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Potencia, Energía y Calidad Suministro Eléctrico MEG-CUR-CPE Rev. 0 1

Armónicos, Interarmónicos y Armónicos fluctuantes

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Definición de Armónico

El matemático francés Joseph Fourier en 1804 enunció la definición de armónico:Desarrollo en serie de Fourier: Cualquier señal periódica x(t), por compleja que sea, se puede descomponer en suma de señales sinusoidales (componentes armónicas) cuya frecuencia (frecuencia armónica) es múltiplo de la fundamental.

Según la norma UNE EN 50160:1996, una tensión armónica es una tensión sinusoidal cuya frecuencia es un múltiplo entero de la frecuencia fundamental de la tensión de alimentación.

N

nnn tnsenbtna

atx

111

0 )()cos(2

)(

11 2 f f1=Frecuencia fundamental

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Definición de Armónico

La Transformada de Fourier permite representar una señal continua de periodo infinito (señal no periódica) en el dominio de la frecuencia.

Mediante la Transformada de Fourier se puede determinar la amplitud y la frecuencia de las señales sinusoidales en que se puede descomponer una señal continua.

dtetxX tj )()(

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Definición de Armónico

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Definiciones relativas a Armónicos

Frecuencia armónica, fn: Frecuencia la cual es un entero múltiplo de la frecuencia fundamental (fn = n x f1).

Orden del armónico, n: Relación (entera) de la frecuencia armónica respecto de la frecuencia fundamental (n = fn / f1). Suponiendo que el análisis se ha realizado utilizando la Transformada Discreta de Fourier y que la frecuencia de muestreo fs es un múltiplo entero de la frecuencia fundamental f1, el orden del armónico viene dado por n=k/N (k=número de la componente de Fourier, N=número de periodos fundamentales T1 en TW).

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Definiciones relativas a Armónicos

Valor eficaz de una componente armónica Gn: Valor eficaz de una componente espectral que presenta una frecuencia armónica .

La componente armónica Gn es idéntica a la componente espectral Ck siendo k = N x n (Gn = CNn). Se reemplaza por el símbolo In para intensidades o por el símbolo Un para tensiones.

Según la IEC 61000-4-7 el tiempo de ventana tiene un ancho de N=10 periodos fundamentales (sistemas 50 Hz), aproximadamente 200ms, y de N=12 periodos fundamentales (sistemas 60 Hz).

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Definiciones relativas a Armónicos

Valor eficaz de un grupo armónico G g,n: Raíz cuadrada de la suma de los cuadrados del valor eficaz de un armónico y de las componentes espectrales adyacentes a él dentro de un tiempo de ventana, de forma que se suma el contenido de energía de las componentes cercanas con la del propio armónico.

Valor eficaz de un subgrupo armónico G sg,n: Raíz cuadrada de la suma de los cuadrados del valor eficaz de un armónico y de las dos componentes espectrales inmediatamente adyacentes a él dentro de un tiempo de ventana, de forma que se suma el contenido de energía de las componentes cercanas con la del propio armónico. Con el objeto de incluir el efecto de la fluctuación de tensión, un subgrupo de las componentes espectrales de la TDF se obtiene sumando el contenido de energía de las componentes de frecuencia directamente adyacentes a un armónico con la del propio armónico.

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Definiciones relativas a Distorsión Armónica

Distorsión armónica total THD: Relación del valor eficaz de la suma de todas las componentes armónicas (Gn) hasta un orden especificado (H), respecto al valor eficaz de la componente fundamental (G1).

H

n

n

G

GTHD

2

2

1

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Definición de Interarmónico

Un interarmónico se define como la componente espectral de una señal eléctrica con una frecuencia entre dos frecuencias armónicas consecutivas.

Según la norma UNE EN 50160:1996, una tensión interarmónica es una tensión sinusoidal cuya frecuencia se sitúa entre las frecuencias de los armónicos, es decir, cuya frecuencia no es un múltiplo entero de la fundamental.

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Definición de Interarmónico

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Definiciones relativas a Interarmónicos

Valor eficaz de una componente interarmónica: Valor eficaz de una componente espectral de una señal eléctrica con una frecuencia entre dos frecuencias armónicas consecutivas.

La frecuencia de la componente interarmónica viene dada por la frecuencia de una línea espectral. Esta frecuencia no es un múltiplo entero de la frecuencia fundamental.

El intervalo de frecuencia entre dos líneas espectrales consecutivas es la inversa del ancho del tiempo de ventana, aproximadamente 5 Hz para IEC 61000-4-7.

La componente interarmónica se asume que es la componente espectral Ck siendo k N x n.

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Definiciones relativas a Interarmónicos

Valor eficaz de un grupo interarmónico G ig,n: Valor eficaz de todas las componentes interarmónicas en el intervalo entre dos frecuencias armónicas consecutivas.

Valor eficaz de un subgrupo interarmónico centrado G isg,n: Valor eficaz de todas las componentes interarmónicas en el intervalo entre dos frecuencias armónicas consecutivas, excluyendo las componentes de frecuencia directamente adyacentes a la frecuencia armónica.

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Analizadores de Armónicos

Analizador Armónicos

SeñalRespuesta

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Diseño de Analizadores de Armónicos

Sh

un

t

Filtro Anti-Aliasig

Control Tiempo

Muestreo

Procesador y Firmware

PC y Software

ADC230V 50Hz

Equipo bajo

Ensayo

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Frecuencia de Muestreo

Teorema de Muestreo:

La Frecuencia de Muestreo fs debe ser al menos el doble del Ancho de Banda del sistema.

Si la frecuencia de muestreo es inferior al doble del ancho de banda del sistema tiene lugar el fenómeno denominado ‘Aliasing’.

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Frecuencia de Muestreo. Fenómeno ‘Aliasing’

Consideremos el ejemplo del muestreo de una señal de 50Hz. El Teorema de Muestreo dice que para medir adecuadamente esta señal se requiere una frecuencia de muestreo superior a 100Hz. Si se utiliza un convertidor analógico digital con una fs de 1,6 kHz la medida se puede realizar satisfactoriamente. Sin embargo, si la señal contiene un ruido de alta frecuencia o está distorsionada con armónicos, el sistema de muestreo con fs=1,6kHz únicamente puede realizar medidas fiables hasta el armónicos de orden 16 (H16) a 800 Hz.

Supongamos que una señal de alta frecuencia (1400Hz; H28) se superpone a la señal de 50 HZ. Como la frecuencia de la señal de ‘ruido’ es mayor que 800Hz (H16), se viola el Teorema de Muestreo.

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Frecuencia de Muestreo. Fenómeno ‘Aliasing’

ADC Procesador de Señal

Frecuencia de muestreo=1,6 kHz (32*50) 32 muestras / periodo

Señal a 50 Hz

“Ruido” a 1,4 kHz (28*50)

Muestreo de una señal de 50 Hz

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Frecuencia de Muestreo. Fenómeno ‘Aliasing’

Muestreo de una señal de 50 Hz

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

Tiempo

Amplitud

Señal de 50 Hz con “Ruido 1400 Hz

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Frecuencia de Muestreo. Fenómeno ‘Aliasing’

Fenómeno de ‘Aliasing’

Tiempo

Amplitud

Señal de 50 Hz con “Ruido 1400 Hz

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Frecuencia de Muestreo. Fenómeno ‘Aliasing’

Espectro Verdadero

Fenómeno de ‘Aliasing’

H1 H32H28

“Ruido” a 1,4 kHz

Frecuencia de muestreo=1,6 kHz

H1 H32H16 H28

Frecuencia muestreo / 2

H1 H16H4Espectro Envuelto

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Frecuencia de Muestreo. Fenómeno ‘Aliasing’

Cualquier componente de frecuencia mayor que la mitad de la frecuencia de muestreo causará ‘Aliasing’.

Este fenómeno puede provocar confusión y errores de medida serios. Los sistemas bien diseñados reducen este efecto limitando el ancho de banda del sistema a la mitad de la frecuencia de muestreo utilizando un filtro paso bajo, comúnmente conocido como filtro anti-aliasing.

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Frecuencia de Muestreo. Fenómeno ‘Aliasing’

ADC Procesador de Señal

Frecuencia de muestreo=Fs

Señal a 50 Hz

“Ruido” a cualquier frecuencia

Filtro Anti-Aliasing

Filtro Paso Bajo, -80db a Fs/2

Filtro Anti-Aliasing

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Transformada Discreta de Fourier

La Transformada de Fourier continua se define sobre un Tiempo Infinito.En la práctica disponemos de valores discretos de una señal de duración finita. (¡No podemos esperar indefinidamente!).Se utiliza la Transformada Discreta de Fourier para representar una señal discreta (definida a partir de un número finito de valores en el tiempo) en el dominio de la frecuencia.

El analizador de armónicos muestrea la señal de entrada mediante un convertidor analógico digital y a continuación aplica la Transformada Discreta de Fourier en el Procesador de Señal para determinar los valores de las componentes de frecuencia.

1

0

)(1

)(N

n

N

nj

etxN

X

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Transformada Discreta Fourier. Fenómeno de Gibb

Si el número de muestras utilizadas en la TDF multiplicado por el periodo de muestreo (ancho del tiempo de ventana) no es exactamente un múltiplo entero del periodo fundamental T1, la Transformada Discreta de Fourier dará lugar a un efecto de ‘esparcimiento’ en el espectro de frecuencia de la señal, conocido como Fenómeno de Gibb.

Esta situación se presentará en sistemas donde la frecuencia de muestreo fs no es exactamente un múltiplo entero de la frecuencia fundamental f1.

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Transformada Discreta Fourier. Fenómeno de Gibb

Tiempo

Am

plitu

d

Frecuencia Fourier

Mag

nitu

d

Fenómeno de Gibb

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Transformada Discreta Fourier. Fenómeno de Gibb

Supongamos que se requieren 500 muestras por periodo fundamental para medir adecuadamente la señal. En este caso la frecuencia de muestreo del convertidor analógico digital será de 50 X 500 = 25 kHz. Esta fs en principio proporcionará 500 muestras por periodo. El problema es que la frecuencia fundamental de la señal no es siempre 50 Hz; normalmente varia de acuerdo con las condiciones de carga de la red como mucho 0,2 Hz. Bajo esas condiciones un periodo determinado puede tener 498 muestras y el siguiente 502 muestras. Esto provoca de nuevo un efecto de ‘esparcimiento’ en el espectro de frecuencia de la señal.

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Transformada Discreta Fourier. Fenómeno de Gibb

Un camino para evitar este error consiste en utilizar un Amplificador de Potencia. Si la frecuencia del amplificador de potencia se puede sincronizar a la frecuencia de muestreo, utilizando un divisor de frecuencia aceptable, cada periodo fundamental tendrá exactamente el número requerido de muestras.

Otra alternativa consiste en utilizar ventanas con formas diferentes a la rectangular. Ventanas con formas que se estrechan en los extremos, proporcionan un menor peso a las muestras situadas al comiendo y al final del grupo contenido por la ventana, de tal forma que se reduce el error provocado por el fenómeno de Gibb. Ejemplos de este tipo de Ventanas son Hanning, Gaussian, etc.

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STFT (Short Term Fourier Transform)

Si la señal no es repetitiva, es decir si la señal no es la misma periodo a periodo entonces la Transformada Discreta de Fourier dará lugar a resultados engañosos.

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STFT (Short Term Fourier Transform)

Supongamos una señal constituida por una componente fundamental fluctuante en amplitud y por componentes armónicas de orden 2 y 3 fluctuantes en amplitud. Bajo esas condiciones la Transformada Discreta de Fourier dará lugar a un espectro en frecuencia de la señal en el cual la energía se ‘esparce’ a través de los armónicos, en vez de ser confinada en las componentes armónicas discretas.

Si la modulación es lenta los errores pueden ser tolerablemente pequeños.

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STFT (Short Term Fourier Transform)

Frecuencia Fourier

Mag

nitu

d

Tiempo

Am

plitu

d

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STFT (Short Term Fourier Transform)

Se utilizan transformadas especiales para el análisis en el dominio de la frecuencia de esas formas de onda no repetitivas. La mas común es la STFT (Short Term Fourier Transform):

El número de muestras se divide en grupos continuos (ventanas).

Cada ventana debe contener un número entero de periodos fundamentales.

Se realiza la Transformada Discreta de Fourier de las muestras contenidas en cada ventana, obteniendo así

un espectro en frecuencia para cada tiempo de ventana.

Esto da lugar a una representación tridimensional de la energía de cada componente espectral en función del tiempo (tiempo de ventana) y de la frecuencia.

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STFT (Short Term Fourier Transform)

Un número pequeño de ventanas utilizadas en la STFT, es decir, un número grande de periodos fundamentales contenidos en cada ventana, lleva a errores en la medida de armónicos fluctuantes.

Supongamos una señal constituida por una componente fundamental y por una ráfaga del armónico de orden 2.

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STFT (Short Term Fourier Transform)

Número de Muestras

Am

plitu

d

STFT utilizando 8 ventanas

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STFT (Short Term Fourier Transform)

Magnitud

Distribución Tiempo-Frecuencia

Tiempo

Frecuencia

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STFT (Short Term Fourier Transform)

STFT utilizando 8 ventanas

Frecuencia (Número Armónico)

Tie

mp

o (N

úmer

o V

enta

na)

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STFT (Short Term Fourier Transform)

STFT utilizando 16 ventanas

Frecuencia (Número Armónico)

Tie

mp

o (N

úmer

o V

enta

na)

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STFT (Short Term Fourier Transform)

Resultados STFT utilizando varias ventanas

Número de Ventanas

Periodos fundamentales / Ventana

Resolución Frecuencia

Error

2º Armónico

0 32 1/32 -55,5 %

4 8 1/8 -37,1%

8 4 ¼ -11,1 %

16 2 ½ -8,0 %

32 1 1 -2,2 %

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Resolución de Frecuencia

El número de periodos fundamentales sobre los cuales se realiza la Transformada Discreta de Fourier determina la resolución de la frecuencia en el espectro resultante.

Si la Transformada Discreta de Fourier se realiza sobre un periodo fundamental, el intervalo de frecuencia entre dos líneas espectrales, es la frecuencia fundamental.

Si la Transformada Discreta de Fourier se realiza sobre dos periodos fundamentales, el intervalo de frecuencia entre dos líneas espectrales, es la mitad de la frecuencia fundamental. La resolución de frecuencia ha mejorado.

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Resolución de Frecuencia

Frecuencia Fourier

Frecuencia Fourier

Tiempo

Tiempo

Am

plitu

dA

mpl

itud

Mag

nitu

dM

agni

tud

Supongamos una señal constituida por una componente fundamental y por una componente armónica de orden 2 .

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Resolución de Frecuencia

La falta de resolución de frecuencia en el espectro de Fourier, es decir, un número pequeño de periodos fundamentales sobre los cuales se realiza la Transformada Discreta de Fourier, lleva a problemas en la medida de interarmónicos.

Supongamos una señal constituida por una componente fundamental a 50 Hz y por una componente interarmónica a 125Hz.

Si la Transformada Discreta de Fourier se realiza sobre un periodo fundamental y por lo tanto la resolución de frecuencia es de 50Hz, entonces las componentes de frecuencias de 50Hz, 100Hz, 150Hz, 200Hz, etc se pueden determinar. En este caso la frecuencia de la componente interarmónica, 125Hz, no se encuentra en esta serie de frecuencias y su energía se reparte entre las componentes adyacentes. Esto lleva a resultados engañosos.

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Resolución de Frecuencia

Frecuencia FourierTiempo

Am

plitu

d

Mag

nitu

d

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Resolución de Frecuencia

Si la Transformada Discreta de Fourier se realiza sobre dos periodos fundamentales y por lo tanto la resolución de la frecuencia aumenta hasta 25Hz, entonces las componentes de frecuencias de 25Hz, 50Hz, 75Hz, 100Hz, 150Hz, etc se pueden determinar. En este caso la componente interarmónica de 125Hz se puede representar correctamente.

Frecuencia FourierTiempo

Am

plitu

d

Mag

nitu

d

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Diseño de Analizadores de Armónicos

El Subcomité 77A (Fenómenos de baja frecuencia) del Comité técnico 77 de la CEI ha elaborado la Norma Internacional IEC 61000-4-7 (Agosto 2002):

‘Compatibilidad electromagnética (CEM). Parte 4: Técnicas de ensayo y de medida. Sección 7: ‘Guía

general sobre la medida e instrumentación de medida de armónicos e interarmónicos, aplicable a sistemas de

alimentación y a los equipos conectados a estos.’

Esta norma aplica a la instrumentación diseñada para medir componentes espectrales, en el rengo de frecuencia hasta 9 kHz, que se superponen a la componente fundamental de los sistemas de alimentación a 50Hz y a 60 Hz.

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Diseño de Analizadores de Armónicos

Los sistemas de 60 Hz utilizan ventanas de 12 ciclos.

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Diseño de Analizadores de Armónicos

Los elementos principales del Analizador de Armónicos son:

Circuitos de entrada con Filtros anti-aliasing.

Convertidores A/D incluyendo unidad de ‘sample-and-hold’.

Unidad de sincronización de la frecuencia de muestreo fs y la frecuencia fundamental f1 y unidad de ventanas (distintas formas) si fuera necesario.

Procesador – Transformada Discreta de Fourier.

El número de periodos fundamentales sobre los cuales se realiza la Transformada Discreta de Fourier (ancho de ventana) será de 10 (Sistemas 50Hz) ó 12 (Sistemas 60Hz), con ventana rectangular. La ventana de Hanning se permite únicamente en casos de pérdida de sincronización.

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Calibración de Analizadores de Armónicos

La calibración de analizadores de armónicos se realiza por el método directo, es decir por medida directa de la salida del Calibrador que actuará como patrón.

Para la calibración según este método es necesario disponer de un Calibrador capaz de generar los distintos valores de las componentes espectrales (armónicas e interarmónicas), de la señal de tensión e intensidad, que han de ser medidos, con una exactitud mejor que la del analizador de armónicos a calibrar.

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Calibración de Analizadores de Armónicos

Tabla A Forma Onda

ADCSeñal

Demandada A+B

Tabla B Interarmónicos

Am

plificad

or

Analizador de Armónicos

Calibrador Fluke 6100A

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Calibración de Analizadores de Armónicos

Los analizadores de armónicos se calibrarán en varios puntos. Se elegirán los puntos de medida en función del uso del equipo (IEC 61000-3-2), o de las especificaciones de manera que cubra todo el ancho de banda del analizador.

Es aconsejable realizar las medidas de cada punto varias veces (como número de mediciones se tomará n=5).

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Calibración de Analizadores de Armónicos

El resultado de la calibración será el error en cada punto de medida:

E = Lectura calibrando (LC) – Lectura patrón (LP)

o la corrección:

C = Lectura patrón - Lectura calibrando

100

P

PC

L

LLE

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Certificado de Calibración