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DEDICATORIA:
Con todo mi cariño y mi amor para las personasque hicieron todo en la vida para que nosotroscumplieramos nuestros sueños, por motivarnos ydarnos su apoyo en todo momento.
A nuestros padres con mucho Amor.
RESUMEN
El Análisis Estructural es la parte del proceso de proyecto que comprende el diseño, cálculo y comprobación dela estructura. Es esta una disciplina técnica y científica que permite establecer las condiciones de idoneidad de laestructura, respecto a su cometido o finalidad. Por tanto, tiene establecido su objeto en la estructura y su finalidaden el cálculo como comprobación de lo diseñado.En el presente trabajo se presentan las experiencias obtenidas durante el proyecto de desarrollo e implementaciónpara la enseñanza del Método de la Rigidez de un programa de características didácticas que, funciona en elambiente MATLAB, con capacidad para la resolución de estructuras de barras (reticulados y pórticos en 3D)
Índice general
I PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 80.1. El problema de la investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
0.2.1. Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90.2.2. Objetivos Específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
II FUNDAMENTO TEÓRICO 10
1. CONCEPTOS BASICOS DE DIFERENTES TIPOS DE ESTRUCTURA 111.1. ANTECEDENTES TEORICOS PARA EL ANALISIS DEL METODO RIGIDEZ . . . . . . . . . 11
1.1.1. Algunas visiones del conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.2. Sistema de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.3. Convencion de Signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.4. Grados de Libertad (DOF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.5. Matrix Rigedez de Elemento[ke] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.6. Matrix Rigedez de La Estructura[K] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.7. Vector Carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.8. Desplazamiento del Vector[U ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.9. Calculo Desconocido Desplazamiento y Reaccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.10. Fuerzas en Los Miembros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2. MATRIX DE RIGIDEZ DE UNA VIGA (BEAM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3. MATRIX DE RIGIDEZ DE UN PORTICO (FRAME 2D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1. Matriz de rigidez del elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.2. Matriz de transformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ARMADURA (TRUSS 2D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.1. Matriz de rigidez del elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.2. Matriz de transformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5. MATRIZ DE RIGIDEZ DE PORTICO ESPACIAL (FRAME 3D) . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5.1. Matriz de rigidez del elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5.2. Matriz de transformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6. MATRIZ DE RIGIDEZ DE ARMADURA ESPACIAL (TRUSS 3D) . . . . . . . . . . . . . . . . 191.6.1. Matriz de rigidez del elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.6.2. Matriz de transformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA PARRILLA (GRID) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
III MEMORIA DE CALCULO DE LAS ESTRUCTURAS 23
2. APLICACION DE UNA BEAM POR EL METODO RIGIDEZ 242.1. EJEMPLO DE UN VIGA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.1. Solucion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3
ÍNDICE GENERAL ÍNDICE GENERAL
3. APLICACION DE UN FRAME 2D POR METODO REGIDEZ 403.1. EJEMPLO DE UN PORTICO 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.1. Solucion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4. APLICACION DE TRUSS 2D METODO RIGIDEZ 474.1. EJEMPLO DE UNA ARMADURA 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1.1. Solucion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5. SOLUCION DE FRAME 3D METODO RIGIDEZ 605.1. EJEMPLO DE UN PORTICO 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.1.1. Solucion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6. APLICACION DE TRUSS 3D METODO RIGIDEZ 646.1. EJEMPLO DE UNA ARMADURA 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.1.1. Solucion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7. APLICACION DE UN GRID POR METODO RIGIDEZ 787.1. EJEMPLO DE UN GRID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.1.1. Solucion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
IV CONCLUSIONES 84
V RECOMENDACIONES 86
VI BIBLIOGRAFIA 88
UNSCH4
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
Índice de figuras
1.1. Sistema de Coordenadas Globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2. Sistema de Coordenadas Locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3. Convension de Signos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4. Sistema de Grados de Libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5. Viga Idealizada De Una Estructura Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6. Portico 2D Idealizada De Una Estructura Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7. Armadura 2D Idealizada De Una Estructura Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.8. Portico 3D Idealizada De Una Estructura Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.9. Armadura 3D Idealizada De Una Estructura Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.10. Parrilla Idealizada De Una Estructura Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.11. Esquema Tipica de Una Parrilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.12. Elemento Sometido a Flexion y Corte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.13. Elemento de la Primera Columna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.14. Elemento de la Segunda Columna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.15. Elemento de la Tercera Columna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.16. Elemento de la Cuarta Columna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1. Viga con Diferentes Cargas en los Mienbros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2. Seccion de la Viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3. Notacion de los Grados de la Viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4. Caracterizacion de la Viga Para Obtener Vector de Cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5. Obtencion del Momento de Empotramiento Elemento I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.6. Obtencion del Momento de Empotramiento Elemento II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.7. Obtencion del Momento de Empotramiento Elemento III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.8. Viga Con Sus Respectivas Fuerzas Primarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.9. Viga con Sus Respectivos Fuerzas y Momentos en Sus Nodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.10. Seccion de Viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.11. Viga Con Sus Fuerzas Externas en Los Nodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.12. Seccionamiento en Del Elemento I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.13. Seccionamiento en Del Elemento II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.14. Seccionamiento en Del Elemento II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.15. Seccionamiento en Del Elemento III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.16. Seccionamiento en Del Elemento III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.17. Viga Con Sus Respectivas Reacciones y Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.18. Momento Flector de la Viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.19. Fuerza Cortante De La Viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.20. Fuerzas Axiales De La Viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1. Portico Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2. Numeracion Grados y Elementos del Portico Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3. Elemento Cargado con Una Fuerza Distribuida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4. Portico Con Sus Cargas Puestas en su Nodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.5. Portico Con Sus Respectivas Reaciones y Desplazamientos en Sus Nodos . . . . . . . . . . . . . 443.6. Diagram Fuerza Cortante del Portico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.7. Diagrama de Momento Flector del Portico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5
ÍNDICE DE FIGURAS ÍNDICE DE FIGURAS
3.8. Portico Con su Respectiva Fuerzas Axiales en Los Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.1. Aramdura Plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2. Designacion De Los Grados de Libertad de la Armadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.3. Elemento (1) Aislado de La Armadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.4. Elemento (2) Aislado de La Armadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.5. Elemento (3) Aislado de La Armadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.6. Elemento (4) Aislado de La Armadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.7. Elemento (5) y (6) Aislado de La Armadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.8. Elemento (7) Aislado de La Armadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.9. Armadura Con Sus Respectivas Fuerzas Internas y Externas Finales . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1. Portico Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.2. Numeracion de los Grados de Libertad de Portico Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.1. Armadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.2. Armadura Con Sus Respectivas Numeraciones en Los Nodos y Elementos . . . . . . . . . . . . . 656.3. Elemento (1) Aislado de La Armadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.4. Elemento (2) Aislado de La Armadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.5. Elemento (3) Aislado de La Armadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.6. Elemento (4) Aislado de La Armadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.7. Elemento (5) Aislado de La Armadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.8. Elemento (6) Aislado de La Armadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.9. Elemento (7) Aislado de La Armadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.10. Deformada de La Armadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.11. Equilibrio de Elementos de La Armadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.12. Equilibrio de Nodos de (IV) y (VI) De Armadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.13. Equilibrio de Nodos de (I) y (II) DeArmadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.14. Equilibrio de Nodos de (V) y (VII) DeArmadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.15. Equilibrio de Nodos de Los Apoyos (I) y (IV) DeArmadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . 756.16. Equilibrio de Nodos de Los Apoyos (II) y (VI) DeArmadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . 756.17. Armadura 3D Con Sus Respectivas Reacciones y Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.1. Parrilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.2. Momento de Empotramiento del Elemento (1-2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.3. Momento de Empotramiento del Elemento (1-3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.4. Diagrama de Fuerza Cortante de la Parrilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827.5. Diagrama de Momento Flector de la Parrilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827.6. Diagrama de Fuerza Axial de la Parrilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
UNSCH6
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
INTRODUCCIÓN
El análisis estructural es la columna vertebral de cualquier diseño de ingeniería al permitir que uno sabe deantemano el comportamiento de cualquier estructura de ingeniería bajo diferentes condiciones de carga a la quela estructura se encontrará a lo largo de su vida. Este informe muestra cómo podría ser definido y analizado unaestructura usando el programa MATLAB por el método de la rigidez .Por otra parte cómo un usuario puede uti-lizar este programa como una herramienta de aprendizaje para método rigidez .Matlab ha desarrollado un análisisestructural estático elástica de porticos y armaduras en 2D y 3D asi como tambien de una parrillas.
En la etapa de procesamiento, la entrada de datos se utiliza para preparar matrices elemento de rigidez ytransformación de cada uno en sistema de coordenadas globales antes suma para obtener la matriz de rigidezestructural global. Carga y el desplazamiento matriz es preparada. A continuación, mediante el uso de la fuerzade desplazamiento estándar relación y matriz de particionamiento, desplazamientos desconocidos, reacciones y secalculan las fuerzas miembros.
7
PARTE IPLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
8
0.1. EL PROBLEMA DE LA INVESTIGACIÓN
0.1. El problema de la investigaciónElaborar una subrutina o programa que efectúe una adaptación al código en MATLAB, el cual resuelva los
dierentes tipos de estructuras como: BEAM, PORTICO 2D, TRUUS 2D, PORTICO 3D,TRUSS 3D y GRID conel método matricial de la rigidez, de tal modo que este sea capaz de resolver
0.2. Objetivos
0.2.1. Objetivo GeneralEl objetivo de este trabajo es desarrollar un análisis estructural basado en un programa MATLAB, que pueda
resolver cualquier tipo de estructura en 2D 3D y grid.
0.2.2. Objetivos Específicos
1 Calcular parámetros de rigideces, momento de empotramiento y deflexiones por el método de la rigideces.
2 Comparar los resutados obtenidos con el metodo rigidez y el programa matlab.
3 Identificar las propiedades paramétricas de las diferente estructuras analizadas.
4 La adición de todas las matrices elemento de rigidez en DOF pertinente para formar una matriz de rigidezestructural (K).
5 Comparar los resultados de los momentos finales, fuerzas internas y flechas con el programa realizado enmatlab.
6 Formación de elemento de carga Vector (Po) en coordenadas locales para viga, portico, armadura,portico3D,armadura 3D y parrilla.
7 Transformación de carga de elementos del vector en coordenadas globales para viga, portico, armadu-ra,portico 3D,armadura 3D y parrilla.
8 Formación de Nodal vector de desplazamiento (U).
9 Resolviendo P=KU para conseguir desplazamientos desconocidos en las juntas sin restricciones.
10 Haciendo uso de desplazamientos para el paso 6 para obtener reacciones en constreñido articulaciones.
11 Transformación de los desplazamientos globales a los desplazamientos locales a calcular las fuerzas en losmiembros.
UNSCH9
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
PARTE IIFUNDAMENTO TEÓRICO
10
CAPÍTULO 1
CONCEPTOS BASICOS DE DIFERENTES TIPOS DEESTRUCTURA
1.1. ANTECEDENTES TEORICOS PARA EL ANALISIS DEL METO-DO RIGIDEZ
1.1.1. Algunas visiones del conjuntoPara el análisis de cualquier estructura, se modela como un conjunto de simple, idealizada elementos conecta-
dos a los nodos. Análisis por el método de la rigidez puede ser directa dividido en pasos siguientes.
1 La formulación de la matriz de rigidez elemental en coordenadas locales (Ke).
2 Formación de elemento de matriz de transformación T.
3 Transformación de la matriz de rigidez del elemento en coordenadas globales (Ke).
4 La adición de todas las matrices elemento de rigidez en DOF pertinente para formar una matriz de rigidezestructural (K).
5 Formación del vector de carga nodal (P) en coordenadas globales.
6 Formación de elemento de carga Vector (Po) en coordenadas locales para marcos solamente.
7 Transformación de carga de elementos del vector en coordenadas globales para marcos solamente.
8 Formación de Nodal vector de desplazamiento (U).
9 Resolviendo P=KU para conseguir desplazamientos desconocidos en las juntas sin restricciones.
10 Haciendo uso de desplazamientos para el paso 6 para obtener reacciones en constreñido articulaciones.
11 Transformación de los desplazamientos globales a los desplazamientos locales a calcular las fuerzas en losmiembros.
11
1.1. ANTECEDENTES TEORICOS PARA EL ANALISIS DEL METODO RIGIDEZ CAPÍTULO 1
1.1.2. Sistema de CoordenadasGlobal: Estructura nodos siempre se describen en coordenadas globales. podría ser expresada por las letras
mayúsculas de X, Y y Z.
Figura 1.1: Sistema de Coordenadas Globales
Locales: fuerzas internas de elementos se describen en las coordenadas locales. Se representa por letras minús-culas de x, y y z.
Figura 1.2: Sistema de Coordenadas Locales
Estructuras 2D se definirán en el plano X-Y donde como estructuras 3D serán se define en X-Y-Z plano.
1.1.3. Convencion de SignoFuerza horizontal es positiva si se dirige a la derecha, fuerza vertical es positivo hacia arriba y momento es
positivo en la dirección hacia la izquierda como se muestra en la figura 3.3.
Figura 1.3: Convension de Signos
UNSCH12
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
1.1. ANTECEDENTES TEORICOS PARA EL ANALISIS DEL METODO RIGIDEZ CAPÍTULO 1
1.1.4. Grados de Libertad (DOF)Se define como un desplazamiento independiente de un nodo a lo largo de X, Y o Z axis.These desplazamientos
son siempre independientes de cada other.For ejemplo, un soporte de la bisagra sólo puede tener un desplazamiento(rotación θ ) .Displazaniento Está siendo utilizado en un contexto generalizado aquí, ya que podría ser rotación,así como translation. Displazamiento en una estructura depende de tipo de estructura, ya que podría ser uno, dos oninguno. DOF tanto en el sistema local y global de coordenadas sigue siendo igual para un particular, caso. Peroen el caso de armazones este no es el caso ya que sólo hay uno axial deformación en coordenadas locales y doso tres traducciones en cada nodo en 2D y 3D cerchas respectivamente. Los grados de libertad asociados con cadatipo de elemento y su numeración se puede resumir como se muestra en la Fig (3.4)
Figura 1.4: Sistema de Grados de Libertad
1.1.5. Matrix Rigedez de Elemento[ke]
Cada elemento de propiedades de rigidez se calculan en función de la naturaleza del elemento DOF en cadanodo, estas propiedades se agrupan juntos para formar un elemento matriz de rigidez.
1.1.6. Matrix Rigedez de La Estructura[K]
Matrices de rigidez de elementos se luego se ha completado en una sola matriz que gobierna el comportamientode toda la estructura idealizada, conocida como matriz de rigidez estructural. Esto se obtiene por multiplicación deelemento de matriz de rigidez a la matriz de transformación como en (3.1a)
K = T T × ke×T (1.1)
K =
K11 K12 · · · K1nK21 K22 · · · K2nK31 K32 · · · K3n
......
. . ....
Km1 Km2 · · · Kmn
(1.2)
UNSCH13
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
1.1. ANTECEDENTES TEORICOS PARA EL ANALISIS DEL METODO RIGIDEZ CAPÍTULO 1
1.1.7. Vector CargaCargar vector se calcula de manera que las fuerzas conocidas y desconocidas son reacciones dispuestos como.
P =
Pf· · ·Ps
(1.3)
Pf :are the known forcesPf :are the unknown rections
1.1.8. Desplazamiento del Vector[U ]
El desplazamiento Vector se obtiene mediante la colocación de desplazamiento desconocido en la parte superiory después de que los desplazamientos conocidos como
U =
U f· · ·Us
(1.4)
U f :are the unknown displacementsU f :are the known displacements
1.1.9. Calculo Desconocido Desplazamiento y ReaccionMatriz de rigidez estructural se reordena con respecto al desconocido desplazamientos y después se repartió
con respecto a la desconocida y conocida de tal manera que los desplazamientos.
Pf· · ·Ps
=
K f f... K f s
· · · · · · · · ·
Ks f... Kss
U f· · ·Us
(1.5)
U f =[K f f]−1×
(Pf −K f sUs
)(1.6)
Ps = Ks fU f +KssUs (1.7)
1.1.10. Fuerzas en Los MiembrosUna vez conocidos los desplazamientos nodales, fuerzas en los miembros son calculados por utilizando la
siguiente ecuación estándar.
P = KeU (1.8)
Pe = T P (1.9)
SOPe = T keU (1.10)
Whe are Pe denote the member forces
UNSCH14
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
1.2. MATRIX DE RIGIDEZ DE UNA VIGA (BEAM) CAPÍTULO 1
1.2. MATRIX DE RIGIDEZ DE UNA VIGA (BEAM)Una VIGA se define como una estructura larga y recta que se carga perpendicular a su eje longitudinal .
Las cargas se aplican generalmente en un plano de simetría de la sección transversal de la viga, causando a susmiembros a ser sometido sólo a la flexión momentos y fuerzas cortantes
Figura 1.5: Viga Idealizada De Una Estructura Real
1.3. MATRIX DE RIGIDEZ DE UN PORTICO (FRAME 2D)Un marco plano se compone de elementos rectos unidos entre sí por rígido o conexiones articuladas. Tienen
carga y reacciones que actúa siempre en el plano de la estructura. Debido a las cargas de la estructura puede sersometida a una fuerza axial así como de corte y momentos de flexión. Así marco presenta el comportamiento detanto barra y viga. Matriz de rigidez del bastidor se puede obtener combinación de viga y viga avión elementorigidez.
Una unión rígida puede transmitir axial, cortante y flexión fuerzas de momento. elemento puede ser cargado enlos nodos, así como entre los nodos tanto por cargas puntuales como así como cargas distribuidas uniformementeque podrían ser transferidos a las cargas nodales por las fórmulas estándar.
Figura 1.6: Portico 2D Idealizada De Una Estructura Real
UNSCH15
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
1.4. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ARMADURA (TRUSS 2D) CAPÍTULO 1
1.3.1. Matriz de rigidez del elementoEn el local de coordinar elemento del sistema matriz de rigidez de un marco de avión elemento puede ser
denotado por:
[k] =
AEL 0 0 −AE
L 0 00 12EI
L36EIL2 0 − 12EI
L36EIL2
0 6EIL2
4EIL 0 − 6EI
L22EI
L−AE
L 0 0 AEL 0 0
0 − 12EIL3 − 6EI
L2 0 12EIL3 − 6EI
L2
0 6EIL2
2EIL 0 − 6EI
L24EIL2
1.3.2. Matriz de transformaciónMatriz de transformación de un bastidor planar se denota por la fórmula estándar como:
{T}=
cos(θ) sin(θ) 0 0 0 0−sin(θ) cos(θ) 0 0 0 0
0 0 1 0 0 00 0 0 cos(θ) sin(θ) 00 0 0 −sin(θ) cos(θ) 00 0 0 0 0 1
1.4. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ARMADURA (TRUSS 2D)
Una armadura de avión es una estructura articulada pin que se encuentra sólo en un único plano (XY). Bragueroplano está formado por miembros conectados en bisagras. Por lo general, formar un patrón triangular con la cargay miembro acostado en el mismo plano en las juntas que se denominan como nodos.
Figura 1.7: Armadura 2D Idealizada De Una Estructura Real
1.4.1. Matriz de rigidez del elementoUna conexión de bisagra sólo puede transmitir fuerzas de un miembro a otro miembro, pero no el momento.
Para fines de análisis, la armadura se carga en el articulaciones. En el local de coordinar elemento del sistemamatriz de rigidez de un plano elemento de armazón puede ser denotado por:
[ke] =EAL
[1 −1−1 1
]
UNSCH16
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
1.5. MATRIZ DE RIGIDEZ DE PORTICO ESPACIAL (FRAME 3D) CAPÍTULO 1
1.4.2. Matriz de transformaciónMatriz de transformación de una armadura plana se denota por la fórmula estándar como:
{T}=
cos(θ) sin(θ) 0 0−sin(θ) cos(θ) 0 0
0 0 cos(θ) sin(θ)0 0 −sin(θ) cos(θ)
1.5. MATRIZ DE RIGIDEZ DE PORTICO ESPACIAL (FRAME 3D)Marcos espaciales son las estructuras cuyos miembros podrían ser dirigidos en cualquier dirección en el es-
pacio y podrían ser conectados por conexiones de ambos rígido y el tipo flexible. Carga externa sobre las artic-ulaciones, así como en los miembros pueden estar en cualquier dirección arbitraria en el espacio tridimensional.Como resultado de aplicada carga externa estas estructuras son sometidas a momentos de flexión sobre su los dosejes principales, las fuerzas axiales, de torsión y fuerzas de cizallamiento en tanto el capital direcciones. Deberemarcarse que esos parámetros son distintos a los calculados para las barras prismáticas; por ejemplo, en la vigamostrada se tiene:Cualquier articulación sin apoyo de un marco tridimensional puede traducir así como girar encualquier dirección. Así seis grados de libertad siempre están asociadas a ninguna conjunta de una estructura demarco de los cuales tres son traducciones en X, Y y Z direcciones y otros tres son rotaciones alrededor de los ejesanteriores. Las articulaciones de un marco de espacio pueden numerarse de cualquier manera, sin embargo la gra-dos de libertad están numerados tal que al primer nodo de cada elemento primer número saldrá a la traducción X,segundo número será para la traducción Y y tercer número se adjudicará a Z dirección de traducción. Del mismomodo cuarta número será para rotación alrededor de X, quinto número será para rotación alrededor de Y y sextode numeración se le dará a la Z dirección de giro. Moda similar se llevarán a cabo en cada junta para numerar losgrados de libertad
Figura 1.8: Portico 3D Idealizada De Una Estructura Real
UNSCH17
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
1.5. MATRIZ DE RIGIDEZ DE PORTICO ESPACIAL (FRAME 3D) CAPÍTULO 1
1.5.1. Matriz de rigidez del elementoEn el local de coordinar elemento del sistema matriz de rigidez de un elemento de estructura espacial puede
ser indicado por un elemento bisymmetric dimensiones 12x12 tres
Ke=
AEL 0 0 0 0 0 −AE
L 0 0 0 0 00 12EIZ
L3 0 0 0 6EIZL2 0 − 12EIZ
L3 0 0 0 6EIZL2
0 0 12EIYL3 0 − 6EIY
L2 0 0 0 − 12EIYL3 0 − 6EIY
L2 00 0 0 GJ
L 0 0 0 0 0 −GJL 0 0
0 0 − 6EIYL2 0 4EIY
L 0 0 0 − 6EIYL2 0 2EIY
L 00 6EIZ
L2 0 0 0 4EIZL 0 − 6EIZ
L2 0 0 0 2EIZL
−AEL 0 0 0 0 0 AE
L 0 0 0 0 00 − 12EIZ
L3 0 0 0 − 6EIZL2 0 12EIZ
L3 0 0 0 − 6EIZL2
0 0 − 12EIYL3 0 6EIY
L2 0 0 0 12EIYL3 0 6EIY
L2 00 0 0 −GJ
L 0 0 0 0 0 GJL 0 0
0 0 − 6EIYL2 0 2EIY
L 0 0 0 6EIYL2 0 4EIY
L 00 6EIZ
L2 0 0 0 2EIZL 0 − 6EIZ
L2 0 0 0 4EIZL
1.5.2. Matriz de transformaciónMatriz de transformación de un marco de espacio se denota por la fórmula estándar como:
T =
r 0 0 00 r 0 00 0 r 00 0 0 r
Donde “r”es la matriz de rotación que depende el ángulo entre eje Y locales y Y-eje global del elemento. Nodode inicio Elemento es “i” nodo final es “j” ,”z”
Fórmula estándar para la rotación de un elemento de 3D con ángulo α = 0 entre eje local y global y Y estádada por:
L =
√(Xi−X j)
2 +(Yi−Yj)2 +(Zi−Z j)
2
CX =Xi−X j
L CY =Yi−Y j
L CZ =Zi−Z j
L
CXZ =√
C2X +C2
Y
r =
CX CY CZ
− (CX×CY×cosα+CZ×senα)CXZ
CY × cosα − (CY×CZ×cosα+CX×senα)CXZ
− (CX×CY×cosα+CZ×senα)CXZ
−CY × cosα − (CY×CZ×cosα+CX×senα)CXZ
Fórmula estándar para la rotación de un elemento de 3D con ángulo de α = 90 o 270 entre eje local y globaly
Y está dada por:
r =
0 CY 0−CY × cosα 0 senα
CY × cosα 0 cosα
UNSCH18
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
1.6. MATRIZ DE RIGIDEZ DE ARMADURA ESPACIAL (TRUSS 3D) CAPÍTULO 1
1.6. MATRIZ DE RIGIDEZ DE ARMADURA ESPACIAL (TRUSS 3D)Una armadura de cubierta espacial es una estructura articulada pasador que se encuentra en una de tres dimen-
siones plano de cercha (X, Y, y Z) .espacio se compone de miembros prismáticos conectados en las juntas. Comocerchas planas cerchas espaciales también se cargan a sólo sus articulaciones con los miembros que tenga la ten-sión o compresión fuerzas en ella. El análisis estructural de cerchas espaciales y aviones es idéntico. En armadurade cubierta espacial, la ubicación de cada nodo está representado por tres mundial coordenadas (X, Y, y Z). Cadanodo en una armadura de cubierta espacial puede traducir en cualquier dirección en un espacio de tres dimensionespor lo que es importante encontrar los tres desplazamientos en X, Y y Z para definir completamente el desviadoforma de la estructura. Significa una armadura espacial tiene tres grados de libertad en cada uno tres coordenadasestructurales conjuntas y en cada junta a completamente analizar la estructura. Las juntas de una armadura espa-cial pueden numerarse de cualquier manera, sin embargo la grados de libertad están numerados tal que al primernodo de cada elemento primer número irá a X, el segundo número será de Y y tercer número será adjudicado a Zdirección. De manera similar se llevará a cabo en cada junta para numerar los grados de libertad.
Figura 1.9: Armadura 3D Idealizada De Una Estructura Real
1.6.1. Matriz de rigidez del elementoEn el local de coordinar elemento del sistema matriz de rigidez de un elemento de celosía espacial puede ser
denotado por:
[ke] =EAL
[1 −1−1 1
]
1.6.2. Matriz de transformaciónMatriz de transformación de una armadura espacial se representa por la fórmula estándar como:
T =
[cos(αx) cos(βx) cos(γx) 0 0 0
0 0 0 cos(αx) cos(βx) cos(γx)
]
α:es el ángulo entre el elemento local de eje x y el eje X globalβ :es el ángulo entre el elemento de eje y local y Y-eje globalγ:es el ángulo entre el elemento local de eje Z y el eje Z global
UNSCH19
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
1.7. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA PARRILLA (GRID) CAPÍTULO 1
1.7. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA PARRILLA (GRID)La parrilla son marcos planos cargado en el plano de la estructura, mientras que las cargas sobre las rejillas
se aplican en la dirección perpendicular al plano de la estructura (Fig. 1.7). Los miembros de las redes pueden,por lo tanto, ser sometido a momentos de torsión, además de la flexión momentos y cizallas correspondientes quehacen que los miembros se doblen fuera de la plano de la estructura. Grids son comúnmente utilizados para apoyarlos techos que cubren amplias zonas libres de columnas en este tipo de estructuras como estadios deportivos,auditorios, y hangares
Figura 1.10: Parrilla Idealizada De Una Estructura Real
las estructuras tipo parrilla son estructuras reticulares sometidos a cargas que actúan perpendicularmente a suplano. podemos encontrar muchas de ellas en las estructuras industriales,en losas de entrepiso con viguetas en dosdirecciones, en tableros de puentes y en culatas de bodegas y fabricas sometidas a la accion de viento. los nudosse suponen rigidos en consecuencia las acciones principales sobre sus mienbros son torsión,flexión y corte.
Figura 1.11: Esquema Tipica de Una Parrilla
UNSCH20
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
1.7. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA PARRILLA (GRID) CAPÍTULO 1
ELEMENTO SOMETIDO A FLEXION Y CORTE, ORIENTADO EN EL EJE “X”
Figura 1.12: Elemento Sometido a Flexion y Corte
PRIMERA COLUMNA
Figura 1.13: Elemento de la Primera Columna
POR MANEY
Mi j =2EI
L (2θi +θ j−3ϕi j) M ji =2EI
L (θi +2θ j−3ϕi j)
Mi j =2EI
L (2+0−3∗0) M ji =2EI
L (1+2−0−3∗0)
Mi j =4EI
L M ji =2EI
L
V =4EI
L + 2EIL
L
Vi =6EIL2 Vj =
6EIL2
SEGUNDA COLUMNA
Figura 1.14: Elemento de la Segunda Columna
POR MANEY
Mi j =2EI
L (2θi +θ j−3ϕi j) M ji =2EI
L (θi +2θ j−3ϕi j)
Mi j =2EI
L
(0+0−3∗ 1
L
)M ji =− 6EI
L2
Mi j =2EI
L
(0+2∗0−3∗ 1
L
)M ji =− 6EI
L2
UNSCH21
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
1.7. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA PARRILLA (GRID) CAPÍTULO 1
V =−6EI
L2 + −6EIL2
L
Vi =12EI
L2 Vj =−12EI
L2
TERCERA COLUMNA
Figura 1.15: Elemento de la Tercera Columna
POR MANEY
Mi j =2EI
L (2θi +θ j−3ϕi j) M ji =2EI
L (θi +2θ j−3ϕi j)
Mi j =2EI
L (0+1−3∗0) M ji =2EI
L (0+2∗1−3∗0)
Mi j =2EI
L M ji =4EI
L
V =4EI
L + 2EIL
L
Vi =6EIL2 Vj =
6EIL2
CUARTA COLUMNA
Figura 1.16: Elemento de la Cuarta Columna
POR MANEY
Mi j =2EI
L (2θi +θ j−3ϕi j) M ji =2EI
L (θi +2θ j−3ϕi j)
Mi j =2EI
L
(0+0−3∗ 1
L
)M ji =
2EIL
(0+2∗0−3∗ 1
L
)Mi j =
6EIL2 M ji =
6EIL2
V =6EIL2 + 6EI
L2
L
Vi =−12EI
L2 Vj =12EI
L2
MYiZ
MYiZ
=
4EI
L−6EI
L24EI
L6EIL2
−6EIL2
12EIL2
−6EIL2
−12EIL2
4EIL
−6EIL2
4EIL
6EIL2
6EIL2
−12EIL2
6EIL2
12EIL2
∗
θyiwiθ jw j
UNSCH22
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
PARTE IIIMEMORIA DE CALCULO DE LAS ESTRUCTURAS
23
CAPÍTULO 2
APLICACION DE UNA BEAM POR EL METODO RIGIDEZ
2.1. EJEMPLO DE UN VIGAUse el análisis matricial de la rigidez para calcular las reacciones en los apoyos de la viga de tres claros que se
muestra en la figura. De igual forma, determine las funciones de momento, de fuerza cortante, de fuerza normal,de pendiente y de deflexión, y detalle los resultados.
Figura 2.1: Viga con Diferentes Cargas en los Mienbros
Figura 2.2: Seccion de la Viga
24
2.1. EJEMPLO DE UN VIGA CAPÍTULO 2
2.1.1. Solucion:NOTACION DE LA VIGA
Figura 2.3: Notacion de los Grados de la Viga
HALLANDO VECTOR DE CARGAS
Obsérvese que sobre la longitud del elemento 1 se extiende una carga distribuida tipo parabólica, y que loselementos 2 y 3 soportan a la mitad de su claro y de forma respectiva, una carga puntual inclinada y un momentode par. El análisis matricial de la rigidez requiere que la carga externa se aplique en los nodos debido a que lamatriz de rigidez del elemento ha sido deducida para cargas aplicadas en sus extremos. Para atender esta situación,se usa el principio de superposición. Suponemos que cada nodo está restringido de movimiento, motivo por el cualse les impone un empotramiento.
Figura 2.4: Caracterizacion de la Viga Para Obtener Vector de Cargas
UNSCH25
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
2.1. EJEMPLO DE UN VIGA CAPÍTULO 2
A continuación se calculan las fuerzas de fijación y momentos de empotramiento perfecto asociadas a cadaelemento. Para ello remítase al tema 4.1 y note como los elementos 1 y 3 corresponden a vigas del tipo 4 y 7;además, el caso general para el elemento 2 ya fue resuelto en el tema 3.1.
ELEMENTO 1
Figura 2.5: Obtencion del Momento de Empotramiento Elemento I
RAY = RBY =wL3
=3∗2
3= 2T ↑
MA = MB =wL2
15=
3∗22
3= 0.8T.m
ELEMENTO 2
Figura 2.6: Obtencion del Momento de Empotramiento Elemento II
RAY = RBY =Psinα
2=
5∗ sin500
2= 1.915T ↑
RAX = RBX =Pcosα
2=
5∗ coos500
2= 1.6070T =⇒
MA = MB =P∗L∗ sinα
8=
5∗2∗ sin500
8= 0.9576T m
UNSCH26
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
2.1. EJEMPLO DE UN VIGA CAPÍTULO 2
ELEMENTO 3
Figura 2.7: Obtencion del Momento de Empotramiento Elemento III
RAY = RBY =3M2L
=3∗22∗2
= 1.5T ↑
MA = MB =M4
=24= 0.5T m
Las fuerzas de fijación y momentos de empotramiento calculados existirían si restringiéramos de movimientoa todos los nodos, algo que en no ocurre. En consecuencia, las fuerzas y momentos elásticos o efectivos actúansobre los nodos en sentido contrario al que definimos, por lo que para fines de análisis estas son las fuerzas queaparecen
Figura 2.8: Viga Con Sus Respectivas Fuerzas Primarios
Al hacer la suma algebraica de las fuerzas y momentos en cada nodo se obtiene la viga cargada que se analizarácon el método de la rigidez.
Figura 2.9: Viga con Sus Respectivos Fuerzas y Momentos en Sus Nodos
UNSCH27
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
2.1. EJEMPLO DE UN VIGA CAPÍTULO 2
ORDENANDO LOS VECTORES DE CARGA
D=(
CDCC
)=
C1C2C3C4C5C6C7C8C9C10C11C12
=
0.50
1.4576−0.1576−1.6070RDY −1.5
RCY −0.4151RCX −1.6070RBY −3.9151
RAY −2RAX
MA−0.8
ENSAMBLAJE DE MATRIX DE RIGIDEZ DE CADA ELEMEMTO
Figura 2.10: Seccion de Viga
bloque Io(cm4
)A(cm2
)d(cm) Ad2
(cm4
)1 106.6667 80 9.5 72202 1125 60 0 03 106.6667 80 9.5 7220
∑ t 1338.3334 220 14440
Aplicando el teorema de los ejes paralelos se tiene.Aplicando el teorema de los ejes paralelos se tiene.
I = ∑ I0 +∑Ad2 = 1338.3334+14440 = 15778.3334cm4 = 0.000157783
El área de la sección transversal y el módulo de elasticidad del acero son
A = 220cm2 = 0.022 E = 2.1∗107 Tm2
Se calcula la matriz de rigidez global para cada elemento aplicando la ecuación (K). Los números de códigopara cada columna y fila de estas matrices, que tienen la peculiaridad de ser siempre simétricas, deben establecerseapropiadamente
K1 =
EAL 0 0 −EA
L 0 00 12EI
L36EIL2 0 − 12EI
L36EIL2
0 6EIL2
4EIL 0 − 6EI
L22EI
LEAL 0 0 EA
L 0 00 12EI
L3 − 6EIL2 0 12EI
L36EIL2
0 6EIL2
2EIL 0 − 6EI
L24EI
L
UNSCH28
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
2.1. EJEMPLO DE UN VIGA CAPÍTULO 2
ELEMENTO 1
K1 = 105
2.31 0 0 −2.31 0 0
0 0.0497 0.0497 0 0.0497 0.04970 0.0497 0.0663 0 0.0497 0.0331
−2.31 0 0 2.31 0 00 −0.0497 −0.0497 0 0.0497 −0.04970 0.0497 0.0497 0 −0.0497 0.0663
ELEMENTO 2
K2 = 105
2.31 0 0 −2.31 0 0
0 0.0497 0.0497 0 0.0497 0.04970 0.0497 0.0663 0 0.0497 0.0331
−2.31 0 0 2.31 0 00 −0.0497 −0.0497 0 0.0497 −0.04970 0.0497 0.0497 0 −0.0497 0.0663
ELEMENTO 3
K3 = 105
2.31 0 0 −2.31 0 0
0 0.0497 0.0497 0 0.0497 0.04970 0.0497 0.0663 0 0.0497 0.0331
−2.31 0 0 2.31 0 00 −0.0497 −0.0497 0 0.0497 −0.04970 0.0497 0.0497 0 −0.0497 0.0663
ENSAMBLAJE TOTAL DE LA MATRIX DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA
Ya que las matrices de rigidez de todos los elementos fueron determinadas, se ensamblan para calcular “K” lacual también debe ser simétrica y tiene un orden de 12X12 debido a que doce grados de libertad fueron designadospara la viga.
K = 105 ∗
0.00663 0 0.0331 0 0 −0.0497 0.0497 0 0 0 0 00 2.31 0 0 0 0 0 −2.31 0 0 0 0
0.0333 0 0.1325 0.0331 0 −0.0497 0 0 0.0497 0 0 00 0 0.0331 0.1325 0 0 −0.0497 0 0 0.0497 0 0.03310 0 0 0 4.62 0 0 −2.31 0 0 −2.31 0
−0.0497 0 −0.0497 0 0 0.0497 −0.0497 0 0 0 0 00.0497 0 0 −0.0497 0 −0.0497 0.0497 0 0.0497 0 0 0
0 −2.31 0 0 −2.31 0 0 4.62 0 0 0 00 0 0.0497 0 0 0 −0.0497 0 0.0497 −0.0497 0 0.04970 0 0 0.0497 0 0 0 0 0.0497 0.0497 0 0.04970 0 0 0 −2.31 0 0 0 0 0 2.31 00 0 0 0.0331 0 0 0 0 0.0497 0.0497 0 0.0663
K =
(K11 K12K21 K22
)
CALCULOS DE LAS INCOGNITAS DE LA ESTRUCTURA
Al hacer C = K*D se tiene
0.50
1.4576−0.1576−1.6070
RDY −1.5RCY −0.4151RCX −1.6070RBY −3.9151
RAY −2RAX
MA −0.8
= 105 ∗
0.00663 0 0.0331 0 0 −0.0497 0.0497 0 0 0 0 00 2.31 0 0 0 0 0 −2.31 0 0 0 0
0.0333 0 0.1325 0.0331 0 −0.0497 0 0 0.0497 0 0 00 0 0.0331 0.1325 0 0 −0.0497 0 0 0.0497 0 0.03310 0 0 0 4.62 0 0 −2.31 0 0 −2.31 0
−0.0497 0 −0.0497 0 0 0.0497 −0.0497 0 0 0 0 00.0497 0 0 −0.0497 0 −0.0497 0.0497 0 0.0497 0 0 0
0 −2.31 0 0 −2.31 0 0 4.62 0 0 0 00 0 0.0497 0 0 0 −0.0497 0 0.0497 −0.0497 0 0.04970 0 0 0.0497 0 0 0 0 0.0497 0.0497 0 0.04970 0 0 0 −2.31 0 0 0 0 0 2.31 00 0 0 0.0331 0 0 0 0 0.0497 0.0497 0 0.0663
θD4HD
θCθB4HB
0000000
UNSCH29
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
2.1. EJEMPLO DE UN VIGA CAPÍTULO 2
El sistema matricial anterior es equivalente a(CCCD
)=
(K11 K12K21 K22
)(DDDC
)Se calculan los desplazamientos desconocidos al extraer y resolver un primer subsistema que corresponde a
CC = K11DD +K12DC
Como DC vale cero, la ecuación anterior pasa a ser
CC = K11DD
Por lo tanto:0.50
1.4576−0.1576−1.6070
= 105 ∗
0.0663 0 0.0331 0 0
0 2.31 0 0 00.0331 0 0.1325 0.0331 0
0 0 0.1325 0.1325 00 0 0 0 4.62
θD4HD
θCθB4HB
θD4HD
θCθB4HB
=
0.0000176rad
00.0001158rad−0.0000408rad−0.0000035m
Las reacciones se obtienen de resolver un segundo subsistema que es
CD = K21DD +K22DC
Como ya se mencionó,DC = 0 , así que
CC = K21DD
Al usar los desplazamientos calculados se tiene
RDY −1.5RCY −0.4151RCX −1.6070RBY −3.9151
RAY −2RAX
MA−0.8
=
−0.0497 0 −0.0497 0 00.0497 0 0 −0.0497 0
0 −2.31 0 0 −2.310 0 0.0497 0 00 0 0 0.0497 00 0 0 0 −2.310 0 0 0.0331 0
0.0000176
00.0001158−0.0000408−0.0000035
=
−0.66280.29020.80350.5755−0.20300.80350.1353
OPTENCION DE LAS RECCIONES
RDY -1.5=-0.6628 =⇒ RDY =−0.6628+1.5 = 0.8372T ⇒∴ RDY = 0.8372T ↑RCY -0.4151=0.0902 =⇒ RCY = 0.2902+0.4151 = 0.7053T ⇒∴ RCY = 0.7053T ↑
RCX -1.6070=0.8035 =⇒ RDY = 0.8530+1.6070 = 2.4105T ⇒∴ RCX = 2.4105→
RBY -3.9151=0.5755 =⇒ RBY = 0.5755+3.9151 = 4.4906T ⇒∴ RBY = 4.4906 ↑
RAY -2=-0.2030 =⇒ RAY =−0.2030+2 = 1.797T ⇒∴ RAY = 1.7970T ↑
RAX =0.8035 =⇒ RAX = 0.8035→
RA-0.8=-0.1353 =⇒MA =−0.1353+0.8 = 0.664T m.⇒∴ MA = 0.6647T x
UNSCH30
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
2.1. EJEMPLO DE UN VIGA CAPÍTULO 2
Se muestran los resultados obtenidos en el siguiente diagrama
Figura 2.11: Viga Con Sus Fuerzas Externas en Los Nodos
Se comprueba el equilibrio externo de la viga. Al resolver la fuerza de 5T en sus componentes x y y resulta
F1Y = 5∗ sin50o = 3.8302T F1X = 5∗ cos50o = 3.2139
La fuerza resultante de la carga distribuida y su punto de aplicación son.
CP =( 2
3
)(3)(2) = 4T X̄ = 1m.
+ ↑ ∑FY = 1.7970−4+4.4906−3.8302+0.7053+0.8372 = 0 OK
+→ ∑FX = 0.8035−3.2139+2.4105 = 0 OK
+y ∑MA =−0.6647+4−4.4906(2)+3.8302(3)−0.7053(4)+2−0.8372(6)≡ 0 OK
Funciones de momento, de fuerza cortante, de fuerza normal.
0≤ X≤ 2m.
Figura 2.12: Seccionamiento en Del Elemento I
AC =− 4w3L2 X3 + 2W
L X2 =− 4∗33∗22 X3 + 2∗3
2 X2 =−X2 +3X2
y su línea de acción se localiza a una distancia de
X̄ =− W
L2 X4+ 4W3L X3
AC=− 3
22 X4+ 4∗33∗2 X3
−X3+3X2 =− 3
4 X4+2X3
−X3+3X2
UNSCH31
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
2.1. EJEMPLO DE UN VIGA CAPÍTULO 2
+y ∑Mcorte =−M1−0.6647+1.7970X−(−X3 +3X2
)(− 34 X4+2X3
−X3+3X2
)= 0
M1 =X4
4 −X3 +1.7970X−0.6647
V1 =dM1dx = X3−3X2 +1.7970
+→ ∑FX = 0⇒ N1 +0.8035 = 0⇒ N1 =−0.8035
2m≤ X≤ 3m.
Figura 2.13: Seccionamiento en Del Elemento II
∑Mcorte = 0⇒−M2−0.6647+1.7970X−4(X−1)+4.4906(X−2) = 0
M2 = 2.2876X−5.6459 V2 =dM2dx = 2.2876
+→ ∑FX = 0⇒ N2 +0.8035 = 0⇒ N2 =−0.8035
3m≤ X≤ 4m.
Figura 2.14: Seccionamiento en Del Elemento II
UNSCH32
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
2.1. EJEMPLO DE UN VIGA CAPÍTULO 2
∑Mcorte = 0⇒−M3−0.6647+1.7970X−4(X−1)+4.4906(X−2)−3.8302(X−3) = 0
M3 = 5.8447−1.5426 V2 =dM3dx =−1.5426
+→ ∑FX = 0⇒ N3 +0.8035−3.2139 = 0⇒ N3 = 2.4104
4m≤ X≤ 5m.
Figura 2.15: Seccionamiento en Del Elemento III
∑Mcorte = 0−M4−0.6647+1.7970X−4(X−1)+4.4906(X−2)−3.8302(X−3)+0.7053(X−4) = 0
M4 = 3.0235−0.8373X V4 =dM4dx =−0.8373
+→ ∑FX = 0⇒ N4 +0.8035−3.2139+2.4105 = 0⇒ N4 = 0
5m≤ X≤ 6m.
∑Mcorte = 0⇒−M5−0.6647+1.7970X−4(X−1)+4.4906(X−2)−3.8302(X−3)+0.7053(X−4)+2 = 0
M5 = 5.0235−0.8373X V5 =dM5dx =−0.8373
+→ ∑FX = 0⇒ N5 = 0
Figura 2.16: Seccionamiento en Del Elemento III
UNSCH33
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
2.1. EJEMPLO DE UN VIGA CAPÍTULO 2
Se aplica el método de la doble integración. Al Aplicar la ecuación diferencial
EId2ydx2 = M
e integrarla dos veces en cada tramo se obtiene
0m≤ X≤ 2m.
EId2ydx2 =
X4
4−X3 +1.7970X−0.6647
EIˆ
d (dy)dx
=
ˆ (X4
4−X3 +1.7970X−0.6647
)dx
EIdydx
= 0.05x5−0.25x4 +0.8985x2−0.6647x+C1
EIθ = 0.05x5−0.25x4 +0.8985x2−0.6647x+C1............................(1)
EIˆ
dy =ˆ (
0.05x5−0.25x4 +0.8985x2−0.6647x+C1
)dx
EIy1 = 0.008333x6−0.05x5 +0.2995x3−0.33235x2 +C1 +C2...............(2)
2m≤ X≤ 3m.
EId2ydx2 = 2.287X−5.6459
EIˆ
d (dy)dx
=
ˆ(2.2876X−5.6459)dx
EIθ2 = 1.1438x2−5.6459x+C3............................(3)
EIˆ
dy =ˆ (
1.1438x2−5.6459x+C3)
dx
EIy2 = 0.38127x3−2.82295x2 +C3X +C4...............(4)
3m≤ X≤ 4m.
EId2ydx2 =−1.5426X +5.8447
EIˆ
d (dy)dx
=
ˆ(−1.5426X +5.8447)dx
EIθ3 = 5.8447X−0.7713X2 +C5............................(5)
EIˆ
dy =ˆ (
5.8447X−0.7713X2 +C5)
dx
EIy3 = 2.92235x2−0.2571X3 +C5X +C6...............(6)
UNSCH34
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
2.1. EJEMPLO DE UN VIGA CAPÍTULO 2
4m≤ X≤ 5m.
EId2ydx2 = 3.0235−0.8373X
EIˆ
d (dy)dx
=
ˆ(3.0235−0.8373X)dx
EIθ4 = 3.0235X−0.41865X2 +C7............................(7)
EIˆ
dy =ˆ (
3.0235X−0.41865X2 +C7)
dx
EIy4 = 1.51175x2−0.13955X3 +C7X +C8...............(8)
5m≤ X≤ 6m.
EId2ydx2 = 5.0235−0.8373X
EIˆ
d (dy)dx
=
ˆ(5.0235−0.8373X)dx
EIθ5 = 5.0235X−0.41865X2 +C9............................(9)
EIˆ
dy =ˆ (
5.0235X−0.41865X2 +C9)
dx
EIy5 = 2.51175x2−0.13955X3 +C9X +C10...............(10)
Se plantean diez condiciones que permitan resolver el sistema de ecuaciones. Se sabe que en el empotre A nohay rotación ni deflexión, así que se tienen las siguientes dos condiciones de frontera
1) si y = 0 en x = 0 y 2)θ = 0 en x = 0
Sustituyendo las condiciones 1) y 2) en (1) y (2) respectivamente, da
EI ((0)) = 0.05∗0−0.25∗0+0.8985∗0−0.6647∗0+C1⇒∴C1 = 0
EI ((0)) = 0.008333∗0−0.05∗0+0.2995∗0−0.33235∗0+C2⇒∴C2 = 0
Las otras ocho constantes se pueden conocer a partir de establecer un mismo número de condiciones de con-tinuidad, tal y como se efectúa a continuación
3) si θ1 = θ2 en x = 2m entonces
0.05∗25−0.25∗24 +0.8985∗22−0.6647∗2+C3⇒∴C3 = 6.5812
UNSCH35
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
2.1. EJEMPLO DE UN VIGA CAPÍTULO 2
4) si y1 = y2 en x = 2 tenemos
0.008333∗26−0.05∗25 +0.2995∗23−0.33235∗22 = 0.38127∗23−2.82295∗22 +6.5812∗2+C4
∴C4 =−4.920848
5) si θ2 = θ3 en x = 3m entonces
1.1438∗32−5.6459∗3+6.5812 = 5.844∗3−0.7713∗32 +C5
∴C5 =−10.6547
6) si y2 = y3 en x = 3m entonces
0.38127∗33−2.82295∗32 +6.5812∗3−4.920848 = 2.92235∗32−0.2751∗33−10.6547∗3+C6
∴C6 = 12.3151
7) si θ2 = θ3 en x = 4m .entonces
5.8447∗4−0.7713∗42−10.6547 = 30.235∗4−0.41865∗42 +C7
∴C7 =−5.0123
8) si y3 = y4 en x = 4m .entonces
2.92235∗42−0.2571∗43−10.6547∗4+12.3151 = 1.51175∗42−0.13955∗43−5.0123∗4+C8
∴C8 = 4.7919
9) si θ4 = θ5 en x = 5m entonces
3.0235∗5−0.41865∗52−5.0123 = 5.0235∗5−0.41865∗52 +C9
∴C9 =−15.0123
10) si y4 = y5 en Xx = 5m entonces
1.51175∗52−0.13955∗53−5.0123∗5+4.792.51175∗52−0.13955∗53−15.0123∗5+C10
∴C10 = 29.7919
UNSCH36
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
2.1. EJEMPLO DE UN VIGA CAPÍTULO 2
Las funciones de la pendiente y la deflexión de la viga se obtienen al sustituir las constantes de integración enlas ecuaciones correspondientes
EI =(2.1∗107)(0.000157) = 3313.443T.m2
0 6 x 0 2m
θ1 =
(1
3313.443
)(0.05x5−0.25x4 +0.8985x2−0.6647x
)y1 =
(1
3313.443
)(0.008333x6−0.05x5 +0.2995x3−0.33235x2
)2m 6 x 0 3m
θ2 =
(1
3313.443
)(1.1438x2−5.6459x+6.5812
)y2 =
(1
3313.443
)(0.38127x3−2.82295x2 +6.5812x−4.920848
)3m 6 x 0 4m
θ3 =
(1
3313.443
)(5.8447x−0.7713x2−10.6547x
)y3 =
(1
3313.443
)(2.92235x2−0.257x3−10.6547x+12.3151
)4m 6 x 0 5m
θ4 =
(1
3313.443
)(3.0235x−0.41865x2−5.0123
)y4 =
(1
3313.443
)(1.5117x2−0.13955x3−5.0123x+4.7919
)5m 6 x 0 6m
θ5 =
(1
3313.443
)(5.0235x−0.41865x2−15.0123
)y5 =
(1
3313.443
)(2.51175−0.13955x3−15.0123x+29.7919
)
UNSCH37
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
2.1. EJEMPLO DE UN VIGA CAPÍTULO 2
RESULTADOS FINALES DE LA VIGA
Figura 2.17: Viga Con Sus Respectivas Reacciones y Momentos
FINALMENTE SE DIBUJAN LOS DIAGRAMAS DE LA VIGA
Figura 2.18: Momento Flector de la Viga
UNSCH38
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
2.1. EJEMPLO DE UN VIGA CAPÍTULO 2
Figura 2.19: Fuerza Cortante De La Viga
Figura 2.20: Fuerzas Axiales De La Viga
UNSCH39
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
CAPÍTULO 3
APLICACION DE UN FRAME 2D POR METODO REGIDEZ
3.1. EJEMPLO DE UN PORTICO 2DAnalice el portico de la figura
Figura 3.1: Portico Plano
40
3.1. EJEMPLO DE UN PORTICO 2D CAPÍTULO 3
3.1.1. Solucion:.Se adopta la siguiente numeración y orientación
Figura 3.2: Numeracion Grados y Elementos del Portico Plano
PROPIEDADES DE LOS MIEMBROS
Miembro θ o λ µAEL EI 2 EI
L 4 EIL 6 EI
L2 12 EIL3
1-2 26.56 0.89443 0.44721 44610 2037 911 1822 611 2734-1 53.13 0.60000 0.80000 34200 1282 513 1026 308 1232-3 -71.56 0.31623 -0.94868 27037 1282 406 811 192 61
OPTENCION DE LAS FUERZAS DE MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO
Figura 3.3: Elemento Cargado con Una Fuerza Distribuida
UNSCH41
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
3.1. EJEMPLO DE UN PORTICO 2D CAPÍTULO 3
XF12 = XF
21 = 0
Y F12 = Y F
21 = 2.8×2 = 5.60T
MF12 =−MF
21 =2.8×16
12= 3.733T −m
Figura 3.4: Portico Con Sus Cargas Puestas en su Nodos
Aplicando las ecuaciones a cada miembro obtenemos:BARRA 1
X12Y12M12X21Y21M21
=
35743 17735 −273 −35743 −17735 −273−17735 9141 546 −17735 −9141 546−273 546 1822 273 −546 911−3574 −17735 273 35743 17735 273−17735 −9141 −546 17735 9141 −546−273 546 911 273 −546 1822
U1V1θ1U2V2θ2
+
05.60
3.7330
5.60−3.733
(a)
UNSCH42
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
3.1. EJEMPLO DE UN PORTICO 2D CAPÍTULO 3
BARRA 2 X41Y41M41X14Y14M14
=
0 0 0 −12391 −16357 −2460 0 0 −16357 −21932 1850 0 0 246 −185 5130 0 0 12391 16357 2460 0 0 16357 21932 −1850 0 0 246 −185 1026
000
U1V1θ1
(b)
BARRA 3 X23Y23M23X32Y32M32
=
2758 −8093 182 0 0 0−8093 24339 61 0 0 0
182 61 811 0 0 0−2758 8093 −182 0 0 08093 −24339 −61 0 0 0182 61 406 0 0 0
U2V2θ2000
(c)
Al ensamblar los términos correspondientes a los nudos libres se llega a :
X1 = X12 + X41 = 1.5Y1 = Y12 + Y41 = 0M1 = M12 + M41 = 0X2 = X21 + X14 = 0Y2 = Y21 + Y14 = 0M2 = M21 + M14 = 0
=
48134 34092 −27 −35743 −17735 −27334092 31073 362 −17735 −9141 546−27 362 2848 273 −546 911−35743 −17735 273 38502 9642 456−17735 −9141 −546 9642 33480 −486−273 546 911 456 −486 2633
U1V1θ1U2V2θ2
+
05.60
3.7330
5.60−3.733
RESULTADO DE LOS DESPLAZAMIENTO
U1 = 13.29 × 10−3 m →V1 = −10.16 × 10−3 m ↓θ1 = −1.655 × 10−3 rad yU2 = 7.09 × 10−3 ms →V2 = 2.10 × 10−3 m ↑θ2 = 4.64 × 10−3 rad x
Reemplazando estos valores en las ecuacion (a), (b) y (c) se obtienen las fuerzas internas, referidas a coordenadasgenerales:
BARRA 1:
X12 = 3.428 T →Y12 = 5.155 T ↑M12 = −3.452 T −m y
X21 = −3.429 T ←Y21 = 6.045 T ↑M21 = −5.185 T −m y
BARRA 2:
X41 = X4 = 1.929 T →Y41 = Y4 = 5.156 T ↑M41 = M4 = 4.301 T −m x
X14 = −1.929 T ←Y14 = −5.156 T ↓M14 = 3.452 T −m x
BARRA 2:
X23 = 3.429 T →Y23 = −6.045 T ↓M23 = 5.185 T −m x
X32 = −3.429 T ←Y32 = 6.045 T ↑M32 = 3.303 T −m x
UNSCH43
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
3.1. EJEMPLO DE UN PORTICO 2D CAPÍTULO 3
Figura 3.5: Portico Con Sus Respectivas Reaciones y Desplazamientos en Sus Nodos
ΣFx = 0.000 Ton
ΣFy = 0.001 Ton
Para hallar las fuerzas internas referidas a coordenadas locales se utilizan las matrices de transformación[F]= [T ] [F ]
BARRA 1
X12Y 12M12X21Y 21M21
=
0.89443 0.44721 0 0 0 0−0.44721 0.89443 0 0 0 0
0 0 1 0 0 00 0 0 0.89443 0.44721 00 0 0 −0.44721 0.89443 00 0 0 0 0 1
3.4285.155−3.452−3.4296.045−5.185
=
5.372 T ↗3.078 T ↖−3.452 T −m y−0.364 T ↙6.940 T ↖−5.185 T −m y
BARRA 2
X41Y 41M41X14Y 14M14
=
0.6 0.8 0 0 0 0−0.8 0.6 0 0 0 0
0 0 1 0 0 00 0 0 0.6 0.8 00 0 0 −0.8 0.6 00 0 0 0 0 1
1.9295.156−4.301−1.929−5.1563.452
=
5.282 T ↗1.550 T ↖4.301 T −m x−5.282 T ↙−1.550 T ↘3.452 T −m x
UNSCH44
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
3.1. EJEMPLO DE UN PORTICO 2D CAPÍTULO 3
BARRA 3
X23Y 23M23X32Y 32M32
=
0.31623 −0.94868 0 0 0 00.94868 0.31623 0 0 0 0
0 0 1 0 0 00 0 0 0.31623 −0.94868 00 0 0 0.94868 0.31623 00 0 0 0 0 1
3.429−6.0455.185−3.4296.0453.303
=
6.819 T ↘1.342 T ↗5.185 T −m x−6.819 T ↖−1.342 T ↙3.303 T −m x
FINALMENTE SE DIBUJAN LOS DIAGRAMAS DEL PORTICO
Figura 3.6: Diagram Fuerza Cortante del Portico
UNSCH45
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
3.1. EJEMPLO DE UN PORTICO 2D CAPÍTULO 3
Figura 3.7: Diagrama de Momento Flector del Portico
Figura 3.8: Portico Con su Respectiva Fuerzas Axiales en Los Elementos
UNSCH46
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
CAPÍTULO 4
APLICACION DE TRUSS 2D METODO RIGIDEZ
4.1. EJEMPLO DE UNA ARMADURA 2DEmpleando el método de la rigidez matricial, calcule las reacciones en los soportes y la fuerza en cada uno de
los elementos de la armadura mostrada en la figura 1-1a. La sección transversal de los elementos 1, 2, 3, 4 y 5 esrectangular con un ancho de 30cm y una altura de 40cm, mientras que la sección transversal de los elementos 6,7 y 8 es cuadrada de 40cm por lado. El módulo de elasticidad para todas las barras es el de las maderas duras, esdecir, 2.1×106 T
m2 .
Figura 4.1: Aramdura Plana
47
4.1. EJEMPLO DE UNA ARMADURA 2D CAPÍTULO 4.
4.1.1. Solucion:A = (0.3m)(0.4m) = 0.12m2 AE =
(0.12m2
)(2.1×106 T
m2
)= 252000T
y para los elementos 6, 7 y 8 se sabe queA = (0.4m)(0.4m) = 0.16m2 AE = (0.16m)
(2.1×106 T
m2
)= 336000T
Figura 4.2: Designacion De Los Grados de Libertad de la Armadura
Se aislará cada elemento de la armadura, figuras 1-1c hasta 1-1j, con el objetivo de visualizar con mayorfacilidad individualmente su longitud y número, así como sus nodos N y F con sus correspondientes coordenadasglobales xN ,yN y Fx ,Fy, y sus debidos números de código de grado de libertad Nx ,Ny y Fx ,Fy. Además, con elúnico fin de esclarecer quienes son los cosenos directores de las barras, se coloca el sistema local x´, y´, y seidentifican los ángulos θx y θy.
ELEMENTO 1
L = 3m λx =3−0
3= 1 λy =
0−03
= 0
K1 =
84000 10 7 0
0 0 −84000 0−84000 0 0 0
0 0 84000 0
Figura 4.3: Elemento (1) Aislado de La Armadura
UNSCH48
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
4.1. EJEMPLO DE UNA ARMADURA 2D CAPÍTULO 4.
ELEMENTO 2
L =
√(2m)2 +(3m)2 =
√13m λx =
5−3√13
= 0.5547 λy =3−0√
13= 0.8321
K2 =
21505.8375 32262.2509 −21505.8375 −32262.250932262.2509 48393.3764 −32262.2509 −48393.3764−21505.8375 −32262.2509 21505.8375 32262.2509−32262.2509 −48393.3764 48393.3764 48393.3764
Figura 4.4: Elemento (2) Aislado de La Armadura
ELEMENTO 3
L = 2m λx =5−3
2= 1 λy =
3−32
= 0
K3 =
126000 0 −126000 0
0 0 0 0−126000 0 126000 0
0 0 0 0
Figura 4.5: Elemento (3) Aislado de La Armadura
UNSCH49
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
4.1. EJEMPLO DE UNA ARMADURA 2D CAPÍTULO 4.
ELEMENTO 4
Figura 4.6: Elemento (4) Aislado de La Armadura
L = 3m λx =3−0
3= 1 λy =
3−33
= 0
K4 =
84000 0 −84000 0
0 0 0 0−84000 0 84000 0
0 0 0 0
ELEMENTO 5
L = 3m λx =0−0
3= 0 λy =
3−03
= 1
K5 =
0 0 0 00 84000 0 −840000 0 0 00 −84000 0 84000
Figura 4.7: Elemento (5) y (6) Aislado de La Armadura
UNSCH50
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
4.1. EJEMPLO DE UNA ARMADURA 2D CAPÍTULO 4.
ELEMENTO 6:
L =
√(3m)2 +(3m)2 = 3
√2m λx =
3−03√
2= 0.7071 λy =
0−33√
2=−0.7071
K6 =
39597.9798 −39597.9798 −39597.9798 39597.9798−39597.9798 39597.9798 39597.9798 −39597.9798−39597.9798 39597.9798 39597.9798 −39597.979839597.9798 −39597.9798 −39597.9798 39597.9798
ELEMENTO 7
L = 3√
2m = λx =3−03√
2= 0.7071 λy =
3−03√
2= 0.7071
K7 =
39597.9798 39597.9798 −39597.9798 −39597.979839597.9798 39597.9798 −39597.9798 −39597.9798−39597.9798 −39597.9798 39597.9798 39597.9798−39597.9798 −39597.9798 39597.9798 39597.9798
Figura 4.8: Elemento (7) Aislado de La Armadura
ELEMENTO 8
L = 3m λx =3−3
3= 0 λy =
3−03
= 1
K8 =
0 0 0 00 112000 0 −1120000 0 0 00 −112000 0 112000
UNSCH51
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
4.1. EJEMPLO DE UNA ARMADURA 2D CAPÍTULO 4.
OPTENCION DE LA MATRIX DE RIGIDEZ DE CADA ELEMENTO
Como se designaron diez grados de libertad para la armadura, figura 1-1b, la matriz de rigidez tiene un ordende 10 × 10 y se obtiene al sumar algebraicamente los elementos correspondientes a las ocho matrices anteriores.Para visualizar el proceso de ensamble con mayor facilidad, se expanden con ceros las filas y columnas numéricasfaltantes en cada Ki . Los valores calculados previamente cuando se empleó la ecuación 1 − 4 aparecen de colorazul con la finalidad de distinguirlos.
K1 =
0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 84000 0 −84000 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 −84000 0 84000 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0
K2 =
0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 21505.8375 32262.2509 −21505.8375 −32262.2509 0 00 0 0 0 32262.2509 48393.3764 −32262.2509 −48393.3764 0 00 0 0 0 −21505.8375 −32262.2509 21505.8375 32262.2509 0 00 0 0 0 −32262.2509 −48393.3764 32262.2509 48393.3764 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0
K3 =
0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 126000 0 −126000 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 −126000 0 126000 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0
K4 =
84000 0 −84000 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0
−84000 0 84000 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0
UNSCH52
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
4.1. EJEMPLO DE UNA ARMADURA 2D CAPÍTULO 4.
K5 =
0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 84000 0 0 0 0 0 0 0 −840000 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 −84000 0 0 0 0 0 0 0 84000
K6 =
39597.9798 −39597.9798 0 0 0 0 −39597.9798 39597.9798 0 0−39597.9798 39597.9798 0 0 0 0 39597.9798 −39597.9798 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0
−39597.9798 39597.9798 0 0 0 0 39597.9798 −39597.9798 0 039597.9798 −39597.9798 0 0 0 0 −39597.9798 39597.9798 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0
K7 =
0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 39597.9798 39597.9798 0 0 0 0 −39597.9798 −39597.97980 0 39597.9798 39597.9798 0 0 0 0 −39597.9798 −39597.97980 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 −39597.9798 −39597.9798 0 0 0 0 39597.9798 39597.97980 0 −39597.9798 −39597.9798 0 0 0 0 39597.9798 39597.9798
K8 =
0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 112000 0 0 0 −112000 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 −112000 0 0 0 112000 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Una vez efectuado el procedimiento de expansión en todas las Ki , estas se suman. Por consiguiente,
K = K1 +K2 +K3 +K4 +K5 +K6 +K7 +K8
K =
123597.9798 −39597.9798 −84000 0 0 0 −39597.9798 39597.9798 0 00 123597.9798 0 0 0 0 39597.9798 −39597.9798 0 -840000 0 249597.9798 39597.9798 −126000 0 0 0 −39597.9798 -39597.97980 0 39597.9798 151597.9798 0 0 0 -112000 -39597.9798 −39597.97980 0 −126000 0 147505.8357 32262.2509 -21505.8375 -32262.2509 0 00 0 0 0 32262.2509 48393.3764 −32262.2509 -48393.3764 0 0
−39597.9798 39597.9798 0 0 −21505.8375 −32262.2509 145103.8173 −7335.7289 -84000 039597.9798 −39597.9798 0 −112000 −32262.2509 −48393.3764 −7335.7289 199991.3562 0 0
0 0 −39597.9798 −39597.9798 0 0 −84000 0 123597.9798 39597.97980 −84000 −39597.9798 −39597.9798 0 0 0 0 39597.9798 123597.9798
UNSCH53
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
4.1. EJEMPLO DE UNA ARMADURA 2D CAPÍTULO 4.
Para no realizar el proceso de ensamble anterior, obsérvese como puede calcularse cada entrada de la matrizde rigidez de la estructura. Por ejemplo, para obtener K1,1, es decir, la entrada de K correspondiente a la fila 1 ycolumna 1, se detectan todas las entradas 1,1 que son visibles en las matrices Ki sin expandir, en este caso, de loselementos 4,5 y 6 se tiene(K1,1)4 =84000, (K1,1)5 = 0 y (K1,1)6 = 39597.9798. Luego, es obvio que las Ki sinexpandir restantes almacenan valores nulos en sus respectivas entradas 1,1 al no ser visibles, así que, (K1,1)1 =(K1,1)2 = (K1,1)3 = (K1,1)7 = , (K1,1)8 = 0, por lo que podemos ignorarlos. En consecuencia,K1,1 = 84000 + 0 +39597.9798 = 123597.9798. Se debe efectuar un procedimiento análogo para las demás entradas hasta obtener Ken su totalidad. Ya que siete desplazamientos fueron identificados como desconocidos en la armadura, la matriz derigidez de la estructura se seccionó de tal forma que en la parte izquierda quedaran siete columnas y en la porciónsuperior se tuvieran siete filas; esta partición se efectuó con el fin de que sea compatible con las particiones de losvectores de desplazamientos y de cargas que en el próximo apartado se formularán. Entonces, K quedó divididaen cuatro submatrices que tienen la siguiente nomenclatura:
K =
(K11 K12K21 K22
)→ (1−5)
Vectores de desplazamientos y de cargas:
Se plantea el vector total de desplazamientos externos D y se divide en dos vectores: el de desplazamientosdesconocidos DD y el de desplazamientos conocidos DC . Como ya se había comentado en el apartado denotación, los desplazamientos codificados del 1 al 7 son desconocidos, por lo que DD comprende desdeD1 hasta D7, en tanto, los desplazamientos codificados del 8 al 10 corresponden a los conocidos, así queevidentemente DC abarca D8, D9 y D10.
Para denotar un desplazamiento en la dirección horizontal se usa 4H , mientras que para significar un de-splazamiento vertical se emplea δV ; en ambos símbolos aparece también como subíndice un número queindica el nodo donde ocurre el desplazamiento. Siendo así y con base en la figura 1-1b, obsérvese como,por ejemplo, el desplazamiento codificado con 1 es el desplazamiento horizontal en el nodo (5), es decir, D1=4H5, o bien, el desplazamiento 2 es el vertical del nodo (5), o sea, D2 =δV 5. A su vez, recordemos quelos desplazamientos codificados con 8,9 y 10 son nulos debido a que los soportes (2)y (1) los impiden demanera respectiva, dado que a esos apoyos no se les ha impuesto un desplazamiento, en consecuencia, D8=D9 =D10 =0
D =(
DDDC
)→ (1−6) D =
D1D2D3D4D5D6D7D8D9D10
=
4H5δV 54H4δV 44H3δV 34H2
000
Se procede a plantear el vector total de cargas externas C, el cual se secciona dando origen al vector de cargasconocidas CC y al vector de cargas desconocidas CD. De la figura 1-1b, nótese que las cargas externas en lasdirecciones 5 y 6 son de 5T y y 6T actuando en las direccciones x positiva y y negativa respectivamente, porconsiguiente, C5 = 5T y C6 = −6T. También vease como no hay cargas externas aplicadas en las direcciones1, 2, 3, 4 y 7, de ahí que C1 = C2= C3 = C4 = C7 = 0. Así mismo, por inspección, se puede apreciar que enlas direcciones 8, 9 y 10 se presentan las reacciones en y del soporte (2), y en x y y del soporte (1); como sedesconoce la magnitud y el sentido de ellas, estas fuerzas deben proponerse en el vector como positivas, espor eso que C8 = R2y, C9 = R1x,C10 = R1y.
UNSCH54
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
4.1. EJEMPLO DE UNA ARMADURA 2D CAPÍTULO 4.
C =(
CCCD
)→ (1−7) C =
C1C2C3C4C5C6C7C8C9C10
=
00005−60
R2yR1xR1y
Cálculo de los desplazamientos incógnita y las reacciones en los soportes Luego de haber construido lamatriz de rigidez de la estructura, las componentes de la carga global C que actúan sobre la armadura sevinculan con sus desplazamientos globales D por medio de la ecuación de rigidez de la estructura que es
C = KD → (1−8)
Combinando las ecuaciones 1 − 5, 1 − 6 y 1 − 7 con la ecuación 1 − 8 da(CC
CD
)=
(K11 K12K21 K22
)(DDDC
)→ (1−9)
Ahora se infiere como este sistema de ecuaciones tiene la propiedad de que puede descomponerse en dossubsistemas de ecuaciones: el primero de estos sistemas relaciona únicamente los desplazamientos incógnitacon las fuerzas conocidas y los desplazamientos conocidos, y constituye un sistema compatible determinado,mientras que el segundo subsistema contiene las reacciones incógnita y una vez resuelto el primer subsistemaes de resolución trivial.
Expandiendo la ecuación 1 − 9 se tiene
C = K11DD +K12DC → (1−10)
CD = K21DD +K22DC → (1−11)
Atendemos al subsistema 1. Puesto que para esta armadura el vector de desplazamientos conocidos es unvector nulo dado que los soportes no se desplazan,DC = 0. De ese modo, la ecuación 1 − 10 se reducenotablemente a
CC = K11DD → (1−12)
Despejando DD de la ecuación 1 − 12, se obtienen evidentemente los desplazamientos incógnita directa-mente.
DD = (K11)−1 CC → (1−13)
De inmediato nos ocupamos del subsistema 2. La ecuación 1 − 11 también se simplifica notoriamente por elhecho de que DC es nulo. Por lo tanto, las reacciones en los soportes se infieren con la siguiente expresión:
CD = K21DD → (1−14)
Al plantear la ecuación 1 − 8 (o la ecuación 1 − 9) para esta armadura resulta
00005−60
R2yR1xR1y
=
123597.9798 −39597.9798 −84000 0 0 0 −39597.9798 39597.9798 0 0−39597.9798 123597.9798 0 0 0 0 39597.9798 −39597.9798 0 -84000−84000 0 249597.9798 39597.9798 −126000 0 0 0 −39597.9798 -39597.9798
0 0 39597.9798 151597.9798 0 0 0 -112000 -39597.9798 −39597.97980 0 −126000 0 147505.8357 32262.2509 -21505.8375 -32262.2509 0 00 0 0 0 32262.2509 48393.3764 −32262.2509 -48393.3764 0 0
−39597.9798 39597.9798 0 0 −21505.8375 −32262.2509 145103.8173 −7335.7289 -84000 039597.9798 −39597.9798 0 −112000 −32262.2509 −48393.3764 −7335.7289 199991.3562 0 0
0 0 −39597.9798 −39597.9798 0 0 −84000 0 123597.9798 39597.97980 −84000 −39597.9798 −39597.9798 0 0 0 0 39597.9798 123597.9798
4H5δV 54H4δV 44H3δV 34H2
000
Se extrae el primer subsistema y se resuelve. Puede verse que la ecuación resultante es como la ecuación 1 −12 y el despeje de la misma tiene la forma de la ecuación 1 − 13.
00005−60
=
123597.9798 −39597.9798 −84000 0 0 0 −39597.9798−39597.9798 123597.9798 0 0 0 0 39597.9798−84000 0 249597.9798 39597.9798 −126000 0 0
0 0 39597.9798 151597.9798 0 0 00 0 −126000 0 147505.8357 32262.2509 -21505.83750 0 0 0 32262.2509 48393.3764 −32262.2509
−39597.9798 39597.9798 0 0 −21505.8375 −32262.2509 145103.8173
4H5δV 54H4δV 44H3δV 34H2
UNSCH55
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
4.1. EJEMPLO DE UNA ARMADURA 2D CAPÍTULO 4.
4H5δV 54H4δV 44H3δV 34H2
=
123597.9798 −39597.9798 −84000 0 0 0 −39597.9798−39597.9798 123597.9798 0 0 0 0 39597.9798−84000 0 249597.9798 39597.9798 −126000 0 0
0 0 39597.9798 151597.9798 0 0 00 0 −126000 0 147505.8357 32262.2509 -21505.83750 0 0 0 32262.2509 48393.3764 −32262.2509
−39597.9798 39597.9798 0 0 −21505.8375 −32262.2509 145103.8173
00005−60
RESULTADOS FINALES DE LOS DESPLAZAMIENTOS HORIZONTALES Y VERTICALES EN LOS
NODOS
4H5δV 54H4δV 44H3δV 34H2
=
0.000135574m4.4452×10−5m0.000180026m
−4.7024×10−5m0.000251459m
−0.000293739m−3.1742×10−6m
Note como el nodo(5) se desplaza horizontalmente hacia la derecha 0.000135574m y verticalmente haciaarriba 4.4452 * 10−5 m, o percátese de la ocurrencia de un movimiento hacia la derecha y hacia abajodel nodo(4) de 0.000180026 m y 4.7024 * 10−5 m. También, vea como el nodo (3) tiene componenteshorizontal y vertical de desplazamiento de 0.000251459 m hacia la derecha y de 0.000293739 m haciaabajo. Por su parte, el nodo (2) se desplaza 3.1742 * 10−6 m hacia la izquierda.
Se escribe el segundo subsistema y se le da solución. Visualice como la ecuación originada que posee elaspecto de la ecuación 1 − 14 se simplifica sencillamente al realizar la multiplicación de matrices correspon-diente y con ello se llega a los valores de las fuerzas reactivas en los soportes (1) y (2).
R2yR1xR1y
=
39597.9798 −39597.9798 0 −112000 −32262.2509 −48393.3764 −7335.7289199991.3562000 0 −39597.9798 −39597.9798 0 0 −840000123597.979839597.97980 −84000 −39597.9798 −39597.9798 0 0 0039597.9798123597.9798
0.000135574m4.4452×10−5m0.000180026m
−4.7024×10−5m0.000251459m
−0.000293739m−3.1742×10−6m
=
15T−5T−9T
Los signos negativos de R1X y R1Y indican que estas reacciones actúan en las direcciones x negativa y ynegativa respectivamente. Por consiguiente,
R2y = 15T ↑
R1x = 5T ←
R1y = 15T ↓
CALCULANADO LAS FUERZAS EN LOS ELEMENTOS
Para determinar la fuerza de tensión q de un elemento i, se utiliza la ecuación que se muestra a continuación:
qi =AEL
(−λx −λy λx λy
)DNxDNyDFxDFy
→ (1−15)
dondeA =área de la sección transversal del elemento.E =módulo de elasticidad del elemento.L =longitud del elemento.λx ,λy = cosenos directores.DNx ,DNy = desplazamientos horizontal y vertical del nodo N del elemento en turno.DFx ,DFy= desplazamientos horizontal y vertical del nodo F del elemento en turno.
UNSCH56
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
4.1. EJEMPLO DE UNA ARMADURA 2D CAPÍTULO 4.
Finalmente se aplica la expresión 1 − 15 en cada elemento. Si se obtiene un resultado negativo, entonces elelemento está en compresión.
ELEMENTO 1
AE = 252000T , L = 3m , λx = 1, λy = 0 ,
DNxDNyDFxDFy
=
D9D10D7D8
=
004H2
0
q1 = 84000(−1 0 1 0
)00
−3.1742×10−6
0
=−0.266633T
ELEMENTO 2
AE = 252000T ,L =√
13m,λx = 0.5547,λy = 0.8321 ,
DNxDNyDFxDFy
=
D7D8D5D6
=
4H2
04H3δV 3
q2 = 69892.2247(−0.5547 −0.8321 0.5547 0.8321
)3.1742×10−6
00.000251459−0.000293739
=−7.21114T
ELEMENTO 3
AE = 252000T , L = 2m , λx = 1, λy = 0 ,
DNxDNyDFxDFy
=
D3D4D5D6
=
4H4δV 44H3δV 3
q3 = 126000(−1 0 1 0
)0.000180026−4.7024×10−5
0.000251459−0.000293739
= 9.00056T
ELEMENTO 4
AE = 252000T , L = 3m , λx = 1, λy = 0 ,
DNxDNyDFxDFy
=
D1D2D3D4
=
4H5δV 54H4δV 4
q4 = 84000(−1 0 1 0
)0.000135574
4.7024×10−5
0.000180026−4.7024×10−5
= 3.73397T
UNSCH57
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
4.1. EJEMPLO DE UNA ARMADURA 2D CAPÍTULO 4.
ELEMENTO 5
AE = 252000T , L = 3m , λx = 0, λy = 1 ,
DNxDNyDFxDFy
=
D9D10D1D2
=
004H5δV 5
q5 = 84000(−1 0 1 0
)00
0.0001355744.4452×10−5
= 3.73397T
ELEMENTO 6
AE = 336000T , L = 3√
2m , λx = 0.7071, λy =−0.7071 ,
DNxDNyDFxDFy
=
D1D2D7D8
=
4H5δV 54H2
0
q6 = 79195.9595(−0.7071 0.7071 0.7071 −0.7071
)0.000135574
4.4452×10−5
−3.1742×10−6
0
=−5.28054T
ELEMENTO 7
AE = 336000T , L = 3√
2m , λx = 0.7071, λy = 0.7071 ,
DNxDNyDFxDFy
=
D9D10D3D4
=
004H4δV 4
q7 = 79195.9595(−0.7071 −0.7071 0.7071 0.7071
)00
0.0001800264.4452×10−5
= 7.44804T
ELEMENTO 8
AE = 336000T , L = 3m , λx = 0, λy = 1 ,
DNxDNyDFxDFy
=
D7D8D3D4
=
4H2
04H4δV 4
q8 = 112000(
0 −1 0 1)−3.1742×10−6
00.000180026−4.7024×10−5
=−5.26669T
En la figura (0.12.9) k se aprecian los resultados obtenidos para las reacciones en los soportes y las fuerzasinternas de la armadura. Recuerde que un elemento en compresión “empuja” a la junta y un elemento en tensión“jala” a la junta.
UNSCH58
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
4.1. EJEMPLO DE UNA ARMADURA 2D CAPÍTULO 4.
ARMADURA CON SUS RESPECTIVAS FUERZAS INTERNAS Y EXTERNAS
Figura 4.9: Armadura Con Sus Respectivas Fuerzas Internas y Externas Finales
UNSCH59
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
CAPÍTULO 5
SOLUCION DE FRAME 3D METODO RIGIDEZ
5.1. EJEMPLO DE UN PORTICO 3DAverigue la matriz de rotación de cada elemento y parte de la matriz de rigidez de la estructura
Figura 5.1: Portico Espacial
60
5.1. EJEMPLO DE UN PORTICO 3D CAPÍTULO 7.
5.1.1. Solucion:La estructura espacial tiene seis grados de libertad, que son traducciones y las rotaciones de unión 1 en la
global, X, Y y Z. Estos están numerados 1, 2,3,4,5 y 6 respectivamente. Grados de libertad restringidos se numerana través de 7 a 24 en la figura.
Figura 5.2: Numeracion de los Grados de Libertad de Portico Espacial
PARA EL ELEMENTO 1
Conjunto 2 es el nodo de inicio y la articulación 1 es el nodo final de este elemento del modelo analítico.
L =
√(X1−X2)
2 +(Y1−Y2)2 +(Z1−Z2)
2
L =
√(240−0)2 +(0−0)2 +(0−0)2 = 240in
CX = X1−X2L = 240−0
240 = 1
CY = Y1−Y2L = 0
CZ = Z1−Z2L = 0
CXZ =√
C2X +C2
Y =√
12 +02 = 1
Ángulo entre el eje Y local y Y-eje global,α=0
cosα = cos0 = 1
sinα = sin0 = 0
UNSCH61
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
5.1. EJEMPLO DE UN PORTICO 3D CAPÍTULO 7.
Mediante el uso de la matriz de rotación está dada por
r1 =
1 0 00 1 00 0 1
Matriz de transformación para el elemento 1 se calculará utilizando.
T1 =
r1 0 0 00 r1 0 00 0 r1 00 0 0 r1
PARA EL ELEMENTO 2
Conjunto 3 es el nodo de inicio y la articulación 1 es el nodo final de este elemento del modelo analítico.
L =
√(X1−X3)
2 +(Y1−Y3)2 +(Z1−Z3)
2
L =
√(240−240)2 +(0−240)2 +(0−0)2 = 240in
CX = X1−X3L = 240−240
240 = 0
CY = Y1−Y3L = 0+240
240 = 1
CZ = Z1−Z3L = 0
CXZ =√
C2X +C2
Y =√
02 +12 = 1
Ángulo entre el eje Y local y Y-eje global,α=90 deg
cosα = cos90 = 0
sinα = sin90 = 1
Mediante el uso de la matriz de rotación está dada por
r2 =
0 1 00 0 11 0 0
Matriz de transformación para el elemento 2 se calculará utilizando
T2 =
r2 0 0 00 r2 0 00 0 r2 00 0 0 r2
PARA EL ELEMENTO 3
Conjunto 3 es el nodo de inicio y la articulación 1 es el nodo final de este elemento del modelo analítico.
L =
√(X1−X4)
2 +(Y1−Y4)2 +(Z1−Z4)
2
L =
√(240−240)2 +(0−0)2 +(0−240)2 = 240in
CX = X1−X4L = 240−240
240 = 0
UNSCH62
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
5.1. EJEMPLO DE UN PORTICO 3D CAPÍTULO 7.
CY = Y1−Y4L = 0+0
240 = 1
CZ = Z1−Z4L = 0
CXZ =√
C2X +C2
Y =√
02 +02 = 0
Ángulo entre el eje Y local y Y-eje global,α=30 deg
cosα = cos30 = 0.86603
sinα = sin30 = 0.5
Mediante el uso de matriz de rotación es dada por
r2 =
0 0 1−0.5 0.86603 0−0.86603 −0.5 0
Matriz de transformación para el elemento 3 se calculará utilizando
T3 =
r3 0 0 00 r3 0 00 0 r3 00 0 0 r3
K f f =
3990.3 −5.2322 0 −627.87 −1075.4 712.92−5.2322 4008.4 0 1800.4 627.87 −2162.9
0 0 3987.3 −712.92 712.92 0−627.87 1800.4 −712.92 402860 100460 0−1075.4 627.87 712.92 100460 286860 0712.92 −2162.9 0 0 0 460860
UNSCH63
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
CAPÍTULO 6
APLICACION DE TRUSS 3D METODO RIGIDEZ
6.1. EJEMPLO DE UNA ARMADURA 3DEn la siguiente armadura espacial obtener los desplazamiento , fuerzas internas y externas de la estructura poer
metodo de ridez.
Figura 6.1: Armadura Espacial
∑Ei = 2×107Kn/m2
∑Ai = 0.05m2
64
6.1. EJEMPLO DE UNA ARMADURA 3D CAPÍTULO 6.
6.1.1. Solucion:Todas las posiciónes de cada nodo del sistema, puntos de vista y los coeficientes de desplazamiento nodal
Figura 6.2: Armadura Con Sus Respectivas Numeraciones en Los Nodos y Elementos
Elementos No x(i)m y(i) z(i) x(J)m y(j)m. Z(j)m DesplasamientosI 0.00 4.00 0.00 4.00 8.00 0.00 1-0-0 2-3-4II 3.00 0.00 4.00 0.00 4.00 0.00 0-0-0 1-0-0III 3.00 0.00 4.00 4.00 8.00 0.00 0-0-0 2-3-4IV 8.00 4.00 0.00 4.00 8.00 0.00 5-0-0 2-3-4V 5.00 0.00 4.00 4.00 8.00 0.00 0-0-0 2-3-4VI 5.00 0.00 4.00 8.00 4.00 0.00 0-0-0 5-0-0VII 4.00 8.00 0.00 4.00 0.00 -4.00 2-3-4 0-0-0
UNSCH65
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
6.1. EJEMPLO DE UNA ARMADURA 3D CAPÍTULO 6.
OPTENIENDO MATRIX DE TRANSFORMACION DE CADA ELEMENTO
Matriz de trasformcion del elemento I
Figura 6.3: Elemento (1) Aislado de La Armadura Espacial
l = cos(α) = 1√2
m = cos(β ) = 1√2
n = cos(γ) = 1√2
[T ]I =
1√2
1√2
0.00 0.00 0.00 0.00− 1√
21√2
0.00 0.00 0.00 0.000.00 0.00 1√
20.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 1√2
1√2
0.000.00 0.00 0.00 1√
21√2
0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
Matriz de trasformcion del elemento II
Figura 6.4: Elemento (2) Aislado de La Armadura Espacial
l = cos(α) = 3√41
m = cos(β ) = 4√41
n = cos(γ) = 4√41
[T ]II =
3√41
4√41
− 4√41
0.00 0.00 0.00− 4√
41− 3√
410.00 0.00 0.00 0.00
4√41
0.00 − 3√41
0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 − 3√
414√41
− 4√41
0.00 0.00 0.00 − 4√41− 3√
410.00
0.00 0.00 0.00 4√41
0.00 − 3√41
UNSCH66
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
6.1. EJEMPLO DE UNA ARMADURA 3D CAPÍTULO 6.
Matriz de trasformcion del elemento III
Figura 6.5: Elemento (3) Aislado de La Armadura Espacial
l = cos(α) = 19
m = cos(β ) = 89
n = cos(γ) =− 49
[T ]III =
19
89 − 4
9 0.00 0.00 0.00− 8
919 0.00 0.00 0.00 0.00
49 0.00 1
9 0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 1
989 − 4
90.00 0.00 0.00 − 8
9 − 19 0.00
0.00 0.00 0.00 49 0.00 − 1
9
Matriz de trasformcion del elemento IV
Figura 6.6: Elemento (4) Aislado de La Armadura Espacial
l = cos(α) = 1√2
m = cos(β ) =− 1√2
n = cos(γ) = 0.00[T ]IV =
1√2− 1√
20.00 0.00 0.00 0.00
1√2
1√2
0.00 0.00 0.00 0.000.00 0.00 1√
20.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 1√2− 1√
20.00
0.00 0.00 0.00 1√2
1√2
0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1√
2
UNSCH67
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
6.1. EJEMPLO DE UNA ARMADURA 3D CAPÍTULO 6.
Matriz de trasformcion del elemento V
Figura 6.7: Elemento (5) Aislado de La Armadura Espacial
l = cos(α) =− 19
m = cos(β ) = 89
n = cos(γ) =− 49
[T ]V =
− 19
89 − 4
9 0.00 0.00 0.00− 8
9 − 19 0.00 0.00 0.00 0.00
49 0.00 − 1
9 0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 − 1
989 − 4
90.00 0.00 0.00 − 8
9 − 19 0.00
0.00 0.00 0.00 49 0.00 − 1
9
Matriz de trasformcion del elemento VI
Figura 6.8: Elemento (6) Aislado de La Armadura Espacial
l = cos(α) = 3√41
m = cos(β ) = 4√41
n = cos(γ) =− 4√41
[T ]V I =
3√41
4√41− 4√
410.00 0.00 0.00
− 4√41
3√41
0.00 0.00 0.00 0.004√41
0.00 3√41
0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 3√
414√41
− 4√41
0.00 0.00 0.00 − 4√41− 3√
410.00
0.00 0.00 0.00 4√41
0.00 3√41
UNSCH68
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
6.1. EJEMPLO DE UNA ARMADURA 3D CAPÍTULO 6.
Matriz de trasformcion del elemento VII
Figura 6.9: Elemento (7) Aislado de La Armadura Espacial
l = cos(α) = 0.00m = cos(β ) =− 2√
5n = cos(γ) =− 1√
5
[T ]V II =
0.00 − 2√5− 1√
50.00 0.00 0.00
1√2
1√2
0.00 0.00 0.00 0.001√5
0.00 1√2
0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 0.00 − 2√
50.00
0.00 0.00 0.00 2√5
0.00 0.000.00 0.00 0.00 1√
50.00 0.00
MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DE CADA ELEMENTO
Matriz de rigidez global del eje del elemento I
[K]I =AE
4√
2
0.00 − 2√5− 1√
50.00 0.00 0.00
1√2
1√2
0.00 0.00 0.00 0.001√5
0.00 1√2
0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 0.00 − 2√
50.00
0.00 0.00 0.00 2√5
0.00 0.000.00 0.00 0.00 1√
50.00 0.00
Matriz de rigidez global del eje del elemento II
[K]II =AE√
41
941 − 12
411241 − 9
411241 − 12
41− 12
411641 − 16
411241 − 16
411641
1241 − 16
411641 − 12
411641 − 16
41− 9
411241
1241
941 − 12
411241
1241 − 16
411641 − 12
411641 − 16
411241
1241 − 16
411241 − 16
411641
UNSCH69
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
6.1. EJEMPLO DE UNA ARMADURA 3D CAPÍTULO 6.
Matriz de rigidez global del eje del elemento III
[K]III =AE9
181 − 8
81 − 481 − 1
81 − 881
481
881
6481
3281
881 − 64
813281
− 481 − 32
811681
481
3281 − 16
81− 1
81 − 881
481
181 − 8
81481
− 881 − 64
813281
881
6481 − 32
81481
3281 − 16
814
81 − 3281
1681
Matriz de rigidez global del eje del elemento IV
[K]IV =AE
4√
42
12 − 1
2 0.00 0.00 − 12 0.00
− 12 − 1
2 0.00 0.00 − 12 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00− 1
212 0.00 0.00 − 1
2 0.00− 1
2 − 12 0.00 0.00 1
2 0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
Matriz de rigidez global del eje del elemento V
[K]V =AE9
181 − 8
81481 − 1
81 − 881 − 4
81− 8
816481 − 32
81881 − 64
813281
481 − 32
811681 − 4
813281 − 16
81− 1
81 − 881 − 4
81181 − 8
81481
881 − 64
813281 − 8
816481 − 32
81− 4
813281 − 16
81481 − 32
811681
Matriz de rigidez global del eje del elemento VI
[K]V I =AE√
41
941
1241 − 12
41 − 941 − 12
41 − 1241
1241
1641 − 16
411241 − 16
411641
− 1241 − 16
411641 − 12
411641 − 16
41− 9
41 − 1241
1241
941
1241 − 12
41− 12
41 − 1641
1641
1241 − 16
41 − 1641
1241
1241 − 16
41 − 1241 − 16
411641
Matriz de rigidez global del eje del elemento VII
[K]V II =AE
4√
45
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000.00 4
525 0.00 − 4
5 − 25
0.00 25
15 0.00 − 2
5 − 15
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000.00 − 4
5 − 25 0.00 2
5 − 25
0.00 25 − 1
5 0.00 − 25
15
UNSCH70
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
6.1. EJEMPLO DE UNA ARMADURA 3D CAPÍTULO 6.
OBTENCION DE MA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA
K11 = AE ∗[
12 ∗
14√
2+ 9
41 ∗141
]= 0.12267AE
K12 = AE ∗[− 1
2 ∗1
4√
2
]= 0.08838AE
K13 = AE ∗[− 1
2 ∗1
4√
2
]= 0.08838AE
K14 = AE ∗ [0.00] = 0.00
K15 = AE ∗ [0.00] = 0.00
K22 = AE ∗[
12 ∗
14√
2+ 1
81 ∗19 +
12 ∗
14√
2+ 1
81 ∗19 +0.00
]= 0.17952AE
K23 = AE ∗[
12 ∗
14√
2+ 8
81 ∗19 +
12 ∗
14√
2− 8
81 ∗19 +0.00
]= 0.000
K24 = AE ∗[0.00− 4
81 ∗19 +0.00+ 4
81 ∗19 +0.00
]= 0.00
K25 = AE ∗[− 1
2 ∗1
4√
2
]=−0.08838AE
K33 = AE ∗[
12 ∗
14√
2+ 64
81 ∗19 +
12 ∗
14√
2+ 64
81 ∗18 +
45 ∗
14√
5
]= 0.26869AE
K34 = AE ∗[0.00+ 32
81 ∗19 +0.00+ 32
81 ∗18 +
25 ∗
14√
5
]=−0.043070AE
K35 = AE ∗[
12 ∗
14√
2
]= 0.26869AE
K36 = AE ∗[0.00+ 16
81 ∗19 +0.00+ 16
81 ∗19 +
15 ∗
14√
5
]= 0.066256AE
K44 = AE ∗[
12 ∗
14√
2− 9
41 ∗1√41
]= 0.122670AE
K45 = AE ∗ [0.00] = 0.00
K55 = AE ∗[
12 ∗
14√
2− 9
41 ∗1√41
]= 0.122670EA
RESULTADO DE LOS DESPLAZAMIENTOS DEL SISTEMA GLOBAL
[K]{D}= {P}
0.122760 −0.088388 −0.088388 0.000 0.000−0.088388 0.179250 0.000 0.000 −0.088388−0.088388 0.000 0.441802 −0.04307 0.08838
0.000 0.000 −0.04307 0.066256 0.0000.000 −0.00388 0.088388 0.000 0.122670
∗
D1D2D3D4D5
=
10.000.00−30.00
0.00−10.00
D1 =
42.3AE = 42.30
2∗10E+7∗0.005 = 0.4230E−4metro = 0.042mm
D2 = 0.00
D3 =−54.4444
AE = −54.44442∗10E+7∗0.005 =−0.5443E−4metro =−0.054mm
D4 =−35.380
AE = −35.3802∗10E+7∗0.005 = 0.3538E−4metro =−0.035mm
D5 =−42.300
AE = −42.3002∗10E+7∗0.005 = 0.4230E−4metro =−0.042mm
UNSCH71
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
6.1. EJEMPLO DE UNA ARMADURA 3D CAPÍTULO 6.
DEFORMADA DE LA ARMADURA ESPACIAL
Figura 6.10: Deformada de La Armadura Espacial
OBTENCION DE LAS REACCIONES GLOBALES EN NODOS Y ELEMNTOS
Reacciones en los nodos globales de elementos I
[Pg]I =AE
4√
2
12 − 1
2 0.00 0.00 − 12 0.00
− 12 − 1
2 0.00 0.00 − 12 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00− 1
2 − 12 0.00 0.00 1
2 0.00− 1
2 − 12 0.00 0.00 1
2 0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
42.3000.0000.000−54.444−35.380−42.300
=
8.548.54980.000−8.5498−8.5498
0.000
Reacciones en los nodos globales de elementos II
[Pg]II =AE√
41
941 − 12
411241 − 9
411241 − 12
41− 12
411641 − 16
411241 − 16
411641
1241 − 16
411641 − 12
411641 − 16
41− 9
411241
1241
941 − 12
411241
1241 − 16
411641 − 12
411641 − 16
411241
1241 − 16
411241 − 16
411641
0.0000.0000.00042.3000.0000.000
−1.45021.9337−1.93371.4502−1.93371.9337
UNSCH72
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
6.1. EJEMPLO DE UNA ARMADURA 3D CAPÍTULO 6.
Reacciones en los nodos globales de elementos III
[Pg]III =AE9
181 − 8
81481 − 1
81 − 881 − 4
81− 8
816481 − 32
81881 − 64
813281
481 − 32
811681 − 4
813281 − 16
81− 1
81 − 881 − 4
81181 − 8
81481
881 − 64
813281 − 8
816481 − 32
81− 4
813281 − 16
81481 − 32
811681
∗
0.0000.0000.0000.000−54.444−35.380
=
0.40313.2251−1.6126−0.4031−3.22511.6126
Reacciones en los nodos globales de elementos IV
[Pg]IV =AE
4√
42
12 − 1
2 0.00 0.00 − 12 0.00
− 12 − 1
2 0.00 0.00 − 12 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00− 1
2 − 12 0.00 0.00 1
2 0.00− 1
2 − 12 0.00 0.00 1
2 0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
−42.3000.0000.0000.000−54.444−35.380
=
−8.54988.54980.0008.5498−8.5498
0.000
Reacciones en los nodos globales de elementos V
[Pg]V =AE9
181 − 8
814
81 − 181 − 8
81 − 481
− 881
6481 − 32
81881 − 64
813281
481 − 32
811681 − 4
813281 − 16
81− 1
81 − 881 − 4
81181 − 8
81481
881 − 64
813281 − 8
816481 − 32
81− 4
813281 − 16
81481 − 32
811681
∗
0.0000.0000.0000.000−54.444−35.380
=
−0.40313.2251−1.61260.4031−3.22511.6126
Reacciones en los nodos globales de elementos VI
[Pg]V I =AE√
41
941 − 12
411241 − 9
411241 − 12
41− 12
411641 − 16
411241 − 16
411641
1241 − 16
411641 − 12
411641 − 16
41− 9
411241
1241
941 − 12
411241
1241 − 16
411641 − 12
411641 − 16
411241
1241 − 16
411241 − 16
411641
0.0000.0000.000−42.300
0.0000.000
1.45021.9337−1.9337−1.4502−1.93371.9337
Reacciones en los nodos globales de elementos VII
[Pg]V II =AE
4√
45
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000.00 4
525 0.00 − 4
5 − 25
0.00 25
15 0.00 − 2
5 − 15
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000.00 − 4
5 − 25 0.00 2
525
0.00 − 25 − 1
5 0.00 25
15
∗
0.000−54.44−35.380
0.0000.0000.000
=
0.000−6.4502−3.2251
0.0006.45023.2251
UNSCH73
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
6.1. EJEMPLO DE UNA ARMADURA 3D CAPÍTULO 6.
OBTENCION DE LAS REACCIONES DE NODO BORDE LOCALES DE CADA ELEMENTO
Figura 6.11: Equilibrio de Elementos de La Armadura Espacial
EQULIBRIO DE ELEMENTOS
Figura 6.12: Equilibrio de Nodos de (IV) y (VI) De Armadura Espacial
Figura 6.13: Equilibrio de Nodos de (I) y (II) DeArmadura Espacial
Figura 6.14: Equilibrio de Nodos de (V) y (VII) DeArmadura Espacial
UNSCH74
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
6.1. EJEMPLO DE UNA ARMADURA 3D CAPÍTULO 6.
PARA LOS APOYOS
Figura 6.15: Equilibrio de Nodos de Los Apoyos (I) y (IV) DeArmadura Espacial
Figura 6.16: Equilibrio de Nodos de Los Apoyos (II) y (VI) DeArmadura Espacial
OBTENCION DE LAS REACCIONES DE NODO BORDE GLOBALES DE CADA ELEMENTO
Efectos nodo de frontera eje locales del elemento I
[PL]I =
1√2
1√2
0.00 0.00 0.00 0.00− 1√
21√2
0.00 0.00 0.00 0.000.00 0.00 1√
20.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 1√2
1√2
0.000.00 0.00 0.00 − 1√
21√2
0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
8.54988.54980.000−8.5498−8.5498
0.000
=
12.09120.0000.000−12.0912
0.0000.000
Efectos nodo de frontera eje locales del elemento II
[PL]II =
3√41
4√41− 4√
410.00 0.00 0.00
− 4√41
3√41
0.00 0.00 0.00 0.004√41
0.00 3√41
0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 − 3√
414√41
− 4√41
0.00 0.00 0.00 − 4√41− 3√
410.00
0.00 0.00 0.00 4√41
0.00 3√41
∗
−1.45021.9337−1.93371.4502−1.93371.9337
=
3.09540.0000.000−3.0954
0.0000.000
UNSCH
75ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
6.1. EJEMPLO DE UNA ARMADURA 3D CAPÍTULO 6.
Efectos nodo de frontera eje locales del elemento III
[PL]III =
19
89 − 4
9 0.00 0.00 0.00− 8
919 0.00 0.00 0.00 0.00
49 0.00 1
9 0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 1
989 − 4
90.00 0.00 0.00 − 8
9 − 19 0.00
0.00 0.00 0.00 49 0.00 − 1
9
∗
0.40313.2251−1.6126−0.4031−3.22511.6126
=
3.62830.0000.000−3.6283
0.0000.000
Efectos nodo de frontera eje locales del elemento IV
[PL]IV =
1√2
1√2
0.00 0.00 0.00 0.00− 1√
21√2
0.00 0.00 0.00 0.000.00 0.00 1√
20.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 1√2
1√2
0.000.00 0.00 0.00 − 1√
21√2
0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1√
2
∗
−8.54988.54980.000
8.5498−8.5498
0.000
=
12.09120.0000.000−12.0912
0.0000.000
Efectos nodo de frontera eje locales del elemento V
[PL]V =
19
89 − 4
9 0.00 0.00 0.00− 8
919 0.00 0.00 0.00 0.00
49 0.00 1
9 0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 1
989 − 4
90.00 0.00 0.00 − 8
9 − 19 0.00
0.00 0.00 0.00 49 0.00 − 1
9
∗
0.40313.2251−1.61260.4031−3.22511.6126
=
3.62830.0000.000−3.6283
0.0000.000
Efectos nodo de frontera eje locales del elemento VI
[PL]V I =
3√41
4√41− 4√
410.00 0.00 0.00
− 4√41
3√41
0.00 0.00 0.00 0.004√41
0.00 3√41
0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 − 3√
414√41
− 4√41
0.00 0.00 0.00 − 4√41− 3√
410.00
0.00 0.00 0.00 4√41
0.00 3√41
∗
1.45021.9337−1.9337−1.4502−1.93371.9337
=
3.09540.0000.000−3.0954
0.0000.000
Efectos nodo de frontera eje locales del elemento VII
[PL]V II =
0.00 − 2√5− 1√
50.00 0.00 0.00
1√2
1√2
0.00 0.00 0.00 0.001√5
0.00 1√2
0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 0.00 − 2√
50.00
0.00 0.00 0.00 2√5
0.00 0.000.00 0.00 0.00 1√
50.00 0.00
∗
0.000−6.4502−3.2251
0.0006.45023.2251
∗
7.21160.0000.000−7.2116
0.0000.000
UNSCH76
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
6.1. EJEMPLO DE UNA ARMADURA 3D CAPÍTULO 6.
TABLA DE RESULTADOS DE LAS FUERZAS INTERNAS EN LOS ELEMENTOS
Elemento Local Elemento TipoI 12.0912 comprencion(-)II 3.0954 comprencion(-)III 3.6283 comprencion(-)IV 12.0912 comprencion(-)V 3.6283 comprencion(-)V 3.0954 comprencion(-)
VII 7.21156 comprencion(-)
RESULTADO FINAL DE FUERZAS INTERNAS Y EXTERNAS DE LAARMADURA 3D
Figura 6.17: Armadura 3D Con Sus Respectivas Reacciones y Momentos
UNSCH77
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
CAPÍTULO 7
APLICACION DE UN GRID POR METODO RIGIDEZ
7.1. EJEMPLO DE UN GRIDResuelva matricialmente la estructura descrita a continuación
Ambos elementos tienen una sección de 300 mm×400 mm (b×h), el módulo de elasticidad vale 19 KN/mm2y la relación de Poisson 0.20.
Figura 7.1: Parrilla
78
7.1. EJEMPLO DE UN GRID CAPÍTULO ??.
7.1.1. Solucion:Cálculos previos:
La constante torsional vale:
J =Cbt3
C = 13 −0.21× t
b
[1− 1
12
( tb
)4]= 1
3 −0.21× 300400
[1− 1
12
( 300400
)4]= 0.1800
J = 0.1800×400×3003 = 1.944×10−9mm4 = 1.944×10−3m4
G = E2(1+µ) =
192(1+0.2) = 7.920 KN
mm2 = 7.92×106 KNm2
GJ = 7.92×106×1.944×10−3 = 15400KN.m2 Fuerzas de empotramiento perfecto de cada elemento.
Para Elemento 1-2
MoY 12 =−Mo
Y 21−PL8
=50×2.4
8=−15
Zo12 = Zo
21 =P2=
502
= 25
MoX12 = Mo
X21 = 0
Figura 7.2: Momento de Empotramiento del Elemento (1-2)
UNSCH79
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
7.1. EJEMPLO DE UN GRID CAPÍTULO ??.
Para Elemento 1-3:
MoX13 =−Mo
X31 =−WL2
12=−20×9
12=−15
Zo13 = Zo
31 =WL
2=
20×32
= 30
MoY 13 = Mo
Y 31 = 0
Figura 7.3: Momento de Empotramiento del Elemento (1-3)
Reeeplazando en la ecuación orientado al eje X, para el elemento 1-2
MX12MY 12Z12
MX21MY 21Z21
=
0−15250
1525
+
6416.67 0 0 −6416.67 0 00 50666.67 −31666.67 0 25333.33 31666.670 −31666.67 26388.89 0 −31666.67 −26388.89
−6416.67 0 0 6416.67 0 00 25333.33 −31666.67 0 50666.67 31666.670 31666.67 −26388.89 0 31666.67 26388.89
θX1θY 1V1000
Reeeplazando en la ecuación orientado al eje Y, para el elemento 1-3
MX13MY 13Z13
MX31MY 31Z31
=
−15
030150
30
+
40533.33 0 −20266.67 20266.67 0 20266.670 5133.33 0 0 −5133.33 0
−20266.67 0 13511.11 −20266.67 0 −13511.1120266.67 0 0 40533.33 0 20266.67
0 −5133.33 −31666.67 0 5133.33 020266.67 0 −26388.89 20266.67 0 13511.11
θX1θY 1V1000
ENSAMBLANDO LAS PARTES CORRESPONDIENTES AL NUDO LIBRE (1)
Vector de fuerzas externas.
00−40
UNSCH80
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
7.1. EJEMPLO DE UN GRID CAPÍTULO ??.
MX1 = 0MY 1 = 0
Z1 =−40
=
−15−1555
+ 46950 0 −20266.67
0 55800 −31666.67−20266.67 −31666.67 39900
θX1θY 1V1
15
15−95
=
46950 0 −20266.670 55800 −31666.67
−20266.67 −31666.67 39900
θX1θY 1V1
Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos:
θX1 =−2.301×10−3rad
θY 1 =−3.176×10−3rad
V1 =−6.070×10−3m
CALCULO DE LAS FUERZAS INTERNAS DE LA PARRILLA
Para el elemento 1-2
MX12MY 12Z12
MX21MY 21Z21
=
0−152501525
+
6416.67 0 0 −6416.67 0 00 50666.67 −31666.67 0 25333.33 31666.670 −31666.67 26388.89 0 −31666.67 −26388.89
−6416.67 0 0 6416.67 0 00 25333.33 −31666.67 0 50666.67 31666.670 31666.67 −26388.89 0 31666.67 26388.89
−2.301×10−3
−3.176×10−3
−6.070×10−3
000
MX12MY 12Z12
MX21MY 21Z21
=
−14.7616.30−34.6114.76
126.7684.61
KN−mKN−m
KNKN−mKN−m
KN
Para el elemento 1-3
MX13MY 13Z13
MX31MY 31Z31
=
−15
03015030
+
40533.33 0 −20266.67 20266.67 0 20266.670 5133.33 0 0 −5133.33 0
−20266.67 0 13511.11 −20266.67 0 −13511.1120266.67 0 0 40533.33 0 20266.67
0 −5133.33 −31666.67 0 5133.33 020266.67 0 −26388.89 20266.67 0 13511.11
−2.301×10−3
−3.176×10−3
−6.070×10−3
000
MX13MY 13Z13
MX31MY 31Z31
=
−14.7616.30−5.3891.3916.3065.38
KN−mKN−m
KNKN−mKN−m
KN
UNSCH81
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
7.1. EJEMPLO DE UN GRID CAPÍTULO ??.
FINALMENTE SE DIBUJAN LOS DIAGRAMAS DE LA PARRILLA
Figura 7.4: Diagrama de Fuerza Cortante de la Parrilla
Figura 7.5: Diagrama de Momento Flector de la Parrilla
UNSCH82
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
7.1. EJEMPLO DE UN GRID CAPÍTULO ??.
Figura 7.6: Diagrama de Fuerza Axial de la Parrilla
UNSCH83
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
PARTE IVCONCLUSIONES
84
CONCLUSIONES V.
CONCLUSIONES
1 La interfaz del programa UCMM ha sido desarrollada mediante MatLab, con el objetivo de que el usuario,de forma muy intuitiva y sin conocer en profundidad los procedimientos de cálculo, pueda definir y obtenerlos resultados de cualquier estructura plana que se plantee resolver.
2 El programa ha sido validado mediante comparación de resultados obtenidos con cálculos analíticos y otrosprogramas informáticos.
3 Es importante considerar el caso de la viga acartelada de valor αa = 0.5 , ya que los resultados de losmomentos de empotramiento no se ajustan a los calculados por el método de análisis estructural.
4 MATLAB es capaz de analizar cualquier armadura en 2D / 3D y el marco con número n de elementos y elnúmero n de nodos con cualquier sección transversal propiedades y diferentes condiciones finales.
5 El método matricial de la rigidez es un método de cálculo aplicable tanto a estructuras isostáticas comoestructuras hiperestáticas de elementos que se comportan de forma elástica y lineal. Es también denominadométodo de los desplazamientos y en inglés se le conoce como direct stiffness method (DSM, método directode la rigidez).
6 Con el avanzado desarrollo computacional en los últimos años, combinados con los resultados de las estudiosdel análisis matricial de estructuras, hoy se hace posible la realización de este trabajo en donde se expuso unsoftware didáctico para el cálculo de estructuras plana,espacial y parilla mediante el uso del método de larigidez.
7 Los elemetos tipo parrillas son utilizadas en estructuras como:Puentes,Losas armadas en dos direc-ciones,Cierto tipo de cimentaciones y estructuras sometidas a la accion del viento.
UNSCH85
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
PARTE VRECOMENDACIONES
86
RECOMENDACIONES V.
RECOMENDACIONES
1 Se sugiere la continuación del estudio del comportamiento de las diferentes clases de estructuras, haciendoel mismo procedimiento pero extendiendo hacia un modelo que represente las diferentes tipos de estructurasde acero.
2 Se recomienda utilizar el metodo de rigidez matricial pues es muy bueno para el analisis de edificios.
3 El programa matlab es una herrramienta de gran utilidad para el analisis matricial.
4 Se recomienda tener una buen conocimiento del ensamblaje de la matriz de rigidez total de la estructura,paraasi poder obtener un resultado adecuado de las incognitas deseadas.
UNSCH87
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
PARTE VIBIBLIOGRAFIA
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Bibliografía
[1] Tena-Colunga, A. (1994) Concerns regarding the seismic design of RC haunched beams. ACIStructural Jour-nal, Vol. 91, No. 3, pp. 287-293.
[2] Charon, P. (1962). El Método de Cross y el cálculo practico de las construcciones hiperestáticas. Teoría ypráctica. , Madrid. Aguilar.
[3] ARBULU, BIAGGIO, Cálculo de estructuras hiperestáticas – volumen I, II, III, Editorial Universal Nacionalde Ingeniería. Lima. 1968.
[4] SAN BARTOLOME, ANGEL. Análisis de edificios. Fondo editorial de la Pontificia Universidad Católica delPerú P.U.C.P. Lima 1999.
[5] URIBE ESCAMILLA, JAIRO .Análisis de estructuras. Editorial de la escuela colombiana. 2004
[6] Hibbeler, R. (2012). Análisis estructural. México:PEARSON.
[7] Magdaleno, C. (1978). Análisis Matricial de Estructuras Reticulares. México: INDEPENDIENTE.
[8] Tena, A. (2007). Análisis de Estructuras con Métodos Matriciales. México: LIMUSA.
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