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SEPARACION DE VARIABLES
Capítulo 2
Ecuaciones Diferenciales de PrimerOrden
2.1 Ecuaciones Diferenciales de Variables SeparablesDefinición 2.1.1 Se dice que una ecuación diferencial ordinaria es de variables sepa-rables si se puede escribir en la forma
La ecuación (2.1) se expresa en forma diferencial como
y se resuelve integrando ambos miembros de (2.2).
EJEMPLO 1. Resolver
Solución. Separando las variables resulta
e integrando
Resolviendo las integrales
35
(2.1)
(2.2)
(2.3)
DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com
36 Capítulo 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Ya que la diferencia de constantes es una constante, podemos escribir c = C2 — C\, obte-niendo
Así, al momento de integrar sólo consideraremos una constante de integración.
EJEMPLO 2. Resolver
Solución. Separando variables la ecuación se escribe como
integrando
y calculando las integrales, se sigue que
Como el producto de constantes es una constante tenemos
EJEMPLO 3. Resolver
Solución. Tenemos que
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36 Capítulo 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Ya que la diferencia de constantes es una constante, podemos escribir c = C2 — C\, obte-niendo
Así, al momento de integrar sólo consideraremos una constante de integración.
EJEMPLO 2. Resolver
Solución. Separando variables la ecuación se escribe como
integrando
y calculando las integrales, se sigue que
Como el producto de constantes es una constante tenemos
EJEMPLO 3. Resolver
Solución. Tenemos que
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2.1. Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables
Ya que eu y lnt¿ son funciones inversas,
37
Como c\ es una constante, eci también es una constante, la cual podemos escribir sim-plemente como c; de modo que
EJEMPLO 4. Resolver
Solución. Procediendo como en los ejemplos anteriores, resulta
(2.6)
En este caso la solución queda en forma implícita.
EJEMPLO 5. Resolver
Solución. Tenemos
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2.1. Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables
Ya que eu y lnt¿ son funciones inversas,
37
Como c\ es una constante, eci también es una constante, la cual podemos escribir sim-plemente como c; de modo que
EJEMPLO 4. Resolver
Solución. Procediendo como en los ejemplos anteriores, resulta
(2.6)
En este caso la solución queda en forma implícita.
EJEMPLO 5. Resolver
Solución. Tenemos
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2.1. Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables
Ya que eu y lnt¿ son funciones inversas,
37
Como c\ es una constante, eci también es una constante, la cual podemos escribir sim-plemente como c; de modo que
EJEMPLO 4. Resolver
Solución. Procediendo como en los ejemplos anteriores, resulta
(2.6)
En este caso la solución queda en forma implícita.
EJEMPLO 5. Resolver
Solución. Tenemos
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38 Capítulo 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
EJEMPLO 6. Resolver
Solución. Separando variables se sigue que
Por lo tanto
es la solución dada en forma implícita.
EJEMPLO 7. Resolver
Solución. Para separar variables es de gran ayuda factorizar donde sea posible, en estecaso tenemos
Finalmente, al integrar encontramos que
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38 Capítulo 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
EJEMPLO 6. Resolver
Solución. Separando variables se sigue que
Por lo tanto
es la solución dada en forma implícita.
EJEMPLO 7. Resolver
Solución. Para separar variables es de gran ayuda factorizar donde sea posible, en estecaso tenemos
Finalmente, al integrar encontramos que
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2.1. Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables 39
EJEMPLO 8. Resolver el problema de valor inicial
Solución. Separando variables e integrando obtenemos
Haciendo x = 0 y ? / = l e n l a última igualdad, concluimos que
Por lo tanto la solución de la ecuación diferencial que cumple la condición dada es
EJEMPLO 9. Resolver el problema de valor inicial
Solución. Primero separamos variables
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2.1. Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables 39
EJEMPLO 8. Resolver el problema de valor inicial
Solución. Separando variables e integrando obtenemos
Haciendo x = 0 y ? / = l e n l a última igualdad, concluimos que
Por lo tanto la solución de la ecuación diferencial que cumple la condición dada es
EJEMPLO 9. Resolver el problema de valor inicial
Solución. Primero separamos variables
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40 Capítulo 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
En segundo lugar integramos, usando fracciones parciales para la integral respecto de y.Obtenemos
obtenemos así la solución explícita
Ahora, despejamos y en la última igualdad
Si hacemos x = 2 y y = 4 en (2.12), tenemos
Finalmente, sustituyendo el valor de c en (2.12), llegamos a la solución particular
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La siguiente ecuación diferencial es de segundo orden, sin embargo, mediante uncambio de variable se reduce a una de primer orden. Corresponde a la ecuación diferencial(1.12) del ejemplo 5 del capítulo 1.
2.1. Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables 41
EJEMPLO 10. Resolver el problema de valor inicial
Solución. Separando variables e integrando se sigue que
Ahora despejamos y para expresar la solución en forma explícita
es decir
con c = c\ — 1.Se quiere una solución que cumpla con J/(TT) = 0, entonces
de donde
Sustituyendo en (2.14) obtenemos la solución del problema de valor inicial
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2.1. Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables 43
Ahora podemos integrar fácilmente, encontrando la solución explícita siguiente
EJERCICIOS 2.1
Mediante separación de variables resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales.
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SOLUCIONES
219
Respuestas a los problemas
Ejercicios 1.2, Página 33
1. Primer orden, y si es solución.
2. Primer orden, y no es solución.
3. Primer orden, y si es solución.
4. Primer orden, y si es solución.
5. Primer orden, y si es solución.
6. Primer orden, y si es solución.
7. Segundo orden, y si es solución.
8. Tercer orden, y si es solución.
9. Segundo orden, y no es solución.
10. Segundo orden, y si es solución.
Ejercicios 2.1, Página 43
1. x = y/cy/i- 12 3 3
2. ^ + 2y + l l
3.0 = arccot (sen t + c)
5. y = «.(«
6. (y - 1)6» = ex - e~x + c
7. y-2 ln(y + l)=x-5 \n(x + 2) + c
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220 Respuestas a los problemas
8. x =
9. r = 4
1-t2
1 + t2
10. \{y - I)3 + -Vx2 + 4 + 21n(> + Vx2 + 4) = có Z
Ejercicios 2.2, Página 53
1. y ~ x ln
2. y\2x2 -
3. sen - =X
A . »>ü J.XX 0«>0
5. x3 + y3
6. xy + y2
7. y - 2z H
8. ln(2x +
a;
- y2) = ex2
ex
— (x2 -4- v2)3/2
= cxy
= 2x3
h7 = c(x + y 4
3y + 2) = 2y -
9. y = x arctaníln x + 1)
- I ) 4
- x + c
x x10. sen — + tan — = cy 2
y y
Ejercicios 2.3, Página 62
1. xAy2 — x3y = c
2. y =
3. j / = (x-l)
4. No es exacta.
5. x sen y — y eos x + ln xy = c
6. ysent + t2ey + 2y = c
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