La distribución de poisson

La distribución de Poisson se utiliza con frecuencia en el trabajo científico.

Una manera de considerarla es como una aproximación de la distribución

binomial cuando n es grande y p es pequeña.

Problemas de como resolver una

distrubucion de poisson

1. Sea X ~ Poisson . Determine

a) P(X = 1)

b) P(X = 0)

c) P(X < 2)

d) P(X > 1)

e) X

f) X

a) P (x = 1)

e – 4 (4^1, 1!) = 0.073262555

b) P (x = 0)

e – 4 (4^0, 0!) = 0.018315638

c) P (x = <2)

e – 4 (4^0, 0!) = 0.018315638

e – 4 (4^1, 1!) = 0.073262555 = 0.091578193

d) P (x > 1)

P (x = 2)

e – 4 (4^2, 2!) = 0.146525111

P (x = 3)

e – 4 (4^3, 3!) = 0.195366814 = 0.3418919225

e) U MEDIA: 4

f) VARIANZA: 4

2. La concentración de partículas en una suspensión es 2 por mL. Se agita por

completo la concentración, y posterior- mente se extraen 3 mL. Sea X el

número de partículas que son retiradas. Determine

a) P(X = 5)

b) P(X ≤ 2)

c) P(X > 1)

d) X

e) X

a) P (x = 5)

e – 2 (2^5, 5!) = 0.036089408

b) P (x = < 2)

e – 2 (2^2, 2!) = 0.270670566

e – 2 (2^1, 1!) = 0.270670566 = 0.541341132

c) P (x > 1)

e – 2 (2^2, 2!) = 0.270670566

3. Suponga que 0.03% de los contenedores plásticos producidos en cierto proceso tiene pequeños

agujeros que los dejan inservibles. X representa el número de contenedores en una muestra

aleatoria de 10 000 que tienen este defecto. Determine

a) P(X = 3)

b) P(X ≤ 2)

c) P(1 ≤ X < 4)

d) X

e) X

a) P (X = 3)

e – 3 (3^3, 3!) = 0.224041807

b) P (X < 2)

e – 3 (3^2, 2!) = 0.224041807

e – 3 (3^1, 1!) = 0.149361205 = 0.373403075

c) P (1 < X <4)

e – 3(3^3, 3!) = 0.224041807

d) U MEDIA: 3

e) VARIANZA: 3

4. Uno de cada 5 000 individuos en una población porta cierto gen defectuoso. Se estudia una

muestra aleatoria de 1 000 individuos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo uno de los individuos de la muestra porte el gen?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno sea portador?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que más de dos individuos porte el gen?

d) ¿Cuál es la media del número de individuos de la muestra que porta el gen?

e) ¿Cuál es la desviación estándar del número de individuos portadores de gen?

a) P (X = 2)

e – 3 (3^2, 2!) = 0.2240

b) P (X = 10)

e – 3 (3^10, 10!) = 0. 00081

c) P (X = 0)

e – 3 (3^0, 0!) = 0. 0498

5. El número de mensajes recibidos por el tablero computado de anuncios es una variable

aleatoria de Poisson con una razón media de ocho mensajes por hora.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban cinco mensajes en una hora?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban diez mensajes en 1.5 horas?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban menos de tres mensajes en 11⁄2 horas?

a) P (X < 2)

E – 4 (4^2, 2!) = 0.146525111

b) P (X > 1)

E – 4 (4^1, 1!) = 0.073262555

6. Cierto tipo de tablero de circuitos contiene 300 diodos. Ca- da uno tiene una probabilidad p =

0.002 de fallar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que fallen exactamente dos diodos?

b) ¿Cuál es la media del número de diodos que falla?

c) ¿Cuál es la desviación estándar del número de diodos que falla?

d) Un tablero funciona si ninguno de sus diodos falla. ¿Cuál es la probabilidad de que funcione un

tablero?

e) Se envían cinco tableros a un cliente. ¿Cuál es la probabilidad de que cuatro o más de ellos

funcione?

7. Una variable aleatoria X tiene una distribución binomial y una variable aleatoria Y tiene una

distribución de Poisson. Tanto X como Y tienen medias iguales a 3. ¿Es posible determinar qué

variable aleatoria tiene la varianza más gran- de? Elija una de las siguientes respuestas:

i) Sí, X tiene la varianza más grande.

ii) Sí, Y tiene la varianza más grande.

iii) No, se necesita conocer el número de ensayos, n, para X.

iv) No, se necesita conocer la probabilidad de éxito, p, para X.

v) No, se necesita conocer el valor de λ para Y.

8. Una química desea estimar la concentración de partículas que hay en determinada

suspensión. Ella extrae 3 mL de la suspensión y cuenta 48 partículas. Estime la concentración de

partículas por mL y determine la incertidumbre en la estimación.

9. Una microbióloga quiere estimar la concentración de cierto tipo de bacteria en una muestra

de agua tratada. Ella pone una muestra de 0.5 mL de agua tratada en el vidrio del microscopio y

descubre 39 bacterias. Estime la concentración de bacterias por mL, en esta agua tratada, y

determine la incertidumbre en la estimación.

10. La abuela está probando una nueva receta de pan de pasas. En cada hornada de la masa de

pan salen tres hogazas, y cada una tiene 20 rebanadas de pan.

a) Si ella agrega 100 pasas a una hornada de masa, ¿cuál es la probabilidad de que una rebanada

de pan elegida aleatoriamente no tenga pasas?

b) Si ella agrega 200 pasas a una hornada de masa, ¿cuál es la probabilidad de que una rebanada

de pan elegida aleatoriamente tenga cinco pasas?

c) ¿Cuántas pasas debe agregar para que la probabilidad de que una rebanada elegida de forma

aleatoria no tenga pasas sea 0.01?

11. Mamá y la abuela están horneando, cada una, galletas de chispas de chocolate. Cada una le

da dos galletas. Una de las galletas de mamá tiene 14 chispas de chocolate y la otra tiene 11.

Las galletas de la abuela tienen seis y ocho chispas.

a) Estime la media del número de chispas en una de las galletas de mamá.

b) Estime la media del número de chispas en una de las galletas de la abuela.

c) Determine la incertidumbre en la estimación de las galletas de mamá.

d) Determine la incertidumbre en la estimación de las galletas de la abuela.

e) Estime cuántas chispas más en promedio tiene una galleta de mamá en comparación con una

galleta de la abuela. Determine la incertidumbre en la estimación.

12. Usted ha recibido una masa radiactiva de la que se afirma tiene una media de la razón de

decaimiento de al menos una partícula por segundo. Si la media de la razón de decaimiento es

menor a una por segundo, usted puede regresar el producto para un reembolso. Sea X el número

de eventos de decaimiento que se produce en diez segundos.

a) Si la media de la razón de decaimiento es exactamente de una por segundo (de tal forma que

la afirmación es verdad, pero apenas), ¿a qué es igual P(X ≤ 1)?

b) Con base en la respuesta del inciso a), si la razón de decaimiento promedio es de una

partícula por segundo, ¿un evento en diez segundos sería un número inusual- mente pequeño?

c) Si usted encuentra un evento de decaimiento en diez segundos, ¿esto sería una evidencia de

que debe regresar- se el producto? Explique.

d) Si la media de la razón de decaimiento es sólo de una por segundo, ¿a qué es igual P(X ≤ 8)?

e) Con base en la respuesta del inciso (d), si la razón de decaimiento promedio es de una

partícula por segundo, ¿ocho eventos en diez segundos sería un número inusual- mente pequeño?

f) Si cuenta ocho eventos de decaimiento en diez segundos, ¿esto sería una evidencia de que

debe regresarse el producto? Explique.

13. Alguien afirma que cierta suspensión contiene al menos siete partículas por mL. Extrae una

muestra de 1 mL de la so- lución. Sea X el número de partículas en la muestra.

a) Si el número promedio de partículas es exactamente siete por mL (de manera que la

afirmación es verdad, pero apenas), ¿a qué es igual P(X ≤ 1)?

b) Con base en la respuesta del inciso (a), si la suspensión contiene siete partículas por mL, ¿una

partícula en una muestra de 1 mL sería un número inusualmente pequeño?

c) Si encuentra una partícula en la muestra, ¿esto sería una evidencia de que la afirmación es

falsa? Explique.

d) Si la media del número de partículas es exactamente 7 por mL, ¿a qué es igual P(X ≤ 6)?

e) Con base en la respuesta del inciso (d), si la suspensión contiene siete partículas por mL, ¿seis

partículas en una muestra de 1 mL sería un número inusualmente pequeño?

f) Si cuenta seis partículas en la muestra, ¿esto sería una evidencia de que la afirmación es

falsa? Explique.

14. Un físico desea estimar la razón de emisiones de partículas alfa provenientes de cierta fuente. Él hace dos cuentas. Primero mide la razón fondo contando el número de partículas que hay durante 100 segundos en ausencia de la fuente. Cuenta 36 emisiones de fondo. Después, con la fuente presente, cuenta 324 emisiones en 100 segundos. Esto último representa la suma de las emisiones de la fuente más las emisiones de fondo.

a) Estime la razón de fondo, en emisiones por segundo, y determine la incertidumbre en la estimación.

b) Estime la suma de la fuente más la razón de fondo, en emisiones por segundo, y determine la incertidumbre en la estimación.

c) Estime la razón de emisiones provenientes de la fuente en partículas por segundo, y determine la incertidumbre en la estimación.

d) ¿Qué da como resultado una menor incertidumbre al es- timar la razón de emisiones provenientes de la fuente: (1) contar las partículas de fondo sólo durante 150 segundos, así como las partículas de fondo, más las de la fuente durante 150 segundos, o (2) contar las partículas de fondo durante 100 segundos, así como las de la fuente más las de fondo durante 200 segundos? Calcule la incertidumbre en cada caso.

e) ¿Es posible reducir la incertidumbre a 0.03 partículas por segundo si se mide la razón de fondo sólo durante

100 segundos? Si es así, ¿cuánto tiempo puede medirse las partículas de la fuente más las de fondo? Si no, explique por qué.

15. Con referencia al ejemplo 4.27, estime la probabilidad de que en 1 m2 de

aluminio haya una imperfección y determine la incertidumbre en la

estimación.