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La distribución de Poisson

Walter López Moreno, MBA, cDBA

Centro de Competencias de la Comunicación

Universidad de Puerto Rico en Humacao

©Todos los derechos son reservados2006-07

Tabla de contenido

Introducción Objetivos de la presentaciónInstrucciones de cómo usar la presentación Dato históricoUtilidad Propiedades de un proceso de PoissonLa distribución de Poisson

La funciónEjemplos

Tabla de contenido

La tabla de la probabilidad de PoissonEjemplosEjercicio de redacción

La media y la desviación estándarResumenEjercicios de pruebaVídeo de repaso de conceptosGlosario de términosReferencias

Introducción

En este módulo se describe el uso de la distribución de Poisson para obtener la probabilidad de ocurrencia de sucesos raros cuyo resultado lo representa una variable discreta.

Se recomienda haber estudiado primero los módulos de las Reglas de probabilidad, el de Distribución normal y luego el de Distribución Binomial.

Objetivo general del módulo

Este módulo va dirigido al estudiantado de Administración de Empresas en sus distintas concentraciones.

Esperamos que cuando termines esta presentación puedas determinar cómo y cuándo se debe utilizar la distribución de Poisson para obtener las probabilidades de aquellas situaciones gerenciales que ocurren de forma impredecible y ocasional. 

Objetivos específicos

Además, esperamos que puedas:

1. Identificar las propiedades de una distribución Poisson.

2. Determinar los valores de frecuencia p y segmento n para establecer las bases para el cómputo de las probabilidades.

3. Determinar el promedio, la varianza y la desviación estándar utilizando las variables de la distribución de Poisson.

Instrucciones de cómo usar la presentación

La presentación inicia con las características que definen un proceso de Poisson.

Te recomiendo que tengas acceso a Internet mientras trabajas la presentación.

Siempre que se presente la siguiente figura: puedes presionarla para navegar adecuadamente a través de toda la presentación.

Instrucciones de cómo usar la presentación

Durante la lectura del módulo tendrás la oportunidad de enlazar el glosario de términos y regresar al lugar de origen presionando:

También encontrarás comentarios de apoyo yretroalimentación en recuadros como el siguiente:

Luego de leer el material que sirve de introducción, podrás establecer enlaces que demuestran los conceptos teóricos.

Notas de apoyo y retroalimentación

Dato histórico

La distribución de Poisson se llama así en honor a su creador, el francésSimeón Dennis Poisson (1781-1840),Esta distribución de probabilidades fue uno de los múltiples trabajos matemáticosque Dennis completó en su productiva trayectoria.

Utilidad

La distribución de Poisson se utiliza en situaciones donde los sucesos son impredecibles o de ocurrencia aleatoria. En otras palabras no se sabe el total de posibles resultados.

Permite determinar la probabilidad de ocurrencia de un suceso con resultado discreto.

Es muy útil cuando la muestra o segmento n es grande y la probabilidad de éxitos p es pequeña.

Se utiliza cuando la probabilidad del evento que nos interesa se distribuye dentro de un segmento n dado como por ejemplo distancia, área, volumen o tiempo definido.

Ejemplos de la utilidad

La llegada de un cliente al negocio durante una hora.

Las llamadas telefónicas que se reciben en un día.

Los defectos en manufactura de papel por cada metro producido.

Los envases llenados fuera de los límites por cada 100 galones de producto terminado.

La distribución de Poisson se emplea para describir procesos con un elemento en común, pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta.

Propiedades de un proceso de Poisson

1. La probabilidad de observar exactamente un éxito en el segmento o tamaño de muestra n es constante.

2. El evento debe considerarse un suceso raro.

3. El evento debe ser aleatorio e independiente de otros eventos

Si repetimos el experimento n veces podemos obtener resultados para la construcción de la

distribución de Poisson.

La distribución de Poisson

La distribución de probabilidad de Poisson es un ejemplo de distribución de probabilidad discreta. La distribución de Poisson parte de la distribución binomial. Cuando en una distribución binomial se realiza el experimento muchas veces, la muestra n es grande y la probabilidad de éxito p en cada ensayo es baja, es aquí donde aplica el modelo de distribución de Poisson. Se tiene que cumplir que:

p < 0.10

p * n < 10

La función P(x=k)

Donde:

P(X=K) es la probabilidad de ocurrencia cuando la variable discreta X toma un valor finito k.

λ = Lambda es la ocurrencia promedio por unidad (tiempo, volumen, área, etc.). Es igual a p por el segmento dado. La constante e tiene un valor aproximado de 2.711828

K es el número de éxitos por unidad

A continuación veremos la función de probabilidad de la distribución de Poisson.

Ejemplo1 de la funciónF (x=k)

La probabilidad de que haya un accidente en una compañía de manufactura es de 0.02 por cada día de trabajo. Si se trabajan 300 días al año, ¿cuál es la probabilidad de tener 3 accidentes? Como la probabilidad p es menor que 0.1, y el producto n * p es menor que 10 (300 * 0.02 = 6), entonces, aplicamos el modelo de distribución de Poisson:

Al realizar el cómputo tenemos que P(x = 3) = 0.0892Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes laborales en 300 días de trabajo es de 8.9%.

Ejemplo 2 de la funciónF(x=k)

La probabilidad de que un producto salga defectuoso es de 0.012. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 800 productos ya fabricados hayan 5 defectuosos? En este ejemplo vemos nuevamente la probabilidad p menor que 0.1, y el producto n * p menor que 10, por lo que aplicamos el modelo de distribución de Poisson:

El resultado es P (x = 5) = 0.04602Por lo tanto, la probabilidad de que haya 5 productos defectuosos entre 800 recién producidos es de 4.6%.

Tablas de probabilidad de Poisson

Utilizando la tabla de probabilidad de Poisson se pueden resolver los ejemplos anteriores.

Para esto, usted debe saber los valores X y λ.

X es el número de éxitos que buscamos. Este es el valor K.

λ es el número promedio de ocurrencias por unidad (tiempo, volumen, área, etc.). Se consigue multiplicando a p por el segmento dado n.

Del ejemplo 1: λ = 0.02 * 300 = 6

Del ejemplo 2: λ = 0.012 * 800 = 9.6

Tabla de probabilidad de Poisson

Obtenga más información de cómo asignar probabilidades utilizando las tablas.

Cuando llegue al enlance lea las páginas 4 a la 6. Estudie los ejemplos y luego practique con los ejercicios 2.1 y 2.2

Ejemplo 3 uso de tablas

Busque en los tres enlaces las tablas de probabilidad de Poisson

Resuelva el ejercicio 1 y el 2 por medio de las tablas.

Para el Ejemplo 1: λ = 6 y k = 3 accidentes

Para el Ejemplo 2: λ = 9.6 y k=5 defectos

Ejemplo 4 uso de calculadora virtual

Compruebe el cómputo utilizando una calculadora de probabilidad de Poisson

Repase los ejemplos adicionales

Cuando llegue al enlace, entre los valores respectivos de cada ejercicio:

K en “poisson random variable”

λ en “average rate of success”

Ejercicio de redaccióncon experiencia interactiva

Observe el cambio de la distribución variando el parámetro λ

Cuando llegue al enlance precione el “+” y el “ - ”

Presente una descripción escrita de las observaciones que obtiene al variar el valor de lambda. ¿Qué características tiene una distribución de Poisson y cuándo se aplica?

La media μ y la varianza σ2

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Características de la distribución Poisson

k = 5 λ = 0.1

k = 5 λ = 0.5

Media

= E(X) = λ

Varianza

λ= σ2

0.2.4.6

0 1 2 3 4 5X

P(X)

.2

.4

.6

0 1 2 3 4 5X

P(X)

0

En resumen

En este módulo hemos determinado la probabilidad de Poisson mediante el uso de la función de Poisson, las tablas de distribución y la calculadora del enlace. Además, aprendimos que:

1. La distribución de Poisson se forma de una serie de experimentos de Bernoulli.

2. La media μ o valor esperado en la distribución de Poisson es igual a λ.

3. La varianza (σ2 ) en la distribución de Poisson también es igual a λ.

4. La desviacion estándar es la raíz de λ.

Ejercicios de prueba

Los siguientes ejercicios de prueba fueron resueltos utilizando la distribución binomial en el módulo con ese mismo nombre. Refiérase a los ejercicios en ambos módulos y compare la diferencia de cada pregunta.

¿Puede responder por qué se resuelven esta vez utilizando la distribución de Poisson?

Demuestre su razonamiento.

Ejercicio de prueba #1

Un comerciante de verduras tiene conocimiento de que el 3% de la caja está descompuesta. Si un comprador elige 100 verduras al azar, encuentre la probabilidad de que,

a) las 4 estén descompuestas. b) de 1 a 3 estén descompuestas

Para resolver la pregunta “b” repase el módulo de las reglas de probabilidad.En este caso se resuelve sumando las

probabilidades P(x=1) + P(x=2) + P(x=3)= 0.1494 + 0.2240 + 0.2240

Ejercicio de prueba #2

En pruebas realizadas a un amortiguador para automóvil se encontró que el 0.04 presentaban fuga de aceite. Si se instalan 150 de estos amortiguadores, hallar la probabilidad de que,

a) 4 salgan defectuosos, b) más de 5 tengan fuga de aceite. c) de 3 a 6 amortiguadores salgan defectuosos. d) Determine el promedio y la desviación estándar de

amortiguadores con defectos.

La pregunta “b” debe sumar las probabilidades desde P(x=6) en adelante.

En la “c” debe sumar P(x=3) + P(x=4) + P(x=5) + P(x=6).

Ejercicio de prueba #3

Un ingeniero que labora en el departamento de control de calidad de una empresa eléctrica, inspecciona una muestra al azar de 200 alternadores de un lote. Si el 2% de los alternadores del lote están defectuosos. Cuál es la probabilidad de que en la muestra,

a) ninguno esté defectuoso, b) uno salga defectuoso, c) al menos dos salgan defectuososd) más de tres estén con defectos

Para la pregunta “d” puede realizarla siguiente operación:

1 – [P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)]

Ejercicio de prueba #4

La probabilidad de que un CD de música dure al menos un año sin que falle es de 0.95, calcular la probabilidad de que en una muestra de 15,

a) 12 duren menos de un año, b) a lo más 5 duren menos de un año, c) al menos 2 duren menos de un año.

Ejercicio de prueba #5

Si 8 de 100 viviendas violan el código de construcción. ¿cuál es la probabilidad de que un inspector de viviendas, que selecciona aleatoriamente a 50 de ellas, descubra que:

a) ninguna de las casas viola el código de construcción b) una viola el código de construcción c) dos violan el código de construcción d) al menos tres violan el código de construcción

Repaso de conceptos

Observe un vídeo de repaso de la distribución de probabilidad de Poisson

Cuando llegue al enlace haga clic en la columna izquierda en “Poisson”

Nota: en el video el parámetro λ lo sustituyen en la fórmula por μ. Como mencionamos anteriormente λ=μ

Glosario de términos

Aleatorio – que ocurre al azar.

Distribución de Poisson – Distribución discreta que se aplica cuando se realizan más de una vez y de forma independiente el experimento de Bernoulli.

Éxitos – Es la ocurrencia del evento de interés como cantidad de defectos, llamadas recibidas, servicios completados.

Experimento independiente – Cuando el resultado de un experimento no tiene influencia en el resultado de otro experimento.

Glosario de términos

Resultado discreto – Son resultados con un número finito de valores (3 defectos, menos de 8, hasta 5, etc.)

Suceso raro – Un evento que ocurre con poca frecuencia. Segmento - es un intervalo, porción, fragmento o tamaño

de muestra, ya sea en unidades de distancia, área, volumen, tiempo o cualquier otra medida.

Variable Aleatoria Discreta - Variable que puede obtener un número finito de valores de forma impredecible o al azar.

Variable Discreta – Variable que puede obtener un número finito de valores como 0, 1, 2, 3.

Referencias

Anderson, S. (2006). Estadísticas para administración y economía. (8tva ed.). México:Thomson.

Newbold P. (2003). Statistics for Business And Economics. (2003). (5ta. Ed.). New Jersey: Prentice Hall.

Bluman, A. G. (2007). Statistics. (6ta ed.). New York: Mc Graw Hill.

http://cyber.gwc.cccd.edu/faculty/jmiller/Binom_Tab.pdf

http://stattrek.com/Tables/poisson.aspx#calculator 

Referencias

http://www.udc.es/dep/mate/estadistica2/documentos-pdf/dmtablas.pdf

  http://karnak.upc.es/teaching/estad/MC/taules/com-usar-taules.pdf  http://www.capdm.com/demos/software/html/capdm/qm/

poissondist/usage.html  http://www.uv.es/zuniga/09_La_distribucion_de_Poisson.pdf  http://www.matematicas.net/paraiso/download.php?id=formula/

fr_poisson.zip