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203/11/2020
Un proyectil de 100 g atraviesa una pared de 30 cm de grosor. Su velocidad en el momento de penetraren la pared es de 200 m/s, y al salir de 100 m/s. Calcular: a) el trabajo realizado por el proyectil; b) lafuerza, supuesta constante, que opone la resistencia de la pared.
303/11/2020
Un proyectil de 100 g atraviesa una pared de 30 cm de grosor. Su velocidad en el momento de penetraren la pared es de 200 m/s, y al salir de 100 m/s. Calcular: a) el trabajo realizado por el proyectil; b) lafuerza, supuesta constante, que opone la resistencia de la pared.
1. Planteamiento
vA=200 m/s
x=30 cm= 0.3 m
vB=100 m/s
x=30 cm= 0.3 m
403/11/2020
Un proyectil de 100 g atraviesa una pared de 30 cm de grosor. Su velocidad en el momento de penetraren la pared es de 200 m/s, y al salir de 100 m/s. Calcular: a) el trabajo realizado por el proyectil; b) lafuerza, supuesta constante, que opone la resistencia de la pared.
1. Planteamiento
vA=200 m/s
x=30 cm= 0.3 m
vB=100 m/s
x=30 cm= 0.3 m
( )2 21( ) ( ) 1500 J2
NETAAB C C C B AW E E B E A m v v= ∆ = − = − = −
2. Por definición, la variación de la energía cinética es igual al trabajo de la fuerza neta que actúa sobre la bala, es decir:
503/11/2020
Un proyectil de 100 g atraviesa una pared de 30 cm de grosor. Su velocidad en el momento de penetraren la pared es de 200 m/s, y al salir de 100 m/s. Calcular: a) el trabajo realizado por el proyectil; b) lafuerza, supuesta constante, que opone la resistencia de la pared.
1. Planteamiento
vA=200 m/s
x=30 cm= 0.3 m
vB=100 m/s
x=30 cm= 0.3 m
( )2 21( ) ( ) 1500 J2
NETAAB C C C B AW E E B E A m v v= ∆ = − = − = −
2. Por definición, la variación de la energía cinética es igual al trabajo de la fuerza neta que actúa sobre la bala, es decir:
3. Por la tercera ley de Newton la fuerza que realiza la pared sobre la bala es de igual magnitud, dirección, y sentido contrario a la fuerza que la bala hace sobre la pared, por lo tanto, el trabajo realizado por el proyectil sobre la pared será igual a:
1500 JBalaW =
603/11/2020
Un proyectil de 100 g atraviesa una pared de 30 cm de grosor. Su velocidad en el momento de penetraren la pared es de 200 m/s, y al salir de 100 m/s. Calcular: a) el trabajo realizado por el proyectil; b) lafuerza, supuesta constante, que opone la resistencia de la pared.
1. Planteamiento
vA=200 m/s
x=30 cm= 0.3 m
vB=100 m/s
x=30 cm= 0.3 m
( )2 21( ) ( ) 1500 J2
NETAAB C C C B AW E E B E A m v v= ∆ = − = − = −
2. Por definición, la variación de la energía cinética es igual al trabajo de la fuerza neta que actúa sobre la bala, es decir:
3. Por la tercera ley de Newton la fuerza que realiza la pared sobre la bala es de igual magnitud, dirección, y sentido contrario a la fuerza que la bala hace sobre la pared, por lo tanto, el trabajo realizado por el proyectil sobre la pared será igual a:
1500 JBalaW =
4. Si la fuerza es constante y es tangente a la trayectoria el trabajo que realiza viene dado por la expresión:
0.3 1500 J 5000 NBNETA
AB AW F dx Fx F F= ± = − = − ⋅ = − ⇒ =∫
703/11/2020
Un cuerpo de 100 g se impulsa a lo largo de un plano inclinado 30º con una velocidad de 5 m/sascendiente por él, hasta pararse. Si µ=0.2, determinar: a) el espacio recorrido hasta pararse; b) elaumento de energía potencial experimentado por el cuerpo y el trabajo desarrollado por las fuerzas derozamiento.
803/11/2020
Un cuerpo de 100 g se impulsa a lo largo de un plano inclinado 30º con una velocidad de 5 m/sascendiente por él, hasta pararse. Si µ=0.2, determinar: a) el espacio recorrido hasta pararse; b) elaumento de energía potencial experimentado por el cuerpo y el trabajo desarrollado por las fuerzas derozamiento.
1. Planteamiento
A
B
θ=30º
903/11/2020
Un cuerpo de 100 g se impulsa a lo largo de un plano inclinado 30º con una velocidad de 5 m/sascendiente por él, hasta pararse. Si µ=0.2, determinar: a) el espacio recorrido hasta pararse; b) elaumento de energía potencial experimentado por el cuerpo y el trabajo desarrollado por las fuerzas derozamiento.
1. Planteamiento
A
B2. La única fuerza conservativa que actúan sobre el sistema esla fuerza gravitatoria, por lo tanto, la variación de la energíamecánica será en este caso de la forma:
2 21 12 2
M C PG
C M
PG
E E E
E mv E mv mgh
E mgh
= +
= ⇒ = +
=
22
1( ) 1( ) ( )22( )
M AM M M A
M
E A mvE E B E A mgH mv
E B mgH
=⇒ ∆ = − = −
=
Origen de energíapotencial gravitatoria
H
θ=30º
L
sin( )H L= θ
21sin( )2M AE mgL mv∆ = θ −
1003/11/2020
Un cuerpo de 100 g se impulsa a lo largo de un plano inclinado 30º con una velocidad de 5 m/sascendiente por él, hasta pararse. Si µ=0.2, determinar: a) el espacio recorrido hasta pararse; b) elaumento de energía potencial experimentado por el cuerpo y el trabajo desarrollado por las fuerzas derozamiento.
1. Planteamiento
A
B2. La única fuerza conservativa que actúan sobre el sistema esla fuerza gravitatoria, por lo tanto, la variación de la energíamecánica será en este caso de la forma:
Origen de energíapotencial gravitatoria
H
θ=30º
L21sin( )
2M AE mgL mv∆ = θ −
3. Por otro lado, la única fuerza no conservativaque actúa sobre el sistema es la fuerza derozamiento y el trabajo que realiza es igual a:
( )
1
cos( )cos( )
n B B Bno conservativas
i r rA A Ai
y
r
F dr F dr F dx
N P PF N P
cos( )
B B Br r r rAA A
y
F dr F dx F x F L
P L mg L
P
N
rF
xP
yP
ˆxuˆyu
1103/11/2020
Un cuerpo de 100 g se impulsa a lo largo de un plano inclinado 30º con una velocidad de 5 m/sascendiente por él, hasta pararse. Si µ=0.2, determinar: a) el espacio recorrido hasta pararse; b) elaumento de energía potencial experimentado por el cuerpo y el trabajo desarrollado por la fuerza derozamiento.
1. Planteamiento
A
B2. La única fuerza conservativa que actúan sobre el sistema esla fuerza gravitatoria, por lo tanto, la variación de la energíamecánica será en este caso de la forma:
Origen de energíapotencial gravitatoria
H
θ=30º
L21sin( )
2M AE mgL mv∆ = θ −
3. Por otro lado, la única fuerza no conservativaque actúa sobre el sistema es la fuerza derozamiento y el trabajo que realiza es igual a:
cos( )B
rAF dr mg L
P
N
rF
xP
yP
ˆxuˆyu
4. Utilizamos el teorema de la variación de laenergía mecánica.
( )
1
n Bno conservativas
M iAi
E F dr
21sin( ) cos( )2 AmgL mv mg Lθ − = −µ θ
( )2
1.86 m2 sin( ) cos( )
AvLg
= =θ +µ θ
1203/11/2020
Un cuerpo de 100 g se impulsa a lo largo de un plano inclinado 30º con una velocidad de 5 m/sascendiente por él, hasta pararse. Si µ=0.2, determinar: a) el espacio recorrido hasta pararse; b) elaumento de energía potencial experimentado por el cuerpo y el trabajo desarrollado por la fuerza derozamiento.
6. Por otro lado, el aumento de energía potencial gravitatoria será:
A
B
Origen de energíapotencial gravitatoria
H
θ=30º
L
sin( ) 0.93 JPGE mgH mgL∆ = = θ =
P
N
rF
xP
yP
ˆxuˆyu
1303/11/2020
Un cuerpo de 100 g se impulsa a lo largo de un plano inclinado 30º con una velocidad de 5 m/sascendiente por él, hasta pararse. Si µ=0.2, determinar: a) el espacio recorrido hasta pararse; b) elaumento de energía potencial experimentado por el cuerpo y el trabajo desarrollado por la fuerza derozamiento.
6. Por otro lado, el aumento de energía potencial gravitatoria será:
A
B
Origen de energíapotencial gravitatoria
H
θ=30º
L
sin( ) 0.93 JPGE mgH mgL∆ = = θ =
P
N
rF
xP
yP
ˆxuˆyu
7. Finalmente, el trabajo de la fuerza de rozamiento lo podemos hallar a partir de:
cos( )B
rAF dr mg L
21sin( ) 0.32 J2
B
r M AAF dr E mgL mv
o bien
1403/11/2020
De los extremos de una polea cuelgan dos masas de 350 g y 250 g respectivamente, que inicialmente semantienen ambas a 60 cm del suelo. Se deja evolucionar libremente el sistema. Obtener: a) velocidadcon que llega al suelo la masa mayor; b) máxima altura sobre el nivel del suelo a la que llega la masamás pequeña; c) pérdidas de energía hasta que el sistema vuelve al reposo.
m1 m2
m1
m2
H=60 cm=0.6 m
H=0.6 m
2v
m1
m2
H=0.6 m
H1
1. Planteamiento.
1503/11/2020
De los extremos de una polea cuelgan dos masas de 350 g y 250 g respectivamente, que inicialmente semantienen ambas a 60 cm del suelo. Se deja evolucionar libremente el sistema. Obtener: a) velocidadcon que llega al suelo la masa mayor; b) máxima altura sobre el nivel del suelo a la que llega la masamás pequeña; c) pérdidas de energía hasta que el sistema vuelve al reposo.
m1
m2
H=0.6 m
2. La única fuerza conservativa que actúan sobre el sistema es la fuerzagravitatoria, por lo tanto, la energía mecánica será en este caso de la forma:
1 2 1 2
2 2 21 2 1 2
1 1 1 (2 )2 2 2
M C C PG PG
C M
PG
E E E E E
E mv E m v m v m gh m g H h
E mgh
= + + +
= ⇒ = + + + −
=
h
Origen de energíapotencial gravitatoria
21 2 2 1 2
1 ( ) 2 ( )2ME m m v m gH m m gh= + + + −
1603/11/2020
De los extremos de una polea cuelgan dos masas de 350 g y 250 g respectivamente, que inicialmente semantienen ambas a 60 cm del suelo. Se deja evolucionar libremente el sistema. Obtener: a) velocidadcon que llega al suelo la masa mayor; b) máxima altura sobre el nivel del suelo a la que llega la masamás pequeña; c) pérdidas de energía hasta que el sistema vuelve al reposo.
m1
m2
H=0.6 m
2. La única fuerza conservativa que actúan sobre el sistema es la fuerzagravitatoria, por lo tanto, la energía mecánica será en este caso de la forma:
h
Origen de energíapotencial gravitatoria
21 2 2 1 2
1 ( ) 2 ( )2ME m m v m gH m m gh= + + + −
3. Evaluando la energía mecánica en el punto inicial tenemos:
2 1 2 1 2( ) 2 ( ) ( )ME A m gH m m gH m m gH= + − = +
1703/11/2020
De los extremos de una polea cuelgan dos masas de 350 g y 250 g respectivamente, que inicialmente semantienen ambas a 60 cm del suelo. Se deja evolucionar libremente el sistema. Obtener: a) velocidadcon que llega al suelo la masa mayor; b) máxima altura sobre el nivel del suelo a la que llega la masamás pequeña; c) pérdidas de energía hasta que el sistema vuelve al reposo.
m1
m2
H=0.6 m
2. La única fuerza conservativa que actúan sobre el sistema es la fuerzagravitatoria, por lo tanto, la energía mecánica será en este caso de la forma:
h
Origen de energíapotencial gravitatoria
21 2 2 1 2
1 ( ) 2 ( )2ME m m v m gH m m gh= + + + −
3. Evaluando la energía mecánica en el punto inicial tenemos:
2 1 2 1 2( ) 2 ( ) ( )ME A m gH m m gH m m gH= + − = +
4. Por otro lado, cuando la masa 1 llega al suelo la energía mecánica vale:
21 2 2
1( ) ( ) 22M BE B m m v m gH= + +
1803/11/2020
De los extremos de una polea cuelgan dos masas de 350 g y 250 g respectivamente, que inicialmente semantienen ambas a 60 cm del suelo. Se deja evolucionar libremente el sistema. Obtener: a) velocidadcon que llega al suelo la masa mayor; b) máxima altura sobre el nivel del suelo a la que llega la masamás pequeña; c) pérdidas de energía hasta que el sistema vuelve al reposo.
m1
m2
H=0.6 m
2. La única fuerza conservativa que actúan sobre el sistema es la fuerzagravitatoria, por lo tanto, la energía mecánica será en este caso de la forma:
h
Origen de energíapotencial gravitatoria
21 2 2 1 2
1 ( ) 2 ( )2ME m m v m gH m m gh= + + + −
3. Evaluando la energía mecánica en el punto inicial tenemos:
2 1 2 1 2( ) 2 ( ) ( )ME A m gH m m gH m m gH= + − = +
4. Por otro lado, cuando la masa 1 llega al suelo la energía mecánica vale:
21 2 2
1( ) ( ) 22M BE B m m v m gH= + +
5. Puesto que no hay fuerzas no conservativas actuando sobre elsistema la energía mecánica en A tiene que ser igual a la energíamecánica en B de donde:
2 1 21 2 1 2 2
1 2
2( )1( ) ( ) 2 1.41 m/s2 B B
m m gHm m gH m m v m gH vm m−
+ = + + ⇒ = =+
1903/11/2020
De los extremos de una polea cuelgan dos masas de 350 g y 250 g respectivamente, que inicialmente semantienen ambas a 60 cm del suelo. Se deja evolucionar libremente el sistema. Obtener: a) velocidadcon que llega al suelo la masa mayor; b) máxima altura sobre el nivel del suelo a la que llega la masamás pequeña; c) pérdidas de energía hasta que el sistema vuelve al reposo.
m1
m2
H=0.6 m
6. A partir de la situación B la energía mecánica en el sistema es simplemente:
h
Origen de energíapotencial gravitatoria
1 2
2 22 2
1 12 2
M PG PG
C M
PG
E E E
E mv E m v m gh
E mgh
= +
= ⇒ = +
=
2003/11/2020
De los extremos de una polea cuelgan dos masas de 350 g y 250 g respectivamente, que inicialmente semantienen ambas a 60 cm del suelo. Se deja evolucionar libremente el sistema. Obtener: a) velocidadcon que llega al suelo la masa mayor; b) máxima altura sobre el nivel del suelo a la que llega la masamás pequeña; c) pérdidas de energía hasta que el sistema vuelve al reposo.
m1
m2
H=0.6 m
6. A partir de la situación B la energía mecánica en el sistema es simplemente:
h
Origen de energíapotencial gravitatoria
1 2
2 22 2
1 12 2
M PG PG
C M
PG
E E E
E mv E m v m gh
E mgh
= +
= ⇒ = +
=
7. La energía mecánica se sigue conservando en cuyo caso tenemos:
( )2
22 2 2
1 2 2 0.1 0.6 m=0.7 m2 2
BB
vm v m g H m gh h Hg
+ = ⇒ = + = +
2103/11/2020
De los extremos de una polea cuelgan dos masas de 350 g y 250 g respectivamente, que inicialmente semantienen ambas a 60 cm del suelo. Se deja evolucionar libremente el sistema. Obtener: a) velocidadcon que llega al suelo la masa mayor; b) máxima altura sobre el nivel del suelo a la que llega la masamás pequeña; c) pérdidas de energía hasta que el sistema vuelve al reposo.
m1
m2
H=0.6 m
6. A partir de la situación B la energía mecánica en el sistema es simplemente:
h
Origen de energíapotencial gravitatoria
1 2
2 22 2
1 12 2
M PG PG
C M
PG
E E E
E mv E m v m gh
E mgh
= +
= ⇒ = +
=
7. La energía mecánica se sigue conservando en cuyo caso tenemos:
( )2
22 2 2
1 2 2 0.1 0.6 m=0.7 m2 2
BB
vm v m g H m gh h Hg
+ = ⇒ = + = +
8. Cuando el sistema se queda finalmente quieto la energía mecánica que nosqueda es:
2( ) 2ME D m gH=
2203/11/2020
De los extremos de una polea cuelgan dos masas de 350 g y 250 g respectivamente, que inicialmente semantienen ambas a 60 cm del suelo. Se deja evolucionar libremente el sistema. Obtener: a) velocidadcon que llega al suelo la masa mayor; b) máxima altura sobre el nivel del suelo a la que llega la masamás pequeña; c) pérdidas de energía hasta que el sistema vuelve al reposo.
m1
m2
H=0.6 m
6. A partir de la situación B la energía mecánica en el sistema es simplemente:
h
Origen de energíapotencial gravitatoria
1 2
2 22 2
1 12 2
M PG PG
C M
PG
E E E
E mv E m v m gh
E mgh
= +
= ⇒ = +
=
7. La energía mecánica se sigue conservando en cuyo caso tenemos:
( )2
22 2 2
1 2 2 0.1 0.6 m=0.7 m2 2
BB
vm v m g H m gh h Hg
+ = ⇒ = + = +
8. Cuando el sistema se queda finalmente quieto la energía mecánica que nosqueda es:
2( ) 2ME D m gH=
9. La diferencia de la energía mecánica final y la energía mecánicainicial es:
2 1 2 2 1( ) ( ) 2 ( ) ( ) 0.6 JM ME D E A m gH m m gH m m gH− = − + = − = −
2303/11/2020
Un bloque de 20 kg asciende por un plano inclinado 30º sobre la horizontal con una velocidad inicialde 12 m/s. Después de subir, desciende y llega al punto de partida con una velocidad de 6 m/s.Calcular: a) el coeficiente de rozamiento entre el plano y el cuerpo; b) la distancia recorrida sobre elplano hasta el punto más alto.
2403/11/2020
Un bloque de 20 kg asciende por un plano inclinado 30º sobre la horizontal con una velocidad inicialde 12 m/s. Después de subir, desciende y llega al punto de partida con una velocidad de 6 m/s.Calcular: a) el coeficiente de rozamiento entre el plano y el cuerpo; b) la distancia recorrida sobre elplano hasta el punto más alto.
B
A, C
1. Planteamiento
θ
LvA
vC
2503/11/2020
Un bloque de 20 kg asciende por un plano inclinado 30º sobre la horizontal con una velocidad inicialde 12 m/s. Después de subir, desciende y llega al punto de partida con una velocidad de 6 m/s.Calcular: a) el coeficiente de rozamiento entre el plano y el cuerpo; b) la distancia recorrida sobre elplano hasta el punto más alto.
B
A, C
1. Planteamiento
θ
L
2. La única fuerza conservativa que actúan sobre el sistema esla fuerza gravitatoria, por lo tanto, la variación de la energíamecánica será en este caso de la forma:
Origen de energíapotencial gravitatoria
H
2 21 12 2
M C PG PE
C M
PG
E E E E
E mv E mv mgh
E mgh
= + +
= ⇒ = +
=
2, 2
, 2 22
1( ) 1( ) ( ) sin( )22( ) sin( )
1 1( ) ( )1( ) 2 22
M A A BM M M A
MA CM M M C A
M C
E A mvE E B E A mgL mv
E B mgH mgLE E C E A mv mv
E C mv
=∆ = − = θ −
= = θ ⇒∆ = − = −
=
2603/11/2020
Un bloque de 20 kg asciende por un plano inclinado 30º sobre la horizontal con una velocidad inicialde 12 m/s. Después de subir, desciende y llega al punto de partida con una velocidad de 6 m/s.Calcular: a) el coeficiente de rozamiento entre el plano y el cuerpo; b) la distancia recorrida sobre elplano hasta el punto más alto.
B
P
N
rF
xP
yP
P
N
rF
xP
yP
A, C
1. Planteamiento
2. La única fuerza conservativa que actúan sobre el sistema esla fuerza gravitatoria, por lo tanto, la variación de la energíamecánica será en este caso de la forma:
θ
3. Por otro lado, la única fuerza no conservativaque actúa sobre el sistema es la fuerza derozamiento y el trabajo que realiza es igual a:
( )
1
cos( )cos( )
n B B Bno conservativas
i r rA A Ai
y
r
F dr F dr F dx
N P PF N P
cos( )
B B Br r r rAA A
y
F dr F dx F x F L
P L mg L
, 2
, 2 2
1( ) ( ) sin( )2
1 1( ) ( )2 2
A BM M M A
A CM M M C A
E E B E A mgL mv
E E C E A mv mv
∆ = − = θ −
∆ = − = −
cos( )
C C Cr r r rBB B
y
F dr F dx F x F L
P L mg L
2 cos( )C B C
r r rA A BF dr F dr F dr mg L
2703/11/2020
Un bloque de 20 kg asciende por un plano inclinado 30º sobre la horizontal con una velocidad inicialde 12 m/s. Después de subir, desciende y llega al punto de partida con una velocidad de 6 m/s.Calcular: a) el coeficiente de rozamiento entre el plano y el cuerpo; b) la distancia recorrida sobre elplano hasta el punto más alto.
B
P
N
rF
xP
yP
P
N
rF
xP
yP
A, C
1. Planteamiento
2. La única fuerza conservativa que actúan sobre el sistema esla fuerza gravitatoria, por lo tanto, la variación de la energíamecánica será en este caso de la forma:
θ
3. Por otro lado, la única fuerza no conservativaque actúa sobre el sistema es la fuerza derozamiento y el trabajo que realiza es igual a:
cos( )B
rAF dr mg L
, 2
, 2 2
1( ) ( ) sin( )2
1 1( ) ( )2 2
A BM M M A
A CM M M C A
E E B E A mgL mv
E E C E A mv mv
∆ = − = θ −
∆ = − = −
2 cos( )C
rAF dr mg L
4. Utilizamos el teorema que acabamos de ver.
, ( )
1
, ( )
1
n BA B no conservativasM iAi
n CA C no conservativasM iAi
E F dr
E F dr
2
2 2
1sin( ) cos( )2
1 1 2 cos( )2 2
A
C A
mgL mv mg L
mv mv mg L
2803/11/2020
Un bloque de 20 kg asciende por un plano inclinado 30º sobre la horizontal con una velocidad inicialde 12 m/s. Después de subir, desciende y llega al punto de partida con una velocidad de 6 m/s.Calcular: a) el coeficiente de rozamiento entre el plano y el cuerpo; b) la distancia recorrida sobre elplano hasta el punto más alto.
5. Para resolver el sistema multiplicamos la primera ecuación por dos y le restamos la segunda
2
2 2
1sin( ) cos( )2
1 1 2 cos( )2 2
A
C A
mgL mv mg L
mv mv mg L
2
2 2
2 sin( ) 2 cos( )1 1 2 cos( )2 2
A
C A
mgL mv mg L
mv mv mg L
2 21 12 sin( ) 02 2C AmgL mv mv
2 2
9 m4 sin( )
A Cv vL
g
2903/11/2020
Un bloque de 20 kg asciende por un plano inclinado 30º sobre la horizontal con una velocidad inicialde 12 m/s. Después de subir, desciende y llega al punto de partida con una velocidad de 6 m/s.Calcular: a) el coeficiente de rozamiento entre el plano y el cuerpo; b) la distancia recorrida sobre elplano hasta el punto más alto.
5. Para resolver el sistema multiplicamos la primera ecuación por dos y le restamos la segunda
2
2 2
1sin( ) cos( )2
1 1 2 cos( )2 2
A
C A
mgL mv mg L
mv mv mg L
2
2 2
2 sin( ) 2 cos( )1 1 2 cos( )2 2
A
C A
mgL mv mg L
mv mv mg L
2 21 12 sin( ) 02 2C AmgL mv mv
2 2
9 m4 sin( )
A Cv vL
g
6. Sustituyendo el valor de L en cualquiera de las otrasdos ecuaciones hallamos el valor de coeficiente derozamiento. Utilizando en concreto la segunda ecuaciónllegamos a:
2 2
2 2 tan( ) 0.35A C
A C
v vv v
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