reglas aditivas y multiplicativas de las...

R E G L A S A D I T I V A S Y M U L T I P L I C A T I V A S D E L A S

P R O B A B I L I D A D E S

P R O F E S O R A M A R Í A I G N A C I A VA L E N Z U E L A

M AT E M Á T I C A

EJERCICIO: SE LANZAN DOS DADOS, Y SE SUMAN LOS PUNTOS.

• SITUACIÓN 1:

Si se definen los siguientes conjuntos:

A = “Los casos en que la suma sea par”

B= “Los caso en que la suma sea mayor a 2 y un

número primo”

Calcular la probabilidad de obtener en la

suma un número par o un número primo

mayor a 2.

𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 = ?

• SITUACIÓN 2:

Si se definen los siguientes conjuntos:

A = “Los casos en que la suma sea par”

C= “Los caso en que la suma sea múltiplo de 3”

Calcular la probabilidad de obtener en la

suma un número par o un múltiplo de 3.

𝑷 𝑨 ∪ 𝑪 = ?

ANALICEMOS

• SITUACIÓN 1:

A= {2, 4,4,4,6,6,6,6,6,8,8,8,8,8,10,10,10,12}= 18 casos

B= {3,3,5,5,5,5,7,7,7,7,7,7,11,11} = 14 casos

A U B = {2, 4,4,4,6,6,6,6,6,8,8,8,8,8,10,10,10,12,

3,3,5,5,5,5,7,7,7,7,7,7,11,11} = 32 casos

P(AUB)= 𝟑𝟐

𝟑𝟔=

𝟖

𝟗

P(AUB)= 𝟏𝟖

𝟑𝟔+

𝟏𝟒

𝟑𝟔=

𝟑𝟐

𝟑𝟔=

𝟖

𝟗

𝐏 𝐀𝐔𝐁 = 𝐏 𝐀 + 𝐏(𝐁)

ANALICEMOS

• SITUACIÓN 2:

A= {2, 4,4,4,6,6,6,6,6,8,8,8,8,8,10,10,10,12}= 18 casos

C= {3,3,6,6,6,6,6,9,9,9,9,12} = 12 casos

A ∩ C = {6,6,6,6,6,12} = 6 casos

A U C ={2,3,3,4,4,4,6,6,6,6,6,8,8,8,8,8,9,9,9,9,10,10,10,12}= 24 casos

𝐏 𝐀𝐔𝑪 =𝟐𝟒

𝟑𝟔=𝟔

𝟗=𝟐

𝟑

𝐏 𝐀𝐔𝑪 =𝟏𝟖

𝟑𝟔+𝟏𝟐

𝟑𝟔−

𝟔

𝟑𝟔=𝟐𝟒

𝟑𝟔

𝐏 𝐀𝐔𝑪 = 𝐏 𝐀 + 𝐏 𝐂 − 𝐏(𝐀 ∩ 𝐂)

CONCLUSIÓN: ¿POR QUÉ SE CALCULAN DISTINTOS?

• SITUACIÓN 1:

𝐏 𝐀𝐔𝐁 = 𝐏 𝐀 + 𝐏(𝐁)

• SITUACIÓN 2:

𝐏 𝐀𝐔𝑪 = 𝐏 𝐀 + 𝐏 𝐂 − 𝐏(𝐀 ∩ 𝐂)

NO HAY ELEMENTOS EN

COMÚN

HAY ELEMENTOS EN

COMÚN

CONJUNTOS DISJUNTOS NO CONJUNTOS DISJUNTOS

CONCEPTOS

APLICACIÓN:

1. Se extrae al azar una carta de una baraja inglesa. ¿Cuál

es la probabilidad de que la carta extraída sea un

trébol o una J de corazón?

2. Se extrae al azar una carta de una baraja inglesa. ¿Cuál

es la probabilidad de que sea un trébol o una J?

EJERCICIO: EN UNA URNA HAY 5 BOLITAS 3 NEGRAS Y 2 VERDES.

• Calcular la probabilidad de sacar primero una bolita negra y

después una verde, sin reposición.

SOLUCIÓN:• Definimos los eventos:

N = extraer una bolita negra

V = extraer una bolita verdeBUSCAMOS: 𝐏 𝐍 ∩ 𝑽 =

𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔

𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔

TODOS LOS CASOS

𝟓 ⋅ 𝟒 = 𝟐𝟎 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔

LOS CASOS FAVORABLES

𝟑 ⋅ 𝟐 = 𝟔 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔

SOLUCIÓN:ENTONCES: 𝐏 𝐍 ∩ 𝑽 =

𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔

𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔=

𝟔

𝟐𝟎=

𝟑

𝟏𝟎

OTRA MIRADA:

La probabilidad de extraer primero una bola negra:

𝐏 𝐍 =𝟑

𝟓

La probabilidad de extraer segundo una bola verde:

𝐏 𝑽 =𝟐

𝟒

ENTONCES: 𝐏 𝐍 ∩ 𝑽 =𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔

𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔=

𝟑⋅𝟐

𝟓⋅𝟒= 𝐏 𝐍 ⋅ 𝑷(𝑽)

CONCEPTO: INDEPENDENCIA

• Dos eventos son independientes si la realización de uno no afecta

la probabilidad del otro.

• Hablamos de la independencia de dos sucesos cuando la aparición o no-

aparición de uno de ellos no proporciona información sobre la ocurrencia

de otro.

• Si dos eventos A y B son INDEPENDIENTES, entonces:

𝐏 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝐏 𝑨 ⋅ 𝑷(𝑩)

EVALUEMOS

• “Se extrae una carta al azar de una

baraja: sea A el evento "se extrae un

trébol" y B el evento "se extrae una

reina" ¿Los eventos A y B son

independientes?”

EJEMPLO:

• “Un conejo se encuentra en la entrada

del laberinto, ¿cuál es la probabilidad

de que el conejo pueda salir del

laberinto, si cada camino tiene la

misma probabilidad de ser escogido?”

L a p r o b a b i l i d a dd e “ e s c o g e r e l c a m i n o X ” y “ e s c o g e r e l c a m i n o C ”

¿ S o n e v e n t o si n d e p e n d i e n t e s ?

PROBABILIDAD CONDICIONAL NOTACIÓN

• “La probabilidad de ocurrencia del evento B dado

que ocurrió el evento A”:

𝑃( ൗ𝐵 𝐴)

INTERSECCIÓN DE EVENTOS NO INDEPENDIENTES

• Dados dos eventos A y B.

• La probabilidad de que ocurra B y A , cuando el evento A ya ocurrió será:

𝑃 𝐴⋂𝐵 = 𝑃(𝐴) · 𝑃 ൗ𝐵 𝐴

Si quisiéramos la probabilidad de

escoger el camino X y C.

1) Probabilidad de escoger el camino

X:

𝑷 𝑿 =𝟏

𝟐

2) Dado que se escogió X, la

probabilidad de escoger el camino C es:

𝑷 𝑪/𝑿 =𝟏

𝟐

3) La probabilidad de escoger el camino

X y C:

𝑷 𝑪⋂𝑿 = 𝑷 𝑿 ⋅ 𝑷 𝑪/𝑿 =𝟏

𝟐⋅𝟏

𝟐=𝟏

𝟒

1/2 1/2

1/2 1/2

1/4

1 /2

1/4

1/8

RESPUESTA

• La probabilidad de que el conejo salga será:

1

8+1

4+1

8=1

2= 0.5

EN RESUMEN: Dados los eventos A y B.

REGLA ADITIVA

(UNIÓN)

A Y B SON DISJUNTOS A Y B TIENEN

ELEMENTOS EN

COMÚN

P(AUB) P(A) + P(B) P(A) + P(B) – P(A⋂B)

REGLA

MULTIPLICATIVA

(INTERSECCIÓN)

A Y B EVENTOS

INDEPENDIENTES

A Y B EVENTOS

DEPENDIENTES

(CONDICIONADO)

P(A⋂B) P(A)⋅P(B) P(A) ⋅P(B/A)