parábola y recta

Clase 182

Relación de posición entre Relación de posición entre la parábola y la recta.la parábola y la recta.

x

y

0VV

FF

ee

ttss

e: e: exteriorexteriort: t: tangentetangentes: s: secantesecante

h

k

Halla la ecuación de la Halla la ecuación de la parábola de vértice parábola de vértice (– 1; 4) y foco (0; 4). (– 1; 4) y foco (0; 4). Determina los puntos Determina los puntos de intersección con la de intersección con la recta 2x recta 2x –– y + 6 = 0. y + 6 = 0.

Ejercicio Ejercicio 11

V(– 1; V(– 1; 4)4)

F(0; F(0; 4)4)

(y – k)(y – k)22 = 4p(x – = 4p(x – h) h) (y – 4)(y – 4)22 = 4 (x + = 4 (x + 1)1)

d(V; F) = d(V; F) = pp

luego p = 1p = 1

2x – y + 6 = 02x – y + 6 = 0(II)(II) y = 2x + 6y = 2x + 6

(I)(I)

Sustituyendo (II)(II) en (I)(I)(2x + 6 – 4)(2x + 6 – 4)22 = 4 (x + = 4 (x +

1)1) (2x + 2)(2x + 2)22 = 4 (x + = 4 (x + 1)1)

(2x + 2)(2x + 2)22 = 4 (x + = 4 (x + 1)1) 4x4x22 + 8x + 4 = 4x + + 8x + 4 = 4x +

44 4x4x22 + 4x = 0 + 4x = 04x(x + 1) = 4x(x + 1) = 00 xx11= 0= 0 ó xx22= – 1= – 1

Sust en (II)Sust en (II) y = 2x + 6y = 2x + 6 yy11 = 2(0) + = 2(0) + 66 yy11 = 6 = 6

yy22 = 2(– 1) + = 2(– 1) + 66 yy22 = 4 = 4

Los puntos de Los puntos de intersección son: Pintersección son: P11(0; 6) (0; 6) y Py P22 (– 1; 4) (– 1; 4)

Determina para qué valores Determina para qué valores de k, la recta x – y + k = 0 de k, la recta x – y + k = 0 y la parábola xy la parábola x22 + + 22kx – kx – 88y + y + 2525 = = 00 son: son:

a) a) tangentes,tangentes,b) secantes, b) secantes,

c) la recta es exterior.c) la recta es exterior.

Ejercicio Ejercicio 22

r: x – y + k = r: x – y + k = 00xx22 + 2kx – 8y + 25 = 0 + 2kx – 8y + 25 = 0

y = x + y = x + kk

(I)(I)

(II(II))Despejando “y” en Despejando “y” en

(I)(I)Sustituyendo en (II) Sustituyendo en (II) resulta:resulta:xx22 + 2kx – 8(x + k) + 25 = 0 + 2kx – 8(x + k) + 25 = 0xx22 + 2kx – 8x – 8k + 25 = 0 + 2kx – 8x – 8k + 25 = 0xx22 + (2k – 8)x – 8k + 25 = 0 + (2k – 8)x – 8k + 25 = 0Aplicando el discriminante:Aplicando el discriminante:

D = bD = b2 2 – 4ac– 4ac

a)

xx22 + (2k – 8)x – 8k + 25 = 0 + (2k – 8)x – 8k + 25 = 0 D = (2k – 8)D = (2k – 8)2 2 – 4( –8k + – 4( –8k + 25)25)= 4k= 4k22 – 32k + 64 + 32k – – 32k + 64 + 32k –

100100 = 4k= 4k2 2 – 36– 36Si D = 0 la recta es Si D = 0 la recta es tangente a la tangente a la circunferencia, si D circunferencia, si D >0 la >0 la recta es secante y si D< 0 recta es secante y si D< 0 es exterior.es exterior.4k4k22 – 36 = – 36 =

00 kk22 = 9 = 9 k = k = 33

Es tangente Es tangente para k = 3 ó para k = 3 ó k = – 3. k = – 3.

4k4k22 – 36 – 36 > > 00

b) kk22 >> 9 9

kk >> |3||3|La recta es secante a la La recta es secante a la parábola para los valores parábola para los valores de k de k >> 3 ó k 3 ó k < < – 3– 3

c) 4k4k22 – 36 – 36 << 00 kk2 2 << 9 9

kk << |3||3|

Es exterior para – 3 Es exterior para – 3 < k < < k < 33

Ejercicio 3Ejercicio 3

Encuentra la ecuación de Encuentra la ecuación de la recta tangente a la la recta tangente a la

parábolaparábola (y – 2)(y – 2)22 = – 8(x – 4) = – 8(x – 4) que tiene pendiente que tiene pendiente 22..

(y – 2)(y – 2)22 = – 8(x – 4) = – 8(x – 4) m = 2m = 2

Ecuación de la Ecuación de la tangente: y = 2x + tangente: y = 2x +

nn(2)

(1)

Sustituyendo (2) en (1) tenemos:((2x + n2x + n – 2) – 2)22 = – 8(x – 4) = – 8(x – 4)

4x2+n2+ 4

+ 4nx –8x –4n

= –8x+32

4x2 + 4nx

+ n2 – 4n – 28 = 0aa bb cc

(a+b+c)(a+b+c)22= a= a22+ b+ b22+ c+ c22+ 2ab+ + 2ab+ 2ac+ 2bc2ac+ 2bc

D = bD = b22 – – 4ac4ac= 16n2– 16(n2 – 4n –

28) = 16n2– 16n2 + 64n + 448 = 64n + 448 Para que la recta sea

tangente se debe cumplir que: D = 0

64n + 448 = 0 64n = –

448n = – 7

La La tangente tangente

tiene tiene ecuación ecuación y = 2x – 7 y = 2x – 7

Para el Para el estudio estudio

individualindividual

El gráfico El gráfico representa una representa una circunferencia circunferencia tangente a los tangente a los

ejes ejes coordenados. Si coordenados. Si

una parábola una parábola tiene vértice en tiene vértice en su centro y el su centro y el

foco es el punto foco es el punto de tangencia con de tangencia con el eje x. Escribe el eje x. Escribe la ecuación de la ecuación de ambas curvas. ambas curvas.

xx

yy

OO

33

33