plano cartesiano
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Plano CartesianoPlano Cartesiano
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Objetivos
1.1. Localizar puntos en el plano cartesiano.Localizar puntos en el plano cartesiano.
2.2. Trazar la gráfica (poligonal) de un conjunto Trazar la gráfica (poligonal) de un conjunto de puntosde puntos..
3.3. Encontrar la distancia y el puntoEncontrar la distancia y el punto medio entre medio entre dos puntos en el plano.dos puntos en el plano.
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3
Plano CartesianoPlano Cartesiano
Un plano cartesianoplano cartesiano se compone de dos
rectas numéricas reales que se intersecan
formando un ángulo de 90 grados en el cero
de las dos rectas.
ElEl plano cartesianoplano cartesiano se utiliza como sistema se utiliza como sistema
de referencia para localizar puntos en un de referencia para localizar puntos en un
plano.plano.
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4Plano CartesianoPlano Cartesiano
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
I CuadranteII Cuadrante
III Cuadrante IV Cuadrante
OrigenEje de las
Abscisas
Eje de las
Ordenadas
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Pares OrdenadosPares Ordenados
Un Un par ordenadopar ordenado es un par de números de es un par de números de
la forma la forma ( x, y )( x, y ) en donde el orden en que en donde el orden en que
se escriben los números es importante. La forma se escriben los números es importante. La forma
general de un par ordenado es: general de un par ordenado es:
((abscisaabscisa, , ordenadaordenada))
Cada par ordenado representa un punto Cada par ordenado representa un punto
en el plano cartesiano y viceversa.en el plano cartesiano y viceversa.
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-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4y
x
Signos de los puntos (pares ordenados) en los cuadrantes
Eje de las ordenadasEje de las ordenadas
Cuadrante I
x > 0, y > 0
Cuadrante IV
x > 0, y < 0
Cuadrante III
x < 0, y < 0
Cuadrante II
x < 0, y > 0
OrigenOrigen
(+,+)(-,+)
(-,-) (+,-)
Eje de las Eje de las abscisasabscisas
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-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4y
x
EjemplosLocaliza los siguientes pares ordenados en el Localiza los siguientes pares ordenados en el plano cartesiano.plano cartesiano.
1. A(2, 3)
2. B(-2, 4)
3. C(-3, -2)
4. D(1, -3)
5. E(2, 0)
6. F(0, -1)
A(2, 3)B(-2, 4)
C(-3, -2) D(1, -3)
E(2, 0)
F(0, -1) Puntoscuadrantales
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8Ejemplo La cantidad (en miles) de automóviles vendidos en P.R. para los años 1988 al 1993 está dada en la tabla. Localiza los puntos en el plano cartesiano y traza una gráfica poligonal de los datos. La gráfica poligonal se obtiene uniendo los puntos con segmentos de líneas.
1988 1989 1990 1991 1992 1993
25 20 28 30 15 40
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9
y
t
10
20
30
40
50
60
88 89 90 91 92 93 94Años
Cantidad
en Miles
1988 1989 1990 1991 1992 1993
25 20 28 30 15 40
A B C D E F
A
B
CD
E
F
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País Precio por Galón, p(U.S. $)
Millas Promedio por Auto
Canada 1.57 10,371 England 2.86 10,186 France 3.31 8740
Germany 3.34 7674 Sweden 3.44 7456
United States 1.24 11,099
Ejemplo Los datos mostrados representan el precio por galón de gasolina en 1994 y el número promedio de millas recorridas por autos en varios países. Dibuja una gráfica poligonal de los datos.
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M
P
7000
8000
9000
10000
11000
12000
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5Precio
Cantidad
Millas
4.0
24.1 57.1 86.2 31.3 34.3 44.3
11099 10371 10186 8740 7674 7456
A B C D E F
A
B
C
D
E
F
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-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4y
x
Distancia entre dos puntos del planoDistancia entre dos puntos del plano
Distancia entre A y B
1 1( , )A x y
2 2( , )B x y
1x
2 1x x1y
2y
2 1y yd
2x
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Usando el Teorema de Pitágoras tenemos queUsando el Teorema de Pitágoras tenemos que
2 2 2
1 2 2 1 2 1,d P P x x y y
Aplicando la raíz cuadrada en ambos lados Aplicando la raíz cuadrada en ambos lados obtenemosobtenemos
2 2
1 2 2 1 2 1,d P P x x y y
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1 1 1 2 2 2
2 2
1 2 2 1 2 1
La distancia entre dos puntos , y ,
en un plano se donota y define por
d , .
P x y P x y
P P x x y y
Fórmula de DistanciaFórmula de Distancia
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1 23,8 , 1, 2P P
2 2
1 2 2 1 2 1,d P P x x y y
2 2
1 2, 1 3 2 8d P P
2 2
1 2, 4 6d P P
1 2, 16 36d P P 52 2 13
Ejemplo 1: Encuentra la distancia entre los puntos (3, 8) y (-1, 2).
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16Ejemplo 2: En un mapa el punto En un mapa el punto A A tiene las coordenadas tiene las coordenadas (2 , -1.4)(2 , -1.4) y el punto y el punto BB tiene unas coordenadas tiene unas coordenadas (-4.6 , 2.5).(-4.6 , 2.5). Calcule la distancia entre Calcule la distancia entre AA y y BB. . Suponga que la escala es en centímetros.Suponga que la escala es en centímetros.
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212
212 yyxxd
22 4.15.226.4 d
22 4.15.26.6
La distancia entre A(2, -1.4) y B(-4.6, 2.5) es:
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22 4.15.26.6 d
22 9.36.6
77.58
67.7 cm
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-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4y
x
El punto medio entre dos puntos del planoEl punto medio entre dos puntos del plano
Punto medio entre A A y BB
1x2x1y
2y
221 xx
221 yy
1 1( , )A x y
2 2( , )B x y
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1 2 1 2PM , ,2 2
x x y yA B
Fórmula del Punto MedioFórmula del Punto Medio
El punto medio del segmento de línea con extremos y 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y se define y denota por;
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21
Encuentra el punto medio del segmento entre
1 3, 8P y 2 1, 2P .
1 2 1 21 2PM , ,
2 2
x x y yP P
PM 1,5
1 2
3 1 8 2PM , ,
2 2P P
1 2PM , 1,5P P
Ejemplo 1:
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Ejemplo 2:Ejemplo 2:
La cadena de los supermercados La cadena de los supermercados OrtízOrtíz tuvo tuvo unas ventas anuales de unas ventas anuales de $1.7$1.7 millones en millones en 1997 1997 y de y de $1.95$1.95 millones en millones en 1999.1999. Haga un Haga un estimado de las ventas de estos estimado de las ventas de estos supermercados en supermercados en 1998. 1998. Asumir que las Asumir que las ventas siguieron un patrón lineal.ventas siguieron un patrón lineal.
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Como las ventas siguieron un patrón lineal y Como las ventas siguieron un patrón lineal y el año 1998 está en el medio de los años 1997 el año 1998 está en el medio de los años 1997 y 1999 podemos usar la fórmula de punto y 1999 podemos usar la fórmula de punto medio.medio.
:puntos los Tenemos
1.95 ,1999y 1.7 ,1997
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1.7 ,1997 y 1.95 ,1999
PM
2
95.17.1,
2
19991997
millones 825.1 , 1998Las ventas en el 1998 fueron de 1.825 millones.
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25Ejercicios:
1. Encuentra la distancia entre 2,3 y -2,-5
2. Encuentra la distancia entre 3 2,2 3 y -4 2,-3 3
3. Encuentra la distancia entre 2,3 y el punto medio entre 2,-2 y (-4,-6)
4. Encuentra los puntos ,5 , cuya distancx
ia al
punto 2,3 es 20.
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.5,23,2 entre distancialaEncuentra.1 y
22 3522 d
2 22 2 8d
0 64d
8d
© Copywriter
27
2. Encuentra la distancia entre,
3 2,2 3 4 2, 3 3 .y
2 2
4 2 3 2 3 3 2 3d
2 2
7 2 5 3d
49(2) 25(3)d
98 75d
173d © Copywriter
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3. Encuentra la distancia entre,
2,3 y el punto medio entre 2,-2 y (-4,-6).
2 21 2 4 3d
2 21 7d
50d
4,12
)6(2,
2
)4(2..
MP
25 2d 5 2d © Copywriter
29
2 220 2 5 3x
4. Encuentra los puntos ,5 , cuya distancia al
punto 2,3 es 20.
x
2 220 2 2x
220 2 4x
22 220 2 4x
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30 220 2 4x
216 2x
216 2x
4 2x
2 4x
. . 6,5 , 2,5C S
6 2x x
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