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PROCESADORES DIGITALES DE SEÑALES
Transformada Z - III
Sistemas Electrónicos, EPSG
Tema IVTransformada Z:
Contenido de la Sesión
Análisis en el dominio transformado: Ecuaciones en diferencia Función de transferencia
Sistemas LTI: Condición de estabilidad Condición de causalidad
Sistemas inversos
Ecuaciones en Diferencia
Sistemas LTI para los cuales la relación entre la entrada y la salida se expresa por una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes:
Se analizan mejor en el dominio de la TZ...
M
kk
N
kk knxbknya
00
Ecuaciones ( continuación...)
Aplicando la TZ y haciendo uso de las propiedades desplazamiento temporal y linealidad:
M
kk
N
kk knxbTZknyaTZ
00
M
kk
N
kk knxTZbknyTZa
00
Ecuaciones ( continuación...)
M
k
kk
N
k
kk zXzbzYza
00
)()(
)()(00
zXzbzYzaM
k
kk
N
k
kk
N
k
kk
M
k
kk
za
zb
zX
zYzH
0
0
)(
)()(
Expresión algebraica de la función de transferencia
Ecuaciones ( continuación...)
La expresión algebraica de H(z) como cociente de polinomios en z y z-1 resulta más conveniente expresarla en forma factorizada:
N
kk
M
kk
zd
zc
a
b
zX
zYzH
1
1
1
1
0
0
1
1
)(
)()(
Ecuaciones ( continuación...)
Cada uno de los factores (1-ckz-1) del numerador contribuye con un cero en z=ck y con un polo en z=0
Cada uno de los factores (1-dkz-1) del denominador contribuye con un cero en z=0 y con un polo en z=dk
Resultará inmediato pasar de la H(z) a la ecuación en diferencias y viceversa
Ejemplo Ecuaciones
Ejemplo 5.2 pp. 247 Oppenheim Sistema de segundo orden
Estabilidad y Causalidad
Si un sistema es LTI se cumplirá que Y(z)=H(z)X(z), resultando inmediato el poder pasar de la H(z) a la ecuación en diferencias y viceversa
Es necesario establecer condiciones adicionales de estabilidad y causalidad
Estabilidad (continuación...)
Suponemos que el sistema es causal: h[n] deberá ser una secuencia limitada
por la izquierda ROC de H(z) deberá ser el exterior del
polo más externo
Ejemplo 3.1 pp. 99 Oppenheim
Propiedad 5 de la ROC pp. 106 Oppenheim
Estabilidad (continuación...)
Suponemos que el sistema es estable: h[n] deberá ser absolutamente sumable Para |z|=1, la ROC de H(z) deberá incluir
la circunferencia unidad
n
n
n
znhnh
Ejemplo Estabilidad
Ejemplo 5.3 pp. 248 Oppenheim Determinación de la ROC
Fig. 5.4
Estabilidad (continuación...)
Sobre la estabilidad y causalidad: No son condiciones necesariamente
compatibles Para que un sistema LTI sea a la vez
estable y causal, la ROC de H(z) deberá ser el exterior del polo más externo e incluir la circunferencia unidad, lo que requiere que todos los polos estén en el interior de la circunferencia unidad
Sistemas Inversos
Dado un sistema LTI con una H(z), se define el sistema LTI inverso como un sistema con Hi(z) tal que si se coloca en cascada con H(z), la función efectiva de transferencia que resulta es la unidad:
)(
1)(1)()()(
zHzHzHzHzG ii
nnhnhng i
Sistemas (continuación...)
Nnxnxny
Generador de ecos
N=1000; % Retardo alfa=0.5; % Factor de atenuación
% Sistema con ecos b=[1 zeros(1,999) alfa];
% Filtrado ve=filter(b,1,voz); sound(ve,fs)% Reproducción con ecos
Generador de ecos en MATLAB...
Sistemas (continuación...)
jwNefXfXfY
jwNefXfY 1
jwNefX
fYfH 1
Generador de ecos
H(f) función de transferencia...
Sistemas (continuación...)
Sistema inverso al generador de ecos
Hi(f) función de transferencia inversa...
jwNefX
fYfH 1
jwNi efHfH
1
11
Sistemas (continuación...)
Sistema inverso al generador de ecos en MATLAB...
Sistema inverso al generador de ecos
nxNnyny
% Sistema a=[1 zeros(1,999) alfa];
% Señal sin ecos y=filter(1,a,ve); sound(y,fs) % Reproducción sin ecos
Sistemas (continuación...)
No todos los sistema tienen inverso: El filtro pasabajo ideal no tiene, dado
que no hay forma de recuperar componentes de frecuencia por encima de la frecuencia de corte del mismo
Muchos sistemas tienen inverso, siendo útiles aquellos con H(z) racional...
Sistemas (continuación...)
N
kk
M
kk
zd
zc
a
bzH
1
1
1
1
0
0
1
1)(
Adición de posibles ceros y/o polos en z=0 y z=
Ceros en z=ck y polos en z=dk
Sistemas (continuación...)
M
kk
N
kk
i
zc
zd
b
a
zHzH
1
1
1
1
0
0
1
1
)(
1)(
Los polos de Hi(z) son los ceros de H(z) y viceversa
Sistemas (continuación...)
Para que g[n]=h[n]*hi[n]=[n] tenga sentido, las ROCs de H(z) y Hi(z) deben solaparse
Si H(z) es causal, su ROC será:
kkdmaxz
Cualquier ROC de Hi(z) que se solape será válida
Ejemplo Sistemas Inversos
Ejemplo 5.4 pp. 250 Oppenheim Sistema inverso de un sistema de
primer orden
Ejemplo 5.5 pp. 251 Sistema inverso de un sistema con un
cero en la región de convergencia
Sistemas (continuación...)
Si H(z) es un sistema causal con ceros en ck, k=1,..., M, el sistema inverso será causal si y sólo si asociamos a Hi(z) la región de convergencia:
kkcmaxz
Sistemas (continuación...)
Si a la vez se desea que el sistema inverso sea estable, entonces la región de convergencia de Hi(z) deberá contener a la circunferencia unidad:
1kkcmax
Sistemas (continuación...)
Un sistema LTI que es causal y estable tendrá un sistema inverso también causal y estable si y sólo si los ceros y los polos de H(z) están en el interior de la circunferencia unidad: Estos sistemas LTI se denominan
sistemas de fase mínima
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