p4 - espejos
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M en C. Erick Barrios Barocio; Fis. Arnaldo Hernández Cardona; Fis. Erika Colín Ulloa.
Laboratorio de Óptica, Facultad de Ciencias, UNAM.
Objetivo.
Comprobar la validez de la ecuación que describe el funcionamiento de los espejos; así como aprender
a caracterizar. Observar un método para determinar la calidad de la superficie de espejos cóncavos (Prueba
de Foucault) y conocer el método de Fotografía Schlieren.
Teoría.
Un espejo es una superficie pulida en la que la luz incidente se refleja siguiendo la Ley de la Reflexión.
Sin embargo, dependiendo de las características geométricas de la superficie, la reflexión presenta
características particulares.
Espejos Planos [1].
Considerando una fuente puntual (objeto) ubicada a una distancia o
y altura h frente al espejo (Figura 1), los rayos que emite se reflejaran
en el espejo de forma que aparentaran divergir. Para un observador
situado frente al espejo (del mismo lado que la fuente), parecerá que
los rayos provienen de un punto i (imagen) localizado detrás del
espejo. La imagen se puede localizar extendiendo los rayos reflejados
hacia el punto del que parecen divergir (Figura 1). Solo se necesitan
dos rayos, uno que se retro-refleje sobre si mismo (𝑂𝑄̅̅ ̅̅ ) y uno que se
refleje de acuerdo a la ley de reflexión (𝑂𝑅̅̅ ̅̅ ). Puesto que ⊿𝑂𝑄𝑅̅̅ ̅̅ ̅̅ e
⊿𝐼𝑄𝑅̅̅ ̅̅ ̅ son congruentes, 𝑜 = 𝑖. La imagen formada por un espejo plano está a la misma distancia que el
objeto frente al espejo. La altura del objeto, h, es igual a la altura de la imagen, h’.
Espejos Esféricos.
Estos espejos tienen una superficie que es una sección de una esfera, por lo que tienen un centro de
curvatura (C) y un radio de curvatura (R). Este tipo de espejos son los más comunes debido a que su
construcción es sencilla; sin embargo, presentan deficiencias en la formación de imágenes, sobre todo para
radios pequeños [2, 3]. Estas deficiencias son subsanadas por los espejos parabólicos (que geométricamente
reflejan los rayos en un solo punto, foco); sin embargo, su construcción es más complicada. Dentro de la
clasificación de espejos curvos, existen dos tipos [1]:
a) Espejos Cóncavos.
Su geometría hará converger
(enfocar) los rayos reflejados. En
particular, si los rayos llegan al
espejo de forma paralela a su eje
(Figura 2a), se enfocarán en un punto
llamado foco (f ).
Considere un objeto en o, sobre el
eje óptico (Figura 2b). Para conocer
la posición de la imagen (i) formada,
bastan dos rayos provenientes del
objeto que se reflejen en el espejo y
el punto donde se crucen será donde
se forme la imagen.
Figura 1. Geometría de un espejo
plano.
h
Objeto Imagen
O o
𝜃
𝜃 R
Q h´
i I
Figura 2. Geometría de un espejo cóncavo.
a) b)
i
Eje
Óptico
C f
R
f
O
h
I
R
C h´
o
𝛼 𝛼 𝜃
𝜃
V V
Esf
era
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Es posible calcular la posición de la imagen, a partir del conocimiento de la distancia al objeto o y del
radio de curvatura R. En la Figura 2b uno de los rayos sale de O, pasa por C y llega al espejo de forma
perpendicular, retro-reflejándose; el segundo rayo llega a V y se refleja de acuerdo a la ley de reflexión.
En ⊿𝑂𝑉ℎ̅̅ ̅̅ ̅̅ se tiene que 𝑡𝑎𝑛 𝜃 = ℎ/𝑜, mientras que en ⊿𝐼𝑉ℎ̅̅ ̅̅ ̅ se tiene 𝑡𝑎𝑛 𝜃 = −ℎ′/𝑖. Por ser triángulos
congruentes, la relación de tamaños (magnificación) será:
𝑀 =ℎ′
ℎ= −
𝑖
𝑜 (1)
De forma similar, utilizando la tangente de los triángulos formados alrededor del centro de curvatura
con los ángulos α y la ecuación (1), se obtiene que:
𝑅−𝑖
𝑜−𝑅=
𝑖
𝑜 (2)
Que con un poco de algebra: 1
𝑜+
1
𝑖=
2
𝑅 (3)
Que es la Ecuación del espejo. Si el objeto está muy lejos del espejo (𝑜 → ∞) la imagen estará a la
mitad entre el centro de curvatura (C) y el vértice del espejo (V), que es el foco (f):
𝑓 =𝑅
2 (4)
A partir de estas ecuaciones, se pueden observar dos características importantes de este tipo de espejos:
cuando el objeto se encuentra en f la imagen está en el infinito, y cuando el objeto está entre f y el espejo,
la imagen está detrás del espejo (imagen virtual), vertical y aumentada.
Espejos Convexos.
Las ecuaciones para espejos (1) y (3) también funcionan
para espejos convexos, cuya diferencia de que su radio de
curvatura es negativo por convención (Figura 3). Este tipo de
espejos producen que los rayos que inciden sobre ellos de
forma paralela diverjan, además de que la imagen siempre se
produce detrás del espejo (virtual), es vertical y será más
pequeña que el objeto. Conforme el objeto se aleja del espejo,
la imagen se reduce y se acerca a f. Este tipo de espejos
proporcionan un campo de visión muy amplio debido la
forma en que divergen los rayos.
Convención de signos.
Las imágenes se clasifican en reales o virtuales. Una
imagen real se forma cuando los rayos pasan físicamente
sobre la imagen; una imagen virtual se forma cuando los
rayos de luz no pasan físicamente sobre la imagen, pero
pareciera que divergen de ella. Por ejemplo, en espejos
planos y convexos, las imágenes siempre son virtuales
(Figura 1). Además, las imágenes reales pueden proyectarse
en una pantalla, las virtuales no. Por otro lado, en cuanto al
signo de las cantidades, la convención es que las cantidades
frente al espejo sean positivas y las cantidades que queden
“detrás” del espejo sean negativas (Tabla 1) [1].
Diagramas de rayos.
Las posiciones y tamaños de las imágenes formadas por espejos pueden determinarse con diagramas de
rayos utilizando solo 4 rayos (Figura 4) [1]. Para esto solo se necesita conocer o, f y C.
Tabla 1. Convención de signos para
espejos.
Frente o lado real Atrás o lado virtual
o e i positivas o e i negativas
f y R Positivas
(espejo cóncavo)
f y R Negativas
(espejo convexo)
Por donde incide y
se refleja la luz
No pasa la luz
M positiva, imagen
con misma dirección
que objeto
M negativa,
imagen invertida
Figura 3. Geometría de un espejo convexo.
I
O
Frente Atrás
h
C i o
h´ f
R
23
El rayo 1 se dibuja desde el objeto y
es paralelo al eje óptico, su reflexión
pasa por el foco f.
El rayo 2 va del objeto como
extensión desde f y su reflexión es
paralela al eje óptico.
El rayo 3 pasa por el objeto y el
centro de curvatura C y se refleja
sobre sí mismo.
El rayo 4 va del objeto al vértice del
espejo y se refleja de acuerdo a la ley
de reflexión.
El esferómetro [4].
Es un instrumento para medir el radio de
curvatura de una superficie esférica. Consiste
en un tornillo micrométrico insertado en un
pequeño trípode equilátero que cuenta con
una escala graduada. La cabeza del tornillo
tiene un disco graduado usado para medir
fracciones de vuelta del tornillo (Figura 5a).
La escala vertical es usada para medir la
altitud o profundidad que se desplazó el
tornillo central dependiendo de la curvatura
de la superficie. Las divisiones de la escala
vertical son de 1mm, es decir, el tornillo
central está calibrado de forma que una vuelta del tornillo equivale a un desplazamiento vertical de 1mm.
La cabeza del tornillo (o disco) generalmente esta graduado en 100 divisiones (0.01mm).
Si imaginamos que el esferómetro se coloca sobre una esfera generada por el tornillo central y la patas
laterales y se analiza una sección transversal vertical de la esfera (Figura 5b), se encontrara que la distancia
𝐷𝐸̅̅ ̅̅ es su diámetro, y que a su vez biseca la cuerda 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ . Si se conoce la distancia 𝐷𝐵̅̅ ̅̅ y 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ se puede
encontrar el radio de la esfera.
De la geometría de triángulos similares [5]:
𝐷𝐵̅̅ ̅̅ ∙ 𝐵𝐸̅̅ ̅̅ = (𝐵𝐶̅̅ ̅̅ )2
Así: (𝐷𝐵̅̅ ̅̅ ) ∙ (2𝑅 − 𝐷𝐵̅̅ ̅̅ ) = (𝐵𝐶̅̅ ̅̅ )2
Por lo que: 𝑅 =(𝐵𝐶̅̅ ̅̅ )2
2(𝐷𝐵̅̅ ̅̅ )+
𝐷𝐵̅̅ ̅̅
2
Donde R es el radio de la esfera, 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ será la distancia de la pata central del esferómetro a una de las patas
externas (a), 𝐷𝐵̅̅ ̅̅ la distancia que se desplaza el tornillo micrométrico central (h). Por lo que la ecuación
del esferómetro es:
𝑅 =𝑎2
2ℎ+
ℎ
2 (5)
Prueba de Foucault (Prueba de la Navaja).
Uno de los problemas más comunes de los espejos es la falta de precisión en el tipo de superficie
(esférica, parabólica, etc.). Esto produce que las imágenes estén distorsionadas (aberradas) [2, 3]; por
ejemplo, en espejos esféricos con focos pequeños los rayos reflejados generan distintos puntos de enfoque
para distintas posiciones radiales del espejo. Un método para observar la calidad de un espejo es la Prueba
de Focault.
Figura 4. Diagramas de rayos para espejos.
o i
Frente Atrás
Eje Óptico C
f
2
3 1 4
a
)
Pata
lateral
E
R
O
B C A
D
Tornillo Pata
lateral
h
b) a) Escala
Vertical
Disco
Graduado
Tornillo Patas
Laterales
Figura 5. a) Aspecto común, b) geometría de un esferómetro.
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La luz reflejada en el espejo contiene información de las
propiedades geométricas de éste. Si el espejo es perfectamente
curvo (esférico o parabólico), la luz reflejada convergerá en un
punto; sin embargo, si la superficie no es perfecta, la
localización del punto de convergencia no será única (no estará
bien definida ya que habrá varios puntos de enfoque), es decir,
se extenderá en un área (Figura 6), este fenómeno es llamado
aberración esférica.
Colocando el borde de una navaja por dentro o por fuera del punto de enfoque, se puede conocer si la
superficie es esférica o no. Al mover la navaja de forma perpendicular al eje óptico, se podrá observar con
el ojo cómo se mueve su sombra (Figura 7). Dependiendo del grado de deformación del espejo y de la
posición de la navaja a lo largo del eje óptico, se tienen cuatro posibles situaciones [6]:
- Espejo esférico, navaja en el punto de enfoque (Figura 7a). Cuando la navaja intercepta los rayos en
el punto de enfoque, el campo de visión pasará de estar iluminado a estar obscuro de forma
"instantánea". Debido a que los rayos están concentrados en un punto “ideal” la navaja bloquea todos
los rayos en un desplazamiento muy pequeño.
- Espejo esférico, navaja fuera del punto de enfoque (Figura 7b). Conforme la navaja se mueve hacia
el eje, interceptará los rayos que divergen del punto de enfoque de forma paulatina (invertidos en
orden respecto de los rayos entrantes al punto de enfoque). El ojo observará una sombra que irá
cubriendo el espejo desde el lado opuesto de la navaja y en dirección opuesta. En caso de que los
rayos sean proyectados en una pantalla la sombra de la navaja estará del mismo lado que esta y se
moverá en la misma dirección.
- Espejo esférico, navaja dentro del punto de enfoque (Figura 7c). Cuando la navaja se mueve hacia el
eje, va interceptando los rayos que convergen hacia el punto de enfoque de forma que la sombra
observada por el ojo irá cubriendo el espejo desde el mismo lado en que esta la navaja y en la misma
dirección. En caso de que los rayos sean proyectados en una pantalla, la sombra de la navaja estará
del lado contrario a ella y se moverá en dirección opuesta.
- Espejo no esférico. Esta situación (Figura 7d) hace visibles los efectos de aberraciones esféricas ya
que es una combinación de los tres casos anteriores. Para ciertos rayos, la navaja estará en el punto
de enfoque y para otros estará por dentro o por fuera, produciendo zonas donde la sombra de la navaja
se mueva desde cierta dirección. Esto formara patrones particulares a la geometría del espejo.
a) Espejo Lo que
observa
el ojo
Rayos
de luz
Movimiento
de la navaja
Sombra
b) Espejo Lo que
observa
el ojo
Rayos
de luz
Movimiento
de la navaja
Sombra
Lo que se
ve en una
pantalla
Lo que se
ve en una
pantalla
c) Espejo Lo que
observa
el ojo
Rayos
de luz
Movimiento
de la navaja
Sombra
Lo que se
ve en una
pantalla
Figura 7. Casos de la imagen observada en la prueba de Foucault. a) navaja en el punto de
enfoque, b)navaja fuera del punto de enfoque, c) navaja dentro del punto de enfoque, d) espejo
no esférico.
d) Espejo no esférico Lo que
observa
el ojo
Foco de
rayos
centrales
Lo que se
ve en una
pantalla
Foco de
rayos
externos
Figura 6. Aberración esférica
Circulo de mínima
confusión
Foco de rayos
periféricos
Foco de rayos
cercanos al eje
óptico
Espejo
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Este método es bastante útil para saber si un espejo presenta algún tipo
de defecto en su geometría al momento de ser construido, por ejemplo
para la construcción de espejos para telescopio.
La implementación experimental para llevar a cabo la Prueba de
Foucault es bastante sencilla (Figura 8); sin embargo, es necesaria una
fuente puntual, ya que de esta forma su imagen será un solo punto,
facilitando la función de la navaja, de lo contrario, si la fuente no es
puntual habrá muchos puntos de enfoque generando una posible falsa
interpretación de que el espejo está aberrado. Otro punto importante es la
necesidad de colocar la fuente ligeramente fuera de eje de forma que su
imagen no se deforme (aproximación paraxial).
Otro método para observar la calidad de los espejos es la Prueba de Ronchi, la cual usa una rejilla de
líneas obscuras igualmente espaciadas impresas en una transparencia en sustitución de la navaja [7].
Método Schlieren para observación de flujos [8].
Este método hace visibles pequeños cambios en la densidad (índice de refracción) de medios
transparentes. Estos cambios pueden deberse a cambios en la presión o la temperatura, por ejemplo, en
ondas de sonido, flujos de gases, vórtices, etc. El método se basa en la combinación de la ley de refracción
y la Prueba de la de Foucault. El montaje del sistema es similar al de la prueba de Foucault, con la
diferencia de que se usan dos espejos (Figura 9b), sin embargo puede usarse solamente uno como en la
prueba de Foucault (Figura 9a).
Cuando todo el medio está a una misma
temperatura (o densidad), los rayos a su
alrededor siguen su trayectoria recta
esperada y pasan la navaja. Sin embargo,
cuando un objeto caliente genera un
gradiente de densidad en el medio que lo
rodea, unos rayos sufrirán de refracción y
otros no, provocando que los rayos
refractados choquen con la navaja. Esto
producirá sombras para ciertas regiones
donde el aire tiene diferente densidad.
Problemas.
1. Un espejo esférico tiene un foco de 10.0cm. ¿Cuál es la posición, magnificación y tipo (real o
virtual) de la imagen (i) cuando el objeto (o) está a a) 25.0cm, b) 10.0cm c) 5.0cm?
2. Si un objeto está a una distancia de 2f de un espejo cóncavo, ¿Dónde estará su imagen?
3. Deducir la ecuación (3) a partir de consideraciones geométricas de la Figura 2b.
4. Utilizando la ecuación (3), calcular la incertidumbre superior del radio de curvatura (R) y del foco
(f) de un espejo, asumiendo que o e i son mediciones experimentales con incertidumbres fijas.
5. Utilizando la ecuación (5), calcular la incertidumbre superior del radio de curvatura (R) de un espejo,
asumiendo que a y h son mediciones experimentales con incertidumbres fijas.
Espejo Fuente
Puntual
Navaja
Figura 8. Montaje experimental
para la Prueba de Foucault.
Espejo
Fuente
Puntual
Navaja
Figura 9. Montajes típicos para fotografía Schlieren. a) Un solo
espejo; b) dos espejos.
2f
Navaja a) b)
Vela
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Actividad Demostrativa.
Prueba de la Navaja de Foucault y Visualización Schlieren.
Material: 1 Espejo cóncavo con foco grande. Riel con carrito. Reflector LED con mascara con agujero
pequeño. Navaja. Vela. Plastilina. Postes. Nuez. Flexómetro. Cámara (opcinal).
Para la prueba de la Navaja de Foucault.
1. Colocar un espejo cóncavo de longitud focal grande en la mesa de trabajo.
2. Colocar sobre un reflector LED una máscara con un agujero pequeño (para simular una fuente
puntual), en el agujero colocar algún material que difumine la luz (papel albanene).
3. Colocar el reflector frente al espejo y a un lado de su eje óptico a una distancia aproximada de 2f .
4. Colocar la navaja en un poste sobre un riel (con carro) de forma que quede cerca del punto de
enfoque de la imagen. El riel se debe poder girar de forma que la navaja cruce la trayectoria de los
rayos de luz reflejados por el espejo (Figura 8).
5. Moviendo la navaja a distintas posiciones (fuera, en y dentro del punto de enfoque) , observar e
interpretar las sombras producidas.
Para la visualización Schilieren:
1. Utilizando el arreglo anterior, colocar la navaja ligeramente detrás del punto de enfoque y
bloqueando la mitad de los rayos.
2. Colocar frente al espejo una fuente de calor por ejemplo, una vela (Figura 9a).
3. Observar e interpretar el fenómeno.
Actividad Experimental.
Espejos.
Material.
1 Espejo cóncavo. 1 Espejo convexo. 1 Espejo plano. Esferómetro. Flexómetro. Vernier. Reflector LED
(con objeto). Pantalla. Bases con Postes. Porta lentes. Clips.
Procedimiento.
Espejos planos.
1. En una hoja, colocar un espejo plano de forma vertical con ayuda de clips y marcar su posición.
2. Colocar un alfiler de forma vertical frente al espejo y marcar su posición en el papel.
3. Desde distintos puntos de observación (3 mínimo), al nivel del papel, ver la imagen del objeto y con
una regla trazar una línea en dirección de la imagen.
4. Quitar el espejo y extender todas las líneas hasta que se crucen. Medir y comprobar que la distancia
del objeto al espejo y del espejo a la imagen son iguales, incluir incertidumbres.
Espejos Cóncavos.
1. Colocar un espejo cóncavo en un porta lentes y base como se
muestra en la Figura 11. Fijar el espejo a la orilla de la mesa
de trabajo. Colocar el flexómetro el eje óptico del espejo
(tomar en cuenta la separación del cero del flexómetro y la
posición del espejo).
2. Colocar a los lados del flexómetro (eje óptico) una pantalla y
un reflector LED (con un objeto) sin fijar sus bases a la mesa.
Para distintas posiciones del reflector (o) a lo largo del
flexómetro, encontrar la posición de su imagen proyectada (i)
en la pantalla. Tomar datos de varias posiciones de i y o
Figura 11. Montaje experimental para
medir el foco de un espejo.
Espejo
cóncavo
Flexómetro
Pantalla
LED
27
(incluir incertidumbre).
3. Para 4 parejas de posiciones (o, i) cualesquiera, medir el tamaño de la imagen (h´) y objeto (h).
Con los datos obtenidos, usando la ecuación (3) y graficando i vs o, encontrar el radio de curvatura y
foco del espejo (incluir incertidumbre). Usando los datos de tamaño y de posiciones, verificar que la
ecuación (1) es válida (dentro de las incertidumbres, de lo contrario explicar posibles razones por las que
no se cumple). Para facilitar la toma de datos se sugiere usara la tabla correspondiente a esta práctica
incluida en el Apéndice A o de la hoja de Excel encontrada en la referencia [9], así mismo, en dicha
referencia se incluyen animaciones sobre el funcionamiento de los espejos.
El esferómetro.
1. Utilizando un esferómetro y con extremo cuidado de no rayar los espejos, medir el radio de curvatura
y distancia focal de un espejo convexo y uno cóncavo.
Datos Importantes.
1. Diagrama de la posición de la imagen en el espejo plano. Incluyendo incertidumbre.
2. Gráficas (normal y linealizada) de o vs i para el espejo cóncavo, incluyendo barras de error y valor
del radio de curvatura obtenido de la ecuación de ajuste.
3. A partir de los datos, deducir directamente con ayuda de la ecuación (3) R y f con incertidumbres.
4. Magnificaciones calculadas (M) a partir de i y o, comentar si concuerdan con la ecuación (1) dentro
de la incertidumbre.
5. Usando el esferómetro, obtener R y f para los espejos señalados. Incluir incertidumbre.
Referencias.
[1] R.A. Serway, R.J. Beichner. "Física para ciencias e ingeniería". 5° edición, McGraw-Hill. 2002.
[2] Paul A. Tipler. “Physics for scientists and engineers” 4° edición. Freeman/Worth. 1999.
[3] E. Barrios, A. Hernández. “Laboratorio de Óptica Clásica”, Práctica 8. Aberraciones Ópticas. 2015.
[4] Sameen Ahmed Khan. “Coordinate Geometric Generalization of the Spherometer and
Cylindrometer”.arXiv:1311.3602.
[5] Proofs with Similar Triangles. [2015]
http://regentsprep.org/regents/math/geometry/gp11/lsimilarproof.htm
[6] Anthony Harbour, David, “Understanding Foucault”, [2015]
http://www.atm-workshop.com/foucault.html
[7] John D. Upton. “The Matching Ronchi Test”. [2015]
http://www.atm-workshop.com/ronchi-test.html
[8] “Schlieren Photography – Seeing Air” [2015]
http://www.ian.org/Schlieren/
[9] https://sites.google.com/site/laboratoriodeopticabb/ Práctica 4 Espejos.
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