pendulo torsion
Post on 15-Oct-2015
122 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
Prctica 7: Pndulo de Torsin
Jos Manuel Romero Gonzlez y Paloma Rodrguez Casales
May 7, 2014
Abstract
En esta prctica se pretende determinar el momento de inercia de un
pndulo de torsin, su constante de torsin y su mdulo de rigidez, para
ello se calcular primero el perodo de oscilacin del pndulo, acto seguido
se le agregar una pieza y se estudiar el nuevo periodo de oscilacin que se
incrementar, con esos datos se podr determinar el momento de Inercia I
del pndulo, relaccionandolo con su constante de torsin y posteriormente
con el mdulo de rigidez.
1 Introduccin
El momento de inercia (smbolo I) es una medida de la inercia rotacional de
un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de
inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar
llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso ms general posible la
inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de
inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripcin
tensorial es necesaria para el anlisis de sistemas complejos, como por ejemplo
en movimientos giroscpicos.
El momento de inercia reeja la distribucin de masa de un cuerpo o de un
sistema de partculas en rotacin, respecto a un eje de giro. El momento de
inercia slo depende de la geometra del cuerpo y de la posicin del eje de giro;
pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.
El momento de inercia desempea un papel anlogo al de la masa inercial en
el caso del movimiento rectilneo y uniforme. Es el valor escalar del momento
angular longitudinal de un slido rgido.
Denicin Dado un sistema de partculas y un eje arbitrario, el momento
de inercia del mismo se dene como la suma de los productos de las masas de
las partculas por el cuadrado de la distancia r de cada partcula a dicho eje.
Matemticamente se expresa como:
I =
mir2i
Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo), se generaliza como:
I =mr2dm =
Vr2 dV
1
-
El subndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del
cuerpo. Se resuelve a travs de una integral triple.
Este concepto desempea en el movimiento de rotacin un papel anlogo al
de masa inercial en el caso del movimiento rectilneo y uniforme. La masa es la
resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslacin y el Momento
de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotacin.
As, por ejemplo, la segunda ley de Newton: \scriptstyle{F = m a} tiene como
equivalente para la rotacin:
= I donde :es el momento aplicado al cuerpoI es el momento de inercia del cuerpo con
respecto al eje de rotacin y = d2dt2 es la aceleracin angular. Siempre y cuando
la distancia con respecto al sistema de referencia permanezca constante.
La energa cintica de un cuerpo en movimiento con velocidad v es
12mv
2,
mientras que la energa cintica de un cuerpo en rotacin con velocidad angular
es
12 I
2, donde I es el momento de inercia con respecto al eje de rotacin.
La conservacin de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por
equivalente la conservacin del momento angular
~L:
~L = I~El vector momento angular, en general, no tiene la misma direccinque el vector velocidad angular ~. Ambos vectores tienen la misma direccin si
el eje de giro es un eje principal de inercia. Cuando un eje es de simetra entonces
es eje principal de inercia y entonces un giro alrededor de ese eje conduce a un
momento angular dirigido tambin a lo largo de ese eje.
El mdulo de elasticidad transversal, tambin llamado mdulo de cizal-
ladura, es una constante elstica que caracteriza el cambio de forma que ex-
perimenta un material elstico (lineal e istropo) cuando se aplican esfuerzos
cortantes. Este mdulo recibe una gran variedad de nombres, entre los que cabe
destacar los siguientes: mdulo de rigidez transversal, mdulo de corte, mdulo
de cortadura, mdulo elstico tangencial, mdulo de elasticidad transversal, y
segunda constante de Lam.
Para un material elstico lineal e istropo, el mdulo de elasticidad transver-
sal es una constante con el mismo valor para todas las direcciones del espacio. En
materiales anistropos se pueden denir varios mdulos de elasticidad transver-
sal, y en los materiales elsticos no lineales dicho mdulo no es una constante
sino que es una funcin dependiente del grado de deformacin.
Denicin Experimentalmente el mdulo elstico transversal (o mdulo cor-
titilatante) puede medirse de varios modos, conceptualmente la forma ms sen-
cilla es considerar un cubo como el de la g. 1 y someterlo a una fuerza cortante,
para pequeas deformaciones se puede calcular la razn entre la tensin y la dis-
torsin angular:
G := m F/Ax/l = FlxAExperimental tambin puede medirse a partir de experimentos de torsin,
por lo que dicha constante no slo interviene en los procesos de cizalladura.
2
-
2 Fundamento Terico
La ecuacin fundamental de la dinamica de la rotacin establece que el mo-
mento externo M que actua sobre un cuerpo que gira al rededor de un eje jo
es proporcional a la aceleracin angular que le produce, denominandose dicha
constante momento de incercia I del cuerpo respecto a dicho eje.
M = I
El momento de incercia se puede calcular como la suma de los productos de
todos los elementos de masa dm del cuerpo por el cuadrado de su distancia r al
eje de giro.
I =
r2dm
Hacia 1779, Coulomb abordaba el estudio del pndulo de torsin con ocasin
de estar buscando la mejor tcnica para la brjula marina. En esencia, el pn-
dulo de torsin esta formado por un hilo inextensible, anclado a un extremo,
mientras que en el otro extremo, cuelga de el un cuerpo fsico con un momento
de incercia determinado. Si se aplica un momento al pendulo de torsin, el
alambre se retuerce y reaciona elsticamente con un momento recuperador en
sentido contrario al aplicado, denomidado momento de torsin. Para gulos de
torsin de pequea amplitud, el valor del momento M es proporcional al ngulo
; de modo que se cumple:
M = D
Dnde D es la constante de torsin, que est relacionada con el mdulo de
rigidez por:
D =r4G
2lSupongamos una barra de longitud l y radio r dispuesta verticalmente, con
su extremo superior jo:
El extremo inferior est sujeto a un dispositivo que se puede girar libremente.
Dndole un leve giro al cuerpo fsico, el momento exterior aplicado, M = D,es neutralizado por un momento elstico. Es decir, en el alambre, se desarrollan
fuerzas elsticas que tienden a devolver el alambre y al cuerpo P a la posicin
de partida. Pero, debido a la velocidad angular que lleva, se rebasa la posicin
de equilibrio y el sistema ejecuta oscilaciones en torno a dicha posicin, con
torsiones alternativas en uno y otro sentido. Se dice que el sistema constituye
un pndulo de torsin. Como se trata de un movimiento de rotacin, como ya
hemos mencionado antes, el momento de las fuerzas ser igual al producto del
momento de inercia I del sistema mvil por la aceleracin angular:
D = I d2
dt2
3
-
De la ecuacin del periodo, podemos obtener la relacin entre I/D, pero no
ambas por separado. Para resolver este problema, se aade al sistema un cuerpo
de momento de inercia conocidoI0 respecto al eje de rotacin. Haciendo oscilarel sistema tendramos un nuevo periodo dado por:
T0 = 2
I + I0D
El momento de inercia I0del cilindro se puede determinar con mucha pre-cisin a partir de las dimensiones geomtricas y la masa del cuerpo aadido al
sistema, si su forma geomtrica es sencilla.
Eliminando D de T y T0 , obtenemos:
I=I0T 2
T 20 T 2(2)
y eliminando I entre las mismas ecuaciones:
D = 42I0
T20 T2(3)
Una vez obtenido el valor de D, el de G se calcula a partir de la ecuacin anterior.
3 Procedimiento Experimental y Conclusin
El pndulo de torsin de esta prctica est formado por un alambre de unos 100
cm de longitud, sujeto por su parte superior, y cuyo extremo inferior va unido
a un disco metlico.
1. Gire la masa del pndulo entorno al eje vertical y dejelo en libertad. El
disco comenzar a oscilar en un plano horizontal.
2. Determine con el cronmetro la duracin de 50 oscilaciones completas,
repitiendo la operacin tres veces y realizando los clculos de dispersin
pertinentes para decidir el nmero de medidas necesarias.
4
-
Primero, medimos la duracin de 50 oscilaciones completas. La dispersin
de las medidas obtenidas es menor del 2%:
n tiempo periodo
50 3736 ' 187,360, 0150 3' 7 44 ' 187,440, 0150 3' 7 28 ' 187,280, 01La media es 187,360, 01 s y el periodo T=3,74720, 0001 s y la dispersinde errores es menor al 2%. (Clculo de Dispersin de Errores (Dispersin
1))
3. Aada la pieza adicional y mida de nuevo el periodo T0en la misma formaque antes
n tiempo periodo
50 4' 22 22 ' 262,220, 0150 4' 21 94 ' 261,940, 0150 4' 22 25 ' 262,250, 01La media es 262,1370, 01 s y el periodo T0es 5,242740, 0001 s y sudispersin es menor del 2%. (Clculo de Dispersin de Errores (Dispersin
1))
4. Determine la masa de esta pieza y todas sus dimensiones geomtricas.
Midiendo con unbalanza obtenemos una masa de 5000,01 g
El radio R de la circunferencia exterior 0, 03050, 001 mEl radio menor r de la pieza 0,00650, 001 m
5
-
La distancia d que posteriormente se emplear para el clculo del volu-
men total d= R-r = 0,024 0,001La altura de la pieza h = 0,020,001 mEl espesor e = 0,005 0,0001 m5. Calcule el momento de inercia I0de la pieza. Para ello tenga en cuenta losvolmenes vaciados de la misma.
Primero calcularemos el volumen total de la pieza tiendo en cuenta los vol-
umenes de vaciado que forman un cilindro de radio r, y un paraleleppedo
de ara e*h, despreciando el pequeo error de los borde e del cilindro
que no es exactamente recto, sino que en realidad es curvo.
Vt = V1 V2 V3siendo el V1 el volumen de la pieza maziza, el V2 el volumen del agujerodel centro y el V3 el volumen de la pieza que falta. Sustituyendo los datos:
Vt = R2hr2h edh= 0,00005339468552 0,000000341242 m3Como conocemos la masa podemos calcular la densidad de la pieza :
= m/V = 9.364.227,827 g/m3 = 9,3642278280,0000038734 g/cm3Calcular de I0 ,conociendo , vendr dado por:
I0 =12V1R
2 12V2r2 13V3d2= 0,252614705 0,00092573 kgm2
(a) El momento de Inercia del cilindro de radio R que viene dado por
I = 12mR2, donde como es constante multiplicado por el volumencontenido en cada espacio nos da su correspondiente masa.
(b) El momento de Inercia de una varilla es I = 112mR2, pero como
nuestra varilla no tiene su centro en el origen se aplica Steiner I =112mR
2 +mR2
4 =13mr
2, multiplicando por su correspondiente volu-men obtenemos la masa.
6. Con el valor obtenido para I0 y los correspondientes de T y T0 calcule Iaplicando la ecuacin (2).
Como resultado se obtiene un valor de I= 0,516440678+0,00092573 kgm
2
7. Calcule el valor de D, sustituyendo los valores correspondientes en (3).
Se obtiene despejando un valor para la constante de torsin D=0,741760219
0,0036593 kgm2/s2
8. Mida la longitud l del hilo y con el palmer su dimetro.
(a) Se mide la longitud con la cinta mtrica l =0,090,001 m(b) El valor obtenido con el palmer para la cuerda es de 0,000320,000001mm
9. Aplicando la ecuacin (1) calcule el mdulo de rigidez del alambre.
G= 4.246625793 0,006748975
6
-
Conclusin
Como puede apreciarse la al agregar cualquier tipo de cuerpo a un pndulo de
torsin deduciendo su volumen, su masa y por lo tanto su densidad se produce
un incremento del periodo del pndulo debido a que varia el momento inercial
del pndulo y en base a eso deduciendo la constante de torsin gracias a la
relacin que mantiene con los periodos podemos deducir el momento de inercia
del pndulo del pndulo cuando no se le haba incorporado pieza alguna, y con
ello deducir, el mdulo de rigidez G, esto es til, independientemente de la pieza
puesta, (se suele usar el cilindro con la franja porque jandote en la franja puede
medir mejor el perodo). siempre y cuando podamos deducir la expresin de su
volumen y considerandola con una densidad constante, suponiendo que dicha
pieza agregada est formada por un nico material como es el caso.
Tambin mencionar que reducir los errores instrumentales en esta grca
es fundamental para poder obtener un valor de las medidas indirectas lo ms
preciso posible, es por ello que por ejemplo el grosor de la cuerda del pndulo
se mide con un palmer, ya que sino el error cometido sera demasiado grande e
impreciso.
Agradecimientos
Se agradece la disponibilidad de los recursos didcticos de la UGR, gracias a los
cuales es posible el aprendizaje, as como tambin se aprecia la ayuda prestada
por el profesor a la hora de realizar la prctica y de responder dudas, tambin a
los compaeros que hacen un entorno de trabajo muy agradable, y contribuyen
siempre a un mayor aprendizaje sobre la practica al comentar los resultados
sobre la misma.
Apndice
Clculo de Dispersin de Errores
Primero procederemos al clculo de la dispersin de las medidas., que no es ms
que la resta del valor mximo obtenido del perodo y el menor.
D = Tmax TminCmo la dispersin es mayor que el error instrumental, el error no solo se
debe a errores de carcter sistemtico sino a errores aleatrios.
Por lo tanto hay que calcular cun es el nmero de medidas a obtener en
base a la disperin porcentual, para lo cual:
Se calcula la media de los 3 periodos:
M = (3
1Ti)/3Y luego se calcula el tanto por ciento de dispersin de las medidas y se
comprueba que es menor al 2% segn las leyes de la estadstica, y vercar que
es despreciable el error aleatoro, con las medidas tomadas anteriormente:
7
-
T % =D
M 100Haciendo cuentas obtenemos las dispersiones porcentuales de cada apartado:
T1% dispersion1=0,000853971 (Dispersin 1)T2% dispersion2=0,001182589% (Dispersin 2)
Clculo de Errores Instrumentales en las medidas Indirec-
tas
Los clculos de los errores se han obtenido aplicando reiteradamente la frmula
de:
4y =
i
(y
xi
)2(4xi)2 +
j
(y
aj
)2(4aj)2
Obteniendose de de este modo, en cada medida indirecta: V = 0, 000000341242m3,p = 0, 0000038734g/cm, AI0 = 0, 00092573kgm
2,D = 0, 0036593,G =0, 006748975
Instrumentacin
Cronmetro El cronmetro es un reloj cuya precisin ha sido comprobada y
certicada por algn instituto o centro de control de precisin. Mediante algn
mecanismo de complicacin, permite la medicin de tiempos. Normalmente,
en su versin analgica van provistos de un pulsador de puesta en marcha y
paro as como otro segundo pulsador de puesta a cero. En nuestro caso era un
cronmetro digital. Con un error nstrumental de: 0,01 s
Regla Graduada La regla graduada es un instrumento de medicin con forma
de plancha delgada y rectangular que incluye una escala graduada dividida en
unidades de longitud, por ejemplo centmetros o pulgadas; es un instrumento
til para trazar segmentos rectilneos con la ayuda de un bolgrafo o lpiz, y
puede ser rgido, semirrgido o exible, construido de madera, metal, material
plstico, etc.
8
-
Su longitud total rara vez es de un metro de longitud pero la mayoria es de
30 centimetros. Suelen venir con graduaciones de diversas unidades de medida,
como milmetros, centmetros, y decmetros, aunque tambin las hay con grad-
uacin en pulgadas o en ambas unidades.Con un error nstrumental de: 1mm
Calibrador El calibre, tambin denominado calibrador, cartabn de corred-
era, pie de rey, pie de metro, forcpula (para medir rboles) o Vernier, es un in-
strumento utilizado para medir dimensiones de objetos relativamente pequeos,
desde centmetros hasta fracciones de milmetros (1/10 de milmetro, 1/20 de
milmetro, 1/50 de milmetro). En la escala de las pulgadas tiene divisiones
equivalentes a 1/16 de pulgada, y, en su nonio, de 1/128 de pulgada.
Es un instrumento sumamente delicado y debe manipularse con habilidad,
cuidado, delicadeza, con precaucin de no rayarlo ni doblarlo (en especial,
la colisa de profundidad). Deben evitarse especialmente las limaduras, que
pueden alojarse entre sus piezas y provocar daos.Con un error nstrumental
de:0, 01mm
Balanza La balanza es un instrumento que sirve para medir la masa de un
objeto.
Es una palanca de primer gnero de brazos iguales que, mediante el establec-
imiento de una situacin de equilibrio entre los pesos de dos cuerpos, permite
9
-
medir masas.
Para realizar las mediciones se utilizan patrones de masa cuyo grado de exac-
titud depende de la precisin del instrumento. Al igual que en una romana, pero
a diferencia de una bscula o un dinammetro, los resultados de las mediciones
no varan con la magnitud de la gravedad.
El rango de medida y precisin de una balanza puede variar desde varios
kilogramos (con precisin de gramos), en balanzas industriales y comerciales;
hasta unos gramos (con precisin de miligramos) en balanzas de laboratorio.Con
un error instrumental de 0,01 g
Palmer El micrmetro, que tambin es denominado tornillo de Palmer, cali-
bre Palmer o simplemente palmer, es un instrumento de medicin cuyo nombre
deriva etimolgicamente de las palabras griegas (micros, pequeo) y o (metron,
medicin); su funcionamiento se basa en un tornillo micromtrico que sirve para
valorar el tamao de un objeto con gran precisin, en un rango del orden de
centsimas o de milsimas de milmetro, 0,01 mm 0,001 mm (micra) respecti-
vamente.
10
-
References
[1] http://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_inercia
[2] http://es.wikipedia.org/wiki/Cron%C3%B3metro
[3] Ortega, Manuel R. (1989-2006).
[4] Lecciones de Fsica (4 volmenes). Monytex.
[5] . Resnick,R. & Halliday, D. (1996). Physics. John Wiley & Sons.
[6] .Fsica de Paul A. Tipler (Ed Revert S.A.).
[7] Fsica COU de Francisco Pomer, Fernando Tena y otros(Ed. Ecir).
11
top related