika x1 > x2, maka nilai x1 - x2 = ….

a. -4

b. -2

c. 2

d. 3

e. 4

D10-P2-2004/2003

17. Diketahui persamaan 030334 xx .

Nilai (x1+x2) = ….

a. 1

b. 10log3

c. 3

d. 4

e. 30log3

D10-P3-2003/2004

18. Penyelesaian dari persamaan

81093 12 xx adalah ….

a. x = 2

b. x = 3

c. x = 9

d. x = 9 atau x = -10

e. x = -9 atau x = 10

D10-P3-2002/2003

19. Penyelesaian dari persamaan

4 82

24 2

2525

5 xx

adalah x1 dan x2.

Nilai x1 + x2 = ….

a. -8

b. -2

c. 0

d. 2

e. 8

D12-P3-19-2001/2002

20. Diketahui 2332P dan

32Q . Nilai ....22 QP

a. 25+10 6

b. 25+12 6

c. 25+14 6

d. 35+10 6

e. 35+14 6

21. Diketahui dan adalah penyelesaian

dari 19.3 772 xxx. Jika < ,

maka nilai 2 + sama dengan ….

a. 3

b. 4

c. 5

d. 6

e. 7

D12-P3-2000/2001

22. Diketahui 32

1

2

1

xx . Nilai

....1xx

a. 7

b. 8

c. 9

d. 10

e. 11



P3-D12-99/00

23. Nilai x yang memenuhi persamaan

x

x

22

733

27

1 adalah ….

a. 4

5

b. 2

5

c. 1

d. 2

e. 2

5

P3-D12-97/98

24. Penyelesaian persamaan eksponen

214 422 xxx

adalah dan ,

dengan > . Nilai - = ….

a. -4

b. -1

c. 1

d. 4

e. 5

P2-D12-96/97

25. Himpunan penyelesaian dari

1165 2

22 xxx adalah ….

a. {x| x<-3 atau x>-2}

b. {x| x<2 atau x>3}

c. {x| x<-6 atau x>-1}

d. {x| -3<x<-2}

e. {x| 2<x<3}

P3-D5-95/96


2733

1 122

x adalah ….

a. 4

1

b. 4

11

c. 2

d. 3

e. 2

14

P3-D6-95/96

27. Himpunan penyelesaian persamaan

093.43 12 xx adalah ….

a. {-3, -1}

b. {-2, -1}

c. {2, 1}

d. {3, 1}

e. {9, 3}

P5-D5-94/95


813

122x

adalah ….

a. {5}

b. {4}

c. {3}

d. {-2}

e. {-3}

P5-D6-94/95


9

64

3

127 x

adalah ….

a. {-6}

b. {-42

1}

c. {-3}

d. {-2}

e. {3}

P3-D5-93/94

30. Jika anggota himpunan penyelesaian dari

persamaan

107107 22

321 xxxx xx

dijumlahkan, hasilnya adalah ….

a. 7

b. 4

c. -4

d. -7

e. -11

P3-D6-93/94

31. Bentuk sederhana dari 22

6 adalah ….

a. 2- 2

b. 3(2- 2 )

c. 2+ 2

d. 6- 2

e. 3(2+ 2 )


814 273 xx adalah ….

a. {23}

b. {20}

c. {10}

d. {8}

e. {2}

P3-D5a-91/92

33. Himpunan penyelesaian dari persamaan

25

3

1243

xx

adalah ….

a. {-4}

b. {-3}

c. {2}

d. {4}

e. {5}



I. Definisi:

0,1,0,log caabcca ab

II. Sifat-sifat logaritma:

Untuk a>0, b>0, c>0, a 1 dan b 1 maka

berlaku:

1. 1logaa

2. 01loga

3. cbbc aaa loglog)log(

4. cbc

b aaa logloglog

5. 1,0,log

loglog pp

a

bb

p

pa

6. a

bb

a

log

1log

7. bnb ana log.log

8. bn

mb aman

log.log

9. ccb aba loglog.log

10. ba ba log

III. Persamaan Logaritma:

1. Bentuk pxfa )(log

Jika pxfa )(log maka paxf )(

2. Bentuk )(log)(log xhxf aa

Jika )(log)(log xhxf aa maka

f(x)=h(x)

3. Bentuk

0)(log)(log2 CxfBxfA aa

Diselesaikan seperti menyelesaikan

persamaan kuadrat dengan terlebih

dahulu memisalkan )(log xfa dengan

p atau symbol lainnya.

IV. Pertidaksamaan Logaritma.

1. Jika a>1 dan )(log)(log xhxf aa,

maka )()( xhxf

2. Jika a>1 dan )(log)(log xhxf aa,

maka )()( xhxf

3. Jika 0<a<1 dan )(log)(log xhxf aa,

maka )()( xhxf

4. Jika 0<a<1 dan )(log)(log xhxf aa

, maka )()( xhxf

Soal-soal:

D9-P55-2006/2007

1. Jika a3log2 dan b5log3

maka

....20log15

a. a

2

b. )1(

2

ba

ab

c. 2

a

d. 12

1

ab

b

e. ab

ba

2

)1(

D9-P22-2006/2007

2. Jika mba log dan ncb log maka

....logbcab

a. m+n

b. m.n

c. m

nm

1

)1(

d. n

mn

1

)1(

e. m

mn

1

1

D10-P11-2005/2006


2)12log()2log( 55 xx adalah ….

a. {12

1}

b. {3}

c. {42

1}

d. {12

1, 3}

e. {3, 42

1}



4. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

)106log()1log()5log( 333 xxx

adalah ….

a. x<-5 atau x>3

b. -1<x<5

c. 3

5<x<5

d. 3<x<5

e. -5<x<3

D10-P11-2004/2005

5. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

2log.2)52log(log.2 xx adalah ….

a. 102

5x

b. 102 x

c. 100 x

d. 02 x

e. 02

5x

D10-P2-2004/2005

6. Nilai dari ....1

log.1

log.1

log35 qrp

pqr

a. -15

b. -5

c. -3

d. 15

1

e. 5

D10-P3-2003/2004

7. Diketahui x2log3 dan y5log2

maka ....15log5

a. yx

yx 1

b. xy

xy 1

c. yx

xy

d. yx

1

e. xy

1

8. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan

1log43log 222 xxx adalah ….

a. 54| xx

b. 54| xx

c. 51| xx

d. 51| xx

e. 5| xx

D10-P3-2002/2003

9. Jika 12loglog 22 qp dan

8loglog 2262 qp , maka ....logqp

a. 1

b. 2

c. 4

d. 8

e. 16

D12-P3-19-2001/2002

10. x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan

02loglog.2 52 xx dengan bilangan

pokok 3. Nilai x1.x2 adalah ….

a. 1

b. 4

c. 3 3

d. 8 3

e. 9 3

D12-P3-2000/2001

11. Pertidaksamaan logaritma

2

1)2log( 24 xx dipenuhi oleh ….

a. 1- 3 <x<1+ 3

b. 1- 3 <x<2

c. 0<x<1+ 3

d. 1- 3 <x<1+ 3 dan 2+ 3 <x<4

e. 1- 3 <x<0 atau 2<x<1+ 3

P3-D12-99/00

12. Penyelesaian pertidaksamaan

1)1log()3log( 55 xx adalah …

a. x>3

b. x>4

c. 3<x<4

d. -2<x<4

e. X<-2 atau x>4

P3-D12-97/98


.

Nilai 3

2

5 )216log( adalah ….

a. 3

1(x+y)

b. 2

1(x+y)

c. 2(x+y)

d. 3(x+y)

e. 4(x+y)

P2-D12-96/97



14. Penyelesaian persamaan logaritma

2)13log()653log( 222 xxx

adalah dan . Untuk > , nilai

- = ….

a. 3

1

b. 2

1

c. 3

21

d. 2

e. 3

P3-D5-95/96


.

Nilai 1545log2 sama dengan ….

a. 2

1 (5x+3y)

b. 2

1(5x-3y)

c. 2

1(3x+5y)

d. yyxx2

e. xyyx2

P3-D6-95/96

16. Nilai x yang memenuhi persamaan

6log)log( 222 xx adalah ….

a. -4 atau 6

b. -6 atau 4

c. -2 atau 3

d. -3 atau 2

e. -6 atau 1

17. Diketahui p3log2 dan q5log3

.

Nilai ....20log3

a. q

pq2

b. p

pq2

c. p

q2

d. p

q2

e. 2p + q

P5-D5-94/95


0)13log()7log()3log( 666 xxx

adalah ….

a. {-5, 4}

b. {-4, 5}

c. {-5}

d. {5}

e. {4}

P5-D6-94/95

19. Diketahui p5log3 dan q2log5

.

Nilai ....18log5

a. p

pq 2

b. q

pq 2

c. p

qp2

d. p

q2

e. 2p + q


1)1log()22log( 33 xx adalah ….

a. {-3}

b. {-3

8}

c. {-3

2}

d. {3}

e. {5}

P3-D5-93/94

21. Hasil kali semua anggota himpunan

penyelesaian persamaan

0)25153log()13log( 2 xxx xx

sama dengan ….

a. 6

b. 8

c. 10

d. 12

e. 15

P3-D6-93/94

22. Persamaan 2)2log()5log( 22 xx

mempunyai penyelesaian x1 dan x2. Nilai

x1 + x2 = ….

a. -7

b. -6

c. 5

d. 6

e. 7

P3-D5a-91/92

23. Diketahui log 3 = a dan log 6 = b, maka

log 9 6 adalah ….

a. 2

4 ba



b. 2

2 ba

c. ba2

d. ba2

e. 2a + b

sudirmancanda.files.wordpress.com · bahan matematika xii sudirman 1 ktsp sman15mks rumus-rumus...

Documents