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OPTIMIZACIOPTIMIZACIÓÓNNEXPERIMENTALEXPERIMENTAL
Ing. José Luis Zamorano E.
IntroducciIntroduccióón a la metodologn a la metodologííaade superficies de respuestade superficies de respuesta
EXPERIMENTACIÓN: Significa variar deliberadamente las condiciones habituales de trabajo para encontrar mejores maneras de proceder, y ganar al mismo tiempo un conocimiento más profundo sobre el comportamiento de productos y/o procesos.
ESTRATEGIA PARA UNA EXPERIMENTACIESTRATEGIA PARA UNA EXPERIMENTACIÓÓN N EFICIENTE:EFICIENTE:
Objetivo
Experimentación
Diseño
Experimental
Modelos
Análisis de
Resultados
LA METODOLOGIA DE SUPERFICIES DE LA METODOLOGIA DE SUPERFICIES DE RESPUESTARESPUESTA
Conjunto de técnicas matemáticas y estadísticas útiles para modelar y analizar problemas en los cuales una respuesta de interés es influida por varias variables, y su objetivo es optimizar esta respuesta
LA METODOLOGIA DE SUPERFICIES DE LA METODOLOGIA DE SUPERFICIES DE RESPUESTARESPUESTA
�Necesidad de un modelo:- La capacidad de predecir o explicar el valor de cierta respuesta Yuna vez conocidos los valores de otras variables xi’s.- El hecho de poder seleccionar aquellas condiciones de los factores xi`s que permitan optimizar una la respuesta Y.
Superficie de respuestaSuperficie de respuesta
Reactor
Temperatura ºC
Tiempo min.
Cantidad gr.
Y = f(x1,x2)
x1
x2 y
Superficie de respuestaSuperficie de respuesta
DESIGN-EXPERT Plot
Actual Factors:
X = Tiempo
Y = Temperatura
42
58
74
90
106 Cantidad
60
82
105
128
150
210 222
235 248
260 Tiempo
Temperatura
Estrategias de la metodologEstrategias de la metodologíía de a de superficie de respuestasuperficie de respuesta
� Estrategia de primer orden:
Diseño 2k
- Estimación de un modelo lineal por mínimos cuadradosUso de mapas de contornos ó curvas de nivelCamino de la máxima pendiente (steepest ascent)
ESTRATEGIA DE PRIMER ORDENESTRATEGIA DE PRIMER ORDEN
i
ioii
x
xxx
∆
−='
((+1,+1)+1,+1)
((+1,+1,--1)1)
((--1,+1)1,+1)
((--1,1,--1)1)
((0,0)0,0)
∆
CodificaciCodificacióón de variablesn de variables
i
ioii
x
xxx
∆
−='
Variable Temperatura
Nivel inferior 60ºC
Nivel Superior 80ºC
60ºC 70ºC 80ºC
-1 0 +1
∆ = 10 ∆ = 10
Xi0
DiseDiseñño de primer ordeno de primer orden
0
0
0
+1
+1
-1
-1
x’2
x20
x20
x20
x20-∆x2
x20-∆x2
x20-∆x2
x20-∆x2
x2
y70x10
y60x10
y50x10
y4+1x10+∆x1
y3-1x10-∆x1
y2+1x10+∆x1
y1-1x10-∆x1
yx’1x1
RespuestasMatriz de diseñoVariables
ESTRATEGIA DE PRIMER ORDENESTRATEGIA DE PRIMER ORDEN
Modelo de primer ordenModelo de primer orden
∑+= ii xbby 0ˆ
Trayectoria Trayectoria mmááxima xima pendientependiente
RegiRegióón Superficie n Superficie ajustadaajustada
YY=25=25
YY=35=35YY=55=55
ESTRATEGIA DE PRIMER ORDENESTRATEGIA DE PRIMER ORDEN
Pendiente NormalizadaPendiente Normalizada
2/12
2
1
1
ˆ
....ˆˆ
ˆ
ˆ
∂
∂
+∂
∂+
∂
∂
=∇
∇
∑ix
y
x
y
x
y
y
yδ
DESIGN-EXPERT Plot
Actual Factors:
X = Tiempo
Y = Temperatura
Cantidad
Tiempo
Temperatura
60 82 105 128 150
210
222
235
248
260
5160
6978
78
88
88
88
92
96
104
101
5
BusquedaBusqueda del del óóptimoptimo
ESTRATEGIA DE PRIMER ORDENESTRATEGIA DE PRIMER ORDENObjetivo
Ajusta ?
SELECCIÓN
HIPÓTESISAproximación
Lineal
Diseño
ModeloPrimer Orden HIPOTESIS
AproximaciónCuadrática
MAXIMA PENDIENTEExperimentos a lo largo del
camino
Si
No
ANALISIS DE REGRESIANALISIS DE REGRESIÓÓNN
Qué entendemos por análisis de
Regresión?
Análisis de regresión es la aplicación de
métodos matemáticos y estadísticos para
el análisis de datos experimentales, y el
“ajuste” de estos modelos matemáticos a
los datos mediante la estimación de
parámetros desconocidos de los modelos.
ANALISIS DE REGRESIANALISIS DE REGRESIÓÓNN
Modelos lineales
22110ˆ xbxbby ++=
)1
exp(2110
ˆ xbxbby ++=
Modelos no lineales
)12exp(
11
0ˆ
xbb
by
+=
Mínimos cuadrados: es la suma de cuadrados de las diferencias entre los valores experimentales y los valores estimados por el modelo:
ANALISIS DE REGRESIANALISIS DE REGRESIÓÓNN
2 2( )1 1
n ne y yii i
i iφ
∧
= = −∑ ∑= =
bXY *ˆ =
ANALISIS DE REGRESIANALISIS DE REGRESIÓÓNN
( ) ( )ˆ ˆT
Te e Y Y Y YΘ = = − −
( ) ( )TTe e Y Xb Y XbΘ = = − −
( ) ( ) 02 =−−=∂
Θ∂XbYX
b
T
ANALISIS DE REGRESIANALISIS DE REGRESIÓÓNN
( ) ( )XbXYX TT =
( ) ( )YXXXb TT 1−=
Ajuste de modelos (RegresiAjuste de modelos (Regresióón)n)
0
0
0
+1
+1
-1
-1
x’2
1
1
1
1
1
1
1
x’o
y70
y60
y50
y4+1
y3-1
y2+1
y1-1
yx’1
RespuestasMatriz de diseño
b = (XTX)-1 (XTY)
DistribuciDistribucióón de varianzas en regresin de varianzas en regresióónn
_ _ _ _2 2 2 2
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )ipn n
ij i i iji i i iy Y p y Y p y y y y
∧ ∧
− = − + − + −∑∑ ∑ ∑ ∑∑
SCT SCR SC(Aj) SCE
AnAnáálisis de varianza para regresilisis de varianza para regresióónn
SS(E)MSA= ------------
Σpi-n
Σpi-nSS(E)Error Puro
MS(Aj)FAj = ----------
MSE
SS(Aj)MSAB= -------------
(n-q-1)
n-q-1SS(Aj)Falta de Ajuste
Error
SSRMSR= ----------
q
qSSRDebido a la
Regresión
Fo
Experim
Cuadrado MedioGrados
Libertad
Suma de
Cuadrados
Fuente de
Variación
Se acepta el modelo si : FAj < Fcrit
q=# de parámetros del modelo sin el término independiente
n=# de puntos experimentales pi=# de repeticiones por punto
Estrategias de la metodologEstrategias de la metodologíía de a de superficie de respuestasuperficie de respuesta
� Estrategia de Segundo orden:
Diseño 2k + Diseño Estrella + Puntos centrales- Estimación de un modelo de segundo orden por mínimos cuadradosUso de mapas de contornos ó curvas de nivelAnálisis Canónico
DiseDiseñños experimentales para modelos de os experimentales para modelos de segundo ordensegundo orden
((--1,+1)1,+1)((+1,+1)+1,+1)
((--1,1,--1)1) (+(+1,1,--1)1)
((0,0)0,0)
(0(0,+,+αα))
(+(+αα,0),0)((--αα,0),0)
(0(0,,--αα))
α=2k/4
DiseDiseñño Rotable o Rotable Compuesto CentralCompuesto Central
YYYY7777----αααα0000
YYYY66660000++++αααα
yyyy1111111100000000xxxx20202020xxxx10101010
YYYY55550000----αααα
YYYY8888++++αααα0000
0000
0000
+1+1+1+1
+1+1+1+1
----1111
----1111
xxxx’’’’2222
xxxx20202020
xxxx20202020
xxxx20202020----∆∆∆∆xxxx2222
xxxx20202020----∆∆∆∆xxxx2222
xxxx20202020----∆∆∆∆xxxx2222
xxxx20202020----∆∆∆∆xxxx2222
xxxx2222
YYYY101010100000xxxx10101010
YYYY99990000xxxx10101010
YYYY4444+1+1+1+1xxxx10101010++++∆∆∆∆xxxx1111
YYYY3333----1111xxxx10101010----∆∆∆∆xxxx1111
YYYY2222+1+1+1+1xxxx10101010++++∆∆∆∆xxxx1111
YYYY1111----1111xxxx10101010----∆∆∆∆xxxx1111
YYYYxxxx’’’’1111xxxx1111
RespuestasMatriz de diseñoVariables
Modelo de Segundo OrdenModelo de Segundo Orden
∑∑∑ ++= jiijii xxbxbby 0ˆ
Ajuste de un modelo de segundo ordenAjuste de un modelo de segundo orden
0
0
0
0
0
0
0
+1
-1
-1
+1
x’1 x’2
0
0
0
0
0
α2
α2
+1
+1
+1
+1
(x’1)2
0
0
0
0
0
+α
-α
+1
-1
+1
-1
x’1xo
Y7α2-α1
Y6001
y11001
Y5001
Y8α2+α1
0
0
+1
+1
+1
+1
(x’2)2
Y1001
Y901
Y4+11
Y3+11
Y2-11
Y1-11
Yx’2
RespuestasMatriz de diseño
b = (XTX)-1 (XTY)
Superficie de respuestaSuperficie de respuesta
DESIGN-EXPERT Plot
Actual Factors:
X = Tiempo
Y = Temperatura
42
58
74
90
106
Cantidad
60
82
105
128
150
210 222
235 248
260 Tiempo
Temperatura
Y=b0+b1x1+b2x2+b11x12+b22x22+b12x1x2
BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA• Diseño y análisis de experimentos, MONTGÓMERY;
Biblioteca Carrera Ing. Química
• Process Análysis by statistical methods; HIMMELBLAU. Biblioteca Particular.
• Quality by experimental design, BARKER. Biblioteca particular.
• Principios de optimización de procesos, DIAZ MATA; Biblioteca Carrera Ing. Química (Fotocopia)
• Métodos estadísticos, control y mejora de la calidad, BARTES. Biblioteca Carrera Ing. Química (Fotocopia).
• Planificación experimental y optimización, ZAMORANO. Biblioteca Carrera Ing. Química (Fotocopia).
• Probabilidad y estadística para ingenieros; WALPOLE. Biblioteca Carrera Ing. Química.
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