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1
INTEGRACION o CUADRATURA
Puede ocurrir que sea una función continua fácil de integrar
o una función continua difícil o imposible de integrar directamente
o que no conozcamos la función tabulada, solo un conjunto de valores medidos .
Los métodos se basan en que, dada encontrar una familia de funciones
{ } que aproxime a entonces
Usaremos como funciones de aproximación polinomios 1
b
a
dxxfI
)(xf
)(xf
1, nxfn )(xf
)()( fIdxxfdxxffI n
b
a
n
b
a
E f I f I fn n( ) ( ) ( )
Métodos Numéricos 2016
)!1(
1)(
0
nxf i
n
i
i
Si usamos polinomios interpolantes:
b
a
nn
i
in
b
a
dxn
fxxxpdxxf )
)!1(
)()((
1
0
dxfxx
b
a
nn
i
i
)()( 1
0
ibaxxffIn ii
n
i
i
,,)()(0
2
i
ix
Suma de Cuadratura:
coeficientes de cuadratura
nodos de cuadratura
Métodos Numéricos 2016
Regla del Rectángulo
Geométricamente
Corresponde al polinomio de orden 0
Si x0 = a
3
)()( afabIR
),(2
'
2
baab
fER
f(a)
f(b)
a b
0'
0 () xxfxfxf
dxxxfdxxfdxxf 0'
0 ()
2'
2ab
fER
R
b
a
Iafabdxxf )()(
00 xfp
Métodos Numéricos 2016
Regla del Trapecio
• Geométricamente
• Corresponde al polinomio de orden 1
• Si x0=a ,x1=b
4
),(12
''
3
baab
fET
dxxxxxfdxxpdxxf )(()''2
1101
T
b
a
Ibfaf
abdxxf
2)(
f(a)
f(b)
a b
1
01
00
10
11 xf
xx
xxxf
xx
xxxp
!2
))(()('' 10
1
xxxxfxpxf
2
bfafabIT
12
''
3ab
fET
Métodos Numéricos 2016
2
Regla de Simpson
Corresponde a reemplazar f(x) por el polinomio de orden 2
si x0=a , x1=c =(a+b)/2, x2= b
5
2
0
)(2
x
x
S dxxpI
!3
))()(()(''' 210
2
xxxxxxfxpxf
)()(4)(3
210 xfxfxfh
I S
6
4 bfcfafabIS
45
2880f
ab 45
90
1fhES
dxxxxxxx
fES!3
))()(()(''' 210
h = (b-a)/2
Métodos Numéricos 2016
• Es proporcional a la cuarta derivada, ya que el término
del coeficiente de tercer orden se hace cero durante la
integración del polinomio
• En consecuencia esta regla tiene una precisión de
tercer orden aún cuando usa sólo tres puntos
• Da resultados exactos para polinomios cúbicos aún
cuando se deriva de una parábola
6
Si observamos el error en Simpson:
45
90
1fhES
Métodos Numéricos 2016
f(x) x2 x4 1/(x + 1) sqrt(1 + x2) sen (x) exp(x)
Valor exacto 2,667 6,400 1,099 2,958 1,416 6,389
Trapecio 4,000 16,000 1,333 3,236 0,909 8,389
De Simpson 2,667 6,667 1,111 2,964 1,425 6,421
Ejemplos:
7 Métodos Numéricos 2016
Fórmulas de Integración de Newton Cotes
8
)(xpn
Dados n+1 puntos equiespaciados de [a,b], xi = a+ih, i=0,...,n
si x0 =a , xn = b y h=(b-a)/n.
definimos b
a
nn dxxpfI )(
Métodos Numéricos 2016
3
Fórmula Error
Truncamiento
Trapecio
Simpson
3/8
Boole
6 puntos
2
)]()([)( 21 xfxf
ab
6
)]()(4)([)( 321 xfxfxf
ab
8
)]()(3)(3)([)( 4321 xfxfxfxf
ab
90
)](7)(32)(12)(32)(7[)( 54321 xfxfxfxfxf
ab
288
)](19)(75)(50)(50)(75)(19[)( 654321 xfxfxfxfxfxf
ab
)(90
1 )4(5 fh
)(80
3 )4(5 fh
)(945
8 )6(7 fh
)(12096
275 )6(7 fh
Fórmulas de Newton Cotes Cerradas
)(12
1 )2(3 fh
9 Métodos Numéricos 2016
Fórmulas de Newton-Cotes Abiertas
Son aquellas donde alguno de los extremos o ambos no
son nodos de cuadratura, en general no se utilizan para el
cálculo de integrales definidas.
Se usan para evaluar integrales impropias y en la solución
de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Ej: Regla del medio punto
10
)2
()(ba
fabdxxf
b
a
),()(
24
''3
2/1 bafab
E
f(a)
f(b)
a b (a+b) / 2
Métodos Numéricos 2016
Fórmulas de Cuadratura Compuesta
n
n
x
x
x
x
x
x
b
a
dxxfdxxfdxxfxffI
1
2
1
1
0
)()(
11
Estas fórmulas , en general no dan buenos resultados si [a,b] es grande, pues el En será grande, a menos que usemos polinomios de grado alto (mal condicionados). Esto lleva a las fórmulas de cuadratura compuesta.
Si
sean n+1 puntos igualmente espaciados: a =x0< x1< x2<… <xn = b
entonces xi = a + ih , h = (b-a)/n
b
a
dxxfI
xi
x
n
ii
dxxf
11
Métodos Numéricos 2016
Regla del Trapecio Compuesta
Aplicamos la regla del trapecio en cada subintervalo
agrupando
el error
12
n
n
i
iTC xfxfxfh
I1
1
0 22
),()),(12
))()((2
()( 1''
3
1
1
iiiiii
n
i
xxfh
xfxfh
fI
n
i
ii
n
i
TC fn
abf
hE
13
33
1
''12
''12
),()(''
12
2
bafhab
ETC
h
abyTC
2
2
Métodos Numéricos 2016
4
Regla de Simpson Compuesta
Agrupando términos
13
n
n
x
x
x
x
x
x
b
a
dxxfdxxfdxxfdxxfI
2
4
2
2
0
)(
3
4
3
4
3
4 12432210 nnn xfxfxfh
xfxfxfh
xfxfxfhI
)24(3
1
1
2
1
120 n
m
i
i
m
i
iS xfxfxfxfh
I
Aplicamos la regla de Simpson en cada subintervalo n>2, n par, n = 2m, xi = a + ih , i = 0, … ,n , h = (b-a)/n = (b-a)/2m
))()(4)((3
( 21222
11
2
22
iii
m
i
x
x
m
i
xfxfxfh
dxxf
i
i
Métodos Numéricos 2016
Regla de Simpson Compuesta
14
m
i
ii
m
i
SC fm
abf
hE
1
4
5
54
5
1 )2(9090
),()(
180
44
bafhab
ESC
hSC
1
Métodos Numéricos 2016
Integración sobre intervalos no uniformes
222
1212
101
nnn
xfxfh
xfxfh
xfxfhI
15
Si los datos no son igualmente espaciados, puede aplicarse
la regla del trapecio a cada intervalo y sumar los resultados
hi = ancho del intervalo i-ésimo
Si algunos intervalos consecutivos son iguales, se puede
aproximar la integral usando regla de Simpson.
También se podría hacer una partición uniforme interpolando
con alguna función apropiada
Métodos Numéricos 2016
EXTRAPOLACIÓN DE RICHARDSON
Sirve para mejorar la estimación de la integral utilizando una combinación de estimaciones para distintos valores del paso de integración, h.
Al usar regla del trapecio, para integrandos finitos con derivadas finitas dentro del intervalo de integración vale
a, b, c ctes que no dependen de f(x)
Usando h1 y h2
Sustituyendo,
16
...642 chbhahhII T
)( 122
2
2
1
2
22 hIhI
hh
hhII
222
211 , ahhIIahhII TT
2
22
1
12
hh
hIhIa
2
22211 ahhIahhI TT
con O(h4)
Métodos Numéricos 2016
5
EXTRAPOLACIÓN DE RICHARDSON
21
2
hh
17
Se puede escribir
Si consideramos
122212
1hIhIhII
123
1
3
4hIhII
122
2
1
2
1
1hIhI
hh
hII
Métodos Numéricos 2016
Calcular la integral de
En el intervalo: a = 0, b = 0.8
Ej:
n h I
1 0.8 0.1728
2 0.4 1.0688
4 0.2 1.4848
18
5432 400900675200252.0 xxxxxxf
3674.11728.03
10688.1
3
4I
6405.1vI
6235.10688.13
14848.1
3
4I
Métodos Numéricos 2016
Integración de Romberg
Es una generalización de la extrapolación de Richardson,
se genera una estimación de la integral dentro de una
tolerancia de error especificada. La idea es hacer sucesivas
estimaciones para valores de h cada vez mas pequeños y
mejorar las aproximaciones a la integral.
Si hi+1 = hi /2
Forma General:
K = 2,…,j , j = 2,3,4,…n
19
14
4
1
1,11,1
,
k
kjkjk
kj
III
Ij,k-1: integral más exacta
Ij-1,k-1: integral menos exacta
Ij,k: integral mejorada
k: nivel de la integración
Métodos Numéricos 2016
Calcular la integral de
en [0,0.8]
Ej:
n h O(h2) O(h4) O(h6)
1 0.8 0.1728
2 0.4 1.0688 1.3674
4 0.2 1.4848 1.6235 1.6405
20
5432 400900675200252.0 xxxxxxf
3674.11728.03
10688.1
3
42,2 I
6405.1vI
6235.10688.13
14848.1
3
43,2 I
Ejemplo:
6405.1)3675.1(15
1)6235.1(
15
163,3 I
Métodos Numéricos 2016
6
Integración de Romberg
Los sucesivos valores Ij,k se calculan por filas:
I1,1
I2,1 I2,2
I3,1 I3,2 I3,3
I4,1 I4,2 I4,3 I4,4
. … ….. ….. …..
Romberg finaliza cuando 𝐼𝑘,𝑘−1 − 𝐼𝑘,𝑘 < 𝜖, para un 𝜖 >0
21 Métodos Numéricos 2016
Cuadratura de Gauss
22
)()()()()(1
fInxfdxxpdxxffI i
n
i
i
b
a
n
b
a
Métodos Numéricos 2016
Cuadratura de Gauss
Definición: Dada integral generalizada con
ω(x)≥0 , si la aproximamos con una suma de cuadratura
diremos que la fórmula tiene grado de precisión m
si es exacta siempre que f(x) sea un polinomio de grado ≤m
Sin perdida de generalidad vamos a considerar integrales con ω(x) = 1 en el intervalo [-1,1], o sea
queremos
En(f) =0 para polinomios del mayor grado posible
En(f) =
23
b
a
dxxfxI )()(
)(1
i
n
i
i xf
1
1
)( dxxf
0)(1
i
n
i
i xf
1
1
)( dxxf
)(1
i
n
i
i xf
Métodos Numéricos 2016
Cuadratura de Gauss
24
1
1
1
1
dx
11
1
1
xxdx
)0(2)(
1
1
fdxxf
)3
3()
3
3()(
1
1
ffdxxf
Métodos Numéricos 2016
7
En general para n ≥ 3
25
)(1
i
n
i
i xf
1
1
dxx j
1
1
j
x j
22,...,2,01
2
12,...,3,10
njj
nj
Sistema de ecuaciones no lineales
Teorema: Las fórmulas de cuadratura pueden tener
un grado máximo de precisión 2n-1, se obtiene sii los n nodos
xi son los ceros de pn(x), polinomio ortogonal sobre [a,b] y la
fórmula es interpolatoria.
Una vez conocidos los nodos, los αi se calculan
)(1
i
n
i
i xf
nidxxx
xp
xp
b
a i
n
in
i ,...,2,1)(
)(´
1
Cuadratura de Gauss
Métodos Numéricos 2016
Cuadratura de Gauss
En resumen:
Una fórmula de cuadratura con n nodos es exacta para
polinomios de grado 2n-1 si y sólo si:
la fórmula es interpolatoria, y
los nodos son las raíces del n-ésimo polinomio
ortogonal respecto del producto escalar inducido por
ω(x) en [a,b].
26
n
i
ii
b
axfdxxfx
1
)( )( )(
Métodos Numéricos 2016
Fórmulas de Cuadratura de Gauss
27
CUADRATURA INTERVALO F. PESO
Gauss-Legendre [a,b]=[-1,1] w(x)=1
Gauss-Chebyshev [a,b]=[-1,1] w(x)=1/(1-x2)1/2
Gauss-Jacobi [a,b]=[-1,1] w(x)=(x-1)a(x+1)b
Gauss-Laguerre [a,b]=[0,+) w(x)=xae-x
Gauss-Hermite [a,b]=(- , +)
2
)( xexw
Métodos Numéricos 2016
Podemos hacer cambio de variable, dado un intervalo a,b
cualquiera:
la fórmula de cuadratura será
En este caso:
Cuadratura de Gauss- Legendre
dtabab
tab
fdxxf
b
a
)2
)(22
()(
1
1
n nodos coeficientes
2 0.5773502692 1.0000000000
3 0.7745966692 0.5555555556
0.0000000000 0.8888888889
4 0.8611361159 0.3478548451
0.3399810436 0.6521451549
b
a
n
i
ii fEab
xab
fab
dxxf1
)(22
2
)(
28 Métodos Numéricos 2016
8
Llevamos de [0, 0.8] a [-1, 1]
29
5432 400900675200252.0 xxxxxxf
6405.1vI
Ejemplo:
Dada en [0, 0.8]
dtab
tab
fab
dxxf
b
a
)22
()2
()(
1
1
dttfdxxf )2
8.0
2
8.0()
2
8.0()(
1
1
8.0
0
b
a
n
i
ii xfdxxf
1
4.04.04.0)( O sea que
Para n = 2, 3/1ix 8226.13058.15167.02 GI1i,
, Para n = 3, 0,5
3ix9
8,9
5i
,
, 6405.13 GI
Métodos Numéricos 2016
Error para Cuadratura de Gauss
El error para las fórmulas de Gauss
Esto significa que con n puntos podemos integrar
exactamente hasta un polinomio de grado 2n-1.
30
<ba<
dxxwxpn
ffE
b
an
n
)()(
)!2(
)( )( 2
)2(
Métodos Numéricos 2016
Cuadratura de Gauss
- Su mayor ventaja es la eficiencia en el cálculo, el doble
de rápido que las de Newton Cotes
- Además permite calcular integrales con singularidades
- Una limitación de Cuadratura de Gauss es que debe
evaluarse en puntos específicos, es decir que debemos
conocer la función, lo cual muchas veces no ocurre
cuando trabajamos con datos experimentales
- Es difícil de calcular su error
31 Métodos Numéricos 2016
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