octava sesión postulados de la mecánica cuántica (2) resolución de la ecuación de schrödinger...

Octava SesiónOctava Sesión

Postulados de la Mecánica Cuántica (2)Resolución de la ecuación de

Schrödinger en problemas particulares

ResumenResumen

• Parámetros característicos de las Parámetros característicos de las ondasondas

• Espectro electromagnéticoEspectro electromagnético• Espectros de absorción y de emisión Espectros de absorción y de emisión

de los átomosde los átomos• Radiación de un cuerpo negroRadiación de un cuerpo negro• Efecto fotoeléctrico: fotónEfecto fotoeléctrico: fotón• CuantizaciónCuantización

Resumen 2Resumen 2

• Modelo Atómico de BohrModelo Atómico de Bohr– Átomos hidrogenoides.Átomos hidrogenoides.– Es un modelo nuclear.Es un modelo nuclear.– Cuantización del momento angular del Cuantización del momento angular del

electrón.electrón.– Cuantización del radio de las órbitasCuantización del radio de las órbitas– Cuantización de la energía del electrón.Cuantización de la energía del electrón.– Niveles de energía.Niveles de energía.– Energías de ionización.Energías de ionización.– Transiciones electrónicas. Espectros.Transiciones electrónicas. Espectros.

Resumen 3Resumen 3

• Antecedentes de la Teoría Cuántica Antecedentes de la Teoría Cuántica ModernaModerna– Hipótesis de De BroglieHipótesis de De Broglie– Principio de Incertidumbre de HeisenbergPrincipio de Incertidumbre de Heisenberg

• Postulados de la Mecánica CuánticaPostulados de la Mecánica Cuántica– 1. Función de onda.1. Función de onda.– 2. Operadores. La ecuación de 2. Operadores. La ecuación de

Schrödinger.Schrödinger.– 3. Significado físico del cuadrado de la 3. Significado físico del cuadrado de la

función de onda.función de onda.

Postulado 3Postulado 3

• ““El cuadrado de la función de El cuadrado de la función de onda está relacionado con la onda está relacionado con la probabilidad de encontrar a las probabilidad de encontrar a las partículas en una cierta región partículas en una cierta región del espacio”.del espacio”.

ComentarioComentario

• El cuadrado de la función de El cuadrado de la función de onda es una densidad de onda es una densidad de probabilidad.probabilidad.

• Por lo tanto la función de onda Por lo tanto la función de onda debe ser:debe ser: Continua.Continua. Univaluada.Univaluada. Finita (cuadrado integrable).Finita (cuadrado integrable).

Postulado de BornPostulado de Born

1d2

Resolución de Problemas Resolución de Problemas ParticularesParticulares

1.1. Se substituye la masa de la Se substituye la masa de la partícula.partícula.

2.2. Se substituye el potencial V Se substituye el potencial V para el caso del problema para el caso del problema particular.particular.

3.3. Se resuelve el problema para Se resuelve el problema para ΨΨ y para E.y para E.

Resolución de Problemas Resolución de Problemas Particulares (2)Particulares (2)

• En general hay varias funciones En general hay varias funciones ΨΨ que matemáticamente que matemáticamente cumple con ser solución de la cumple con ser solución de la ecuación de Schrödinger.ecuación de Schrödinger.

• Se escogen aquellas que Se escogen aquellas que además de cumplir con las además de cumplir con las restricciones físicas del restricciones físicas del problema cumplen con:problema cumplen con:

Resolución de Problemas Resolución de Problemas Particulares (3)Particulares (3)

• O sea, aquellas que sean:O sea, aquellas que sean:– Continuas.Continuas.– Univaluadas.Univaluadas.– Finitas.Finitas.

1d2

Resolución de Problemas Resolución de Problemas Particulares (4)Particulares (4)

• Con Con ΨΨ22 se pueden encontrar se pueden encontrar zonas del espacio donde existe zonas del espacio donde existe mayor probabilidad de encontrar mayor probabilidad de encontrar a las partículas.a las partículas.

Partícula en un pozo de Partícula en un pozo de potencial unidimensionalpotencial unidimensional

00 aa x x

V=V=

V=V=

V=0V=0

22

2m-T

VTH

EH

0)()(V-Edx

)(d

m2

)(E)()(V)(dx

d

2m-

de depende solo V

dx

d

2m-T

:dimensión unaEn

2

22

2

22

2

22

xxx

xxxx

x

0(x) dx

)(d1)(

)(dx

)(d

0)(Edx

)(d

2m

)(V

:caja la de Fuera

2

2

2

2

2

22

fuera

xx

xx

xx

x

ResumenResumen

ΨΨ(x) = 0(x) = 0 (-(- < x < 0)< x < 0)

No sabemosNo sabemos (0 (0 x x a) a)

ΨΨ(x) = 0(x) = 0 (a (a < x < < x < ))

Gráfica de Gráfica de (x)(x)

(x(x))

xx00 aa

¿Cuál es la probabilidad de ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a la partícula fuera encontrar a la partícula fuera

de la caja?de la caja?

¿Cuál es la probabilidad ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a la de encontrar a la

partícula fuera de la caja?partícula fuera de la caja?

ΨΨfuerafuera = 0 = 0

ΨΨ22fuerafuera = 0 = 0

PPfuerafuera = 0 = 0

Dentro de la cajaDentro de la caja

)(mE2

dx

)(d

0)(Edx

)(d

2m

0)(0-Edx

)(d

2m

0V

22

2

2

22

2

22

xx

xx

xx

Dentro de la caja (2)Dentro de la caja (2)

2

mE2

• Es una constante.Es una constante.• Le pongo nombre: - Le pongo nombre: -

Constante, yo te bautizo como Constante, yo te bautizo como 22..

Dentro de la caja (3)Dentro de la caja (3)

)()(dx

d

mE2

22

2

22

xx

• Debemos resolver esta Debemos resolver esta ecuación ecuación diferencial de orden 2diferencial de orden 2..

• O sea, necesitamos encontrar una O sea, necesitamos encontrar una función que derivada dos veces sea función que derivada dos veces sea igual a menos igual a menos 22 por ella misma. por ella misma.

Dentro de la caja (4)Dentro de la caja (4)• Toda ecuación diferencial de orden Toda ecuación diferencial de orden

nn tiene tiene nn soluciones (linealmente soluciones (linealmente independientes).independientes).

• Les propongo estás dos soluciones:Les propongo estás dos soluciones:

xBcos)(

xAsen)(

x

x

II

I

Dentro de la caja (5)Dentro de la caja (5)

• A ver si es ciertoA ver si es cierto

xAsenxAsendx

d

xAcosxAsendx

d

xAsen)(

22

2

xI

xBcos-xBcosdx

d

xBsen-xBcosdx

d

xBcos)(

22

2

xII

encontramos dos funciones que encontramos dos funciones que cumplen con que derivadas dos cumplen con que derivadas dos veces son iguales a -veces son iguales a -22 por ellas por ellas mismas.mismas.

Dentro de la caja (6)Dentro de la caja (6)

• Por lo tanto: Por lo tanto:

)()(dx

d

:ldiferenciaecuación la de solucionesSon

xBcos)(

xAsen)(

22

2

xx

x

x

II

I

Dentro de la caja (7)Dentro de la caja (7)

• Pero ¿cumplen con ser funciones Pero ¿cumplen con ser funciones de onda aceptables?de onda aceptables?

• ¿Cumplen con el postulado de ¿Cumplen con el postulado de Born?Born?

• ¿Son continuas, univaluadas y ¿Son continuas, univaluadas y finitas?finitas?

Gráfica de Gráfica de (x)(x)

(x)(x)

xx00 aa

¿Cuánto debe valer ¿Cuánto debe valer (0)?(0)?

¿Cuánto debe valer ¿Cuánto debe valer (0)?(0)?

ΨΨ(0) = 0(0) = 0Para que la función sea Para que la función sea

continua en x = 0continua en x = 0

Dentro de la caja (8)Dentro de la caja (8)

• Por lo tanto:Por lo tanto:

0ser que tendría(0)Bcos)0(

0ser que tendría(0)Asen)0(

II

I

Función SenoFunción Seno

• La función seno cumple La función seno cumple con ser cero en x=0.con ser cero en x=0.

Función CosenoFunción Coseno

La función coseno no cumple La función coseno no cumple con ser cero en x=0. El coseno con ser cero en x=0. El coseno no es una función de onda no es una función de onda aceptable para este problema.aceptable para este problema.

Gráfica de Gráfica de (x)(x)

(x)(x)

xx00 aa

¿Cuánto debe valer ¿Cuánto debe valer (a)?(a)?

¿Cuánto debe valer ¿Cuánto debe valer (a)?(a)?

ΨΨ(a) = 0(a) = 0Para que la función sea Para que la función sea

continua en x = acontinua en x = a

Por lo tantoPor lo tanto

0ser que tendría(a)Asen)a(

Le quito el subíndice porque ya solo me Le quito el subíndice porque ya solo me quedé con una funciónquedé con una función

Función SenoFunción Seno• ¿Dónde se hace cero la función seno?¿Dónde se hace cero la función seno?

Función SenoFunción Seno• ¿Dónde se hace cero la función seno?¿Dónde se hace cero la función seno?• En 0 y en múltiplo enteros de En 0 y en múltiplo enteros de ..• Por lo tanto, para que la función sea Por lo tanto, para que la función sea

aceptable, su argumento debe cumplir aceptable, su argumento debe cumplir con:con:

Zn ;na

22

22

22

mE2

a

n

mE2

Pero

Zn;a

n

:donde De

Despejando la energíaDespejando la energía

Zn;ma8h

nE

h)4(mE2

an

2h

2

22

2

2

22

La energía de una partícula La energía de una partícula en un pozo de potencial en un pozo de potencial está cuantizadaestá cuantizada

Energía de la partículaEnergía de la partícula

Zn;

ma8h

nE 2

22

La energía de una partícula La energía de una partícula en un pozo de potencial en un pozo de potencial está cuantizadaestá cuantizada

¿De dónde surgen los ¿De dónde surgen los números cuánticos?números cuánticos?

• De las restricciones físicas al De las restricciones físicas al movimiento de las partículas. (Si movimiento de las partículas. (Si fuera matemático diría: -De las fuera matemático diría: -De las condiciones a la frontera de la condiciones a la frontera de la ecuación diferencial).ecuación diferencial).

• Si la partícula se moviera Si la partícula se moviera libremente, no habría libremente, no habría cuantización.cuantización.

12

2

3

12

2

2

2

2

2

2

1

2

22

n

E9ma8h

9E

E4ma8h

4E

ma8h

ma8h

1E

Zn;ma8h

nE

Niveles de EnergíaNiveles de Energía

Energías positivas porque es Energías positivas porque es pura energía cinética.pura energía cinética.

El número cuántico también El número cuántico también aparece en la función de ondaaparece en la función de onda

xa

nAsen)(

;a

n Pero

xAsen)(

x

x

Pues si, porque…

Postulado 1Postulado 1• “Para cada estado de un

sistema dinámico de N partículas existe una función de onda Ψ que depende de las coordenadas de las N partículas y del tiempo. Dicha función de onda describe al sistema tan completamente como es posible”

Ψ(x1,y1,z1,x2,y2,z2,…,xN,yN,zN,t)

xa

3Asen)(

xa

2Asen)(

xa

Asen)(

xa

nAsen)(

3

2

1

n

x

x

x

x

xa

Asen)(

xa

2Asen)(

xa

3Asen)(

xa

4Asen)(

xa

5Asen)(

1

2

3

4

5

x

x

x

x

x

Ahora tenemos que garantizar Ahora tenemos que garantizar queque

1d2

1dxa

nAsen

1dxa

nAsen

1d

2

0

2

2

a

2

1

0

2

0

22

0

22

dxxa

nsen

1A

1dxxa

nsenA

1dxxa

nsenA

a

a

a

• Y, con ayuda de una tabla de integrales:

xa

nsen

a

2x)(

a

2A

2

1

n

2

1

x

x

x

x

a

4sen

a

2x)(

a

3sen

a

2x)(

a

2sen

a

2x)(

asen

a

2x)(

2

1

4

2

1

3

2

1

2

2

1

1

• Los números cuánticos surgen de las restricciones físicas al movimiento.

• A mayor energía, mayor es el número de nodos en la función de onda.

• La función de onda no tiene significado físico. Su cuadrado es una densidad de probabilidad.