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Geometría – Rectas Paralelas ~1~ NJCTL.org
Problemas del capítulo rectas paralelas Rectas: intersección, paralelas y oblicuas Trabajo en clase – Utiliza la imagen 1
1. Nombra todos los segmentos paralelos a 𝐺𝐻̅̅ ̅̅ :
2. Nombra todos los segmentos oblicuos a 𝐺𝐻̅̅ ̅̅ :
3. Nombra los segmentos que se intersectan con 𝐺𝐻̅̅ ̅̅ :
4. Los segmentos 𝐺𝐻̅̅ ̅̅ y 𝐵𝐴̅̅ ̅̅ son coplanares? Explica tu respuesta.
5. Los segmentos 𝐺𝐻̅̅ ̅̅ y 𝐵𝐹̅̅ ̅̅ son coplanares? Explica tu respuesta.
¿Cada enunciado es verdadero siempre, algunas veces o nunca? 6. Dos rectas que se intersectan son oblicuas. 7. Dos rectas paralelas son coplanares. 8. Dos rectas en el mismo plano son paralelas. 9. Dos rectas que no se intersectan son paralelas. 10. Dos rectas oblicuas son coplanares. Rectas: Intersección, paralelas y oblicuas Trabajo en casa - Utiliza la imagen 1
11. Nombra todos los segmentos paralelos a 𝐹𝐸̅̅ ̅̅ :
12. Nombra todos los segmentos oblicuos a 𝐹𝐸̅̅ ̅̅ :
13. Nombra todos los segmentos que se intersecten con 𝐹𝐸̅̅ ̅̅ :
14. ¿Los segmentos 𝐹𝐸̅̅ ̅̅ y 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ son coplanares? Explica tu respuesta.
15. ¿Los segmentos 𝐹𝐸̅̅ ̅̅ y 𝐻𝐷̅̅ ̅̅ son coplanares? Explica tu respuesta. Indica cuales de las siguientes afirmaciones son siempre, algunas veces o nunca verdaderas: 16. Dos rectas coplanares son oblicuas. 17. Dos rectas que se intersectan están siempre en el mismo plano. 18. Dos rectas del mismo plano son paralelas. Rectas y Transversales Clasifica cada para de ángulos como alterno interior, alterno exterior, interior del mismo lado, exterior del mismo lado, ángulos correspondientes o ninguno de éstos. 19. ∠11 y ∠16 son
20. ∠12 y ∠2 son
21. ∠14 y ∠8 son
22. ∠6 y ∠16 son
23. ∠7 y ∠14 son
24. ∠3 y ∠16 son
Imagen 1
Geometría – Rectas Paralelas ~2~ NJCTL.org
Clasifica cada para de ángulos como alterno interior, alterno exterior, interior del mismo lado, exterior del mismo lado, ángulos correspondientes o ninguno de éstos.
25. ∠7 y ∠12 26. ∠3 y ∠6 27. ∠6 y ∠11
28. ∠7 y ∠11 29. ∠4 y ∠10 30. ∠14 y ∠16 31. ∠2 y ∠3
32. ∠2 y ∠10 Rectas paralelas y demostraciones Trabajo en clase Une cada expresión/ecuación con la propiedad utilizada para llegar a la conclusión. 33. AB = AB 34. Si m∠A = m∠B y m∠B = m∠C, entonces
m∠A = m∠C.
35. Si x + y = 9 e y = 5, entonces x + 5 = 9. 36. Si DE = FG, entonces FG = DE.
a) Propiedad sustitutiva de igualdad b) Propiedad transitiva de igualdad c) Propiedad reflexiva de igualdad
d) Propiedad simétrica de igualdad
Preguntas de muestra para la prueba tipo PARCC: 37. Prueba de ángulos exteriores alternos: Completa la prueba completando con el “banco de
razones” de más abajo. Dado: recta m || recta k
Probar: ∠2 ≅ ∠8
Enunciados Razones
1. recta m || recta k 1.
2. ∠2 ≅ ∠6 2.
3. ∠6 ≅ ∠8 3.
4. ∠2 ≅ ∠8 4.
Banco de razones a) Propiedad transitiva de congruencia b) Si 2 rectas paralelas se cortan de
formar transversal, entonces los ángulos correspondientes son congruentes.
c) Los ángulos verticales son congruentes.
d) Dado
Geometría – Rectas Paralelas ~3~ NJCTL.org
Preguntas de muestra para la prueba tipo PARCC: 38. Prueba de ángulos interiores del mismo lado: Completa la prueba completando las
razones faltantes con las razones del “banco de razones” de abajo. Algunas razones pueden utilizarse más que una vez.
Dado: recta m || recta k
Probar: ∠5 y ∠4 son suplementarios
Rectas paralelas y pruebas Trabajo en casa Para N°39-42 une la descripción de la izquierda con el nombre de la propiedad de la derecha. 39. ∠A ≅ ∠B y ∠B ≅ ∠C, entonces ∠A ≅ ∠C. a) Propiedad sustitutiva de igualdad 40. Si bc = 77 y b = 11, entonces 11c = 77. b) Propiedad transitiva de congruencia
41. Si ∠P ≅ ∠M, entonces ∠M ≅ ∠P. c) Propiedad reflexiva de igualdad 42. QR = QR d) Propiedad simétrica de congruencia
Enunciados Razones
1. Recta m || recta k 1.
2. ∠1 ≅ ∠5 2.
3. m∠1 = m∠5 3.
4. ∠1 & ∠4 son suplementarios 4.
5. m∠1 + m∠4 = 180 5.
6. m∠5 + m∠4 = 180 6.
7. ∠5 y ∠4 son suplementarios 7.
Banco de razones
a) Los ángulos que forman un par lineal son suplementarios.
b) Propiedad sustitutiva de igualdad. c) Definición de ángulos suplementarios d) Si 2 rectas paralelas se cortan por una
transversal, los ángulos correspondientes son congruentes.
e) Definición de ángulos congruentes. f) Dado
Geometría – Rectas Paralelas ~4~ NJCTL.org
Preguntas tipo PARCC: 43. Prueba de ángulos alternos interiores: Completa la prueba completando las razones
faltantes con el “banco de razones” de abajo. Dado: recta m || recta k
Probar: ∠3 ≅ ∠5
Enunciados Razones
1. recta m || recta k 1.
2. ∠3 ≅ ∠7 2.
3. ∠7 ≅ ∠5 3.
4. ∠3 ≅ ∠5 4.
Banco de razones
a) Ángulos verticales son congruentes. b) Dado. c) Propiedad transitiva de congruencia. d) Si 2 rectas paralelas son cortadas por una
transversal, entonces los ángulos correspondientes son congruentes.
Geometría – Rectas Paralelas ~5~ NJCTL.org
Preguntas tipo PARCC: 44. Prueba de ángulos exteriores del mismo lado: Completa la prueba completando las
razones faltantes con las razones del “banco de razones” de abajo. Algunas razones pueden ser utilizadas más de una vez.
Dado: recta m || recta k
Probar: ∠1 & ∠8 son suplementarios
Propiedades de rectas paralelas Trabajo en clase Utiliza el diagrama dado para responder a los problemas N°33-41.
Si m∠9 = 54°, entonces hallar los siguientes ángulos:
45. m∠1=
46. m∠2=
47. m∠4=
48. m∠5=
49. m∠15=
Enunciados Razones
1. recta m || recta k 1.
2. ∠1 ≅ ∠5 2.
3. m∠1 = m∠5 3.
4. ∠5 y ∠8 son suplementarios
4.
5. m∠5 + m∠8 = 180 5.
6. m∠1 + m∠8 = 180 6.
7. ∠1 y ∠8 son suplementarios
7.
Banco de razones
a) Definición de ángulos suplementarios b) Si 2 rectas paralelas son cortadas por una
transversal, entonces los ángulos correspondientes son congruentes.
c) Dado d) Definición de ángulos congruentes. e) Ángulos que forman un par lineal son
suplementarios. f) Propiedad sustitutiva de igualdad
Geometría – Rectas Paralelas ~6~ NJCTL.org
Si m∠2 = (12x-54)° y m∠10 = (7x+26)°, entonces halla los siguientes ángulos: 50. m∠6= 51. m∠11=
52. m∠9= 53. m∠16= Encuentra los valores de las variables desconocidas en cada figura. (N° 54-58) 54. 55. 56.
57. 58.
Geometría – Rectas Paralelas ~7~ NJCTL.org
Halla el valor de cada uno de los siguientes ángulos:
59. m∠1= 60. m∠2= 61. m∠3=
62. m∠4= 63. m∠5= Indica cuales segmentos (si hay) son paralelos. 64. 65. 66. Resuelve las incógnitas 67. 68.
Geometría – Rectas Paralelas ~8~ NJCTL.org
Propiedades de rectas paralelas Trabajo en casa
Si m∠9 = 62°, entonces halla los valores de los siguientes ángulos: 69. m∠1= 70. m∠2=
71. m∠4= 72. m∠5= 73. m∠15=
Si m ∠2 = (14x-24)° y m ∠10 = (6x+72)°, entonces hallar los valores de los siguientes ángulos:
74. m∠6= 75. m∠11= 76. m∠9= 77. m∠16= Halla los valores de las variables desconocidas en cada figura. ( N°78-82) 78. 79. 80. 81. 82.
Geometría – Rectas Paralelas ~9~ NJCTL.org
Halla las medidas de los siguientes ángulos:
83. m∠1= 84. m∠2= 85. m∠3=
86. m∠4= 87. m∠5= Indica cuales segmentos (si hay) son paralelos. 88.
90. 89. 91. 92.
124°
124°
D C
BA
Geometría – Rectas Paralelas ~10~ NJCTL.org
Construyendo rectas paralelas Trabajo en clase 93. Construye una recta m que sea paralela a la recta / que pase por el punto C utilizando el método indicado. Ángulos correspondientes 94. Análisis de error: Una persona construyó la recta n que pasa por el punto D de modo tal que es paralela a la recta / utilizando el método de ángulos alternos interiores. Utilizando sus marcas indica su error.
95. Utiliza las técnicas de plegado de papel para construir rectas paralelas.
Geometría – Rectas Paralelas ~11~ NJCTL.org
Construyendo rectas paralelas Trabajo en casa 96. Análisis de error: Una persona construyó una recta n que pasa por el punto D de modo tal que es paralela a la recta / usando el método de ángulos alternos exteriores. Usando sus marcas indica su error.
. 97. Construye rectas paralelas utilizando una regla y un compás usando ángulos alternos interiores. 98. Construye rectas paralelas utilizando una regla y un compás usando ángulos alternos exteriores.
Geometría – Rectas Paralelas ~12~ NJCTL.org
Preguntas tipo PARCC: 99. La figura muestra la recta j, los puntos C y B están sobre la recta j y el punto A no está sobre la recta j. También se muestra la recta AB.
Parte A:
Considera la construcción parcial de una recta paralela a j que pase por el punto A. ¿Cuál sería el paso final en la construcción?
a) Dibuja una recta que pase por los puntos B y F b) Dibuja una recta que pase por los puntos C y F c) Dibuja una recta que pase por los puntos A y F d) Dibuja una recta que pase por los puntos A y G
Parte B: Una vez que esté completa la construcción ¿cuál de las siguientes razones listadas contribuye a proveer la validez de la construcción?
a) Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos correspondientes son congruentes. b) Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos alternos externos son congruentes. c) Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos interiores del mismo lado son suplementarios. d) Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos alternos internos son congruentes.
jBC
A
jG
F
BC
A
Geometría – Rectas Paralelas ~13~ NJCTL.org
Preguntas tipo PARCC: 100. La figura muestra la recta p; los puntos H, K, y M están sobre la recta p, y el punto J no está sobre la recta p. También se muestra la recta JK.
Parte A:
Considera la construcción parcial de una recta paralela a p que pasa por el punto J. ¿Cuál sería el último paso en la construcción?
a) Dibuja una recta que pasa por los puntos K y N b) Dibuja una recta que pasa por los puntos J y N c) Dibuja una recta que pasa por los puntos H y N d) Dibuja una recta que pasa por los puntos M y M
Parte B: Una vez que la construcción esté completa ¿cuál de las siguientes razones listadas contribuye a proveer la validez de la construcción?
a) Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos correspondientes son congruentes. b) Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos alternos externos son congruentes. c) Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos interiores del mismo lado son suplementarios. d) Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos alternos internos son congruentes.
pMKH
J
p
N
MKH
J
Geometría – Rectas Paralelas ~14~ NJCTL.org
Revisión de rectas paralelas Opción múltiple
1. Nombra el segmento paralelo a 𝐺𝐻̅̅ ̅̅ y oblicuo a 𝐸𝐴̅̅ ̅̅ .
a. 𝐹𝐵̅̅ ̅̅
b. 𝐷𝐴̅̅ ̅̅
c. 𝐽�̅�
d. 𝐻𝐷̅̅ ̅̅
2. Nombra el segmento paralelo a 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ y oblicuo a 𝐸𝐼.̅̅ ̅̅
a. 𝐹𝐵̅̅ ̅̅
b. 𝐷𝐴̅̅ ̅̅
c. 𝐽�̅�
d. 𝐻𝐷̅̅ ̅̅
3. Determina si los enunciados son siempre, algunas veces o nunca verdaderos:
Dos rectas oblicuas son coplanares. a. Siempre b. Algunas veces
c. Nunca
4. Determina si los enunciados son siempre, algunas veces o nunca verdaderos: Dos rectas que se intersectan son coplanares a. Siempre
b. Algunas veces c. Nunca
5. Determina si los enunciados son siempre, algunas veces o nunca verdaderos: Dos rectas que no se intersectan son oblicuas. a. Siempre b. Algunas veces
c. Nunca
6. Determina la relación entre ∠1 y ∠10. a. Alterno interior b. Interior del mismo lado c. Ángulos correspondientes d. Ninguno de los anteriores
7. Determina la relación entre ∠5 y ∠15. a. Alterno Exterior b. Alterno Interior
c. Interior del mismo lado d. ninguno de los anteriores
Geometría – Rectas Paralelas ~15~ NJCTL.org
8. Dado en el diagrama de la derecha, m∠2=3x-10 y m∠15=2x+30 , ¿Cuál es m∠12? a. 32o b. 40o c. 86o d. 110o
9. Dado en el diagrama de la derecha,
m∠5= (7x+2)° y m∠11=(5x+14)°, ¿Cuál es m∠14? a. 6° b. 44° c. 46° d. 136°
En 10-11, usa el diagrama de la derecha.
10. Dado ∠2 ≅ ∠6, que justifica que k || m. a. Conversar sobre Teorema de ángulos alternos internos b. Conversar sobre Teorema de ángulos alternos exteriores c. Conversar sobre Teorema de ángulos correspondientes d. No hay suficiente información de paralelismo
11. Dado n || p , que justifica ∠1 ≅ ∠12 a. Teorema de ángulos internos alternos b. Teorema de ángulos exteriores alternos c. Teorema ángulos correspondientes d. No hay suficiente información para realizar el enunciado
Respuesta de construcción extendida 1. Completa la prueba completando las razones faltantes con el “banco de razones” de la derecha. Algunas razones pueden utilizarse más de una vez.
Dado: ∠1 ≅ ∠3; 𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅ || 𝑃𝑄̅̅ ̅̅
Probar: ∠2≅∠3
Enunciados Razones
1. ∠1 ≅ ∠3 1.
2. 𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅ || 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ 2.
3. ∠1 ≅ ∠2 3.
4. ∠2≅∠3 4.
3 2
1
M N
QP
Banco de razones
a) Propiedad transitiva de congruencia
b) Si 2 rectas paralelas son cortadas por una
transversal, entonces los ángulos interiores
alternos son congruentes.
c) Dado
Geometría – Rectas Paralelas ~16~ NJCTL.org
2. Completa la prueba completando en las razones faltantes con el “banco de razones” de la derecha. Algunas razones pueden utilizarse más de una vez. Dado: n || p, k || m
Probar: ∠2 y ∠13 son suplementarios
Enunciados Razones
1. n || p, k || m 1.
2. ∠2 ≅ ∠12 2.
3. ∠12 ≅ ∠14 3.
4. ∠2 ≅ ∠14 4.
5. m∠2 = m∠14 5.
6. m∠13 & m∠14 son suplementarios
6.
7. m∠13 + m∠14 = 180° 7.
8. m∠13 + m∠2 = 180° 8.
9. ∠2 &∠13 son suplementarios 9.
3. Usando un compás y una regla, construye líneas paralelas. Puedes utilizar cualquier método de tu elección.
Banco de razones
a) Propiedad transitiva de congruencia b) Definición de ángulos suplementarios c) Si 2 rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos interiores alternos son congruentes. d) Definición de ángulos congruentes e) Dado f) Si 2 rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos exteriores alternos son congruentes. g) Los ángulos que forman un par lineal son suplementarios. h) Propiedad sustitutiva de igualdad
Geometría – Rectas Paralelas ~17~ NJCTL.org
Respuestas
1. Segmentos 𝐽�̅�,𝐹𝐸̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐴̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅
Segmentos 𝐽𝐹̅̅ ̅,𝐼𝐸̅̅ ̅, 𝐹𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐸𝐴̅̅ ̅̅
2. Segmentos 𝐺𝐽̅̅ ̅, 𝐺𝐹̅̅ ̅̅ , 𝐺𝐶̅̅ ̅̅ ,
𝐻𝐼̅̅̅̅ , 𝐻𝐸̅̅ ̅̅ , 𝐻𝐷̅̅ ̅̅
3. Sí, porque los segmentos son
paralelos
4. No, son rectas oblicuas,
entonces no son coplanares.
5. Nunca
6. Siempre
7. Algunas veces
8. Algunas veces
9. Nunca
10. Segmentos 𝐽�̅�, 𝐺𝐻̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐴̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅
11. Segmentos 𝐻𝐼̅̅̅̅ , 𝐺𝐽̅̅ ̅, 𝐶𝐺̅̅ ̅̅ , 𝐷𝐻̅̅ ̅̅
12. Segmentos 𝐹𝐺̅̅ ̅̅ , 𝐹𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐹𝐽̅̅ ̅, 𝐸𝐴̅̅ ̅̅ ,
𝐹𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐸𝐻̅̅ ̅̅ , 𝐸𝐼̅̅ ̅
13. Sí, porque son paralelas
14. No, son rectas oblicuas, por lo
tanto no son coplanares
15. Nunca
16. Siempre
17. Algunas veces
18. Interior del mismo lado
19. Ninguna de éstas
20. Interior alterno
21. Correspondiente
22. Interior del mismo lado
23. Ninguno de estos
24. Correspondiente
25. Mismo lado
26. Alterno interior
27. Correspondiente
28. Correspondiente
29. Interior mismo lado
30. Ninguno de estos
31. Ninguno de estos
32. c. Propiedad reflexiva de
igualdad
33. b. Propiedad transitiva de
igualdad
34. a. Propiedad sustitutiva de
igualdad
35. d. Propiedad simétrica de
igualdad
36. Las razones de prueba
deberían ser:
Enunciados Razones
1. recta m || recta k 1. d.
2. ∠2 ≅ ∠6 2. b.
3. ∠6 ≅ ∠8 3. c.
4. ∠2 ≅ ∠8 4. a.
37. Las razones de prueba
deberían ser:
Enunciados Razones
1. recta m || recta k 1. f. 2. ∠1 ≅ ∠5 2. d.
3. m∠1 = m∠5 3. e.
4. ∠1 & ∠4 son suplementarios
4. a.
5. m∠1 + m∠4 = 180°
5. c.
6. m∠5 + m∠4 = 180°
6. b.
7. ∠5 & ∠4 son suplementarios
7. c.
38. b. Propiedad transitiva de
congruencia
39. a. Propiedad sustitutiva de
igualdad
40. d. Propiedad simétrica de
congruencia
41. c. Propiedad reflexiva de
igualdad
Geometría – Rectas Paralelas ~18~ NJCTL.org
42. Las razones de la prueba
deberían ser:
Enunciados Razones
1. line m || line k 1. b.
2. ∠3 ≅ ∠7 2. d.
3. ∠7 ≅ ∠5 3. a.
4. ∠3 ≅ ∠5 4. c.
43. Las razones de prueba
deberían ser:
Enunciados Razones
1. recta m || recta k 1. c.
2. ∠1 ≅ ∠5 2. b.
3. m∠1 = m∠5 3. d.
4. ∠5 & ∠8 son suplementarios
4. e.
5. m∠5 + m∠8 = 180
5. a.
6. m∠1 + m∠8 = 180
6. f.
7. ∠1 & ∠8 son suplementarios
7. a.
44. 54°
45. 126°
46. 126°
47. 54°
48. 54°
49. 138°
50. 42°
51. 42°
52. 138°
53. x= 144°
54. x= 64° y y= 49/4
55. x=6; z=2
56. x=24, y=11; z=22/5
57. x=33; y=2
58. 44°
59. 107°
60. 29°
61. 29°
62. 136°
63. Los segmentos 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ y 𝐵𝐶 ̅̅ ̅̅ ̅son
paralelos
64. Los segmentos 𝑂𝑃̅̅ ̅̅ y 𝑅𝑆 ̅̅ ̅̅ son
paralelos
65. Ninguno de estos
66. x=9 y y=8 y z=7
67. x=8 y y=7
68. 62°
69. 118°
70. 118°
71. 62°
72. 62°
73. 144°
74. 36°
75. 36°
76. 144°
77. x=55°
78. x=86° y y=7
79. x=9; y=6; z=7
80. x=15; y=10; z=8
81. x=25; y=3
82. 41°
83. 106°
84. 33°
85. 33°
86. 129°
87. No puede determinarse
88. Los segmentos 𝑁𝐾̅̅̅̅̅ y 𝑀𝐿̅̅ ̅̅ son
paralelos
89. Los segmentos 𝑄𝑃̅̅ ̅̅ y 𝑇𝑆 ̅̅ ̅̅ son
paralelos
90. x=6; y=12; z=7
91. x=18; y=7
92. Ver el trabajo del estudiante
93. hecho en el mismo interior del
mismo lado
94. Ver el trabajo del estudiante
Geometría – Rectas Paralelas ~19~ NJCTL.org
95. Realizar ángulos congruentes
que deberían ser
suplementarios.
96. Ver el trabajo del estudiante
97. Ver el trabajo del estudiante
98. Parte A: c y Parte B: d
99. Parte A: b y Parte B: b
Revisión de opción múltiple 1. c 2. b 3. c 4. a 5. b 6. c 7. a 8. c 9. d 10. c 11. d
RESPUESTA DE CONSTRUCCIÓN EXTENDIDA 1.
Enunciados Razones
∠1 ≅ ∠3 c. Dado
𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅ || 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ c. Dado
∠1 ≅ ∠2 b. Teorema de ángulos alternos internos
∠2≅∠3 a. Propiedad transitiva de la congruencia
Enunciados Razones
1. n || p, k || m 1. e
2. ∠2≅∠12 2. f
3. ∠12≅∠14 3. c
4. ∠2≅∠14 4. a
5. m∠2+m∠14 5. d
6. ∠13 & ∠14 son 6. g
suplementarios
7. m∠13 = m∠14 = 180° 7. b
8. m∠13 + m∠2 = 180° 8. h
9. ∠2 & ∠13 son suplementarios
9. b
3. Ver el trabajo del estudiante
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