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Operaciones de

enteros

Prof. Yaritza González

Adaptado por: Yuitza T. Humarán

Departamento de Matemáticas

UPRA

Suma de enteros: Reglas

Suma de dos enteros negativos o

dos enteros positivos

El total es la suma de los valores absolutos

de los sumandos, asignándole el signo de

los sumandos.

Ejemplo:

– 4 + (– 7) = – 11

Los valores absolutos son: | – 4 | = 4 y | – 7 | = 7.

Se suman los valores absolutos, 4 + 7 = 11.

Como ambos sumandos son negativos el total es

negativo.

Suma de opuestos

La suma de enteros opuestos es igual a

cero.

Ejemplos:

2 + ( 2) = 0

3 + 3 = 0

Suma de un entero negativo y

uno positivo

El total es la resta natural de los valores absolutos de los sumandos, asignándole al total el signo del sumando con el valor absoluto mayor.

Suma de un entero negativo y

uno positivo

Ejemplo:

– 8 + 2 = – 6

Los valores absolutos de los sumandos son: | – 8| = 8 y | 2 | =2.

La resta natural es 8 – 2 = 6.

El sumando con el valor absoluto mayor es –8, así que el total es negativo.

Suma de un entero negativo y

uno positivo

Ejemplo:

12 + (–7) = 5

Los valores absolutos de los sumandos son: | 12 | = 12 y | –7 | = 7.

La resta natural es 12 – 7 = 5.

El sumando con el valor absoluto mayor es 12, así que el total es positivo.

Ejercicios

Sume los siguientes

a. 9 + 6 =

b. 62 +( 25) =

c. 205 +112 =

d. 26 + (1) =

e. 13 + 0 =

f. 17 + (17) =

g. 250 + 13 =

3

87

317

25

13

0

237

Resta de enteros: Regla

Resta

Sea a y b dos números reales, entonces

a – b = a + (b)

Estos es, restar es equivalente a sumar el

opuesto del sustraendo.

Ejemplo

Simplifica la expresión numérica.

a. 5 – 3 =

b. 14 – 24 =

5 + (3) = 2

14 + (24) = 10

9

9

70

17

15

34

64

Ejercicios

Simplifique las siguientes expresiones

numéricas.

a. 25 – 16 =

b. 16 – 25 =

c. 180 – 250 =

d. 14 – 3 =

e. 5 – 10 =

f. 17 17 =

g. 42 – ( 22) =

Multiplicación: Las reglas

Ejemplos:

5 × 4 = 3 × ( 4) =

6 × 1 = 24 × 4 =

20

6

12

96

Multiplicandos con signos

iguales

Se multiplican los valores absolutos de los

multiplicandos y el producto es siempre

positivo.

Multiplicandos con signos

diferentes

Ejemplos:

5 × 4 =

13 × (1) =

3 × 6 =

32 × (3) =

20 18

13 96

Se multiplican los valores absolutos de los

multiplicandos y el producto es siempre

negativo.

Nota:

En multiplicación, no importa que signo

tiene el de mayor magnitud (valor

absoluto).

Si dos números tienen el mismo signo su

producto siempre es positivo.

Si dos números tienen signos opuestos

su producto siempre es negativo.

Simplifique las siguientes expresiones numéricas.

a. 30 × (2) =

b. 16 × 12 =

c. 201 × 4 =

d. 14 × (14) =

e. 0 (5) =

f. 10(10) =

g. 10 × ( 10) =

h. 22 × 12 =

60

192

804

196

0

100

100

264

Ejercicio

Signos iguales Signos opuestos

Suma

Multiplicación

Ejercicio Complete la tabla con las reglas de signo para

suma y multiplicación de dos números y escriba

un ejemplo de cada caso.

Simplifique las siguientes expresiones numéricas.

a. 83 + (24) =

b. 18 ×(2) =

c. 120 × (14) =

d. 34 – 14 =

e. 0 – 52 =

f. 14 – (18) =

g. 10 × (132) =

h. 91 × 20 =

107

36

1680

48

52

4

1320

1820

Ejercicio

División

División

Sea a y b números reales, entonces

Estos es, dividir es equivalente a

multiplicar por el recíproco del divisor.

Es por esto que la división también

obedece las mismas reglas de la

multiplicación.

a b ab

1

División 𝐝𝐢𝐯𝐢𝐝𝐞𝐧𝐝𝐨 ÷ 𝐝𝐢𝐯𝐢𝐬𝐨𝐫 = 𝐜𝐨𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞

Si el dividendo y el divisor tienen los mismos signos, se divide con los valores absolutos de éstos y el cociente es siempre positivo.

Si el dividendo y el divisor tienen signos diferentes, se divide con los valores absolutos de éstos y el cociente es siempre negativo.

Ejemplos

Simplifique las siguientes expresiones

numéricas.

a.

b.

c.

d. 24/(8)

4

8

3

27

216

= 2

= 9

= 8

= 3

Orden de operaciones

Orden de operaciones:

Potencias

Utilizamos la notación exponencial con

exponentes naturales para representar

multiplicaciones repetidas.

Por ejemplo, la multiplicación

5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5

se puede representar 56, donde el 5 corresponde

al número que se está multiplicando, la base y el

6 a las veces que se multiplica, el exponente.

Notación exponencial

En general, para cualquier número real a y

cualquier natural n,

a1 = a

a2 = a·a

a3 = a·a·a

an =

En este caso decimos que an es la n-sima

potencia de a o a elevada a la n.

veces

...

n

aaaaaa a

Ejercicio

Determine la base y el exponente

Base exponente Simplificación

84

(3 ) 2

32

Ejercicio

Evalúe.

1. 81

2. 43

3. (–3)4

4. –34

= 8

= 4· 4· 4 = 64

= (–3) (–3) (–3) (–3) = 81

= – (3 ·3 ·3 ·3 ) = –81

Orden de operaciones

En una expresión sin paréntesis y con

potencias, el orden es:

1. Multiplicaciones (divisiones).

Si están consecutivas se resuelven de izquierda

a derecha.

Si hay potencias, se evalúan primero.

2. Sumas (restas).

Si están consecutivas se resuelven de izquierda

a derecha.

1ero Se evalúa la potencia

2ndo Multiplicación

3ero Suma

Ejemplo

Simplifique la expresión 2 + 5∙ 32 .

2 + 5 ∙ 32

= 2 + 5 ∙ 9

= 2 + 45

= 47

1ero Potencia

2ndo Multiplicación

3ero Resta

Ejemplo

Simplifique la expresión 2 ∙ 6 4(2)3 .

2 ∙ 6 4(2)3

= 2 ∙ 6 4(8)

= 12 32

= 12 + 32

= 20

Ejercicio

Simplifique las siguientes expresiones:

a. 3 – 5 + 2 – 4

b. (7)(3)(4)

c. 3(2)4

d. 43 – 6(8)

e. 8(4) 5(3)3

= – 2 + 2 – 4 = –4

= 21(4) = –84

= 48 = 3(16)

= 64 – 6(8) = 64 – 48 = 16

= 8(4) 5(27) = 32 135 = -103

Orden de operaciones:

Símbolos de agrupamiento

Si la expresión tiene símbolos de

agrupación, por ejemplo:

( ), { }, [ ], | |

se simplifica primero la expresión

agrupada siguiendo el orden de las

operaciones.

Ejemplos

Simplifique la expresión numérica.

1. – 2 – (3 – 5)

2. – 4(3 – 1) – 5

3. | 5 | – 2 | – 8| = 13

= 0

= 11

= – 2 – (– 2 ) = – 2 + 2

= – 4( 2 ) – 5 = – 8 – 5

= – 8 + (– 5)

Orden de operaciones

Si los símbolos de agrupación están anidados (uno dentro de otro), se simplifica primero el que está adentro.

Ejemplo:

5 – [ 8 – (7 – 3)]

= 5 – (8 – 4)

= 5 – 4

= 1

Ejercicios

Simplifique las siguientes expresiones

numéricas.

a. 6[4 + 5(2)]

b. 3(8 – 14) +1

c. 2 [3(2) – 10] – 3(4 5) + 12

d. 8[ 4 – 2 (5 – 8(2)) ]

= 6 (–4 +10) = 6 (6) = 36

= –3 (–6) +1 = 18 +1 =19

= 2 (6 – 10) – 3(–1)+12 = 2(–4) – 3(–1)+12

= – 8 – (–3) +12 = –8 + 3 +12 = 7

= 8[4 – 2(5 – (–16))]

= 8[4 – 2(21)] = 8(4 – 42) = 8(–38) = –304

Orden de operaciones:

Expresión racional

Si la expresión es racional, se simplifica el

numerador y el denominador de la

expresión de forma independiente y

despúes se dividen los resultados.

Ejemplo:

24

82

214

242

24

10

2

10

5

Ejercicios

Simplifique las siguientes expresiones numéricas.

a. 5(3) + 4/2 – 2(6) – 28/4 =

b. 5(3 + 5) 2 – 2(6 – 28/4) =

c. 13(2) – 5(4) =

d. 8(2) – 2(–5) + 1(–3) =

e. 3 | –8 | + 14 (2) =

f.

4 2 4 8

5 9 4 3

Solución

Simplifique las siguientes expresiones

numéricas. a. 5(3) + 4/2 – 2(6) – 28/4

b. 5(3 + 5) 2 – 2(6 – 28/4)

c. 13(2) – 5(4)

d. 8(2) – 2(–5) + 1(–3)

e. 3 | –8 | + 14 (2)

= 15 + 2 – 12 – 7 = 17 – 12 – 7

= 5 – 7 = –2

= 5 (8)2 – 2(6 – 7)

= 402 – 2(–1) = 20 – 2(–1) = 20 – (–2) = 20 + 2 = 22

= 26 – 20 = 6

= 16 – (– 10) + (–3) = 26 + (–3) = 23

= 3 (8) + 28 = 24 + 28 = 52

f.

4 2 4 8

5 9 4 3

4 ( 8)

5 9

4 8

4

123

4

4 2( 4)

5 9(1)

Reales

Las reglas de signos para las operaciones

aplican a todos los números reales.