pruebas de significancia con muestras pequeñas t de student

Pruebas de significancia Pruebas de significancia con muestras pequeñascon muestras pequeñas

““t” de studentt” de student

Descubierta por Gosset en 1908, Descubierta por Gosset en 1908, que tenía como seudónimo que tenía como seudónimo

laboral, “student”laboral, “student”

¿cuál es el criterio para el uso de z?¿cuál es el criterio para el uso de z?

Muestras aleatoriasMuestras aleatoriasDatos cuantitativosDatos cuantitativosDistribución normalDistribución normalTamaño de la muestra, al menos 30Tamaño de la muestra, al menos 30

Ocasionalmente puede usar Ocasionalmente puede usar pruebas de z aún cuando N es pruebas de z aún cuando N es

menor de 30; siempre y cuando menor de 30; siempre y cuando σσ sea conocido y no estimado sea conocido y no estimado

con scon s

Si N es menor de 30 y Si N es menor de 30 y σσ no es no es conocido se requiere el uso de tconocido se requiere el uso de t

Los criterios para usar “t” son, Los criterios para usar “t” son, aparte de esto, los mismos que aparte de esto, los mismos que para el uso de z, los cuales son:para el uso de z, los cuales son:

Muestras aleatoriasMuestras aleatoriasDatos cuantitativosDatos cuantitativosDistribución normalDistribución normal

Escriba las fórmulas para el Escriba las fórmulas para el cálculo de la varianciacálculo de la variancia

El Dr. Pérez está interesado en saber si la gente que ha tenido ataque al corazón tienen los niveles de colesterol en sangre diferente del nivel normal de 180mg/100ml. Él tiene una muestra aleatoria de 16 pacientes y calcula su media de colesterol en 195mg/100ml con una variancia de 900

Usará t o z? ¿por qué?Usará t o z? ¿por qué? ¿cuáles son las etapas ¿cuáles son las etapas

en el desarrollo de en el desarrollo de una prueba de una prueba de significancia?significancia?

Desarrolle la primera Desarrolle la primera etapaetapa

t; muestra al azar; datos t; muestra al azar; datos cuantitativos (niveles de cuantitativos (niveles de colesterol); distribución colesterol); distribución normal; N menor de 30.normal; N menor de 30.

Establecer la hipótesis Establecer la hipótesis de nulidad y su de nulidad y su alternativa; calcular p (z alternativa; calcular p (z o t); conclusioneso t); conclusiones

diferencia se debe sólo diferencia se debe sólo a casualidad; a casualidad; alternativa es que gente alternativa es que gente que sobrevive a ataques que sobrevive a ataques de corazón tienen de corazón tienen diferente nivel de diferente nivel de colesterol.colesterol.

La distribución t es muy La distribución t es muy parecida a la distribución normal parecida a la distribución normal

estándar. La fórmula para estándar. La fórmula para calcular t es muy similar a calcular t es muy similar a

aquella para calcular zaquella para calcular z

Varía de la fórmula de z en que se Varía de la fórmula de z en que se usa s pues si usa s pues si σσ es conocido no se es conocido no se

usa tusa t

xμ

s√N

¿cuál es entonces el valor de t?

195180

30√16

t = 2

¿qué sigue entonces?

El siguiente paso es encontrar el valor El siguiente paso es encontrar el valor significativo de tsignificativo de t

Esto no es tan directo, sin embargo, como Esto no es tan directo, sin embargo, como en el caso de z.en el caso de z.

En este caso es necesario estandarizar En este caso es necesario estandarizar todas las distribuciones de t mediante el todas las distribuciones de t mediante el cálculo de los grados de libertadcálculo de los grados de libertad

Este se calcula como N-1Este se calcula como N-1 el valor significativo de t que se requiere, el valor significativo de t que se requiere,

en este caso, es aquel donde hay 15 en este caso, es aquel donde hay 15 grados de libertad.grados de libertad.

Las tablas de t al igual que las tablas Las tablas de t al igual que las tablas de z incluyen dos colas.de z incluyen dos colas.

En nuestro ejemplo se incluyen 1 o 2 En nuestro ejemplo se incluyen 1 o 2 colas?colas?

DosDosTomemos un tiempo para ver la tabla Tomemos un tiempo para ver la tabla

de t.de t.

Suponga que el experimento ha Suponga que el experimento ha sido diseñado para una sóla sido diseñado para una sóla

cola. Haga los análisiscola. Haga los análisisAnalicemos la tablaAnalicemos la tabla¿cuáles son los valores significativos ¿cuáles son los valores significativos

de t ahora?de t ahora?1.753 para 0.05 y 2.602 para 0.011.753 para 0.05 y 2.602 para 0.01¿cuál sería su conclusión?¿cuál sería su conclusión?Esto indica cómo las pruebas de Esto indica cómo las pruebas de

sinificancia se hacen más sensitivas sinificancia se hacen más sensitivas cuando es usada una cola.cuando es usada una cola.

Algo sobre grados de libertadAlgo sobre grados de libertad

Si N=20; cuántos son los grados de Si N=20; cuántos son los grados de libertad? (representémoslo por f)libertad? (representémoslo por f)

f=19f=19En la medida que f se hace mayor, la En la medida que f se hace mayor, la

distribución se hace más normal y distribución se hace más normal y cuando f=29, podemos usar las tablas cuando f=29, podemos usar las tablas de z con seguridad, en vez de t.de z con seguridad, en vez de t.

f representa la libertad para escoger.f representa la libertad para escoger.

Hagamos una práctica tomando en cuenta Hagamos una práctica tomando en cuenta que usaremos muestras muy pequeñas que usaremos muestras muy pequeñas

para efectos didácticospara efectos didácticos

Los resultados de la tabla de abajo representan los umbrales de dolor de 5 pacientes escogidos aleatoriamente. Se quiere saber si estos resultados son significativamente mayores que el promedio en la población, que es de 4 unidades. Asumamos que los umbrales están distribuidos normalmente.

pacientepaciente AA BB CC DD EE

umbraleumbraless

77 55 22 44 77

x

s2

s

f

N

μ

t calculada

xμ

s√N

Este es un experimento de____colaEste es un experimento de____colaUnaUnaAnalice la tabla de distribución tAnalice la tabla de distribución tDiga cuál es su conclusiónDiga cuál es su conclusión

Un psiquiatra decidió probar una nueva droga para dormir, a fin de ver si podía controlar mejor el sueño de sus pacientes. Escogió al azar 5 pacientes para ver si esta era efectiva. Les dio alternadamente al azar un placebo por una semana y la nueva droga por una semana y calculó el número promedio de horas que durmió cada paciente, con el placebo y con la nueva droga. A continuación los resultados

pacientepaciente PromediPromedio de o de horas en horas en placeboplacebo

PromediPromedio de o de horas en horas en la drogala droga

AA

BB

CC

DD

EE

22

66

33

11

44

77

1313

66

00

55

Esto se puede modificar a fin de usar t

Lo cual se llama pruebas pareadas de t, y tenemos:

pacientepaciente Promedio Promedio de horas de horas en en placeboplacebo

Promedio Promedio de horas de horas en la en la drogadroga

DiferenciDiferencia entre a entre droga y droga y placeboplacebo

AA

BB

CC

DD

EE

22

66

33

11

44

77

1313

66

00

55

+5+5

+7+7

+3+3

-1-1

+1+1

Realice los diferentes pasosRealice los diferentes pasos

Hipótesis de nulidad y su alternativaHipótesis de nulidad y su alternativaCalcular tCalcular tAcostúmbrese a trabajar siempre Acostúmbrese a trabajar siempre

haciendo sus tablas.haciendo sus tablas.

Complete la siguiente tablaComplete la siguiente tablapacientpacientee

xx (x -(x -x)x) (x -(x -x)x)22

AA

BB

CC

DD

EE

ΣΣxx ΣΣ(x -(x -x)x) ΣΣ(x -(x -x)x)22

x = s f

Asumiendo la hipóteis de nulidad, no Asumiendo la hipóteis de nulidad, no debe haber diferencia, por lo que debe haber diferencia, por lo que teóricamente la diferencia media es teóricamente la diferencia media es cerocero

μμ = 0 = 0Usemos la misma fórmula ya conocida y Usemos la misma fórmula ya conocida y

reemplacemos los valoresreemplacemos los valores¿se trata de 1 o 2 colas?¿se trata de 1 o 2 colas?Vayamos a la tablaVayamos a la tablaSaquemos las conclusionesSaquemos las conclusiones

Muy frecuentemente las pruebas de t pareadas son usadas cuando se les da dos drogas a cada paciente o cuando un espécimen es probado usando dos diferentes técnicas.

Cuando los resultados caen de manera natural en pares, podemos tratar las diferencias como variables y usar directamente la siguiente fórmula

Donde μ = 0

xμ

s√N

De manera muy similar al caso De manera muy similar al caso de z, podemos usar la siguiente de z, podemos usar la siguiente

fórmulafórmula

x1 x2

1N2

1N1

+vs1N2

1N1

+vs

Cuando usamos t, para calcular sCuando usamos t, para calcular s22 juntamos los cuadrados de las juntamos los cuadrados de las

desviaciones de las mediasdesviaciones de las medias

s2

Segunda Segunda muestramuestra

Primera Primera muestramuestra

xx1 2

n1 - 1

xx2 2

n2 - 1

+

+=

La primera muestra es 1,2,3,La primera muestra es 1,2,3,la segunda muestra es 0,2,2,4la segunda muestra es 0,2,2,4

xx (x -(x -x)x) (x -(x -x)x)22

112233

ΣΣxx ΣΣ(x -(x -x)x) ΣΣ(x -(x -x)x)22

xx (x -(x -x)x) (x -(x -x)x)22

00222244

ΣΣxx ΣΣ(x -(x -x)x) ΣΣ(x -(x -x)x)22

Calcule los diferentes valores y reemplace en la fórmula dada para calcular s2

Una vez calculado s2

usamos la siguiente fórmula de t

x1 x2

1N2

1N1

+√s

f siempre iguala el denominador f siempre iguala el denominador de sde s2 2 cuando éste es calculado. cuando éste es calculado. Por consiguiente, para usar t Por consiguiente, para usar t cuando cuando μμ no es conocido y la no es conocido y la suma de los cuadrados de las suma de los cuadrados de las

desviaciones de las medias son desviaciones de las medias son juntadas, f es entonces Njuntadas, f es entonces N11+N+N22-2-2