1/24

ECUACIONES DIFERENCIALES EN

DERIVADAS PARCIALES

Anlisis Numrico II

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales

2/24

ECUACIONES DIFERENCIALES EN

DERIVADAS PARCIALES

Anlisis Numrico II

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales

Ecuaciones Tipo

Clasificacin

Condiciones de Borde

3/24

Ecuacin de Adveccin

(Hiperblica)

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales

Ecuaciones Tipo

0c c

Ut x

Dx

x

U

U

Qe ce

c(x,t)

c(x+Dx,t)

4/24

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales

Ecuaciones Tipo

U ( , ) ( )c x t f x Ut

Ecuacin de Adveccin

(Hiperblica)

5/24

Ecuacin de Difusin

(Parablica)

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales

Ecuaciones Tipo

2

2

c cD

t x

Dx

x

F(x,t)

F(x+Dx,t)

Qe ce

c(x,t)

c(x+Dx,t)

6/24

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales

Ecuaciones Tipo

( , )2

xc x t Aerf

Dt

Ecuacin de Difusin

(Parablica)

2 1x x

7/24

Ecuacin de Laplace

(Elptica)

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales

Ecuaciones Tipo

2 2

2 20

c c

x y

c1(x)

c2(x)

c4(y) c3(y)

8/24

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales

Ecuaciones Tipo

( , ) yn y

L

x

n xc x y Ae sen

L

Ecuacin de Laplace

(Elptica)

9/24

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales

Clasificacin

Problema de 2 Orden

2 2 2

2 2( , ) 2 ( , ) ( , )

, , , ,

u u uA x y B x y C x y

x x y y

u uD x y u

x y

, u

un

Condiciones

de borde:

10/24

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales Clasificacin

Calculo Primera Derivada

, ; ,dX dY dY dX

t ndt dt dt dt

u u dX u dY

t x dt y dt

u u dY u dX

n x dt y dt

,u u

x y

2 2

1dX dY

dt dt

D

11/24

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales Clasificacin

Calculo Segunda Derivada

2

2

2

2

2

0

0

2

d uudX dYdt xxdt dt

dX dY u d u

dt dt x y dt y

A B C Du

y

2 2

2dY dX dY dX

A B Cdt dt dt dt

D

12/24

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales Clasificacin

Curvas Caractersticas

2dy B B AC

dx A

0D

Si A, B, C ctes.:

1 2, ; ,x y y c x cte x y y c x cte

, ; ,x y cte x y cte

13/24

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales

Clasificacin

Clasificacin

Tipo Curvas

caractersticas

Hiperblicas d > 0 Reales

Elpticas d < 0 Complejas

Parablicas d = 0 Reales, pero

coincidentes

2d B AC

14/24

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales

Clasificacin

Formas Normalizadas

2 2

2 2, , , ,h

d u u u uD v w u

A w v v w

2v

Hiperblicas:

2w

Coeficientes con signo opuesto

15/24

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales

Clasificacin

Elpticas:

Coeficientes con igual signo

2 2

2 2, , , ,e

d u u u uD v w u

A w v v w

2v

2w

i

Formas Normalizadas

16/24

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales

Clasificacin

Parablicas:

Un coeficientes nulo

2

2, , , ,p

u u uA D v w u

w v w

v w x

Formas Normalizadas

17/24

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales

Clasificacin

Ms de dos Variables

Independientes

Tipo Coeficientes de derivada de

mayor orden

Hiperblicas Todos no nulos y uno tiene

signo distinto a los dems

Elpticas Todos no nulos y del mismo

signo

Parablicas Al menos uno nulo

18/24

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales

Condiciones de Borde

Ecuaciones Hiperblicas

2

, , , ,u u u

G u

( , ) ( ) ( )u f g

Forma normal:

Forma elemental: 2

0u

19/24

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales

Condiciones de Borde

( ) ( ) ( )

( )

u t f g

u df dgt

n d n d n

Solucin:

Sobre borde:

Ecuaciones Hiperblicas

20/24

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales

Condiciones de Borde

( , 0) ( )

( , 0) ( )

u x t a x

ux t b x

t

2 2

2 2 2

10

u u

x c t

1 1( , ) ( ) ( ) ( )

2

x ct

x ct

u x t a x ct a x ct b dc

Ejemplo:

Ecuaciones Hiperblicas

21/24

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales

Condiciones de Borde

Solucin:

Condiciones de

Cauchy sobre PA

Condiciones de

Dirichlet o

Neumann sobre PB

Ecuaciones Hiperblicas

22/24

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales

Condiciones de Borde

Ejemplo:

( , 0) ( )

( , 0) ( )

o

o

u x y u x

ux y N x

y

2 2

2 20

u u

x y

0

( , ) Re ( ) ( )

x iy

o ou x t u x iy i N d

Condiciones de

Cauchy sobre

contorno abierto

(Forma normal)

Ecuaciones Elpticas

23/24

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales

Condiciones de Borde

Ejemplo: (Forma normal)

1 0( , 0) ( )

0 0

si xu x t b x

si x

22

2

u ua

t x

2

2

/

42

( , ) , 0

x t

aa

u x t e d t

Condiciones de

Dirichlet sobre

contorno abierto

Ecuaciones Parablicas

24/24

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales

Condiciones de Borde

Condiciones de Contorno

Tipo Frontera Condiciones

Hiperblicas abierta CI Cauchy

CB Dirichlet/Neumann

Elpticas cerrada Dirichlet o Neumann

Parablicas abierta CI Dirichlet

CB Dirichlet/Neumann