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PROBABILIDADES

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CONCEPTOS BÁSICOS

1. Experimento: Proceso de realizar una observación o una medición.

2. Experimento Aleatorio ( E ): Experimento en que son posibles más de un resultado, los cuales pueden ser indicados con anterioridad, y se puede repetir muchas veces bajo las mismas condiciones

3. Espacio Muestral ( S ): Conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.

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Ejemplos de Espacio Muestral:

E1: Se lanza un dado y se cuenta el número de puntos que aparecen en la cara superior.

S1: { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }

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Ejemplos de Espacio Muestral:

E2: Se lanza una moneda 4 veces y se cuenta el número de sellos obtenidos.

S2: { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 }

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Ejemplos de Espacio Muestral:

E3: Se enciende una ampolleta y se anota el tiempo que transcurre hasta que se quema.

S3: { t / t > 0 }

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Ejemplos de Espacio Muestral:

E4: Se lanza una moneda dos veces, se

registra el signo que aparece.

S4: { CC , CS , SC , SS }

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Ejemplos de Espacio Muestral:

E5: Salen artículos en una línea de producción. Se cuenta el número de artículos defectuosos producidos.

S5: {0, 1 , 2, 3, 4, . . . . . . n }

n: Total de artículos producidos

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Ejemplos de Espacio Muestral:

E6: Una caja contiene 10 fichas, de las cuales 3 son verdes. Se extrae al azar una ficha después de otra y se cuenta el número de fichas sacadas de la caja , después de haber obtenido:

a.- La última ficha verde

b.- La primera ficha verde

S6a= { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

S6b= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

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SUCESO Ó EVENTO

Sea E un Experimento y sea S un espacio muestral asociado a E, entonces A es un suceso si y solo si A se define como un conjunto de posibles resultados del experimento aleatorio, es decir un subconjunto del espacio muestral S.

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Observación:

1.- Sean A y B dos suceso asociados a un mismo experimento E , entonces:

A B: Es un nuevo suceso que ocurre si y solo si ocurre A , ocurre B o ambos.

A B: Es un nuevo suceso que ocurre si y solo si ocurre A y ocurre B.

2.- Sean A1, A2,.......Ak, sucesos asociados a un mismo experimento, entonces:

A1 A2 .… Ak: Es un nuevo suceso que ocurre si y solo si ocurre al menos un Ai.

A1 A2 ..... Ak: Es un nuevo suceso que ocurre si y solo si ocurren todo los Ai a la vez.

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SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES(SME)

Sean A y B dos sucesos asociados a un mismo espacio muestral S, se dice A y B son sucesos Mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir ambos a la vez. Es decir si la intersección es vacía .

Si A B = A y B son SME

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FRECUENCIA RELATIVA

Sea E un experimento, y sea A un suceso asociado a E. Supongamos que el experimento E se realiza n veces, y que nA son las veces que ocurre el suceso A, entonces se define Frecuencia Relativa al suceso A como:

n

nf AA

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FRECUENCIA RELATIVAPropiedades:

1.- 0 ƒA 1

2.- ƒA = 1 Si cada vez que se realiza el experimento ocurre A.

3.- ƒA = 0 Si A nunca ocurre.

4.- Sean A, B SME , entonces ƒAUB = ƒA +ƒB

e.d. Si A B = ƒAUB = ƒA +ƒB

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FRECUENCIA RELATIVA

Propiedades:

5.- Si E se repite muchas veces, digamos

infinitas, entonces ƒA tiende a la

probabilidad de A ( P(A) )

ƒA P(A) n

Intuitivo

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Probabilidad

Definición:

Sea E un experimento y sea S un espacio muestral asociado a E, entonces a todo suceso A, le asociaremos un número P(A), que llamaremos, la probabilidad de que el suceso A ocurra, y que tiene las siguientes propiedades:

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Propiedades:

1. 0 P(A) 1

2. P(S) = 1

3. Sean A, B SME , es decir A B = P(A B) = P(A) + P(B)

4. Sean A1, A2,...Ak SME de a pares, entonces: P(A1 ….. Ak) = P(A1)+....+P(Ak) ó P( Ai ) = P(Ai )

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Teoremas Básicos:

1.- P() = 0

2.- Si A es el suceso complementario de A, entonces: P(A) = 1 – P(A)

3.- Si A B entonces P(A) P(B)

4.- Sean A y B sucesos cualesquiera, entonces:

P(A B) = P(A) + P(B) - P(AB)

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Teoremas Básicos:

5.- Sean A, B, C sucesos cualesquiera, entonces:

P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A B) - P(A C) - P(B C) + P( A B C )

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Ejercicio 1

Sea ; P( A ) = x P( B ) = y P( AB ) = z

Determine: _ 1.- P( A B ) = _ _ 2.- P ( A B ) =

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Respuesta: Según Teorema 4 Tenemos: P(AB) = P( A ) + P( B ) - P( AB )y como : P(A B )= P( A ) - P( AB ) tenemos que:

P(AB ) = P( A ) + P( B ) - P(AB) = x + y - zLuego; P(AB )= x – ( x + y – z) = - y + zY por lo tanto P(A B ) = x + ( 1-y ) - (- y + z) = 1+ x - z

Por otro lado:

P(A B) = P( A B ) = 1 – P( A B )

= 1 – ( P( B) – P(A B ) )

= 1 – ( y – (x + y – z )) = 1 + x - z

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Ejercicio 2

Sea ;

P(A)=P(B)=P ( C ) = ¼ , P(AB)= P(AC)= 1/8 y

P(BC)= 0 , Determine: P(A B C)=

Respuesta: Según Teo. 5 , Tenemos:

P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A B) - P(A C) - P(B C) + P( A B C )

Luego;P( A B C ) = 1/4 + 1/4 + 1/4 – 1/8 - 1/8 – 0 +

0 = 1/2

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A B

C

S

1/4 1/4

1/4

1/8

1/8

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Espacios Muestrales FinitosSea E un experimento y sea S = { s1,s2,....sk } un

espacio muestral finito, entonces, a cada suceso de la

forma si = {si } : lo llamaremos suceso elemental.

(el formado por un solo elemento), y le asociaremos

un número pi, que llamaremos, la probabilidad que el

suceso {si} ocurra ( pi=P({si}) ) y que cumple con las

Siguientes condiciones:

1.- pi 0 i= 1,2,......k

2.- pi = 1

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Espacios Muestrales FinitosSea A S un suceso cualesquiera talque:

A={s1 , s2 ,----, sr} ; r k

luego;

A = {s1 } {s2 } ---- {sr }

P(A) = P(s1) + P(s2) + --- + P(sr)

por lo tanto; P(A) = p1 + p2 + ----- + pr Prp. 4

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Espacios Muestrales Finitos

Ejemplo:

Supongamos que solo son posibles 3 resultados en un experimento aleatorio, de tal manera que S = {s1, s2, s3}. Supongamos además que la ocurrencia de s1, es dos veces

más probable que s2, y que s2 es dos veces más

probable que s3.¿ cuál es el valor de p1, p2 y p3?

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Sea P({si}) = pi i, i = 1,2,3

Tenemos que : p1 = 2p2

p2 = 2p3

Luego p1 = 2(2p3) = 4p3

Pero p1 + p2 + p3 = 1por lo tanto:

4p3 + 2p3 + p3 = 1luego:p3 = 1/7 , p2 = 2/7 , p1 = 4/7

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Sucesos Equiprobables

Dos sucesos se dicen que son equiprobables si tienen igual probabilidad.

Sea S= {s1,s2,------sk} y

sea p1,p2,....,pk sus probabilidades respectivas, si los sucesos elementales son equiprobables.

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Puesto que:

Si S = { s1,s2,......sk}, y como los {si} son equiprobables entonces, p1= p2 = ......= pk = p

Luego como:

k

i

k

ii k

pkppp1 1

11

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Sucesos Equiprobables

De igual manera si A es un suceso cualesquiera tal que: A = {s1,s2,------sr}

Donde, p1,p2,....,pr sus probabilidades respectivas, y equiprobables entonces:

P(A) = p1 + p2 + - - - - - + pr = r p

y como p = 1/k , entonces:

P(A) = r / k

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Sucesos Equiprobables

Observación:

Si S es un espacio muestral, donde sus sucesos elementales son equiprobables y A S entonces:

P(A) = #A / #S = r / k

#A: Números de elementos que tiene A y se

lee el cardinal de A.

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Ejemplo

Sea E : se lanza un dado equilibrado y se cuenta el númerode puntos que aparecen en la cara superior. Determine:

a.- El espacio muestralb.- Sea A: sale un número par B: sale el dos o el tres Determine:

_ _P(A) , P(B) , P(AB) , P(AB)

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1.- El espacio muestral es : S = { 1,2,3,4,5,6}

2.- A = { 2,4,6 } Luego #A = 3

B = { 2,3} Luego #B = 2

Por lo tanto ;

P(A) = 3/6 = 1/2 P(B) = 2/6 = 1/3 _P(A B) = _P(A B) = 5/6

2/6 = 1/3

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Métodos de Enumeración

1.- Principio de Adición: ( Regla del o )

E1 n1

E2 n2

} E1 o E2 n1+n2

Ejemplo:

P Q Valpso. Stgo.

E1:Aéreo

E2:Tierra

Luego: n1 + n2

Avión

Helicóptero

Bus

Auto

Moto

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Métodos de Enumeración

2.- Principio de Multiplicación: ( Regla del y )

E1 n1

E2 n2

} E1 y E2 n1 x n2

Ejemplo:

P Q Chile Europa

R Brasil

E1:n1

E2:n2Luego: n1 x n2

A

M

T

M

A

A

MA

M

Diagrama del Árbol

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Métodos de Enumeración3.- Permutación:

Si tenemos n objetos distintos, y queremos

ordenarlos tomando r de ellos. El número de

formas de hacer esta operación, esta dado por:

)!(

!

rn

nP

n

r

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Métodos de Enumeración4.- Combinación:

Si tenemos n objetos y queremos escoger r de ellos

sin que nos importe el orden. El número de maneras

de hacer esta operación, esta dado por:

!)!*(

!

rrn

nC

n

r

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Métodos de Enumeración

Observación:

1.- n! : Se lee n-factorial, y esta dado por:

n! = n x (n-1) x (n-2) x ......x 3 x 2 x1

= n x (n-1)!

2.- 0! = 1

Ejemplo : 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

= 5 x 4! = 120

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Ejercicio

1.-Supongamos que una oficina cuenta con 18 personas; determine:

a.-¿Cuántas comisiones de 3 se pueden formar?b.-¿Cuántas directivas con un presidente, un secretario y un

tesorero, se pueden formar?c.-Si en la oficina hay 10 mujeres. c1.- ¿Cuántas comisiones de 3 persona se pueden formar, cuando debe haber una mujer por lo menos? c2.- ¿Cuántas directivas de 3 personas se puede formar, si solo una mujer puede pertenecer?

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Tarea Nº__

1.-Demostrar:

a.-

b.-

nrn

nr CC

111

n

rnr

nr CCC

2.- Si en una oficina de 15 persona 8 son mujeres, y se eligenal azar 4 para un trabajo. ¿Cual es la probabilidad de que: a.- dos sean mujeres?b.- al menos dos sean mujeres?

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Ejemplo:Se lanza una moneda dos veces, se registra elsigno que aparece; determine: 1.- El espacio muestral S.2.- La probabilidad de que salga a lo

menos un sello.3.- La probabilidad de que salgan más

caras que sello.

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Ejercicio

Una oficina cuenta con 18 personas, 10 de ellas mujeres. Se seleccionan al azar dos, una después de otra, y se clasifican según el sexo. Determine:

a.- El espacio muestral

b.- La probabilidad de que, al menos una sea mujer

c.- La probabilidad de que, hallan mas hombres que mujeres.

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Probabilidad Condicional Supongamos que tenemos 100 artículos, 20

de ellos defectuosos. Se escogen al azar 2, uno después del otro, y se definen los siguientes eventos:

A = el primer artículo es defectuoso B = el segundo artículo es defectuoso.

Determinar la probabilidad de A y B cuando el experimento se realiza: a.- con devolución b.- sin devolución.

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a.- Con devolución:

P(A) = 20/100 = 1/5

P(B) = 20/100 = 1/5

b.- Sin devolución:

P(A) = 20/100 = 1/5

P(B) =19/99 si ocurrió A _20/99 si ocurrió A

{

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Probabilidad Condicional

Notación:

P(B/A): Probabilidad de B dado que ocurrió el suceso A.

En nuestro caso:

_ P(B/A) = 19/99 y P(B/A) = 20/99

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Probabilidad Condicional

Ejemplo: Se lanza un dado dos veces, el evento se anota ( X1 , X2 ) donde, Xi es el resultado del lanzamiento i ( i = 1,2):

1.- Determine: El espacio muestral S

Si se definen: A = {(X1 , X2) / X1 + X2 =8 } B = {(X1 , X2) / X1 > X2 }

2.- Determine:

P(A), P(B), P(A B), P( B/A), P(A/B)

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1.- S = { (1,1) ; (1,2) ; ..........; (1,6) (2,1) ; (2,2) ;...........; (2,6) ----------------------------- (6,1) ; (6,2) ;...........; (6,6) }

2.- A = {(2,6);(3,5);(4,4);(5,3);(6,2)} #A = 5

B = {(2,1) (3,1);(3,2) (4,1);(4,2);(4,3) #B = 15 (5,1);(5,2) (5,3);(5,4) (6,1);(6,2);(6,3);(6,4),(6,5)}

Luego #S = 36

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Por lo tanto: P(A) = 5 / 36

P(B) = 15 / 36 = 5 / 12

Luego P(B/A) = 2 / 5 P(A/B) = 2 / 15

P(A B) = 2 / 36 = 1 / 18

Observemos que:

P(B/A) x P(A) = 1/18

P(A/B) x P(B) = 1/18 P(A B)} =

y como: (A B) = {(5,3);(6,2)} # (A B) = 2

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Probabilidad Condicional

Definición:

)(

)()/(

BP

BAPBAP

)(

)()/(

AP

BAPABP

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Ejemplo:

Supongamos que en una oficina hay 100 computadorespersonales, 40 conectados a Internet, de los cuales solo 14 tienen lector de disco compacto (CD), el total de computadores con (CD) es de 30. Se extrae uno del total de computadores al azar determine la probabilidad de que:

1.- este conectado a Internet.2.- tenga lector de CD y este conectado a Internet3.- si esta conectado a Internet, tenga lector de CD.4.- si se extraen al azar 4 computadores,¿ cuál es la probabilidad de que al menos dos tengan CD ?

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Desarrollo: Sea A = El computador esta conectado a Internet. B = El computador tiene lector de CD.

Luego tenemos: A A Total B 14 16 30

B 26 44 70 Total 40 60 100

Luego; 1.- P(A) = 40 / 100 = 2/5

2.- P(A

3.- P( B/A) = 14 / 40 = 7/20

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Ejemplo 2:De una caja que originalmente contiene

2 fichas azules y una ficha blanca, se extraen tres al azar, en cada extracción, se saca una, se registra el color y luego se devuelve a la caja junto con dos fichas del mismo color. Calcule la probabilidad de que:a.- Se obtengan dos fichas azules si hay al menos

una ficha blanca.b.- Solo dos fichas sean blancas.c.- Al menos dos fichas sean azules.

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Sea A: la ficha es azul

B: la ficha es blanca.

A

B

2/3

1/3

Diagrama del Árbol

S = {AAA ,AAB, ABA, BAA, ABB, BAB, BBA, BBB}

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

4/5

1/5

2/5

3/5

6/7

1/7

4/7

4/7

3/7

3/7

2/7

5/7

2 A

1 B

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a.- Se obtengan dos fichas azules si hay al menos una ficha blanca.

b.- Solo dos fichas sean blancas.c.- Al menos dos fichas sean azules.

a.- ( 2/3 x 4/5 x 1/7 ) + ( 2/3 x 1/5 x 4/7 ) + ( 1/3 x 2/5 x 4/7 ) = 8 /105 + 8/105 + 8/105 = 24 / 105=8/35

b.- ( 2/3 x 1/5 x 3/7 ) + (1/3 x 2/5 x 3/7 ) + ( 1/3 x 3/5 x 2/7 ) = 6/105 + 6/105 + 6/105 = 18 / 105=6/35

c.- ( 2/3 x 4/5 x 1/7 ) + ( 2/3 x 1/5 x 4/7 ) + ( 1/3 x 2/5 x 4/7 ) + (2/3 x 4/5 x 6/7 ) = 8/105 + 8/105 + 8/105 + 48/105 = 72 / 105

= 24/35

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Definición: Sean B1,B2,......Bk sucesos asociados a un espacio muestral S. Si se cumplen las siguientes condiciones:

i.- Bij = i j = 1,2,...,k

ii.- Bi = Siii.- P( Bi ) 0 i ; i = 1,2,...,k

Entonces diremos que B1,B2,....Bk forman una Partición del espacio muestral S

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Sea A un suceso asociado a un espacio muestral S y si B1,B2,....Bk una partición de S:

Luego A = (A1) (A) ........... (A)aún cuando algún Ai = i i = 1,2,...,k por lo tanto

P(A) = P((A1) (A) ..... (A))nos queda

P(A) = P(A1) + P(A2)+....................+ P (A)

Como;

Luego tenemos;P(A) = P(A/1) x P(B1) + P(A/) x P(B2) +......+ P(A/k) x P(Bk)

Esto se conoce como, Teorema de Probabilidad Total

)(

)()/(

BP

BAPBAP

)(*)/()( BPBAPBAP

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El Teorema de Probabilidad Total también se puedeEscribir como:

k

iii BPBAPAP

1

)(*)/()(

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Ejemplo: Cierto artículo es manufacturado por tres fábricas: F1, F2, F3. Se sabe que la F1, produce el doble de artículos que F2 y que esta y F3, producen el mismo número de artículos. También se sabe que el 2% de los artículos producidos por cada una de las dos primeras (F1 y F2), son defectuosos, mientras que el 4% de los producidos por F3, es defectuoso. Se ponen todos los artículos juntos, de las tres fábricas, y se elige uno al azar ; Determine:

1. Cuál es la probabilidad de que el artículo escogido sea defectuoso?

2. Si el artículo escogido es defectuoso, ¿Cuál es la probabilidad de que sea de F1 ?

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Sean los siguientes sucesos:

A = { el artículo es defectuoso}

Bi = { el artículo proviene de la Fi } i = 1, 2, 3

Luego tenemos:

B1 B2

B3

P(A) = P( (A1) (A) (A) )

A

S

= P(A/B1) P(B1) + P (A/B2) P(B2) + P (A/B3) P(B3)

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Sea ni: número de artículos que produce la Fi

y n = n1 + n2 + n3

Por lo tanto como : n1 = 2 n2 n2 = n3 entonces n1 = 2 n3

y poniendo todo en función de n3, tenemos:

n = 2 n3 + n3 + n3 = 4 n3

Luego P(B1) = n1/n = 2n3 / 4 n3 = 1/2 P(B2) = n2/n = n3 / 4 n3 = 1/4 P(B3) = n3/n = n3 / 4 n3 = 1/4

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Por otro lado tenemos:

P(A/B1) = 0.02P(A/B2) = 0.02P(A/B3) = 0.04

Por lo tanto:P(A) = P(A/B1) P(B1) + P (A/B2) P(B2) + P (A/B3) P(B3)

= 0.02 x 1/2 + 0.02 x 1/4 + 0.04 x 1/4 = 1/40 =0.025

y 2.- la probabilidad de que sea de la F1 dado que es defectuoso será P(B1/A) = P (A/B1) P(B1) / P(A)

= 0.02 x 1/2 / 0.025 = 0.4

P(B1) = ½P(B2) = ¼P(B3) = ¼

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Podemos decir que:

3

1

111

)(*)/(

)(*)/()/(

jjj BPBAP

BPBAPABP

4.04/1*04.04/1*02.02/1*02.0

5.0*02.0)/1(

ABP

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Generalizando tenemos:

Sea E un experimento, S un espacio muestral, B1….Bk. una partición de S, y A un suceso cualesquiera, Entonces:

kiBPBAP

BPBAPABP k

jjj

iii ...1;

)(*)/(

)(*)/()/(

1

Esto se conoce como Teorema de Bayes

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Sucesos Independientes

Sean A y B dos sucesos asociados a un espacio muestral SDiremos que son Independientes, cuando la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro.

A y B son sucesos Independientes, si y solo si

)()/(

)()/(

BPABP

APBAP

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Ejercicio

1. Si A está incluido en B, entonces B es independiente de A?

2. Si A y B son sucesos Mutuamente Excluyentes, entonces son Independientes?

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Sucesos Independientes

Ejemplo: Se lanza un dado dos veces, el evento se anota ( X1 , X2 ) donde, Xi es el resultado del lanzamiento i ( i = 1,2):

Si se definen: A = {(X1 , X2) / X1 es par } B = {(X1 , X2) / X2 es 4 o 5 }

2.- Determine:

P(A), P(B), P(A B), P( B/A), P(A/B)

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A = { (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6) (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6) (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) }

#A=18

B={(1,4), (1,5) (2,4), (2,5) (3,4), (3,5) (4,4), (4,5) (5,4), (5,5)

(6,4), (6,5) }

#B=12

P(A)= #A / #S = 18/ 36 = 1/2

Sabemos que el #S = 36

P(B) = #B / #S = 12 / 36 = 1/3

AB = {(2,4), (2,5) (4,4), (4,5) (6,4), (6,5) }

# AB = 6P(AB ) = # AB /#S = 6 / 36 = 1/6

2/13/1

6/1

)(

)()/(

BP

BAPBAP

3/12/1

6/1

)(

)()/(

AP

BAPABP

)(*)()( BPAPBAP )(AP

)(BP

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Definición

Sean A y B dos sucesos asociados a un espacio muestral SDiremos que son Independientes si y solo si:

)(*)()( BPAPBAP

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Suponga que 192 de 960 trabajos en una universidad son de alta prioridad; de éstos, 128 son propuestos por estudiantes. y 64 por el cuerpo docente. Del total, 640 trabajos son de los estudiantes y 320 de docentes. Si se selecciona un trabajo al azar. Determine:

a.- La probabilidad de que sea de alta prioridad y propuesto por un estudiante.b.-La probabilidad de que sea de alta prioridad, dado que sabemos que fue propuesto por un estudiante. c.- Es Independiente que el trabajo sea de alta prioridad, con que sea propuesto por un estudiante?

Ejercicio:

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EjercicioLa probabilidad de que un vehículo tenga un accidente en

Santiago es de 4/9, y la probabilidad de que un vehículo

tengan accidente en Buenos Aires es 8/15. Se elijen al azar un

Vehículo simultáneamente en cada ciudad, determine la probabilidad

de que tengan accidentes:

a.- Ambos

b.- Al menos uno

c.- Solo el de Buenos Aires

d.- Solo uno

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Ejercicio

Si A y B son sucesos Independientes,

_ _

entonces, ¿A y B son Independientes?

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F I N

Nos vemos en Variables Aleatorias