proy para una base d calibracion d inst topog y geod__tesis
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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA GEOGRÁFICA
“ PROYECTO PARA UNA BASE DE CALIBRACIÓN DE
INSTRUMENTOS TOPOGRÁFICOS Y GEODÉSICOS”
TRABA JO DE TITULACIÓN PRESENTADO EN CONFORMIDAD A LOS
REQUISITOS PARA OBTENER EL TÍTULO DE INGENIERO DE EJECUCIÓN
EN GEOMENSURA
PROFESOR GUÍA: JOSÉ JARA HENRIQUEZ
DANIEL GERARDO ARRIAGADA VIVAR
CRISTIÁN ALEXIS DÍAZ ARAYA
2005
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AABBSSTTRRAACCTT
The fast development that Chile has suffered in economic and social
matter, it has taken to implement new demands in matters of standardization in
all the environments and especially the big engineering works, such as
construction of the Subway, railway, highways, sea works, great bridges, and
another, that makes Chile a country recognized in the exterior.
As consequence of this change, it has become necessary to apply norms
of standardization to respect to the topographical measures in the engineering
works. Therefore, it is necessary to establish a Base of Calibration for
Topographical and Geodesic instruments being based on the norms ISO to
obtain in a better way good results in the engineering processes and
investigation.
This text will approach the Study, Configuration, Construction and the
Procedures for the establishment of the Base of Calibration, and be able to
analyze the measurements under the norms ISO 17123 and to be able to give
the user a certificate of calibration of the instrument. The study gives the
feasibility and the restrictions that exist in the moment to carry out the
construction of this Base.
Finally it is shown the new ones normative that are demanded today in
Chile and in other countries and the appropriate use of the new instruments
used in the measurement of angles, distance and differences likewise.
Keywords: Refraction, Baseline of Calibration, Instrumentation, Laser
RReessuummeenn______________________________________________________________________________________________________________
El vertiginoso desarrollo que ha sufrido Chile en materia económica y
social, ha llevado a implementar nuevas exigencias en materias de
estandarización en todos los ámbitos y en especial las grandes obras de
ingeniería, tales como construcción del Metro, líneas férreas, autopistas, obras
portuarias, puentes de gran envergadura, etc., lo que hace a Chile un país
reconocido en el exterior.
Como consecuencia de este cambio, se ha hecho necesario aplicar
normas de estandarización con respecto a las mediciones topográficas en las
obras de ingeniería. Por ende, es necesario establecer una Base de Calibración
para instrumentos Topográficos y Geodésicos basándose en las normas ISO
para obtener de mejor forma buenos resultados en los procesos de ingeniería e
investigación.
Este texto abordará el Estudio, Configuración, Construcción y los
Procedimientos para el establecimiento de la Base de Calibración, para así
poder analizar las mediciones hechas bajo las normas ISO 17123 y poder
entregar al usuario un certificado de calibración del instrumento. Dentro del
estudio se da a conocer la factibilidad y las restricciones que existen en el
momento de llevar a cabo la construcción de dicha Base.
Por último se muestra las nuevas normativas que se exigen hoy en día
en Chile y en otros países, como así también el uso adecuado de los nuevos
instrumentos utilizados en la medición de ángulos, distancias y desniveles.
Palabras Claves: Refracc ión, Línea Base de Calibración, Instrumentación, Laser.
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Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
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ÍÍnnddiiccee GGeenneerraall______________________________________________________________________________________________________
Resumen
Índ ice General
Lista de Acrónimos
Capítulo I: Introdu cción
1.1. Antecedentes 8
1.2. Planteamiento del Problema 9
1.3. Estado Actual del Problema 9
1.4. Hipótesis de Trabajo 10
1.5. Objetivos 10
1.6. Descripción de la Contribución Esperada y el Producto a
Obtener del Trabajo 10
Capítulo II: Fundamento Teórico
2.1 Estadística 12
2.1.1. Ajuste de observaciones 12
2.1.2. Fuentes de Errores 12
2.1.3. Tipos de Errores 13
2.1.4. Notación utilizada en Mínimos Cuadrados 15
2.1.5. Tipos de Observaciones 15
2.1.6. Comportamiento de los Errores Aleatorios 16
2.1.7. Noción del error residual 17
2.1.8. Determinación del H.D.P. 18
2.1.9. Características de la D.F.P. 20
2.1.10. Precisión de las Observaciones. 24
2.1.11. Estudio Preliminar de las Mediciones 29
2.1.12. Ajuste por Mínimos Cuadrados 31
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2.2. Incertidumbre 34
2.2.1. El mensurando 35
2.2.2. Identificación de Fuentes de Incertidumbres 35
2.2.3. Cuantificación 36
2.2.4. Evaluación tipo A 37
2.2.5. Evaluación tipo B 39
2.2.6. Distribuciones de Probabilidad 39
2.2.7. Determinación de las Incertidumbres Estándar 40
2.3. Óptica Geométrica 42
2.3.1. Aberraciones 42
2.3.2. Prismas 44
Capítulo III: Instrumentos
3.1 Teodolitos 52
3.1.1. Partes del Teodolito 54
3.1.2. Errores cometidos con el Teodolito 66
3.1.3. Efecto de la Refracción en las Visuales 71
3.2. Niveles 81
3.2.1. Clasificación de los Niveles Ópticos 81
3.2.2. Elementos de un Nivel y causas de Error en éste 82
3.2.3. Miras de Nivelación 83
3.2.4. Tipos de Niveles 85
3.3. Instrumentos EDM 90
3.3.1. Principios básicos del EDM 90
3.3.2. Tipos de medición EDM 97
3.3.3. Fuentes de Portadora 103
3.3.4. Determinación de la Velocidad de Propagación “c” 104
3.3.5. Determinación de la constante Z 105
3.3.6. Tipos de Reflectores 106
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3.3.7. Errores en la Medida de Distancia 107
Capítulo IV: Base de Calibración p ara Instrumentos Topográficos y
Geodésicos
4.1. Selección del Sitio 120
4.1.1. Acceso 120
4.1.2. Terreno 120
4.1.3. Naturaleza de los Obstáculos 121
4.1.4. Localización 121
4.2. Configuración de la Base de Prueba para Teodolitos 121
4.2.1. Procedimientos para Configurar y Construir la Base de
Calibración para Teodolitos (Ángulos Horizontales) 122
4.2.2. Metodología para las Mediciones 127
4.2.3. Procedimientos para Configurar y Construir la Base de
Calibración para Teodolitos (Ángulos Verticales) 130
4.2.4. Metodología para las Mediciones 132
4.3. Configuración de la Base de Prueba para Niveles 135
4.3.1. Procedimiento para la Configuración y Construcción de
la Línea de Prueba para Niveles 135
4.3.2. Metodología para las Mediciones 136
4.4. Configuración de la Base de Prueba para EDM 139
4.4.1. Procedimientos para Realización de una Línea Base
de Calibración para EDM 142
4.4.2. Metodología para las Mediciones 145
Capítulo V: Análisis y Conclusiones 149
Anexos
Glosario
Bibliografía
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LLiissttaaddoo ddee aaccrróónniimmooss uutt ii ll iizzaaddooss eenn eell tteexxttoo
IISSOO :: TTHHEE IINNTTEERRNNAATTIIOONNAALL OORRGGAANNIIZZAATTIIOONN FFOORR SSTTAANNDDAARRDDIIZZAATTIIOONN
VVIIMM :: VVOOCCAABBUULLAARRYY IINNTTEERRNNAATTIIOONNAALL OOFF MMEETTRROOLLOOGGYY
GGUUMM :: GGUUIIDDEE OOFF UUNNCCEERRTTAAIINNTTYY IINN MMEEAASSUURREEMMEENNTT
AAEELL :: AABBEERRRRAACCIIÓÓNN EESSFFÉÉRRIICCAA LLOONNGGIITTUUDDIINNAALL
AAEETT :: AABBEERRRRAACCIIÓÓNN EESSFFÉÉRRIICCAA TTRRAANNSSVVEERRSSAALL
AACCLL :: AABBEERRRRAACCIIÓÓNN CCRROOMMÁÁTTIICCAA LLOONNGGIITTUUDDIINNAALL
AACCTT :: AABBEERRRRAACCIIÓÓNN CCRROOMMÁÁTTIICCAA TTRRAANNSSVVEERRSSAALL
EEDDMM :: EELLEECCTTRROO –– OOPPTTIICCAALL DDIISSTTAANNCCEE MMEETTEERRSS
LLEEDD :: LLIIGGHHTT EEMMIITTTTIINNGG DDIIOODDEE
TTOOFF :: TTIIMMEE OOFF FFLLIIGGHHTT
HHDDPP :: HHIISSTTOOGGRRAAMMAA DDEE DDIISSTTRRIIBBUUCCIIÓÓNN DDEE PPRROOBBAABBIILLIIDDAADD
DDFFPP :: DDIISSTTRRIIBBUUCCIIÓÓNN DDEE LLAA FFUUNNCCIIÓÓNN DDEE PPRROOBBAABBIILLIIDDAADD
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CCaappííttuulloo II
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11.. IINNTTRROODDUUCCCCIIÓÓNN____________________________________________________________________________
11..11.. AAnntteecceeddeenntteess
Por muchos años, los métodos de estandarización o comparación de
instrumentos para medir valores conocidos fueron de una baja sofisticación.
De un tiempo a esta parte, los instrumentos utilizaron métodos físicos
para realizar sus mediciones, pero surgieron nuevas perspectivas, la tecnología
hoy en día ya no usa mayoritariamente estos métodos para realizar sus
mediciones, sino que lo hace a través de la electrónica. Si bien es cierto estos
instrumentos realizan mediciones precisas usando este tipo de tecnología,
también es cierto que debido a esto nace el problema de asegurar la exactitud o
qué tan exactas son realizadas estas mediciones.
La experiencia y la comprobación de la exactitud lograda con estos
instrumento modernos, certifican la aceptabilidad de ellos, en las labores de
terreno. Dicha aceptación debe ser equilibrada por un plan esquemático que
permita asegurar una exactitud mínima, mantenida a través de la vida del
instrumento; esto implica una mantención y control del instrumento, de manera
que este entregue un buen resultado, siendo la “calibración” la fase final para
saber si el instrumento está dentro de las precisiones técnicas publicadas por el
fabricante.
Debido a la apertura del libre mercado y a las exigencias de calidad que
esta misma exige, se debe contar con la infraestructura necesaria para controlar
los procesos de producción en Chile. Por este motivo es necesario construir una
Base de Calibración para contrastar y certificar los instrumentos de medición
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Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
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utilizados en el área de la Geomensura (levantamientos, replanteos, estudios de
deformaciones, etc).
11..22.. PPllaanntteeaammiieennttoo ddeell PPrroobblleemmaa
En países desarrollados, la existencia de una Base de Calibración de
Instrumentos Topográficos y Geodésicos es indispensable para poder controlar
la producción en los distintos ámbitos de la Ingeniería.
En países que cuentan con tratados comerciales con estos países
desarrollados, se hace necesario contar con recursos estandarizados
(propuestos por estos países) para el intercambio comercial, es decir, una
homogeneidad en los procesos de producción.
Se da por entendido que se refiere a procesos concernientes al estudio
de la Tierra.
Los propósitos de esta memoria es la de dar a conocer la construcción,
procedimientos y aplicaciones que tiene una Base de Calibración para estudiar
y determinar posibles errores existentes en los instrumentos.
11..33.. EEssttaaddoo aaccttuuaall ddeell pprroobblleemmaa
Como ya se mencionó anteriormente, en los países desarrollados desde
hace mucho tiempo se utilizan normas para regularizar sus métodos de
producción, hoy en día la exigencia que hacen estos países con aquellos con
los cuales sostienen tratados es que cuenten con el mismo control de calidad
que ellos.
En Chile existen organismos públicos que se encargan de la
fiscalización, y por ende exige a las empresas aquellos certificados que indican
el óptimo estado de los instrumentos empleados en la ejecución de una Obra de
Ingeniería.
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Es por todo lo antes descrito, que la Universidad de Santiago de Chile,
específicamente el Departamento de Ingeniería Geográfica, siendo una
institución de prestigio ha creído conveniente realizar el Proyecto de la
construcción de una Base de Calibración de Instrumentos Topográficos y
Geodésicos bajo una estandarización correspondiente a las normas ISO.
11..44.. HHiippóótteessiiss
Con el uso de una Base de Calibración, y la mejora de métodos y
procedimientos de medición bajo normas ISO, optimizan la calibración de los
instrumentos Topográficos y Geodésicos.
11..55.. OObbjjeettiivvooss
11..55..11.. OObbjjeettiivvoo GGeenneerraall
- Construir una base de calibración para certificar instrumentos utilizados
en obras de ingeniería, de acuerdo a las normas ISO.
11..55..22.. OObbjjeettiivvooss EEssppeeccííff iiccooss
- Análisis de las mediciones bajo normas ISO 17123.
- Estudiar la factibilidad y las restricciones que se tengan al momento de
construir la Base.
- Conocer de buena forma los instrumentos utilizados hoy en día y que se
desean calibrar.
11..66.. CCoonnttrr iibbuucc iióónn yy PPrroodduuccttooss EEssppeerraaddooss
Se pretende hacer una contribución al proceso de certificación de calidad
de los instrumentos geodésicos y topográficos existentes en Chile, así como
también entregar a los nuevos Geomensores las nuevas normativas existentes
en Chile para la realización de mediciones y análisis estadísticos.�
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CCaappííttuulloo IIII
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22.. FFuunnddaammeennttoo TTeeóórr iiccoo______________________________________________________________________
22..11.. EEssttaaddíísstt iiccaa
22..11..11.. AAjjuussttee ddee oobbsseerrvvaacciioonneess
El Ingeniero Geomensor usualmente se enfrenta con el problema de
estimar una cantidad desconocida. La observación es hecha a través de la
obtención de muchas mediciones y la adopción apropiada de un modelo
matemático, relacionando así la observación y el objeto o cosa desconocida.
• La observación requiere generalmente de una forma de instrumentación
que es utilizada para observar con mayor certeza.
• Toda observación contiene errores.
• Un error es la diferencia entre la cantidad observada y el valor verdadero
(el cual nunca es conocido).
e = l – t
Donde:
e = error verdadero.
l = valor observado.
t = valor verdadero.
• Pero el valor t nunca es conocido.
• Sin embargo, ambas cantidades pueden ser estimadas.
v = x – l
Donde:
v = error estimado (residuo).
x = valor estimado (media aritmética).
22..11..22.. FFuueenntteess ddee EErrrroorreess
• Personales: limitación del observador (habilidad de repetir la misma
medida), descuido del observador.
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• Instrumentales: debido a imperfecciones en el instrumento o un ajuste
incompleto de este mismo (ejemplo: graduación incorrecta).
• Naturales: debido a cambios en las condiciones ambientales cuando se
realizan medidas (ejemplo: variación de la temperatura, que hace dilatarse
o contraerse a una cinta).
��
22..11..33.. TTiippooss ddee EErr rroorreess
22..11..33..11 EErrrroorreess GGrroosseerrooss oo FFaallttaass
• Característica: esta magnitud es significativamente muy diferente,
ya sea grande o pequeña, a los valores medidos (observación
anormal).
• Fuente: errores personales(descuido del observador).
• Efecto: las observables son heterogenias.
• Tratamiento: debe ser detectado y eliminado inmediatamente de las
mediciones.
Ejemplo: medición de distancia.
31.1 m, 31.2 m, 31.4 m, 13.4 m.
�
Figura N° 1, Gráfica de Errores.
Fuente: Elaboración Propia.
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22..11..33..22 EErrrroorreess SSiiss tteemmááttiiccooss
• Característica: ocurre según un sistema determinado, cuando se
conoce, puede ser relacionado a través de una función.
• Fuente: instrumental, natural, etc.
•• Efecto: cambia toda la observación, puede ser constante si la
magnitud y signo permanece igual durante el proceso de medición.
•• Tratamiento: debe ser detectado y corregido. Ejemplo: ajustar el
instrumento antes de ser utilizado.
•• Puede ser eliminado por:
1. Ajustando el instrumento.
22.. Utilizando procedimientos seguros durante la medida,
ejemplo: en la medición con niveles, el error de colimación
puede ser minimizado midiendo distancias iguales.
22..11..33..33.. EErrrroorreess AAlleeaattoorr iiooss
• Característica: son errores sobrantes, luego de haber removido los
errores sistemáticos y groseros.
• Estos errores no tienen ninguna relación funcional, por ende son
tratados por modelos estocástico (Probabilidades).
• Fuente: personal, natural e instrumental.
• No pueden ser generalmente eliminados, sin embargo pueden ser
minimizados tomando observaciones redundantes y aplicando el
llamado “Método de mínimos cuadrados”. Este proceso está
referido al “Ajuste de Observaciones”
• Basados en los hechos antes mencionados, no se puede buscar el
valor verdadero, solo se puede obtener una estimación para valor
verdadero.
• La variación existente entre la medida y el valor estimado es
pequeña.
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22..11..44 NNoottaacciióónn uuttii ll iizzaaddaa eenn MMíínniimmooss CCuuaaddrraaddooss
Parámetros: son las cantidades desconocidas, anotadas:
[ ]Tixxxxx ,,,, 321 �=
Donde:
i = números desconocidos
Observaciones:
[ ]TnllllL ,,,, 321 �=
Donde:
n = número de observaciones (medidas).
Modelo Matemático:
( ) 0, =lxf
Función que relaciona a “x” y “l”.
22..11..55.. TTiippooss ddee OObbsseerrvvaacciioonneess
• Observación Directa bajo cond iciones similares.
Para que ocurra esta situación en una medición, debe estar
el mismo observador, el instrumento y las condiciones de campo
deben ser similares a la primera vez que se realizó la medición.
Ejemplo: en la medición de un ángulo.
Parámetro: x = α, i = l
Observaciones: L = [α1, α2,..., αn]
Modelo Matemático: ( )Laritméticamediax =
B ajo con d ic iones s im ila res B a jo con d ic ion es d iferen tes
D irectas In d irec tas
Tip os d e O b s ervac ion es
(1)
(2)
(3)
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• Observación Directa bajo cond iciones diferentes.
Para que ocurra esta situación, debe pasar
exactamente lo contrario que en el caso anterior, es decir,
puede ser cualquier observador, instrumento y condiciones
de campo diferentes.
• Observación Ind irecta.
Ejemplo: medición de una altura usando ángulo y distancia.
Parámetro:
x = h, i = l
Observaciones:
L = [θ, d]
Modelo Matemático:
( ) ihdx +⋅= θtan
22..11..66.. CCoommppoorrttaammiieennttoo ddee llooss EErrrroorreess AAlleeaattoorr iiooss
Para hacer más sencillo el análisis, se considerará un caso de
medición Directa bajo condiciones similares, y se asumirá que todas
las medidas están libres de errores groseros y además fueron
corregidos todos los errores sistemáticos.
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Caso Práctico Caso aleatorio
Caso teórico
Número de
Observaciones
finitonúmeron → ∞→n
Variable Muestra aleatoria
L = (l1, l2,..., ln)
Variable aleatoria
Estimador )( aritméticamedia
n
lx
i∑= )( verdaderovalortx →
Errores Residuos
( )∑ =−= 011 vlxv i
Error verdadero
ii lt −=ε
Extensión del error
(Distribución del
error)
Frecuencia relativa
Rango = vmáx - vmín
Frecuencia relativa
Distribución de la Función
de Probabilidad
22..11..77.. NNoocciióónn ddeell eerr rroorr rreess iidduuaall
Los residuos expresan el grado de cercanía de las medidas, por lo
tanto, el valor (v) puede ser utilizado como expresión de la precisión
de x (y también la precisión del observador al realizar la medición).
Ejemplo, dos observadores A y B miden el mismo ángulo.
A B
V1 = +2” V1 = +5”
V2 = -1” V2 = -3”
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V3 = +1” V3 = +2”
V4 = 0 V4 = -3”
V5 = -2” V5 = -4”
--------- V6 = +3”
Ahora, se define el rango donde cambia el residuo:
Rango (v) = vMÁX. -vMÍN
Rango A = 2” – (-2”) = 4” ; Rango B = 5” – (-4”) = 9”
Por lo tanto, el rango A es menor que el rango B.
Por último, se concluye que el ángulo leído por el observador A es más
preciso que el leído por B.
22..11..88.. DDeetteerrmmiinnaacciióónn ddeell HHiiss ttooggrraammaa ddee DDiissttrr iibbuucciióónn ddee llaa PPrroobbaabbii ll iiddaadd
1. Cálculo del parámetro estimador:
n
lxx
i∑==
2. Cálculo de los residuos de cada observación:
ii lxv −=
3. Cálculo del rango de los residuos:
Rango = vMÁX -vMÍN
4. División del rango en k intervalos iguales ∆j (j = 1, 2, ..., k).
5. Cálculo de la Frecuencia Relativa para cada intervalo.
j
j
jn
nf
∆⋅=
Donde:
nj = es el número de residuos que están dentro del límite de ∆j
(4)
(5)
(6)
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OObbtteenncciióónn ddee uunn áárreeaa ddeell HHiissttooggrraammaa..
Características:
• El área bajo el histograma es = 1.
11
1
1
1
1
1
===
=
∆⋅∆⋅
=
∆⋅=
=
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
n
nn
nA
n
nA
n
nA
fA
AA
k
jjHDP
k
j
j
HDP
k
j
j
HDP
k
jiHDP
k
jiHDP
HHiissttooggrraammaa..
• El histograma puede ser utilizado para registrar la probabilidad.
( )2121 vavAvPv =≤≤
_________________________________________________________________________________
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22..11..99.. CCaarraacctteerrííssttiiccaass ddee llaa DDiissttrr iibbuucciióónn ddee FFuunncc iióónn ddee PPrroobbaabb ii ll iiddaadd
Muchos estudiosos, a través de la Historia de la Estadística, han tratado
de describir la curva de Distribución de la Función de Probabilidad. Pero solo se
ha llegado a aceptar el modelo dado por Gauss, que dice:
( ) 22ε
πε he
hG −⋅=
e= 2,71828
DDiissttrriibbuucciióónn ddee llaa FFuunncciióónn ddee PPrroobbaabbiill iiddaadd,, sseeggúúnn GGaauussss..
Nota: h es solamente el parámetro que describe completamente la forma de la
Distribución de la Función de Probabilidad de Gauss.
• ( )πh
G =0
• h es usualmente llamado “índice de precisión”.
• Luego el área bajo la curva es igual a uno, entonces la altura de la
Distribución de la Función de Probabilidad (largo de h), indicará una
mayor precisión.
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MMuueessttrraa ddee ddooss ddiissttrriibbuucciioonneess iinnddiiccaannddoo ccuuááll eess mmááss pprreecciissaa..
22..11..99..11.. PPrrooppiieeddaaddeess ddee llaa DDiissttrr iibbuucciióónn ddee llaa FFuunncciióónn ddee PPrroobbaabbii ll iiddaadd ddee
GGaauussss
1. Área bajo la curva igual a 1.
( ) 1=∫+∞
∞−εε dG
2. Curva simétrica, ε = 0. Errores positivos y negativos tienen la misma
probabilidad que ocurran (errores no sistemáticos).
P(ε) = P(-ε)
SSiimmeettrrííaa ddee llaa FFuunncciióónn..
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3. Ordenada máxima ε = 0. La probabilidad de errores muy pequeños es
muy alta.
4. El eje de las ε es asintótica, ±∞=ε . La probabilidad de errores muy
grandes es despreciable. (esto es, errores no groseros)
5. Tiene dos puntos de inflexión 2
1
⋅±=
hε . Estos puntos de inflexión se
obtienen igualando la segunda derivada de la función a cero
( )0
2
2
=∂
∂−ε
εG.
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
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23
GGrrááffiiccaa ddee llooss ppuunnttooss ddee iinnfflleexxiióónn..
6. Propiedades estadísticas
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )∫∫
∫∫
=≤≤
−=
==≥
==≤
∞−
∞
∞−
1
1
2
1
2
1
21
22
11
1
ε
ε
ε
ε
ε
εεεεε
εε
εεεε
εεεε
dGP
dG
AdGP
AdGP
22..11..1100.. PPrreecciissiióónn ddee llaass OObbsseerrvvaacciioonneess
La calidad de una observación se puede apreciar por el grado de
aproximación que proporciona, es decir, por la magnitud de su error verdadero.
El grado de aproximación que proporciona esta observación es lo que
constituye la precisión de esta observación. Sin embargo, todas las mediciones
están sujetas a errores accidentales que impiden conocer el verdadero valor de
una observación (ángulo, distancia), esta gran limitante no permite el poder
conocer el error verdadero de una medición y como consecuencia de esto no se
puede conocer el valor verdadero de ella. Existen dos métodos para comprobar
que la medición realizada efectivamente corresponde, aunque sea
aproximadamente a la realidad física del terreno:
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
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24
1. Se debe repetir la operación de medición y observar luego en cuanto
difiere del resultado anterior.
2. Medir varias magnitudes relacionadas entre sí, observando
posteriormente hasta que punto estas mediciones guardan concordancia
entre ellas.
En ambos casos, estas observaciones auxiliares que se realizan para
poder formarse una idea de la precisión de las observaciones, se llaman
observaciones redundantes. Como consecuencia que siempre los valores
elementales de cada observación adquieren valores distintos y se asocian de
diferente modo, los valores que proporcionan las observaciones redundantes,
generalmente difieren entre ellas y de la primera observación. Si se supone que
todas las observaciones se han realizado con igual cuidado y que por
consiguiente, todas merecen igual grado de confianza, surge entonces la duda
de cómo proceder a elegir la magnitud medida que tome en cuenta los valores
encontrados en todas las observaciones realizadas sobre dicha magnitud. La
solución de este problema constituye el objeto del cálculo de compensación de
los errores de observación, esto quiere decir, que se deducirán de todas las
observaciones disponibles de una magnitud supuesta de libre de
equivocaciones y de errores sistemáticos, el valor que este más cerca del
verdadero, se encontrará el Valor más Probable de la Magnitud, en la cual
estén tomadas en cuenta los valores de todas las mediciones, obtenido este
valor encontrar la precisión obtenida con el resultado, es decir, el error de que
estaría afecto el valor calculado como valor más probable. Se adoptará como
valor más probable de una magnitud a la Media Aritmética, que representará a
la suma de todos los valores dividida por el número de mediciones realizadas.
Ejemplo: se tiene una distancia, L, en la que se han realizado n medidas:
nllll ,,,, 321 �
se define como media aritmética:
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
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25
n
llllx n++++
=�321
22..11..1100..11.. PPrrooppiieeddaaddeess ddee llaa MMeeddiiaa AArr ii ttmmééttiiccaa
La media Aritmética representa el valor más probable de un conjunto de
observaciones no agrupadas, medidas con igual grado de confianza, porque
cumple las propiedades que a continuación se demostrarán:
a) La suma de los residuos obtenidos es cero, llamando residuos a las
diferencias de cada observación respecto a la Media Aritmética.
nn vlx
vlx
vlx
vlx
=−
=−=−=−
...
...33
22
11
Definiendo a los residuos por v se tendrá que realizar la suma de ellos,
obteniendo:
)...(
)(...)()()(...
321
321321
n
nn
llllxnv
lxlxlxlxvvvv
++++−⋅=
−++−+−+−=++++
∑
xnlSi ⋅=∑
Se tendrá que:
0=⋅−⋅=∑ xnxnv
Por lo tanto se comprueba que:
0=∑v
b) Si la suma de los cuadrados de los residuos es mínima, el valor más
probable es la Media Aritmética de los valores obtenidos de la magnitud
observada.
(7)
(8)
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
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26
( ) ( ) ( ) ( )nn lxlxlxlxvvvv −++−+−+−=++++ ...... 32122
322
21
Para encontrar el mínimo de esta expresión se buscará su primera derivada y
se igualará a cero:
( ) ( ) ( ) ( )0...(
0...
321
321
=++++−⋅=−++−+−+−
n
n
llllxn
lxlxlxlx
De esta expresión se puede deducir:
( )n
llllx n++++
=...321
Esta última demostración señala que la Media Aritmética de un conjunto de
observaciones no agrupadas, medidas con el mismo grado de confianza,
equivale a considerar que la suma de los cuadrados de los residuos tiende a ser
cero o mínima, en consecuencia la media Aritmética es el valor más probable
de las mediciones realizadas para tratar de conocer el valor de una determinada
magnitud (angular o de distancia).
Considerando entonces como precisión en una serie de observaciones
realizadas respecto a una magnitud, el grado de acercamiento que se ha
obtenido de cada una de las observaciones con respecto a la Media Aritmética
que representa el valor más probable de esa magnitud observada, luego al
considerar este concepto para evaluar la precisión de una medición realizada,
es obvio utilizar para su medida el valor que entrega la sumatoria al cuadrado
de los residuos, si este valor es mínimo es posible en considerar que la
precisión de la medición es alta, cuanto más pequeña es dicha suma, más
próximos estarán los valores xi observados y como lógica consecuencia de esto
más confiable será el valor de la Media Aritmética que se obtenga. De este
breve análisis se desprende que la expresión matemática que entrega la
Desviación Estándar está dada por la expresión ( )( )12 −∑ nv , la cual mide la
dispersión de las distintas medidas respecto a la Media.
(9)
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
27
El Error Medio Cuadrático de la Media Aritmética, es el error medio
cuadrático de una observación aislada dividida por la raíz cuadrada del número
total de observaciones realizadas, quedando expresada por la fórmula que ha
continuación se indica:
nM
σ±=
El Error Probable queda definido por la expresión siguiente:
MW ⋅±= 6745,0
Este error probable equivale a un 50% de nivel de confianza, es decir,
con este valor se define la tolerancia de rechazo en mediciones. En términos
simples, para cualquiera observación única, la probabilidad es la mitad de que
su error sea más grande o más pequeño que el error probable del 50%.
Aunque si se desea obtener un nivel de confianza mayor es
recomendable utilizar un error probable del 90%.
22..11..1100..22.. EErrrroorreess ddee llaass FFuunncciioonneess ddee MMaaggnnii ttuuddeess MMeeddiiddaass
Tanto en Topografía como en Geodesia, las magnitudes buscadas se
obtienen frecuentemente por medio de cálculo, en función de las magnitudes
observadas. De acuerdo a lo anterior se puede apreciar que el error de una
función dependerá de los errores de los argumentos a partir de los cuales se
calcula esta.
Los errores verdaderos de los argumentos medidos no son posibles de
poder conocer y los errores verdaderos de las funciones pueden ser
encontrados solo en aquellos casos en que se conoce la magnitud teórica de la
función, como por ejemplo: la suma de los desniveles de un polígono altimétrico
(10)
(11)
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
28
cerrado. El error de la función puede obtenerse como la diferencia entre la
magnitud medida de la función y el valor teórico de ella, esta diferencia se
denomina “Error de Cierre”.
El cálculo de los errores de las funciones de acuerdo a los errores
conocidos de los argumentos, se presentan en dos casos que son:
i. Los de argumentos correlacionados.
ii. Los de argumentos no correlacionados.
Dos o más variables aleatorias se llaman correlacionadas linealmente si
los coeficientes de correlación de enlace estadístico par son diferentes de cero,
en caso contrario, serán no correlacionadas linealmente. De esta manera, las
variables aleatorias x, y, z se consideran no correlacionadas si los coeficientes
de correlación φ=== RyzRxzRxy y correlacionadas si
φφφ ≠≠≠ RyzRxzRxy ,, .
En los proyectos de observación, uno de los requisitos principales es
asegurar condiciones, para las cuales, los resultados de las mediciones
diversas de una misma magnitud sean, en lo posible, independientes entre sí.
Considerando que en los argumentos no correlacionados los coeficientes
de correlación son iguales a cero, se deriva que el error estándar (error medio
cuadrático) de una función es el siguiente:
22
2
2
22
... nyxFn
F
y
F
x
F σσσσ ⋅
∂∂++⋅
∂∂+⋅
∂∂=
De esta forma se tiene que:
El error medio cuadrático de una función de argumentos no
correlacionados, es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los
productos de las derivadas parciales de la función, según cada uno de los
argumentos por el error medio cuadrático del argumento correspondiente.
(12)
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
29
22..11..1111.. EEssttuuddiioo PPrreell iimmiinnaarr ddee llaass MMeeddiicciioonneess
El estudio preliminar de las mediciones que se van a realizar,
corresponde al análisis de cada una de las componentes del proyecto. Este
trabajo es muy útil ya que entrega los elementos necesarios para obtener una
buena estimación de la exactitud que se desea lograr en alguna medición tanto
en trabajos topográficos como de orden geodésico, como consecuencia de esto
se podrá encontrar las tolerancias que se deben imponer al trabajo y además,
permitirá seleccionar en forma adecuada los instrumentos, personal y métodos
de medición.
Considérense que todas las componentes de las mediciones que se van
a analizar están libres de la influencia provocada por los errores sistemáticos,
esto significará que se podrá utilizar los elementos de estadística ya
mencionados para medir la precisión de las mediciones a realizar, se asumirá
también que todas las mediciones son independientes.
a) Funciones lineales.
Si Y es una función lineal de mediciones independientes x1, x2,..., xn
xnaxaxaY n ⋅++⋅+⋅= ...2211
la desviación estándar de la función es: 2222
222
12 ...
21 nXnXXY aaa σσσσ ⋅++⋅+⋅=
Donde a1, a2, a3, ..., an son coeficientes constantes y σ2X1, σ2
X2, ...,σ2Xn
son las respectivas desviaciones estándar de x1, x2, x3, ...,xn y σ2y es la
desviación estándar de la función Y.
b) Funciones no lineales.
Si Y es una función no lineal de mediciones independientes x1, x2,
...,xn, se tendrá:
2
2
2
2
2
2
2
1
2 ...21 nx
nxxY
x
Y
x
Y
x
Y σσσσ ⋅
∂∂++⋅
∂∂+⋅
∂∂=
(13)
(14)
(15)
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
30
Además de utilizar las fórmulas N° 14 y N° 15 para el estudio preliminar
de la precisión que tendrá la función a evaluar, se realiza también el análisis de
las precisiones que se necesitan de las mediciones a efectuarse en orden a
obtener una determinada precisión de la función.
Asumiendo que cada medición contribuye de igual manera en
el resultado final de la precisión a obtener, de acuerdo al tipo de función que se
estudie, se tendrá:
I) Funciones lineales.
22222
221
2
...21 nxnxx
Y aaan
σσσσ ⋅==⋅=⋅=
de lo cual se obtendrá la siguiente relación:
nai
Yx ⋅
= σσ1
siendo i = 1, 2, 3, ..., n
Donde |ai| es el valor absoluto de ai
II) Funciones no lineales.
Nuevamente se asume que cada medición realizada contribuye en igual
forma en la precisión de la función.
2
2
2
2
2
2
2
1
2
...21 nx
nxx
Y
x
Y
x
Y
x
Y
nσσσσ
⋅
∂∂==⋅
∂∂=⋅
∂∂=
nx
Y
i
Yxi
⋅∂∂
=σσ i = 1, 2, 3, ..., n
Cuando una medición que ingresa al cálculo contribuye igualitariamente
a la precisión del resultado final, se dice que las mediciones tienen una
precisión balanceada.
(16)
(17)
(18)
(19)
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
31
(20)
22..11..1122.. AAjjuussttee ppoorr MMíínniimmooss CCuuaaddrraaddooss
Ecuaciones de Observación
Las ecuaciones que relacionan las cantidades medidas con sus errores
observacionales residuales y con parámetros independientes y desconocidos,
se llaman Ecuaciones de Observación. Una tal ecuación se escribe para cada
observación. Para una solución singular el número de ecuaciones debe ser
igual al número de incógnitas; en un caso normal existen más ecuaciones que
incógnitas lo que permite determinar valores más probables de las incógnitas
basados en el principio de mínimos cuadrados.
Por ejemplo, se consideran tres ecuaciones de observación:
2.0)3
5.12)2
0.3)1
=−=−=+
yx
yx
yx
Estas tres ecuaciones relacionan las dos incógnitas, x y, y con las
cantidades observadas. Los valores para x e y podrían obtenerse de cualquiera
de dos de esas ecuaciones, para que la ecuación restante fuera redundante.
Estas tres ecuaciones han sido escritas como resultado de mediciones, las
cuales evidentemente contienen errores. Estas ecuaciones pueden escribirse
como sigue:
3
2
1
2.0)6
5.12)5
0.3)4
vyx
vyx
vyx
=−−=−−=−+
Al parecer v1 = v2 = 0, y v3 = -0.2, es una buena solución, pero no es así; se
pueden obtener otros valores para los v que harán de la suma de sus
cuadrados un valor más pequeño, de esta se obtienen los valores de x e y más
probable, y se denomina solución de los Mínimos Cuadrados.
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
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32
Para llegar a esta solución, se elevan al cuadrado las ecuaciones, luego
se suman para entregar una función f(x,y) = Σv2, como sigue:
( )( )( )22
3
222
221
2.0
5.12
0.3
−−=
−−=
−+=
yxv
yxv
yxv
Sumando estas ecuaciones se obtiene:
( ) ( ) ( )2222 2.05.120.3 −−+−−+−+=∑ yxyxyxv
Posteriormente se deriva parcialmente esta ecuación con respecto a ambas
incógnitas y se iguala a cero quedando:
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( )12.0215.1220.320
2.0225.1220.320
2
2
−−−+−−−+−+==∂∑∂
−−+−−+−+==∂∑∂
yxyxyxy
v
yxyxyxx
v
Ambas reciben el nombre de Ecuaciones Normales. Estas ecuaciones
se resuelven de manera individual de acuerdo al cálculo elemental, quedando
de la siguiente forma:
03.132)2
02.626)1
=−+−=−−
yx
yx
Resolviendo se obtiene:
x = 1.514 e y = 1.442
Si se realiza una comparación entre la solución aproximada y esta de los
mínimos cuadrados se obtiene el siguiente resultado:
(21)
(22)
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
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33
025.0
016.0128.0
007.0086.0
002.0044.0
2
233
222
211
=∑
=−=
==
=−=
v
vv
vv
vv
cuadradosmínimosporSolución
La suma de los cuadrados de los residuos empleando mínimos
cuadrados es más pequeña, lo que indica que a través de este método se logra
el mejor ajuste posible.
04.0
04.02.0
00
00
AproximadaSolución
2
233
222
211
=∑
==
==
==
v
vv
vv
vv
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
34
22..22.. IInncceerr ttiidduummbbrree
En el universo todos los fenómenos y procesos observables que tienen
lugar en la naturaleza ocurren según leyes determinadas. Esos fenómenos y
procesos generalmente pueden ser relacionados para conocer su magnitud
física o características de los mismos cuyas variaciones siempre han de
determinarse cuantitativamente por medio de mediciones. El valor numérico de
tales magnitudes se obtiene como resultado de la medición experimental sobre
el fenómeno y un análisis adecuado de tales valores numéricos permitirá
alcanzar uno de los objetivos principales que es el de establecer dentro de
ciertos límites las leyes que gobiernan tales fenómenos o procesos.
La interpretación teórica de los fenómenos toma en cuenta dos factores:
uno de ellos es el hecho de que los resultados de las mediciones raramente se
pueden conocer con exactitud debido a la presencia de errores experimentales
de diferentes orígenes, el otro, como una consecuencia de tales errores
experimentales, los resultados de los cálculos tienen también cierto error, por
ello es necesario desarrollar tanto los procedimientos más adecuados para
localizar y estimar esos errores experimentales, así como de los métodos de
cálculo que arrojen resultados con la mayor aproximación posible. De esta
forma se tendrá un uso adecuado de la información proporcionada por las
observaciones.
Todas las mediciones tienden a ser afectadas por errores
experimentales, e independientemente del tipo de experimento o análisis de sus
resultados, son debidos a diferentes orígenes dentro de los cuales se tienen al
menos el instrumento de medición y el observador mismo.
Cuando se informa el resultado de una medición, de alguna magnitud
física, es necesario proporcionar en forma correcta la indicación cuantitativa de
la calidad del resultado de manera que el usuario pueda apreciar su
confiabilidad. Sin esta indicación, los resultados de los valores no pueden ser
comparados entre ellos mismos ni con respecto a valores de referencia dados
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
35
en ciertas especificaciones o normas. Por lo tanto, es importante que exista,
como ya se mencionó, un procedimiento para caracterizar la calidad del
resultado de una medición, esto es, para evaluar y expresar su incertidumbre.
22..22..11.. EEll mmeennssuurraannddoo
El propósito de una medición es estimar el valor de una magnitud,
llamada el mensurando, que de acuerdo al VIM, es el atributo sujeto a medición
de un fenómeno, cuerpo o sustancia que puede ser distinguido cualitativamente
y determinado cuantitativamente. La definición del mensurando es vital para
obtener buenos resultados de la medición. En no pocas ocasiones se mide algo
distinto al propósito original.
La imperfección natural de la realización de las mediciones, hace
imposible conocer con certeza absoluta el valor verdadero de una magnitud:
Toda medición lleva implícita una incertidumbre, que de acuerdo al VIM, es un
parámetro que caracteriza la dispersión de los valores que pueden ser
atribuidos razonablemente al mensurando.
El resultado de una medición incluye la mejor estimación del valor del
mensurando y una estimación de la incertidumbre sobre ese valor. La
incertidumbre se compone de contribuciones de diversas fuentes, algunas de
ellas descritas por las magnitudes de entrada ( denominación dada por la GUM)
respectivas. Algunas contribuciones son inevitables por la definición del propio
mensurando, mientras otras pueden depender del principio de medición, del
método y del procedimiento seleccionados para la medición.
22..22..22.. IIddeenntt ii ff iiccaacciióónn ddee FFuueenntteess ddee IInncceerrtt iidduummbbrreess
Una vez determinados el mensurando, el principio, el método y el
procedimiento de medición, se identifican las posibles fuentes de
incertidumbre. Estas provienen de diversos factores involucrados en la
medición, por ejemplo:
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
36
• Los resultados de la calibración del instrumento.
• La incertidumbre del patrón.
• La repetibilidad de las lecturas.
• La reproducibilidad de las mediciones por cambio de observadores,
instrumentos u otros elementos: características del propio instrumento,
como resolución, histéresis, deriva, etc.
• Variaciones de las condiciones ambientales.
No es recomendable desechar alguna de las fuentes de incertidumbre
por la suposición de que es poco significativa sin una cuantificación previa de su
contribución, comparada con las demás, apoyada en mediciones. Es preferible
la inclusión de un exceso de fuentes que ignorar algunas entre las cuales
pudiera descartarse alguna importante. No obstante, siempre estarán presentes
efectos que la experiencia, conocimientos y actitud crítica del Geomensor
permitirán calificar como irrelevantes después de las debidas consideraciones.
22..22..33.. CCuuaanntt ii ffiiccaacc iióónn
En la literatura (GUM) se distinguen dos métodos principales para
cuantificar las fuentes de incertidumbre: el Método de Evaluación Tipo A que
está basado en un análisis estadístico de una serie de mediciones, mientras el
Método de Evaluación Tipo B comprende todas las demás maneras de estimar
la incertidumbre.
Cabe mencionar que esta clasificación no significa que exista alguna
diferencia en la naturaleza de los componentes que resultan de cada uno de los
dos tipos de evaluación, puesto que ambos tipos están basados en
distribuciones de probabilidad. La única diferencia es que en una evaluación
tipo A se estima esta distribución basándose en mediciones repetidas obtenidas
del mismo proceso de medición mientras en el caso de tipo B se supone una
distribución con base en experiencia o información externa al Geomensor. En la
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
37
práctica esta clasificación no tiene consecuencia alguna en las etapas
siguientes para estimar la incertidumbre combinada.
22..22..44.. EEvvaalluuaacc iióónn tt iippoo AA
La incertidumbre de una magnitud de entrada Xi obtenida a partir de
observaciones repetidas bajo condiciones de repetibilidad, se estima con base
en la dispersión de los resultados individuales. Si Xi se determina por “n”
mediciones independientes, resultando en valores q1, q2, ..., qn, el mejor
estimado xi para el valor de Xi es la media de los resultados individuales:
∑=
⋅==n
jji q
nqx
1
1
La dispersión de los resultados de la medición q1, q2, ..., qn para la magnitud de
entrada Xi se expresa por su desviación estándar experimental:
( )
1)( 1
2
−
−=
∑=
n
q
n
ji
σ
La incertidumbre estándar u(xi) de Xi se obtiene finalmente mediante el cálculo
de la desviación estándar experimental de la media:
tn
qqxu i ⋅== )(
)()(σσ
En cuanto al factor t, este se puede ver en la siguiente tabla y está
basado en la distribución t de Student, para una distribución normal. Este factor
de corrección debe aplicarse principalmente, cuando se disponga de menos de
10 mediciones, es decir n < 10 principalmente.
(23)
(24)
(25)
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
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38
Número tde k=1
observaciones.
p = 68,27%
2 1,8403 1,3204 1,2005 1,1406 1,1107 1,0908 1,0809 1,070
10 1,060100 1,005
1,000∞
p = nivel de confianza
TTaabbllaa NNºº 11..
No se puede dar una recomendación general para el número ideal de las
repeticiones “n”, ya que éste depende de las condiciones y exigencias (meta
para la incertidumbre) de cada medición específica. Hay que considerar que:
• Aumentar el número de repeticiones resulta en una reducción de la
incertidumbre por repetibilidad, la cual es proporcional a n1 .
• Un número grande de repeticiones aumenta el tiempo de medición, que
puede ser contraproducente, si las condiciones ambientales u otras
magnitudes de entrada no se mantienen constantes en este tiempo.
• En pocos casos se recomienda o se requiere “n” mayor de 10. Por
ejemplo cuando se caracterizan instrumentos o patrones, o se hacen
mediciones o calibraciones de alta exactitud.
Otras fuentes de incertidumbre que se evalúan con este método son la
reproducibilidad y las obtenidas al hacer una regresión lineal.
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
39
22..22..55.. EEvvaalluuaacc iióónn tt iippoo BB
En una evaluación tipo B de la incertidumbre de una magnitud de entrada
se usa información externa u obtenida por experiencia. Las fuentes de
información pueden ser:
• Certificados de calibración.
• Manuales del instrumento, especificaciones del instrumento.
• Valores de mediciones anteriores.
• Conocimiento sobre las características o el comportamiento del sistema
de medición.
22..22..66.. DDiiss ttrr iibbuucciioonneess ddee PPrroobbaabbii ll iiddaadd
La cuantificación de una fuente de incertidumbre incluye la asignación de
un valor y la determinación de la distribución a la cual se refiere este valor. Las
distribuciones que aparecen más frecuentemente son:
2.2.6.1. Distribución Normal
Los resultados de una medición repetida afectada por magnitudes
de influencia que varían aleatoriamente, generalmente siguen en buena
aproximación una distribución normal. En particular, la distribución de la
media de una serie de mediciones repetidas se aproxima a una normal
independientemente de la distribución de las lecturas individuales.
También la incertidumbre indicada en certificados de calibración se
refiere generalmente a una distribución normal.
2.2.6.2. Distribución Rectangular
En una distribución rectangular cada valor en un intervalo dado
tiene la misma probabilidad, o sea la función de densidad de probabilidad
es constante en este intervalo. Ejemplos típicos son la resolución de un
instrumento digital o la información técnica sobre tolerancias de un
instrumento. En general, cuando exclusivamente hay conocimiento de los
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
40
límites superior e inferior del intervalo de variabilidad de la magnitud de
entrada, lo más conservador es suponer una distribución rectangular.
2.2.6.3. Distribución Triangular
Si además del conocimiento de los límites superior e inferior hay
evidencia de que la probabilidad es más alta para valores en el centro del
intervalo y se reduce hacía los límites, puede ser más adecuado basar la
estimación de la incertidumbre en una distribución triangular.
2.2.6.4. Otras distribuciones
Pueden encontrarse también distribuciones en forma de U, en la
cual los extremos del intervalo presentan los valores con probabilidad
máxima, típicamente cuando hay comportamientos oscilatorios
subyacentes.
22..22..77.. DDeetteerrmmiinnaacciióónn ddee llaass IInncceerr ttiidduummbbrreess EEssttáánnddaarr
Con el fin de combinar contribuciones de la incertidumbre que tienen
distribuciones diferentes, es necesario representar los valores de las
incertidumbres originales como incertidumbres estándar. Para ello se determina
la desviación estándar de la distribución asignada a cada fuente.
2.2.7.1. Distribución Normal
La desviación estándar experimental de la media calculada a partir de
los resultados de una medición repetida, ya representa la incertidumbre
estándar.
Cuando se dispone de valores de una incertidumbre expandida U
(ver Anexo A) y la distribución del mensurando es o se supone normal,
como los presentados por ejemplo en certificados de calibración, se
divide U entre el factor de cobertura k, obtenido ya sea directamente o a
partir de un nivel de confianza dado.
k
Uxu i =)( (26)
_________________________________________________________________________________
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41
2.2.7.2. Distribución Rectangular
Si la magnitud de entrada Xi tiene una distribución rectangular con el
límite superior a+ y el límite inferior a-, el mejor estimado para el valor de
Xi está dado por:
2)( −+ +
=aa
xu i
Y la incertidumbre estándar por (ver Anexo A):
12)( −+ −
= aaxu i
o por:
3
2)(
axu i =
donde a/2 es el semiancho del intervalo a con: a = a+ - a-
Una aplicación típica es la resolución de un instrumento digital. También
la incertidumbre relacionada con el número finito de cifras significativas
de datos tomados puede ser tratada con esta distribución (siempre y
cuando no haya indicios que la incertidumbre en realidad es mayor que la
incertidumbre relacionada con la última cifra significativa). Si se aplica a
la resolución o a datos tomados, a, corresponde al último dígito
significativo o a la última cifra significativa respectivamente.
2.2.7.3. Distribución Triangular
Como en una distribución rectangular, para una magnitud de entrada
Xi que tiene una distribución triangular con los límites a+ y a-, el mejor
estimado para el valor de Xi está dado por:
2−+ +
= aaxi
La incertidumbre estándar se calcula en este caso por:
6
2/
24)(
aaaxu i =
−= −+
(27)
(28)
(29)
(30)
_________________________________________________________________________________
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42
22..33.. ÓÓpptt iiccaa GGeeoomméétt rr iiccaa
22..33..11.. AAbbeerr rraacc iioonneess
Existen dos clasificaciones, las llamadas aberraciones cromáticas (las
cuales surgen del hecho que “n” es realmente función de la frecuencia o color) y
las aberraciones monocromáticas. Las últimas ocurren aun cuando la luz se
altamente monocromática, y ellas a su vez están divididas en dos subgrupos.
Hay aberraciones monocromáticas, las cuales deterioran la imagen haciéndola
confusa, tales como aberración esférica, coma y astigmatismo.
Para la Geomensura solo interesan las aberraciones cromáticas y
esféricas.
22..33..11..11 AAbbeerrrraacciióónn EEssfféérr iiccaa
Esta aberración se refiere principalmente a la calidad de la imagen
de un punto. Se presenta cuando hay un comportamiento diferente de los
rayos marginales respecto a los rayos centrales, procedentes todos de
un punto del eje óptico, cuando pasan a través de un sistema óptico de
apertura suficientemente grande. Tal como se manifiesta en la Figura Nº
2, los rayos marginales dan una imagen de P en el punto P’m y los rayos
centrales la dan en el punto P’c.
FFiigguurraa NNºº 22,, AAbbeerrrraacciióónn eessfféérriiccaa..
FFuueennttee:: EEllaabboorraacciióónn PPrrooppiiaa..
_________________________________________________________________________________
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43
La imagen que se obtiene para cualquier plano perpendicular al eje
óptico entre P’m y P’c es un círculo. Existe una posición intermedia donde el
círculo es mínimo, que es el denominado círculo de mínima confusión.
La distancia P’m P’c es la aberración esférica longitudinal para el punto P
(es proporcional al cubo de la apertura).
El radio r del círculo que se obtiene en el plano frontal que pasa por P’c
es la aberración esférica transversal (o lateral) para el punto P.
22..33..11..22.. AAbbeerr rraacc iióónn CCrroommááttiiccaa
Es generada por la dispersión cromática que producen las lentes a la luz,
salvo en los espejos, y a causa de la dispersión de la luz que presentan los
vidrios y las substancias transparentes en general, todo sistema óptico, incluso
corregido de todas las aberraciones geométricas, da lugar a un comportamiento
diferente para cada longitud de onda que compone la luz blanca o una luz
policromática. Los elementos cardinales para cada color son distintos aun en el
análisis paraxial.
En una lente delgada, por ejemplo, la fórmula:
( )
−⋅−=
21
111
'1
nnn
f
muestra que la distancia focal depende del índice de refracción n del material
de la lente para la radiación utilizada. Así, para tres colores distintos F, D, C, la
lente presenta tres índices distintos nF, nD, nC, y los focos para estos colores
aparecen separados tal como se indica en la Figura Nº 3.
(40)
_________________________________________________________________________________
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44
FFiigguurraa NNºº 33,, AAbbeerrrraacciióónn ccrroommááttiiccaa..
Lo mismo sucedería con la posición de la imagen de un objeto “A” del eje. A
esta variación de la posición de la imagen en el eje con el color se le llama
cromatismo de posición.
La misma variación de la focal con el color hará en general que el
aumento sea diferente para los distintos colores; en este caso, las imágenes de
distinto color presentarán distinto tamaño. Este defecto se llama cromatismo de
aumento.
22..33..22.. PPrr iissmmaass
Los prismas juegan muchos papeles diferentes en la óptica; hay
combinaciones de prismas que sirven como divisores de haz, sistemas
polarizadores y aún interferómetros. A pesar de esta diversidad, la gran mayoría
de las aplicaciones utilizan solamente una de dos funciones principales de los
prismas. En primer lugar, un prisma puede servir como sistema dispersor como
lo hacen una gran variedad de analizadores de espectro, es decir, es capaz de
separar, hasta cierto punto, las frecuencias constitutivas de un haz
policromático de luz. La segunda y más ampliamente usada función es producir
un cambio en la orientación de la imagen o en la dirección de propagación del
haz.
Los prismas se incorporan en muchos instrumentos ópticos, a menudo
simplemente para doblar el sistema dentro de un espacio confinado.
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Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
45
Hay prismas de inversión, prismas de reversión y prismas que desvían
un haz sin inversión o reversión y todo esto sin dispersión.
En el campo de la Geomensura, en mediciones de distancias, se utilizan
prismas reflectores que se detallarán a continuación.
22..33..22..11.. PPrr iissmmaass rreefflleeccttoorreess
En estos prismas la dispersión del haz no es deseada. En el presente
caso, el haz será introducido de tal manera que al menos ocurra una reflexión
interna para el propósito específico de cambiar la dirección de propagación, o la
orientación de la imagen o ambas.
Se establece primero que realmente es posible tener tal reflexión interna
sin dispersión asociada. En la Figura N° 4, se presume que tiene como perfil un
triángulo isósceles (esta es una configuración muy común). El rayo refractado
en la primera interfase es más tarde reflejado en cara FG. Esto ocurrirá cuando
el ángulo interno es más grande que el ángulo crítico θc, definido por:
tiC nsen =θ
Para una interfase vidrio – aire, esto requiere que θI sea más grande que
aproximadamente 42° . Para evitar cualquier dificultad con ángulos más
pequeños, suponiendo además que la base de nuestro prisma hipotético está
plateada (ciertos prismas en efecto requieren caras plateadas). El ángulo de
desviación entre los rayos que entran y salen es
BED∠−°=180δ
Del polígono ABED se tiene
°=∠+∠+∠+ 360ABEBEDADEα
(41)
(a)
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46
Figura N° 4, Geometría de un prisma reflector. (a)
Figura N° 5, Geometría de un prisma reflector. (b)
Además, en las dos superficies refractoras
190 iABE θ+°=∠ y 290 tADE θ+°=∠
Sustituyendo el BED∠ en la Ecuación (a) se tiene
αθθδ ++= 21 ti
Ya que el rayo en el punto C tiene ángulos de incidencia y reflexión iguales
CDGBCF ∠=∠ . Entonces, debido a que el prisma es isósceles DGCBCF ∠=∠
y los triángulos FBC y DGC son similares. Se deduce que CDGFBC ∠=∠ y
(42)
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47
finalmente, por consiguiente, θt1 = θi2. de la ley de Snell se sabe que esto es
equivalente a θi1 = θt2, de donde la desviación queda
αθδ +⋅= 12 i
La cual es ciertamente independiente tanto de λ como de n. La reflexión
ocurrirá sin ninguna preferencia de color y el prisma se dice que es acromático.
Si se desdoblase el prisma, es decir, si se dibuja su imagen en la superficie
reflectora FG, como en la Figura N° 5 (b), se ve que el prisma es equivalente en
cierto sentido a un paralelepípedo o a una placa plana gruesa. La imagen del
rayo incidente emerge paralela a sí misma independientemente de su longitud
de onda.
Unos pocos de los muchos prismas reflectores ampliamente usados se
muestran en las figuras siguientes. Estos se hacen a menudo de vidrio BSC – 2
o C-1 (ver tabla N° 2). En su mayor parte, las ilustraciones se explican por si
mismas y así el comentario descriptivo será breve.
•• PPrriissmmaa rreeccttaanngguullaarr
Este prisma desvía en 90° los rayos perpendiculares a la cara de
incidencia. Obsérvese que las imágenes superior e inferior han sido
intercambiadas, es decir, la flecha ha sido volteada mientras que los
lados derecho e izquierdo no.
(43)
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Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
48
FFiigguurraa NN°° 66,, PPrriissmmaa RReeccttaanngguullaarr..
Por consiguiente, es un sistema inversor con la cara superior actuando
como un espejo plano.
•• PPrriissmmaa PPoorrrroo
Este prisma es físicamente el mismo que el anterior, pero es usado en
diferente orientación. Después de dos reflexiones, el haz es desviado
180° . Entonces, si entra con orientación derecha, sale con orientación
derecha.
FFiigguurraa NN°° 77,, PPrriissmmaa PPoorrrroo..
EEllaabboorraacciióónn PPrrooppiiaa..
_________________________________________________________________________________
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Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
49
• Prisma de Esquina de Cubo
Este prisma se obtiene al cortar un cubo de tal forma que la pieza
resultante tenga tres caras mutuamente perpendiculares. Tiene como
propiedad de ser retrovisor; es decir, reflejará toda la luz que le llegue a
lo largo de sus direcciones originales.
FFiigguurraa NN°° 88,, PPrriissmmaa TTrriirrrreeccttaanngguullaarr..
EEllaabboorraacciióónn PPrrooppiiaa..
Número
del tipo
Nombre nD VD
511:635 Crown de borosilicato – BSC-1 1,5110 63,5
517:645 Crown de borosilicato – BSC-2 1,5170 64,5
513:605 Crown – C 1,5125 60,5
518:596 Crown 1,5180 59,6
523:586 Crown – C- 1 1,5230 58,6
529:516 Crown flint – CF – 1 1,5286 51,6
541:599 Crown liviano de bario – LBC-1 1,5411 59,9
573:574 Crown liviano de bario – LBC-2 1,5725 57,4
574:577 Crown de bario 1,5744 57,7
611:588 Crown denso de bario – DBC-1 1,6110 58,8
617:550 Crown denso de bario – DBC-2 1,6170 55,0
_________________________________________________________________________________
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50
Número
del tipo
Nombre nD VD
611:572 Crown denso de bario – DBC-3 1,6109 57,2
562:510 Flint liviano de bario – LBF-2 1,5616 51,0
588:534 Flint liviano de bario – LBF- 2 1,5880 53,4
584:460 Flint de bario – BF- 1 1,5838 46,0
605:436 Flint de bario – BF- 2 1,6053 43,6
559:452 Flint extra liviano – ELF-1 1,5585 45,2
573:425 Flint liviano – LF- 1 1,5725 42,5
580:410 Flint liviano – LF- 2 1,5795 41,0
605:380 Flint denso – DF- 1 1,6050 38,0
617:366 Flint denso – DF- 2 1,6170 36,6
621:362 Flint denso – DF- 3 1,6210 36,2
649:338 Flint extra denso – EDF- 1 1,6490 33,8
666:324 Flint extra denso – EDF- 5 1,6660 32,4
673:322 Flint extra denso – EDF- 2 1,6725 32,2
689:309 Flint extra denso 1,6890 30,9
720:293 Flint extra denso – EDF- 3 1,7200 29,3
TTaabbllaa NN°° 22,, VViiddrriiooss óóppttiiccooss.. EEll nnúúmmeerroo ddeell ttiippoo ssee ddaa ppoorr ((nnDD –– 11)) :: ((1100**VVDD)) ddoonnddee nnDD ssee
rreeddoonnddeeaa eenn ttrreess ddeecciimmaalleess.. PPaarraa mmááss ddaattooss,, vveerr SSmmiitthh,, MMooddeerrnn OOppttiiccaall EEnnggiinneeeerriinngg..
FFuueennttee:: TT.. CCaallvveerrtt,, OOppttiiccaall CCoommppoonneennttss,, EElleeccttrroommeecchhaanniiccaall DDeessiiggnn..
��
��
��
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
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51
CCaappííttuulloo IIIIII
_________________________________________________________________________________
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52
33.. IINNSSTTRRUUMMEENNTTOOSS____________________________________________________________________________ 33..11 TTeeooddooll ii ttooss
Para comenzar es necesario, antes que todo, definir el teodolito como
instrumento de medición. En esta parte del proyecto se explicará en detalle las
partes del teodolito y su utilización, algunas de estas partes son también
comunes para los teodolitos electrónicos, niveles y taquímetros, por lo que sólo
se definirán en una oportunidad, entendiéndose que la explicación es útil para
todos estos casos.
El teodolito es un instrumento de precisión cuya utilización consiste
básicamente en la medición de ángulos horizontales y verticales o de altura.
Este tipo de instrumentos se utiliza también en los trabajos de nivelación, es
decir, nivelación trigonométrica.
El teodolito electrónico es aquel que ha sustituido su limbo óptico por un
sistema electrónico angular.
Para obtener el mayor provecho de este instrumento, el operario debe
conocer perfectamente bien el funcionamiento de cada una de las partes del
teodolito, así como el cuidado en su manejo.
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Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
53
FFiigguurraa NN°° 99,, RReepprreesseennttaacciióónn eessqquueemmááttiiccaa ddee uunn tteeooddoolliittoo
FFuueennttee:: CCaattáállooggoo WWIILLDD TT22..
_________________________________________________________________________________
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54
33..11..11.. PPaarrtteess ddeell TTeeooddoo ll ii ttoo
Una componente principal del instrumento es un telescopio que puede
girar 360º alrededor de su eje horizontal. El telescopio está provisto de objetivo,
diafragma y ocular, como se describirá más adelante, y de instrumentos más
modernos con que se enfoca internamente. Cuando se eleva o desciende, gira
respecto de su eje horizontal transversal (eje de alturas), colocado en ángulo
recto con la línea de colimación, y el círculo vertical, conectado al telescopio,
gira con él. El eje de alturas está montado por sus extremos en los soportes, los
que a su vez están sobre el plato del vernier horizontal (plato superior). Los
ángulos verticales se miden sobre el círculo vertical graduado por medio de un
par de vernier estacionarios diametralmente opuestos que están montados en
forma independiente del círculo y el telescopio, pero centrados con el eje de
alturas sobre un marco vertical en forma de T. Sobre este marco a menudo se
encuentra un nivel de burbuja que se puede mover con tornillos de sujeción.
Para fijar el telescopio en cualquier posición en el plano vertical se proporciona
una mordaza, así como un tornillo de movimiento fino o tangencial que permite
pequeños movimientos angulares para hacer coincidir la imagen final del punto
observado con el cruce de los hilos de la retícula.
El instrumento debe colocarse con el eje vertical realmente vertical
cuando se hagan medidas angulares, para lo cual se nivela el plato con los tres
tornillos niveladores sobre la placa inferior de acoplamiento al trípode. Los
extremos redondeados de los tornillos se ajustan dentro de cavidades en la
placa inferior de acoplamiento y estos tornillos operan sobre bujes fijos a la
base de nivelación.
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Sistema del eje vertical.
1. Círculo Horizontal.
2. Perilla para el desplazamiento del
círculo horizontal.
3. Porta círculo.
4. Caja de eje.
5. Eje vertical.
6. Cojinete de bolil las.
7. Cojinete de rodamiento.
8. Prisma para lectura del círculo.
FFiigguurraa NN°° 1100..
FFuueennttee:: CCaattáállooggoo WWiilldd TT22..
33..11..11..11 VVeerrnniieerr
Como se sabe el vernier es un dispositivo, por medio del cual, es
posible apreciar fracciones muy pequeñas de una escala graduada.
Consiste, generalmente, en una escala auxiliar que corre paralela
y en contacto con la escala principal graduada lineal o angularmente.
Es más fácil para la vista estimar, con exactitud, la coincidencia de
los trazos que la apreciación al eje, la distancia entre dos líneas
paralelas; en esto se basa la precisión con que pueden hacerse las
medidas empleando el nonio o vernier.
Hoy en día, el vernier se ha reemplazado por un instrumento en
forma de círculo de vidrio. Estos instrumentos difieren, de los vernier en
que las placas metálicas de escala que lee el vernier se reemplazan por
círculos de vidrio que se leen por sistemas ópticos internos (ver Figura
11). Los círculos de vidrio son copias fotográficas de círculos patrones de
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56
vidrio, los cuales, a su vez, se han graduado mediante una máquina de
divisiones automáticas.
FFiigguurraa NN°° 1111..
FFuueennttee:: CCaattáállooggoo WWIILLDD TT22..
33..11..11..22.. LLiimmbboo EElleeccttrróónn iiccoo
Hoy en día en el sistema de salida se usan codificadores de
lectura electrónica con microprocesadores integrados para calcular el
ángulo. Para lecturas de círculos de teodolitos se incorporan
codificadores angulares o rotatorio para medir desplazamientos
angulares. Estos incluyen placas circulares codificadas adecuadamente
de manera que, con ayuda de una cabeza lectora, la salida de lectura
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digital pueda obtenerse para un incremento individual distinto de
desplazamiento.
En el mercado hoy día se pueden encontrar dos tipos de
codificadores: absolutos y los incrementales en los diversos teodolitos
electrónicos e instrumentos de estación total. El patrón de código del
primer tipo garantiza una respuesta digital única para cada incremento
individual de desplazamiento. Estos codificadores se incorporaron en las
antiguas versiones del equipo Zeiss Elta, como el tacómetro electrónico
Elta 2. Una serie de graduaciones diametralmente opuestas se proyectan
juntas y, por medio de un plato plano paralelo, estas se hacen coincidir
con un micrómetro fotoeléctrico (ver Figura N° 12). Durante la medición,
un microprocesador controla el encendido y apagado de la iluminación
del círculo, la acción del micrómetro, la lectura y almacenamiento del
código del círculo y del micrómetro después de la coincidencia y, por
último, la evaluación del círculo de lectura burda que proporciona el
código del círculo y la lectura fina que registra el código del micrómetro.
FFiigguurraa NN°° 1122,, CCóóddiiggooss ZZeeiissss EEllttaa..
FFuueennttee:: TTééccnniiccaass MMooddeerrnnaass eenn TTooppooggrraaffííaa,, AAuuttoorr:: BBaannnniisstteerr,, RRaayymmoonndd,, BBaakkeerr..
_________________________________________________________________________________
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Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
58
Los codificadores incrementales dan lugar a una salida que se
basa en el número de períodos o conteos entre principio y fin del
desplazamiento total. De esta manera, en los codificadores
incrementales debe conocerse la posición inicial para determinar una
medición total.
Este sistema de medición que usa el Wild T2002 tipifica este
método. Los círculos constan de placas de vidrio divididas en 1024
segmentos igualmente espaciados y dos pares de fotodiodos montados
diametralmente opuestos entre si. La figura N° 13, muestra el círculo y un
par de fotodiodos unos de esos fotodiodos esta fijo y presenta el punto
cero en la escala; el otro gira con el telescopio. Durante mediciones de
ángulo el círculo mismo gira impulsado por un motor eléctrico y una
fuente de luz brilla sobre el círculo, la cual en forma continua se
interrumpe por las graduaciones, generando una onda cuadrada en el
fotodiodo. El ángulo se deriva de dos mediciones, δφφ +n . Para la
medición burda, φn , una de las marcas de referencia del círculo lo pasa
el primer fotodiodo que activa un contador del número de graduaciones
antes que la misma marca de referencia pase el segundo fotodiodo,
generando n. La medición fina, δφ , se obtiene de la diferencia de fase
entre las ondas cuadradas en los dos diodos. Durante la medición de un
ángulo este proceso se realiza en forma simultánea en ambos lados del
círculo mediante los dos pares de fotodiodos. Cada revolución del círculo
produce 512 mediciones separadas de ángulo empleando todas las
partes del círculo rotatorio y, de esta manera, se eliminan la excentricidad
del círculo y los errores de graduación y el T2002 puede medir ángulos
con una precisión de 0,1”.
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59
FFiigguurraa NN°° 1133,, SSiisstteemmaa ddee MMeeddiicciióónn WWiilldd TT22000022
FFuueennttee:: TTééccnniiccaass MMooddeerrnnaass eenn TTooppooggrraaffííaa,, AAuuttoorr:: BBaannnniisstteerr,, RRaayymmoonndd,, BBaakkeerr..
33..11..11..33.. NNiivveell TTuubbuullaarr
La longitud de los tubos varían entre 500 mm y 125 mm, y su
sección longitudinal tiene perfil circular. Cuanto mayor es el radio de
curvatura del tubo, mayor es la sensibilidad de la burbuja, puesto que el
desplazamiento de la burbuja por la inclinación del eje vertical es más
grande. Sin embargo con una curvatura pequeña, el tiempo que se
emplea para equilibrar la burbuja es excesivo.
La parte superior del tubo está graduado de manera simétrica
desde el centro, como se ilustra en la figura N° 14, a). Las dos líneas
mas largas representan la posición de los extremos de la burbuja a una
temperatura normalizada. El resto de la graduación es necesaria puesto
que la longitud de la burbuja puede cambiar con la temperatura, aunque
algunos fabricantes hacen tubos de nivel cuya variación por temperatura
es casi despreciable. Sin embargo, el uso de niveles con lectura de
burbuja mediante sistemas ópticos a través de prismas(los cuales
permiten ver al mismo tiempo ambos extremos) es innecesario el uso de
burbujas de longitud constante. El eje de la burbuja está en un plano
tangencial al centro de la graduación (Figura N° 14, a). La superficie de
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la burbuja siempre es horizontal, por lo que la línea tangente a un punto
de la superficie interna del tubo y a la mitad de la burbuja siempre será
horizontal, puesto que es paralela al plano en que están sus extremos. Si
el tubo de nivel se gira en un plano vertical cuando la burbuja está
centrada, el eje del tubo de la burbuja debe ser horizontal.
El espaciamiento de cada graduación es con frecuencia de 2 mm y
el valor angular de una graduación por lo general se indica en la
superficie misma del tubo. Entonces el movimiento del centro de la
burbuja a través de una división podría implicar una rotación del eje de,
aproximadamente, 20 segundos de arco.
FFiigguurraa NN°° 1144..
FFuueennttee:: TTééccnniiccaass MMooddeerrnnaass eenn TTooppooggrraaffííaa,, AAuuttoorr:: BBaannnniisstteerr,, RRaayymmoonndd,, BBaakkeerr..
AA.. DDeetteerrmmiinnaacciióónn ddee llaa SSeennssiibbii ll iiddaadd
Para determinar la sensibilidad de la burbuja en un instrumento, se
toman grupos de lecturas sobre una mira colocada a una distancia “l”
conveniente, puede ser de 30 m del instrumento, con el centro de la burbuja
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desplazado desde el centro de su recorrido tanto como sea posible hacia el
extremo del objetivo del anteojo, y luego hacia el extremo del ocular, mediante
el uso de los tornillos nivelantes (Figura N° 14, b). De esta manera se obtiene la
diferencia de lecturas, s, sobre la mira y se divide entre la distancia, l, para
determinar el ángulo ��TXH�KD�JLUDGR�OD�Oínea de visual. El centro de la burbuja
debió tener el mismo movimiento, el cual se deduce mediante las posiciones de
ambos extremos de la burbuja con respecto a la graduación del tubo.
Si f1 y f2 son las lecturas del extremo delantero (hacia el objetivo) de la
burbuja y r1 y r2, las lecturas del extremo posterior de la burbuja,
respectivamente, antes y después de la rotación de la línea de visual, la
distancia del centro de la burbuja desde el centro de las graduaciones es:
211 rf −
y
222 fr −
en cada caso.
La rotación de la línea de visual es, entonces:
segundosl
sradianes
l
s206165=== θ
El centro de la burbuja se ha movido una distancia total de
−
+−
222211 frrf
Por lo tanto, se dice que
qfrrf
l
s =
−+−=
22206265 2211
Entonces, el valor angular de una división
(44)
(45)
(46)
(47)
(48)
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segundoslq
s206265
Si el valor angular de una graduación, de longitud z, del tubo es 3�VHJXQGRV�\�5�es el radio de la superficie curva interna, entonces:
[ ]segundoslq
s
R
z206265206265 ==ϕ
33..11..11..44.. TTeelleessccooppiioo TTooppooggrrááff iiccoo
El telescopio tipo Kepler (figura N° 15) es uno de los que más se utilizan
en topografía; en esencia consta de dos lentes convexas montadas de manera
que sus ejes principales se encuentren sobre la misma línea para formar el eje
óptico del instrumento.
FFiigguurraa NN°° 1155,,
FFuueennttee:: TTééccnniiccaass MMooddeerrnnaass eenn TTooppooggrraaffííaa,, AAuuttoorr:: BBaannnniisstteerr,, RRaayymmoonndd,, BBaakkeerr..
La lente convergente del objetivo (es decir, la más cercana al objeto, AB)
forma una imagen real, ab, cuyos rayos pasan al ocular, donde se refractan de
nuevo y forman una imagen virtual a cierta distancia conveniente frente al ojo
del observador. Se observa que esta imagen, a1b1, está invertida y amplificada.
La amplificación es una propiedad importante de los telescopios topográficos; el
poder de resolución depende de ella en forma directa. Sin embargo, el campo
(49)
(50)
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
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de visual disminuye conforme crece la amplificación y, en consecuencia, para
obtener una imagen nítida de la mira, se requiere aumentar la abertura del
objetivo conforme la amplificación crece.
AA.. RReettííccuullaa
Para proporcionar líneas de referencia horizontal y vertical en el
telescopio, se inserta una retícula enfrente del ocular en un plano a 90º al eje
óptico. Existen varios tipos de retículas (llamadas también diafragmas o
gratículas); sin embargo, la más común hoy día es una placa delgada de vidrio
en la que se graban las líneas. La línea imaginaria que pasa por el cruce de los
hilos de la retícula y el centro óptico del objetivo se denomina línea de
colimación del instrumento y las lecturas de nivel se toman sobre esta línea.
La retícula se fija dentro del telescopio mediante cuatro tornillos de
soporte que permiten a) ajustar los hilos para que el horizontal sea realmente
horizontal, y b) mover los hilos hacia la línea de colimación en forma lateral y
vertical.
BB.. PPaarraallaajjee
En el enfoque de un telescopio sencillo, la imagen real que forma el
objetivo se proyecta hacia el mismo plano de la retícula. Si esto no se cumple,
se presentan serios problemas en la lectura de la mira debido al fenómeno
conocido como paralaje. Si la imagen no se forma en el plano de la retícula y se
observa paralaje cuando el ojo se mueve ligeramente al ver por el telescopio, se
tendrán diferentes lecturas dependiendo de la posición del ojo (figura N° 16).
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64
FFiigguurraa NN°° 1166..
FFuueennttee:: TTééccnniiccaass MMooddeerrnnaass eenn TTooppooggrraaffííaa,, AAuuttoorr:: BBaannnniisstteerr,, RRaayymmoonndd,, BBaakkeerr..
FFiigguurraa NN°° 1177,,
FFuueennttee:: TTééccnniiccaass MMooddeerrnnaass eenn TTooppooggrraaffííaa,, AAuuttoorr:: BBaannnniisstteerr,, RRaayymmoonndd,, BBaakkeerr..
CC.. EEnnffooqquuee IInntteerrnnoo
Los primeros instrumentos eran de enfoque externo, es decir, tenían la
construcción básica simplificada que muestra la figura N° 15. El ocular y el
objetivo se montaban en dos tubos dispuestos de manera que uno pudiera
deslizarse dentro de otro, y el enfoque se lograba a través de ese movimiento
relativo. En la actualidad, este sistema se sustituye por un telescopio de
enfoque interno (figura N° 17), en el cual el objetivo y el ocular están montados
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en un tubo de longitud fija. Entre estas lentes se instala una lente cóncava móvil
(figura N° 18).
FFiigguurraa NN°° 1188..
FFuueennttee:: TTééccnniiccaass MMooddeerrnnaass eenn TTooppooggrraaffííaa,, AAuuttoorr:: BBaannnniisstteerr,, RRaayymmoonndd,, BBaakkeerr..
La lente cóncava se mueve mediante un mecanismo de cremallera,
donde el piñón está conectado a la cuerda del tornillo de enfoque y la imagen
se enfoca sin mover el objetivo (ver Figura N° 19). La imagen que se proyecta
desde el objetivo podría formarse en P’, si la lente cóncava no existiera y la
imagen real formada en P se considera como la imagen virtual de esa lente.
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�
FFiigguurraa NN°° 1199..
FFuueennttee:: TTééccnniiccaass MMooddeerrnnaass eenn TTooppooggrraaffííaa,, AAuuttoorr:: BBaannnniisstteerr,, RRaayymmoonndd,, BBaakkeerr..
1
11
'
11
'
11
flvlvy
fvu
−=−
+−
−=+
Aunque esta lente extra absorbe algo de luz, sus desventajas se
compensan al tener un tubo cerrado donde no entra polvo ni humedad.
Además, el telescopio de enfoque interno es mucho más compacto y el
desgaste de las superficies deslizantes es menor que en los de enfoque
externo, en los que esto causa deformaciones con la consecuente pérdida de
alineación en el eje principal del objetivo y el ocular.
33..11..22.. EErrrroorreess CCoommeettiiddooss ccoonn TTeeooddooll ii ttooss
33..11..22..11.. EErrrroorr ddee PPuunntteerr ííaa ((PPuunntteerr ííaa óópptt iiccaa))
Todas las mediciones realizadas con teodolitos están sujetas a
errores de calaje, debido a muchos factores; diseño de la puntería,
condiciones atmosféricas prevalecientes, limitaciones del operador, y por
último a enfocar. Las magnitudes aproximadas del error de puntería de
(51)
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una dirección, es decir, desviación estándar, están directamente
relacionadas con el aumento del telescopio del teodolito.
MP
"45=σ
Donde:
σP = error de puntería del instrumento (arco de segundo).
M = aumento del objetivo, “lente”.
Por ejemplo, un objetivo con un aumento de 30 veces (30x) debería tener
un error de puntería (σP) de aproximadamente 1,5 arcosegundo (un
sigma) en una dirección. Tomando una serie de medidas en la misma
ubicación, reduce la desviación estándar a un factor de n1 , donde n es
el número de repeticiones (ver figura N° 20). La desviación estándar,
debido al error en la puntería, en la medida de una dirección realizada
por una serie de mediciones repetidas (n), puede ser determinada por la
siguiente fórmula:
nPσσ δ =
Donde:
σδ = error de puntería en una dirección (arcosegundo).
σp = error de puntería del instrumento.
n = número de series de repetición.
Este resultado asume que cada puntería atrás y adelante tiene la
misma precisión.
33..11..22..22.. DDeetteerrmmiinnaacciióónn eemmppíírr iiccaa ddeell eerr rroorr ddee ppuunntteerrííaa
El error de puntería puede ser determinado para cualquier
instrumento, realizando observaciones directas a la puntería (para utilizar
un teodolito con escala micrométrica). Primero, el operador ubica y nivela
el instrumento, luego repite este procedimiento con la puntería.
(52)
(53)
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Posteriormente, el operador apunta con los hilos reticulares hacia la
señal y anota la dirección leída. Repite este procedimiento por lo menos
unas 20 veces para reunir un número suficiente de lecturas para calcular
el error medio de los datos. El resultado es una incertidumbre empírica
de la puntería del instrumento. La componente del error leído debe ser
sustraído de la combinación del error de puntería y el error de lectura.
( )[ ]22
rrPP σσσσ −+=
Donde:
σp = error de puntería del instrumento (arcosegundo).
(σp + σr) = combinación del error de puntería y el error de lectura.
σr = error de lectura del instrumento (arcosegundo).
El error leído (σr) se determinará mediante la desviación estándar
para una serie de por lo menos veinte lecturas del teodolito, se deberá
comparar el resultado de estas lecturas con las especificaciones del
instrumento.
33..11..22..33.. MMiinniimmiizzaacciióónn ddeell EErr rroorr ddee PPuunntteerrííaa
El error de puntería degrada la precisión en la medición de
ángulos horizontales y verticales, es decir, a una mayor distancia se
obtendrá un mayor error. Esto puede ser minimizado al medir hacia una
puntería con la utilización de un aumento mayor. Algunos instrumentos
son equipados con piezas intercambiables (aumentos), que pueden
llegar a tener una magnificación de 46x veces, como es el caso de la
LEICA T3000. El procedimiento de repetir varias veces la lectura del
ángulo, se utiliza para reducir el error de puntería del instrumento cuando
no se cuenta con un aumento de lente mayor.
(54)
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33..11..22..44.. IInn tteerr rruuppcciioonneess AAttmmoossfféérr iiccaass
La turbulencia del aire puede interferir bastante en la precisión al
momento de apuntar. Esto ocurre sobre todo en estructuras expuestas
directamente a los rayos del sol ( ejemplo: represas, muros de concreto).
Estos efectos distorsionadores pueden ser eliminados al realizar
observaciones bajo condiciones atmosféricas más favorables, como por
ejemplo: trabajar temprano en la mañana, en días nubosos, etc. Al repetir
la medida de un ángulo reduce el error de puntería cuando las
condiciones de observación son pobres.
FFiigguurraa NN°° 2200,, GGrrááffiiccoo EErrrroorr eessttáánnddaarr vv//ss nnúúmmeerroo ddee rreeppeettiicciioonneess eenn llaa mmeeddiiddaa ddee áánngguullooss..
FFuueennttee:: EEllaabboorraacciióónn pprrooppiiaa..
33..11..22..55.. EErrrroorr eenn llaa MMeeddiiddaa ddee ÁÁnngguulloo HHoorr iizzoonnttaall
La precisión (desviación estándar) en la realización de la medida
del ángulo horizontal con un teodolito, puede ser determinada por la
suma de las varianzas.
( )2222LbrPángulo σσσσσ +++=
00,10,20,30,40,50,60,70,80,9
11,1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Número de repeticiones
Err
or E
stán
dar
(55)
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
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Donde:
σángulo = error ángulo horizontal (arcosegundo).
σp = error de puntería.
σr = error de lectura.
σb = error de centrado.
σL = error de nivelación.
Las varianzas anteriores pueden ser determinadas por las
fórmulas número 53 y 64.
Ejemplo de error en el ángulo horizontal. Utilizando las fórmulas mencionadas
anteriormente, si se tiene un lente con un aumento de 30x y está centrado con
una plomada óptica, a una altura instrumental de 1,5 m y con una sensibilidad
de burbuja de 20”/2 mm con una lectura del ángulo vertical de 85° , y una
distancia inclinada de 100 m con visuales atrás y adelante; la precisión del
ángulo horizontal es aproximadamente de 3,5 arcosegundo. Utilizando este
mismo ejemplo, pero con dos series independientes de medidas repetidas, la
desviación estándar del ángulo medido es de aproximadamente 2,4
arcosegundo. Cuando se utiliza un teodolito electrónico con compensador
biaxial, el error de nivelación y de lectura son despreciables.
33..11..22..66.. EErrrroorr eenn llaa MMeeddiiddaa ddeell ÁÁnngguulloo VVeerrtt iiccaall
La medida del ángulo vertical es determinada por la diferencia de
dos medidas hechas, con una dirección definida por el eje vertical del
teodolito. La precisión en la medida de un ángulo vertical puede ser
determinada de la siguiente forma:
( )REFirPvertical σσσσσ +++= 222
(56)
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Donde
σvertical = error ángulo vertical (arcosegundo).
σp = error de puntería.
σi = error de inclinación.
σr = error de lectura.
σREF = error de refracción.
Las varianzas anteriores pueden ser calculadas por las fórmulas
que aparecen en los números 53 y 54.
Una de las principales fuentes de errores sistemáticos en la
medición de un ángulo vertical, es la debida a la refracción atmosférica.
Entonces, para determinar aproximadamente el error del ángulo vertical,
se utilizará la siguiente fórmula como función de la distancia inclinada:
( )22
2
16 ρσ
⋅=
R
DiREF
Donde
σREF = error de refracción.
Di = distancia inclinada en m.
R = radio medio de la Tierra (~6.378.000 m).
ρ = 206264,8.
Por ejemplo, sobre una distancia de 100 m, el error debido a la refracción
podría ser aproximadamente de 3 arcosegundo.
33..11..33.. EEffeeccttoo ddee llaa RReeffrraacccciióónn eenn VViissuuaalleess
Todas las medidas realizadas con instrumentos ópticos son afectadas
por la refracción atmosférica. Las líneas son refractadas cuando la temperatura
del aire no es homogénea, es decir, existe una Gradiente de Temperatura
(57)
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72
yT ∂∂ . El efecto de refracción es más pronunciado en nivelaciones y en
medidas de ángulos verticales, ya que las visuales se encuentran cercanas a la
superficie del suelo (2m o menos), y además, tiene una diferencia de
temperatura significativa cuando existe una capa de aire sobre ella.
Los efectos horizontales de refracción pueden ser también peligrosos si
la visual de la dirección horizontal observada corre paralela y muy cercana al
objeto prolongado de una diferencia de temperatura, tal como las paredes de un
túnel, las galerías de diques largos, filas de transformadores o turbinas que
tienen diferencias de temperatura del aire que fluyen en el centro de la galería.
33..11..33..11.. EEffeeccttoo ddee RReeffrraacccciióónn
Si la gradiente de Temperatura ( yT ∂∂ ) a través de la visual es constante
en todos los puntos de la línea, entonces la línea es refractada a lo largo de una
curva circular (figura N° 21), produciendo un error “e” en el punto observado.
FFiigguurraa NN°° 2211,, VViissuuaall rreeffrraaccttaaddaa eenn uunn ssiisstteemmaa XX,,YY..
FFuueennttee:: EEllaabboorraacciióónn pprrooppiiaa..
El valor de “e” puede ser estimado de la siguiente forma:
R
Dke
⋅⋅=2
2
(58)
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________________________________________________________________________________________________
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73
Donde:
k = coeficiente de refracción.
D = distancia hacia la puntería (m).
R = radio de la Tierra (m).
El coeficiente de refracción, k, es una función de la Gradiente de
Temperatura ( yT ∂∂ ) y puede ser aproximada (por el promedio de la longitud de
onda del espectro óptico) por la siguiente fórmula:
y
T
T
Pk
∂∂⋅⋅=
28,508
Donde:
P = presión barométrica (en mb).
T = promedio (absoluto) de la Temperatura del aire, en Kelvin.
t en ° C y T en Kelvin, están relacionadas por T = 273,15 + t.
Tomándose como radio de la Tierra, 6.378.000 m, y sustituyéndose en la
fórmula N° 58, el error puede ser expresado como una función de la Gradiente
de Temperatura:
52
2
109,3 −⋅∂∂⋅⋅⋅=
y
T
T
DPe
Por ejemplo, se tiene una visual de D = 200 m; temperatura del aire t = +30 ° C,
es decir, T = 303,15 Kelvin; presión barométrica 1000 mb, y una Gradiente de
Temperatura constante a través de la línea de visual, mCyT /5,0 °=∂∂ ,
Reemplazándose los valores en la fórmula N° 60, se tiene:
k = 2,8 y e = 8,5 mm.
Usualmente, la diferencia de la Gradiente de Temperatura de un punto a
otro, produce una forma irregular de la visual refractada, (ver figura N° 22). En
este caso, la Gradiente de Temperatura y el coeficiente de refracción cambia a
(59)
(60)
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74
lo largo de la línea de visual (dirección x) y k pasa a ser función de la posición
k(x). El error en el punto debiera ser calculado de la siguiente forma:
( )∫ −⋅=D
dxxDke0
Si la Gradiente de Temperatura son medidas como puntos discretos, es
decir, en el medio de cada segmento “si” (ver figura N° 22), entonces la integral
se puede resolver utilizando Simpson:
( )[ ] ( ) ( )[ ]{( ) ( )[ ] ( )[ ]}11122122111
2312221
............
...2
1
−−−−−− −⋅⋅+−−⋅+−−⋅⋅+
+−−⋅+−⋅⋅+−⋅+⋅⋅⋅⋅=
nnnnnnnn
iii
ddDkddddDkdddDkd
ddDkdDkddDkDkdRe
FFiigguurraa NN°° 2222,, EEffeeccttoo ccaammbbiiaannttee ddee llaa GGrraaddiieennttee ddee TTeemmppeerraattuurraa..
FFuueennttee:: EEllaabboorraacciióónn pprrooppiiaa..
33..11..33..22.. EEffeeccttoo ddee llaa MMeeddiiddaa ssoobbrree uunnaa AAll iinneeaacciióónn
En las mediciones de alineación entre dos puntos fijos, A y B (ver figura
N° 24), el punto A está obligado apuntar hacia el punto B. Si la Gradiente de
Temperatura a través de la línea A y B es constante, entonces la alineación
(61)
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FFiigguurraa NN°° 2233.. EEffeeccttooss ddee llaa rreeffrraacccciióónn,, cceerrccaannoo aall iinnssttrruummeennttoo vv//ss cceerrccaannoo aa llaa ppuunntteerrííaa..
FFuueennttee:: EEllaabboorraacciióónn pprrooppiiaa..
será refractada a lo largo de un camino circular, en donde el error aparecerá en
el medio de la línea A y B. Incluso cuando las mediciones para la alineación se
realizan en el medio del segmento, la visual sigue el mismo camino circular.
Por ejemplo, al utilizar un láser de HeNe (λ = 0,63 µm), el máximo error, ∆y, en
el centro del camino refractado, puede ser calculado de la siguiente forma:
dy
dT
T
DPy ⋅
⋅⋅=∆ 2
2
101760
Donde
P = presión barométrica (en mb).
T = temperatura en Kelvin.
D = distancia total a través de la alineación.
FFiigguurraa NN°° 2244,, EEffeeccttoo ddee rraaffrraacccciióónn ssoobbrree uunnaa aalliinneeaacciióónn..
FFuueennttee:: EEllaabboorraacciióónn pprrooppiiaa..
(62)
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76
33..11..33..33.. MMééttooddooss ppaarraa RReedduuccii rr eell EEffeeccttoo ddee RReeffrraacccciióónn
Los efectos de refracción pueden ser reducidos según las siguientes
recomendaciones:
1. Evitando que las visuales estén cerca de cualquier tipo de superficie
(cuerpo) que emita una temperatura diferente a la que prevalece en el
ambiente.
2. Midiendo la Gradiente de Temperatura con muchos sensores de alta
precisión (resolución de por lo menos 0,05 ° C) y calculando la
corrección de refracción, o,
3. Utilizando dos fuentes de radiación que emitan una longitud de onda
diferente (método dispersión).
El primer método es el más práctico, pero no asegura que la visual esté
libre de refracción. El segundo método, aunque aplicable en la práctica,
requiere de instrumentación especial y medidas tediosas. El tercero
requiere de instrumentos costosos y es aplicable solamente en
mediciones científicas de la más alta precisión (ejemplo: metrología
industrial). En estudios de deformaciones, solo el primer método parece
factible. Si las paredes de una galería son estrechas, y además sus
paredes tienen diferentes temperaturas (una expuesta al agua y la otra a
la radiación del sol), la alineación aunque sea hecha por el centro de la
galería no puede reducir suficientemente el efecto de la refracción. En el
último caso, métodos no ópticos pueden ser usados en el
desplazamiento de las medidas.
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Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
77
33..11..33..44.. EEffeeccttooss ssoobbrree llaass MMeeddiiddaass ddee DDiirreecccciióónn
En la medida de una dirección con un teodolito, la refracción ocurre como
un ángulo de deflexión. Con una Gradiente de Temperatura uniforme sobre una
longitud (D) de visual, el error de refracción (eREF) en arcosegundo de la
dirección observada puede ser aproximada por:
dx
dT
T
PDeREF ⋅⋅⋅=
2"8
Donde:
D = Distancia entre estaciones (m).
P = Presión barométrica (mb).
T = Temperatura en Kelvin ( T = 273,15 + t ° C).
dT/dx = Gradiente de Temperatura.
33..11..33..55.. EErrrroorr eenn eell CCeennttrraaddoo ddeell IInnssttrruummeennttoo
Incluso cuando se tiene gran cuidado en la ubicación del instrumento, se
tiene un límite definitivo en la habilidad de nivelar un instrumento, debido a la
sensibilidad con que cuenta la ampolleta de nivelación. Por lo tanto, siempre se
tiene una mínima inclinación del eje vertical del instrumento con respecto a la
línea de plomada.
El error de inclinación en el teodolito es anotado como:
( )2,0=Iσ * (Sensibilidad de la burbuja por división).
O también, se puede dar como cinco veces la sensibilidad de la ampolleta del
instrumento (ejemplo: para una burbuja de 30” se tiene un error de nivelación de
30”/5 = 6). El efecto producido por la inclinación del eje vertical (σI) sobre una
medición de ángulo horizontal, viene dado en la siguiente fórmula:
)tan(zI
L
σσ =
(63)
(64)
_________________________________________________________________________________
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78
Donde:
σL = error de nivelación (arcosegundo).
σI = error de inclinación.
Z = ángulo vertical medido.
Los errores en la nivelación del teodolito afectan la precisión con que se
mide un ángulo horizontal, principalmente cuando se está observando un
ángulo vertical.
33..11..33..66.. CCoorrrreecccc iióónn ddeell EEjjee VVeerr ttiiccaall
La inclinación del eje vertical del instrumento puede ser medida y
corregida con una técnica especial de observación. Primero, con el instrumento
correctamente nivelado y centrado, la visual hacia la puntería está inclinada
(arriba o abajo). Entonces, se asegura el limbo vertical, y se procede a leer y
anotar el ángulo vertical (VPUNTERÍA), luego el seguro del limbo horizontal es
soltado. Posteriormente, el instrumento se gira en 90° hacia la derecha de la
visual y el círculo vertical se asegura nuevamente para leer y anotar el ángulo
(VD). Por último, el instrumento es girado en 90° hacia la izquierda, se realiza el
mismo procedimiento antes descrito, y se anota la nueva posición (VIZ). El valor
máximo de la corrección del error de nivelación para un punto, es la mitad de la
diferencia de la lectura (derecha e izquierda) del círculo vertical multiplicada por
la tangente del ángulo vertical inicialmente medido hacia la puntería.
( ) ( )PUNTERÍA
IZD VVV
NC tan2
.. ⋅−= �
Donde:
C.N. = corrección de la nivelación.
VD = ángulo vertical derecho leído.
VIZ = ángulo vertical izquierdo leído.
VPUNTERÍA = ángulo vertical hacia la puntería.
(65)
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79
33..11..33..77.. TToolleerraanncciiaa PPrreeddeetteerrmmiinnaaddaa
El valor de un ángulo vertical, puede ser predeterminado con la
sensibilidad de la ampolleta de nivelación del instrumento, esto decidirá si la
corrección es necesaria ser aplicada sobre un blanco dado. Esta tolerancia
angular es encontrada resolviendo la ecuación para VPUNTERÍA, término conocido
(error de inclinación del instrumento).
Por ejemplo, se tiene un instrumento cuya ampolleta tiene una sensibilidad de
30 arcosegundo (tomando como fuente un catálogo) y una tolerancia máxima
permisible para la corrección final de 1 arcosegundo; ángulo vertical superior a
10° desde la horizontal, requerirá la corrección.
33..11..33..88.. EErrrroorr eenn eell CCeennttrraaddoo FFoorrzzoossoo ddeell IInnssttrruummeennttoo
Cualquier centrado forzoso o plomada óptica incluida en el tribrach, son
medios estándares durante el ajuste del instrumento y la puntería. Los errores
de centrado son causados cuando el eje vertical del instrumento (o
puntería/prisma) no coincide con la marca de referencia sobre el punto de
control monumentado.
La incertidumbre que existe en la medición de un ángulo se debe al error
de centrado.
( ) ( ) ( )[ ]222 4 Dcb ⋅⋅= ρσσ
Donde:
σb = incertidumbre en el ángulo debido al error de centraje.
σc = precisión en el centrado.
ρ = 206264,8
D = distancia entre estaciones (mm)
La precisión en el centrado (σc) es anotado de la siguiente forma:
( ) himmc ⋅= 5,0σ
(66)
(67)
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80
Para las plomadas ópticas y centrado forzoso:
( ) himmc ⋅= 1,0σ
33..11..33..99.. PPlloommaaddaass óópptt iiccaass
Las plomadas ópticas, nadir y cenit (ver figura N° 25), son especialmente
diseñadas para centrados y colimaciones precisas. Su utilización ha sido
recomendada para estudios de deformaciones porque asegura una alta
precisión en el centrado.
FFiigguurraa NN°° 2255,, PPlloommaaddaa óóppttiiccaa nnaaddiirraall,, ooppeerraa ccoommoo uunn nniivveell aauuttoommááttiiccoo,, ppeerroo eessttaabblleecciieennddoo uunnaa
vviissuuaall vveerrttiiccaall..
FFuueennttee:: EEnnggiinneeeerrss'' ffrroomm tthhee UUnniitteedd SSttaatteess bbooddyy..
FFiigguurraa NN°° 2266,, CCoommppaarraacciióónn eennttrree pplloommaaddaass óóppttiiccaass.. LLaa iimmaaggeenn ddee llaa iizzqquuiieerrddaa mmuueessttrraa eell
ccaammppoo ddee vviissuuaall ddee uunnaa pplloommaaddaa óóppttiiccaa ddee uunn ttrriibbrraacchh,, yy llaa iimmaaggeenn ddee llaa ddeerreecchhaa mmuueessttrraa eell
ccaammppoo ddee vviissuuaall ddee uunn iinnssttrruummeennttoo ((ffiigguurraa NN°° 2255)) ddee pplloommaaddaa óóppttiiccaa nnaaddiirraall.. AAmmbbaass iimmáággeenneess
mmuueessttrraann eell mmiissmmoo ddiissccoo ddee llaattóónn qquuee ssee eennccuueennttrraa aa uunnaa aallttuurraa aapprrooxxiimmaaddaammeennttee ddee 11,,55 mm..
(68)
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33..22 NNiivveelleess
En esta sección no se explicará en detalle las partes del Nivel, puesto
que algunas fueron ya descritas en la sección de Teodolitos.
El Nivel es un instrumento con el cual se obtienen diferencias de altura, y
el proceso de nivelación que se realiza con este instrumento es llamado
Nivelación Geométrica o Directa.
Como se ha mencionado antes, el operador debe conocer perfectamente
bien el funcionamiento para obtener el mayor provecho para el trabajo que
desea ejecutar.
33..22..11.. CCllaassii ffiiccaacciióónn ddee llooss NNiivveelleess ÓÓppttiiccooss
Se dividen generalmente en:
• Niveles de plano: en los que, una vez estacionado el instrumento, el eje
de colimación (Eje Óptico) describe un plano horizontal en su giro
alrededor del eje principal (Eje Vertical), ejemplo Nivel tipo Dumphy;
• Niveles de línea: en los que en cada nivelada (visual) es preciso
horizontalizar el aparato para asegurar solamente que sea horizontal la
visual que haya de tomarse a continuación, ejemplo Niveles con Tornillo
de Trabajo o también llamado Nivel Basculante;
• Niveles automáticos: niveles de línea, de horizontalización automática.
En la actualidad, los niveles de plano, se utilizan muy poco debido al tiempo
que toma en ponerse en estación, puesto que hoy en día, la idea es realizar un
trabajo en el menor tiempo posible. Por lo que solo se definirán los otros dos.
Sin embargo, es preciso consignar que tan importante puede resultar la
lectura en la mira como la propia calidad del instrumento a efectos de conseguir
el resultado exigido. En efecto, cualquier error de lectura en nivelación se
transmite, directamente y en toda su magnitud, al desnivel que se trata de
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apreciar. Un desnivel o una cota es un número y puede escribirse con cualquier
aproximación, y en muchas ocasiones es imprescindible lograr muy altas
exactitudes obligadas por la finalidad del trabajo encomendado. Por todo ello, la
longitud de las niveladas (visuales) no acostumbran a sobrepasar los 100 ó 150
m, siendo mucho más frecuentes las distancias de menos de 100 y hasta los 50
m, para garantizar la óptima lectura en la mira, aún la estimación de milímetros.
Ello hace que no sea preciso tener en cuenta la influencia de la esfericidad de la
tierra ni de la refracción atmosférica.
33..22..22.. EElleemmeennttooss ddee uunn NNiivveell yy ccaauussaass ddee EErr rroorr eenn eessttee
Un anteojo, generalmente de gran aumento (A, en la figura N° 27) y un nivel (N)
montados sobre una plataforma nivelante (P) constituyen esencialmente el
conjunto del aparato.
FFiigguurraa NN°° 2277..
FFuueennttee :: FFuueennttee:: TTeeoorrííaa ddee eerrrroorreess ee iinnssttrruummeennttaacciióónn,, aauuttoorr:: MMaannuueell CChhuueeccaa..
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83
Y, evidentemente, debe conseguirse que el eje de colimación (eje óptico)
HH’ del anteojo sea paralelo a DF, directriz del nivel (línea de fé), y ambos
perpendiculares a EE’, eje principal (eje vertical).
Es claro que lo realmente importante es que para la visual de que se
trate se cumpla lo expuesto, no siendo preciso que EE’ sea rigurosamente
vertical.
Por otra parte, dada la extrema sensibilidad de algunos aparatos, resulta
prácticamente imposible centrar la burbuja en cualquier posición.
De acuerdo a lo que se vio en la parte de teodolitos, en una visual se cometerán
los siguientes errores accidentales:
• De horizontalidad (análogo al de verticalidad del eje de los teodolitos)
• De puntería (según lo visto anteriormente)
Se sabe, de la misma forma, que no existe error de dirección, y en cuanto al
de lectura, se ha establecido previamente que es preciso que la puntería sobre
la mira no de lugar a ningún error apreciable de lectura adicional sobre ella, aun
a costa de acortar las visuales, y, como no se debe leer ningún limbo ni
graduación en el aparato, no será preciso tener en cuenta error de dicha
denominación.
33..22..33.. MMiirraass ddee NNiivveellaacciióónn
Deben reunir características muy estrictas de precisión, garantizando
homogeneidad en su graduación e inalterabilidad a las variaciones de
temperatura. Acostumbran a construirse con una capa de pintura
antirreflectante para facilitar la lectura. Normalmente se fabrican en madera o
metal, utilizándose el metal de invar en miras de alta precisión. Algunas
disponen de un nivel esférico para garantizar su verticalidad y/o acostumbran a
situarse no directamente sobre el terreno, sino en una base especial, para evitar
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errores residuales debidos a pequeños hundimientos motivados por distintas
compacidades de aquél.
Generalmente, están graduadas en centímetros. En casos muy
especiales, se utilizan miras de milímetros para distancias cortas,
especialmente en montaje industrial.
33..22..33..11.. MMiirraass ddee NNiivveellaacciióónn ddee PPrreecciiss iióónn
Este tipo de miras se utiliza para trabajos más precisos. En un marco de
madera se fija una tira graduada de invar, la cual se asegura en su parte inferior
y en la superior, con un resorte para calibrar su longitud, de modo que las
variaciones del marco por cambios de temperatura no afecten la longitud de la
tira graduada. También cuenta con un par de asas y un nivel circular de
burbuja. La mira siempre se coloca sobre una placa de acero y se puede sujetar
con dos tirantes engarzados en la parte superior de su longitud ajustable, para
mantenerse en posición vertical. Además, se puede girar sin mover los tirantes
para apuntar hacia el nivel.
La tira invar tiene dos series de graduaciones a intervalos de 10 mm (ver Figura
N° 28), pero su desplazamiento relativo y numeración son diferentes para
obtener dos lecturas distintas en un solo apuntamiento.
FFiigguurraa NN°° 2288,, GGrraadduuaacciióónn ddee llaa mmiirraa..
FFuueennttee:: TTééccnniiccaass MMooddeerrnnaass eenn TTooppooggrraaffííaa,, AAuuttoorr:: BBaannnniisstteerr,, RRaayymmoonndd,, BBaakkeerr..
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33..22..44.. TTiippooss ddee nniivveelleess
Se distinguen varios tipos niveles como el de tipo Dumphy, nivel
Basculante, nivel Reversible, nivel de Precisión, nivel Automático, etc. Pero en
esta memoria se abordarán solamente los dos últimos, debido a su utilización
en el proyecto, y por encontrarse los primeros con muy poca utilización hoy en
día.
33..22..44..11.. NNiivveelleess ddee PPrreecc iiss iióónn
Estos niveles, al poseer una alta amplificación, permiten leer de mejor
forma la graduación en la mira, y al contar con un micrómetro, se logra obtener
una medida con la más alta precisión. No solo se utilizan en levantamientos
geodésicos y en levantamientos de ingeniería muy precisos, sino también para
medir pequeños desplazamientos verticales de estructuras, y en la revisión de
alineamiento vertical de alguna maquinaria, incluyendo pequeños cambios en
ángulo de inclinación.
AA.. MMiiccrróómmeettrrooss ddee PPllaaccaass PPllaannoo PPaarraalleellaass
Esta es una característica esencial de estos instrumentos y puede ser
parte integral de los mismos o una unidad removible. En este último caso, el
nivel mismo podría llamarse nivel universal porque puede usarse con diferentes
precisiones. Esta unidad permite leer en forma directa, más que estimar, el
décimo de milímetro entre el hilo horizontal de la retícula y la división más
cercana de la mira. El dispositivo consta en esencia de una placa plano paralela
de vidrio colocada frente al objetivo a la cual se da un movimiento basculante
mediante la rotación de la cabeza de un micrómetro en el extremo ocular del
telescopio. Debido a la refracción, un rayo de luz paralelo al eje del telescopio
se desplaza hacia arriba o hacia abajo, según la dirección de la inclinación, una
cantidad que varía con el ángulo de inclinación; cuando la placa es vertical no
ocurre ningún desplazamiento (Figura Nº 29).
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FFiigguurraa NN°° 2299..
FFuueennttee:: TTééccnniiccaass MMooddeerrnnaass eenn TTooppooggrraaffííaa,, AAuuttoorr:: BBaannnniisstteerr,, RRaayymmoonndd,, BBaakkeerr..
6HD� /� HO� GHVSOD]DPLHQWR� HQWUH� OD� YLVXDO� \� OD� JUDGXDFLón más cercana
cuando la placa se encuentra inclinada un ángulo .�FRQ�UHVSHFWR�D�OD�YHUWLFDl.
En el triángulo ABC:
δβ
== BCyt
ABcos
Por lo tanto:
( )
−=
−=
ββαα
βαβ
δ
coscos
cos
sensent
sent
Pero
αβµ sensen =
'RQGH���HV�HO�índice de refracción del vidrio que se usa en la placa.
(69)
(70)
(71)
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Por lo tanto:
−
−−=
−−=
−−=
αµαα
αµαα
µα
µα
αααδ
22
2
22
2
2
11
cos1
1
cos1
sen
sentsen
sentsen
sen
sen
sentsen
Si a es pequeño (en radianes)
µµαδ 1−= t
33..22..44..22.. NNiivveell AAuuttoommááttiiccoo
Existen muchos tipos de instrumentos de nivelación sin ampolleta tubular
unida. Los telescopios de estos instrumentos deben ser más o menos
nivelados; un dispositivo compensador, en general basado en un sistema
pendular dentro del telescopio, corrige el desnivelamiento residual. Esos niveles
son muy populares por la facilidad de su uso, pero padecen de cierta
inestabilidad.
A. Operación de un compensador
En la figura Nº 30 se describe la operación ideal del instrumento. Cuando
el eje vertical está inclinado un pequeño ángulo con respecto a la vertical, si los
rayos de luz horizontales que pasan a través del centro óptico del objetivo
pueden desviarse para cortar el hilo horizontal de la retícula, como muestra la
figura Nº 30 entonces se logrará la lectura compensada de la mira, a pesar de
la inclinación.
(72)
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FFiigguurraa NN°° 3300,, CCoommppeennssaaddoorr..
FFuueennttee:: TTééccnniiccaass MMooddeerrnnaass eenn TTooppooggrraaffííaa,, AAuuttoorr:: BBaannnniisstteerr,, RRaayymmoonndd,, BBaakkeerr..
De la figura Nº 30:
βα sFa ==
Por lo tanto:
αβ=
s
F
Si el tubo del telescopio se inclina un ángulo .�� HO� SULVPD� GHO� FHQWUR�compensador toma una nueva posición, en la que la línea vertical que pasa por
su centro de gravedad intersecta el punto donde se unen los dos hilos que lo
sostienen. La geometría del cuadrilátero formado por la base del prisma, los dos
hilos y la parte superior del telescopio es tal que la base del prisma se inclina
DKRUD��.�FRQ�UHVSHFWR�D�OD�KRUL]RQWDO��3RU�ODV�OH\HV�GH reflexión (los efectos de
otras reflexiones y refracciones son compensatorios):
66
Fsy == αβ
(73)
(74)
(75)
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Se observa que en la práctica será difícil que el compensador se coloque
con exactitud, así que pueden ocurrir desviaciones hacia arriba o hacia abajo.
B. Efectos Vibratorios en Niveles Automáticos
A pesar de la acción de los amortiguadores de los dispositivos de
compensación en los instrumentos, se presentan vibraciones periódicas
inducidas por el viento, tránsito o fábricas, que afectan la precisión de las
lecturas. Las ventajas de la nivelación automática son, en cierto grado,
equilibradas por las desventajas de su sensibilidad.
En estos instrumentos resulta esencial que el trípode se fije con firmeza
en el terreno. Las vibraciones pueden evitarse, o amortiguarse, sujetando de
manera ligera el trípode con las manos. Esta práctica no puede tolerarse en
nivelación con instrumentos convencionales de burbuja, pero sí se permite con
niveles automáticos. Con el instrumento firmemente instalado, no se afectará la
altura de la línea de colimación y cualquier inclinación ligera que ocurra se
corregirá de manera automática con el compensador. Sin embargo, en lugares
expuestos a vibración continua provocada por equipos mecánicos es preferible
usar nivel de burbuja. Los sistemas de amortiguación de los niveles automáticos
son en extremo eficiente y es ocasional que se produzca vibración de
resonancia por vibraciones de alta frecuencia en el compensador que puedan
afectar su precisión.
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33..33 IInnssttrruummeennttooss EEDDMM
En esta parte se dará a conocer los criterios que se deben considerar en
la utilización de instrumentos EDM Para ello se hará una descripción de las
partes que se encuentran contenidas dentro de un instrumento EDM.
33..33..11 PPrr iinncciipp iiooss bbáássiiccooss ddee mmeeddiicciióónn eelleeccttrroommaaggnnééttiiccaa ddee ddiissttaanncc iiaa
La medición de distancias a través de la electrónica fue descubierta
indirectamente, esto debido a que se realizaban experimentos para determinar
la velocidad de la luz, basado en el tiempo que transcurría la emisión de una
haz luminoso y la recepción de éste en el mismo lugar de partida tras hacer
rebotar el haz en un espejo plano ubicado a una distancia conocida. Este
principio se llevó a la medida de distancia, pero de forma distinta, ya que ahora
se conocía la velocidad de la luz, se determinaba el tiempo de propagación y el
valor desconocido era la distancia.
33..33..11..11 MMeeddiiddaass ddee ddiissttaanncc iiaa
Los instrumentos EDM que se usan en mediciones “geodésicas” pueden
clasificarse en dos grupos, de acuerdo al tipo de radiación electromagnética que
transportan las señales medidoras:
- Instrumentos EDM Electromagnéticos o sistema de microondas, que
emplean generalmente ondas de radio de longitud de onda entre λ = 1m
a λ = 1cm con frecuencias generalmente de 1010 Hz. Se les suele llamar
Telurómetros.
- Instrumentos EDM Electro-ópticos, frecuencias altas, ondas luminosas
del orden 1014 Hz (infrarroja de longitudes de onda de 700nm a 1,2µm; y
luz visible de entre 400nm y 700nm).1
En el primer grupo, las señales de media frecuencia proporcionan mayor
rango, pero son más afectadas por las condiciones atmosféricas y
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Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
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entregan menor precisión; no obstante, para navegación marina y aérea
son de enorme interés. La diferencia de fase se puede medir
directamente.2
Para las precisiones topográficas se requieren equipos de frecuencias
altas, que permiten mayor precisión. Pero en estas frecuencias es muy
difícil medir la diferencia de fase, y la longitud de onda es tan pequeña
que es difícil utilizarla para las mediciones. Este problema se soluciona
modulando la alta frecuencia portadora con una de baja frecuencia, y
utilizar la onda modulada para propósitos de medición.3
Para mejor entendimiento, ver figura Nº 31, que especifica los rangos de
longitud de onda.
FFiigguurraa NN°° 3311,, EEssppeeccttrroo EElleeccttrroommaaggnnééttiiccoo..
FFuueennttee:: EEllaabboorraacciióónn pprrooppiiaa..
1, 2, 3 Teoría de errores y Instrumentación, Volumén 1, Autor: Manuel Chueca Pazos, Editorial Paraninfo.
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AA.. CCllaassii ffiiccaacc iióónn ddee ddiissttaanncciióómmeettrrooss eelleeccttrróónniiccooss
Como se mencionó, la medida electrónica de distancias se agrupa en
dos sistemas, los aparatos que ocupan microondas “electromagnéticos” y los
que utilizan la luz láser o infrarrojos “electro-ópticos”. Pero se dará mas énfasis
a los instrumentos electro-ópticos.
AA11.. EElleeccttrroo--óópptt iiccooss..
Estos actúan en la zona del espectro luminoso, láser o infrarrojos,
pudiendo establecerse dos grupos según opera en la banda visible o no.
• Distanciómetros de luz visible.
• Distanciómetros infrarrojos.
AA22.. DDiissttaanncciióómmeettrrooss ddee lluuzz vviissiibbllee
Estos equipos utilizan como portadora, en la actualidad, láser gaseoso de
He – Ne para equipos de medida de largo alcance “geodímetros” y en
distanciómetros submilimétricos, que emiten en la banda visible del espectro, λ
= 0,6328 µm.
Los geodímetros se utilizan en Geodesia o en triangulaciones
topográficas del más alto orden, con alcance máximo de 40 – 60 km, con
precisiones del orden de +(5mm + 1ppm). El equipo reflector es pasivo,
consistente en prismas tallados para devolver la emisión en la misma dirección
y sentido contrario al que incide. Ejemplos: AGA – 8 (Sueco); Ranger Master III
(EEUU).
Los distanciómetros submilimétricos son de alcance máximo variable 2 a
15 km, pero de extraordinaria precisión +(0,2mm + 0,2ppm).
Ejemplo: Mekometer 5000 Kern (suizo).
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AA33.. DDiissttaanncciióómmeettrrooss iinn ffrraarrrroojjooss
En este grupo se engloban aquellos que utilizan como fuente portadora
un diodo láser de arseniuro de galio.
Estos equipos que emplean láser operan en el infrarrojo cercano. Su
alcance máximo es de 20 km, con precisión del orden de +(5mm + 1ppm ).
0,800µm < portadora < 0,950µm.
Algunos de estos equipos efectúan medida de distancias sin necesidad
de prismas reflectores siempre y cuando se emitan la onda contra pared de
hormigón o similares, pudiendo llegar a determinar distancias de 100m con
precisiones de +1cm. Cabe destacar los equipos “Geo Pulsar de Fennel”, “Eldi
10 de Zeiss”, “DI – 3000 Wild”.
Los distanciómetros con fuente portadora de diodo normal de arseniuro
de galio GaAs, de menor alcance, pero con fines propiamente topográficos,
hasta 3 – 4 km, con precisiones del orden de +(5mm + 3ppm). Todas las
estaciones totales utilizan este sistema.
Estos equipos utilizan radiación modulada, tomando como onda
modulada o longitud de onda de medición valores que van desde unos pocos
metros a 40 m.
Cabe decir que teóricamente, y por su posición en el espectro, la luz
visible es más penetrante que la radiación infrarroja, y esta más que las
microondas. No obstante, como la medición no se hace en el vacío, sino en la
atmósfera, la presencia de polvo, vapor de agua en suspensión y condiciones
meteorológicas de todo tipo, hacen variar por dispersión, absorción, reflexión y
refracción la transmitancia del ambiente, y con el alcance efectivo de las ondas.
Además, debe prevenirse una apertura de haz que no produzca reflexiones
perturbadoras en el suelo, lo que también acorta el alcance máximo, con
independencia de la transmitancia atmosférica.
Como resumen de todo ello, la realidad es que los distanciómetros
electrónicos, de corto alcance, corresponden a la banda de infrarrojo, los de
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medio alcance a la luz visible y los mayores alcances a la luz láser y al campo
de las microondas.
AA44.. CCeellddaa KKeerr rr
La conocida propiedad llamada birrefringencia de algunas sustancias es
básica para la obtención de los resultados que se persiguen. Como se ve en la
figura N° 32, en (a) un polarizador interpuesto en el camino de un haz luminoso
lo polarizará linealmente, por ejemplo, en un plano situado a 45° del eje XX. Y si
se pone un camino luminoso, zona (b), de una longitud igual a λ, las sucesivas
elongaciones se representarán por los vectores coplanarios C1C2C3C4C5. En
(c), una lámina de un cristal tallado normalmente a su eje óptico u otro material
birrefringente cualquiera que produzca el mismo efecto, origina la
descomposición del haz en dos, según se sabe, el ordinario y el extraordinario,
también polarizados, de distintas velocidades y, por lo tanto, diferentes índices
de refracción. No habrá cambio de dirección en ninguno de los dos rayos o
haces, por la forma en que está tallado el cristal, pero si habrá un evidente
desfase entre ellos.
Se supone que el espesor de la placa origina un retardo de un rayo
respecto al otro de 1/4λ.
FFiigguurraa NN°° 3322,, PPoollaarriizzaaddoorr iinntteerrppuueessttoo eenn llaa ttrraayyeeccttoorriiaa ddeell hhaazz lluummiinnoossoo..
FFuueennttee:: TTeeoorrííaa ddee eerrrroorreess ee iinnssttrruummeennttaacciióónn,, aauuttoorr:: MMaannuueell CChhuueeccaa..
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Los planos de vibración de ambos rayos son normales entre sí, y sean
los Ex y Or para el rayo extraordinario y el ordinario, respectivamente.
Si se considera en (b) descompuesto el vector c en sus dos
componentes paralelas a XX y YY (a su vez paralelas a Or y Ex) en (d), a la
salida de (c) y en un trecho asimismo de 1/2λ una de las componentes (la
paralela a Or por ejemplo) mantendrá elongaciones en secuencia a las
correspondientes a (b), pero, la otra, con el desfase producido, trasladará sus
elongaciones a 1/4λ, como se indica en la figura. El resultado, según es claro,
es una serie de vectores d1d2d3d4d5 que ya no son coplanarios.
El haz luminoso (e) ha quedado polarizado circularmente, y su amplitud
debe representarse por un vector rotativo, que si el retraso es de 1/4λ, tendrá el
mismo módulo siempre.
Pero si el retraso producido por el medio birrefringente no vale 1/4λ, la
polarización no será circular, sino, en su caso más general, elíptica, con
variación de la amplitud para cada posición del plano giratorio de vibración
(como caso particular, si el desfase es de 1/2λ, fácilmente se ve que la
polarización vuelve a ser lineal).
Se puede concluir que si entre dos nicoles cruzados se interpone un
medio birrefringente, a la salida del analizador se verá claridad.
El nitrobenceno C6H5NO2, sustancia ópticamente inerte en condiciones
normales, orienta sus moléculas como dipolos eléctricos en presencia de un
campo eléctrico de elevado voltaje en una dirección común y adquiere poder
birrefringente (efecto Kerr).
Y si este campo es alterno, resulta ya evidente que a la salida del
analizador aparecerá una onda luminosa, periódica, de amplitud variable. Es
decir, una onda luminosa modulada, en el plano de polarización del analizador.
Un condensador cuyo dieléctrico (espacio entre placas) está lleno de
nitrobenceno se llama “celda Kerr”. Y si se consigue una precisión extrema en
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los cambios de polaridad del condensador, la onda modulada será la unidad de
medida que se busca.
Ello es posible utilizando el fenómeno de la piezoelectricidad, es decir, la
gran sincronía de las oscilaciones de un cristal de cuarzo sometido a un campo
eléctrico variable, fenómeno que es reversible, de tal manera que un cristal de
cuarzo convenientemente tallado en el que, por solicitaciones mecánicas, se
produce un estado de vibración, da lugar a una polarización de sus moléculas
con cambio de signo de carga oscilante e isócrono, que no es sino el campo
eléctrico alterno que se deseaba. La precisión de las vibraciones del cuarzo
alcanza a una cota de error relativo en su frecuencia propia inferior a 107. Los
modernos relojes de cuarzo no hacen sino desarrollar esta propiedad.
Una celda Kerr, situada entre dos nicoles cruzados, cuyo campo eléctrico
sea controlado por un cuarzo vibrante, resuelve, pues, la cuestión y da lugar a
la onda luminosa modulada con las características de precisión exigidas.
La figura N° 33 resulta así evidente, representándose en ella el esquema
empleado en los geodímetros.
La intensidad luminosa resultante responde a la expresión
( )220 ElKsenII ⋅⋅⋅⋅= π
I0 = intensidad máxima.
l = distancia entre electrones.
I = intensidad.
K = constante de Kerr.
E = intensidad de campo eléctrico.
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FFiigguurraa NN°° 3333,, SSiisstteemmaa ddee mmoodduullaacciióónn óóppttiiccaa..
FFuueennttee:: TTeeoorrííaa ddee eerrrroorreess ee iinnssttrruummeennttaacciióónn,, aauuttoorr:: MMaannuueell CChhuueeccaa..
33..33..22 TTiippooss ddee mmeeddiicciióónn EEDDMM
33..33..22..11 IInnssttrruummeennttooss ddee tt iieemmppoo ttrraannssccuurrrr iiddoo PPuullssaacciióónn
Los instrumentos EDM de pulsación generan varios impulsos de luz láser
o infrarrojos cortos, que se transmiten por el telescopio a un objetivo (reflector).
Estos impulsos se reflejan en el objetivo (reflector) y vuelven al instrumento,
donde el sistema electrónico determina el tiempo en que cada impulso de luz ha
tardado en volver. Puesto que la velocidad de la luz a través de un medio se
puede estimar de forma precisa, el tiempo de desplazamiento
t
cDist
⋅=
2.
se puede utilizar para calcular la distancia entre el instrumento y el objetivo
(reflector).
Para poder determinar el tiempo de desplazamiento, se utilizan
contadores electrónicos. Este sistema es utilizado en mediciones de distancias
desde la Tierra a satélites que están recubierto por prismas de reflexión total, y
cuentan con relojes atómicos para realizar el conteo (sistema SLR, Satellite
Laser Ranging).
(77)
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33..33..22..22 IInnssttrruummeennttooss ddee ccoommppaarraacciióónn ddee ffaassee
Este método funciona al modular una señal de medición en una señal de
onda portadora continua. El método es similar en principio a la manera en que
se modula la música en una portadora para las transmisiones de radio, excepto
que para la EDM la portadora se presenta en longitudes de ondas de luz.
El instrumento mide una desviación de fase constante a pesar de las
inevitables variaciones en la señal emitida y recibida. Sólo se obtiene la
desviación de la fase a través de la comparación de fases; en principio, una
ambigüedad del ciclo evita que la distancia total se estime directamente. Esta
ambigüedad se resuelve utilizando varias longitudes de onda de modulación en
la medición, lo que proporciona un único número entero de ciclos. Una vez que
se obtiene el número entero, la distancia al objetivo (reflector) se puede
determinar de forma precisa.
En principio, la onda electromagnética está definida por:
donde
A = amplitud.
w = velocidad angular.
y = elongación.
t = Tiempo.
ϕ = fase correspondiente a t = 0
Se entiende por fase a la característica que indica el estado de avance o
progreso de un fenómeno periódico, y viene relacionado por:
ϕ = w * t
en dos instantes diferentes, valdrá:
ϕ1 = w1 * t1
ϕ2 = w2 * t2
( )ϕ+⋅⋅= twsenAy (78)
_________________________________________________________________________________
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99
luego la diferencia de fase:
ϕ2 - ϕ1 = w * (t2 – t1) Dt2 – t1 = ϕ2 - ϕ1
w
y como w = 2*π*f
t2 – t1 = ϕ2 − ϕ1
2*π*f
de manera que se puede establecer una relación entre diferencias de tiempo y
diferencia de fase de una señal de frecuencia conocida. Hoy en día se puede
determinar la diferencia de fase y frecuencia con buena precisión.
AA.. DDeetteerrmmiinnaacciióónn ddee llaa ddiiss ttaanncciiaa sseeggúúnn llaa oonnddaa mmaaggnnééttiiccaa
Instalando el instrumento emisor (EDM) en un punto A, el reflector (activo
o pasivo), en un punto B y la distancia a medir es AB = D.
Se emite una onda desde el reflector hasta el prisma y se asumirá que la
onda se refleja en él en forma puntual.
Se sabe que la onda reflejada llegará a A como si viniera de A’ simétrico
de A respecto a B.
Con una longitud de onda λ, la distancia será:
+⋅=
πθλ2
2 mD
es decir
+⋅⋅=
πθλ22
1mD
Donde:
m = número entero de longitudes de onda contenido en la distancia AA’
θ = desfase entre la onda emitida y recibida.
Si se utiliza otra onda λ1, próxima también se cumplirá
+⋅⋅=
πθλ22
1 11 mD
(79)
(80)
_________________________________________________________________________________
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100
FFiigguurraa NN°° 3344.. DDeessffaassee ddee llaa oonnddaa..
FFuueennttee:: TTeeoorrííaa ddee eerrrroorreess ee iinnssttrruummeennttaacciióónn,, aauuttoorr:: MMaannuueell CChhuueeccaa
La solución a la determinación de D estará teóricamente resuelta, ya que
se puede medir θ, θ1 y como λ y λ1, son conocidas; por lo tanto, sólo se
desconoce m y D que son fácilmente calculables.
La medición de θ se realiza comparando la fase de la onda modulada al
salir y la de retorno. Para ello, se utiliza un comparador de fase.
El desfase se puede medir con un error del orden de una milésima del
valor de la longitud de onda.
BB.. LLiimmii ttaacciioonneess pprráácctt iiccaass aa llaa ddeetteerrmmiinnaacciióónn ddee ddiissttaanncciiaass
Todo lo comentado anteriormente parece sencillo, pero se debe tener
cierto cuidado ya que hay que considerar una serie de correcciones o
ambigüedades, que se explicarán a continuación.
Como en el emisor el centro geométrico y el eléctrico no son coincidentes
se produce un recorrido adicional, no integrado en la fórmula anterior; también
en el reflector la onda sufre un recorrido interno, y sea el componente suma de
ambos 2k.
Entonces:
( )
+⋅=+
πθλ2
2 mkD
(81)
_________________________________________________________________________________
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101
La longitud de onda es función de la frecuencia de modulación y de la
velocidad de propagación.
f
c=λ
En el vacío, la velocidad es constante para todas las ondas
electromagnéticas y es igual a c0 = 299.792,5 Km.
Pero en la atmósfera, la velocidad de propagación c es menor que en el
vacío c0 y ambas vienen relacionadas por el índice de refracción
n
cc 0=
como el valor de n es desconocido, para las aplicaciones prácticas será
necesario utilizar un valor n1 en las mediciones, que se considere adecuado.
Esta presunción de n1 para el medio, implicará suponer conocido c1, f1 y
λ1 definidos por:
1
01 c
cn =
11
0
1
1111 fn
c
f
cTc
⋅==⋅=λ
y resultará:
πθλλ
22
1
211
11
⋅⋅+⋅=+m
kD
El fabricante de instrumentos da generalmente el valor, pero en
condiciones atmosféricas específicas, la realidad es que el índice de refracción
real del medio es n2 con:
fn
c
⋅=
2
02λ
De donde la distancia real es:
(82)
(83)
(84)
(85)
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
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102
πθλλ
221
222
22
⋅⋅+⋅=+ mkD
Obtenida con un n2, utilizando λ2 como patrón de medida calculado a partir de
c0, n2 y f2.
Comparando ambos resultados (distancia medida y D1).
πθλλ
22
1
211
11
⋅⋅+⋅=+m
kD
πθλλ
22
1
222
22
⋅⋅+
⋅=+
mkD
La diferencia entre ambas se debe a los valores de k y λ.
Dividiendo cada término, y despejando:
( ) ( ) ( )0
22
11
022
2
12211 c
fn
fn
ckDkDkD
⋅⋅⋅
⋅+=⋅+=+λλ
( ) ( )11
222211 fn
fnkDkD
⋅⋅⋅+=+
Admitiendo que el oscilador prácticamente genera una frecuencia
constante y, por lo tanto, f1 = f2
( ) 22
1112 k
n
nkDD −⋅+=
Donde:
D2 = distancia buscada.
D1 = distancia medida por el equipo para n1.
n1 = índice de refracción estándar.
n2 = índice de refracción de medida en campo.
k = recorrido interno.
D1 es la distancia que mide el instrumento, luego en función de las
condiciones atmosféricas que se le introduce en campo, el instrumento hace la
corrección correspondiente y en pantalla da directamente la D2, siempre y
cuando a la constante aditiva o corrección de cero se le haya introducido
correctamente.
(86)
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
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103
33..33..33 FFuueenntteess ddee ppoorrttaaddoorraa
En los instrumentos EDM electromagnéticos las ondas portadoras se
generan con circuitos transistorizados o con tubo electrónico llamado “Klystron
reflex”. Usando portadoras de 15cm a 2cm.
Para los instrumentos EDM electro-ópticos existen diversas formas de
emitir la portadora, algunas de estas formas ya están en desuso, por ejemplo
las lámparas de Tungsteno o de arco de mercurio que han sido reemplazados
por el He-Ne, láser, que debido a su radiación puede utilizarse para distancias
largas de noche y en las horas del día, debido a su densidad de potencia
elevada y a la posibilidad de filtrar la luz ambiental. En la actualidad tienen
mayor utilización los diodos electroluminiscentes (LED).
33..33..33..11 DDiiooddooss eelleeccttrroolluummiinniisscceenntteess ((LLEEDD))
Puede ser LED normal o LED láser.
El LED normal, consiste de un semiconductor colocado entre dos
electrodos. La familia más importante de láser semiconductores es la de
Arseniuro de Galio, GaAs, formada por la unión P(Ga) y N(As), la dimensión es
de 0,5 mm. de longitud y el espesor de la unión p – n es de milésimas de
milímetro. Si se añade a este semiconductor Te y Zn, la emisión se produce con
una longitud de onda entre 900nm y 920nm.
El semiconductor está formado por una estructura de bandas, cuyo nivel
exterior lo forma la banda de conducción y el siguiente grupo de niveles lo
constituye la banda de valencia; entre ambas queda la banda prohibida.
Cuando un electrón gana energía salta de la banda de valencia a la de
conducción. Si alguno queda en la zona prohibida retorna a la valencia
devolviendo su energía y emitiendo fundamentalmente fotones.
El número de electrones portadores de carga se puede modificar
añadiendo al material (dopado) impurezas, por ejemplo Te y Zn.
_________________________________________________________________________________
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104
LED láser, similar al anterior, pero con un superior dopado, pero al
aumentar la tensión puede entrar en resonancias y producir un rendimiento
superior.
33..33..33..22 LLáásseerr ddee ggaass
El más utilizado es el láser de Helio – Neón (He - Ne).
La descarga se hace pasar a través de una mezcla de He – Ne,
excitándose los átomos de He. Sus niveles próximos a los de Neón, colisionan y
se transfiere la energía de unos niveles a otros. La emisión de láser puede
ocurrir en varios niveles, eligiéndose la longitud de onda mediante la
configuración de espejos de la cavidad.
La longitud más utilizada del láser de He – Ne es en el rojo, en 632,8 nm
óptima para los EDM, ya que sufre poca absorción en la atmósfera.
33..33..44 DDeetteerrmmiinnaacciióónn ddee llaa VVeelloocciiddaadd ddee PPrrooppaaggaacciióónn ““ cc”” Como se dijo, que el funcionamiento de los instrumentos de tiempo
transcurrido (Pulsación) dependía de la velocidad de propagación y del tiempo
empleado por el haz de luz en recorrer una distancia desconocida, se hace
necesario determinar el índice de refracción del medio para luego obtener el
valor de la velocidad de propagación.
Utilizando la determinación del profesor Bergstrand de Estocolmo
(acogida por la Asociación Geográfica y Geofísica Internacional, Toronto, 1957)
que dice:
en donde:
c0 = 299.792,5 km/sg
n = índice de refracción del aire en las condiciones de la medición.
n
cc 0=
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105
Por lo tanto, se puede inferir que la precisión en la medición depende de
la determinación del índice de refracción.
Como corolario de lo anterior, las casas fabricantes de instrumentos
entregan a los usuarios tablas donde indican un índice de refracción de partida
estándar, correspondiente a condiciones meteorológicas ideales, y que varían a
partir de estas.
En mediciones geodésicas de gran precisión, es necesario realizar
correcciones en función de n. Existe una fórmula que se puede aplicar para
calcular n, esta se llama “Fórmula De Gladstone”:
Donde P y T presión y temperatura Kelvin. Tomando T0 = 273° K y P =
760mm/Hg, n0 vale 1,0003036 para un contenido básico de CO2 en el aire de
0,03%.
33..33..55 DDeetteerrmmiinnaacciióónn ddee llaa CCoonnssttaannttee ZZ
Esta constante es característica para cualquier instrumento y reflector, o
sea, es la suma de la constante del instrumento y la constante del prisma.
En un reflector pasivo, la onda incidente penetra a través de la superficie
del prisma, realizando un recorrido por su interior, y tras tres reflexiones sale del
prisma en dirección paralela a la entrada y sentido contrario regresando así al
distanciómetro (EDM).4
En el recorrido que realiza la onda incidente por el prisma y debido al
índice de refracción del prisma “n3”, producirán una variación de fase ∆ϕ, que
involucrará en el cálculo de distancia un recorrido adicional ∆D = λ∗∆ϕ.
El recorrido adicional dependerá del tipo de láser utilizado y del tipo de
cristal usado para el reflector (que definen n3), por lo que este recorrido interno
00
0 11T
P
nT
P
n ⋅−
=⋅−(87)
_________________________________________________________________________________
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106
del reflector (D) será variable según el reflector usado y el tipo de onda
empleada en la medición.
Otro error que se debe tomar en cuenta es la falta de verticalidad del
instrumento portaprisma, determinando la verticalidad del jalón un punto distinto
del que se desea medir.5
Ahora bien, la constante del instrumento se produce por la falta de
coincidencia entre el centro geométrico del instrumento y el centro electrónico.
A esta falta de coincidencia se le conoce con el nombre de constante aditiva.
Esta corrección se realiza en fábrica, pero el usuario puede comprobarla.
33..33..66 TTiippooss ddee rreefflleeccttoorreess
La distanciometría electrónica se basa en la emisión de una onda desde
un elemento emisor hasta otro elemento que la devuelve por reflectores pasivos
o bien la amplia y la devuelve para su análisis que es el caso de los reflectores
activos.
Los instrumentos que tienen como principio fundamental, para las
mediciones de distancias, las ondas electromagnéticas, trabajan con reflectores
activos, llamado al equipo estación como “master” y al reflector como “remoto”.
En cambio los electro-ópticos trabajan con reflectores pasivos.
33..33..66..11 RReeff lleeccttoorreess ppaassiivvooss
El acto de devolución de la señal puede ser por reflexión pura o por
reflexión – refracción. En el primer caso puede hacerse con un simple espejo
plano, o por espejo parabólico, o por triedro trirectángulo formado por tres
espejos planos. Pero en la mayoría de los EDM se utilizan reflectores mixtos de
refracción – reflexión.
El reflector es un dispositivo inerte donde la naturaleza depende de la
potencia energética de la emisión. Si el reflector es una superficie lisa de gran
4, 5 Teoría de errores y Instrumentación, Volumen 1, Autor: Manuel Chueca Pazos, Editorial Paraninfo.
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107
tamaño o un papel adhesivo reflectante, es suficiente para trabajar con ciertos
aparatos y a cortas distancias, pero en la mayoría de los casos la energía
reflejada es insuficiente, y el reflector utilizado se convierte en un prisma de
reflexión total o retrorreflector.
El prisma más usado es el resultante de truncar el vértice de un cubo, y
está formado por una pirámide trirectangular de lados isósceles y base
equilátera. Son de vidrio macizo, y su fundamento se basa en que el rayo
luminoso incidente que llega a la base equilátera es devuelto en dirección
paralela a la entrada tras una triple reflexión.
Las láminas reflectantes, están constituidas por infinidad de diminutas
esferas de vidrio que devuelve la luz, pero con una amplia dispersión; por ello
tiene gran limitación en cuanto a la distancia de trabajo.
33..33..77 EErr rroorreess eenn llaa mmeeddiiddaa ddee ddiiss ttaanncciiaass eelleeccttrróónniiccaass
La precisión (desviación estándar) realizada con instrumentos EDM
puede ser expresada de la siguiente forma:
Donde:
a = error de la fase de medición, centrado, y error de calibración.
b = error de escala debido a la incertidumbre en la determinación del índice de
refracción y la calibración de la modulación de la frecuencia.
D = distancia medida.
La desviación estándar para el infrarrojo cercano y la onda luminosa de
la portadora de los instrumentos EDM, pueden ser determinados por la suma de
las variancias de los componentes:
222 Dba ⋅+=σ
2222REFCALCRESD σσσσσ +++=
(88)
(89)
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108
Donde:
σD = error en la medida de distancia (pendiente).
σRES = resolución del instrumento.
σC = error de centrado.
σCAL = error de calibración.
σREF = corrección del error de índice de refracción.
33..33..77..11 RReessoolluucciióónn ((σσσσRREESS))
La resolución en la medición con instrumental EDM, varía según las
especificaciones tipo de cada instrumento, pero generalmente es función de la
modulación de la longitud de onda y la sensibilidad para detectar diferencia de
fase de la señal. El valor constante usado para la resolución (σRES) de los
instrumentos EDM es normalmente dado en las especificaciones del equipo
(Manual).
33..33..77..22 CCoorr rreecccciióónn ddeell eerr rroorr ddee rreeffrraacccciióónn ((σσσσRREEFF))
La precisión en la corrección del índice de refracción, depende de la
exactitud en los valores de la Temperatura y Presión dentro de la fórmula de
corrección de refracción. Para anotar el efecto de la imprecisión de la
Temperatura y Presión sobre la distancia corregida, la siguiente aproximación
puede ser usada:
Donde:
σREF = error en la determinación de la corrección de refracción.
σN = error en la determinación del índice de refracción.
N = índice de refracción estimada.
( )
⋅
= 2
2
2
DiN
NREF
σσ (90)
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109
Di = distancia inclinada.
Para una estimación simplificada del error de corrección de refracción,
una fórmula aproximada como la de arriba puede ser usada. En la ecuación
siguiente para el error en la corrección de refracción desprecia la presión parcial
del vapor de agua, sin crear una distorsión extrema para la estimación del error
en la distancia:
( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] 6101709,3
1×⋅⋅
⋅+=
T
PNN G
( ) ( ) ( ) ( )[ ]12
2Pr
222
101×⋅+⋅
= esTempN
BA σσσ
Donde:
NG = (287,604) + [(4,8864) / (λ2)] + [(0,068) / (λ4)]
λ = Longitud de onda (en micrómetros)
T = 273,15 + t
t = Temperatura en ° C (estándar = 15° C)
P = Presión en mbar (estándar = 1013,25mb)
A = [(-NG / 3,709)*(P / T2)]2
B = [(NG / 3,709) / (T)]2
σTemp = Incertidumbre en la medida de Temperatura.
σPres = Incertidumbre en la medida de Presión.
La humedad relativa es el parámetro crítico menor en la determinación
del índice de refracción para los instrumentos EDM con fuente de luz y con
infrarrojo cercano. La diferencia de temperatura entre estaciones puede ser
sustituida por la medida de incertidumbre de la temperatura dando estimaciones
más conservativas de la corrección del error de refracción. El error también
(91)
(92)
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________________________________________________________________________________________________
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110
puede ser determinado sencillamente por multiplicaciones a la distancia de 1
ppm por cada ° C en el error de medición de la temperatura aproximada,
obtenida de la desviación estándar del término de la corrección de refracción.
33..33..77..33 EErr rroorr ddee cceennttrraaddoo ((σσσσCC))
La estimación del error de centrado para la medida de distancia (σC)
puede ser calculada según la fórmula siguiente:
Donde:
σinst = error de centraje del instrumento.
σpunt= error de centraje en la puntería.
33..33..77..44 EErr rroorr ddee CCaall iibbrraacciióónn ((σσσσCCAALL ))
El error de calibración se refiere a la precisión (desviación estándar) de la
corrección de la constante, determinado para la calibración del instrumento.
33..33..77..55 EErr rroorr eennttrree ddiiss ttaanncciiaa iinnccll iinnaaddaa yy ddiissttaanncciiaa hhoorr iizzoonnttaall
La incertidumbre en la distancia horizontal se debe a la precisión en la
determinación de la diferencia de altura y la precisión en la medida de la
distancia inclinada.
Donde:
σhorz = error distancia horizontal.
σDi = error distancia inclinada.
σ∆h = error diferencia de altura.
Di = distancia inclinada.
22puntinstC σσσ +=
22hDihorz
Dhz
Di∆+⋅= σσσ
(93)
(94)
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111
Dhz = distancia horizontal.
Ejemplo: Error de distancia EDM “Con un instrumento EDM de resolución
3,0mm, longitud de onda λ = 0,850µm, centrado con una plomada óptica y con
una altura instrumental de 1,5m para el instrumento y para la puntería, el
resultado en la determinación de la distancia tendrá una incertidumbre de
aproximadamente 3,2mm (un sigma, para 15° C, 1013mb, sobre una distancia
de 200m), asumiendo que la temperatura y presión fueron medidos 1° C y 3mb
respectivamente. Si una diferencia de temperatura de 7° C es sustituida por
error de temperatura, el error de distancia estimada aumenta a 3,5mm. Usando
los valores de arriba y una incertidumbre en la diferencia de altura de 3mm, la
reducción de la diferencia de altura de la estación, adhiere aproximadamente
1mm (un sigma de error) en la distancia horizontal sobre 20m de diferencia de
altura.
33..33..77..66 EErr rroorr eenn llaa aall iinneeaacciióónn ddee llooss rreeff lleeccttoorreess
Los modelos antiguos de los prismas reflectores pueden introducir
pequeños errores en la medida de distancia y en la dirección de la medida
debido al error de orientación. La magnitud del error se basa sobre factores
como la longitud de onda del instrumento EDM, la dimensión del prisma, el
índice de refracción del cristal del prisma, y el error de alineamiento de los
ángulos verticales y horizontales (no perpendicular a la línea de visual). Con
direcciones, horizontales y verticales, el error puede limitarse a 1 arco de
segundo (sobre los 500m) con un error en la alineación menor a 10° . El error
angular es muy dependiente de la distancia que existe entre el instrumento y el
reflector, es decir, a distancias más cortas producirá errores más grandes.
Diseños modernos de reflectores: se han rediseñado los prismas de los
reflectores para minimizar la influencia en la medición de distancia debido al
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112
error en la alineación. Con prismas normales, los errores resultantes en la
medida de distancias son despreciables para un error de alineación pequeño.
Sin embargo, se debe poner bastante cuidado a la hora apuntar.
33..33..77..77 EErr rroorr ddee EEssccaallaa
AA.. VVeelloocciiddaadd ddee FFrreeccuueenncciiaa ddeebbiiddoo aa llaa TTeemmppeerraattuurraa
El término de velocidad corta en los osciladores de frecuencia de los
instrumentos EDM, es más probable que ocurra durante el precalentamiento de
los componentes electrónicos internos. Si la velocidad de frecuencia persiste
durante la medición, entonces las medidas dependerán de un tiempo
predispuesto que puede llegar a alcanzar un valor máximo de velocidad de
unas 3 ppm (dependiendo del instrumento y del ambiente).
BB.. VVeelloocciiddaadd ddee FFrreeccuueenncciiaa ddeebbiiddoo aall EEnnvveejjeecciimmiieennttoo
La Velocidad de Frecuencia puede ocurrir también por el envejecimiento
mecánico del oscilador de cristal, los instrumentos EDM desarrollan una medida
de escala interna (en algunos casos de 1 ppm por año). Este puede ser un
factor crítico cuando se realizan estudios de deformaciones, puesto que es el
mismo instrumento utilizado para contrastar los resultados en el tiempo.
CC.. CCaall iibbrraacciióónn ddeell EErrrroorr ddee EEssccaallaa
Para mediciones precisas, se recomienda realizar por lo menos una vez
al año una calibración del instrumento EDM El método más común para realizar
la calibración del error de escala, es realizar mediciones sobre una Línea Base
de Calibración certificada.
El error de escala es determinado al comparar una serie de distancias
medidas sobre una línea con estaciones donde las distancias entre ellas son
conocidas de manera precisa. Las distancias entre estaciones conocidas
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113
precisamente se contrastan con el producto de las distancias medidas y el
factor de escala desconocida, como muestra la ecuación siguiente:
( ) 0=−⋅ FIXMED DDk
Donde:
k = factor de escala desconocido.
DMED = distancia medida.
DFIX = distancia conocida (fija).
La distancia horizontal medida (DMED) se procesa mediante un ajuste de
mínimos cuadrados lineal para obtener posteriormente el factor de escala
desconocido (k). Una vez que se ha determinado el error de escala, todas las
mediciones de distancias siguientes deben ser multiplicadas por este factor de
escala (k) constante, para entregar resultados de distancias corregidas.
33..33..77..88 EErr rroorr ddeell ppuunnttoo cceerroo ddeell EEDDMM yy eell pprr iissmmaa
AA.. CCoonnssttaannttee aaddii ttiivvaa oo eerr rroorr cceerroo
Como se mencionó anteriormente, la constante aditiva es un error
sistemático desconocido y está presente en todas las medidas de distancias
realizadas por un instrumento EDM y un prisma. El error es normalmente
pequeño para instrumentos que usan ondas luminosas. El error es una
constante absoluta que existe entre el centro óptico y el mecánico del reflector,
y del centro eléctrico del instrumento EDM cuando es ubicado sobre una
estación. Las distancias no corregidas pueden producir discrepancia en la
obtención de distancias entre los puntos. Este error puede ser obtenido
realizando observaciones múltiples sobre una red de puntos.
BB.. DDeetteerrmmiinnaacciióónn ddee llaa ccoorr rreecccciióónn
Las distancias medidas pueden ser corregidas determinando la constante
aditiva de la combinación del instrumento y el prisma sobre una línea base de
(95)
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114
calibración. El proceso de calibración depende de la comparación de la
distancia medida con la distancia verdadera entre los pilares.
FFiigguurraa NN°° 3355,, CCoonncceeppttoo ddee llaa bbaassee ddee ccaalliibbrraacciióónn ppaarraa llaa ddeetteerrmmiinnaacciióónn ddeell eerrrroorr cceerroo..
FFuueennttee:: EEllaabboorraacciióónn pprrooppiiaa..
CC.. EEccuuaacciioonneess ddee OObbsseerrvvaacciióónn
Esta ecuación básica se repite para cada par de estación (pi) observada
a lo largo de la línea base y el método paramétrico de mínimos cuadrados lineal
es utilizado para obtener el término constante (z). Por ejemplo, puede ser
expresada la medida y la distancia verdadera usando las coordenadas de las
estaciones.
( )( )( )( )( )( ) 346346
245245
234234
143143
132132
121121
ppdzppm
ppdzppm
ppdzppm
ppdzppm
ppdzppm
ppdzppm
−=+−=−=+−=−=+−=−=+−=−=+−=−=+−=
( ) .6,,1; �=+= izdm ii
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
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115
Luego:
zppm
zppm
zppm
zppm
zppm
zppm
++−+=+++−=+++−=++++−=++++−=++++−=
436
425
324
413
312
211
00
00
00
00
00
00
Haciendo que la coordenada del punto inicial (p1) sea cero, y dejando
que las otras coordenadas sean desconocidas (p2, p3 y p4), más aún la
constante (z) también es desconocida, por lo tanto este sistema de ecuaciones
puede ser representado por la siguiente matriz:
Donde:
[ ]
[ ]654321
432
1110
1101
1011
1100
1010
1001
mmmmmmf
zpppv
A
T
=
=
++−++−++−++++++
=
El parámetro desconocido (z) es común para cada medida sobre un
grupo de medidas determinadas, y se usa para detectar la discrepancia entre
las medidas. La solución de mínimos cuadrados:
( ) fPAAPAv TT ⋅⋅⋅⋅⋅=−1
bxA =⋅
(96)
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
116
Es recomendable utilizar cuatro puntos (pilares) de una línea base para
determinar conjuntamente el error de escala y la constante aditiva, para ello es
necesario que se realicen observaciones atrás y adelante; para cualquiera de
los casos es menester aplicar las reducciones a los datos medidos (índice de
refracción y reducción de distancia inclinada a horizontal).
La exactitud de la propia corrección dependerá del número de
observaciones que se hagan y la precisión con que se lleve acabo esta.
33..33..77..99 EErr rroorr cc ííccll iiccoo
Un error cíclico es aquel cuya magnitud depende de la diferencia de la
fase real f que se mide, es decir, en la parte residual de la distancia por debajo
y por encima de un número entero de longitudes de onda efectivas completas.
Este es más común que suceda en los instrumentos de microondas y tiende a
ser pequeño.
Para detectar el error es necesario colocar el instrumento sobre una base
de calibración con una posición fija en un extremo y una móvil en el otro. Esta
última posición debe ser capaz de moverse a lo largo de la línea que se mide a
través de una distancia justamente mayor que una longitud de onda completa.
El procedimiento es colocar el instrumento y después medir una serie de
distancias moviendo el reflector una distancia definida para cada medición
sucesiva. Por ejemplo, si λ = 10m, el reflector podría montarse sobre un riel de
10,1m de largo y moverlo 0,1m entre lecturas. Las lecturas se registran con
cuidado, pero los múltiplos superiores de la longitud de onda básica se ignoran
porque serán los mismos para todas las lecturas. Una lectura se trata como
referencia (es conveniente tomar la lectura de la distancia mas corta) y para
cada distancia sucesiva se calcula el incremento en la distancia medida. Pero el
incremento en la distancia verdadera se conoce porque es la distancia que se
mueve el reflector, y el “error” (incremento registrado menos el incremento
conocido) se calcula. Este entonces se grafica contra la parte de la lectura que
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
117
representa la parte residual de la trayectoria para dar una gráfica del error
cíclico.
Siempre se puede sumar o restar una constante a la gráfica como
“referencia” en cada distancia residual deseada. Como la corrección del error
cíclico debe aplicarse antes de evaluar las constantes del instrumento y del
reflector, este cambio en la gráfica no tiene efecto en la distancia medida.
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
118
CCaappííttuulloo IIVV
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
119
4. Base de Calibración p ara Instrumentos Topog ráficos y
Geodésicos
Para este proyecto, se deben tratar diversos puntos acerca de la utilización
de instrumentos, los cuales en su conjunto formarán la Base de Calibración
para Instrumentos Topográficos y Geodésicos.
Los puntos de mayor importancia, son los siguientes:
- Procedimientos para construir la Base.
- Procedimientos para realizar las mediciones conforme a la Norma ISO
17123.
- Obtención de la medida patrón
- Selección del mejor equipo para realizar el proyecto, etc.
Todo lo referente a construcción de pilares (ver Anexo B) se debe aplicar de
la misma forma para Teodolitos, Niveles y EDM, por lo tanto se obviará en los
ítem siguientes.
La Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos.,
tiene como objetivo:
• Examinar : con la prueba que se le hace a los instrumentos se
determina la precisión con que el instrumento está trabajando.
• Calibrar : aquí se analiza el resultado obtenido entre la medición
del instrumento y el valor patrón de la Base de Calibración, para
luego determinar algún factor o función de calibración.
Antes de comenzar cualquier medición es importante que los
instrumentos (Teodolitos, Niveles y EDM) y sus componentes sean conocidos y
permanentemente ajustados por el operador, de acuerdo a los métodos
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
120
especificados en el catálogo; se recomienda además emplearlos con trípodes,
miras y prismas indicados por el fabricante.
Además de lo indicado anteriormente, se debe tener en cuenta ciertos
factores de tipo físicos que ayudan al desarrollo del proyecto como los que se
indicarán a continuación.
44..11.. SSeelleecccc iióónn ddeell SSii ttiioo
Se debe tomar en cuenta muchas situaciones para la selección del sitio
donde será establecida la Base de Calibración, entre ellas están las siguientes:
44..11..11.. AAcccceessoo
La localización del sitio debe ser de fácil acceso, preferentemente
un lugar próximo a la ciudad. Debe además, existir un buen camino que
conduzca al lugar, puesto que el proyecto debe ser de carácter general,
es decir, el lugar donde se ubique el proyecto debe ser accesible a todo
el público que lo requiera.
44..11..22.. TTeerr rreennoo
La recomendación más importante en la selección del lugar, es
que sea geológicamente estable y no susceptible a movimientos de la
superficie como resultados de lluvias pesadas, volcanismo, tectonismo,
meteorización, etc. Bajo ninguna circunstancia las marcas deben ser
puestas en concreto o piedras de macadán, veredas o caminos, pero
pueden ser aprovechables algunos sitios de aeropuertos u otras
localizaciones similares.
Además, es fundamental que todos los puntos o pilares sean
intervisibles.
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
121
44..11..33.. NNaattuurraalleezzaa ddee llooss OObbssttááccuullooss
Se debe tomar como precaución el no ubicar la Base bajo líneas
de Alta Tensión (sobre los 4000 Voltios), líneas de transmisión, torres de
microondas, radares, etc. Para ello es recomendable ubicarla a una
distancia de más de 400 m de estos.
No debe atravesar una carretera o algo semejante; de lo contrario
el calor del suelo y del aire afectaría a las mediciones realizadas.
Además, la Línea Base no debería atravesar cursos de aguas, acequias,
canales, etc.
Se deberá limpiar el sector por lo menos 3 m a cada lado de los
pilares o puntos, de arbustos, malezas, etc.
44..11..44.. LLooccaall iizzaacciióónn
Las posibilidades que se tienen para la ubicación de la Base son
pocas, pero una opción concreta sería un aeropuerto pequeño, ya que
este tendrá un acceso fácil; del mismo modo sería factible o una
propiedad pública o bien un terreno particular que presente las
condiciones expuestas anteriormente.
44..22.. CCoonnffiigguurraacciióónn ddee llaa BBaassee ddee PPrruueebbaa ppaarraa TTeeooddooll ii ttooss
En base a todo lo descrito con respecto al teodolito y los distintos tipos de
errores que se podrían cometer, y teniendo en cuenta que la Base de
Calibración requiere un alto grado de precisión en su creación, se estará en
condiciones de elegir aquellos instrumentos (teodolitos) que cumplan con tales
especificaciones, es decir, instrumentos precisos, como los que se detallan a
continuación:
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
122
Instrumento WILD T3 LEICA T3000 TRIMBLE 5600
Aumento del anteojo 40X 46X 30X
Lectura directa 360°
400g
0,2’’
1CC
0,5”
1,5CC
1”
3CC
Nota: Todas las características principales de estos equipos se detallarán en el
Anexo C.
44..22..11.. PPrroocceeddiimmiieennttooss ppaarraa ccoonnff iigguurraarr yy ccoonnssttrruu iirr llaa BBaassee ddee CCaall iibbrraacciióónn
ppaarraa TTeeooddooll ii ttooss ((ÁÁnngguullooss HHoorr iizzoonnttaalleess))
Para realizar este proceso se deben tener en cuenta ciertos factores que se
detallan a continuación:
• Se debe tener cinco pilares fijos alrededor de un pilar base. Los cinco
pilares deben estar localizados aproximadamente en un mismo plano
horizontal que el instrumento, y a una distancia de entre 100 a 250 m
para mitigar el efecto de refracción y curvatura de este, situados además
en intervalos de manera regular, es decir, los ángulos horizontales entre
dos blancos seguidos deben ser similares en magnitud (ver figura N° 36).
FFiigguurraa NN°° 3366,, CCoonnffiigguurraacciióónn ddee llaa BBaassee ddee CCaalliibbrraacciióónn ppaarraa áánngguullooss hhoorriizzoonnttaalleess..
FFuueennttee:: EEllaabboorraacciióónn pprrooppiiaa..
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
123
44..22..11..11.. PPii llaarreess
AA.. EEssttaabbii ll iiddaadd
Si se seleccionan pilares como monumentos, se debe reconocer
que la estabilidad es influenciada por varios tipos de movimientos, es
decir, fuerzas externas las que provocan por ejemplo: inclinación,
reducción del concreto en el secado y la expansión térmica. La
inestabilidad horizontal de un pilar de concreto se debe a la expansión
térmica, y está basada en la altura de operación, ancho y cambios de
temperatura. Los pilares debieran estar aislados en zonas frías y
colocados bajo la línea de helada. La observación inicial de las distancias
de la Línea Base estará aplazada hasta que el concreto halla atravesado
por lo menos un ciclo de heladas.
La experiencia ha demostrado que los pilares con masa
significativa colocados en el suelo sin estorbos tiene mejor estabilidad a
largo plazo.
Los pilares pueden sobresalir sobre la superficie del suelo, o bien,
pueden ser colocados bajo el nivel del suelo, dependiendo de las
circunstancias específicas.
.
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
124
44..22..11..22.. OOppeerraacciioonneess ddee TTeerrrreennoo
Luego de haber definido el lugar donde se ubicará la Base y lo
correspondiente a la estabilidad de los pilares, se deben realizar las siguientes
operaciones en el terreno:
1. Colocar una estaca en un punto central del terreno (punto 0), de manera
de no restringir las longitudes mínimas indicadas anteriormente. Esta
estaca tendrá una marca indicando que se refiere a la estación donde se
instalará el instrumento.
2. Instalar un instrumento que permita leer ángulos horizontales con una
precisión media (teodolitos o estaciones totales) en el punto indicado
anteriormente (punto 0), luego realizar lecturas de ángulos horizontales
aprovechando todo el limbo del instrumento (cinco ángulos de magnitud
similar), e instalar estacas en cada una de las lecturas, cada una de ellas
a una distancia opcional o que permita el terreno entre 100 a 250m.
como lo indica la figura N° 36.
3. En cada una de las estacas se debe indicar alguna marca de manera de
diferenciarlas de las demás.
4. Cuatro estacas temporales de referencia deben ser colocadas alrededor
de cada punto (1 - 2 - 3 - 4 - 5). Por ejemplo, para el punto 1 se deben
colocar dos estacas en la línea 0-1 según figura N° 36, una de ellas
antes del punto 1 y otra luego de este, a no más de dos metros cada una
de ellas. Las otras dos estacas deben estar de manera perpendicular a la
línea 0-1 pasando por el punto 1, a una distancia igual a las
especificadas anteriormente. Estas estacas deben ser cuidadosamente
medidas con huincha ya que servirán de amarre del punto en cuestión,
además deben ser señaladas de forma clara para que no se extravíen.
5. Para realizar la excavación e instalar un monolito tanto para los puntos 1
al 5, como para la base (punto 0), se debe primeramente instalar una
plataforma sobre el punto (a unos 3 m por lo menos) e instalar un
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
125
instrumento con plomada de cualquier tipo para referenciar el punto.
Luego se debe excavar y construir el monolito sin retirar de su posición el
instrumento ni la plataforma. La plataforma debe ser construida
sólidamente de manera de no sufrir alteraciones debido a factores
climáticos, esta además debe contener un orificio de 30 a 50 cm de
diámetro, el cual debe coincidir con la normal al punto, dicho de otra
forma, se debe tener visual al punto desde la plataforma.
44..22..11..33.. EEqquuiippoo NNeecceessaarr iioo ppaarraa EEssttaabblleecceerr llaa BBaassee ddee CCaall iibbrraacciióónn ppaarraa
TTeeooddooll ii ttooss
Es necesario que el listado de equipos que se presenta a continuación
no sea obviado en la etapa de realizar las mediciones:
• 1 Teodolito con distanciómetro o Estación Total.
• 1 Plomada óptica nadir.
• 1 Prisma calibrado y montado sobre soporte.
• Tribrachs y trípodes para cada estación.
• 2 radiocomunicadores.
• 1 Huincha.
• 2 Sombrillas.
Nota: Todos los equipos que se detallaron anteriormente, no necesariamente
se utilizarán para determinar la medida patrón, puesto que para ello se deben
ocupar instrumentos que entreguen mayores precisiones, los cuales se
detallaran en el anexo C.
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________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
126
44..22..11..44.. PPrroocceeddiimmiieennttoo ppaarraa llaa rreeaall iizzaacciióónn ddee uunnaa BBaassee ddee CCaall iibbrraacciióónn
OObbsseerrvvaacciióónn ggeenneerraall :: para asegurar la exactitud deseada para la Base de
Calibración, se debe tener sumo cuidado durante todo el procedimiento. A
continuación se dará una recomendación para obtener una mayor exactitud en
la ejecución de la Base:
• Nombre de la estación en la cual se está operando.
• Nombre de la estación a la cual se está observando.
• Modelo, serie y número del instrumento.
• Modelo, serie y número del reflector, miras o punterías.
• Fecha y hora de observación.
• Constante del instrumento y reflector.
• Unidades de medida.
• Altura del instrumento y del reflector.
• Elevación de la estación.
• Excentricidad del instrumento y del reflector al milímetro.
• Observaciones meteorológicas:
- Temperatura ° C,
- Presión mm/Hg,
- Humedad.
• Condiciones del tiempo.
• Observaciones generales sobre problemas inusuales; ejemplo: en caso
de existir interferencias para las mediciones con instrumentos EDM, o si
existe viento con polvo, nubosidad, etc.
Nota: los puntos anteriormente descritos están definidos para todos los equipos
que se desea calibrar y que se mencionan en esta memoria.
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________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
127
El procedimiento que se debe realizar en terreno es el siguiente:
Instalar el teodolito sobre el punto 0 y apuntar al centro de la tarjeta de
puntería del punto 1 primeramente y luego leer el ángulo hacia 2, este
procedimiento se realiza cuatro veces consecutivas en directa y en tránsito, es
decir, cuatro reiteraciones. Estas mediciones se deben realizar ocupando todo
el limbo del instrumento, siempre que este sea análogo (mecánico), es decir,
calando aproximadamente en los ángulos 0g-150g-250g-350g, cuando no lo es,
se debe obviar este procedimiento. Luego este proceso se repite, pero entre los
puntos 2 y 3, y así sucesivamente hasta llegar a las lecturas del ángulo
comprendido entre los puntos 5 y 1.
44..22..22.. MMeettooddoo llooggííaa ppaarraa llaa MMeeddiicc iióónn
El Procedimiento para realizar las mediciones de Pruebas, es el siguiente,
se deberán tomar, m = 4, series de mediciones bajo varias pero no extremas
condiciones ambientales.
Cada serie (i) de mediciones consistirá de n = 3 conjunto (j) de direcciones
para t = 5 punterías (k).
Cuando se estaciona el teodolito para las diferentes series de mediciones,
se tomará especial cuidado con el centrado sobre un punto en el suelo. Se debe
lograr precisiones de centrado, expresado en términos de la desviación
estándar experimental, del orden de:
- Plomada física: 1 mm a 2 mm (mal tiempo, con viento).
- Plomada óptica o láser: 0.5 mm (el ajuste deberá ser revisado de
acuerdo al catálogo).
- Centrado forzoso 1 mm.
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
128
Nota: con blancos a 100 m de distancia, un error de centrado de 2 mm.
puede afectar la dirección de las observaciones por encima de los 4’’ (1,3
mgon). En distancias cortas aumenta el efecto.
Los blancos serán observados en cada grupo de mediciones en la posición I
del telescopio en sentido horario, y en la posición II del telescopio en sentido
antihorario. El limbo será cambiado por 60º (67g) después de cada grupo. Si la
rotación física del limbo no es posible, por ejemplo, en el teodolito electrónico, la
parte inferior del teodolito debe ser girado en aproximadamente 120° (133g)
sobre el tribrach.
44..22..22..11.. PPrroocceeddiimmiieennttoo ppaarraa OObbtteenneerr llaa MMeeddiiddaa PPaattrróónn
La evaluación de los valores medidos es un ajuste de las ecuaciones de
observación. Dentro de las i series de mediciones, una dirección es marcada
por Ikj ,,Χ o IIkj ,,Χ , donde el índice j es el número del conjunto y el índice k es el
número del blanco. I y II indican la posición del telescopio (directa y tránsito).
Cada una de las m = 4 series de mediciones serán evaluadas separadamente.
Primero que todo, los valores medios
5,,1;3,2,1);2
200(
2
º180 ,,,,,,,,, �==
±Χ+Χ=
±Χ+Χ=Χ kj
gIIkjIkjIIkjIkj
kj
de las lecturas en ambas posiciones del telescopio.
La reducción en la dirección de la puntería número 1 es:
5,,1;3,2,1;' 1,,, �==Χ−Χ=Χ kjjkjkj
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
129
los valores medios de las direcciones resultantes desde n = 3 conjuntos, al
blanco número k son:
5,,1;3
''' ,3,2,1�=
Χ+Χ+Χ=Χ kkkk
k
de las diferencias:
5,,1;3,2,1;' ,, �==Χ−Χ= kjd kjkkj
Para cada conjunto de mediciones, el valor de la media aritmética es:
3,2,1;5
5,4,3,2,1, =++++
= jddddd
d jjjjjj
de la cual los residuos son:
5,,1;3,2,1;,, �==−= kjddr jkjkj
excepto por los errores cíclicos, en cada conjunto debe encontrarse la
condición:
3,2,1;05
1, ==∑
=
jrk
kj
la suma de los cuadrados de los residuos, de las i series de mediciones es:
∑∑∑= =
=3
1
5
1
2,
2 )(j k
kji rr
para n = 3 (conjunto de direcciones) a t = 5 blancos, el número de grados de
libertad es:
8)15()13( =−×−=iv
y la desviación estándar experimental si de una dirección kj ,Χ observado en
ambas posiciones del telescopio, válido para las i series de mediciones es de:
8
22 ∑∑ == i
i
ii
r
v
rs
la desviación estándar experimental, s, de una dirección horizontal observada
en un conjunto (media aritmética de las lecturas en ambas posiciones del
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
130
telescopio) de acuerdo a esta parte de la ISO 17123, calculada desde todas las
m = 4 series de mediciones con un grado de libertad de:
324 =×= ivv
es de:
432
4
1
24
1
24
1
2 ∑∑∑∑∑=== === i
ii
ii
i sr
v
rs
SISO-TEO-HZ = S
44..22..33.. PPrroocceedd iimmiieennttooss ppaarraa CCoonnffiigguurraarr yy CCoonnssttrruuiirr llaa BBaassee ddee CCaall iibbrraacciióónn
((ÁÁnngguu llooss VVeerrtt iiccaalleess))
El teodolito deberá ubicarse a una distancia de 50 m aproximadamente
de una pared o edificio alto, en el cual, se deben instalar tarjetas de puntería en
un rango total de 30° en el ángulo vertical (ver figura N° 37).
FFiigguurraa NN°° 3377,, CCoonnffiigguurraacciióónn ddee llaa BBaassee ddee CCaalliibbrraacciióónn ppaarraa áánngguullooss vveerrttiiccaalleess..
FFuueennttee:: EEllaabboorraacciióónn pprrooppiiaa..
�
�
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
131
44..22..33..11.. OOppeerraacc iioonneess ddee TTeerr rreennoo
1. Colocar una estaca en un punto del terreno que esté a aproximadamente
50 m de un edificio o pared alta (punto 0). Esta estaca tendrá una marca
indicando que se refiere a la estación donde se instalará el instrumento.
2. Instalar un instrumento que permita leer ángulos cenitales con una
precisión media (teodolitos o estaciones totales) en el punto indicado
anteriormente (punto 0), luego realizar una lectura de ángulo cenital de
aproximadamente 75° (83g) e instalar en ese punto del edificio o pared
una tarjeta de puntería (P1), luego realizar otra lectura de 85° (94g)
moviendo solamente el tornillo tangencial del ángulo vertical instrumento,
e instalar otra tarjeta de puntería (P2), la tercera lectura tendrá que ser
de aproximadamente 95° (106g), y ese punto corresponderá a la tercera
tarjeta (P3), y por último una lectura de 105° (117g) aproximadamente en
la cual se instalará la cuarta y última tarjeta (P4). Se debe usar el tornillo
tangencial del ángulo vertical del instrumento de manera de generar una
línea recta con los cuatro puntos.
Observación: el punto donde se instale el instrumento debe ser alto de
manera de no restringir los ángulos cenitales superiores a 90° (100g). Si
no se encuentra algún punto alto, se debe ubicar la tarjeta P4 a una
distancia de 1 m mínimo de la base del edificio, y desde esa tarjeta
ubicar las demás en un rango de 10° (11g).
3. En cada una de las tarjetas de puntería se debe indicar alguna marca de
manera de diferenciarlas de las demás.
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
132
44..22..44.. MMeettooddoo llooggííaa ppaarraa llaa MMeeddiicc iióónn
Antes de comenzar las mediciones, el instrumento debe aclimatarse a la
temperatura del ambiente. El tiempo requerido para esta operación es de a lo
menos 2 minutos por ° C.
� � Para el procedimiento completo de pruebas, m = 4, series de mediciones
deben ser tomadas bajo varias pero no extremas condiciones ambientales.
Cada serie (i) de mediciones consistirá de m = 3 conjunto (j) de
direcciones para t = 4 punterías (k).
Las punterías t = 4 serán observadas en la posición I del telescopio n = 3
veces, siguiendo la secuencia desde la puntería número 1 a la número 4, y el
mismo grupo en la posición II del telescopio, pero siguiendo la secuencia
inversa, es decir, de la puntería número 4 a la número 1.
44..22..44..11.. PPrroocceeddiimmiieennttoo ddee PPrruueebbaass ppaarraa OObbtteenneerr llaa MMeeddiiddaa PPaattrróónn
La evaluación de los valores medidos es un ajuste de las ecuaciones de
observación. Dentro de las i series de mediciones, un ángulo vertical
normalmente ángulo cenital, es marcado por Ikj ,,Χ o IIkj ,,Χ , el índice k es el
número del blanco o puntería. I y II indican la posición del telescopio (directa y
tránsito). Cada una de las m = 4 series de mediciones serán evaluadas
separadamente.
Primero que todo, los valores medios
4,,1;3,2,1;2
400
2
º360' ,,,,,,,,
, �==
±Χ+Χ=
±Χ−Χ=Χ kj
gIIkjIkjIIkjIkj
kj
de las lecturas en ambas posiciones del telescopio. Estos valores no son
afectados por el índice de error vertical, δi. El error de índice vertical debe ser
calculado para cada serie de medidas separadamente:
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
133
∑∑ ∑∑= = = =
−+⋅
=°−+
⋅=
3
1
4
1
3
1
4
1
,,,,,,,,
2
40012
3601
j k j k
gIIkjIkjIIkjIkj
i
XX
tn
XX
tnδ
4
4
1∑
== iiδ
δ
los valores medios de los ángulos verticales resultando de n = 3 grupos a la
puntería n° k, son:
4,,1;3
''' ,3,2,1�=
Χ+Χ+Χ=Χ kkkk
k
de la cual los residuos son:
4,,1;3,2,1;' ,, �==−= kjXXr jkjkj
Excepto por los errores cíclicos, los residuos de todos los grupos se
encontrarán en:
03
1
4
1, =∑∑
= =j kkjr
la suma de los cuadrados de los residuos, de las i series de mediciones es:
∑∑∑= =
=3
1
4
1
2,
2 )(j k
kji rr
para n = 3 (grupos de ángulos verticales) a t = 4 blancos, en cada caso el
número de grados de libertad es:
84)13( =×−=iv
y la desviación estándar experimental si de un ángulo vertical kj ,'Χ observado
en un grupo en ambas posiciones del telescopio, válida para las i series de
mediciones es de:
8
22 ∑∑ == i
i
ii
r
v
rs
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
134
la desviación estándar experimental, s, calculada desde todos m = 4 los grupos
de mediciones, el número de grados de libertad es:
324 =×= ivv
y la desviación estándar experimental de un ángulo vertical observado en
ambas posiciones del telescopio, y calculadas desde todos los grupos m = 4 de
mediciones es:
432
4
1
24
1
24
1
2 ∑∑∑∑∑=== === i
ii
ii
i sr
v
rs
SISO-TEO-HZ = S
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
135
44..33.. CCoonnffiigguurraacciióónn ddee llaa BBaassee ddee PPrruueebbaa ppaarraa NNiivveelleess
Como en toda contrastación, se debe tener un patrón que se haya
obtenido con una alta precisión, para esto se requerirá del mejor instrumental
disponible, como por ejemplo un Nivel Geodésico de la marca Wild, modelo N3
con una desviación estándar de + 0,2 mm para 1 km de doble nivelación, para
más detalle ver Anexo C.
44..33..11.. PPrroocceeddiimmiieennttoo ppaarraa llaa CCoonnff iigguurraacciióónn yy CCoonnssttrruucccc iióónn ddee llaa LLíínneeaa ddee
PPrruueebbaa
Para llevar cabo este proceso, se debe tomar en cuenta ciertos factores:
• Se debe contar con tres pilares, dos pequeños (ver Anexo B), en donde
irán las miras, y un pilar con centrado forzoso para colocar el nivel. Estos
pilares pequeños deben estar separados a una distancia de 60 m y estos
a una distancia de 30 m del nivel, es decir, el nivel debe estar en línea y
al medio de los dos puntos (ver figura N° 38).
FFiigguurraa NN°° 3388,, CCoonnffiigguurraacciióónn LLiinneeaa ddee PPrruueebbaa..
FFuueennttee:: EEllaabboorraacciióónn PPrrooppiiaa..
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
136
44..33..11..11.. OOppeerraacc iioonneess ddee TTeerr rreennoo
Una vez definida la posición de los puntos de la Base de Prueba, se
deberá realizar las siguientes operaciones de campo.
1. Colocar una estaca en el lugar donde estará el punto central (punto 0).
Esta marca deberá indicar el número de la estación o nombre.
2. Una vez definido el punto central se medirá con una cinta métrica una
distancia de 30 m donde estará ubicado el punto A, este mismo
procedimiento debe ser utilizado para materializar el punto B.
3. En cada una de las estacas debe ir alguna marca para diferenciarlas.
44..33..11..22.. EEqquuiippoo NNeecceessaarr iioo ppaarraa EEssttaabb lleecceerr llaa BBaassee ddee PPrruueebbaa
• 1 Nivel Geodésico.
• 2 Miras invar.
• 1 Huincha.
• 1 Sombrilla.
44..33..22.. MMeettooddoo llooggííaa ppaarraa llaa MMeeddiicc iióónn
Como todo instrumento, se debe dejar un tiempo para que se aclimatase
a la temperatura del lugar. Además, el operador debe revisar si el instrumento
tiene algún error de colimación, antes de realizar la medición.
Debe realizarse dos grupos de lecturas, el primer grupo consistirá de
veinte pares de lecturas, cada una de ellas comprende una lectura atrás, xA,j,
hacia el punto de nivelación A, y otra lectura adelante, xB,j, hacia el punto B (j =
1,..., 20). Entre cada par de lectura, el instrumento deberá ser levantado
ligeramente y colocado en una posición diferente. Después de diez mediciones
(xA,1, xB,1, ..., xA,10, xB,10) de lecturas, atrás y adelante en una dirección, deberán
realizarse otras diez pero en el sentido inverso (xB,11, xA,11, ..., xB,20, xA,20).
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
137
Una vez terminado, los equipos de nivelación de los puntos A y B deben ser
intercambiados y se realizará otras veintes veces (xA,21, xB,21, ..., xA,30, xB,30;xA,31,
xB,31, ..., xB,40, xA,40) como se describió para el primer grupo de medidas.
44..33..22..11.. PPrroocceeddiimmiieennttoo ppaarraa oobbtteenneerr llaa MMeeddiiddaa PPaattrróónn
40,...,1;,, =−= jxxd jBjAj
Donde dj es la diferencia entre la lectura de atrás y la lectura adelante.
20
20
11
∑== j
jd
d
Donde 1d es la media aritmética de la diferencia de altura, dj, del primer grupo
de medidas.
20
40
212
∑== j
jd
d
Donde 2d es la media aritmética de la diferencia de altura, dj, del segundo
grupo de medidas.
La diferencia:
dd −= 1δ
Este resultado no tiene influencia alguna en la desviación estándar
experimental.
Los residuos son calculados de la siguiente forma:
40,...,21;
20,...,1;
2
1
=−=
=−=
jddr
jddr
jj
jj
Donde rj es el residuo de las correspondientes medidas de diferencia de altura,
d j, entre los dos puntos de nivelación, A y B.
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
138
Como una verificación aritmética, las suma de los residuos al cuadrado de los
grupos uno y dos, debiera ser cero;
020
1
=∑=j
jr
040
21
=∑=j
jr
∑∑∑===
+=40
21
220
1
240
1
2
jj
jj
jj rrr
Donde ∑=
40
1
2
jjr es la suma de todos los residuos rj al cuadrado.
( ) 381202 =−⋅=v
Donde v es el número de Grados de Libertad.
La desviación estándar experimental, s, es válida para una diferencia de
altura a una distancia de 60 m.
38
40
1
240
1
2 ∑∑== == j
jj
j r
v
r
s
89,260
1000
2⋅=⋅=− s
m
mss LEVISO
Donde sISO-LEV es la desviación estándar experimental para 1 km de nivelación.
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
139
44..44.. CCoonnff iigguurraacciióónn ddee llaa LLíínneeaa BBaassee ppaarraa IInnssttrruummeennttooss EEDDMM
La configuración de la Línea Base para Instrumentos EDM consiste en
siete puntos (pilares) ubicados en una línea recta, de longitud aproximada de
unos 600 m (según recomendación hecha por la ISO 17123 – 4). Los siete
puntos designados proporcionan seis distancias que serán medidas de acuerdo
a lo que se expondrá en la “Obtención de la Medida Patrón”.
FFiigguurraa NN°° 3399,, CCoonnffiigguurraacciióónn ddee llaa LLíínneeaa BBaassee..
FFuueennttee:: EEllaabboorraacciióónn pprrooppiiaa..
Las Líneas Bases de Calibración no sólo sirven para calibrar
instrumentos EDM, sino que también sirven para calibrar cintas; por esta razón
muchas líneas bases existentes han sido acondicionadas para este tipo de
casos. Esto se realiza colocando una monumentación extra.
dtotal
d1 d2 d3 d4 d5 d6
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
140
AA.. TTrraazzaaddoo ddee llaa LLíínneeaa BBaassee
Previo a la elección del lugar definitivo, es prudente realizar
observaciones preliminares, asegurando que los puntos (pilares) puedan ser
colocados en las distancias deseadas, desde el punto inicial.
Luego de haber elegido definitivamente el lugar de trabajo, se debe
realizar el siguiente procedimiento:
1. Colocar una estaca en el punto inicial 0m y una marca sobre la estaca
indicando el punto, exactamente.
2. Colocar una Estación Total, ya que esta puede alinear y medir distancia
a la vez, sobre el punto inicial para poder determinar la ubicación de los
otros puntos correctamente.
Las tolerancias dependerán del instrumento utilizado. Si las tolerancias
son excedidas, se debe compensar y ajustar la medida de distancia.
3. Alineación y posicionamiento de las estacas en el sitio previsto. Se
deberán colocar marcas sobre las estacas, indicando el punto de
alineación.
4. Posteriormente que la estaca ha sido colocada, se verificará la alineación
con un teodolito; para ello será conveniente medir en directa y tránsito,
con una tolerancia de 20” en el cierre.
5. Las distancias serán verificadas con el instrumento instalado sobre el
centro del punto inicial, con cualquier instrumento EDM.
6. Cuatro estacas temporales de referencia serán colocadas en el sitio de
cada punto (pilar). Dos serán colocadas sobre alineación y las otras
perpendicular a la línea.
Las distancias desde el punto (pilar) a las estacas de referencia deben
ser cuidadosamente medidas con una huincha y además deben ser
señaladas.
7. Se debe construir una plataforma para referenciar el punto en cuestión
de la misma forma como se indicó anteriormente.
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
141
BB.. EEqquuiippoo nneecceessaarr iioo ppaarraa eessttaabblleecceerr uunnaa LLíínneeaa BBaassee ddee CCaall iibbrraacciióónn
La siguiente lista entrega el equipo necesario para establecer la línea
base de calibración (lo que no implica que estos instrumentos sean utilizados
para obtener la medida patrón).
• 1 Teodolito.
• 2 Instrumentos EDM.
• 1 Computador portátil.
• 1 Plomada óptica nadir.
• 1 Prisma calibrado y montado sobre soporte.
• Tribrachs y trípodes para cada estación.
• 2 radiocomunicadores.
• 2 Psicrómetros.
• 2 Barómetros.
• 2 resistencias térmicas.
• 2 Trípodes y mástiles para las resistencias.
• 1 Batería de 12 Volts.
• 1 Huincha.
• 2 Sombrillas.
Para el establecimiento de la Línea Base de Calibración se deben ocupar
instrumentos que tengan una precisión más alta que los instrumentos que se
desean calibrar. Tanto para la alineación de los pilares, como para la obtención
de la medida patrón, que se presentará en un ítem posterior a este, se debe
utilizar equipos de una precisión alta, los cuales a modo de ejemplo estarán
contenidos en el Anexo C.
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
142
44..44..11 PPrroocceedd iimmiieennttoo ppaarraa rreeaall iizzaacciióónn ddee uunnaa LLíínneeaa BBaassee ddee CCaall iibbrraacciióónn
Se debe realizar tal y como se describió en el ítem de Teodolitos.
El procedimiento presentado abajo para la Línea Base de Calibración
debe ser repetido para el ajuste de cada instrumento. El procedimiento usado
para establecer coordenadas sobre una nueva línea base, sigue la misma
metodología básica para la calibración de un instrumento actual.
1. El instrumento es colocado en el punto inicial y se hace una medida
hacia el prisma colocado en la estación próxima a lo largo de la Línea
Base, este mismo procedimiento se realiza para las demás
estaciones. Las resistencias térmicas son montadas, una sobre un
mástil de 3m y la otra al mismo nivel del instrumento, perpendicular a
la dirección del Sol y orientada a favor del viento que prevalezca. Las
dos resistencias térmicas miden la gradiente de temperatura, y son
capaces de leer hasta la décima del ° C. Se coloca un barómetro
cerca del instrumento, el cual puede leer hasta la centésima de una
pulgada de Hg. Una resistencia térmica similar a las anteriores y un
barómetro son ubicados en la estación del prisma. Un psicrómetro
(ver figura N° 40) graba la lectura solo al inicio, y después, solamente
se repite el proceso cuando se cambia a la próxima estación. Las
lecturas de las resistencias térmicas (arriba en el mástil y abajo a
nivel del instrumento) y la del barómetro, son grabadas al final de la
medida de la línea, y al comienzo y término de las mediciones para el
ajuste de cada instrumento EDM (dos instrumentos EDM diferentes
son usado para cada estación cuando se establece una nueva línea
base).
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
143
FFiigguurraa NN°° 4400,, PPssiiccrróómmeettrroo AAssppiirraannttee.. LLooss ppssiiccrróómmeettrrooss ssoonn eeqquuiippaaddooss ccoonn ddooss tteerrmmóómmeettrrooss,,
uunnoo ddee bbuullbboo hhúúmmeeddoo yy eell oottrroo ddee bbuullbboo sseeccoo.. EEll bbuullbboo hhúúmmeeddoo eess ccuubbiieerrttoo ccoonn uunnaa ggaassaa qquuee
ddeebbee eessttaarr ssaattuurraaddaa ccoonn aagguuaa ddeessttiillaaddaa..
FFuueennttee:: BBeellffoorrtt IInnssttrruummeenntt CCoo..
2. Montar el primer EDM sobre el teodolito, si el distanciómetro es
independiente, y apuntar en directa al centro de la tarjeta de puntería
(Nota: Es importante que el valor de la ppm del EDM este en cero)
obteniendo un retorno de la señal adecuada (fuerte), se mide cinco
veces consecutivas la distancia hacia la puntería. Los valores son
anotados a la décima de milímetro. En tránsito se realizan las cinco
distancias nuevamente.
3. Una vez que se ha finalizado la medida de un segmento de la línea
base, el instrumento permanece en la misma estación hasta haber
terminado la medida de la última estación. Luego, una vez terminado
este procedimiento el instrumento pasa al pilar siguiente y continua
midiendo hasta el último punto.
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
144
44..44..11..11.. PPrroocceeddiimmiieennttoo ppaarraa llaa oobbtteenncciióónn ddee llaa MMeeddiiddaa PPaattrróónn
Luego del procedimiento para la materialización de la línea base, es
necesario indicar cual o cuales serían los equipos más indicados para la
obtención de la medida patrón, tanto por su maniobrabilidad como por su
precisión (ver en Anexo C).
La medida patrón se obtendrá de la siguiente forma:
44..44..11..22.. MMeettooddoollooggííaa ppaarraa eessttaabb lleecceerr llaa LLíínneeaa ddee PPrruueebbaa
Como se describe en el punto 4.4., se debe contar con una línea recta de
aproximadamente 600 m. de largo con siete puntos, se establecerán en un área
más o menos horizontal o con poca pendiente y constante (ver figura N° 39).
Los puntos deberán permanecer estables durante las pruebas de medición.
Para obtener valores representativos de la desviación estándar experimental, s,
y la corrección del punto cero, /�� los puntos serán seleccionados de tal forma
que las distancias medidas, determinadas por medición de fase con una
frecuencia fina, sea distribuida uniformemente sobre la unidad de longitud
(escala de medición) del instrumento EDM.
Se logrará una buena configuración si las distancias d1,...,d6 entre los
siete puntos de la línea de prueba, son determinadas según el siguiente
procedimiento:
• d0 = 600m, es la longitud aproximada del proyecto de la línea de
prueba.
• ���HV�OD�ORQJLWXG�GH�RQGD�GHO�LQVWUXPHQWR�('0� • �����HV�OD�XQLGDG�GH�ORQJLWXG��HVFDOD�GH�PHGLFLón) e los instrumentos
EDM.
15
5.600
λβ
−= d
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
145
donde 0β es redondeado al valor entero más cercano:
2λµβ ⋅=
donde µ es un número entero
con
72λγ =
las seis distancias de la línea de prueba y el largo total, d, son calculados
según:
γβλ 31 ++=d
γβλ 732 ++=d
γβλ 1153 ++=d
γβλ 944 ++=d
γβλ 525 ++=d
γλ +=6d
γβλ 36156 ++=d
4.4.2. Metodo logía para las Mediciones
Todas las distancias posibles (21) entre los siete puntos (ver figura N° 39
) serán medidos en el mismo día. Además se debería usar centrado forzoso
para eliminar los errores de centraje. Un número suficiente de prismas deberían
asegurar que todas las distancias serán medidas con un buen retorno de señal.
Las medidas de distancia deben ser realizadas cuando la visibilidad sea buena
y exista una baja insolación. La temperatura y presión del aire también deben
medirse a menudo para asegurar la confiabilidad de la corrección atmosférica.
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
146
FFiigguurraa NN°° 4411,, DDiissttaanncciiaass qquuee ssee ddeebbeenn mmeeddiirr..
FFuueennttee:: EEllaabboorraacciióónn pprrooppiiaa..
44..44..22..11.. CCáállccuullooss
Las mediciones qp,χ (distancias observadas en terreno por instrumentos
EDM) serán corregidas por efectos sistemáticos (corrección atmosférica,
distancia inclinada). Estos valores corregidos qp,χ , serán evaluados por un
ajuste de ecuaciones de observación. Las seis distancias son los parámetros
desconocidos 2,1χ , 3,2χ , ... , 7,6χ y el punto de corrección cero, /� Los resultados obtenidos son derivados de la siguiente fórmula:
6,5,4;1
7,
7
1, =−= ∑∑
=+−
−
=+ pa
p
qqpq
p
qqpqp χχ
7,,1;71 1
1,
7
1, �=
−= ∑∑
−
=+=pb
p
qpq
pqqpp χχ
( ) pp
ap ⋅−= ∑=
6
4
72351δ
GRQGH�/�HV�OD�FRUUHFFLón del punto cero
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
147
( )7,,1;6,,1;
727
,, �� +==−⋅−+−−= pqpqp
bbr qpqpqp χδ
donde qpr , son los residuos de las 21 distancias medidas qp,χ corregidas por
efectos sistemáticos (corrección atmosférica, distancia inclinada, pero no la
reducción del punto cero).
7,62
3,12
6
1
7
1
2,12
,2 rrrrr
p pqqp +++==∑ ∑ ∑
= +=
�
Donde:
∑ 2r es la suma de los residuos al cuadrado qpr , .
14=−= unv
Donde:
v es el número de grados de libertad;
n es el número de mediciones (21);
u es el número de parámetros estimados (= 6 + 1 = 7).
14
22 ∑∑ ==r
v
rs
donde s es la desviación estándar experimental de una sola distancia medida
S ISO-EDM = S
La desviación estándar experimental de la corrección del punto cero, /�� HV�obtenido como sigue:
45.05
1 ⋅=⋅= ssSδ
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
148
CCaappííttuulloo VV
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
149
5. Análisis y Conclusiones________________________________
El Geomensor realiza diversas actividades a través de la topografía o
geodesia en el desarrollo de una investigación o en la ejecución de una obra de
ingeniería, por lo tanto, es importante que los futuros profesionales del ámbito
de la Geomensura tomen conciencia de la responsabilidad que esto conlleva.
De acuerdo a esto, los procedimientos descritos en esta memoria deberán ser
perfeccionados y adaptados a las circunstancias, y a las nuevas tecnologías,
por aquellos profesionales que tengan el conocimiento y la capacidad
necesaria, es decir, el Ingeniero Geomensor.
Sin lugar a dudas la ubicación para llevar a cabo este proyecto es un
aspecto fundamental, debido a que es muy difícil encontrar un terreno con las
características descritas en este texto, así como también que esté localizado
cerca de un sector urbano.
Para llevar a cabo un proyecto de una Base de Calibración, se debe
tener muy en claro, el tipo de instrumental que se desea contrastar, es por esta
razón, que se debe tener un mayor cuidado en la elección del instrumento base,
que servirá para determinar las medidas patrones. Por lo descrito anteriormente
es importante además, que la persona que realice el proyecto deberá contar
con los conocimientos apropiados para llevar a cabo este, de lo contrario, se
incurrirá en errores que afectarán tanto a la metodología de las mediciones
como a las mediciones mismas. Es importante además señalar que el
profesional que realice las observaciones en terreno para establecer la Base de
Calibración, idealmente un Ingeniero Geomensor, se ajuste a las pautas
indicadas en esta investigación para llevar un control ordenado de los
procedimientos a realizar.
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
150
La Base de Calibración servirá de apoyo a organismos particulares y
gubernamentales que requieran certificar sus instrumentos, por lo que los
procedimientos empleados para tal efecto deben realizarse de acuerdo a las
normas que se refieren a Control de Calidad, es decir, ISO 9001, y a la de
Laboratorios de Ensayo y Calibración , ISO 17025.
Además esta servirá de ejemplo para la construcción de otras Bases en el
territorio Nacional, y no solo estará dirigida a la calibración de instrumentos,
sino que también a la investigación científica.
Se cree conveniente que la Base de Calibración para Instrumentos, ya
sea Teodolitos, Niveles y EDM, se complementen en una sola figura, es decir,
ocupen un mismo espacio físico, para mitigar así la perdida de tiempo y la
construcción innecesaria de otros pilares. También se podrá unir esta Base a la
Red Nacional para que los usuarios tengan una referencia al momento de
realizar una obra o tarea.
_________________________________________________________________________________
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Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
151
AANNEEXXOOSS
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
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152
AAnneexxoo AA
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
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153
11.. IInncceerr ttiidduummbbrree eexxppaannddiiddaa
La forma de expresar la incertidumbre como parte de los resultados de la
medición depende de la conveniencia del usuario. A veces se comunica
simplemente como la incertidumbre estándar combinada, otras ocasiones como
un cierto número de veces tal incertidumbre, algunos casos requieren se
exprese en términos de un nivel de confianza dado, etc. En cualquier caso, es
indispensable comunicar sin ambigüedades la manera en que la incertidumbre
está expresada.
11..11 FFaaccttoorr ddee ccoobbeerrttuurraa yy nniivveell ddee ccoonnff iiaannzzaa
La incertidumbre estándar uc tiene un valor igual a la desviación estándar
de la función de distribución del mensurando. El intervalo centrado en el mejor
estimado del mensurando contiene el valor verdadero con una probabilidad p de
68% aproximadamente, bajo la suposición de que los posibles valores del
mensurando siguen una distribución normal.
Generalmente se desea una probabilidad mayor de 68%, lo que se
obtiene expandiendo este intervalo por un factor k, llamado factor de cobertura.
El resultado se llama incertidumbre expandida U.
cukU ⋅=
La incertidumbre expandida U indica entonces un intervalo, llamado intervalo de
Confianza, que representa una fracción p de los valores que puede
probablemente tomar el mensurando. El valor de p es llamado el nivel de
confianza y puede ser elegido a conveniencia.
En el medio industrial, a menudo se elige el nivel de confianza de manera
tal que corresponda a un factor de cobertura como un número entero de
desviaciones estándar en una distribución normal. Por ejemplo, k = 1
corresponde a p = 68,27 %, k = 2 corresponde a p = 95,45% y k = 3 a p =
99,73%.
(a)
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
154
La relación entre el factor de cobertura k y el nivel de confianza p
depende de la distribución de probabilidad del mensurando. Por ejemplo, en
una distribución rectangular p = 57,74% si k = 1, y para lograr un nivel de
confianza de 95,45% se requiere multiplicar por k = 1,65.
Cuando es necesario una estimación más rigurosa de la incertidumbre
expandida se consideran las secciones Nº 1.2 hasta Nº 1.4; cuando no son
necesarias estimaciones muy rigurosas de la incertidumbre, como en
mediciones de baja exactitud, entonces es suficiente seguir con la sección Nº
1.4.
1.2 Distribución t de Student
Frecuentemente, los valores del mensurando siguen una distribución
normal. Sin embargo, el mejor estimado del mensurando, la media (obtenida
por muestreos de n mediciones repetidas) dividida entre su desviación
estándar, sigue una distribución llamada t de Student, la cual refleja las
limitaciones de la información disponible debidas al número finito de
mediciones. Esta distribución coincide con la distribución normal en el límite
cuando n tiende a infinito, pero difiere considerablemente de ella cuando n es
pequeño.
La distribución t de Student es caracterizada por un parámetro í llamado
número de grados de libertad. Por lo anterior, el intervalo correspondiente al
nivel de confianza p, dado antes por la ecuación (a), se calcula ahora por:
cp uvtU ⋅= )(
El factor tp(v) indica los límites del intervalo correspondiente al nivel de
confianza p de la distribución y su valor siempre es mayor o igual que el factor k
(tomado de la distribución normal).
(b)
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
155
1.3 Grados de libertad
De cierta manera el número v de grados de libertad asociado a una
distribución de una magnitud (Xi o Y) puede considerarse una medida de
incertidumbre de la incertidumbre de esa magnitud. Entre mayor sea v la
estimación de la incertidumbre será más confiable.
El número efectivo de grados de libertad vef del mensurando considera el
número de grados de libertad vi de cada fuente de incertidumbre.
En la estimación de incertidumbres por el método tipo A, vi depende
directamente del número de datos considerados y disminuye conforme el
número de parámetros estimados a partir de los mismos datos. La repetibilidad
de una medición, estimada por la desviación estándar experimental de n
lecturas tiene n - 1 grados de libertad. Una regresión lineal de M puntos
mediante una ecuación de m parámetros tiene M - m grados de libertad.
1.4 Incertidumbre expandida
Resumiendo, si la función de distribución de probabilidad del
mensurando es normal, de manera rigurosa la incertidumbre expandida se
calcula de acuerdo a la ecuación (b) como:
)( efpc vtuU ⋅=
Donde tp(vef) es el factor derivado de la distribución t de Student a un nivel de
confianza p y vef grados de libertad, obtenidos de tablas.
(c)
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile
156
11..55 DDiiaaggrraammaa ppaarraa llaa eessttiimmaacciióónn ddee iinncceerrttiidduummbbrree ddee mmeeddiicc iióónn..
E stimar los g rados de libertad vi
C alcula r e l número efectivo de g rados de libertad ve f
D eterm inar tp (ve f) D eterm inar e l facto r de cobertura k
C a lcula r la incertidumbre expad ida U
F in
¿ C uantifica r e l númerode grados?
E leg ir e l nive l de confianza p
C a lcula r la incertidumbre estándarcombinada uc
E stimar correlac iones
D eterm inar la incertidum bre estándar u(xi)
C uanti fica r la variab ilidad de cada fuentey asocia rle una d is tribución
Identifica r las fuentes de incertidumbre
E stablecer el modelo fís icoIdentifica r las magnitudes de entrada X i
E stablecer el modelo matemático
D efinir e l mensurando Y
Si No
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
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AAnneexxoo BB
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
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158
MMoonnuummeennttaacciióónn ddee PPuunnttooss
Fundamentalmente se usan tres tipos de marcas.
La primera, y la más segura, es la instalación de un tornillo, perno o
bulón en la roca madre, fijado con cemento plástico (epoxi) o sustancia similar.
La monumentación sugerida es muy estable, está prácticamente
protegida de la destrucción accidental o intencional y surge de su adopción por
parte de los proyectos geodinámicos, particularmente CAP.
La segunda es también colocar la marca (tornillo, perno o bulón) o bien
amurar una chapa sobre construcciones existentes, como edificios o
construcciones de fácil acceso y que aseguren una persistencia en el tiempo.
La ausencia de rocas o de edificios de las características mencionadas
conduce al tercer tipo de monumentación: pilares de hormigón armado en cuyo
coronamiento debe colocarse el bulón o la chapa identificatoria. En
determinados terrenos es conveniente agregar cementos en el suelo que
circunda al pilar (suelo cemento); en otros, resulta ventajoso efectuar esta
consolidación con hormigón masivo (o ciclópeo) con abundantes piedras del
lugar. En zonas medanosas conviene colocar tubos (caños) que abarquen
desde una profundidad sin posibilidades de erosión hasta alturas superiores a la
eventual acumulación. En terrenos blandos, sin posibilidad de llegar hasta una
capa consolidada, conviene cavar dos pequeñas zanjas en cruz, hincar
estaciones metálicas en los extremos e intersección y unirlos mediante vigas de
hormigón colocadas en las zanjas, las que deben ser cubiertas por suelo, salvo
el estacón central de la intersección que debe constituir el alma del pilar
emergente.
Es recomendable la colocación de tres marcas testigos (a distancias
comprendidas entre 50 y 100 metros) para poder reubicar el punto en el caso
de destrucción.
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La posición de las marcas auxiliares se determina por medición de los
ángulos, distancias y desniveles entre todas las marcas y un acimut de
orientación. En el caso de edificios o áreas con muchos detalles es posible
efectuar la medición a objetos cercanos existentes o a líneas definidas por los
mismos.
PPii llaarr ddee HHoorrmmiiggóónn
El pilar de hormigón generalmente se coloca en su lugar, en una
excavación en el suelo, usando una forma superior; la excavación se realiza
solamente alrededor de 1,0 m a 1,5 m, con una sección que puede ser circular
o cuadrada, dependiendo de la parte superior que se va a usar y con alrededor
de 0,30 m o más de diámetro. Si se desea colocar una marca bajo el nivel del
suelo, en la sección de fondo se debe realizar un emplantillado de por lo menos
0,15 m; el hormigón se vacía y se coloca el disco de referencia. Un punto se
aploma directamente sobre el centro de la marca, bajo el nivel del suelo, en un
banco de plomada, señal o hito colimador. Este punto se mantiene durante el
llenado del pilar de superficie, de manera que el disco de la marca de la
superficie pueda ser aplomado exactamente sobre la marca que está debajo del
suelo. La marca bajo el nivel del suelo se cubre con una placa delgada para
prevenir cualquier molestia, luego se cubre con tierra.
CCoollooccaacciióónn ddee mmaarrccaass ddee rreeffeerreenncc iiaass
Como se ha mencionado anteriormente, es recomendable colocar estas
marcas de referencia, ya sea para ubicar algún punto que haya sido destruido o
también para realizar estudios de deformación en los pilares de la base. Cada
pilar puede contar con tres marcas de referencia optativas o bien ser común
para todos los pilares de la base, con ello se mitigan los costos de construcción;
las marcas de referencia son estampadas con el nombre, número y fecha del
pilar.
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Las marcas de referencia se ubicarán donde sean menos molestadas,
por ejemplo, próximo a líneas de cerca; también es prudente que las marcas de
referencia sean colocadas donde no obstruyan las mediciones.
A continuación se detallará la forma física del pilar:
• Altura sobre el suelo de 1,20 m
• Diámetro Tubo exterior del pilar 0,40 m
• Diámetro Tubo interior del pilar 0,30 m
• Profundidad del pilar 1,00 m
•• Cadena de fierro interna
•• Longitud de amarras 0,14 m
•• Sección de la plataforma:
Cara superior de 1,60 m
Cara inferior de 1,80 m
• Material aislante entre los tubos en base a lana o fibra de vidrio.
En la siguiente página se muestra la estructura del pilar para EDM y
teodolitos.
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EEssttrruuccttuurraa ddee llooss ppii llaarreess ppaarraa EEDDMM yy TTeeooddooll ii ttooss
MMeezzccllaa aa uuttii ll iizzaarr
Para la mezcla de cada pilar se recomienda las siguientes proporciones
de los materiales
Cimiento
• Volumen a confeccionar 3,25 m3
• Cemento 13 sacos de 42,5 Kg.
• Grava 1170 litros
• Gravilla 1170 litros
• Arena 1820 litros
• Agua 429 litros
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Pilar
• Volumen a confeccionar 0,286 m3
• Cemento 2 sacos de 42,5 Kg.
• Grava 110 litros
• Gravilla 90 litros
• Arena 160 litros
• Agua 40 litros
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AAnneexxoo CC
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CCAARRAACCTTEERRÍÍSSTTIICCAASS TTÉÉCCNNIICCAASS DDEELL DDIISSTTAANNCCIIÓÓMMEETTRROO WWIILLDD
DDII22000022
Medición d e distancia
Desviación Típica Tiempo de Medición
Estándar 3mm + 2ppm 1,5 seg
Repetitivo 3mm + 2ppm 1,5 seg
Seguimiento 10mm + 2ppm 1 seg / 0,3 seg
Seguimiento rápido 20mm + 2ppm 1 seg / 0,15 seg
Ind icación
Resolución : 0,0001m, o bien 0,001 pies.
Lon gitud d e la Onda Portadora
0,850 µm, infrarroja
Sistema de Medición
Sistema de Frecuencia Especial; Base 50 Mhz (λ = 3,0 m)
Envejecimiento del Cuarzo
< 1ppm / año
Constante de Adición
Margen : + 9,9 mm
Paso más pequeño : 0,1 mm
Corrección d e Escala
Margen : + 500ppm
Paso más pequeño : 1ppm
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Alcances con p rismas circulares Wild
Malas Medias Muy buenas1 1200m 2500m 3500m3 1500m 3500m 5000m7 1700m 4500m 6000m
11 1800m 5000m 7000m
Condiciones atmosféricasNúmero de
Prismas
Malas : Muy brumoso, visibilidad unos 3 km, o muy soleado con fuerte
centelleo del aire.
Medias : Poco Brumoso, visibilidad unos 15 km, o parcialmente soleado y
poco centelleo del aire.
Muy buenas : Cubierto, sin bruma, visibilidad de unos 30 km, sin centelleo.
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DDiissttaanncciioommeett rroo DDII22000022 ccoonn pprr iissmmaa ddee pprreecciissiióónn..
GGPPHH11PP Reflector de precisión.
Equipado de serie con un visor óptico que permite alinear el reflector
de forma precisa. Ajuste exacto del prisma en su montura (cte. de
prisma = 0)
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CCAARRAACCTTEERRÍÍSSTTIICCAASS TTÉÉCCNNIICCAASS DDEELL NNIIVVEELL WWIILLDD NN33
Desviación Estándar
+ 0,2 mm para 1 km de nivelación doble
Anteojo
Óptica panfocal, imagen real directa
Diámetro libre del objetivo
52 mm
Distancia mínima de enfoqu e
45 cm (28 cm del cristal de protección)
Sensibilidad del nivel tubular
10” / 2mm
Precisión d el centrado por coincidencia
+ 0,25”
Sensibilidad del nivel esférico
2’ / 2mm
Margen del micrómetro de placa planoparalela
Margen Intervalo Estimación10mm 0,1mm 0,01mm
0,5 pulg. 0,001 pulg, 0,0005 pulg,
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NNiivveell WWii lldd NN33 yy aacccceessoorr iiooss..
Mira tipo invar con puntales para la estabilidad. Estas miras deben
venir con un certificado de calibración.
Placa base para estacionamiento seguro de la mira.
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CCAARRAACCTTEERRÍÍSSTTIICCAASS TTÉÉCCNNIICCAASS DDEELL TTEEOODDOOLLIITTOO WWIILLDD TT33
Anteojo (imagen invertida)
Aumento
24x, 30x, 40x
Abertura libre del objetivo
60 mm
Diámetro del campo visual a 1000 m
28,5 m
Sensibilidad del nivel de la alidada
6”/ 2 mm
Sensibilidad del nivel de índ ice
13”/ 2 mm
Intervalo de la graduación círculo horizontal
4’ (10c)
Intervalo de la graduación círculo vertical
8’ (20c)
Micrómetro y lectura a estima
0,2” (1cc); 0,1” (0,5cc)
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TTeeooddooll ii ttoo TT33 ccoonn aacccceessoorr iiooss..
Señal para puntería de precisión para mediciones de ángulo de gran
exactitud a corta distancia.
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AAnneexxoo DD
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EEssttáánnddaarreess ddee SSeegguurriiddaadd LLáásseerr..
A pesar de los niveles de energía más elevados del método TOF
(Instrumentos de tiempo transcurrido Pulsación), los instrumentos EDM que
usan esta técnica, normalmente cumplen con los estándares más altos de
seguridad láser y se clasifican según corresponde. Esto se debe a que los
impulsos láser utilizados, si bien son suficientemente potentes para medir a
cientos de metros, son cortos en duración y por lo tanto el rayo láser no
acumula energía. Los rayos láser continuos, que a veces se utilizan para
ampliar el alcance de los instrumentos EDM de Desplazamiento de Fase,
pueden producir una acumulación de energía que tal vez resulte peligrosa.
Las tres clases de láser correspondientes a la mayoría de los
instrumentos topográficos son: Clase 1, Clase 2 y Clase 3R.
LLáásseerreess CCllaassee 11
Los láseres Clase 1 son láseres invisibles que cumplen con los
estándares de seguridad más altos: es improbable que la exposición
directa del rayo en la piel o a los ojos descubiertos produzca algún daño.
Los láseres Clase 1 tampoco presentan un peligro si otro instrumento
topográfico está apuntando al origen del rayo láser Clase 1.
LLáásseerreess CCllaassee 22
Los láseres Clase 2 emiten una radiación láser visible, que puede
resultar peligrosa para los ojos descubiertos si se mira directamente al
rayo. Las personas deben tener el cuidado especial de no mirar
directamente al rayo con instrumentos ópticos tales como binoculares u
otros instrumentos topográficos.
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Los láseres Clase 2 son generalmente seguros de utilizar en
lugares públicos (donde se llevan a cabo la mayoría de los trabajos
topográficos) sin precauciones especiales, excepto la de no mirar
directamente al rayo láser.
Muchos dispositivos láser de mano, tales como los punteros láser
de bolsillo, pertenecen a la Clase 2.
LLáásseerreess CCllaassee 33RR
Es posible ampliar el alcance de un sistema EDM de
Desplazamiento de Fase incrementando la potencia de la fuente de luz:
generalmente desde menos de 1 mW a más de 4 mW. Sin embargo, la
continua luz láser más potente emitida incrementa los riesgos de salud y
seguridad del rayo láser, cambiando la clasificación del láser a la Clase
3R.
El estándar IEC 60825 – 1 incluye precauciones adicionales
necesarias para el empleo de equipo Clase 3R. A continuación se
muestra un extracto:
PPrreeccaauucciioonneess ppaarraa llaa sseegguurriiddaadd ddeell uussuuaarriioo ddee llaa CCllaassee 33RR..
Productos láser Clase 3R utilizados para la topografía, alineación y
nivelación. Solamente a las personas capacitadas y calificadas se les deberá
asignar la instalación, el ajuste y el manejo del equipo láser. Se deberá colocar
una señal de advertencia de exposición a señal láser en los lugares en los que
se utilizan estos láseres. Se deberán tomar las precauciones necesarias para
evitar el reflejo accidental de la radiación. Para demostraciones, presentaciones
y exhibiciones sólo se deben utilizar los productos láser Clase 1 o Clase 2.
Capacitación: Solamente las personas que han recibido la capacitación
correspondiente podrán controlar dichos sistemas. La capacitación deberá
incluir: la familiarización con el manejo del sistema, el uso correcto de los
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procedimientos de control de peligro, señales de advertencia, etc. la necesidad
de protección personal, procedimientos para el informe de accidentes con
efectos biológicos del láser en los ojos y en la piel. Se deberán tomar las
precauciones necesarias para evitar que las personas miren directamente al
rayo. Se deberán tomar las precauciones necesarias para asegurarse de que el
rayo láser no se dirija accidentalmente a superficies reflexivas. Se requieren
advertencias sonoras o visibles cuando el láser está encendido.
Con estas precauciones, si bien la utilización de un equipo Clase 3R
puede ser práctico en lugares tales como minas y determinados entornos de
construcción, tal vez no resulte tan conveniente en lugares abiertos y públicos.
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GGLLOOSSAARRIIOO
Birrefringencia : en términos simple significa transparencia, pero
antiguamente se le llamaba así al término hoy empleado
como refracción.
Polarizador : mecanismo que permite la concentración de la luz.
Nicoles : son los llamados prismas de Nicol, que tienen como
función principal polarizar la luz.
Errores de cierre : Diferencias entre las posiciones calculadas y las
conocidas. De típico uso en poligonales, nivelaciones,
observaciones gravimétricas, etc.
Nivel de confianza
del 95% : Medida de la tolerancia en la precisión de los ajustes.
Cuando el error estándar (2 sigma) que se obtuvo en
observaciones directas es inferior a una tolerancia
especificada, el ajuste cumple con el nivel de confianza del
95%. Para el caso de ajustes bidimensionales, el mayor de
los semiejes de la elipse de error multiplicado por 2.5 debe
ser inferior a la tolerancia, para satisfacer el mismo nivel de
confianza.
Partes por millón
(ppm) : Expresión del error relativo. En el caso de distancias, una
parte por millón es un error igual a la millonésima parte de
la misma.
Redund ancia : Es la diferencia entre el número de observaciones y el
número de incógnitas. Para que exista un adecuado
proceso de compensación, la redundancia debe ser mayor
que cero.
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BBIIBBLLIIOOGGRRAAFFÍÍAA
1. Chueca Pazos, Manuel; Tratado de Topografía volumén 1. Madrid,
Paraninfo, 1996.
2. Hecht, Eugene; Óptica. Addison Wesley, Iberoamericana, 1986
3. Deustches Institut für Normung – DIN – Feldverfahren zur
Genauigkeitsuntersuchung Geodätischer Instrumente allgemeines – DIN
18723 – Teil 1, Berlin, 1990.
4. Deustches Institut für Normung – DIN – Feldverfahren zur
Genauigkeitsuntersuchung Geodätischer Instrumente allgemeines – DIN
18723 – Teil 2, Berlin, 1990.
5. Deustches Institut für Normung – DIN – Feldverfahren zur
Genauigkeitsuntersuchung Geodätischer Instrumente allgemeines – DIN
18723 – Teil 2, Berlin, 1990.
6. Antó Roca, Joan; Óptica Instrumental. Barcelona; Alfaomega, Ediciones
UPC, 2000.
7. Houghton David, Handbook of Applied Meteorology. New York, Willey,
1985.
8. Bannister, Raymond, Baker; Técnicas Modernas en Topografía. Mexico,
Alfaomega, 2002.
9. International Organization for Standardization – ISO – Optics and optical
instruments – Field Procedures for testing geodetic and surveying
instruments – ISO 17123 – part 1, Suiza, 2001.
10. International Organization for Standardization – ISO – Optics and optical
instruments – Field Procedures for testing geodetic and surveying
instruments – ISO 17123 – part 2, Suiza, 2001.
11. International Organization for Standardization – ISO – Optics and optical
instruments – Field Procedures for testing geodetic and surveying
instruments – ISO 17123 – part 3, Suiza, 2001.
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177
12. International Organization for Standardization – ISO – Optics and optical
instruments – Field Procedures for testing geodetic and surveying
instruments – ISO 17123 – part 4, Suiza, 2002.
13. Paciléo Netto, Nicola; Campo de Provas para Instrumentos de Medicao e
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14. Engineers' from the United States body; Sources of Measurement Error
and Instrument Calibrations, Chapter 4, USA, 2002.
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