rectas e planos
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Rectas e planos
Dois pontos distintos do plano ou do espaço definem uma recta
Modos de definir um plano
Um plano fica definido por:
• Um ponto e uma recta que não o contenha
• Duas rectas paralelas mas não coincidentes
• Duas rectas concorrentes
Definições (rectas):
Paralelismo:
No espaço duas rectas são paralelas se satisfazem as seguintes condições:
- são complanares
- não têm nenhum ponto comum, ou são coincidentes
Definições (rectas):
Perpendicularidade:
No espaço duas rectas são perpendiculares se por um ponto qualquer é possível traçar duas rectas perpendiculares, paralelas às duas rectas dadas
Perpendicularidade:No espaço duas rectas são perpendiculares se por um ponto qualquer é possível traçar duas rectas perpendiculares paralelas às duas rectas dadas
AB
E F
D C
GH
Definição de perpendicularidade entre rectas: 2 rectas são _|_s se por um ponto qualquer (B) forpossível traçar 2 rectas _|_s (BC_|_BA) paralelas àsrectas dadas( BC//FG e BA//DC)
Propriedades:1- Duas rectas paralelas (//s)a uma terceira são
paralelas entre si
2- Dadas duas rectas //s, todo o plano que intersecta uma, intersecta a outra
3- Se duas rectas são _|_s, toda a recta paralela a uma é _|_ à outra
4- Se duas rectas são //s, toda a recta _|_ a uma é _|_ à outra
1- Duas rectas paralelas (//s)a uma terceira são paralelas entre si
AB
E F
D C
GH
2 rectas paralelas a uma terceira são paralelas entre si
DC // EF porqueDC // AB EF // AB
2- Dadas duas rectas //s, todo o plano que intersecta uma, intersecta a outra
AB
E F
D C
GH
Dadas 2 rectas paralelas, todo o plano que intersecta uma intersecta outra
DC // EF o plano BCGFintersecta DC em C e EFem F
3- Se duas rectas são _|_s, toda a recta paralela a uma é _|_ à outra
AB
E F
D C
GH
Se 2 rectas são _|_ s, toda a recta paralela a uma é _|_ à outra
DC_|_ FG , então
HG // DC e HG_|_FG ouBC // FG e BC _|_DC
Paralelismo:
4- Se duas rectas são //s, toda a recta _|_ a uma é _|_ à outra
BA
E F
D C
GH
DC // EF entãoBC _|_ DC e BC _|_ EF
Se 2 rectas são paralelas, todo a recta _|_ a uma é _|_ à outra
Definições (recta e plano):
• Uma recta é paralela a um plano se não é secante ao plano
Perpendicularidade:
• Uma recta é perpendicular a um plano se é perpendicular a todas as rectas do plano
Perpendicularidade:Uma recta é perpendicular a um plano se é perpendicular a todas as rectas do plano
AB
E F
D C
GH
Definição de perpendicularidade entre recta e plano: 1 recta é _|_ a um plano se é _|_ a todas as rectas doplano
DC _|_ ao plano BCGF pqé _|_ a todas rectas doplano (CG, FG,FB e BC)
Propriedades:1- Critério de paralelismo entre recta e plano: Se existir, num plano, uma recta paralela a uma recta dada, que não está contida nesse plano, a recta e o plano são paralelos
2- Dadas duas rectas não complanares, existe um e um só plano que contém uma e é paralelo à outra
3- Critério de perpendicularidade entre recta e plano: Se uma recta é perpendicular a duas rectas concorrentes de um plano, então a recta é perpendicular ao plano.
Critério de paralelismo entre recta e plano:1- Se existir, num plano, uma recta paralela a uma recta dada, que não está contida nesse plano, a recta e o plano são paralelos
AB
E F
D C
GH
Critério de paralelismo entre recta e plano:Uma recta exterior a um plano é paralela a esse plano, se for paralela auma recta contida no plano
AD não pertence ao plano BCFmas BC // AD, logo AD// BCF
2- Dadas duas rectas não complanares, existe um e um só plano que contém uma e é paralelo à outra
BA
E F
D C
GH
AD e CG são não complanares,existe o plano BCF que contémCG e é // AD
Dadas duas rectas não complanares, existe um e um só planoque contém uma e é paralelo à outra
3- Critério de perpendicularidade entre recta e plano: Se uma recta é perpendicular a duas rectas concorrentes de um plano, então a recta é perpendicular ao plano.
BA
E F
D C
GH
Se uma recta é _|_ a duas rectas concorrentes de um plano,então a recta é _|_ ao plano
Critério de perpendicularidade entre recta e plano:
Se DC _|_CG e DC_|_BC
então DC _|_BCGF
Definições (planos):
Paralelismo:
Dois planos são paralelos se não são secantes
Perpendicularidade:
Dois planos e são perpendiculares se em existe uma recta perpendicular a e se em existe uma recta perpendicular a
Perpendicularidade: Dois planos e são perpendiculares se em existe uma recta perpendicular a e se em existe uma recta perpendicular a
AB
E F
D C
GH
ABD _|_ BCF porque DC _|_ BCF e BF_|_ABD
Definição de perpendicularidade entre dois planos:Dois planos são _|_s se em cada um deles existir umarecta _|_ ao outro plano
Propriedades:
Critério de paralelismo entre planos
1- Se duas rectas concorrentes de um plano são paralelas a outro plano, então os planos são paralelos
2- Existe um só plano que passa por um ponto dado e é paralelo a um plano dado
Critério de paralelismo entre planos1- Se duas rectas concorrentes de um plano são paralelas a outro plano, então os planos são paralelos
BA
E F
D C
GH
Critério de paralelismo entre planos:
Se duas rectas concorrentes de um plano são //s a outro plano,então os planos são //s.
Se AD e DC são concorrentes e //s a EFGHentão ABCD//EFGH
2- Existe um só plano que passa por um ponto dado e é paralelo a um plano dado
AB
E F
D C
GH
Pelo ponto dado D só passa o plano ADEque é paralelo ao plano BCF
Existe um só plano que passa por um ponto dado eé paralelo a um plano dado.
Propriedades (cont.):
3- Se um plano intersecta dois planos, as rectas de intersecção são paralelas
4- Critério de perpendicularidade entre planos:
Se num plano existe uma recta perpendicular a outro plano, então os planos são perpendiculares
3- Se um plano intersecta dois planos, as rectas de intersecção são paralelas
AB
E F
D C
GH
Se um plano (amarelo) intersecta dois planosparalelos (azuis) então as rectas de intersecçãosão paralelas.
4- Critério de perpendicularidade entre planos:Se num plano existe uma recta perpendicular a outro plano, então os planos são perpendiculares
BA
E F
D C
GH
Se num plano existe uma recta _|_ a outro plano,então os planos são _|_ s.
Critério de perpendicularidade entre planos:
Se DC _|_CG e DC_|_BC
então DC _|_BCGF, logoo plano ABCD_|_BCGF
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