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Métodos NuméricosGrado en Informática
Tema 6: Análisis Numérico Matricial II
Luis Alvarez León
Univ. de Las Palmas de G.C.
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 1 / 82
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Contenido
1 Nociones básicas sobre matrices y vectores
2 Método de Jacobi para calcular autovalores de matrices simétricas
3 Método de la potencia para calcular el autovalor máximo
4 Métodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones
5 Práctica 7. Implementar el método de relajación
6 Método de Newton-Raphson para sistemas no-lineales
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Contenido
1 Nociones básicas sobre matrices y vectores
2 Método de Jacobi para calcular autovalores de matrices simétricas
3 Método de la potencia para calcular el autovalor máximo
4 Métodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones
5 Práctica 7. Implementar el método de relajación
6 Método de Newton-Raphson para sistemas no-lineales
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Contenido
1 Nociones básicas sobre matrices y vectoresdistancia entre 2 puntos en el planoNorma de vectoresNorma de una matrizProducto EscalarBase ortonormal de vectoresautovalores de una matrizRadio espectral de una matrizCondicionamiento de una matriz
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Análisis Numérico Matricial IIDistancia entre 2 puntos en el plano
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Análisis Numérico Matricial IIDistancia entre 2 puntos en el plano. La distancia Euclídea
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Análisis Numérico Matricial IIDistancia entre 2 puntos en el plano. La distancia L1
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Análisis Numérico Matricial IIDistancia entre 2 puntos en el plano. La distancia L∞
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Análisis Numérico Matricial IIDistancia entre 2 puntos en el plano
Consideremos los puntos (1,2) y (3,7)
Distancia Euclídea =√
(3− 1)2 + (7− 2)2
Distancia L1 = | 3− 1 | + | 7− 2 |
Distancia L∞ = | 7− 2 |
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Análisis Numérico Matricial IIDistancia entre 2 puntos en el plano
Consideremos los puntos (1,2) y (3,7)
Distancia Euclídea = ?
Distancia L1 = | 3− 1 | + | 7− 2 |
Distancia L∞ = | 7− 2 |
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Análisis Numérico Matricial IIDistancia entre 2 puntos en el plano
Consideremos los puntos (1,2) y (3,7)
Distancia Euclídea =√
(3− 1)2 + (7− 2)2
Distancia L1 = | 3− 1 | + | 7− 2 |
Distancia L∞ = | 7− 2 |
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Análisis Numérico Matricial IIDistancia entre 2 puntos en el plano
Consideremos los puntos (1,2) y (3,7)
Distancia Euclídea =√
(3− 1)2 + (7− 2)2
Distancia L1 = ?
Distancia L∞ = | 7− 2 |
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Análisis Numérico Matricial IIDistancia entre 2 puntos en el plano
Consideremos los puntos (1,2) y (3,7)
Distancia Euclídea =√
(3− 1)2 + (7− 2)2
Distancia L1 = | 3− 1 | + | 7− 2 |
Distancia L∞ = | 7− 2 |
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Análisis Numérico Matricial IIDistancia entre 2 puntos en el plano
Consideremos los puntos (1,2) y (3,7)
Distancia Euclídea =√
(3− 1)2 + (7− 2)2
Distancia L1 = | 3− 1 | + | 7− 2 |
Distancia L∞ = ?
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Análisis Numérico Matricial IIDistancia entre 2 puntos en el plano
Consideremos los puntos (1,2) y (3,7)
Distancia Euclídea =√
(3− 1)2 + (7− 2)2
Distancia L1 = | 3− 1 | + | 7− 2 |
Distancia L∞ = | 7− 2 |
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Análisis Numérico Matricial IIDistancia entre 2 puntos en el plano
Consideremos los puntos (1,2) y (3,7)
Distancia Euclídea =√
(3− 1)2 + (7− 2)2
Distancia L1 = | 3− 1 | + | 7− 2 |
Distancia L∞ = | 7− 2 |
Orden entre las distancias
? ≤ ? ≤ ?
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Análisis Numérico Matricial IIDistancia entre 2 puntos en el plano
Consideremos los puntos (1,2) y (3,7)
Distancia Euclídea =√
(3− 1)2 + (7− 2)2
Distancia L1 = | 3− 1 | + | 7− 2 |
Distancia L∞ = | 7− 2 |
Orden entre las distancias
distancia L∞ ≤ distancia Euclídea ≤ distancia L1
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Contenido
1 Nociones básicas sobre matrices y vectoresdistancia entre 2 puntos en el planoNorma de vectoresNorma de una matrizProducto EscalarBase ortonormal de vectoresautovalores de una matrizRadio espectral de una matrizCondicionamiento de una matriz
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Análisis Numérico Matricial IIDistancia y norma Lp
distancia Lp entre 2 puntos (x1, x2) y (x ′1, x′2)
distancia Lp =(| x1 − x ′1 |p + | x2 − x ′2 |p
)1/p
Norma Lp de un vector x = (x1, x2, .....xN) y sus propiedades
‖ x ‖p=(∑N
i=1 |xi |p)1/p
Propiedades
1 ‖ x ‖p= 0 si y sólo si x = 02 ‖ λx ‖p=| λ |‖ x ‖p para todo λ y x3 ‖ x + y ‖p≤‖ x ‖p + ‖ y ‖p para todo x , y
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Análisis Numérico Matricial IIDistancia y norma Lp
distancia Lp entre 2 puntos (x1, x2) y (x ′1, x′2)
distancia Lp =(| x1 − x ′1 |p + | x2 − x ′2 |p
)1/p
Norma Lp de un vector x = (x1, x2, .....xN) y sus propiedades
‖ x ‖p=(∑N
i=1 |xi |p)1/p
Propiedades
1 ‖ x ‖p= 0 si y sólo si x = 02 ‖ λx ‖p=| λ |‖ x ‖p para todo λ y x3 ‖ x + y ‖p≤‖ x ‖p + ‖ y ‖p para todo x , y
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Análisis Numérico Matricial IIDistancia y norma Lp
distancia Lp entre 2 puntos (x1, x2) y (x ′1, x′2)
distancia Lp =(| x1 − x ′1 |p + | x2 − x ′2 |p
)1/p
Norma Lp de un vector x = (x1, x2, .....xN) y sus propiedades
‖ x ‖p=(∑N
i=1 |xi |p)1/p
Propiedades
1 ‖ x ‖p= 0 si y sólo si x = 0
2 ‖ λx ‖p=| λ |‖ x ‖p para todo λ y x3 ‖ x + y ‖p≤‖ x ‖p + ‖ y ‖p para todo x , y
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Análisis Numérico Matricial IIDistancia y norma Lp
distancia Lp entre 2 puntos (x1, x2) y (x ′1, x′2)
distancia Lp =(| x1 − x ′1 |p + | x2 − x ′2 |p
)1/p
Norma Lp de un vector x = (x1, x2, .....xN) y sus propiedades
‖ x ‖p=(∑N
i=1 |xi |p)1/p
Propiedades
1 ‖ x ‖p= 0 si y sólo si x = 02 ‖ λx ‖p=| λ |‖ x ‖p para todo λ y x
3 ‖ x + y ‖p≤‖ x ‖p + ‖ y ‖p para todo x , y
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Análisis Numérico Matricial IIDistancia y norma Lp
distancia Lp entre 2 puntos (x1, x2) y (x ′1, x′2)
distancia Lp =(| x1 − x ′1 |p + | x2 − x ′2 |p
)1/p
Norma Lp de un vector x = (x1, x2, .....xN) y sus propiedades
‖ x ‖p=(∑N
i=1 |xi |p)1/p
Propiedades
1 ‖ x ‖p= 0 si y sólo si x = 02 ‖ λx ‖p=| λ |‖ x ‖p para todo λ y x3 ‖ x + y ‖p≤‖ x ‖p + ‖ y ‖p para todo x , y
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Análisis Numérico Matricial IILugar geométrico de los puntos que verifican ‖ x ‖2≤ 1
Cual es el lugar geométrico de los puntos que verifican
‖ x ‖2=√
x21 + x2
2 ≤ 1
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Análisis Numérico Matricial IILugar geométrico de los puntos que verifican ‖ x ‖2≤ 1
Cual es el lugar geométrico de los puntos que verifican
‖ x ‖2=√
x21 + x2
2 ≤ 1
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Análisis Numérico Matricial IILugar geométrico de los puntos que verifican ‖ x ‖1≤ 1
Cual es el lugar geométrico de los puntos que verifican
‖ x ‖1=| x1 | + | x2 |≤ 1
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Análisis Numérico Matricial IILugar geométrico de los puntos que verifican ‖ x ‖1≤ 1
Cual es el lugar geométrico de los puntos que verifican
‖ x ‖1=| x1 | + | x2 |≤ 1
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Análisis Numérico Matricial IILugar geométrico de los puntos que verifican ‖ x ‖∞≤ 1
Cual es el lugar geométrico de los puntos que verifican
‖ x ‖1= max{| x1 |, | x2 |} ≤ 1
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Análisis Numérico Matricial IILugar geométrico de los puntos que verifican ‖ x ‖∞≤ 1
Cual es el lugar geométrico de los puntos que verifican
‖ x ‖1= max{| x1 |, | x2 |} ≤ 1
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1 Nociones básicas sobre matrices y vectoresdistancia entre 2 puntos en el planoNorma de vectoresNorma de una matrizProducto EscalarBase ortonormal de vectoresautovalores de una matrizRadio espectral de una matrizCondicionamiento de una matriz
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Análisis Numérico Matricial IINorma de una matriz
Sea A una matriz y sea ‖ . ‖ una norma vectorial. Se define la normade A, subordinada a la norma vectorial ‖ . ‖ como
‖ A ‖= supx 6=0‖Ax‖‖x‖
Ejemplos
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Análisis Numérico Matricial IINorma de una matriz
Sea A una matriz y sea ‖ . ‖ una norma vectorial. Se define la normade A, subordinada a la norma vectorial ‖ . ‖ como
‖ A ‖= supx 6=0‖Ax‖‖x‖
Ejemplos∥∥∥∥( λ 00 λ
)∥∥∥∥ = supx 6=0
‖λx‖‖x‖ = sup
x 6=0
|λ|‖x‖‖x‖ = |λ|
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Análisis Numérico Matricial IINorma de una matriz
Sea A una matriz y sea ‖ . ‖ una norma vectorial. Se define la normade A, subordinada a la norma vectorial ‖ . ‖ como
‖ A ‖= supx 6=0‖Ax‖‖x‖
Ejemplos∥∥∥∥( 2 00 1
)∥∥∥∥2
= supx 6=0
√(2x1)2+x2
2√x2
1+x22
= ?
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Análisis Numérico Matricial IINorma de una matriz
Sea A una matriz y sea ‖ . ‖ una norma vectorial. Se define la normade A, subordinada a la norma vectorial ‖ . ‖ como
‖ A ‖= supx 6=0‖Ax‖‖x‖
Ejemplos∥∥∥∥( 2 00 1
)∥∥∥∥2
= supx 6=0
√(2x1)2+x2
2√x2
1+x22
=
√(2·1)2+02√
12+02= 2
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Análisis Numérico Matricial IINorma de una matriz
Sea A una matriz y sea ‖ . ‖ una norma vectorial. Se define la normade A, subordinada a la norma vectorial ‖ . ‖ como
‖ A ‖= supx 6=0‖Ax‖‖x‖
Ejemplos∥∥∥∥( 2 00 1
)∥∥∥∥2
= supx 6=0
√(2x1)2+x2
2√x2
1+x22
=
√(2·1)2+02√
12+02= 2∥∥∥∥( 2 0
0 1
)∥∥∥∥1
= supx 6=0
|2x1|+|x2||x1|+|x2| = ?
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Análisis Numérico Matricial IINorma de una matriz
Sea A una matriz y sea ‖ . ‖ una norma vectorial. Se define la normade A, subordinada a la norma vectorial ‖ . ‖ como
‖ A ‖= supx 6=0‖Ax‖‖x‖
Ejemplos∥∥∥∥( 2 00 1
)∥∥∥∥2
= supx 6=0
√(2x1)2+x2
2√x2
1+x22
=
√(2·1)2+02√
12+02= 2∥∥∥∥( 2 0
0 1
)∥∥∥∥1
= supx 6=0
|2x1|+|x2||x1|+|x2| = |2·1|+|0|
|1|+|0| = 2
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Análisis Numérico Matricial IINorma de una matriz
Sea A una matriz y sea ‖ . ‖ una norma vectorial. Se define la normade A, subordinada a la norma vectorial ‖ . ‖ como
‖ A ‖= supx 6=0‖Ax‖‖x‖
Ejemplos∥∥∥∥( 2 00 1
)∥∥∥∥2
= supx 6=0
√(2x1)2+x2
2√x2
1+x22
=
√(2·1)2+02√
12+02= 2∥∥∥∥( 2 0
0 1
)∥∥∥∥1
= supx 6=0
|2x1|+|x2||x1|+|x2| = |2·1|+|0|
|1|+|0| = 2∥∥∥∥( 2 00 1
)∥∥∥∥∞
= supx 6=0
max{|2x1|,|x2|}max{|x1|,|x2|} = ?
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Análisis Numérico Matricial IINorma de una matriz
Sea A una matriz y sea ‖ . ‖ una norma vectorial. Se define la normade A, subordinada a la norma vectorial ‖ . ‖ como
‖ A ‖= supx 6=0‖Ax‖‖x‖
Ejemplos∥∥∥∥( 2 00 1
)∥∥∥∥2
= supx 6=0
√(2x1)2+x2
2√x2
1+x22
=
√(2·1)2+02√
12+02= 2∥∥∥∥( 2 0
0 1
)∥∥∥∥1
= supx 6=0
|2x1|+|x2||x1|+|x2| = |2·1|+|0|
|1|+|0| = 2∥∥∥∥( 2 00 1
)∥∥∥∥∞
= supx 6=0
max{|2x1|,|x2|}max{|x1|,|x2|} = max{|2·1|,|0|}
max{|1|,|0|} = 2
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Análisis Numérico Matricial IINorma de una matriz
Sea A una matriz y sea ‖ . ‖ una norma vectorial. Se define la normade A, subordinada a la norma vectorial ‖ . ‖ como
‖ A ‖= supx 6=0‖Ax‖‖x‖
Ejemplos∥∥∥∥( 1 01 1
)∥∥∥∥2
= supx 6=0
√x2
1+(x1+x2)2√x2
1+x22
= ?
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Análisis Numérico Matricial IINorma de una matriz
Sea A una matriz y sea ‖ . ‖ una norma vectorial. Se define la normade A, subordinada a la norma vectorial ‖ . ‖ como
‖ A ‖= supx 6=0‖Ax‖‖x‖
Ejemplos∥∥∥∥( 1 01 1
)∥∥∥∥2
= supx 6=0
√x2
1+(x1+x2)2√x2
1+x22
=
√(1+√
5)2+(1+√
5+2)2√(1+√
5)2+(2)2= 1.618
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Análisis Numérico Matricial IINorma de una matriz
Sea A una matriz y sea ‖ . ‖ una norma vectorial. Se define la normade A, subordinada a la norma vectorial ‖ . ‖ como
‖ A ‖= supx 6=0‖Ax‖‖x‖
Ejemplos∥∥∥∥( 1 01 1
)∥∥∥∥2
= supx 6=0
√x2
1+(x1+x2)2√x2
1+x22
=
√(1+√
5)2+(1+√
5+2)2√(1+√
5)2+(2)2= 1.618∥∥∥∥( 1 0
1 1
)∥∥∥∥1
= supx 6=0
|x1|+|x1+x2||x1|+|x2| = ?
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Análisis Numérico Matricial IINorma de una matriz
Sea A una matriz y sea ‖ . ‖ una norma vectorial. Se define la normade A, subordinada a la norma vectorial ‖ . ‖ como
‖ A ‖= supx 6=0‖Ax‖‖x‖
Ejemplos∥∥∥∥( 1 01 1
)∥∥∥∥2
= supx 6=0
√x2
1+(x1+x2)2√x2
1+x22
=
√(1+√
5)2+(1+√
5+2)2√(1+√
5)2+(2)2= 1.618∥∥∥∥( 1 0
1 1
)∥∥∥∥1
= supx 6=0
|x1|+|x1+x2||x1|+|x2| = |1+|1+0|
|1|+|0| = 2
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Sea A una matriz y sea ‖ . ‖ una norma vectorial. Se define la normade A, subordinada a la norma vectorial ‖ . ‖ como
‖ A ‖= supx 6=0‖Ax‖‖x‖
Ejemplos∥∥∥∥( 1 01 1
)∥∥∥∥2
= supx 6=0
√x2
1+(x1+x2)2√x2
1+x22
=
√(1+√
5)2+(1+√
5+2)2√(1+√
5)2+(2)2= 1.618∥∥∥∥( 1 0
1 1
)∥∥∥∥1
= supx 6=0
|x1|+|x1+x2||x1|+|x2| = |1+|1+0|
|1|+|0| = 2∥∥∥∥( 1 01 1
)∥∥∥∥∞
= supx 6=0
max{|x1|,|x1+x2|}max{|x1|,|x2|} = ?
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Análisis Numérico Matricial IINorma de una matriz
Sea A una matriz y sea ‖ . ‖ una norma vectorial. Se define la normade A, subordinada a la norma vectorial ‖ . ‖ como
‖ A ‖= supx 6=0‖Ax‖‖x‖
Ejemplos∥∥∥∥( 1 01 1
)∥∥∥∥2
= supx 6=0
√x2
1+(x1+x2)2√x2
1+x22
=
√(1+√
5)2+(1+√
5+2)2√(1+√
5)2+(2)2= 1.618∥∥∥∥( 1 0
1 1
)∥∥∥∥1
= supx 6=0
|x1|+|x1+x2||x1|+|x2| = |1+|1+0|
|1|+|0| = 2∥∥∥∥( 1 01 1
)∥∥∥∥∞
= supx 6=0
max{|x1|,|x1+x2|}max{|x1|,|x2|} = max{|1|,|1+1|}
max{|1|,|1|} = 2
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Análisis Numérico Matricial IINorma de una matriz
Sea A una matriz y sea ‖ . ‖ una norma vectorial. Se define la normade A, subordinada a la norma vectorial ‖ . ‖ como
‖ A ‖= supx 6=0‖Ax‖‖x‖
Ejemplos∥∥∥∥( 1 01 1
)∥∥∥∥2
= supx 6=0
√x2
1+(x1+x2)2√x2
1+x22
=
√(1+√
5)2+(1+√
5+2)2√(1+√
5)2+(2)2= 1.618∥∥∥∥( 1 0
1 1
)∥∥∥∥1
= supx 6=0
|x1|+|x1+x2||x1|+|x2| = |1+|1+0|
|1|+|0| = 2∥∥∥∥( 1 01 1
)∥∥∥∥∞
= supx 6=0
max{|x1|,|x1+x2|}max{|x1|,|x2|} = max{|1|,|1+1|}
max{|1|,|1|} = 2
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Análisis Numérico Matricial IINorma de una matriz
TeoremaSea A una matriz y ‖ . ‖ una norma vectorial. Entonces, para cualquiervector x se verifica que
‖ Ax ‖≤‖ A ‖ · ‖ x ‖
Demostración: Si x = 0, la desigualdad es trivial. Si x 6= 0, entonces,puesto que ‖ x ‖> 0, la desigualdad anterior es equivalente a
‖ Ax ‖‖ x ‖
≤
Ahora bien, esta desigualdad es cierta por
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Análisis Numérico Matricial IINorma de una matriz
TeoremaSea A una matriz y ‖ . ‖ una norma vectorial. Entonces, para cualquiervector x se verifica que
‖ Ax ‖≤‖ A ‖ · ‖ x ‖
Demostración: Si x = 0, la desigualdad es trivial. Si x 6= 0, entonces,puesto que ‖ x ‖> 0, la desigualdad anterior es equivalente a
‖ Ax ‖‖ x ‖
≤ ?
Ahora bien, esta desigualdad es cierta por
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Análisis Numérico Matricial IINorma de una matriz
TeoremaSea A una matriz y ‖ . ‖ una norma vectorial. Entonces, para cualquiervector x se verifica que
‖ Ax ‖≤‖ A ‖ · ‖ x ‖
Demostración: Si x = 0, la desigualdad es trivial. Si x 6= 0, entonces,puesto que ‖ x ‖> 0, la desigualdad anterior es equivalente a
‖ Ax ‖‖ x ‖
≤ ‖ A ‖
Ahora bien, esta desigualdad es cierta por
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Análisis Numérico Matricial IINorma de una matriz
TeoremaSea A una matriz y ‖ . ‖ una norma vectorial. Entonces, para cualquiervector x se verifica que
‖ Ax ‖≤‖ A ‖ · ‖ x ‖
Demostración: Si x = 0, la desigualdad es trivial. Si x 6= 0, entonces,puesto que ‖ x ‖> 0, la desigualdad anterior es equivalente a
‖ Ax ‖‖ x ‖
≤ ‖ A ‖
Ahora bien, esta desigualdad es cierta por ?
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Análisis Numérico Matricial IINorma de una matriz
TeoremaSea A una matriz y ‖ . ‖ una norma vectorial. Entonces, para cualquiervector x se verifica que
‖ Ax ‖≤‖ A ‖ · ‖ x ‖
Demostración: Si x = 0, la desigualdad es trivial. Si x 6= 0, entonces,puesto que ‖ x ‖> 0, la desigualdad anterior es equivalente a
‖ Ax ‖‖ x ‖
≤ ‖ A ‖
Ahora bien, esta desigualdad es cierta por la propia definición de‖ A ‖ al tratarse del supremo de todos los cocientes de este tipo
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Contenido
1 Nociones básicas sobre matrices y vectoresdistancia entre 2 puntos en el planoNorma de vectoresNorma de una matrizProducto EscalarBase ortonormal de vectoresautovalores de una matrizRadio espectral de una matrizCondicionamiento de una matriz
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Análisis Numérico Matricial IIProducto escalar de 2 vectores
DEFINICION: Producto escalar de 2 vectores
(xi , xj) =N∑
k=1
(xi)k(xj)
k
donde (xi)k indica la coordenada k -ésima del vector xi .
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Análisis Numérico Matricial IIProducto escalar de 2 vectores
DEFINICION: Producto escalar de 2 vectores
(xi , xj) =N∑
k=1
(xi)k(xj)
k
donde (xi)k indica la coordenada k -ésima del vector xi .
Ejemplo: Sean x1 = (1,2,3)T y x2 = (9,8,−5)T , entonces :
(x1, x2) = ?
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Análisis Numérico Matricial IIProducto escalar de 2 vectores
DEFINICION: Producto escalar de 2 vectores
(xi , xj) =N∑
k=1
(xi)k(xj)
k
donde (xi)k indica la coordenada k -ésima del vector xi .
Ejemplo: Sean x1 = (1,2,3)T y x2 = (9,8,−5)T , entonces :
(x1, x2) = 1 · 9 + 2 · 8− 3 · 5 = 10
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Análisis Numérico Matricial IIProducto escalar de 2 vectores
DEFINICION: Producto escalar de 2 vectores
(xi , xj) =N∑
k=1
(xi)k(xj)
k
donde (xi)k indica la coordenada k -ésima del vector xi .
Ejemplo: Sean x1 = (1,2,3)T y x2 = (9,8,−5)T , entonces :
(x1, x2) = 1 · 9 + 2 · 8− 3 · 5 = 10
Propiedad importante: ‖ x ‖2= ?
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Análisis Numérico Matricial IIProducto escalar de 2 vectores
DEFINICION: Producto escalar de 2 vectores
(xi , xj) =N∑
k=1
(xi)k(xj)
k
donde (xi)k indica la coordenada k -ésima del vector xi .
Ejemplo: Sean x1 = (1,2,3)T y x2 = (9,8,−5)T , entonces :
(x1, x2) = 1 · 9 + 2 · 8− 3 · 5 = 10
Propiedad importante: ‖ x ‖2=√
(x , x)
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Análisis Numérico Matricial IINormalizar vectores
Normalizar vectoresDado un vector x normalizarlo respecto a la norma ‖ . ‖ consiste en dividirel vector por su norma, es decir, hacer
x‖ x ‖
La norma de un vector normalizado es 1.
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Análisis Numérico Matricial IINormalizar vectores
Normalizar vectoresDado un vector x normalizarlo respecto a la norma ‖ . ‖ consiste en dividirel vector por su norma, es decir, hacer
x‖ x ‖
La norma de un vector normalizado es 1.
Ejemplo:Sea x = (1,2,−3)T , normalizar el vector depende de la normaconsiderada y consiste en hacer :
x‖ x ‖2
= ? x‖ x ‖1
= ? x‖ x ‖∞
= ?
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Análisis Numérico Matricial IINormalizar vectores
Normalizar vectoresDado un vector x normalizarlo respecto a la norma ‖ . ‖ consiste en dividirel vector por su norma, es decir, hacer
x‖ x ‖
La norma de un vector normalizado es 1.
Ejemplo:Sea x = (1,2,−3)T , normalizar el vector depende de la normaconsiderada y consiste en hacer :
x‖ x ‖2
=
1/√
142/√
14−3/√
14
x‖ x ‖1
= ? x‖ x ‖∞
= ?
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Análisis Numérico Matricial IINormalizar vectores
Normalizar vectoresDado un vector x normalizarlo respecto a la norma ‖ . ‖ consiste en dividirel vector por su norma, es decir, hacer
x‖ x ‖
La norma de un vector normalizado es 1.
Ejemplo:Sea x = (1,2,−3)T , normalizar el vector depende de la normaconsiderada y consiste en hacer :
x‖ x ‖2
=
1/√
142/√
14−3/√
14
x‖ x ‖1
=
1/62/6−3/6
x‖ x ‖∞
= ?
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Análisis Numérico Matricial IINormalizar vectores
Normalizar vectoresDado un vector x normalizarlo respecto a la norma ‖ . ‖ consiste en dividirel vector por su norma, es decir, hacer
x‖ x ‖
La norma de un vector normalizado es 1.
Ejemplo:Sea x = (1,2,−3)T , normalizar el vector depende de la normaconsiderada y consiste en hacer :
x‖ x ‖2
=
1/√
142/√
14−3/√
14
x‖ x ‖1
=
1/62/6−3/6
x‖ x ‖∞
=
1/32/3−3/3
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Contenido
1 Nociones básicas sobre matrices y vectoresdistancia entre 2 puntos en el planoNorma de vectoresNorma de una matrizProducto EscalarBase ortonormal de vectoresautovalores de una matrizRadio espectral de una matrizCondicionamiento de una matriz
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Análisis Numérico Matricial IIBase ortonormal de vectores
DEFINICION: Base ortonormal de vectoresUna base ortornormal de vectores de RN son N vectores x1, ....xNnormalizados y tal que el producto escalar entre todos ellos es 0 (es decir losvectores son ? entre sí).
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Análisis Numérico Matricial IIBase ortonormal de vectores
DEFINICION: Base ortonormal de vectoresUna base ortornormal de vectores de RN son N vectores x1, ....xNnormalizados y tal que el producto escalar entre todos ellos es 0 (es decir losvectores son perpendiculares entre sí).
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 22 / 82
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Análisis Numérico Matricial IIBase ortonormal de vectores
DEFINICION: Base ortonormal de vectoresUna base ortornormal de vectores de RN son N vectores x1, ....xNnormalizados y tal que el producto escalar entre todos ellos es 0 (es decir losvectores son perpendiculares entre sí).
Ejemplo: los vectores columna de las siguientes matrices forman una baseortonormal de vectores 1 0 0
0 1 00 0 1
1/√
2 1/√
3 −1/√
60 1/
√3 2/
√6
1/√
2 −1/√
3 1/√
6
cos(α) sin(α) 0− sin(α) cos(α) 00 0 1
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Análisis Numérico Matricial IIBase ortonormal de vectores
DEFINICION: Base ortonormal de vectoresUna base ortornormal de vectores de RN son N vectores x1, ....xNnormalizados y tal que el producto escalar entre todos ellos es 0 (es decir losvectores son perpendiculares entre sí).
Ejemplo: los vectores columna de las siguientes matrices forman una baseortonormal de vectores 1 0 0
0 1 00 0 1
1/√
2 1/√
3 −1/√
60 1/
√3 2/
√6
1/√
2 −1/√
3 1/√
6
cos(α) sin(α) 0− sin(α) cos(α) 00 0 1
Propiedad importante: Si x = η1x1 + ...+ ηNxN entonces
‖ x ‖2= ?
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Análisis Numérico Matricial IIBase ortonormal de vectores
DEFINICION: Base ortonormal de vectoresUna base ortornormal de vectores de RN son N vectores x1, ....xNnormalizados y tal que el producto escalar entre todos ellos es 0 (es decir losvectores son perpendiculares entre sí).
Ejemplo: los vectores columna de las siguientes matrices forman una baseortonormal de vectores 1 0 0
0 1 00 0 1
1/√
2 1/√
3 −1/√
60 1/
√3 2/
√6
1/√
2 −1/√
3 1/√
6
cos(α) sin(α) 0− sin(α) cos(α) 00 0 1
Propiedad importante: Si x = η1x1 + ...+ ηNxN entonces
‖ x ‖2=√η2
1 + ...+ η2N
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1 Nociones básicas sobre matrices y vectoresdistancia entre 2 puntos en el planoNorma de vectoresNorma de una matrizProducto EscalarBase ortonormal de vectoresautovalores de una matrizRadio espectral de una matrizCondicionamiento de una matriz
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Análisis Numérico Matricial IIAutovalores de una matriz
DefiniciónUn autovalor de A es un número real λ tal que existe un vector x,denominado autovector, tal que
Ax = λx
DefiniciónSe denomina polinomio característico P(λ) de la matriz A, al polinomiodado por el determinante
P(λ) =| A− λI |
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Análisis Numérico Matricial IIAutovalores de una matriz
DefiniciónUn autovalor de A es un número real λ tal que existe un vector x,denominado autovector, tal que
Ax = λx
DefiniciónSe denomina polinomio característico P(λ) de la matriz A, al polinomiodado por el determinante
P(λ) =| A− λI |
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Análisis Numérico Matricial IIAutovalores de una matriz
ProblemaCalcular los autovectores de la matriz 1 1 0
1 1 00 0 2
y determinar una base ortonormal de R3 de autovectores de A.
Solución: tenemos que calcular los ceros del polinomio característico|A− λi Id | = 0
∣∣∣∣∣∣1− λ 1 0
1 1− λ 00 0 2− λ
∣∣∣∣∣∣ = ((1− λ)2 − 1)(2− λ) = 0
de donde obtenemos λ1 = 0, λ2 = 2 y λ3 = 2
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Análisis Numérico Matricial IIAutovalores de una matriz
ProblemaCalcular los autovectores de la matriz 1 1 0
1 1 00 0 2
y determinar una base ortonormal de R3 de autovectores de A.
Solución: tenemos que calcular los ceros del polinomio característico ?
∣∣∣∣∣∣1− λ 1 0
1 1− λ 00 0 2− λ
∣∣∣∣∣∣ = ((1− λ)2 − 1)(2− λ) = 0
de donde obtenemos λ1 = 0, λ2 = 2 y λ3 = 2
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Análisis Numérico Matricial IIAutovalores de una matriz
ProblemaCalcular los autovectores de la matriz 1 1 0
1 1 00 0 2
y determinar una base ortonormal de R3 de autovectores de A.
Solución: tenemos que calcular los ceros del polinomio característico|A− λi Id | = 0
∣∣∣∣∣∣1− λ 1 0
1 1− λ 00 0 2− λ
∣∣∣∣∣∣ = ((1− λ)2 − 1)(2− λ) = 0
de donde obtenemos λ1 = 0, λ2 = 2 y λ3 = 2
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Análisis Numérico Matricial IIAutovalores de una matriz
ProblemaCalcular los autovectores de la matriz 1 1 0
1 1 00 0 2
y determinar una base ortonormal de R3 de autovectores de A.
Solución: tenemos que calcular los ceros del polinomio característico|A− λi Id | = 0
∣∣∣∣∣∣1− λ 1 0
1 1− λ 00 0 2− λ
∣∣∣∣∣∣ = ((1− λ)2 − 1)(2− λ) = 0
de donde obtenemos λ1 = 0, λ2 = 2 y λ3 = 2
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Análisis Numérico Matricial IIAutovalores de una matriz
ProblemaCalcular los autovectores de la matriz 1 1 0
1 1 00 0 2
y determinar una base ortonormal de R3 de autovectores de A.
Solución: tenemos que calcular los ceros del polinomio característico|A− λi Id | = 0
∣∣∣∣∣∣1− λ 1 0
1 1− λ 00 0 2− λ
∣∣∣∣∣∣ = ((1− λ)2 − 1)(2− λ) = 0
de donde obtenemos λ1 = 0, λ2 = 2 y λ3 = 2
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Análisis Numérico Matricial IIAutovalores de una matriz
Calculamos los autovectores de A :
λ1 = 0 1 1 01 1 00 0 2
x1x2x3
=
000
→
x1 = −x2
x3 = 0→ x1 =
1√2−1√
20
λ2, λ3 = 2 −1 1 0
1 −1 00 0 0
x1x2x3
=
000
→
x1 = x2
x3 libre→ x2 =
1√2
1√2
0
, x3 =
001
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Análisis Numérico Matricial IIAutovalores de una matriz
Calculamos los autovectores de A :
λ1 = 0 1 1 01 1 00 0 2
x1x2x3
=
000
→
x1 = −x2
x3 = 0→ x1 = ?
λ2, λ3 = 2 −1 1 01 −1 00 0 0
x1x2x3
=
000
→
x1 = x2
x3 libre→ x2 =
1√2
1√2
0
, x3 =
001
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Análisis Numérico Matricial IIAutovalores de una matriz
Calculamos los autovectores de A :
λ1 = 0 1 1 01 1 00 0 2
x1x2x3
=
000
→
x1 = −x2
x3 = 0→ x1 =
1√2−1√
20
λ2, λ3 = 2 −1 1 01 −1 00 0 0
x1x2x3
=
000
→
x1 = x2
x3 libre→ x2 =
1√2
1√2
0
, x3 =
001
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Análisis Numérico Matricial IIAutovalores de una matriz
Calculamos los autovectores de A :
λ1 = 0 1 1 01 1 00 0 2
x1x2x3
=
000
→
x1 = −x2
x3 = 0→ x1 =
1√2−1√
20
λ2, λ3 = 2 −1 1 0
1 −1 00 0 0
x1x2x3
=
000
→ ? → x2 = ?, x3 = ?
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Análisis Numérico Matricial IIAutovalores de una matriz
Calculamos los autovectores de A :
λ1 = 0 1 1 01 1 00 0 2
x1x2x3
=
000
→
x1 = −x2
x3 = 0→ x1 =
1√2−1√
20
λ2, λ3 = 2 −1 1 0
1 −1 00 0 0
x1x2x3
=
000
→
x1 = x2
x3 libre→ x2 = ?, x3 = ?
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Análisis Numérico Matricial IIAutovalores de una matriz
Calculamos los autovectores de A :
λ1 = 0 1 1 01 1 00 0 2
x1x2x3
=
000
→
x1 = −x2
x3 = 0→ x1 =
1√2−1√
20
λ2, λ3 = 2 −1 1 0
1 −1 00 0 0
x1x2x3
=
000
→
x1 = x2
x3 libre→ x2 =
1√2
1√2
0
, x3 = ?
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Análisis Numérico Matricial IIAutovalores de una matriz
Calculamos los autovectores de A :
λ1 = 0 1 1 01 1 00 0 2
x1x2x3
=
000
→
x1 = −x2
x3 = 0→ x1 =
1√2−1√
20
λ2, λ3 = 2 −1 1 0
1 −1 00 0 0
x1x2x3
=
000
→
x1 = x2
x3 libre→ x2 =
1√2
1√2
0
, x3 =
001
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Análisis Numérico Matricial IIAutovalores de una matriz
Calculamos los autovectores de A :
λ1 = 0 1 1 01 1 00 0 2
x1x2x3
=
000
→
x1 = −x2
x3 = 0→ x1 =
1√2−1√
20
λ2, λ3 = 2 −1 1 0
1 −1 00 0 0
x1x2x3
=
000
→
x1 = x2
x3 libre→ x2 =
1√2
1√2
0
, x3 =
001
La matriz,
B =
1√2
1√2
0−1√
21√2
00 0 1
contiene los autovectores de A que forman una base ortonormal de R3.
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Análisis Numérico Matricial IIAutovalores de matrices simétricas
TeoremaTodas las matrices simétricas poseen una base ortonormal deautovectores.
Por tanto, poseen tantos autovalores como dimensión tenga la matriz(aunque alguno de los autovalores puede salir repetido)
No todas las matrices poseen una base de autovectores.
A =
(1 01 1
)tiene como autovalor λ = 1
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Análisis Numérico Matricial IIAutovalores de matrices simétricas
TeoremaTodas las matrices simétricas poseen una base ortonormal deautovectores.
Por tanto, poseen tantos autovalores como dimensión tenga la matriz(aunque alguno de los autovalores puede salir repetido)
No todas las matrices poseen una base de autovectores.
A =
(1 01 1
)tiene como autovalor λ = ?
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Análisis Numérico Matricial IIAutovalores de matrices simétricas
TeoremaTodas las matrices simétricas poseen una base ortonormal deautovectores.
Por tanto, poseen tantos autovalores como dimensión tenga la matriz(aunque alguno de los autovalores puede salir repetido)
No todas las matrices poseen una base de autovectores.
A =
(1 01 1
)tiene como autovalor λ = 1
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Análisis Numérico Matricial IIAutovalores de matrices simétricas
TeoremaTodas las matrices simétricas poseen una base ortonormal deautovectores.
Por tanto, poseen tantos autovalores como dimensión tenga la matriz(aunque alguno de los autovalores puede salir repetido)
No todas las matrices poseen una base de autovectores.
A =
(1 01 1
)tiene como autovalor λ = 1
y tiene como autovector ?
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Análisis Numérico Matricial IIAutovalores de matrices simétricas
TeoremaTodas las matrices simétricas poseen una base ortonormal deautovectores.
Por tanto, poseen tantos autovalores como dimensión tenga la matriz(aunque alguno de los autovalores puede salir repetido)
No todas las matrices poseen una base de autovectores.
A =
(1 01 1
)tiene como autovalor λ = 1
y tiene como autovector x = (0,1)T
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1 Nociones básicas sobre matrices y vectoresdistancia entre 2 puntos en el planoNorma de vectoresNorma de una matrizProducto EscalarBase ortonormal de vectoresautovalores de una matrizRadio espectral de una matrizCondicionamiento de una matriz
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Análisis Numérico Matricial IIRadio espectral de una matriz
DefiniciónSe define el radio espectral de una matriz A como
ρ(A) = maxi{| λi | : λi autovalor de A}
TeoremaSea A una matriz y ‖ . ‖ una norma vectorial. Entonces
‖ A ‖≥ ρ(A)
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Análisis Numérico Matricial IIRadio espectral de una matriz
DefiniciónSe define el radio espectral de una matriz A como
ρ(A) = maxi{| λi | : λi autovalor de A}
TeoremaSea A una matriz y ‖ . ‖ una norma vectorial. Entonces
‖ A ‖≥ ρ(A)
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Análisis Numérico Matricial IIRadio espectral de una matriz
DefiniciónSe define el radio espectral de una matriz A como
ρ(A) = maxi{| λi | : λi autovalor de A}
TeoremaSea A una matriz y ‖ . ‖ una norma vectorial. Entonces
‖ A ‖≥ ρ(A)
Demostración: Si λ es un autovalor de A, entonces existe un autovector x talque ?
por tanto‖ Ax ‖‖ x ‖
=‖ λx ‖‖ x ‖
= |λ| ≤ ‖ A ‖
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Análisis Numérico Matricial IIRadio espectral de una matriz
DefiniciónSe define el radio espectral de una matriz A como
ρ(A) = maxi{| λi | : λi autovalor de A}
TeoremaSea A una matriz y ‖ . ‖ una norma vectorial. Entonces
‖ A ‖≥ ρ(A)
Demostración: Si λ es un autovalor de A, entonces existe un autovector x talque Ax = λx ,
por tanto
‖ Ax ‖‖ x ‖
=‖ λx ‖‖ x ‖
= |λ| ≤ ‖ A ‖
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Análisis Numérico Matricial IIRadio espectral de una matriz
DefiniciónSe define el radio espectral de una matriz A como
ρ(A) = maxi{| λi | : λi autovalor de A}
TeoremaSea A una matriz y ‖ . ‖ una norma vectorial. Entonces
‖ A ‖≥ ρ(A)
Demostración: Si λ es un autovalor de A, entonces existe un autovector x talque Ax = λx , por tanto
‖ Ax ‖‖ x ‖
= ?
= |λ| ≤ ‖ A ‖
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Análisis Numérico Matricial IIRadio espectral de una matriz
DefiniciónSe define el radio espectral de una matriz A como
ρ(A) = maxi{| λi | : λi autovalor de A}
TeoremaSea A una matriz y ‖ . ‖ una norma vectorial. Entonces
‖ A ‖≥ ρ(A)
Demostración: Si λ es un autovalor de A, entonces existe un autovector x talque Ax = λx , por tanto
‖ Ax ‖‖ x ‖
=‖ λx ‖‖ x ‖
= |λ| ≤ ‖ A ‖
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Análisis Numérico Matricial IIRadio espectral de una matriz
DefiniciónSe define el radio espectral de una matriz A como
ρ(A) = maxi{| λi | : λi autovalor de A}
TeoremaSea A una matriz y ‖ . ‖ una norma vectorial. Entonces
‖ A ‖≥ ρ(A)
Demostración: Si λ es un autovalor de A, entonces existe un autovector x talque Ax = λx , por tanto
‖ Ax ‖‖ x ‖
=‖ λx ‖‖ x ‖
= ?
≤ ‖ A ‖
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Análisis Numérico Matricial IIRadio espectral de una matriz
DefiniciónSe define el radio espectral de una matriz A como
ρ(A) = maxi{| λi | : λi autovalor de A}
TeoremaSea A una matriz y ‖ . ‖ una norma vectorial. Entonces
‖ A ‖≥ ρ(A)
Demostración: Si λ es un autovalor de A, entonces existe un autovector x talque Ax = λx , por tanto
‖ Ax ‖‖ x ‖
=‖ λx ‖‖ x ‖
= |λ|
≤ ‖ A ‖
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Análisis Numérico Matricial IIRadio espectral de una matriz
DefiniciónSe define el radio espectral de una matriz A como
ρ(A) = maxi{| λi | : λi autovalor de A}
TeoremaSea A una matriz y ‖ . ‖ una norma vectorial. Entonces
‖ A ‖≥ ρ(A)
Demostración: Si λ es un autovalor de A, entonces existe un autovector x talque Ax = λx , por tanto
‖ Ax ‖‖ x ‖
=‖ λx ‖‖ x ‖
= |λ| ≤ ?
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Análisis Numérico Matricial IIRadio espectral de una matriz
DefiniciónSe define el radio espectral de una matriz A como
ρ(A) = maxi{| λi | : λi autovalor de A}
TeoremaSea A una matriz y ‖ . ‖ una norma vectorial. Entonces
‖ A ‖≥ ρ(A)
Demostración: Si λ es un autovalor de A, entonces existe un autovector x talque Ax = λx , por tanto
‖ Ax ‖‖ x ‖
=‖ λx ‖‖ x ‖
= |λ| ≤ ‖ A ‖
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Análisis Numérico Matricial IInormas de matrices
TeoremaSi los autovectores de una matriz A de dimensión NxN forman una base ortonormal deRN , entonces
‖ A ‖2= ρ(A)
Demostración: Ya sabemos que ‖ A ‖2 ≥ ρ(A). Para demostrar la desigualdad en elotro sentido sea x un vector cualquiera, y x1, x2..., xN los autovectores de A, como sonuna base podemos expresar x en dicha base, es decir
x = η1x1 + η2x2 + ..+ ηNxN
Por tanto se tiene que
‖ Ax ‖2‖ x ‖2
=
√λ2
1η21 + ...+ λ2
1η2N√
η21 + ...+ η2
N
≤
√ρ(A)2η2
1 + ...+ ρ(A)2η2N√
η21 + ...+ η2
N
= ρ(A)→ ‖ A ‖2≤ ρ(A)
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Análisis Numérico Matricial IInormas de matrices
TeoremaSi los autovectores de una matriz A de dimensión NxN forman una base ortonormal deRN , entonces
‖ A ‖2= ρ(A)
Demostración: Ya sabemos que ‖ A ‖2 ?ρ(A).
Para demostrar la desigualdad en elotro sentido sea x un vector cualquiera, y x1, x2..., xN los autovectores de A, como sonuna base podemos expresar x en dicha base, es decir
x = η1x1 + η2x2 + ..+ ηNxN
Por tanto se tiene que
‖ Ax ‖2‖ x ‖2
=
√λ2
1η21 + ...+ λ2
1η2N√
η21 + ...+ η2
N
≤
√ρ(A)2η2
1 + ...+ ρ(A)2η2N√
η21 + ...+ η2
N
= ρ(A)→ ‖ A ‖2≤ ρ(A)
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Análisis Numérico Matricial IInormas de matrices
TeoremaSi los autovectores de una matriz A de dimensión NxN forman una base ortonormal deRN , entonces
‖ A ‖2= ρ(A)
Demostración: Ya sabemos que ‖ A ‖2 ≥ ρ(A).
Para demostrar la desigualdad en elotro sentido sea x un vector cualquiera, y x1, x2..., xN los autovectores de A, como sonuna base podemos expresar x en dicha base, es decir
x = η1x1 + η2x2 + ..+ ηNxN
Por tanto se tiene que
‖ Ax ‖2‖ x ‖2
=
√λ2
1η21 + ...+ λ2
1η2N√
η21 + ...+ η2
N
≤
√ρ(A)2η2
1 + ...+ ρ(A)2η2N√
η21 + ...+ η2
N
= ρ(A)→ ‖ A ‖2≤ ρ(A)
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Análisis Numérico Matricial IInormas de matrices
TeoremaSi los autovectores de una matriz A de dimensión NxN forman una base ortonormal deRN , entonces
‖ A ‖2= ρ(A)
Demostración: Ya sabemos que ‖ A ‖2 ≥ ρ(A). Para demostrar la desigualdad en elotro sentido sea x un vector cualquiera, y x1, x2..., xN los autovectores de A, como sonuna base podemos expresar x en dicha base, es decir
?
Por tanto se tiene que
‖ Ax ‖2‖ x ‖2
=
√λ2
1η21 + ...+ λ2
1η2N√
η21 + ...+ η2
N
≤
√ρ(A)2η2
1 + ...+ ρ(A)2η2N√
η21 + ...+ η2
N
= ρ(A)→ ‖ A ‖2≤ ρ(A)
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Análisis Numérico Matricial IInormas de matrices
TeoremaSi los autovectores de una matriz A de dimensión NxN forman una base ortonormal deRN , entonces
‖ A ‖2= ρ(A)
Demostración: Ya sabemos que ‖ A ‖2 ≥ ρ(A). Para demostrar la desigualdad en elotro sentido sea x un vector cualquiera, y x1, x2..., xN los autovectores de A, como sonuna base podemos expresar x en dicha base, es decir
x = η1x1 + η2x2 + ..+ ηNxN
Por tanto se tiene que
‖ Ax ‖2‖ x ‖2
=
√λ2
1η21 + ...+ λ2
1η2N√
η21 + ...+ η2
N
≤
√ρ(A)2η2
1 + ...+ ρ(A)2η2N√
η21 + ...+ η2
N
= ρ(A)→ ‖ A ‖2≤ ρ(A)
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Análisis Numérico Matricial IInormas de matrices
TeoremaSi los autovectores de una matriz A de dimensión NxN forman una base ortonormal deRN , entonces
‖ A ‖2= ρ(A)
Demostración: Ya sabemos que ‖ A ‖2 ≥ ρ(A). Para demostrar la desigualdad en elotro sentido sea x un vector cualquiera, y x1, x2..., xN los autovectores de A, como sonuna base podemos expresar x en dicha base, es decir
x = η1x1 + η2x2 + ..+ ηNxN
Por tanto se tiene que
‖ Ax ‖2‖ x ‖2
=??
≤
√ρ(A)2η2
1 + ...+ ρ(A)2η2N√
η21 + ...+ η2
N
= ρ(A)→ ‖ A ‖2≤ ρ(A)
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Análisis Numérico Matricial IInormas de matrices
TeoremaSi los autovectores de una matriz A de dimensión NxN forman una base ortonormal deRN , entonces
‖ A ‖2= ρ(A)
Demostración: Ya sabemos que ‖ A ‖2 ≥ ρ(A). Para demostrar la desigualdad en elotro sentido sea x un vector cualquiera, y x1, x2..., xN los autovectores de A, como sonuna base podemos expresar x en dicha base, es decir
x = η1x1 + η2x2 + ..+ ηNxN
Por tanto se tiene que
‖ Ax ‖2‖ x ‖2
=?√
η21 + ...+ η2
N
≤
√ρ(A)2η2
1 + ...+ ρ(A)2η2N√
η21 + ...+ η2
N
= ρ(A)→ ‖ A ‖2≤ ρ(A)
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Análisis Numérico Matricial IInormas de matrices
TeoremaSi los autovectores de una matriz A de dimensión NxN forman una base ortonormal deRN , entonces
‖ A ‖2= ρ(A)
Demostración: Ya sabemos que ‖ A ‖2 ≥ ρ(A). Para demostrar la desigualdad en elotro sentido sea x un vector cualquiera, y x1, x2..., xN los autovectores de A, como sonuna base podemos expresar x en dicha base, es decir
x = η1x1 + η2x2 + ..+ ηNxN
Por tanto se tiene que
‖ Ax ‖2‖ x ‖2
=
√λ2
1η21 + ...+ λ2
1η2N√
η21 + ...+ η2
N
≤
√ρ(A)2η2
1 + ...+ ρ(A)2η2N√
η21 + ...+ η2
N
= ρ(A)→ ‖ A ‖2≤ ρ(A)
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Análisis Numérico Matricial IInormas de matrices
TeoremaSi los autovectores de una matriz A de dimensión NxN forman una base ortonormal deRN , entonces
‖ A ‖2= ρ(A)
Demostración: Ya sabemos que ‖ A ‖2 ≥ ρ(A). Para demostrar la desigualdad en elotro sentido sea x un vector cualquiera, y x1, x2..., xN los autovectores de A, como sonuna base podemos expresar x en dicha base, es decir
x = η1x1 + η2x2 + ..+ ηNxN
Por tanto se tiene que
‖ Ax ‖2‖ x ‖2
=
√λ2
1η21 + ...+ λ2
1η2N√
η21 + ...+ η2
N
≤
√?2η2
1 + ...+ ?2η2
N√η2
1 + ...+ η2N
= ρ(A)→ ‖ A ‖2≤ ρ(A)
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Análisis Numérico Matricial IInormas de matrices
TeoremaSi los autovectores de una matriz A de dimensión NxN forman una base ortonormal deRN , entonces
‖ A ‖2= ρ(A)
Demostración: Ya sabemos que ‖ A ‖2 ≥ ρ(A). Para demostrar la desigualdad en elotro sentido sea x un vector cualquiera, y x1, x2..., xN los autovectores de A, como sonuna base podemos expresar x en dicha base, es decir
x = η1x1 + η2x2 + ..+ ηNxN
Por tanto se tiene que
‖ Ax ‖2‖ x ‖2
=
√λ2
1η21 + ...+ λ2
1η2N√
η21 + ...+ η2
N
≤
√ρ(A)2η2
1 + ...+ ρ(A)2η2N√
η21 + ...+ η2
N
= ρ(A)→ ‖ A ‖2≤ ρ(A)
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Análisis Numérico Matricial IInormas de matrices
TeoremaSi los autovectores de una matriz A de dimensión NxN forman una base ortonormal deRN , entonces
‖ A ‖2= ρ(A)
Demostración: Ya sabemos que ‖ A ‖2 ≥ ρ(A). Para demostrar la desigualdad en elotro sentido sea x un vector cualquiera, y x1, x2..., xN los autovectores de A, como sonuna base podemos expresar x en dicha base, es decir
x = η1x1 + η2x2 + ..+ ηNxN
Por tanto se tiene que
‖ Ax ‖2‖ x ‖2
=
√λ2
1η21 + ...+ λ2
1η2N√
η21 + ...+ η2
N
≤
√ρ(A)2η2
1 + ...+ ρ(A)2η2N√
η21 + ...+ η2
N
= ρ(A)
→ ‖ A ‖2≤ ρ(A)
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Análisis Numérico Matricial IInormas de matrices
TeoremaSi los autovectores de una matriz A de dimensión NxN forman una base ortonormal deRN , entonces
‖ A ‖2= ρ(A)
Demostración: Ya sabemos que ‖ A ‖2 ≥ ρ(A). Para demostrar la desigualdad en elotro sentido sea x un vector cualquiera, y x1, x2..., xN los autovectores de A, como sonuna base podemos expresar x en dicha base, es decir
x = η1x1 + η2x2 + ..+ ηNxN
Por tanto se tiene que
‖ Ax ‖2‖ x ‖2
=
√λ2
1η21 + ...+ λ2
1η2N√
η21 + ...+ η2
N
≤
√ρ(A)2η2
1 + ...+ ρ(A)2η2N√
η21 + ...+ η2
N
= ρ(A)→ ?
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Análisis Numérico Matricial IInormas de matrices
TeoremaSi los autovectores de una matriz A de dimensión NxN forman una base ortonormal deRN , entonces
‖ A ‖2= ρ(A)
Demostración: Ya sabemos que ‖ A ‖2 ≥ ρ(A). Para demostrar la desigualdad en elotro sentido sea x un vector cualquiera, y x1, x2..., xN los autovectores de A, como sonuna base podemos expresar x en dicha base, es decir
x = η1x1 + η2x2 + ..+ ηNxN
Por tanto se tiene que
‖ Ax ‖2‖ x ‖2
=
√λ2
1η21 + ...+ λ2
1η2N√
η21 + ...+ η2
N
≤
√ρ(A)2η2
1 + ...+ ρ(A)2η2N√
η21 + ...+ η2
N
= ρ(A)→ ‖ A ‖2≤ ρ(A)
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Análisis Numérico Matricial IICálculo de las normas de una matriz
TeoremaSea A una matriz cualquiera, entonces
‖ A ‖2=√ρ(tAA)
‖ A ‖1= maxj(∑
i | aij |)
‖ A ‖∞= maxi
(∑j | aij |
)
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Análisis Numérico Matricial IICálculo de las normas de una matriz
TeoremaSea A una matriz cualquiera, entonces
‖ A ‖2=√ρ(tAA)
‖ A ‖1= maxj(∑
i | aij |)
‖ A ‖∞= maxi
(∑j | aij |
)
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Análisis Numérico Matricial IICálculo de las normas de una matriz
TeoremaSea A una matriz cualquiera, entonces
‖ A ‖2=√ρ(tAA)
‖ A ‖1= maxj(∑
i | aij |)
‖ A ‖∞= maxi
(∑j | aij |
)
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Análisis Numérico Matricial IICálculo de las normas de una matriz
Problema: Calcular las normas 2, 1 e infinito de la matriz
A =
(1 01 2
)
Solución
‖ A ‖2=√ρ(tAA) =
√ρ
(2 22 4
)=√√
5 + 3 = 2.288
‖ A ‖1= maxj(∑
i | aij |)
= 2
‖ A ‖∞= maxi
(∑j | aij |
)= 3
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Análisis Numérico Matricial IICálculo de las normas de una matriz
Problema: Calcular las normas 2, 1 e infinito de la matriz
A =
(1 01 2
)
Solución
‖ A ‖2=√ρ(tAA) = ?
‖ A ‖1= maxj(∑
i | aij |)
= 2
‖ A ‖∞= maxi
(∑j | aij |
)= 3
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Análisis Numérico Matricial IICálculo de las normas de una matriz
Problema: Calcular las normas 2, 1 e infinito de la matriz
A =
(1 01 2
)
Solución
‖ A ‖2=√ρ(tAA) =
√ρ
(2 22 4
)= ?
‖ A ‖1= maxj(∑
i | aij |)
= 2
‖ A ‖∞= maxi
(∑j | aij |
)= 3
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Análisis Numérico Matricial IICálculo de las normas de una matriz
Problema: Calcular las normas 2, 1 e infinito de la matriz
A =
(1 01 2
)
Solución
‖ A ‖2=√ρ(tAA) =
√ρ
(2 22 4
)=√√
5 + 3 = 2.288
‖ A ‖1= maxj(∑
i | aij |)
= 2
‖ A ‖∞= maxi
(∑j | aij |
)= 3
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Análisis Numérico Matricial IICálculo de las normas de una matriz
Problema: Calcular las normas 2, 1 e infinito de la matriz
A =
(1 01 2
)
Solución
‖ A ‖2=√ρ(tAA) =
√ρ
(2 22 4
)=√√
5 + 3 = 2.288
‖ A ‖1= maxj(∑
i | aij |)
= ?
‖ A ‖∞= maxi
(∑j | aij |
)= 3
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Análisis Numérico Matricial IICálculo de las normas de una matriz
Problema: Calcular las normas 2, 1 e infinito de la matriz
A =
(1 01 2
)
Solución
‖ A ‖2=√ρ(tAA) =
√ρ
(2 22 4
)=√√
5 + 3 = 2.288
‖ A ‖1= maxj(∑
i | aij |)
= 2
‖ A ‖∞= maxi
(∑j | aij |
)= 3
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Análisis Numérico Matricial IICálculo de las normas de una matriz
Problema: Calcular las normas 2, 1 e infinito de la matriz
A =
(1 01 2
)
Solución
‖ A ‖2=√ρ(tAA) =
√ρ
(2 22 4
)=√√
5 + 3 = 2.288
‖ A ‖1= maxj(∑
i | aij |)
= 2
‖ A ‖∞= maxi
(∑j | aij |
)= ?
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Análisis Numérico Matricial IICálculo de las normas de una matriz
Problema: Calcular las normas 2, 1 e infinito de la matriz
A =
(1 01 2
)
Solución
‖ A ‖2=√ρ(tAA) =
√ρ
(2 22 4
)=√√
5 + 3 = 2.288
‖ A ‖1= maxj(∑
i | aij |)
= 2
‖ A ‖∞= maxi
(∑j | aij |
)= 3
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Contenido
1 Nociones básicas sobre matrices y vectoresdistancia entre 2 puntos en el planoNorma de vectoresNorma de una matrizProducto EscalarBase ortonormal de vectoresautovalores de una matrizRadio espectral de una matrizCondicionamiento de una matriz
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Análisis Numérico Matricial IICondicionamiento de una matriz
El condicionamiento de una matriz es un número que nos indica lacalidad de una matriz cuando se trabaja con ella numéricamente
Ejemplo
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones10 7 8 77 5 6 58 6 10 97 5 9 10
xyzv
=
32233331
cuya solución es (1,1,1,1). Vamos a considerar ahora el mismosistema, perturbando ligeramente el término independiente:
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Análisis Numérico Matricial IICondicionamiento de una matriz
Ejemplo 10 7 8 77 5 6 58 6 10 97 5 9 10
xyzv
=
32,122,933,130,9
La solución de este sistema es (9.2,-12.6,4.5,-1.1). Como podemosobservar, a pesar de que la perturbación del sistema es del orden de0.1 la perturbación de la solución del sistema puede llegar a ser delorden de 13.6.
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Análisis Numérico Matricial IICondicionamiento de una matriz
Consideremos un sistema de ecuaciones de la forma
Au = b
y el sistema de ecuaciones perturbado
A (u + δu) = b + δb
Queremos controlar el error relativo en la solución del sistema a partirdel error relativo en el término independiente b.
‖ δu ‖‖ u ‖
≤ χ(A)‖ δb ‖‖ b ‖
donde χ(A) es un número que llamaremos condicionamiento de lamatriz. Cuanto más pequeño sea χ(A) mejor comportamiento tendrála matriz A.
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Análisis Numérico Matricial IICondicionamiento de una matriz
Consideremos un sistema de ecuaciones de la forma
Au = b
y el sistema de ecuaciones perturbado
A (u + δu) = b + δb
Queremos controlar el error relativo en la solución del sistema a partirdel error relativo en el término independiente b.
‖ δu ‖‖ u ‖
≤ χ(A)‖ δb ‖‖ b ‖
donde χ(A) es un número que llamaremos condicionamiento de lamatriz. Cuanto más pequeño sea χ(A) mejor comportamiento tendrála matriz A.
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Análisis Numérico Matricial IICondicionamiento de una matriz
Teorema
Si definimos χ(A) =‖ A ‖ · ‖ A−1 ‖ ⇒ ‖ δu ‖‖ u ‖
≤ χ(A)‖ δb ‖‖ b ‖
Demostración:
A(u + δu) = b + δb ⇒ Au = bAδu = δb ⇒ δu = A−1δb
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Análisis Numérico Matricial IICondicionamiento de una matriz
Teorema
Si definimos χ(A) =‖ A ‖ · ‖ A−1 ‖ ⇒ ‖ δu ‖‖ u ‖
≤ χ(A)‖ δb ‖‖ b ‖
Demostración:
A(u + δu) = b + δb ⇒ ?
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Análisis Numérico Matricial IICondicionamiento de una matriz
Teorema
Si definimos χ(A) =‖ A ‖ · ‖ A−1 ‖ ⇒ ‖ δu ‖‖ u ‖
≤ χ(A)‖ δb ‖‖ b ‖
Demostración:
A(u + δu) = b + δb ⇒ Au = bAδu = δb ⇒ ?
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Análisis Numérico Matricial IICondicionamiento de una matriz
Teorema
Si definimos χ(A) =‖ A ‖ · ‖ A−1 ‖ ⇒ ‖ δu ‖‖ u ‖
≤ χ(A)‖ δb ‖‖ b ‖
Demostración:
A(u + δu) = b + δb ⇒ Au = bAδu = δb ⇒ δu = A−1δb
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Análisis Numérico Matricial IICondicionamiento de una matriz
Teorema
Si definimos χ(A) =‖ A ‖ · ‖ A−1 ‖ ⇒ ‖ δu ‖‖ u ‖
≤ χ(A)‖ δb ‖‖ b ‖
Demostración:
A(u + δu) = b + δb ⇒ Au = bAδu = δb ⇒ δu = A−1δb{
‖δu‖ ≤ ‖A−1‖‖δb‖‖b‖ = ‖Au‖ ≤ ‖A‖‖u‖ ⇒ 1
‖u‖ ≤‖A‖‖b‖
⇒ ?
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Análisis Numérico Matricial IICondicionamiento de una matriz
Teorema
Si definimos χ(A) =‖ A ‖ · ‖ A−1 ‖ ⇒ ‖ δu ‖‖ u ‖
≤ χ(A)‖ δb ‖‖ b ‖
Demostración:
A(u + δu) = b + δb ⇒ Au = bAδu = δb ⇒ δu = A−1δb
{‖δu‖ ≤ ‖A−1‖‖δb‖‖b‖ = ‖Au‖ ≤ ‖A‖‖u‖ ⇒ 1
‖u‖ ≤‖A‖‖b‖
⇒ ‖δu‖‖u‖
≤ ‖A‖‖A−1‖‖ δb ‖‖ b ‖
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Análisis Numérico Matricial IICondicionamiento de una matriz
ProblemaDemostrar que, si los autovectores de una matriz A de dimensión NxNforman una base ortonormal de RN , entonces, para la norma 2, secumple que
χ(A)2 =‖ A ‖2 · ‖ A−1 ‖2=maxi{| λi |}mini{| λi |}
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Análisis Numérico Matricial IICondicionamiento de una matriz
ProblemaDemostrar que, si los autovectores de una matriz A de dimensión NxNforman una base ortonormal de RN , entonces, para la norma 2, secumple que
χ(A)2 =‖ A ‖2 · ‖ A−1 ‖2=maxi{| λi |}mini{| λi |}
Solución:Ax = λx ⇒ A−1x = ?
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Análisis Numérico Matricial IICondicionamiento de una matriz
ProblemaDemostrar que, si los autovectores de una matriz A de dimensión NxNforman una base ortonormal de RN , entonces, para la norma 2, secumple que
χ(A)2 =‖ A ‖2 · ‖ A−1 ‖2=maxi{| λi |}mini{| λi |}
Solución:
Ax = λx ⇒ A−1x =1λ
x ⇒ ‖ A−1 ‖2= ?
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Análisis Numérico Matricial IICondicionamiento de una matriz
ProblemaDemostrar que, si los autovectores de una matriz A de dimensión NxNforman una base ortonormal de RN , entonces, para la norma 2, secumple que
χ(A)2 =‖ A ‖2 · ‖ A−1 ‖2=maxi{| λi |}mini{| λi |}
Solución:
Ax = λx ⇒ A−1x =1λ
x ⇒ ‖ A−1 ‖2=1
mini{λi}
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Análisis Numérico Matricial IICondicionamiento de una matriz
ProblemaDemostrar que, si los autovectores de una matriz A de dimensión NxNforman una base ortonormal de RN , entonces, para la norma 2, secumple que
χ(A)2 =‖ A ‖2 · ‖ A−1 ‖2=maxi{| λi |}mini{| λi |}
Nota: En el caso del ejemplo de matrix 4x4 anterior los autovalores dela matriz son 0.01, 0.84, 3.86, y 30.29, por tanto el condicionamientosería
χ(A)2 =30.290.01
= 3029
lo cual indica un condicionamiento bastante malo.
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Análisis Numérico Matricial IICondicionamiento de una matriz
ProblemaDemostrar que, si los autovectores de una matriz A de dimensión NxNforman una base ortonormal de RN , entonces, para la norma 2, secumple que
χ(A)2 =‖ A ‖2 · ‖ A−1 ‖2=maxi{| λi |}mini{| λi |}
Ejemplo
A =
(λ 00 λ
)⇒ χ(A)2 = ?
| A |= 0 ⇒ χ(A)2 = ?χ(µA)2 = ?
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Análisis Numérico Matricial IICondicionamiento de una matriz
ProblemaDemostrar que, si los autovectores de una matriz A de dimensión NxNforman una base ortonormal de RN , entonces, para la norma 2, secumple que
χ(A)2 =‖ A ‖2 · ‖ A−1 ‖2=maxi{| λi |}mini{| λi |}
Ejemplo
A =
(λ 00 λ
)⇒ χ(A)2 = 1
| A |= 0 ⇒ χ(A)2 = ?χ(µA)2 = ?
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Análisis Numérico Matricial IICondicionamiento de una matriz
ProblemaDemostrar que, si los autovectores de una matriz A de dimensión NxNforman una base ortonormal de RN , entonces, para la norma 2, secumple que
χ(A)2 =‖ A ‖2 · ‖ A−1 ‖2=maxi{| λi |}mini{| λi |}
Ejemplo
A =
(λ 00 λ
)⇒ χ(A)2 = 1
| A |= 0 ⇒ χ(A)2 =∞χ(µA)2 = ?
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Análisis Numérico Matricial IICondicionamiento de una matriz
ProblemaDemostrar que, si los autovectores de una matriz A de dimensión NxNforman una base ortonormal de RN , entonces, para la norma 2, secumple que
χ(A)2 =‖ A ‖2 · ‖ A−1 ‖2=maxi{| λi |}mini{| λi |}
Ejemplo
A =
(λ 00 λ
)⇒ χ(A)2 = 1
| A |= 0 ⇒ χ(A)2 =∞χ(µA)2 = χ(A)2
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Análisis Numérico Matricial IICondicionamiento de una matriz
Ejemplo
A =
(1 01 2
)⇒ A−1 =
(1 0−1
212
)
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Análisis Numérico Matricial IICondicionamiento de una matriz
Ejemplo
A =
(1 01 2
)⇒ A−1 =
(1 0−1
212
)χ (A)2 = ‖A‖2‖A−1‖2 = ?χ (A)1 = ‖A‖1‖A−1‖1 = ?χ (A)∞ = ‖A‖∞‖A−1‖∞ = ?
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Análisis Numérico Matricial IICondicionamiento de una matriz
Ejemplo
A =
(1 01 2
)⇒ A−1 =
(1 0−1
212
)χ (A)2 = ‖A‖2‖A−1‖2 =
√ρ(tAA)
√ρ(tA−1A−1) = 2.618
χ (A)1 = ‖A‖1‖A−1‖1 = ?χ (A)∞ = ‖A‖∞‖A−1‖∞ = ?
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Análisis Numérico Matricial IICondicionamiento de una matriz
Ejemplo
A =
(1 01 2
)⇒ A−1 =
(1 0−1
212
)χ (A)2 = ‖A‖2‖A−1‖2 =
√ρ(tAA)
√ρ(tA−1A−1) = 2.618
χ (A)1 = ‖A‖1‖A−1‖1 = 2 · 32
= 3
χ (A)∞ = ‖A‖∞‖A−1‖∞ = ?
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Análisis Numérico Matricial IICondicionamiento de una matriz
Ejemplo
A =
(1 01 2
)⇒ A−1 =
(1 0−1
212
)χ (A)2 = ‖A‖2‖A−1‖2 =
√ρ(tAA)
√ρ(tA−1A−1) = 2.618
χ (A)1 = ‖A‖1‖A−1‖1 = 2 · 32
= 3
χ (A)∞ = ‖A‖∞‖A−1‖∞ = 3 · 1 = 3
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Contenido
1 Nociones básicas sobre matrices y vectores
2 Método de Jacobi para calcular autovalores de matrices simétricas
3 Método de la potencia para calcular el autovalor máximo
4 Métodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones
5 Práctica 7. Implementar el método de relajación
6 Método de Newton-Raphson para sistemas no-lineales
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de Jacobi para calcular autovalores de matrices simétricas
Este método se basa en que, dadas dos matrices A y R, se verificaque los autovalores de A son los mismos que los autovalores deR−1AR. :
R−1ARx = λx ⇒
ARx = λRx ⇒{λ es autovalor de Apara el autovector Rx
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de Jacobi para calcular autovalores de matrices simétricas
Este método se basa en que, dadas dos matrices A y R, se verificaque los autovalores de A son los mismos que los autovalores deR−1AR. :
R−1ARx = λx ⇒ ARx = λRx ⇒
{λ es autovalor de Apara el autovector Rx
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de Jacobi para calcular autovalores de matrices simétricas
Este método se basa en que, dadas dos matrices A y R, se verificaque los autovalores de A son los mismos que los autovalores deR−1AR. :
R−1ARx = λx ⇒ ARx = λRx ⇒{λ es autovalor de Apara el autovector Rx
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de Jacobi para calcular autovalores de matrices simétricas
Este método se basa en que, dadas dos matrices A y R, se verificaque los autovalores de A son los mismos que los autovalores deR−1AR. :
R−1ARx = λx ⇒ ARx = λRx ⇒{λ es autovalor de Apara el autovector Rx
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de Jacobi para calcular autovalores de matrices simétricas
Este método se basa en que, dadas dos matrices A y R, se verificaque los autovalores de A son los mismos que los autovalores deR−1AR. :
R−1ARx = λx ⇒ ARx = λRx ⇒{λ es autovalor de Apara el autovector Rx
Las matrices R que se van a utilizar son matrices de rotación :
R =
(cosα sinα− sinα cosα
)
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de Jacobi para calcular autovalores de matrices simétricas
Este método se basa en que, dadas dos matrices A y R, se verificaque los autovalores de A son los mismos que los autovalores deR−1AR. :
R−1ARx = λx ⇒ ARx = λRx ⇒{λ es autovalor de Apara el autovector Rx
Las matrices R que se van a utilizar son matrices de rotación :
R =
(cosα sinα− sinα cosα
)⇒ R−1 = ?
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de Jacobi para calcular autovalores de matrices simétricas
Este método se basa en que, dadas dos matrices A y R, se verificaque los autovalores de A son los mismos que los autovalores deR−1AR. :
R−1ARx = λx ⇒ ARx = λRx ⇒{λ es autovalor de Apara el autovector Rx
Las matrices R que se van a utilizar son matrices de rotación :
R =
(cosα sinα− sinα cosα
)⇒ R−1 =
(cosα − sinαsinα cosα
)
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de Jacobi para calcular autovalores de matrices simétricas
Este método se basa en que, dadas dos matrices A y R, se verificaque los autovalores de A son los mismos que los autovalores deR−1AR. :
R−1ARx = λx ⇒ ARx = λRx ⇒{λ es autovalor de Apara el autovector Rx
En 3 variables las matrices de rotación respecto a cada eje son cosα sinα 0− sinα cosα 00 0 1
cosα 0 sinα0 1 0− sinα 0 cosα
1 0 00 cosα sinα0 − sinα cosα
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de Jacobi para calcular autovalores de matrices simétricas
El objetivo del método es convertir A en una matriz diagonal.
R−1AR =
(cosα − sinαsinα cosα
)(a0,0 a0,1a0,1 a1,1
)(cosα sinα− sinα cosα
)=(
a0,0 cos2 α− a0,1 sin 2α + a1,1 sin2 α a0,1 cos 2α−(1
2a1,1 − 12a0,0
)sin 2α
a0,1 cos 2α−(1
2a1,1 − 12a0,0
)sin 2α a0,0 cos2 α− a0,1 sin 2α + a1,1 sin2 α
)
lo que nos lleva a la condición : tan(2α) =2a0,1
a1,1 − a0,0
Ejemplo
A =
(1 11 1
)⇒ tan(2α) = 2
0 ⇒ α = π4 ⇒ R−1AR =
(0 00 2
)
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de Jacobi para calcular autovalores de matrices simétricas
El objetivo del método es convertir A en una matriz diagonal.
R−1AR =
(cosα − sinαsinα cosα
)(a0,0 a0,1a0,1 a1,1
)(cosα sinα− sinα cosα
)
=(a0,0 cos2 α− a0,1 sin 2α + a1,1 sin2 α a0,1 cos 2α−
(12a1,1 − 1
2a0,0)
sin 2αa0,1 cos 2α−
(12a1,1 − 1
2a0,0)
sin 2α a0,0 cos2 α− a0,1 sin 2α + a1,1 sin2 α
)
lo que nos lleva a la condición : tan(2α) =2a0,1
a1,1 − a0,0
Ejemplo
A =
(1 11 1
)⇒ tan(2α) = 2
0 ⇒ α = π4 ⇒ R−1AR =
(0 00 2
)
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El objetivo del método es convertir A en una matriz diagonal.
R−1AR =
(cosα − sinαsinα cosα
)(a0,0 a0,1a0,1 a1,1
)(cosα sinα− sinα cosα
)=(
a0,0 cos2 α− a0,1 sin 2α + a1,1 sin2 α a0,1 cos 2α−(1
2a1,1 − 12a0,0
)sin 2α
a0,1 cos 2α−(1
2a1,1 − 12a0,0
)sin 2α a0,0 cos2 α− a0,1 sin 2α + a1,1 sin2 α
)
lo que nos lleva a la condición : tan(2α) =2a0,1
a1,1 − a0,0
Ejemplo
A =
(1 11 1
)⇒ tan(2α) = 2
0 ⇒ α = π4 ⇒ R−1AR =
(0 00 2
)
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de Jacobi para calcular autovalores de matrices simétricas
El objetivo del método es convertir A en una matriz diagonal.
R−1AR =
(cosα − sinαsinα cosα
)(a0,0 a0,1a0,1 a1,1
)(cosα sinα− sinα cosα
)=(
a0,0 cos2 α− a0,1 sin 2α + a1,1 sin2 α a0,1 cos 2α−(1
2a1,1 − 12a0,0
)sin 2α
a0,1 cos 2α−(1
2a1,1 − 12a0,0
)sin 2α a0,0 cos2 α− a0,1 sin 2α + a1,1 sin2 α
)lo que nos lleva a la condición : tan(2α) = ?
Ejemplo
A =
(1 11 1
)⇒ tan(2α) = 2
0 ⇒ α = π4 ⇒ R−1AR =
(0 00 2
)
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El objetivo del método es convertir A en una matriz diagonal.
R−1AR =
(cosα − sinαsinα cosα
)(a0,0 a0,1a0,1 a1,1
)(cosα sinα− sinα cosα
)=(
a0,0 cos2 α− a0,1 sin 2α + a1,1 sin2 α a0,1 cos 2α−(1
2a1,1 − 12a0,0
)sin 2α
a0,1 cos 2α−(1
2a1,1 − 12a0,0
)sin 2α a0,0 cos2 α− a0,1 sin 2α + a1,1 sin2 α
)
lo que nos lleva a la condición : tan(2α) =2a0,1
a1,1 − a0,0
Ejemplo
A =
(1 11 1
)⇒ tan(2α) = 2
0 ⇒ α = π4 ⇒ R−1AR =
(0 00 2
)
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El objetivo del método es convertir A en una matriz diagonal.
R−1AR =
(cosα − sinαsinα cosα
)(a0,0 a0,1a0,1 a1,1
)(cosα sinα− sinα cosα
)=(
a0,0 cos2 α− a0,1 sin 2α + a1,1 sin2 α a0,1 cos 2α−(1
2a1,1 − 12a0,0
)sin 2α
a0,1 cos 2α−(1
2a1,1 − 12a0,0
)sin 2α a0,0 cos2 α− a0,1 sin 2α + a1,1 sin2 α
)
lo que nos lleva a la condición : tan(2α) =2a0,1
a1,1 − a0,0
Ejemplo
A =
(1 11 1
)
⇒ tan(2α) = 20 ⇒ α = π
4 ⇒ R−1AR =
(0 00 2
)
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El objetivo del método es convertir A en una matriz diagonal.
R−1AR =
(cosα − sinαsinα cosα
)(a0,0 a0,1a0,1 a1,1
)(cosα sinα− sinα cosα
)=(
a0,0 cos2 α− a0,1 sin 2α + a1,1 sin2 α a0,1 cos 2α−(1
2a1,1 − 12a0,0
)sin 2α
a0,1 cos 2α−(1
2a1,1 − 12a0,0
)sin 2α a0,0 cos2 α− a0,1 sin 2α + a1,1 sin2 α
)
lo que nos lleva a la condición : tan(2α) =2a0,1
a1,1 − a0,0
Ejemplo
A =
(1 11 1
)⇒ tan(2α) = ?
⇒ α = π4 ⇒ R−1AR =
(0 00 2
)
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El objetivo del método es convertir A en una matriz diagonal.
R−1AR =
(cosα − sinαsinα cosα
)(a0,0 a0,1a0,1 a1,1
)(cosα sinα− sinα cosα
)=(
a0,0 cos2 α− a0,1 sin 2α + a1,1 sin2 α a0,1 cos 2α−(1
2a1,1 − 12a0,0
)sin 2α
a0,1 cos 2α−(1
2a1,1 − 12a0,0
)sin 2α a0,0 cos2 α− a0,1 sin 2α + a1,1 sin2 α
)
lo que nos lleva a la condición : tan(2α) =2a0,1
a1,1 − a0,0
Ejemplo
A =
(1 11 1
)⇒ tan(2α) = 2
0
⇒ α = π4 ⇒ R−1AR =
(0 00 2
)
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El objetivo del método es convertir A en una matriz diagonal.
R−1AR =
(cosα − sinαsinα cosα
)(a0,0 a0,1a0,1 a1,1
)(cosα sinα− sinα cosα
)=(
a0,0 cos2 α− a0,1 sin 2α + a1,1 sin2 α a0,1 cos 2α−(1
2a1,1 − 12a0,0
)sin 2α
a0,1 cos 2α−(1
2a1,1 − 12a0,0
)sin 2α a0,0 cos2 α− a0,1 sin 2α + a1,1 sin2 α
)
lo que nos lleva a la condición : tan(2α) =2a0,1
a1,1 − a0,0
Ejemplo
A =
(1 11 1
)⇒ tan(2α) = 2
0 ⇒ α = ?
⇒ R−1AR =
(0 00 2
)
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El objetivo del método es convertir A en una matriz diagonal.
R−1AR =
(cosα − sinαsinα cosα
)(a0,0 a0,1a0,1 a1,1
)(cosα sinα− sinα cosα
)=(
a0,0 cos2 α− a0,1 sin 2α + a1,1 sin2 α a0,1 cos 2α−(1
2a1,1 − 12a0,0
)sin 2α
a0,1 cos 2α−(1
2a1,1 − 12a0,0
)sin 2α a0,0 cos2 α− a0,1 sin 2α + a1,1 sin2 α
)
lo que nos lleva a la condición : tan(2α) =2a0,1
a1,1 − a0,0
Ejemplo
A =
(1 11 1
)⇒ tan(2α) = 2
0 ⇒ α = π4
⇒ R−1AR =
(0 00 2
)
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El objetivo del método es convertir A en una matriz diagonal.
R−1AR =
(cosα − sinαsinα cosα
)(a0,0 a0,1a0,1 a1,1
)(cosα sinα− sinα cosα
)=(
a0,0 cos2 α− a0,1 sin 2α + a1,1 sin2 α a0,1 cos 2α−(1
2a1,1 − 12a0,0
)sin 2α
a0,1 cos 2α−(1
2a1,1 − 12a0,0
)sin 2α a0,0 cos2 α− a0,1 sin 2α + a1,1 sin2 α
)
lo que nos lleva a la condición : tan(2α) =2a0,1
a1,1 − a0,0
Ejemplo
A =
(1 11 1
)⇒ tan(2α) = 2
0 ⇒ α = π4 ⇒ R−1AR =
( ? ?? ?
)
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El objetivo del método es convertir A en una matriz diagonal.
R−1AR =
(cosα − sinαsinα cosα
)(a0,0 a0,1a0,1 a1,1
)(cosα sinα− sinα cosα
)=(
a0,0 cos2 α− a0,1 sin 2α + a1,1 sin2 α a0,1 cos 2α−(1
2a1,1 − 12a0,0
)sin 2α
a0,1 cos 2α−(1
2a1,1 − 12a0,0
)sin 2α a0,0 cos2 α− a0,1 sin 2α + a1,1 sin2 α
)
lo que nos lleva a la condición : tan(2α) =2a0,1
a1,1 − a0,0
Ejemplo
A =
(1 11 1
)⇒ tan(2α) = 2
0 ⇒ α = π4 ⇒ R−1AR =
(0 ?? ?
)
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El objetivo del método es convertir A en una matriz diagonal.
R−1AR =
(cosα − sinαsinα cosα
)(a0,0 a0,1a0,1 a1,1
)(cosα sinα− sinα cosα
)=(
a0,0 cos2 α− a0,1 sin 2α + a1,1 sin2 α a0,1 cos 2α−(1
2a1,1 − 12a0,0
)sin 2α
a0,1 cos 2α−(1
2a1,1 − 12a0,0
)sin 2α a0,0 cos2 α− a0,1 sin 2α + a1,1 sin2 α
)
lo que nos lleva a la condición : tan(2α) =2a0,1
a1,1 − a0,0
Ejemplo
A =
(1 11 1
)⇒ tan(2α) = 2
0 ⇒ α = π4 ⇒ R−1AR =
(0 0? ?
)
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El objetivo del método es convertir A en una matriz diagonal.
R−1AR =
(cosα − sinαsinα cosα
)(a0,0 a0,1a0,1 a1,1
)(cosα sinα− sinα cosα
)=(
a0,0 cos2 α− a0,1 sin 2α + a1,1 sin2 α a0,1 cos 2α−(1
2a1,1 − 12a0,0
)sin 2α
a0,1 cos 2α−(1
2a1,1 − 12a0,0
)sin 2α a0,0 cos2 α− a0,1 sin 2α + a1,1 sin2 α
)
lo que nos lleva a la condición : tan(2α) =2a0,1
a1,1 − a0,0
Ejemplo
A =
(1 11 1
)⇒ tan(2α) = 2
0 ⇒ α = π4 ⇒ R−1AR =
(0 00 ?
)
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El objetivo del método es convertir A en una matriz diagonal.
R−1AR =
(cosα − sinαsinα cosα
)(a0,0 a0,1a0,1 a1,1
)(cosα sinα− sinα cosα
)=(
a0,0 cos2 α− a0,1 sin 2α + a1,1 sin2 α a0,1 cos 2α−(1
2a1,1 − 12a0,0
)sin 2α
a0,1 cos 2α−(1
2a1,1 − 12a0,0
)sin 2α a0,0 cos2 α− a0,1 sin 2α + a1,1 sin2 α
)
lo que nos lleva a la condición : tan(2α) =2a0,1
a1,1 − a0,0
Ejemplo
A =
(1 11 1
)⇒ tan(2α) = 2
0 ⇒ α = π4 ⇒ R−1AR =
(0 00 2
)Por tanto los autovalores y autovectores de A son :
λ1 =
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de Jacobi para calcular autovalores de matrices simétricas
El objetivo del método es convertir A en una matriz diagonal.
R−1AR =
(cosα − sinαsinα cosα
)(a0,0 a0,1a0,1 a1,1
)(cosα sinα− sinα cosα
)=(
a0,0 cos2 α− a0,1 sin 2α + a1,1 sin2 α a0,1 cos 2α−(1
2a1,1 − 12a0,0
)sin 2α
a0,1 cos 2α−(1
2a1,1 − 12a0,0
)sin 2α a0,0 cos2 α− a0,1 sin 2α + a1,1 sin2 α
)
lo que nos lleva a la condición : tan(2α) =2a0,1
a1,1 − a0,0
Ejemplo
A =
(1 11 1
)⇒ tan(2α) = 2
0 ⇒ α = π4 ⇒ R−1AR =
(0 00 2
)Por tanto los autovalores y autovectores de A son :
λ1 = 0⇒ x = R
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de Jacobi para calcular autovalores de matrices simétricas
El objetivo del método es convertir A en una matriz diagonal.
R−1AR =
(cosα − sinαsinα cosα
)(a0,0 a0,1a0,1 a1,1
)(cosα sinα− sinα cosα
)=(
a0,0 cos2 α− a0,1 sin 2α + a1,1 sin2 α a0,1 cos 2α−(1
2a1,1 − 12a0,0
)sin 2α
a0,1 cos 2α−(1
2a1,1 − 12a0,0
)sin 2α a0,0 cos2 α− a0,1 sin 2α + a1,1 sin2 α
)
lo que nos lleva a la condición : tan(2α) =2a0,1
a1,1 − a0,0
Ejemplo
A =
(1 11 1
)⇒ tan(2α) = 2
0 ⇒ α = π4 ⇒ R−1AR =
(0 00 2
)Por tanto los autovalores y autovectores de A son :
λ1 = 0⇒ x = R(
10
)=
( √2/2
−√
2/2
)λ2 =
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de Jacobi para calcular autovalores de matrices simétricas
El objetivo del método es convertir A en una matriz diagonal.
R−1AR =
(cosα − sinαsinα cosα
)(a0,0 a0,1a0,1 a1,1
)(cosα sinα− sinα cosα
)=(
a0,0 cos2 α− a0,1 sin 2α + a1,1 sin2 α a0,1 cos 2α−(1
2a1,1 − 12a0,0
)sin 2α
a0,1 cos 2α−(1
2a1,1 − 12a0,0
)sin 2α a0,0 cos2 α− a0,1 sin 2α + a1,1 sin2 α
)
lo que nos lleva a la condición : tan(2α) =2a0,1
a1,1 − a0,0
Ejemplo
A =
(1 11 1
)⇒ tan(2α) = 2
0 ⇒ α = π4 ⇒ R−1AR =
(0 00 2
)Por tanto los autovalores y autovectores de A son :
λ1 = 0⇒ x = R(
10
)=
( √2/2
−√
2/2
)λ2 = 2⇒ x = R
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de Jacobi para calcular autovalores de matrices simétricas
El objetivo del método es convertir A en una matriz diagonal.
R−1AR =
(cosα − sinαsinα cosα
)(a0,0 a0,1a0,1 a1,1
)(cosα sinα− sinα cosα
)=(
a0,0 cos2 α− a0,1 sin 2α + a1,1 sin2 α a0,1 cos 2α−(1
2a1,1 − 12a0,0
)sin 2α
a0,1 cos 2α−(1
2a1,1 − 12a0,0
)sin 2α a0,0 cos2 α− a0,1 sin 2α + a1,1 sin2 α
)
lo que nos lleva a la condición : tan(2α) =2a0,1
a1,1 − a0,0
Ejemplo
A =
(1 11 1
)⇒ tan(2α) = 2
0 ⇒ α = π4 ⇒ R−1AR =
(0 00 2
)Por tanto los autovalores y autovectores de A son :
λ1 = 0⇒ x = R(
10
)=
( √2/2
−√
2/2
)λ2 = 2⇒ x = R
(01
)=
( √2/2√2/2
)Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 42 / 82
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de Jacobi para calcular autovalores de matrices simétricas
Ejemplo 1 −1 2−1 2 −12 −1 5
tan(2α) =2a0,2
a2,2 − a0,0=
44
= 1 → α =π
8
cos π8 0 − sin π
80 1 0
sin π8 0 cos π
8
1 −1 2−1 2 −12 −1 5
cos π8 0 sin π
80 1 0
− sin π8 0 cos π
8
=
0,17 −0,54 0−0,54 2,0 −1,30
0,0 −1.30 5,82
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de Jacobi para calcular autovalores de matrices simétricas
Ejemplo
? 1 −1 2−1 2 −12 −1 5
?
tan(2α) =2a0,2
a2,2 − a0,0=
44
= 1 → α =π
8
cos π8 0 − sin π
80 1 0
sin π8 0 cos π
8
1 −1 2−1 2 −12 −1 5
cos π8 0 sin π
80 1 0
− sin π8 0 cos π
8
=
0,17 −0,54 0−0,54 2,0 −1,30
0,0 −1.30 5,82
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de Jacobi para calcular autovalores de matrices simétricas
Ejemplo cosα 0 − sinα0 1 0
sinα 0 cosα
1 −1 2−1 2 −12 −1 5
cosα 0 sinα0 1 0
− sinα 0 cosα
tan(2α) =2a0,2
a2,2 − a0,0=
44
= 1 → α =π
8
cos π8 0 − sin π
80 1 0
sin π8 0 cos π
8
1 −1 2−1 2 −12 −1 5
cos π8 0 sin π
80 1 0
− sin π8 0 cos π
8
=
0,17 −0,54 0−0,54 2,0 −1,30
0,0 −1.30 5,82
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de Jacobi para calcular autovalores de matrices simétricas
Ejemplo cosα 0 − sinα0 1 0
sinα 0 cosα
1 −1 2−1 2 −12 −1 5
cosα 0 sinα0 1 0
− sinα 0 cosα
tan(2α) =
2a0,2
a2,2 − a0,0=
44
= 1 → α =π
8
cos π8 0 − sin π
80 1 0
sin π8 0 cos π
8
1 −1 2−1 2 −12 −1 5
cos π8 0 sin π
80 1 0
− sin π8 0 cos π
8
=
0,17 −0,54 0−0,54 2,0 −1,30
0,0 −1.30 5,82
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de Jacobi para calcular autovalores de matrices simétricas
Ejemplo cosα 0 − sinα0 1 0
sinα 0 cosα
1 −1 2−1 2 −12 −1 5
cosα 0 sinα0 1 0
− sinα 0 cosα
tan(2α) =
2a0,2
a2,2 − a0,0=
44
= 1 → α =
π
8
cos π8 0 − sin π
80 1 0
sin π8 0 cos π
8
1 −1 2−1 2 −12 −1 5
cos π8 0 sin π
80 1 0
− sin π8 0 cos π
8
=
0,17 −0,54 0−0,54 2,0 −1,30
0,0 −1.30 5,82
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de Jacobi para calcular autovalores de matrices simétricas
Ejemplo cosα 0 − sinα0 1 0
sinα 0 cosα
1 −1 2−1 2 −12 −1 5
cosα 0 sinα0 1 0
− sinα 0 cosα
tan(2α) =
2a0,2
a2,2 − a0,0=
44
= 1 → α =π
8
cos π8 0 − sin π
80 1 0
sin π8 0 cos π
8
1 −1 2−1 2 −12 −1 5
cos π8 0 sin π
80 1 0
− sin π8 0 cos π
8
=
0,17 −0,54 0−0,54 2,0 −1,30
0,0 −1.30 5,82
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de Jacobi para calcular autovalores de matrices simétricas
Ejemplo cosα 0 − sinα0 1 0
sinα 0 cosα
1 −1 2−1 2 −12 −1 5
cosα 0 sinα0 1 0
− sinα 0 cosα
tan(2α) =
2a0,2
a2,2 − a0,0=
44
= 1 → α =π
8
cos π8 0 − sin π
80 1 0
sin π8 0 cos π
8
1 −1 2−1 2 −12 −1 5
cos π8 0 sin π
80 1 0
− sin π8 0 cos π
8
=
0,17 −0,54 0−0,54 2,0 −1,30
0,0 −1.30 5,82
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de Jacobi para calcular autovalores de matrices simétricas
Iteración 2 : 0,17 −0,54 0−0,54 2,0 −1,30
0,0 −1.30 5,82
tan(2α) =2a32
a33 − a22=
2 · (−1,30)
5,82− 2,0= −0,68 → α =
arctan(−0,68)
2= −0,3
1 0 00 cosα − sinα0 sinα cosα
0,17 −0,54 0−0,54 2,0 −1,30
0,0 −1.30 5,82
1 0 00 cosα sinα0 − sinα cosα
=
0,17 −0,51 0,15−0,51 1,59 00,15 0 6,23
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de Jacobi para calcular autovalores de matrices simétricas
Iteración 2 :
? 0,17 −0,54 0−0,54 2,0 −1,30
0,0 −1.30 5,82
?
tan(2α) =2a32
a33 − a22=
2 · (−1,30)
5,82− 2,0= −0,68 → α =
arctan(−0,68)
2= −0,3
1 0 00 cosα − sinα0 sinα cosα
0,17 −0,54 0−0,54 2,0 −1,30
0,0 −1.30 5,82
1 0 00 cosα sinα0 − sinα cosα
=
0,17 −0,51 0,15−0,51 1,59 00,15 0 6,23
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de Jacobi para calcular autovalores de matrices simétricas
Iteración 2 : 1 0 00 cosα − sinα0 sinα cosα
0,17 −0,54 0−0,54 2,0 −1,30
0,0 −1.30 5,82
1 0 00 cosα sinα0 − sinα cosα
tan(2α) =2a32
a33 − a22=
2 · (−1,30)
5,82− 2,0= −0,68 → α =
arctan(−0,68)
2= −0,3
1 0 00 cosα − sinα0 sinα cosα
0,17 −0,54 0−0,54 2,0 −1,30
0,0 −1.30 5,82
1 0 00 cosα sinα0 − sinα cosα
=
0,17 −0,51 0,15−0,51 1,59 00,15 0 6,23
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de Jacobi para calcular autovalores de matrices simétricas
Iteración 2 : 1 0 00 cosα − sinα0 sinα cosα
0,17 −0,54 0−0,54 2,0 −1,30
0,0 −1.30 5,82
1 0 00 cosα sinα0 − sinα cosα
tan(2α) =
2a32
a33 − a22=
2 · (−1,30)
5,82− 2,0= −0,68 → α =
arctan(−0,68)
2= −0,3
1 0 00 cosα − sinα0 sinα cosα
0,17 −0,54 0−0,54 2,0 −1,30
0,0 −1.30 5,82
1 0 00 cosα sinα0 − sinα cosα
=
0,17 −0,51 0,15−0,51 1,59 00,15 0 6,23
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de Jacobi para calcular autovalores de matrices simétricas
Iteración 2 : 1 0 00 cosα − sinα0 sinα cosα
0,17 −0,54 0−0,54 2,0 −1,30
0,0 −1.30 5,82
1 0 00 cosα sinα0 − sinα cosα
tan(2α) =
2a32
a33 − a22=
2 · (−1,30)
5,82− 2,0= −0,68 → α =
arctan(−0,68)
2= −0,3
1 0 00 cosα − sinα0 sinα cosα
0,17 −0,54 0−0,54 2,0 −1,30
0,0 −1.30 5,82
1 0 00 cosα sinα0 − sinα cosα
=
0,17 −0,51 0,15−0,51 1,59 00,15 0 6,23
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de Jacobi para calcular autovalores de matrices simétricas
Iteración 2 : 1 0 00 cosα − sinα0 sinα cosα
0,17 −0,54 0−0,54 2,0 −1,30
0,0 −1.30 5,82
1 0 00 cosα sinα0 − sinα cosα
tan(2α) =
2a32
a33 − a22=
2 · (−1,30)
5,82− 2,0= −0,68 → α =
arctan(−0,68)
2= −0,3
1 0 00 cosα − sinα0 sinα cosα
0,17 −0,54 0−0,54 2,0 −1,30
0,0 −1.30 5,82
1 0 00 cosα sinα0 − sinα cosα
=
0,17 −0,51 0,15−0,51 1,59 00,15 0 6,23
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de Jacobi para calcular autovalores de matrices simétricas
Iteración 2 : 1 0 00 cosα − sinα0 sinα cosα
0,17 −0,54 0−0,54 2,0 −1,30
0,0 −1.30 5,82
1 0 00 cosα sinα0 − sinα cosα
tan(2α) =
2a32
a33 − a22=
2 · (−1,30)
5,82− 2,0= −0,68 → α =
arctan(−0,68)
2= −0,3
1 0 00 cosα − sinα0 sinα cosα
0,17 −0,54 0−0,54 2,0 −1,30
0,0 −1.30 5,82
1 0 00 cosα sinα0 − sinα cosα
=
0,17 −0,51 0,15−0,51 1,59 00,15 0 6,23
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Análisis Numérico Matricial IIAlgoritmo del Método de Jacobi para el Cálculo de autovalores. Cálculo de losautovectores
A
Si llamamos B = R1R2 · ...RN entonces si B−1AB es diagonal se tieneque los autovectores de A son :
x1 = B
10.0
x2 = B
01.0
.... xN = B
00.1
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Análisis Numérico Matricial IIAlgoritmo del Método de Jacobi para el Cálculo de autovalores. Cálculo de losautovectores
R−11 AR1
Si llamamos B = R1R2 · ...RN entonces si B−1AB es diagonal se tieneque los autovectores de A son :
x1 = B
10.0
x2 = B
01.0
.... xN = B
00.1
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Análisis Numérico Matricial IIAlgoritmo del Método de Jacobi para el Cálculo de autovalores. Cálculo de losautovectores
R−12 R−1
1 AR1R2
Si llamamos B = R1R2 · ...RN entonces si B−1AB es diagonal se tieneque los autovectores de A son :
x1 = B
10.0
x2 = B
01.0
.... xN = B
00.1
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Análisis Numérico Matricial IIAlgoritmo del Método de Jacobi para el Cálculo de autovalores. Cálculo de losautovectores
R−1N ...R−1
2 R−11 AR1R2...RN
Si llamamos B = R1R2 · ...RN entonces si B−1AB es diagonal se tieneque los autovectores de A son :
x1 = B
10.0
x2 = B
01.0
.... xN = B
00.1
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Análisis Numérico Matricial IIAlgoritmo del Método de Jacobi para el Cálculo de autovalores. Cálculo de losautovectores
R−1N ...R−1
2 R−11 AR1R2...RN
Si llamamos B = R1R2 · ...RN entonces si B−1AB es diagonal se tieneque los autovectores de A son :
x1 = B? x2 = B? .... xN = B?
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Análisis Numérico Matricial IIAlgoritmo del Método de Jacobi para el Cálculo de autovalores. Cálculo de losautovectores
R−1N ...R−1
2 R−11 AR1R2...RN
Si llamamos B = R1R2 · ...RN entonces si B−1AB es diagonal se tieneque los autovectores de A son :
x1 = B
10.0
x2 = B
01.0
.... xN = B
00.1
Es decir, los autovectores de A son los vectores columna de B
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Análisis Numérico Matricial IIAlgoritmo del Método de Jacobi para el Cálculo de autovalores. Cálculo de losautovectores
En el algoritmo inicializamos B como la matriz identidad.
En cadaiteración actualizamo B multiplicándola por la derecha por una matrizde rotación
b0,0 b0,1 b0,2 b0,3b1,0 b1,1 b1,2 b1,3b2,0 b2,1 b2,2 b2,3b3,0 b3,1 b3,2 b3,3
1 0 0 00 cosα 0 sinα0 0 1 00 − sinα 0 cosα
→ p
→ q
Si llamamos B′ a la actualización de B, los únicos términos que hayque actualizar corresponden a :
b′ip = cos(α)bip − sin(α)biq i = 1, ..,N
b′iq = sin(α)bip + cos(α)biq i = 1, ..,N
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Análisis Numérico Matricial IIAlgoritmo del Método de Jacobi para el Cálculo de autovalores. Cálculo de losautovectores
En el algoritmo inicializamos B como la matriz identidad. En cadaiteración actualizamo B multiplicándola por la derecha por una matrizde rotación
b0,0 b0,1 b0,2 b0,3b1,0 b1,1 b1,2 b1,3b2,0 b2,1 b2,2 b2,3b3,0 b3,1 b3,2 b3,3
1 0 0 00 cosα 0 sinα0 0 1 00 − sinα 0 cosα
→ p
→ q
Si llamamos B′ a la actualización de B, los únicos términos que hayque actualizar corresponden a :
b′ip = cos(α)bip − sin(α)biq i = 1, ..,N
b′iq = sin(α)bip + cos(α)biq i = 1, ..,N
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Análisis Numérico Matricial IIAlgoritmo del Método de Jacobi para el Cálculo de autovalores. Cálculo de losautovectores
En el algoritmo inicializamos B como la matriz identidad. En cadaiteración actualizamo B multiplicándola por la derecha por una matrizde rotación
b0,0 b0,1 b0,2 b0,3b1,0 b1,1 b1,2 b1,3b2,0 b2,1 b2,2 b2,3b3,0 b3,1 b3,2 b3,3
1 0 0 00 cosα 0 sinα0 0 1 00 − sinα 0 cosα
→ p
→ q
Si llamamos B′ a la actualización de B, los únicos términos que hayque actualizar corresponden a :
b′ip = ?b? −?b? i = 1, ..,N
b′iq = ?b? + ?b? i = 1, ..,N
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Análisis Numérico Matricial IIAlgoritmo del Método de Jacobi para el Cálculo de autovalores. Cálculo de losautovectores
En el algoritmo inicializamos B como la matriz identidad. En cadaiteración actualizamo B multiplicándola por la derecha por una matrizde rotación
b0,0 b0,1 b0,2 b0,3b1,0 b1,1 b1,2 b1,3b2,0 b2,1 b2,2 b2,3b3,0 b3,1 b3,2 b3,3
1 0 0 00 cosα 0 sinα0 0 1 00 − sinα 0 cosα
→ p
→ q
Si llamamos B′ a la actualización de B, los únicos términos que hayque actualizar corresponden a :
b′ip = cos(α)bip − sin(α)biq i = 1, ..,N
b′iq = ?b? + ?b? i = 1, ..,N
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Análisis Numérico Matricial IIAlgoritmo del Método de Jacobi para el Cálculo de autovalores. Cálculo de losautovectores
En el algoritmo inicializamos B como la matriz identidad. En cadaiteración actualizamo B multiplicándola por la derecha por una matrizde rotación
b0,0 b0,1 b0,2 b0,3b1,0 b1,1 b1,2 b1,3b2,0 b2,1 b2,2 b2,3b3,0 b3,1 b3,2 b3,3
1 0 0 00 cosα 0 sinα0 0 1 00 − sinα 0 cosα
→ p
→ q
Si llamamos B′ a la actualización de B, los únicos términos que hayque actualizar corresponden a :
b′ip = cos(α)bip − sin(α)biq i = 1, ..,N
b′iq = sin(α)bip + cos(α)biq i = 1, ..,N
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Contenido
1 Nociones básicas sobre matrices y vectores
2 Método de Jacobi para calcular autovalores de matrices simétricas
3 Método de la potencia para calcular el autovalor máximo
4 Métodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones
5 Práctica 7. Implementar el método de relajación
6 Método de Newton-Raphson para sistemas no-lineales
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3 Método de la potencia para calcular el autovalor máximoMétodo de la potencia para calcular el autovalor máximoMétodo de la potencia inversa para calcular el autovalor mínimoMétodo de la potencia inversa para calcular el autovalor máscercano a un númeroAlgoritmo general para calcular los autovectores de una matrizcualquiera
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de la potencia para calcular el autovalor máximo
Consideremos la matriz(
1 01 3
)λmax = 3, xmax =
(01
)
vamos a hacer iteraciones del esquema
un =Aun−1
‖ un−1 ‖∞partiendo de u0 =
(11
)
u1 = Au0
‖u0‖∞=
(14
)‖ u1 ‖∞= 4
u2 = Au1
‖u1‖∞=
(1/413/4
)‖ u2 ‖∞= 13
4 = 3,25
u3 = Au2
‖u2‖∞=
(1/1340/13
)‖ u3 ‖∞= 40
13 = 3,07
‖ u1 ‖∞= 4 ‖ u2 ‖∞= 3,25 ‖ u3 ‖∞= 3,07 → 3
u1
‖u1‖∞=
(1/41
)u2
‖u2‖∞=
(1/13
1
)u3
‖u3‖∞=
(1/40
1
)→
(01
)
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de la potencia para calcular el autovalor máximo
Consideremos la matriz(
1 01 3
)λmax = 3, xmax =
(01
)vamos a hacer iteraciones del esquema
un =Aun−1
‖ un−1 ‖∞partiendo de u0 =
(11
)
u1 = Au0
‖u0‖∞=
(14
)‖ u1 ‖∞= 4
u2 = Au1
‖u1‖∞=
(1/413/4
)‖ u2 ‖∞= 13
4 = 3,25
u3 = Au2
‖u2‖∞=
(1/1340/13
)‖ u3 ‖∞= 40
13 = 3,07
‖ u1 ‖∞= 4 ‖ u2 ‖∞= 3,25 ‖ u3 ‖∞= 3,07 → 3
u1
‖u1‖∞=
(1/41
)u2
‖u2‖∞=
(1/13
1
)u3
‖u3‖∞=
(1/40
1
)→
(01
)
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de la potencia para calcular el autovalor máximo
Consideremos la matriz(
1 01 3
)λmax = 3, xmax =
(01
)vamos a hacer iteraciones del esquema
un =Aun−1
‖ un−1 ‖∞partiendo de u0 =
(11
)
u1 = Au0
‖u0‖∞=
(14
)‖ u1 ‖∞= 4
u2 = Au1
‖u1‖∞=
(1/413/4
)‖ u2 ‖∞= 13
4 = 3,25
u3 = Au2
‖u2‖∞=
(1/1340/13
)‖ u3 ‖∞= 40
13 = 3,07
‖ u1 ‖∞= 4 ‖ u2 ‖∞= 3,25 ‖ u3 ‖∞= 3,07 → 3
u1
‖u1‖∞=
(1/41
)u2
‖u2‖∞=
(1/13
1
)u3
‖u3‖∞=
(1/40
1
)→
(01
)Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 49 / 82
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de la potencia para calcular el autovalor mayor
Si cambiamos el signo a la matriz(−1 0−1 −3
)λmax = −3, xmax =
(01
)
vamos a hacer iteraciones del esquema
un =Aun−1
‖ un−1 ‖∞partiendo de u0 =
(11
)
u1 = Au0
‖u0‖∞=
(−1−4
)‖ u1 ‖∞= 4
u2 = Au1
‖u1‖∞=
(1/413/4
)‖ u2 ‖∞= 13
4 = 3,25
u3 = Au2
‖u2‖∞=
(−1/13−40/13
)‖ u3 ‖∞= 40
13 = 3,07
‖ u1 ‖∞= 4 ‖ u2 ‖∞= 3,25 ‖ u3 ‖∞= 3,07 → 3
u1
‖u1‖∞=
(−1/4−1
)u2
‖u2‖∞=
(1/13
1
)u3
‖u3‖∞=
(−1/40−1
)→
(0±1
)
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de la potencia para calcular el autovalor mayor
Si cambiamos el signo a la matriz(−1 0−1 −3
)λmax = −3, xmax =
(01
)vamos a hacer iteraciones del esquema
un =Aun−1
‖ un−1 ‖∞partiendo de u0 =
(11
)
u1 = Au0
‖u0‖∞=
(−1−4
)‖ u1 ‖∞= 4
u2 = Au1
‖u1‖∞=
(1/413/4
)‖ u2 ‖∞= 13
4 = 3,25
u3 = Au2
‖u2‖∞=
(−1/13−40/13
)‖ u3 ‖∞= 40
13 = 3,07
‖ u1 ‖∞= 4 ‖ u2 ‖∞= 3,25 ‖ u3 ‖∞= 3,07 → 3
u1
‖u1‖∞=
(−1/4−1
)u2
‖u2‖∞=
(1/13
1
)u3
‖u3‖∞=
(−1/40−1
)→
(0±1
)
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de la potencia para calcular el autovalor mayor
Si cambiamos el signo a la matriz(−1 0−1 −3
)λmax = −3, xmax =
(01
)vamos a hacer iteraciones del esquema
un =Aun−1
‖ un−1 ‖∞partiendo de u0 =
(11
)
u1 = Au0
‖u0‖∞=
(−1−4
)‖ u1 ‖∞= 4
u2 = Au1
‖u1‖∞=
(1/413/4
)‖ u2 ‖∞= 13
4 = 3,25
u3 = Au2
‖u2‖∞=
(−1/13−40/13
)‖ u3 ‖∞= 40
13 = 3,07
‖ u1 ‖∞= 4 ‖ u2 ‖∞= 3,25 ‖ u3 ‖∞= 3,07 → 3
u1
‖u1‖∞=
(−1/4−1
)u2
‖u2‖∞=
(1/13
1
)u3
‖u3‖∞=
(−1/40−1
)→
(0±1
)Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 50 / 82
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de la potencia para calcular el autovalor mayor
TeoremaSea una matriz A que posee una base de autovectores tal que enmódulo su autovalor máximo λmax es único. Sea un vector u1 noortogonal al subespacio engendrado por los autovectores delautovalor λmax , entonces, si definimos la secuencia
un = Aun−1
‖ un−1 ‖
se verifica que
Limn→∞sign((
un,un−1))‖ un ‖= λmax
Limn→∞
(sign
((un,un−1
)))n un
‖ un ‖es un autovector de λmax
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3 Método de la potencia para calcular el autovalor máximoMétodo de la potencia para calcular el autovalor máximoMétodo de la potencia inversa para calcular el autovalor mínimoMétodo de la potencia inversa para calcular el autovalor máscercano a un númeroAlgoritmo general para calcular los autovectores de una matrizcualquiera
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de la potencia inversa para calcular el autovalor menor
El método de la potencia inversa se basa en que si
Ax = λx → A−1x =1λ
x
y por tanto
El autovalor máximo de A−1 =1
min{λi}
Para realizar las iteraciones del método de la potencia inversa, aveces, en lugar de calcular A−1 se resuelve en cada etapa un sistemade ecuaciones teniendo en cuenta que
un =A−1un−1
‖ un−1 ‖⇐⇒ Aun =
un−1
‖ un−1 ‖
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de la potencia inversa para calcular el autovalor menor
El método de la potencia inversa se basa en que si
Ax = λx → A−1x =1λ
x
y por tanto
El autovalor máximo de A−1 =1
min{λi}
Para realizar las iteraciones del método de la potencia inversa, aveces, en lugar de calcular A−1 se resuelve en cada etapa un sistemade ecuaciones teniendo en cuenta que
un =A−1un−1
‖ un−1 ‖⇐⇒ Aun =
un−1
‖ un−1 ‖
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de la potencia inversa para calcular el autovalor menor
El método de la potencia inversa se basa en que si
Ax = λx → A−1x =1λ
x
y por tanto
El autovalor máximo de A−1 =1
min{λi}
Para realizar las iteraciones del método de la potencia inversa, aveces, en lugar de calcular A−1 se resuelve en cada etapa un sistemade ecuaciones teniendo en cuenta que
un =A−1un−1
‖ un−1 ‖⇐⇒ Aun =
un−1
‖ un−1 ‖
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de la potencia inversa para calcular el autovalor menor
Consideremos la matriz(
2 11 5
)λmin = 1,70, xmin =
(1,0−0,30
)
vamos a hacer iteraciones del método de la potencia cambiando A por A−1
un =A−1un−1
‖ un−1 ‖∞partiendo de u0 =
(11
)
u1 = A−1u0
‖u0‖∞=
(0,440,11
)‖ u1 ‖∞= 0,44
u2 = A−1u1
‖u1‖∞=
(0,52−0,055
)‖ u2 ‖∞= 0,52
u3 = A−1u2
‖u2‖∞=
(0,57−0,134
)‖ u3 ‖∞= 0,57
‖ u1 ‖∞= 0,44 ‖ u2 ‖∞= 0,52 ‖ u3 ‖∞= 0,57 → λmin = 10,57 = 1,75
u1
‖u1‖∞=
(1,0
0,25
)u2
‖u2‖∞=
(1,0−0,1
)u3
‖u3‖∞=
(1,0−0,23
)→ xmin =
(1,0−0,30
)
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de la potencia inversa para calcular el autovalor menor
Consideremos la matriz(
2 11 5
)λmin = 1,70, xmin =
(1,0−0,30
)vamos a hacer iteraciones del método de la potencia cambiando A por A−1
un =A−1un−1
‖ un−1 ‖∞partiendo de u0 =
(11
)
u1 = A−1u0
‖u0‖∞=
(0,440,11
)‖ u1 ‖∞= 0,44
u2 = A−1u1
‖u1‖∞=
(0,52−0,055
)‖ u2 ‖∞= 0,52
u3 = A−1u2
‖u2‖∞=
(0,57−0,134
)‖ u3 ‖∞= 0,57
‖ u1 ‖∞= 0,44 ‖ u2 ‖∞= 0,52 ‖ u3 ‖∞= 0,57 → λmin = 10,57 = 1,75
u1
‖u1‖∞=
(1,0
0,25
)u2
‖u2‖∞=
(1,0−0,1
)u3
‖u3‖∞=
(1,0−0,23
)→ xmin =
(1,0−0,30
)
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de la potencia inversa para calcular el autovalor menor
Consideremos la matriz(
2 11 5
)λmin = 1,70, xmin =
(1,0−0,30
)vamos a hacer iteraciones del método de la potencia cambiando A por A−1
un =A−1un−1
‖ un−1 ‖∞partiendo de u0 =
(11
)
u1 = A−1u0
‖u0‖∞=
(0,440,11
)‖ u1 ‖∞= 0,44
u2 = A−1u1
‖u1‖∞=
(0,52−0,055
)‖ u2 ‖∞= 0,52
u3 = A−1u2
‖u2‖∞=
(0,57−0,134
)‖ u3 ‖∞= 0,57
‖ u1 ‖∞= 0,44 ‖ u2 ‖∞= 0,52 ‖ u3 ‖∞= 0,57 → λmin = 10,57 = 1,75
u1
‖u1‖∞=
(1,0
0,25
)u2
‖u2‖∞=
(1,0−0,1
)u3
‖u3‖∞=
(1,0−0,23
)→ xmin =
(1,0−0,30
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3 Método de la potencia para calcular el autovalor máximoMétodo de la potencia para calcular el autovalor máximoMétodo de la potencia inversa para calcular el autovalor mínimoMétodo de la potencia inversa para calcular el autovalor máscercano a un númeroAlgoritmo general para calcular los autovectores de una matrizcualquiera
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de la potencia inversa para calcular el autovalor más cercano a un número
El método de la potencia directa e inversa nos permite calcular el autovalormás grande y más pequeño de una matriz. Ahora bien para calcular losautovalores que se encuentren entre λmin y λmax necesitamos informaciónadicional como puede ser tener una aproximación del autovalor buscado. Porejemplo si µ es una aproximación del autovalor λ de tal forma que µ seencuentre más cercano a λ que a cualquier otro autovalor, podemos construirla matriz A′ = A− µI. Si llamamos λ′min al autovalor más pequeño de A′, secumple que
A′x = (A− µI)x = λ′minx
de donde despejandoAx = x
y por tanto es el autovalor de A más cercano a µ.
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de la potencia inversa para calcular el autovalor más cercano a un número
El método de la potencia directa e inversa nos permite calcular el autovalormás grande y más pequeño de una matriz. Ahora bien para calcular losautovalores que se encuentren entre λmin y λmax necesitamos informaciónadicional como puede ser tener una aproximación del autovalor buscado. Porejemplo si µ es una aproximación del autovalor λ de tal forma que µ seencuentre más cercano a λ que a cualquier otro autovalor, podemos construirla matriz A′ = A− µI. Si llamamos λ′min al autovalor más pequeño de A′, secumple que
A′x = (A− µI)x = λ′minx
de donde despejandoAx = x
y por tanto es el autovalor de A más cercano a µ.
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de la potencia inversa para calcular el autovalor más cercano a un número
El método de la potencia directa e inversa nos permite calcular el autovalormás grande y más pequeño de una matriz. Ahora bien para calcular losautovalores que se encuentren entre λmin y λmax necesitamos informaciónadicional como puede ser tener una aproximación del autovalor buscado. Porejemplo si µ es una aproximación del autovalor λ de tal forma que µ seencuentre más cercano a λ que a cualquier otro autovalor, podemos construirla matriz A′ = A− µI. Si llamamos λ′min al autovalor más pequeño de A′, secumple que
A′x = (A− µI)x = λ′minx
de donde despejandoAx = (λ′min + µ)x
y por tanto es el autovalor de A más cercano a µ.
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de la potencia inversa para calcular el autovalor más cercano a un número
El método de la potencia directa e inversa nos permite calcular el autovalormás grande y más pequeño de una matriz. Ahora bien para calcular losautovalores que se encuentren entre λmin y λmax necesitamos informaciónadicional como puede ser tener una aproximación del autovalor buscado. Porejemplo si µ es una aproximación del autovalor λ de tal forma que µ seencuentre más cercano a λ que a cualquier otro autovalor, podemos construirla matriz A′ = A− µI. Si llamamos λ′min al autovalor más pequeño de A′, secumple que
A′x = (A− µI)x = λ′minx
de donde despejandoAx = (λ′min + µ)x
y por tanto es el autovalor de A más cercano a µ.
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de la potencia inversa para calcular el autovalor más cercano a un número
El método de la potencia directa e inversa nos permite calcular el autovalormás grande y más pequeño de una matriz. Ahora bien para calcular losautovalores que se encuentren entre λmin y λmax necesitamos informaciónadicional como puede ser tener una aproximación del autovalor buscado. Porejemplo si µ es una aproximación del autovalor λ de tal forma que µ seencuentre más cercano a λ que a cualquier otro autovalor, podemos construirla matriz A′ = A− µI. Si llamamos λ′min al autovalor más pequeño de A′, secumple que
A′x = (A− µI)x = λ′minx
de donde despejandoAx = (λ′min + µ)x
y por tanto λ′min + µ es el autovalor de A más cercano a µ.
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de la potencia inversa para calcular el autovalor más cercano a un número
Consideremos la matriz A =
5 0 01 1 01 1 2
, el autovalor más cercano a 3 λprox = 2,
xprox = (0,0,1)T .
Vamos a hacer iteraciones del método de la potencia inversa conB = A− 3Id partiendo de u0 = (1,1,1)T
u1 = B−1u0
‖u0‖∞= (0.5,−0.25,−0.75)T ‖ u1 ‖∞= 0.75
u2 = A−1u1
‖u1‖∞= (0.33,0.33,1.66)T ‖ u2 ‖∞= 1,66
u3 = A−1u2
‖u2‖∞= (0.1,−0.05,−0.95)T ‖ u3 ‖∞= 0,95
Como los autovectores van cambiando de signo en cada iteración tenemos :
xprox = (0.1,−0.05,−0.95)T y (A− 3Id)xprox = − 10.95
xprox = −1.05xprox
de donde despejando obtenemos: Axprox = (3− 1.05)xprox = 1.95xprox
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de la potencia inversa para calcular el autovalor más cercano a un número
Consideremos la matriz A =
5 0 01 1 01 1 2
, el autovalor más cercano a 3 λprox = 2,
xprox = (0,0,1)T .Vamos a hacer iteraciones del método de la potencia inversa conB = A− 3Id partiendo de u0 = (1,1,1)T
u1 = B−1u0
‖u0‖∞= (0.5,−0.25,−0.75)T ‖ u1 ‖∞= 0.75
u2 = A−1u1
‖u1‖∞= (0.33,0.33,1.66)T ‖ u2 ‖∞= 1,66
u3 = A−1u2
‖u2‖∞= (0.1,−0.05,−0.95)T ‖ u3 ‖∞= 0,95
Como los autovectores van cambiando de signo en cada iteración tenemos :
xprox = (0.1,−0.05,−0.95)T y (A− 3Id)xprox = − 10.95
xprox = −1.05xprox
de donde despejando obtenemos: Axprox = (3− 1.05)xprox = 1.95xprox
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Consideremos la matriz A =
5 0 01 1 01 1 2
, el autovalor más cercano a 3 λprox = 2,
xprox = (0,0,1)T .Vamos a hacer iteraciones del método de la potencia inversa conB = A− 3Id partiendo de u0 = (1,1,1)T
u1 = B−1u0
‖u0‖∞= (0.5,−0.25,−0.75)T ‖ u1 ‖∞= 0.75
u2 = A−1u1
‖u1‖∞= (0.33,0.33,1.66)T ‖ u2 ‖∞= 1,66
u3 = A−1u2
‖u2‖∞= (0.1,−0.05,−0.95)T ‖ u3 ‖∞= 0,95
Como los autovectores van cambiando de signo en cada iteración tenemos :
xprox = (0.1,−0.05,−0.95)T y (A− 3Id)xprox = − 10.95
xprox = −1.05xprox
de donde despejando obtenemos: Axprox = (3− 1.05)xprox = 1.95xprox
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3 Método de la potencia para calcular el autovalor máximoMétodo de la potencia para calcular el autovalor máximoMétodo de la potencia inversa para calcular el autovalor mínimoMétodo de la potencia inversa para calcular el autovalor máscercano a un númeroAlgoritmo general para calcular los autovectores de una matrizcualquiera
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Análisis Numérico Matricial IIAlgoritmo general para calcular los autovectores de una matriz cualquiera
1 Paso 1: Se calcula el polinomio característico |A− λI| = 0.
2 Paso 2: Se calculan las raíces {λi} del polinomio característico
3 Paso 3 : Utilizando el método de la potencia inversa se calcula losautovectores más pequeños de las matrices A− λi I
La principal limitación del algoritmo anterior es que calcular elpolinomio característico tiene una complejidad factorial, y por tanto elmétodo es sólo aplicable para matrices de dimensión pequeña (paradimensión mayor que 12 el algoritmo se vuelve muy lento)
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Análisis Numérico Matricial IIAlgoritmo general para calcular los autovectores de una matriz cualquiera
1 Paso 1: Se calcula el polinomio característico |A− λI| = 0.
2 Paso 2: Se calculan las raíces {λi} del polinomio característico
3 Paso 3 : Utilizando el método de la potencia inversa se calcula losautovectores más pequeños de las matrices A− λi I
La principal limitación del algoritmo anterior es que calcular elpolinomio característico tiene una complejidad factorial, y por tanto elmétodo es sólo aplicable para matrices de dimensión pequeña (paradimensión mayor que 12 el algoritmo se vuelve muy lento)
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Análisis Numérico Matricial IIAlgoritmo general para calcular los autovectores de una matriz cualquiera
1 Paso 1: Se calcula el polinomio característico |A− λI| = 0.
2 Paso 2: Se calculan las raíces {λi} del polinomio característico
3 Paso 3 : Utilizando el método de la potencia inversa se calcula losautovectores más pequeños de las matrices A− λi I
La principal limitación del algoritmo anterior es que calcular elpolinomio característico tiene una complejidad factorial, y por tanto elmétodo es sólo aplicable para matrices de dimensión pequeña (paradimensión mayor que 12 el algoritmo se vuelve muy lento)
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Análisis Numérico Matricial IIAlgoritmo general para calcular los autovectores de una matriz cualquiera
1 Paso 1: Se calcula el polinomio característico |A− λI| = 0.
2 Paso 2: Se calculan las raíces {λi} del polinomio característico
3 Paso 3 : Utilizando el método de la potencia inversa se calcula losautovectores más pequeños de las matrices A− λi I
La principal limitación del algoritmo anterior es que calcular elpolinomio característico tiene una complejidad factorial, y por tanto elmétodo es sólo aplicable para matrices de dimensión pequeña (paradimensión mayor que 12 el algoritmo se vuelve muy lento)
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo para calcular el polinomio característico
Dada una matriz A de dimensión N se calcula ‖A‖1, como todos los autovalores de Acumplen que |λi | ≤ ‖A‖1 , ello significa que todos los autovalores estan en el intervalo
Elegimos a continuación N + 1 valores xi equidistribuidos en [−‖A‖1 , ‖A‖1] y para cadauno de esos valores tenemos que
|A− xi I| = aNxNi + aN−1xN−1
i + ......+ a0
donde {aN ,aN−1, .....,a0} representan los coeficientes del polinomio característicobuscado. Observese que para xi la relación de arriba es una ecuación lineal en loscoeficientes del polinomio y por tanto dichos coeficientes se pueden encontrarresolviendo el sistema :
()
aN
aN−1.
a0
= ()
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo para calcular el polinomio característico
Dada una matriz A de dimensión N se calcula ‖A‖1, como todos los autovalores de Acumplen que |λi | ≤ ‖A‖1 , ello significa que todos los autovalores estan en el intervalo[−‖A‖1 , ‖A‖1].
Elegimos a continuación N + 1 valores xi equidistribuidos en[−‖A‖1 , ‖A‖1] y para cada uno de esos valores tenemos que
|A− xi I| = aNxNi + aN−1xN−1
i + ......+ a0
donde {aN ,aN−1, .....,a0} representan los coeficientes del polinomio característicobuscado. Observese que para xi la relación de arriba es una ecuación lineal en loscoeficientes del polinomio y por tanto dichos coeficientes se pueden encontrarresolviendo el sistema :
()
aN
aN−1.
a0
= ()
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo para calcular el polinomio característico
Dada una matriz A de dimensión N se calcula ‖A‖1, como todos los autovalores de Acumplen que |λi | ≤ ‖A‖1 , ello significa que todos los autovalores estan en el intervalo[−‖A‖1 , ‖A‖1]. Elegimos a continuación N + 1 valores xi equidistribuidos en[−‖A‖1 , ‖A‖1] y para cada uno de esos valores tenemos que
|A− xi I| = aNxNi + aN−1xN−1
i + ......+ a0
donde {aN ,aN−1, .....,a0} representan los coeficientes del polinomio característicobuscado.
Observese que para xi la relación de arriba es una ecuación lineal en loscoeficientes del polinomio y por tanto dichos coeficientes se pueden encontrarresolviendo el sistema :
()
aN
aN−1.
a0
= ()
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo para calcular el polinomio característico
Dada una matriz A de dimensión N se calcula ‖A‖1, como todos los autovalores de Acumplen que |λi | ≤ ‖A‖1 , ello significa que todos los autovalores estan en el intervalo[−‖A‖1 , ‖A‖1]. Elegimos a continuación N + 1 valores xi equidistribuidos en[−‖A‖1 , ‖A‖1] y para cada uno de esos valores tenemos que
|A− xi I| = aNxNi + aN−1xN−1
i + ......+ a0
donde {aN ,aN−1, .....,a0} representan los coeficientes del polinomio característicobuscado. Observese que para xi la relación de arriba es una ecuación lineal en loscoeficientes del polinomio y por tanto dichos coeficientes se pueden encontrarresolviendo el sistema :
()
aN
aN−1.
a0
= ()
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo para calcular el polinomio característico
Dada una matriz A de dimensión N se calcula ‖A‖1, como todos los autovalores de Acumplen que |λi | ≤ ‖A‖1 , ello significa que todos los autovalores estan en el intervalo[−‖A‖1 , ‖A‖1]. Elegimos a continuación N + 1 valores xi equidistribuidos en[−‖A‖1 , ‖A‖1] y para cada uno de esos valores tenemos que
|A− xi I| = aNxNi + aN−1xN−1
i + ......+ a0
donde {aN ,aN−1, .....,a0} representan los coeficientes del polinomio característicobuscado. Observese que para xi la relación de arriba es una ecuación lineal en loscoeficientes del polinomio y por tanto dichos coeficientes se pueden encontrarresolviendo el sistema :
xN0 xN−1
0 . 1xN
1 xN−11 . 1
. . . .
xNN xN−1
N . 1
aNaN−1.
a0
= ()
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo para calcular el polinomio característico
Dada una matriz A de dimensión N se calcula ‖A‖1, como todos los autovalores de Acumplen que |λi | ≤ ‖A‖1 , ello significa que todos los autovalores estan en el intervalo[−‖A‖1 , ‖A‖1]. Elegimos a continuación N + 1 valores xi equidistribuidos en[−‖A‖1 , ‖A‖1] y para cada uno de esos valores tenemos que
|A− xi I| = aNxNi + aN−1xN−1
i + ......+ a0
donde {aN ,aN−1, .....,a0} representan los coeficientes del polinomio característicobuscado. Observese que para xi la relación de arriba es una ecuación lineal en loscoeficientes del polinomio y por tanto dichos coeficientes se pueden encontrarresolviendo el sistema :
xN0 xN−1
0 . 1xN
1 xN−11 . 1
. . . .
xNN xN−1
N . 1
aNaN−1.
a0
=
|A− x0I||A− x1I|
.|A− xN I|
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Contenido
1 Nociones básicas sobre matrices y vectores
2 Método de Jacobi para calcular autovalores de matrices simétricas
3 Método de la potencia para calcular el autovalor máximo
4 Métodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones
5 Práctica 7. Implementar el método de relajación
6 Método de Newton-Raphson para sistemas no-lineales
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Contenido
4 Métodos iterativos de resolución de sistemas de ecuacionesMétodo de JacobiMétodo de Gauss-SeidelMétodo de relajación
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Jacobi
Consideremos el sistema de ecuaciones : 2 −1 0−1 2 −10 −1 2
xyz
=
101
→
2x − y = 1x + 2y − z = 0−y + 2z = 1
despejando los elementos de la diagonal podemos escribir lasanteriores relaciones como una ecuación de punto fijo:
x = 1+y2
y = x+z2
z = 1+y2
→
xn =
1+yn−12
yn =xn−1+zn−1
2
zn =1+yn−1
2
partiendo de u0 = (x0, y0, z0)T = (0,0,0)T las iteraciones serían:
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Jacobi
Consideremos el sistema de ecuaciones : 2 −1 0−1 2 −10 −1 2
xyz
=
101
→
2x − y = 1x + 2y − z = 0−y + 2z = 1
despejando los elementos de la diagonal podemos escribir lasanteriores relaciones como una ecuación de punto fijo:
x = 1+y2
y = x+z2
z = 1+y2
→
xn =
1+yn−12
yn =xn−1+zn−1
2
zn =1+yn−1
2
partiendo de u0 = (x0, y0, z0)T = (0,0,0)T las iteraciones serían:
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Jacobi
Consideremos el sistema de ecuaciones : 2 −1 0−1 2 −10 −1 2
xyz
=
101
→
2x − y = 1x + 2y − z = 0−y + 2z = 1
despejando los elementos de la diagonal podemos escribir lasanteriores relaciones como una ecuación de punto fijo:
x = 1+y2
y = x+z2
z = 1+y2
→
xn =
1+yn−12
yn =xn−1+zn−1
2
zn =1+yn−1
2
partiendo de u0 = (x0, y0, z0)T = (0,0,0)T las iteraciones serían:
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Jacobi
xn =1+yn−1
2
yn =xn−1+zn−1
2
zn =1+yn−1
2
→
x1 = ?y1 = ?z1 = ?
→
x2 = ?y2 = ?z2 = ?
x3 = ?y3 = ?1
2
z3 = ?→
x4 = ?y4 = ?z4 = ?
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Jacobi
xn =1+yn−1
2
yn =xn−1+zn−1
2
zn =1+yn−1
2
→
x1 = 1+0
2 = 12
y1 = ?z1 = ?
→
x2 = ?y2 = ?z2 = ?
x3 = ?y3 = ?1
2
z3 = ?→
x4 = ?y4 = ?z4 = ?
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Jacobi
xn =1+yn−1
2
yn =xn−1+zn−1
2
zn =1+yn−1
2
→
x1 = 1+0
2 = 12
y1 = 0+02 = 0
z1 = ?→
x2 = ?y2 = ?z2 = ?
x3 = ?y3 = ?1
2
z3 = ?→
x4 = ?y4 = ?z4 = ?
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Jacobi
xn =1+yn−1
2
yn =xn−1+zn−1
2
zn =1+yn−1
2
→
x1 = 1+0
2 = 12
y1 = 0+02 = 0
z1 = 1+02 = 1
2
→
x2 = ?y2 = ?z2 = ?
x3 = ?y3 = ?1
2
z3 = ?→
x4 = ?y4 = ?z4 = ?
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Jacobi
xn =1+yn−1
2
yn =xn−1+zn−1
2
zn =1+yn−1
2
→
x1 = 1+0
2 = 12
y1 = 0+02 = 0
z1 = 1+02 = 1
2
→
x2 = 1+0
2 = 12
y2 = ?z2 = ?
x3 = ?y3 = ?1
2
z3 = ?→
x4 = ?y4 = ?z4 = ?
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Jacobi
xn =1+yn−1
2
yn =xn−1+zn−1
2
zn =1+yn−1
2
→
x1 = 1+0
2 = 12
y1 = 0+02 = 0
z1 = 1+02 = 1
2
→
x2 = 1+0
2 = 12
y2 = 1/2+1/22 = 1
2
z2 = ?
x3 = ?y3 = ?1
2
z3 = ?→
x4 = ?y4 = ?z4 = ?
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Jacobi
xn =1+yn−1
2
yn =xn−1+zn−1
2
zn =1+yn−1
2
→
x1 = 1+0
2 = 12
y1 = 0+02 = 0
z1 = 1+02 = 1
2
→
x2 = 1+0
2 = 12
y2 = 1/2+1/22 = 1
2
z2 = 1+02 = 1
2
x3 = ?y3 = ?1
2
z3 = ?→
x4 = ?y4 = ?z4 = ?
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Jacobi
xn =1+yn−1
2
yn =xn−1+zn−1
2
zn =1+yn−1
2
→
x1 = 1+0
2 = 12
y1 = 0+02 = 0
z1 = 1+02 = 1
2
→
x2 = 1+0
2 = 12
y2 = 1/2+1/22 = 1
2
z2 = 1+02 = 1
2
x3 = 1+1/2
2 = 34
y3 = ?12
z3 = ?→
x4 = ?y4 = ?z4 = ?
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Jacobi
xn =1+yn−1
2
yn =xn−1+zn−1
2
zn =1+yn−1
2
→
x1 = 1+0
2 = 12
y1 = 0+02 = 0
z1 = 1+02 = 1
2
→
x2 = 1+0
2 = 12
y2 = 1/2+1/22 = 1
2
z2 = 1+02 = 1
2
x3 = 1+1/2
2 = 34
y3 = 1/2+1/22 = 1
2
z3 = ?→
x4 = ?y4 = ?z4 = ?
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Jacobi
xn =1+yn−1
2
yn =xn−1+zn−1
2
zn =1+yn−1
2
→
x1 = 1+0
2 = 12
y1 = 0+02 = 0
z1 = 1+02 = 1
2
→
x2 = 1+0
2 = 12
y2 = 1/2+1/22 = 1
2
z2 = 1+02 = 1
2
x3 = 1+1/2
2 = 34
y3 = 1/2+1/22 = 1
2
z3 = 1+1/22 = 3
4
→
x4 = ?y4 = ?z4 = ?
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Jacobi
xn =1+yn−1
2
yn =xn−1+zn−1
2
zn =1+yn−1
2
→
x1 = 1+0
2 = 12
y1 = 0+02 = 0
z1 = 1+02 = 1
2
→
x2 = 1+0
2 = 12
y2 = 1/2+1/22 = 1
2
z2 = 1+02 = 1
2
x3 = 1+1/2
2 = 34
y3 = 1/2+1/22 = 1
2
z3 = 1+1/22 = 3
4
→
x4 = 1+1/2
2 = 34
y4 = ?z4 = ?
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Jacobi
xn =1+yn−1
2
yn =xn−1+zn−1
2
zn =1+yn−1
2
→
x1 = 1+0
2 = 12
y1 = 0+02 = 0
z1 = 1+02 = 1
2
→
x2 = 1+0
2 = 12
y2 = 1/2+1/22 = 1
2
z2 = 1+02 = 1
2
x3 = 1+1/2
2 = 34
y3 = 1/2+1/22 = 1
2
z3 = 1+1/22 = 3
4
→
x4 = 1+1/2
2 = 34
y4 = 3/4+3/42 = 3
4
z4 = ?
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Jacobi
xn =1+yn−1
2
yn =xn−1+zn−1
2
zn =1+yn−1
2
→
x1 = 1+0
2 = 12
y1 = 0+02 = 0
z1 = 1+02 = 1
2
→
x2 = 1+0
2 = 12
y2 = 1/2+1/22 = 1
2
z2 = 1+02 = 1
2
x3 = 1+1/2
2 = 34
y3 = 1/2+1/22 = 1
2
z3 = 1+1/22 = 3
4
→
x4 = 1+1/2
2 = 34
y4 = 3/4+3/42 = 3
4
z4 = 1+1/22 = 3
4
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Jacobi
En la práctica, el método de Jacobi se implementa a través delsiguiente esquema iterativo:
un0 =
−a0,1un−11 − ...− a0,N−1un−1
N−1 + b0
a0,0
un1 =
−a1,0un−10 − a1,2un−1
2 ...− a1,N−1un−1N−1 + b1
a1,1.
unN−1 =
−aN−1,0un−10 − aN−1,1un−1
1 ...− aN−1,N−2un−1N−2 + bN−1
aN−1,N−1
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 65 / 82
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. El método de Jacobi
Podemos descomponer la matriz A del ejemplo anterior como :
A =
0 0 0−1 0 00 −1 0
L
+
2 0 00 2 00 0 2
D
+
0 −1 00 0 −10 0 0
U
de esta manera el método de Jacobi puede interpretarse como :
Au = b → Dun = (−L− U)un−1 + b
despejando un obtenemos
un = D−1(−L− U)MJ
un−1 + D−1bcJ
→ un = Mjun−1 + cJ
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 66 / 82
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. El método de Jacobi
Podemos descomponer la matriz A del ejemplo anterior como :
A =
0 0 0−1 0 00 −1 0
L
+
2 0 00 2 00 0 2
D
+
0 −1 00 0 −10 0 0
U
de esta manera el método de Jacobi puede interpretarse como :
Au = b → ?un = ?un−1 + b
despejando un obtenemos
un = D−1(−L− U)MJ
un−1 + D−1bcJ
→ un = Mjun−1 + cJ
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. El método de Jacobi
Podemos descomponer la matriz A del ejemplo anterior como :
A =
0 0 0−1 0 00 −1 0
L
+
2 0 00 2 00 0 2
D
+
0 −1 00 0 −10 0 0
U
de esta manera el método de Jacobi puede interpretarse como :
Au = b → Dun = ?un−1 + b
despejando un obtenemos
un = D−1(−L− U)MJ
un−1 + D−1bcJ
→ un = Mjun−1 + cJ
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. El método de Jacobi
Podemos descomponer la matriz A del ejemplo anterior como :
A =
0 0 0−1 0 00 −1 0
L
+
2 0 00 2 00 0 2
D
+
0 −1 00 0 −10 0 0
U
de esta manera el método de Jacobi puede interpretarse como :
Au = b → Dun = (−L− U)un−1 + b
despejando un obtenemos
un = ?un−1 + ?
→ un = Mjun−1 + cJ
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. El método de Jacobi
Podemos descomponer la matriz A del ejemplo anterior como :
A =
0 0 0−1 0 00 −1 0
L
+
2 0 00 2 00 0 2
D
+
0 −1 00 0 −10 0 0
U
de esta manera el método de Jacobi puede interpretarse como :
Au = b → Dun = (−L− U)un−1 + b
despejando un obtenemos
un = D−1(−L− U)MJ
un−1 + ?
→ un = Mjun−1 + cJ
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 66 / 82
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. El método de Jacobi
Podemos descomponer la matriz A del ejemplo anterior como :
A =
0 0 0−1 0 00 −1 0
L
+
2 0 00 2 00 0 2
D
+
0 −1 00 0 −10 0 0
U
de esta manera el método de Jacobi puede interpretarse como :
Au = b → Dun = (−L− U)un−1 + b
despejando un obtenemos
un = D−1(−L− U)MJ
un−1 + D−1bcJ
→ un = Mjun−1 + cJ
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Convergencia del método
Veamos como evolucionan las iteraciones del esquema un = Mun−1 + c
u1 = Mu0 + c
u2 = Mu1 + c = M2u0 + Mc + c
u3 = Mu2 + c = M3u0 + M2c + Mc + c..un = Mun−1 + c = Mnu0 + Mn−1c + ....+ Mc + c
la condición de convergencia es que para alguna norma se verifique que
‖M‖ < 1 ⇔ ρ(M) < 1
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Convergencia del método
Veamos como evolucionan las iteraciones del esquema un = Mun−1 + c
u1 = Mu0 + c
u2 = Mu1 + c = M2u0 + Mc + c
u3 = Mu2 + c = M3u0 + M2c + Mc + c..un = Mun−1 + c = Mnu0 + Mn−1c + ....+ Mc + c
la condición de convergencia es que para alguna norma se verifique que
‖M‖ < 1
⇔ ρ(M) < 1
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Convergencia del método
Veamos como evolucionan las iteraciones del esquema un = Mun−1 + c
u1 = Mu0 + c
u2 = Mu1 + c = M2u0 + Mc + c
u3 = Mu2 + c = M3u0 + M2c + Mc + c..un = Mun−1 + c = Mnu0 + Mn−1c + ....+ Mc + c
la condición de convergencia es que para alguna norma se verifique que
‖M‖ < 1 ⇔ ρ(M) < 1
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Convergencia del método
TeoremaSi una matriz A verifica que
|aii | >∑j 6=i
|aij | ∀i . ó |ajj | >∑i 6=j
|aij | ∀j .
entonces el método de Jacobi asociado al sistema Au = b converge.
Demostración: En primer lugar, observamos que la matriz MJ puede expresarse como:
MJ =
0 −a0,1
a0,0−a0,2
a0,0. −a0,N−1
a0,0
−a1,0a1,1
0 −a1,2a1,1
. −a1,N−1a1,1
. . . . .
− aN−2,0aN−2,N−2
− aN−2,1aN−2,N−2
. 0 −aN−2,N−1aN−2,N−2
− aN−1,0aN−1,N−1
− aN−1,1aN−1,N−1
. −aN−1,N−2aN−1,N−1
0
Por tanto ‖ MJ ‖1= maxj
(∑i
|aij ||aii |
)< 1 o ‖ MJ ‖∞= maxi
∑j
|aij
|ajj |
< 1
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Convergencia del método
TeoremaSi una matriz A verifica que
|aii | >∑j 6=i
|aij | ∀i . ó |ajj | >∑i 6=j
|aij | ∀j .
entonces el método de Jacobi asociado al sistema Au = b converge.
Demostración: En primer lugar, observamos que la matriz MJ puede expresarse como:
MJ =
0 −a0,1
a0,0−a0,2
a0,0. −a0,N−1
a0,0
−a1,0a1,1
0 −a1,2a1,1
. −a1,N−1a1,1
. . . . .
− aN−2,0aN−2,N−2
− aN−2,1aN−2,N−2
. 0 −aN−2,N−1aN−2,N−2
− aN−1,0aN−1,N−1
− aN−1,1aN−1,N−1
. −aN−1,N−2aN−1,N−1
0
Por tanto ‖ MJ ‖1= maxj
(∑i
|aij ||aii |
)< 1 o ‖ MJ ‖∞= maxi
∑j
|aij
|ajj |
< 1
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Convergencia del método
TeoremaSi una matriz A verifica que
|aii | >∑j 6=i
|aij | ∀i . ó |ajj | >∑i 6=j
|aij | ∀j .
entonces el método de Jacobi asociado al sistema Au = b converge.
Demostración: En primer lugar, observamos que la matriz MJ puede expresarse como:
MJ =
0 −a0,1
a0,0−a0,2
a0,0. −a0,N−1
a0,0
−a1,0a1,1
0 −a1,2a1,1
. −a1,N−1a1,1
. . . . .
− aN−2,0aN−2,N−2
− aN−2,1aN−2,N−2
. 0 −aN−2,N−1aN−2,N−2
− aN−1,0aN−1,N−1
− aN−1,1aN−1,N−1
. −aN−1,N−2aN−1,N−1
0
Por tanto ‖ MJ ‖1=
maxj
(∑i
|aij ||aii |
)< 1 o ‖ MJ ‖∞= maxi
∑j
|aij
|ajj |
< 1
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Convergencia del método
TeoremaSi una matriz A verifica que
|aii | >∑j 6=i
|aij | ∀i . ó |ajj | >∑i 6=j
|aij | ∀j .
entonces el método de Jacobi asociado al sistema Au = b converge.
Demostración: En primer lugar, observamos que la matriz MJ puede expresarse como:
MJ =
0 −a0,1
a0,0−a0,2
a0,0. −a0,N−1
a0,0
−a1,0a1,1
0 −a1,2a1,1
. −a1,N−1a1,1
. . . . .
− aN−2,0aN−2,N−2
− aN−2,1aN−2,N−2
. 0 −aN−2,N−1aN−2,N−2
− aN−1,0aN−1,N−1
− aN−1,1aN−1,N−1
. −aN−1,N−2aN−1,N−1
0
Por tanto ‖ MJ ‖1= maxj
(∑i
|aij ||aii |
)<
1 o ‖ MJ ‖∞= maxi
∑j
|aij
|ajj |
< 1
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Convergencia del método
TeoremaSi una matriz A verifica que
|aii | >∑j 6=i
|aij | ∀i . ó |ajj | >∑i 6=j
|aij | ∀j .
entonces el método de Jacobi asociado al sistema Au = b converge.
Demostración: En primer lugar, observamos que la matriz MJ puede expresarse como:
MJ =
0 −a0,1
a0,0−a0,2
a0,0. −a0,N−1
a0,0
−a1,0a1,1
0 −a1,2a1,1
. −a1,N−1a1,1
. . . . .
− aN−2,0aN−2,N−2
− aN−2,1aN−2,N−2
. 0 −aN−2,N−1aN−2,N−2
− aN−1,0aN−1,N−1
− aN−1,1aN−1,N−1
. −aN−1,N−2aN−1,N−1
0
Por tanto ‖ MJ ‖1= maxj
(∑i
|aij ||aii |
)< 1 o ‖ MJ ‖∞=
maxi
∑j
|aij
|ajj |
< 1
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Convergencia del método
TeoremaSi una matriz A verifica que
|aii | >∑j 6=i
|aij | ∀i . ó |ajj | >∑i 6=j
|aij | ∀j .
entonces el método de Jacobi asociado al sistema Au = b converge.
Demostración: En primer lugar, observamos que la matriz MJ puede expresarse como:
MJ =
0 −a0,1
a0,0−a0,2
a0,0. −a0,N−1
a0,0
−a1,0a1,1
0 −a1,2a1,1
. −a1,N−1a1,1
. . . . .
− aN−2,0aN−2,N−2
− aN−2,1aN−2,N−2
. 0 −aN−2,N−1aN−2,N−2
− aN−1,0aN−1,N−1
− aN−1,1aN−1,N−1
. −aN−1,N−2aN−1,N−1
0
Por tanto ‖ MJ ‖1= maxj
(∑i
|aij ||aii |
)< 1 o ‖ MJ ‖∞= maxi
∑j
|aij
|ajj |
<
1
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Convergencia del método
TeoremaSi una matriz A verifica que
|aii | >∑j 6=i
|aij | ∀i . ó |ajj | >∑i 6=j
|aij | ∀j .
entonces el método de Jacobi asociado al sistema Au = b converge.
Demostración: En primer lugar, observamos que la matriz MJ puede expresarse como:
MJ =
0 −a0,1
a0,0−a0,2
a0,0. −a0,N−1
a0,0
−a1,0a1,1
0 −a1,2a1,1
. −a1,N−1a1,1
. . . . .
− aN−2,0aN−2,N−2
− aN−2,1aN−2,N−2
. 0 −aN−2,N−1aN−2,N−2
− aN−1,0aN−1,N−1
− aN−1,1aN−1,N−1
. −aN−1,N−2aN−1,N−1
0
Por tanto ‖ MJ ‖1= maxj
(∑i
|aij ||aii |
)< 1 o ‖ MJ ‖∞= maxi
∑j
|aij
|ajj |
< 1
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4 Métodos iterativos de resolución de sistemas de ecuacionesMétodo de JacobiMétodo de Gauss-SeidelMétodo de relajación
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Gauss-Seidel
En el método de Gauss Seidel actualizamos las componentes del vectorsolución al mismo tiempo que se va calculando :
xn =1+yn−1
2
yn =xn+zn−1
2
zn = 1+yn2
→
x1 = ?y1 = ?z1 = ?
→
x2 = ?y2 = ?z2 = ?
x3 = ?y3 = ?z3 = ?
→
x4 = ?y4 = ?z4 = ?
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Gauss-Seidel
En el método de Gauss Seidel actualizamos las componentes del vectorsolución al mismo tiempo que se va calculando :
xn =1+yn−1
2
yn =xn+zn−1
2
zn = 1+yn2
→
x1 = 1+0
2 = 12
y1 = ?z1 = ?
→
x2 = ?y2 = ?z2 = ?
x3 = ?y3 = ?z3 = ?
→
x4 = ?y4 = ?z4 = ?
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Gauss-Seidel
En el método de Gauss Seidel actualizamos las componentes del vectorsolución al mismo tiempo que se va calculando :
xn =1+yn−1
2
yn =xn+zn−1
2
zn = 1+yn2
→
x1 = 1+0
2 = 12
y1 = 1/2+02 = 1
4
z1 = ?→
x2 = ?y2 = ?z2 = ?
x3 = ?y3 = ?z3 = ?
→
x4 = ?y4 = ?z4 = ?
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Gauss-Seidel
En el método de Gauss Seidel actualizamos las componentes del vectorsolución al mismo tiempo que se va calculando :
xn =1+yn−1
2
yn =xn+zn−1
2
zn = 1+yn2
→
x1 = 1+0
2 = 12
y1 = 1/2+02 = 1
4
z1 = 1+1/22 = 5
8
→
x2 = ?y2 = ?z2 = ?
x3 = ?y3 = ?z3 = ?
→
x4 = ?y4 = ?z4 = ?
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Gauss-Seidel
En el método de Gauss Seidel actualizamos las componentes del vectorsolución al mismo tiempo que se va calculando :
xn =1+yn−1
2
yn =xn+zn−1
2
zn = 1+yn2
→
x1 = 1+0
2 = 12
y1 = 1/2+02 = 1
4
z1 = 1+1/22 = 5
8
→
x2 = 1+1/4
2 = 58
y2 = ?z2 = ?
x3 = ?y3 = ?z3 = ?
→
x4 = ?y4 = ?z4 = ?
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Gauss-Seidel
En el método de Gauss Seidel actualizamos las componentes del vectorsolución al mismo tiempo que se va calculando :
xn =1+yn−1
2
yn =xn+zn−1
2
zn = 1+yn2
→
x1 = 1+0
2 = 12
y1 = 1/2+02 = 1
4
z1 = 1+1/22 = 5
8
→
x2 = 1+1/4
2 = 58
y2 = 5/8+5/82 = 5
8
z2 = ?
x3 = ?y3 = ?z3 = ?
→
x4 = ?y4 = ?z4 = ?
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Gauss-Seidel
En el método de Gauss Seidel actualizamos las componentes del vectorsolución al mismo tiempo que se va calculando :
xn =1+yn−1
2
yn =xn+zn−1
2
zn = 1+yn2
→
x1 = 1+0
2 = 12
y1 = 1/2+02 = 1
4
z1 = 1+1/22 = 5
8
→
x2 = 1+1/4
2 = 58
y2 = 5/8+5/82 = 5
8
z2 = 1+5/82 = 13
16
x3 = ?y3 = ?z3 = ?
→
x4 = ?y4 = ?z4 = ?
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Gauss-Seidel
En el método de Gauss Seidel actualizamos las componentes del vectorsolución al mismo tiempo que se va calculando :
xn =1+yn−1
2
yn =xn+zn−1
2
zn = 1+yn2
→
x1 = 1+0
2 = 12
y1 = 1/2+02 = 1
4
z1 = 1+1/22 = 5
8
→
x2 = 1+1/4
2 = 58
y2 = 5/8+5/82 = 5
8
z2 = 1+5/82 = 13
16
x3 = 1+5/8
2 = 1316
y3 = ?z3 = ?
→
x4 = ?y4 = ?z4 = ?
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Gauss-Seidel
En el método de Gauss Seidel actualizamos las componentes del vectorsolución al mismo tiempo que se va calculando :
xn =1+yn−1
2
yn =xn+zn−1
2
zn = 1+yn2
→
x1 = 1+0
2 = 12
y1 = 1/2+02 = 1
4
z1 = 1+1/22 = 5
8
→
x2 = 1+1/4
2 = 58
y2 = 5/8+5/82 = 5
8
z2 = 1+5/82 = 13
16
x3 = 1+5/8
2 = 1316
y3 = 13/16+13/162 = 13
16
z3 = ?→
x4 = ?y4 = ?z4 = ?
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Gauss-Seidel
En el método de Gauss Seidel actualizamos las componentes del vectorsolución al mismo tiempo que se va calculando :
xn =1+yn−1
2
yn =xn+zn−1
2
zn = 1+yn2
→
x1 = 1+0
2 = 12
y1 = 1/2+02 = 1
4
z1 = 1+1/22 = 5
8
→
x2 = 1+1/4
2 = 58
y2 = 5/8+5/82 = 5
8
z2 = 1+5/82 = 13
16
x3 = 1+5/8
2 = 1316
y3 = 13/16+13/162 = 13
16
z3 = 1+13/162 = 29
32
→
x4 = ?y4 = ?z4 = ?
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Gauss-Seidel
En el método de Gauss Seidel actualizamos las componentes del vectorsolución al mismo tiempo que se va calculando :
xn =1+yn−1
2
yn =xn+zn−1
2
zn = 1+yn2
→
x1 = 1+0
2 = 12
y1 = 1/2+02 = 1
4
z1 = 1+1/22 = 5
8
→
x2 = 1+1/4
2 = 58
y2 = 5/8+5/82 = 5
8
z2 = 1+5/82 = 13
16
x3 = 1+5/8
2 = 1316
y3 = 13/16+13/162 = 13
16
z3 = 1+13/162 = 29
32
→
x4 = 1+12/16
2 = 2932
y4 = ?z4 = ?
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Gauss-Seidel
En el método de Gauss Seidel actualizamos las componentes del vectorsolución al mismo tiempo que se va calculando :
xn =1+yn−1
2
yn =xn+zn−1
2
zn = 1+yn2
→
x1 = 1+0
2 = 12
y1 = 1/2+02 = 1
4
z1 = 1+1/22 = 5
8
→
x2 = 1+1/4
2 = 58
y2 = 5/8+5/82 = 5
8
z2 = 1+5/82 = 13
16
x3 = 1+5/8
2 = 1316
y3 = 13/16+13/162 = 13
16
z3 = 1+13/162 = 29
32
→
x4 = 1+12/16
2 = 2932
y4 = 3/4+3/42 = 29
32
z4 = ?
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Gauss-Seidel
En el método de Gauss Seidel actualizamos las componentes del vectorsolución al mismo tiempo que se va calculando :
xn =1+yn−1
2
yn =xn+zn−1
2
zn = 1+yn2
→
x1 = 1+0
2 = 12
y1 = 1/2+02 = 1
4
z1 = 1+1/22 = 5
8
→
x2 = 1+1/4
2 = 58
y2 = 5/8+5/82 = 5
8
z2 = 1+5/82 = 13
16
x3 = 1+5/8
2 = 1316
y3 = 13/16+13/162 = 13
16
z3 = 1+13/162 = 29
32
→
x4 = 1+12/16
2 = 2932
y4 = 3/4+3/42 = 29
32
z4 = 1+29/322 = 61
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. El método deGauss-Seidel
Podemos descomponer la matriz A del ejemplo anterior como :
A =
0 0 0−1 0 00 −1 0
L
+
2 0 00 2 00 0 2
D
+
0 −1 00 0 −10 0 0
U
de esta manera el método de Gauss-Seidel puede interpretarse como :
Au = b → (D + L)un = (−U)un−1 + b
despejando un obtenemos
un = (L + D)−1(−U)MGS
un−1 + (D + L)−1bcGS
→ un = MGSun−1 + cGS
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. El método deGauss-Seidel
Podemos descomponer la matriz A del ejemplo anterior como :
A =
0 0 0−1 0 00 −1 0
L
+
2 0 00 2 00 0 2
D
+
0 −1 00 0 −10 0 0
U
de esta manera el método de Gauss-Seidel puede interpretarse como :
Au = b → ?un = ?un−1 + b
despejando un obtenemos
un = (L + D)−1(−U)MGS
un−1 + (D + L)−1bcGS
→ un = MGSun−1 + cGS
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. El método deGauss-Seidel
Podemos descomponer la matriz A del ejemplo anterior como :
A =
0 0 0−1 0 00 −1 0
L
+
2 0 00 2 00 0 2
D
+
0 −1 00 0 −10 0 0
U
de esta manera el método de Gauss-Seidel puede interpretarse como :
Au = b → (D + L)un = ?un−1 + b
despejando un obtenemos
un = (L + D)−1(−U)MGS
un−1 + (D + L)−1bcGS
→ un = MGSun−1 + cGS
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. El método deGauss-Seidel
Podemos descomponer la matriz A del ejemplo anterior como :
A =
0 0 0−1 0 00 −1 0
L
+
2 0 00 2 00 0 2
D
+
0 −1 00 0 −10 0 0
U
de esta manera el método de Gauss-Seidel puede interpretarse como :
Au = b → (D + L)un = (−U)un−1 + b
despejando un obtenemos
un = ?un−1 + ?
→ un = MGSun−1 + cGS
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. El método deGauss-Seidel
Podemos descomponer la matriz A del ejemplo anterior como :
A =
0 0 0−1 0 00 −1 0
L
+
2 0 00 2 00 0 2
D
+
0 −1 00 0 −10 0 0
U
de esta manera el método de Gauss-Seidel puede interpretarse como :
Au = b → (D + L)un = (−U)un−1 + b
despejando un obtenemos
un = (L + D)−1(−U)MGS
un−1 + ?
→ un = MGSun−1 + cGS
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. El método deGauss-Seidel
Podemos descomponer la matriz A del ejemplo anterior como :
A =
0 0 0−1 0 00 −1 0
L
+
2 0 00 2 00 0 2
D
+
0 −1 00 0 −10 0 0
U
de esta manera el método de Gauss-Seidel puede interpretarse como :
Au = b → (D + L)un = (−U)un−1 + b
despejando un obtenemos
un = (L + D)−1(−U)MGS
un−1 + (D + L)−1bcGS
→ un = MGSun−1 + cGS
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Gauss-Seidel
En la práctica, el método de Gauss-Seidel se implementa a través delsiguiente esquema iterativo:
un0 =
−a0,1un−11 − ...− a0,N−1un−1
N−1 + b0
a0,0
un1 =
−a1,0un0 − a1,2un−1
2 ...− a1,N−1un−1N−1 + b1
a1,1.
unN−1 =
−aN−1,0un0 − aN−1,1un
1 ...− aN−1,N−2unN−2 + bN−1
aN−1,N−1
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4 Métodos iterativos de resolución de sistemas de ecuacionesMétodo de JacobiMétodo de Gauss-SeidelMétodo de relajación
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Relajación
En el método de relajación se combina la solución propuesta porGauss-Seidel con la solución en la etapa anterior a través del parámetro derelajación w . Vamos a hacer iteraciones del esquema:
xn = w 1+yn−12 + (1− w)xn−1
yn = w xn+zn−12 + (1− w)yn−1
zn = w 1+yn2 + (1− w)zn−1
→ Si hacemos w = 1,17 obtenemos:
x1 = ?y1 = ?z1 = ?
→
x2 = ?y2 = ?z2 = ?
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Relajación
En el método de relajación se combina la solución propuesta porGauss-Seidel con la solución en la etapa anterior a través del parámetro derelajación w . Vamos a hacer iteraciones del esquema:
xn = w 1+yn−12 + (1− w)xn−1
yn = w xn+zn−12 + (1− w)yn−1
zn = w 1+yn2 + (1− w)zn−1
→ Si hacemos w = 1,17 obtenemos:
x1 = 1,171+0
2 = 0,58
y1 = ?z1 = ?
→
x2 = ?y2 = ?z2 = ?
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Relajación
En el método de relajación se combina la solución propuesta porGauss-Seidel con la solución en la etapa anterior a través del parámetro derelajación w . Vamos a hacer iteraciones del esquema:
xn = w 1+yn−12 + (1− w)xn−1
yn = w xn+zn−12 + (1− w)yn−1
zn = w 1+yn2 + (1− w)zn−1
→ Si hacemos w = 1,17 obtenemos:
x1 = 1,171+0
2 = 0,58
y1 = 1,170,58+02 = 0,34
z1 = ?→
x2 = ?y2 = ?z2 = ?
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Relajación
En el método de relajación se combina la solución propuesta porGauss-Seidel con la solución en la etapa anterior a través del parámetro derelajación w . Vamos a hacer iteraciones del esquema:
xn = w 1+yn−12 + (1− w)xn−1
yn = w xn+zn−12 + (1− w)yn−1
zn = w 1+yn2 + (1− w)zn−1
→ Si hacemos w = 1,17 obtenemos:
x1 = 1,171+0
2 = 0,58
y1 = 1,170,58+02 = 0,34
z1 = 1,171+0,342 = 0,78
→
x2 = ?y2 = ?z2 = ?
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Relajación
En el método de relajación se combina la solución propuesta porGauss-Seidel con la solución en la etapa anterior a través del parámetro derelajación w . Vamos a hacer iteraciones del esquema:
xn = w 1+yn−12 + (1− w)xn−1
yn = w xn+zn−12 + (1− w)yn−1
zn = w 1+yn2 + (1− w)zn−1
→ Si hacemos w = 1,17 obtenemos:
x1 = 1,171+0
2 = 0,58
y1 = 1,170,58+02 = 0,34
z1 = 1,171+0,342 = 0,78
→
x2 = 1,171+0,34
2 − 0,17 · 0,29= 0,58
y2 = ?z2 = ?
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Relajación
En el método de relajación se combina la solución propuesta porGauss-Seidel con la solución en la etapa anterior a través del parámetro derelajación w . Vamos a hacer iteraciones del esquema:
xn = w 1+yn−12 + (1− w)xn−1
yn = w xn+zn−12 + (1− w)yn−1
zn = w 1+yn2 + (1− w)zn−1
→ Si hacemos w = 1,17 obtenemos:
x1 = 1,171+0
2 = 0,58
y1 = 1,170,58+02 = 0,34
z1 = 1,171+0,342 = 0,78
→
x2 = 1,171+0,34
2 − 0,17 · 0,29= 0,58
y2 = 1,171+0,682 − 0,17 · 0,17 = 0,92
z2 = ?
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Relajación
En el método de relajación se combina la solución propuesta porGauss-Seidel con la solución en la etapa anterior a través del parámetro derelajación w . Vamos a hacer iteraciones del esquema:
xn = w 1+yn−12 + (1− w)xn−1
yn = w xn+zn−12 + (1− w)yn−1
zn = w 1+yn2 + (1− w)zn−1
→ Si hacemos w = 1,17 obtenemos:
x1 = 1,171+0
2 = 0,58
y1 = 1,170,58+02 = 0,34
z1 = 1,171+0,342 = 0,78
→
x2 = 1,171+0,34
2 − 0,17 · 0,29= 0,58
y2 = 1,171+0,682 − 0,17 · 0,17 = 0,92
z2 = 1,171+0,922 − 0,17 · 0,78 = 0,99
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. El método de Relajación
El método de relajación hace iteraciones del esquema :
xn = w 1+yn−1
2 + (1− w)xn−1
yn = w xn+zn−12 + (1− w)yn−1
zn = w 1+yn2 + (1− w)zn−1
En términos de las matrices L,D,U el método puede interpretarse como :
Au = b → (D + wL)un = (−wU + (1− w)D)un−1 + b
despejando un obtenemos
un = (D + wL)−1(−wU + (1− w)D)Mw
un−1 + (D + wL)−1bcw
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. El método de Relajación
El método de relajación hace iteraciones del esquema :
xn = w 1+yn−1
2 + (1− w)xn−1
yn = w xn+zn−12 + (1− w)yn−1
zn = w 1+yn2 + (1− w)zn−1
En términos de las matrices L,D,U el método puede interpretarse como :
Au = b → ?un = ?un−1 + b
despejando un obtenemos
un = (D + wL)−1(−wU + (1− w)D)Mw
un−1 + (D + wL)−1bcw
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. El método de Relajación
El método de relajación hace iteraciones del esquema :
xn = w 1+yn−1
2 + (1− w)xn−1
yn = w xn+zn−12 + (1− w)yn−1
zn = w 1+yn2 + (1− w)zn−1
En términos de las matrices L,D,U el método puede interpretarse como :
Au = b → (D + wL)un = ?un−1 + b
despejando un obtenemos
un = (D + wL)−1(−wU + (1− w)D)Mw
un−1 + (D + wL)−1bcw
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El método de relajación hace iteraciones del esquema :
xn = w 1+yn−1
2 + (1− w)xn−1
yn = w xn+zn−12 + (1− w)yn−1
zn = w 1+yn2 + (1− w)zn−1
En términos de las matrices L,D,U el método puede interpretarse como :
Au = b → (D + wL)un = (−wU + (1− w)D)un−1 + b
despejando un obtenemos
un = ?un−1 + ?
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El método de relajación hace iteraciones del esquema :
xn = w 1+yn−1
2 + (1− w)xn−1
yn = w xn+zn−12 + (1− w)yn−1
zn = w 1+yn2 + (1− w)zn−1
En términos de las matrices L,D,U el método puede interpretarse como :
Au = b → (D + wL)un = (−wU + (1− w)D)un−1 + b
despejando un obtenemos
un = (D + wL)−1(−wU + (1− w)D)Mw
un−1 + ?
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. El método de Relajación
El método de relajación hace iteraciones del esquema :
xn = w 1+yn−1
2 + (1− w)xn−1
yn = w xn+zn−12 + (1− w)yn−1
zn = w 1+yn2 + (1− w)zn−1
En términos de las matrices L,D,U el método puede interpretarse como :
Au = b → (D + wL)un = (−wU + (1− w)D)un−1 + b
despejando un obtenemos
un = (D + wL)−1(−wU + (1− w)D)Mw
un−1 + (D + wL)−1bcw
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. El método de Relajación
La elección del parámetro w es, en general, un problema difícil. Sin embargo,en el caso de matrices tridiagonales, es decir, matrices con todos loselementos nulos salvo la diagonal principal y sus codiagonales, el siguienteresultado muestra la forma de calcular el valor óptimo de w .
TeoremaSi A es una matriz tridiagonal y ρ(MJ) < 1, entonces el valor de w queoptimiza la velocidad de convergencia del método es:
wopt =2
1 +√
1− ρ(MJ)2
Como puede observarse de la expresión anterior, el valor de wopt seencuentra siempre entre 1 y 2.
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. El método de Relajación
TeoremaSi en el método de relajación w /∈ (0,2), entonces ρ(Mw ) ≥ 1.
Demostración: En primer lugar, observamos que las matrices D + Lw y(1− w)D − wU son matrices triangulares y, por tanto, su determinante es elproducto de los elementos diagonales. Además, teniendo en cuenta que eldeterminante del producto de dos matrices es el producto de susdeterminantes y que el determinante de la matriz inversa es el inverso deldeterminante, obtenemos que
|Mw | = | (D + wL)−1 ((1− w)D − wU)| =|(1− w)D − wU|| (D + wL)|
=(1− w)NΠiaii
Πiaii
Por lo tanto, como el determinante de una matriz es el producto de susautovalores, obtenemos que, si w /∈ (0,2), entonces |1− w | ≥ 1 y, enconsecuencia, Mw posee al menos un autovalor de módulo mayor o igual queuno.
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. El método de Relajación
TeoremaSi en el método de relajación w /∈ (0,2), entonces ρ(Mw ) ≥ 1.
Demostración: En primer lugar, observamos que las matrices D + Lw y(1− w)D − wU son matrices triangulares y, por tanto, su determinante es elproducto de los elementos diagonales. Además, teniendo en cuenta que eldeterminante del producto de dos matrices es el producto de susdeterminantes y que el determinante de la matriz inversa es el inverso deldeterminante, obtenemos que
|Mw | = | (D + wL)−1 ((1− w)D − wU)| =|(1− w)D − wU|| (D + wL)|
=(1− w)NΠiaii
Πiaii
Por lo tanto, como el determinante de una matriz es el producto de susautovalores, obtenemos que, si w /∈ (0,2), entonces |1− w | ≥ 1 y, enconsecuencia, Mw posee al menos un autovalor de módulo mayor o igual queuno.
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. El método de Relajación
TeoremaSi en el método de relajación w /∈ (0,2), entonces ρ(Mw ) ≥ 1.
Demostración: En primer lugar, observamos que las matrices D + Lw y(1− w)D − wU son matrices triangulares y, por tanto, su determinante es elproducto de los elementos diagonales. Además, teniendo en cuenta que eldeterminante del producto de dos matrices es el producto de susdeterminantes y que el determinante de la matriz inversa es el inverso deldeterminante, obtenemos que
|Mw | = | (D + wL)−1 ((1− w)D − wU)| =|(1− w)D − wU|| (D + wL)|
=(1− w)NΠiaii
Πiaii
Por lo tanto, como el determinante de una matriz es el producto de susautovalores, obtenemos que, si w /∈ (0,2), entonces |1− w | ≥ 1 y, enconsecuencia, Mw posee al menos un autovalor de módulo mayor o igual queuno.
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TeoremaSi en el método de relajación w /∈ (0,2), entonces ρ(Mw ) ≥ 1.
Demostración: En primer lugar, observamos que las matrices D + Lw y(1− w)D − wU son matrices triangulares y, por tanto, su determinante es elproducto de los elementos diagonales. Además, teniendo en cuenta que eldeterminante del producto de dos matrices es el producto de susdeterminantes y que el determinante de la matriz inversa es el inverso deldeterminante, obtenemos que
|Mw | = | (D + wL)−1 ((1− w)D − wU)| =|(1− w)D − wU|| (D + wL)|
=(1− w)NΠiaii
Πiaii
Por lo tanto, como el determinante de una matriz es el producto de susautovalores, obtenemos que, si w /∈ (0,2), entonces |1− w | ≥ 1 y, enconsecuencia, Mw posee al menos un autovalor de módulo mayor o igual queuno.
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. El método de Relajación
TeoremaSi en el método de relajación w /∈ (0,2), entonces ρ(Mw ) ≥ 1.
Demostración: En primer lugar, observamos que las matrices D + Lw y(1− w)D − wU son matrices triangulares y, por tanto, su determinante es elproducto de los elementos diagonales. Además, teniendo en cuenta que eldeterminante del producto de dos matrices es el producto de susdeterminantes y que el determinante de la matriz inversa es el inverso deldeterminante, obtenemos que
|Mw | = | (D + wL)−1 ((1− w)D − wU)| =|(1− w)D − wU|| (D + wL)|
=(1− w)NΠiaii
Πiaii
Por lo tanto, como el determinante de una matriz es el producto de susautovalores, obtenemos que, si w /∈ (0,2), entonces |1− w | ≥ 1 y, enconsecuencia, Mw posee al menos un autovalor de módulo mayor o igual queuno.
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. El método de Relajación
TeoremaSi en el método de relajación w /∈ (0,2), entonces ρ(Mw ) ≥ 1.
Demostración: En primer lugar, observamos que las matrices D + Lw y(1− w)D − wU son matrices triangulares y, por tanto, su determinante es elproducto de los elementos diagonales. Además, teniendo en cuenta que eldeterminante del producto de dos matrices es el producto de susdeterminantes y que el determinante de la matriz inversa es el inverso deldeterminante, obtenemos que
|Mw | = | (D + wL)−1 ((1− w)D − wU)| =
∣∣∣?∣∣∣∣∣∣?∣∣∣ =(1− w)NΠiaii
Πiaii
Por lo tanto, como el determinante de una matriz es el producto de susautovalores, obtenemos que, si w /∈ (0,2), entonces |1− w | ≥ 1 y, enconsecuencia, Mw posee al menos un autovalor de módulo mayor o igual queuno.
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TeoremaSi en el método de relajación w /∈ (0,2), entonces ρ(Mw ) ≥ 1.
Demostración: En primer lugar, observamos que las matrices D + Lw y(1− w)D − wU son matrices triangulares y, por tanto, su determinante es elproducto de los elementos diagonales. Además, teniendo en cuenta que eldeterminante del producto de dos matrices es el producto de susdeterminantes y que el determinante de la matriz inversa es el inverso deldeterminante, obtenemos que
|Mw | = | (D + wL)−1 ((1− w)D − wU)| =|(1− w)D − wU|∣∣∣?∣∣∣ =
(1− w)NΠiaii
Πiaii
Por lo tanto, como el determinante de una matriz es el producto de susautovalores, obtenemos que, si w /∈ (0,2), entonces |1− w | ≥ 1 y, enconsecuencia, Mw posee al menos un autovalor de módulo mayor o igual queuno.
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. El método de Relajación
TeoremaSi en el método de relajación w /∈ (0,2), entonces ρ(Mw ) ≥ 1.
Demostración: En primer lugar, observamos que las matrices D + Lw y(1− w)D − wU son matrices triangulares y, por tanto, su determinante es elproducto de los elementos diagonales. Además, teniendo en cuenta que eldeterminante del producto de dos matrices es el producto de susdeterminantes y que el determinante de la matriz inversa es el inverso deldeterminante, obtenemos que
|Mw | = | (D + wL)−1 ((1− w)D − wU)| =|(1− w)D − wU|| (D + wL)|
=??
Por lo tanto, como el determinante de una matriz es el producto de susautovalores, obtenemos que, si w /∈ (0,2), entonces |1− w | ≥ 1 y, enconsecuencia, Mw posee al menos un autovalor de módulo mayor o igual queuno.
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. El método de Relajación
TeoremaSi en el método de relajación w /∈ (0,2), entonces ρ(Mw ) ≥ 1.
Demostración: En primer lugar, observamos que las matrices D + Lw y(1− w)D − wU son matrices triangulares y, por tanto, su determinante es elproducto de los elementos diagonales. Además, teniendo en cuenta que eldeterminante del producto de dos matrices es el producto de susdeterminantes y que el determinante de la matriz inversa es el inverso deldeterminante, obtenemos que
|Mw | = | (D + wL)−1 ((1− w)D − wU)| =|(1− w)D − wU|| (D + wL)|
=(1− w)NΠiaii
?
Por lo tanto, como el determinante de una matriz es el producto de susautovalores, obtenemos que, si w /∈ (0,2), entonces |1− w | ≥ 1 y, enconsecuencia, Mw posee al menos un autovalor de módulo mayor o igual queuno.
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Contenido
1 Nociones básicas sobre matrices y vectores
2 Método de Jacobi para calcular autovalores de matrices simétricas
3 Método de la potencia para calcular el autovalor máximo
4 Métodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones
5 Práctica 7. Implementar el método de relajación
6 Método de Newton-Raphson para sistemas no-lineales
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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Relajación
En la práctica, el método de relajación se implementa a través delsiguiente esquema iterativo:
un0 = w
−a0,1un−11 − ...− a0,N−1un−1
N−1 + b0
a0,0+ (1− w)un−1
0
un1 = w
−a1,0un0 − a1,2un−1
2 ...− a1,N−1un−1N−1 + b1
a1,1+ (1− w)un−1
1
.
unN−1 = w
−aN−1,0un0 − aN−1,1un
1 ...− aN−1,N−2unN−2 + bN−1
aN−1,N−1+ (1− w)un−1
N−1
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Análisis Numérico Matricial IIPráctica 7. Implementar método de relajación (2 horas)
Implementar en Fortran 77 el método de relajación. Los parámetros de lafunción serán: la matriz A, el vector b, un vector u donde se almacenará lasolución, y que inicialmente será el vector aproximación inicial, que pordefecto se tomará 0, el parámetro de relajación w , el número máximo deiteraciones Nmax , y la tolerancia TOL para evaluar la diferencia entre un yun−1. La función devolverá el número de iteraciones necesarias para alcanzarla solución. Si el método no converge devuelve −1. Comparar la diferencia enla velocidad de convergencia entre el método de Gauss-Seidel y el Método derelajación. Probar el método para los sistemas
1 −1 0−1 2 00 −1 3
xyz
=
−131
2 −1 0−1 2 −10 −1 2
xyz
=
101
1 3 3
3 1 33 3 1
xyz
=
777
Los sistemas ejemplosde 10, 100 y 500 dela página web
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Contenido
1 Nociones básicas sobre matrices y vectores
2 Método de Jacobi para calcular autovalores de matrices simétricas
3 Método de la potencia para calcular el autovalor máximo
4 Métodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones
5 Práctica 7. Implementar el método de relajación
6 Método de Newton-Raphson para sistemas no-lineales
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de Newton-Raphson para sistemas no-lineales
Consideremos el siguiente sistema no lineal de ecuaciones:{x2 − y2 + 1 = 0
2xy = 0
f (u) = f (x , y) =
(x2 − y2 + 1
2xy
)=
(00
)Utilizamos el desarrollo de Taylor en varias variable
f (u) = f (u0) +∇f (u0)(u − u0) + .... ∇f (u) =
(2x −2y2y 2x
)Igualando a 0 el desarrollo de Taylor y tomamos u0 = (1,1) obtenemos
f (u0) +∇f (u0)(u − u0) = 0 →(
12
)+
(2 −22 2
)(x1 − x0y1 − y0
)= 0
Resolvemos el sistema asociado y obtenemos u1 = (1/4,3/4).
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de Newton-Raphson para sistemas no-lineales
Consideremos el siguiente sistema no lineal de ecuaciones:{x2 − y2 + 1 = 0
2xy = 0f (u) = f (x , y) =
(x2 − y2 + 1
2xy
)=
(00
)Utilizamos el desarrollo de Taylor en varias variable
f (u) = f (u0) +∇f (u0)(u − u0) + ....
∇f (u) =
(2x −2y2y 2x
)Igualando a 0 el desarrollo de Taylor y tomamos u0 = (1,1) obtenemos
f (u0) +∇f (u0)(u − u0) = 0 →(
12
)+
(2 −22 2
)(x1 − x0y1 − y0
)= 0
Resolvemos el sistema asociado y obtenemos u1 = (1/4,3/4).
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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de Newton-Raphson para sistemas no-lineales
Consideremos el siguiente sistema no lineal de ecuaciones:{x2 − y2 + 1 = 0
2xy = 0f (u) = f (x , y) =
(x2 − y2 + 1
2xy
)=
(00
)Utilizamos el desarrollo de Taylor en varias variable
f (u) = f (u0) +∇f (u0)(u − u0) + .... ∇f (u) =
(2x −2y2y 2x
)Igualando a 0 el desarrollo de Taylor y tomamos u0 = (1,1) obtenemos
f (u0) +∇f (u0)(u − u0) = 0 →(
12
)+
(2 −22 2
)(x1 − x0y1 − y0
)= 0
Resolvemos el sistema asociado y obtenemos u1 = (1/4,3/4).
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