modelos de valoración de opciones parte 2 prof. dr. prosper lamothe fernández jorge otero...
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Modelos de Valoración de OpcionesModelos de Valoración de Opciones
Parte 2Parte 2
Prof. Dr. Prosper Lamothe FernándezProf. Dr. Prosper Lamothe Fernández
Jorge Otero RodríguezJorge Otero Rodríguez
Modelos de Valoración de Opciones 2
Opciones reales - OOpciones reales - Opción de pción de retrasarretrasar de un proyecto de inversión de un proyecto de inversión
Objetivo: valoración de la opción de retrasar un proyecto de inversión.
Black_Scholes_opciones_reales.xls.
Ubicación:
Hoja proyecto - retrasar.
Variables a suministrar.
VA de los flujos de caja incrementales por invertir en el proyecto hoy (equiv. Precio del activo subyacente en t=o (S))
Inversión inicial requerida para acometer el proyecto (Equiv. Precio de ejercicio (K))
Fecha de valoración
Fecha de vencimiento de la exclusividad
Desviación típica del presupuesto de capital requerido (simulación) ó desviación típica media del valor de las empresas de la industria (equiv. Volatilidad subyacente)
Tasa de descuento (rentabilidad de deuda con vto similar a la opción)
Análisis:
Perfil de resultados.
Sensibilidad de la opción ante variaciones del activo subyacente (delta).
Límites de valoración
Black Scholes
OpcionesOpciones realesreales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
MODELO DE BLACK SCHOLESAplicación a opciones reales - Opción de abandonar un proyecto de inversión
VA de los flujos de caja en caso de continuar el proyecto (equiv. Precio del activo subyacente en t=o (S))
285.00
Fondos recibidos en caso de abandonar el proyecto (Equiv. Precio de ejercicio (K))
290.00
Fecha de valoración 28/05/2004
Fecha de vencimiento de la opción de abandono 28/05/2014
Fecha de vencimiento del proyecto 28/05/2024Desviación típica del presupuesto de capital requerido (simulación) ó desviación típica media del valor de las empresas de la industria (equiv. Volatilidad subyacente)
30.00%
Tasa de dto (rentabilidad de deuda con vto similar a la opción)
5.000%
Tiempo al vto. exclusividad (años) 10.000Tiempo al vto. Contrato (años) 20.000Ingresos marginales por cada año de espera para ejercer la opción de abandono (equiv. Tasa de dividendos (continua))
5.000%
Factor de descuento 0.602Días al vto. 3653
Tasa compuesta continua libre de riesgo 4.88%
Cálculosln(S/K) -0.0174
(r - q + vol2/2) T 0.4379
vol T (.5) 0.9487
d1 = ( ln(S/K) +(r -q + vol2/2) t ) / vol t (.5) 0.4433
d2 = d1 - vol t (.5) -0.5054
N(d1) 0.6712
N(d2) 0.3066
N(-d1) 0.3288
N(-d2) 0.6934KB(0,T) VA(K) 175.8939
Se -qT N(d1) 116.0262KB(0,T) N(d2) 53.9343Prima del Call (Black-Scholes) 62.0919
Se -qT N(-d1) 56.8351KB(0,T) N(-d2) 121.9596Prima del Put (Black-Scholes) 65.1246
Valor de la opción de abandonar (equiv. Prima del Put)
65.1294
Valor de la opción de abandono - Valor intrínseco
0.00
50.00
100.00
150.00
200.00
250.00
300.00
350.00
0 81 163 244 326 407 489 570 652 733 815
VA CF
Val
or d
e la
opc
ión
de a
band
ono
- V
alor
in
trín
seco
Valor Intrínseco Put Valor Put
Ratio de cobertura (Delta) : D= Bf (0,T) N(d1)
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1
Call Delta Bf(0,T)N(d1) Put Delta Bf(0,T)N(d1)
Modelos de Valoración de Opciones 3
Opciones reales - OOpciones reales - Opción de pción de expandirexpandir un proyecto de inversión un proyecto de inversiónObjetivo: valoración de la opción de expandir un proyecto de inversión.
Black_Scholes_opciones_reales.xls.Ubicación:
Hoja proyecto - expandir.Variables a suministrar.
Estimación del VA de los flujos de caja incrementales de la expansión (equiv. Precio del activo subyacente en t=o (S))Inversión inicial requerida para la opción de expansión (Equiv. Precio de ejercicio (K))Fecha de valoraciónFecha de vencimiento del proyectoCostes marginales por esperar un año adicional para ejercer la opción de expansión (equiv. Tasa de dividendos (continua))Desviación típica del presupuesto de capital requerido (simulación) ó desviación típica media del valor de las empresas de la industria (equiv. Volatilidad subyacente)Tasa de descuento (rentabilidad de deuda con vto similar a la opción)
Análisis:Perfil de resultados.Sensibilidad de la opción ante variaciones del activo subyacente (delta).
Límites de valoración
Black Scholes
OpcionesOpciones realesreales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
MODELO DE BLACK SCHOLESAplicación a opciones reales - Opción de expansión de un proyecto de inversión
Estimación del VA de los flujos de caja incrementales de la expansión (equiv. Precio del activo subyacente en t=o (S))
1,000.00
Inversión inicial requerida para la opción de expansión (Equiv. Precio de ejercicio (K))
1,150.00
Fecha de valoración 28/05/2004Fecha de vencimiento del proyecto 28/05/2016Costes marginales por esperar un año adicional para ejercer la opción de expansión (equiv. Tasa de dividendos (continua))
3.000%
Desviación típica del presupuesto de capital requerido (simulación) ó desviación típica media del valor de las empresas de la industria (equiv. Volatilidad subyacente)
25.00%
Tasa de dto (rentabilidad de deuda con vto similar a la opción)
5.000%
Tiempo al vto. (años) 12.000Factor de descuento 0.544Días al vto. 4383Tasa compuesta continua libre de riesgo 4.88%
Cálculosln(S/K) -0.1398
(r - q + vol2/2) T 0.6005
vol T (.5) 0.8660
d1 = ( ln(S/K) +(r -q + vol2/2) t ) / vol t (.5) 0.5320
d2 = d1 - vol t (.5) -0.3340
N(d1) 0.7026
N(d2) 0.3692
N(-d1) 0.2974
N(-d2) 0.6308KB(0,T) VA(K) 631.1334
Se -qT N(d1) 490.2117KB(0,T) N(d2) 233.0005Prima del Call (Black-Scholes) 257.2112
Se -qT N(-d1) 207.4646KB(0,T) N(-d2) 398.1329Prima del Put (Black-Scholes) 190.6683
Valor de la opción de expansión (equiv. Prima del Call)
257.2404
Valor de la opción de expasión - Valor intrínseco
0.00
200.00
400.00
600.00
800.00
1,000.00
1,200.00
1,400.00
1,600.00
1,800.00
0 270 539 809 1,079 1,349 1,618 1,888 2,158 2,428 2,697
VA CF expansión
Val
or d
e la
opc
ión
de e
xpas
ión
- V
alor
in
trín
seco
Valor Intrínseco Call Valor Call
Ratio de cobertura (Delta) : D= Bf (0,T) N(d1)
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
0.00 404.61 809.22 1,213.83 1,618.45 2,023.06 2,427.67
VA CF expansión
Del
ta (
N(d
1)
Call Delta Bf(0,T)N(d1) Put Delta Bf(0,T)N(d1)
Modelos de Valoración de Opciones 4
Opciones reales - Opción de abandono de un proyecto de inversiónOpciones reales - Opción de abandono de un proyecto de inversión
Objetivo: valoración de la opción de abandonar un proyecto de inversión.
Programa:
Black_Scholes_opciones_reales.xls.Ubicación:
Hoja proyecto - abandonar.Variables a suministrar.
VA de los flujos de caja en caso de continuar el proyecto (equiv. Precio del activo subyacente en t=o (S))
Fondos recibidos en caso de abandonar el proyecto (Equiv. Precio de ejercicio (K))
Fecha de valoración
Fecha de vencimiento de la opción de abandono
Fecha de vencimiento del proyecto
Desviación típica del presupuesto de capital requerido (simulación) ó desviación típica media del valor de las empresas de la industria (equiv. Volatilidad subyacente)
Tasa de dto (rentabilidad de deuda con vto similar a la opción)
Límites de valoración
Black Scholes
OpcionesOpciones realesreales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
MODELO DE BLACK SCHOLESAplicación a opciones reales - Opción de retrasar un proyecto de inversión
VA de los flujos de caja incrementales por invertir en el proyecto hoy (equiv. Precio del activo subyacente en t=o (S))
50.00
Inversión inicial requerida para acometer el proyecto (Equiv. Precio de ejercicio (K))
55.00
Fecha de valoración 28/05/2004Fecha de vencimiento de la exclusividad 28/05/2024Desviación típica del presupuesto de capital requerido (simulación) ó desviación típica media del valor de las empresas de la industria (equiv. Volatilidad subyacente)
25.00%
Tasa de dto (rentabilidad de deuda con vto similar a la opción)
5.000%
Tiempo al vto. (años) 20.000Costes marginales por cada año de espera para ejercer la opción de abandono (equiv. Tasa de dividendos (continua))
5.000%
Factor de descuento 0.363Días al vto. 7305Tasa compuesta continua libre de riesgo 4.88%
Cálculosln(S/K) -0.0953
(r - q + vol2/2) T 0.6008
vol T (.5) 1.1180
d1 = ( ln(S/K) +(r -q + vol2/2) t ) / vol t (.5) 0.4521
d2 = d1 - vol t (.5) -0.6659
N(d1) 0.6744
N(d2) 0.2527
N(-d1) 0.3256
N(-d2) 0.7473KB(0,T) VA(K) 20.2334
Se -qT N(d1) 12.4051KB(0,T) N(d2) 5.1137Prima del Call (Black-Scholes) 7.2914
Se -qT N(-d1) 5.9889KB(0,T) N(-d2) 15.1197Prima del Put (Black-Scholes) 9.1308
Valor de la opción de retrasar (equiv. Prima del Call)
7.2931
Valor de la opción de retrasar - Valor intrínseco
0.00
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
0 16 32 48 64 80 96 112 128 144 160
VA CF proyecto
Va
lor
de la
op
ción
de
retr
asar
-
Va
lor
intr
ínse
co
Valor Intrínseco Call Valor Call
Ratio de cobertura (Delta) : D= Bf (0,T) N(d1)
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
0.00 15.96 31.91 47.87 63.83 79.78 95.74 111.70 127.65 143.61 159.57
Call Delta Bf(0,T)N(d1) Put Delta Bf(0,T)N(d1)
Modelos de Valoración de Opciones 5
Opciones reales - Opciones reales - Opción deOpción de flexibilidad flexibilidad financiera de una empresa (I)financiera de una empresa (I)
Objetivo: valoración de la flexibilidad financiera de una empresa.
Programa:
Black_Scholes_opciones_reales.xls.
Ubicación:
Hoja Flexib finan.
Variables a suministrar.
Necesidades anuales de reinversión (CAPEX + Cambios en el Fondo de Maniobra) como % del valor de
mdo. de la empresa (equiv. Precio del activo subyacente en t=o (S))
Necesidades anuales de reinversión como % del valor de mdo. de la empresa que pueden ser financiadas
sin "flexibilidad financiera", i.e, en caso de no emplear fuentes de financiación ajena, serían los fondos
disponibles en la empresa tras repagar la deuda como % sobre el valor de mercado de la empresa (Equiv.
Precio de ejercicio del límite inferior (K))
Necesidades anuales de reinversión como % del valor de mdo. de la empresa que pueden ser financiadas
como máximo sí se dispone de "flexibilidad financiera" (Equiv. Precio de ejercicio del límite superior(K))
Fecha de valoración, Fecha de vto
Desviación típica de las necesidades de reinversión sobre el valor de la empresa (equiv. Volatilidad
subyacente)
WACC , RoC, Tasa de dto (rentabilidad de deuda con vto similar a la opción)
Límites de valoración
Black Scholes
OpcionesOpciones realesreales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
Modelos de Valoración de Opciones 6
Opciones reales - Opciones reales - Opción deOpción de flexibilidad flexibilidad financiera de una empresa (II)financiera de una empresa (II)
Análisis:
Perfil de resultados.
Sensibilidad de la opción ante
variaciones del activo subyacente
(delta).
Límites de valoración
Black Scholes
OpcionesOpciones realesreales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
MODELO DE BLACK SCHOLESAplicación a opciones reales - Valoración de la flexibilidad financiera (deuda ociosa)
Necesidades anuales de reinversión (CAPEX + Cambios en el Fondo de Maniobra) como % del valor de mdo. de la empresa (equiv. Precio del activo subyacente en t=o (S))
10.00%
Necesidades anuales de reinversión como % del valor de mdo. de la empresa que pueden ser financiadas sin "flexibilidad financiera", i.e, en caso de no emplear fuentes de financiación ajena, serían los fondos disponibles en la empresa tras repagar la deuda como % sobre el valor de mercado de la empresa (Equiv. Precio de ejercicio del límite inferior (K))
5.00%
Necesidades anuales de reinversión como % del valor de mdo. de la empresa que pueden ser financiadas como máximo sí se dispone de "flexibilidad financiera" (Equiv. Precio de ejercicio del límite superior(K))
20.00%
Fecha de valoración 28/05/2004Fecha de vto 28/05/2008Desviación típica de las necesidades de reinversión sobre el valor de la empresa (equiv. Volatilidad subyacente)
30.00%
WACC 12.00%RoC 17.00%Tasa de dto (rentabilidad de deuda con vto similar a la opción) 3.500%Tiempo al vto. 4.000Apalancamiento financiero 5.000% 5%Factor de descuento 0.868 87%Días al vto. 1461 146100%Tasa compuesta continua libre de riesgo 3.44% 3%
Límite inferior Límite sup.
Valor de la flexibilidad financiera como % sobre el valor de la empresa
Cálculosln(S/K) 0.6931 -0.6931
(r + vol2/2) T 0.3176 0.0199
vol T (.5) 0.6000 0.6000
d1 = ( ln(S/K) +(r -q + vol2/2) t ) / vol t (.5) 1.6846 -1.1222
d2 = d1 - vol t (.5) 1.0846 -1.7222
N(d1) 0.9540 0.1309
N(d2) 0.8609 0.0425
N(-d1) 0.0460 0.8691
N(-d2) 0.1391 0.9575KB(0,T) VA(K) 0.0435 0.1739
S N(d1) 0.0954 0.0131KB(0,T) N(d2) 0.0374 0.0074Prima del Call (Black-Scholes) 5.7973% 0.5697%
Se -qT N(-d1) 0.0046 0.0869KB(0,T) N(-d2) 0.0060 0.1665Prima del Put (Black-Scholes) 0.14% 7.96%
Ha de compararse con el coste de mantenerla
Valor de las opciones Call 5.7973% 0.7423%
2.1063%
Valor de opción de flexibilidad financiera - Valor intrínseco
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
0.18
0.20
0.0% 2.2% 4.4% 6.5% 8.7% 10.9% 13.1% 15.2% 17.4% 19.6% 21.8%
Necesidades anuales de reinversión (% s/ V.Mdo. Emp.)
Va
lor
de
opci
ón
de fl
exib
ilid
ad fi
nanc
iera
- V
alo
r in
trín
seco
Valor Call Sup Valor Intrínseco Call Sup.Valor Call Inf Valor Intrínseco Call InfValor Total
Ratio de cobertura (Delta) : D= Bf (0,T) N(d1)
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1
TC Spot
De
lta (
N(d
1)
Call Delta Bf(0,T)N(d1) Sup Put Delta Bf(0,T)N(d1) Sup
Call Delta Bf(0,T)N(d1) Inf Put Delta Bf(0,T)N(d1) Inf
Modelos de Valoración de Opciones 7
Opciones reales - Opciones reales - Valoración de los Recursos PropiosValoración de los Recursos Propios
Objetivo: valoración de los recursos propios de una compañía como una opción.
Programa:
Black_Scholes_opciones_reales.xls.
Ubicación:
Hoja RR.Pp.
Variables a suministrar.
Valor de los activos (VA flujos de caja generados por éstos descontado al WACC). (equivalente al Precio del activo subyacente en t=o (S)).
Nominal e intereses comprometidos de la deuda viva (equivalente al Precio de ejercicio (K)).
Tasa de dividendos durante la vida de la opción (anualizada).
Duración media de la deuda.
Tasa de descuento (rentabilidad de deuda con vencimiento similar a la opción).
Volatilidad. En empresas cotizadas: se utilizará la volatilidad media de las acciones y bonos emitidos por la empresa. En empresas no cotizadas: se utiliza la desviación típica de la industria a la que pertenece la empresa.
Límites de valoración
Black Scholes
OpcionesOpciones realesreales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
MODELO DE BLACK SCHOLESAplicación a opciones reales - Valoración de los Recursos Propios
Valor de mercado de la empresa. (equiv. Precio del activo subyacente en t=o (S))
1,200.00
Nominal e intereses de la deuda pendiente (Equiv. Precio de ejercicio (K))
1,900.00
Tasa de dividendos durante la vida de la opción (anualizada)
0.000%
Duración media de la deuda 3.940Tasa de dto (rentabilidad de deuda con vto similar a la opción)
8.000%
Empresa cotizadaDesv. Tip. rendimiento de las acciones 25.00%Desv. Tip. rendimiento de los bonos 10.00%Correlación entre acciones y bonos 30%Ratio de apalancamiento medio previsto (VM(D))/(VM(D)+VM(RP)) 90%Volatilidad media 10.04%Empresa no cotizadaDesv. Tip. Media en la industria del valor de las empresas 9.00%Volatilidad a emplear 10.04%Factor de descuento 0.726Días al vto. 1439Tasa compuesta continua libre de riesgo 7.70%
Valor de los RR.PP como una opción Call 35.1221Valor de la deuda viva 1164.8779
Tasa de dto apropiada para la deuda 13.2%
Cálculosln(S/K) -0.4595
(r - q + vol2/2) T 0.3231
vol T (.5) 0.1992
d1 = ( ln(S/K) +(r -q + vol2/2) t ) / vol t (.5) -0.6849
d2 = d1 - vol t (.5) -0.8841
N(d1) 0.2467
N(d2) 0.1883
N(-d1) 0.7533
N(-d2) 0.8117KB(0,T) VA(K) 1386.3216
Se -qT N(d1) 296.0433KB(0,T) N(d2) 261.0588Prima del Call (Black-Scholes) 34.9845
Se -qT N(-d1) 903.9567KB(0,T) N(-d2) 1125.2628Prima del Put (Black-Scholes) 221.3061
Existen dos vías para calcular la desviación típica. En empresas cotizadas: se utilizará la volatilidad media de las acciones y bonos emitidos por la empresa. En empresas no cotizadas: se utiliza la desviación típica de la industria a la que pertenece la empresa.
Valor de los Recursos Propios - Valor intrínseco
0.00
50.00
100.00
150.00
200.00
250.00
300.00
350.00
731 825 919 1,013 1,106 1,200 1,294 1,387 1,481 1,575 1,669
VA CF generados por el activo
Val
or R
R.P
P
Valor Intrínseco Call Valor Call
Ratio de cobertura (Delta) : D= Bf (0,T) N(d1)
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
731.39 825.12 918.84 1012.56 1106.28 1200.00 1293.72 1387.44 1481.16 1574.88 1668.61
Call Delta Bf(0,T)N(d1) Put Delta Bf(0,T)N(d1)
Enfoque de cálculo de volatilidad
Empresa cotizada Empresa no cotizada
Modelos de Valoración de Opciones 8
Opciones reales - Opciones reales - Valoración de una patenteValoración de una patente
Objetivo: valoración de una patente como una
opción de compra.
Programa:
Black_Scholes_opciones_reales.xls.
Ubicación:
Hoja patente.
Variables a suministrar.
VA de los flujos de caja de desarrollar la
patente ahora. (equivalente al Precio del
activo subyacente en t=o (S)).
VA de los costes de desarrollo de la
patente (equivalente al Precio de ejercicio
(K)).
Desviación típica del valor de las
empresas de la industria, o de los
presupuestos de capital de la patente
obtenidos en una simulación.
Duración de la exclusividad de la patente.
Tasa de descuento (rentabilidad de deuda
con vencimiento similar a la opción).
Coste anual de retrasar la inversión (%
sobre el VA de los flujos de caja).
Límites de valoración
Black Scholes
OpcionesOpciones realesreales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
MODELO DE BLACK SCHOLESAplicación a opciones reales - Valoración de una patente
VA de los flujos de caja de desarrollar la patente ahora. (equiv. Precio del activo subyacente en t=o (S))
250.00
VA de los costes de desarrollo de la patente (Equiv. Precio de ejercicio (K))
225.00
Desviación típica del valor de las empresas de la industria, o de los presupuestos de capital de la patente obtenidos en una simulación
15.00%
Duración de la exclusividad de la patente 25.00Tasa de dto (rentabilidad de deuda con vto similar a la opción)
5.000%
NoCoste anual de retrasar la inversión (% sobre el VA de los flujos de caja) 2.000%Tasa de dividendos durante la vida de la opción (anualizada)
2.000%
Factor de descuento 0.281Días al vto. 9131Tasa compuesta continua libre de riesgo 4.88%
Valor de la patente (equiv a opción Call) 91.6499
Cálculosln(S/K) 0.1054
(r - q + vol2/2) T 1.0010
vol T (.5) 0.7500
d1 = ( ln(S/K) +(r -q + vol2/2) t ) / vol t (.5) 1.4752
d2 = d1 - vol t (.5) 0.7252
N(d1) 0.9299
N(d2) 0.7658
N(-d1) 0.0701
N(-d2) 0.2342KB(0,T) VA(K) 64.4636
Se -qT N(d1) 141.0054KB(0,T) N(d2) 49.3676Prima del Call (Black-Scholes) 91.6378
Se -qT N(-d1) 10.6273KB(0,T) N(-d2) 15.0960Prima del Put (Black-Scholes) 4.4687
Asumimos que sí no se desarrolla la patente ahora, una vez que se desarrolle se perderá 1 año de protección disminuyendo los flujos de caja proporcionalmente (1/vida pendiente de la patente)
Valor de una patente - Valor intrínseco
0.00
50.00
100.00
150.00
200.00
250.00
300.00
350.00
400.00
450.00
0 62 124 185 247 309 371 432 494 556 618
VA CF desarrollo de la patente
Va
lor
Pa
tent
e
Valor Intrínseco Call Valor Call
Ratio de cobertura (Delta) : D= Bf (0,T) N(d1)
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
0.00 61.75 123.50 185.25 247.00 308.75 370.50 432.25 494.00 555.75 617.50
Call Delta Bf(0,T)N(d1) Put Delta Bf(0,T)N(d1)
¿Aplicar la hipótesis anterior?
Si No
Modelos de Valoración de Opciones 9
Opciones reales - Opciones reales - Explotación de las reservas de un recurso naturalExplotación de las reservas de un recurso naturalObjetivo: valoración de la explotación de las reservas de un recurso natural
Programa:
Black_Scholes_opciones_reales.xls
Ubicación:
Hoja recursos naturales
Variables a suministrar
Reservas del recurso natural (unidades físicas)
Precio medio unitario del recurso en el mercado
Coste marginal de extracción del recurso natural
Inversión inicial requerida para que el recurso esté en condiciones de explotación (equivalente al Precio de ejercicio (K))
Años hasta la pérdida de los derechos de explotación o agotamiento de las reservas (equivalente al Tiempo al vencimiento. (Años))
Flujo de caja anual después de impuestos tras la explotación del recurso natural
Desviación típica del precio del recurso natural (equivalente a la volatilidad subyacente)
Tasa de descuento (rentabilidad de deuda con vencimiento similar a la opción)
Límites de valoración
Black Scholes
OpcionesOpciones realesreales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
MODELO DE BLACK SCHOLESAplicación a opciones reales - Explotación de las reservas de un recurso natural
Reservas del recurso natural (unidades físicas) 75,000Precio medio unitario del recurso en el mercado 4.00Coste marginal de extracción del recurso natural 1.50Inversión inicial requerida para que el recurso esté en condiciones de explotación (Equiv. Precio de ejercicio (K))
175,000.00
Años hasta la pérdida de los derechos de explotación o agotamiento de las reservas (equiv. Tiempo al vto. (años))
12.000
Flujo de caja anual después de impuestos tras la explotación del recurso natural
10,000.00
Desviación típica del precio del recurso natural (equiv. Volatilidad subyacente)
30%
Tasa de dto (rentabilidad de deuda con vto similar a la opción)
5.000%
Margen unitario del recurso natural 2.50Estimación del VA de los flujos de caja procedentes de la explotación del recurso natural (equiv. Precio del activo subyacente en t=o (S))
187,500.00
Flujo de caja anual después de impuestos tras la explotación del recurso natural (% anualizado)(equiv. Tasa de dividendos (continua))
5.333%
Factor de descuento 0.549
Días al vto. 4383
Tasa compuesta continua libre de riesgo 4.88%
Valor de la opción de explotación del recurso natural (equiv. Prima del Call)
40,083.56
Cálculosln(S/K) 0.0690
(r - q + vol2/2) T 0.4855
vol T (.5) 1.0392
d1 = ( ln(S/K) +(r -q + vol2/2) t ) / vol t (.5) 0.5335
d2 = d1 - vol t (.5) -0.5057
N(d1) 0.7032
N(d2) 0.3065
N(-d1) 0.2968
N(-d2) 0.6935KB(0,T) VA(K) 96042.0363
Se -qT N(d1) 69520.6762KB(0,T) N(d2) 29440.5579Prima del Call (Black-Scholes) 40,080.12
Se -qT N(-d1) 29346.6533KB(0,T) N(-d2) 66601.4784Prima del Put (Black-Scholes) 37,254.83
Valoración de la explotación de un recurso natural - Valor intrínseco
0.00
50,000.00
100,000.00
150,000.00
200,000.00
250,000.00
300,000.00
350,000.00
400,000.00
450,000.00
0 56,942
113,883
170,825
227,767
284,709
341,650
398,592
455,534
512,475
569,417
VA CF de la explotación recurso natural
Val
or e
xplo
taci
ón d
e la
s re
serv
as d
e un
re
curs
o na
tura
l
Valor Intrínseco Call Valor Call
Ratio de cobertura (Delta) : D= Bf (0,T) N(d1)
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
0.00 85,412.58 170,825.16 256,237.74 341,650.32 427,062.90 512,475.48
VA CF de la explotación recurso natural
Del
ta (
N(d
1)
Call Delta Bf(0,T)N(d1) Put Delta Bf(0,T)N(d1)
Modelos de Valoración de Opciones 10
Black – Opciones sobre tipos de interésBlack – Opciones sobre tipos de interésCaplets - FloorletsCaplets - Floorlets
Objetivo: valoración de caplets / floorlets
o de una cartera de ellos (cap/floor).
Programa:
Black_opciones_tipos_interes.xls.
Ubicación:
Hoja Cap & Floor.
Variables a suministrar.
Fecha inicio.
Tipo de interés ejercicio.
Volatilidad.
Fecha vencimiento.
Nocional.
Curva cupón cero (sí se opta por
valorar un cap / floor).
Límites de valoración
Black Scholes
Opciones reales
Opciones sobre Opciones sobre tipos de interéstipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
APLICACIONES DE BLACK SCHOLESOPCIONES SOBRE TIPOS DE INTERÉS
Fecha inicio 01/06/2002Ti ejercicio 4.15%Volatilidad 18.25% 35,614.92Vencimientos (meses) 1 1Nocional 10,700,000
Fecha Días al Venc. Nocional Factor de dtoTipos cupón
ceroTipos Forward Valor floorlets
01-Jun-02 0 1.0000001-Jul-02 30 10,700,000 0.99842 1.95% 2.32% 16,301.6401-Aug-02 61 10,700,000 0.99643 2.16% 3.01% 10,445.6201-Sep-02 92 10,700,000 0.99386 2.48% 3.36% 7,191.3001-Oct-02 122 10,700,000 0.99108 2.72% 4.61% 338.3801-Nov-02 153 10,700,000 0.98716 3.13% 4.78% 266.2901-Dec-02 183 10,700,000 0.98324 3.43% 4.87% 265.1001-Jan-03 214 10,700,000 0.97913 3.66% 4.80% 426.2001-Feb-03 245 10,700,000 0.97510 3.83% 5.52% 69.0501-Mar-03 273 10,700,000 0.97093 4.02% 5.48% 93.6301-Apr-03 304 10,700,000 0.96637 4.19% 5.75% 67.9001-May-03 334 10,700,000 0.96176 4.35% 5.53% 149.7901-Jun-03 365 10,700,000 0.95720 4.47%
En ptos. basicos sobre nocional
Valor del floor en u.m.
33.28
Opción
CapFloor
Modelos de Valoración de Opciones 11
Black – Valoración Caplets y Floorlets - Funciones VBABlack – Valoración Caplets y Floorlets - Funciones VBA
Alternativamente a la aplicación desarrollada, se pueden utilizar las siguientes
funciones:
DescripciónOpciones_Ti
vol_implic_Black_caplet(L , Fx , Rx , t , tfin_periodo , r , periodocubierto_diasACT , Blackcaplet )
vol_implic_Black_floorlet(L , Fx , Rx , t , tfin_periodo , r , periodocubierto_diasACT , Blackfloorlet )
d1_black_caplet(Fx , Rx , t , v )d2_black_caplet(Fx , Rx , t , v )
Nd1_black_caplet(Fx , Rx , t , v )
Nd2_black_caplet(Fx , Rx , t , v )
Función
Black_floorlet(L , Fx , Rx , t , tfin_periodo , r , periodocubierto_diasACT , v )Black_caplet(L , Fx , Rx , t , tfin_periodo , r , periodocubierto_diasACT , v )
Parámetro d1Parámetro d2Función de probabilidad acumulada para la variable normalizada estándar d1Función de probabilidad acumulada para la variable normalizada estándar d2Prima de un Caplet por el modelo de BlackPrima de un Floorlet por el modelo de BlackVolatilidad implícita negociada en la prima de un Caplet por el modelo de BlackVolatilidad implícita negociada en la prima de un Floorlet por el modelo de Black
Límites de valoración
Black Scholes
Opciones reales
Opciones sobre Opciones sobre tipos de interéstipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
Modelos de Valoración de Opciones 12
Black – Opciones sobre tipos de interés - SwaptionsBlack – Opciones sobre tipos de interés - Swaptions
Objetivo: valoración de un
receiver/payer swaption.
Programa:
Black_opciones_tipos_inter
es.xls.
Ubicación:
Hoja Swaption.
Variables a suministrar.
Fecha inicio.
Tipo de interés ejercicio.
Volatilidad.
Fecha vencimiento.
Nocional.
Curva cupón cero.
Límites de valoración
Black Scholes
Opciones reales
Opciones sobre Opciones sobre tipos de interéstipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
APLICACIONES DE BLACK SCHOLESCALCULO DE LA PRIMA DE UN RECEIVER SWAPTION
Fecha contrat. 28/05/2004Fecha inicio 28/05/2007Fecha vto. 28/05/2011Vencimientos (meses) 6 6Nominal 11,000,000Ti ejercicio 5.25% 210,574.75Volatilidad 15.25%
FECHAS Días al Venc. Nominal Factor Dto.Tipo cupón
ceroTipo Forward
28-May-04 1.00000 0.00%28-May-07 1095 11,000,000 0.87063 4.73% 5.12%28-Nov-07 0.84899 4.78% 2.17%28-May-08 0.82781 4.83% 2.12%28-Nov-08 0.80777 4.85% 2.07%28-May-09 0.78869 4.86% 2.02%28-Nov-09 0.76971 4.87% 1.97%28-May-10 0.75043 4.90% 1.92%28-Nov-10 0.73063 4.94% 1.87%28-May-11 0.71112 4.99% 72.93%
Valor Opción (u.m.)En ptos. basicos sobre
nocional191.43
Flujo variable
PayerReceiver
Modelos de Valoración de Opciones 13
Black – Valoración Swaptions - Funciones VBABlack – Valoración Swaptions - Funciones VBA
Alternativamente a la aplicación desarrollada, se pueden utilizar las siguientes
funciones:
DescripciónSwaps
Función
vol_implic_Black_swaption_payer(Nominal , Fx , Rx , t , PrimaSwaption_payer , Suma_FDto )
Nd2_black_swaption(Fx , Rx , t , v )Black_swaption_payer(Nominal , Fx , Rx , t , v , Suma_FDto )
d1_black_swaption(Fx , Rx , t , v )d2_black_swaption(Fx , Rx , t , v )
Nd1_black_swaption(Fx , Rx , t , v )
vol_implic_Black_swaption_receiver(Nominal , Fx , Rx , t , PrimaSwaption_receiver , Suma_FDto )
Black_swaption_receiver(Nominal , Fx , Rx , t , v , Suma_FDto )
Parámetro d1Parámetro d2Función de probabilidad acumulada para la variable normalizada estándar d1Función de probabilidad acumulada para la variable normalizada estándar d2Prima de un swaption payer por el modelo de Prima de un swaption receiver por el modelo de Volatilidad implícita negociada en la prima de un swaption payer por el modelo de BlackVolatilidad implícita negociada en la prima de un swaption receiver por el modelo de Black
Límites de valoración
Black Scholes
Opciones reales
Opciones sobre Opciones sobre tipos de interéstipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
Modelos de Valoración de Opciones 14
Árboles Binomiales - IntroducciónÁrboles Binomiales - Introducción
Una técnica muy útil y conocida para valorar una opción sobre acciones implica el uso de lo que se conoce como árbol binomial. Éste es un árbol que representa diferentes trayectorias posibles que pueden ser seguidas por el precio de las acciones durante la vida de la opción
El planteamiento seguido fue desarrollado en importante trabajo publicado por Cox, Ross y Rubinstein en 1976
Los modelos contenidos en esta sección de la OLC son de aplicación a:
Tipo de opción: Call - Put
Tipo de opción (ejercicio): Europea - Americana
Tipo de activo subyacente: Sin reparto de dividendos - Con reparto de dividendos
Los programas desarrollados son cuatro, a saber:
Binomial_Europeas.xls – Valoración Opciones Europeas por el método binomial
Binomial_Europeas_Dividendos.xls - Valoración Opciones Europeas por el método binomial sobre acciones que distribuyen dividendos
Binomial_Americanas.xls – Valoración Opciones Americanas por el método binomial
Binomial_Americanas_Dividendos.xls - Valoración Opciones Americanas por el método binomial sobre acciones que distribuyen dividendos
Las hojas de cálculo permiten:
Obtenerse el árbol completo de valoración de una opción empleando hasta 100 iteraciones
Utilizar las funciones de VBA integradas en la hoja de cálculo en orden a la obtención del valor de la opción, obviando el desarrollo del árbol, y pudiendo utilizar un mayor número de iteraciones
Límites de valoración
Black Scholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles Árboles binomialesbinomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
Modelos de Valoración de Opciones 15
Fundamentos de valoración (I)Fundamentos de valoración (I)E
vo
luc
ión
de
l p
rec
io
Ev
olu
ció
n d
el
pre
cio
de
l a
cti
vo
su
by
ac
en
ted
el
ac
tiv
o s
ub
ya
ce
nte
S0
T: tiempo en años hasta el vencimiento
N: número de perídos
volatilidad anualizada
r*: tipo de interés libre de riesgo (continuo)
r: tipo de interés anual libre (compuesto)
p
1-p
1-p
p
Límites de valoración
Black Scholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles Árboles binomialesbinomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
Modelos de Valoración de Opciones 16
Fundamentos de valoración (II)Fundamentos de valoración (II)
Así el valor de las opciones CALL y PUT será
Para n períodos
n
0j
jnjjnjn }{ XSdu0;Máximop)(1pj)!(nj!
n!FDCall
n
0j
jnjjnjn }{ Sdu-X0;Máximop)(1pj)!(nj!
n!FDPut
Límites de valoración
Black Scholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles Árboles binomialesbinomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
Modelos de Valoración de Opciones 17
ÁRBOL BINOMIALValoración de opciones Europeas
u 1.062Activo subyacente So 26.85 2,685.00 d 0.942Precio de ejercicio 27.25 2,725.00 Ti instantáneo 3.78%Tipo de interés 3.85% 385.00 r* 1.0026Meses (30 días) 7 7.00 p 0.5071Días 15 15.00 1-p 0.4929Volatilidad anualizada 22.65% 2,265.00 Volatilidad del período 0.18 B(0,T) K + call: 27.88Nº periodos (max 100) 9 9.00 Tiempo al vto (años) 0.63 Bf(0,T)S(0) + put = 27.88Período de pago del dividendo 2 2.00 Nº de precios finales 10.00 Nº trayectorias del precioImporte bruto dividendo 2.00 200.00Reducción del precio ex divid. 90.00% 90.00
0 1 2 3 4 5 6 7 8 943.3716.12
40.8613.68
38.49 38.4911.38 11.24
36.26 36.269.22 9.08
34.16 34.16 34.167.21 7.05 6.91
32.18 32.18 32.185.43 5.18 5.00
30.32 30.32 30.32 30.323.95 3.63 3.29 3.07
PutParidad Put-Call
Call 1.26851.0327
Tipo de opción
Call Put
Árboles Binomiales - AplicaciónÁrboles Binomiales - Aplicación
Activo sin dividendos.
Activo subyacente So.
Precio de ejercicio.
Tipo de interés.
Tiempo al vencimiento.
Volatilidad anualizada.
Nº iteraciones (max 100).
Activo con dividendos.
Activo subyacente So.
Precio de ejercicio.
Tipo de interés.
Tiempo al vencimiento.
Volatilidad anualizada.
Nº periodos (max 100).
Período de pago del dividendo.
Importe bruto dividendo.
Reducción del precio ex dividendo.
Variables a suministrarVariables a suministrar
Límites de valoración
Black Scholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles Árboles binomialesbinomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
Modelos de Valoración de Opciones 18
Árboles Binomiales – Funciones VBAÁrboles Binomiales – Funciones VBA
Alternativamente a las cuatro aplicaciones desarrolladas, sí únicamente se desea conocer el precio de
la opción calculada a través del método de árbol binomial, se pueden utilizar las siguientes funciones:
DescripciónBinomial_General
Función
Prima de un Call EuropeoBin_Call_Eur(S , K , t , r , v , n_iteraciones ) Prima de un Call AmericanoPrima de un Put EuropeoPrima de un Put AmericanoPrima de un Call Americano sobre divisas, índices o acciones con distribución de dividendos
Prima de un Put Americano sobre divisas, índices o acciones con distribución de dividendos
Prima de un Call - Simulación de MontecarloPrima de un Put - Simulación de MontecarloProbabilidad distribución BinomialIncremento en el precio del activo subyacente en los movimientos de ascenso en el árbol binomial (parámetro u)
Disminución en el precio del activo subyacente en los movimientos de descenso en el árbol binomial (parámetro d)
Probabilidad de ascenso del precio del activo subyacente en un árbol binomialProbabilidad de descenso del precio del activo subyacente en un árbol binomial
Bin_Put_Ame_Dividendos_Divisas_Futuros_Indices(S , K , t , r , v , q , n_iteraciones )
Bin_Call_Montecarlo(S , K , t , r , v , n_iteraciones , n_simulaciones ) Bin_Put_Montecarlo(S , K , t , r , v , n_iteraciones , n_simulaciones ) Binom(n , m )
Bin_Call_Ame(S , K , t , r , v , n_iteraciones ) Bin_Put_Eur(S , K , t , r , v , n_iteraciones ) Bin_Put_Ame(S , K , t , r , v , n_iteraciones )
Bin_Call_Ame_Dividendos_Divisas_Futuros_Indices(S , K , t , r , v , q , n_iteraciones )
Bin_up(v , t , n_iteraciones )
Bin_down(v , t , n_iteraciones )
Bin_probabilidad_p(v , r , t , n_iteraciones )
Bin_probabilidad_q(v , r , t , n_iteraciones )
Bin_Probabilidad_p_Ame_Dividendos_Divisas_Futuros_Indices(v , r , t , q , n_iteraciones ) Bin_probabilidad_q_Ame_Dividendos_Divisas_Futuros_Indices(v , r , t , q , n_iteraciones )
Probabilidad de ascenso del precio del activo subyacente en un Probabilidad de descenso del precio del activo subyacente en
Límites de valoración
Black Scholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles Árboles binomialesbinomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
Modelos de Valoración de Opciones 19
Árboles Binomiales – Simulaciones Opciones Europeas y ExóticasÁrboles Binomiales – Simulaciones Opciones Europeas y Exóticas
La técnica de los árboles binomiales es de especial utilidad para determinar el precio de opciones
cuyo valor depende total o parcialmente de cómo se ha llegado al precio final, y no exclusivamente
de la cuantía de éste.
Pueden valorarse las siguientes opciones.
Asiáticas: el valor de la opción depende del precio medio que haya seguido el activo
subyacente a lo largo de la vida de la opción.
Lookback: el precio (St) del activo subyacente con el que se determinará el valor de la opción
será el mínimo/máximo registrado a lo largo de la vida de la opción call/put.
Knockout: Sí el precio perfora un nivel mínimo (call) o máximo (put) la opción tendrá valor
cero.
As you like it: el titular de la opción decide en la fecha de vencimiento sí desea que la opción
sea call o put.
El programa desarrollados se encuentra en el fichero Binomial_Exoticas.xls.
El programa permite:
Obtener la representación gráfica y la tabla de valoraciones en función del precio del activo
subyacente.
Utilizar las funciones de VBA integradas en la hoja de cálculo en orden a la obtención del valor
de la opción.
Límites de valoración
Black Scholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles Árboles binomialesbinomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
Modelos de Valoración de Opciones 20
Árboles Binomiales – Aplicación - Opciones Europeas y ExóticasÁrboles Binomiales – Aplicación - Opciones Europeas y Exóticas
Activo subyacente So.
Precio de ejercicio.
Tipo de interés.
Tiempo al vencimiento.
Volatilidad anualizada.
Número de simulaciones.
Número de iteraciones.
S knockout call.
S knockout put.
Variables a suministrarVariables a suministrar
Resulta de especial utilidad comprobar como por ejemplo las opciones asiáticas al utilizar una media y por tanto, atenuar las variaciones, abarata las opciones call, o como el valor de una opción call se reduce al incrementar el nivel knockout. Así, podemos comprobar empíricamente aquello que nos indica la intuición.
Límites de valoración
Black Scholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles Árboles binomialesbinomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
Opciones ExóticasSimulación Árboles Binomiales
Precio acción 22.75 2275 Número de simulaciones 100 100Precio de ejercicio 23.00 2300 Número de iteraciones 50 50Tipo de interés anual 3.250% 3250 S knockout call 40 2Volatilidad 18.50% 1850 S knockout put 7 2Tiempo al vto. (años) 1 1000 (días) 365
Tipo de interés continuo 3.198% Valor de la opción 1.17
Call Asiática
16.9817.8018.6319.4520.2821.1021.9322.7523.5724.4025.2226.0526.8727.7028.5229.3530.1731.00
-1.00
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
8.00
9.00
10.00
14.5 15.3 16.2 17.0 17.8 18.6 19.5 20.3 21.1 21.9 22.8 23.6 24.4 25.2 26.0 26.9 27.7 28.5 29.3 30.2 31.0
StV
alo
r o
pci
ón
- L
ímite
Valor opción Valor intrínseco Valor temporal
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
8.00
9.00
10.00
14.5 15.3 16.2 17.0 17.8 18.6 19.5 20.3 21.1 21.9 22.8 23.6 24.4 25.2 26.0 26.9 27.7 28.5 29.3 30.2 31.0
St
Va
lor
op
ció
n -
Lím
ite
Valor intrínseco Valor temporal
Modelos de Valoración de Opciones 21
Árboles Binomiales – Opciones Exóticas - Funciones VBAÁrboles Binomiales – Opciones Exóticas - Funciones VBA
Alternativamente a la aplicación desarrolladas, sí únicamente se desea conocer el
precio de la opción exótica calculada a través del método de árbol binomial, se pueden
utilizar las siguientes funciones:Descripción
Binomial_ExoticasBin_Call_Exotica_Asiatica(S , K , t , r , v , n_iteraciones , n_simulaciones ) Prima de un Call asíatica
Función
Bin_Put_Exotica_Asiatica(S , K , t , r , v , n_iteraciones , n_simulaciones ) Prima de un Put asíaticaBin_Exotica_Call_o_Put(S , K , t , r , v , n_iteraciones , n_simulaciones ) Prima de un opción As you like itBin_Call_Exotica_Knockout(S , K , t , r , v , n_iteraciones , n_simulaciones , S_knockout ) Prima de un Call KnockoutBin_Put_Exotica_Knockout(S , K , t , r , v , n_iteraciones , n_simulaciones , S_knockout ) Prima de un Put KnockoutBin_Call_o_Put_Exotica_Knockout_Tunel(S , K , t , r , v , n_iteraciones , n_simulaciones , S_min , S_max ) Prima de un opción As you like it Knockout
Bin_Call_Exotica_Lookback_min(S , K , t , r , v , n_iteraciones , n_simulaciones )Prima de un Call Lookback en la que Sn = min(St) ; t=0,1, .........,n
Bin_Call_Exotica_Lookback_max(S , K , t , r , v , n_iteraciones , n_simulaciones )Prima de un Call Lookback en la que Sn = max(St) ; t=0,1, .........,n
Bin_Put_Exotica_Lookback_min(S , K , t , r , v , n_iteraciones , n_simulaciones )Prima de un Put Lookback en la que Sn = min(St) ; t=0,1, .........,n
Bin_Put_Exotica_Lookback_max(S , K , t , r , v , n_iteraciones , n_simulaciones )Prima de un Put Lookback en la que Sn = max(St) ; t=0,1, .........,n
Bin_Call_o_Put_Exotica_Lookback_max(S , K , t , r , v , n_iteraciones , n_simulaciones )Prima de una opción As you like it en la que Sn = max(St) ; t=0,1, .........,n
Bin_Call_o_Put_Exotica_Lookback_min(S , K , t , r , v , n_iteraciones , n_simulaciones )Prima de una opción As you like it en la que Sn = min(St) ; t=0,1, .........,n
Límites de valoración
Black Scholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles Árboles binomialesbinomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
Modelos de Valoración de Opciones 22
IntroducciónIntroducción
La valoración de opciones exóticas, exige la utilización de procedimientos alternativos. Uno de ellos
consiste en simular diversas trayectorias del activo subyacente, y calcular de conformidad con los
fundamentos de la opción (asiática, lookback,....) su valor.
Pueden valorarse las siguientes opciones.
Asiáticas: el valor de la opción depende del precio medio que haya seguido el activo
subyacente a lo largo de la vida de la opción.
Lookback: el precio (St) del activo subyacente con el que se determinará el valor de la opción
será el mínimo/máximo registrado a lo largo de la vida de la opción call/put.
Knockout: Sí el precio perfora un nivel mínimo (call) o máximo (put) la opción tendrá valor
cero.
As you like it: el titular de la opción decide en la fecha de vencimiento sí desea que la opción
sea call o put.
El programa desarrollados se encuentra en el fichero Box_Muller_Exoticas.xls.
El programa permite:
Obtener la representación gráfica y la tabla de valoraciones en función del precio del activo
subyacente.
Utilizar las funciones de VBA integradas en la hoja de cálculo en orden a la obtención del valor
de la opción.
Límites de valoración
Black Scholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticasopciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
Modelos de Valoración de Opciones 23
Simulación - Opciones Europeas y ExóticasSimulación - Opciones Europeas y Exóticas
Objetivo: valoración de opciones europeas y exóticas sobre acciones con una tasa de reparto de dividendos continua.
Programa:• Box_Muller_Exoticas.xls
Variables a suministrar• Activo subyacente So.• Precio de ejercicio.• Tipo de interés.• Tiempo al vencimiento.• Tasa de dividendos continua.• Volatilidad anualizada.• Número de simulaciones• Número de iteraciones• S knockout call• S knockout put
Análisis:• Perfil de resultados de opciones
convencionales y exóticas en un entorno de simulación de Montecarlo.
Límites de valoración
Black Scholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticasopciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
Opciones ExóticasSimulación Box Muller
Precio acción 18.55 1855 Número de simulaciones 100 100Precio de ejercicio 19.00 1900 Número de iteraciones 50 50Tipo de interés anual 3.500% 3500 S knockout call 150 2Volatilidad 23.50% 2350 S knockout put 50 2Tasa de dividendos 5.00% 500Tiempo al vto. (años) 1 1000 (días) 365
Tipo de interés continuo 3.440% Valor de la opción 3.35 3.35
As you like it
12.5713.4214.2815.1315.9916.8417.7018.5519.4020.2621.1121.9722.8223.6824.5325.3926.2427.09
-2.00
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
10.01 11.71 13.42 15.13 16.84 18.55 20.26 21.97 23.68 25.39 27.09
St
Va
lor
opc
ión
- Lí
mite
Valor opción Valor intrínseco Valor temporal
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
8.00
9.00
10.00
10.01 11.71 13.42 15.13 16.84 18.55 20.26 21.97 23.68 25.39 27.09
St
Va
lor
op
ció
n -
Lím
ite
Valor intrínseco Valor temporal
Modelos de Valoración de Opciones 24
Simulación - Opciones Europeas y ExóticasSimulación - Opciones Europeas y Exóticas
Objetivo: ilustrar la simulación de Montecarlo utilizada a través del procedimiento Box Muller.
Programa:• Box_Muller_Montecarlo.xls• Grafico_Sendas_precios.xls
Variables a suministrar• Activo subyacente So.• Precio de ejercicio.• Tipo de interés.• Tiempo al vencimiento.• Tasa de dividendos continua.• Volatilidad anualizada.• Número de simulaciones• Número de iteraciones
Análisis:• Perfil de resultados de opciones
europeas y asiáticas en un entorno de simulación de Montecarlo.
• Tabla con precios generados y estadísticos de resumen
• Gráfico de sendas de precios (al abrir actualizar vínculos)
Límites de valoración
Black Scholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticasopciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
Simulación Box Muller
Precio acción 100.00 10,000.00 Número de simulaciones 2,000 2,000.00Precio de ejercicio 95.00 9,500.00 Número de iteraciones (max 250) 250 250.00Tipo de interés anual 3.50% 3,500.00 Puede consultar el precio medio de cada simulación en la última columnaVolatilidad 22.30% 2,230.00 Tiempo Consumido 00:03:56 Máximo 261.15Tasa de dividendos 9.98% 998.00 Call Asiática 5.08 Mínimo 21.00Tiempo al vto. (años) 3.00 3,004.00 Put Asiática 9.58 Promedio 90.01 (días) 1,096.46 Call Europea 6.77 Rango 240.15Tipo de interés continuo 0.03 Put Europea 19.49 Desv. Tipica 24.95
0 4 9 13 18 22 260 1 2 3 4 5 6
1 100.00 96.17 95.96 95.99 94.76 92.88 92.062 100.00 99.57 97.34 100.00 99.91 96.38 99.133 100.00 97.30 95.11 95.97 99.48 99.46 97.924 100.00 102.56 106.14 105.64 105.66 106.93 104.395 100.00 103.99 103.18 109.32 111.03 105.68 102.746 100.00 101.21 99.52 97.74 94.70 94.78 94.257 100.00 94.98 94.41 93.43 92.77 94.71 97.238 100.00 102.42 101.28 104.24 106.05 107.86 109.739 100.00 100.70 99.76 95.11 97.93 96.91 97.16
10 100.00 97.24 98.95 101.41 100.73 98.11 95.5611 100.00 97.68 96.62 99.22 100.68 101.28 106.8612 100.00 102.24 106.10 107.18 103.90 103.54 105.7113 100.00 104.05 103.69 103.69 103.69 98.70 98.1014 100.00 99.64 100.96 104.17 106.52 107.50 108.2015 100.00 99.99 102.31 101.88 105.02 110.88 111.1716 100.00 102.45 104.51 102.39 99.70 101.32 104.27
Modelos de Valoración de Opciones 25
Simulación de Montecarlo – Box Muller - Funciones VBASimulación de Montecarlo – Box Muller - Funciones VBA
Alternativamente a la aplicación desarrolladas, se pueden utilizar las siguientes
funciones:
DescripciónBox_Muller_Exoticas
Box_Muller_General
BM_Call(S , K , t , r , v , q , n_simulaciones ) Prima de un Call - Simulación Montecarlo BM_Put(S , K , t , r , v , q , n_simulaciones ) Prima de un Put - Simulación Montecarlo
BM_Call_o_Put_lookback_min(S , K , t , r , v , q , n_iteraciones , n_simulaciones )Prima de una opción As you like it en la que Sn = min(St) ; t=0,1, .........,n
Box_Muller() Variable normal generada mediante procedimiento Box Muller
BM_Put_lookback_min(S , K , t , r , v , q , n_iteraciones , n_simulaciones )Prima de un Put Lookback en la que Sn = min(St) ; t=0,1, .........,n
BM_Call_o_Put_lookback_max(S , K , t , r , v , q , n_iteraciones , n_simulaciones )Prima de una opción As you like it en la que Sn = max(St) ; t=0,1, .........,n
BM_Call_lookback_min(S , K , t , r , v , q , n_iteraciones , n_simulaciones )Prima de un Call Lookback en la que Sn = min(St) ; t=0,1, .........,n
BM_Put_lookback_max(S , K , t , r , v , q , n_iteraciones , n_simulaciones )Prima de un Put Lookback en la que Sn = max(St) ; t=0,1, .........,n
BM_Call_o_Put_Knockout_Tunel(S , K , t , r , v , q , n_iteraciones , n_simulaciones , S_min , S_max ) Prima de una opción As you like it Knockout
BM_Call_lookback_max(S , K , t , r , v , q , n_iteraciones , n_simulaciones )Prima de un Call Lookback en la que Sn = max(St) ; t=0,1, .........,n
BM_Call_Knockout(S , K , t , r , v , q , n_iteraciones , n_simulaciones , S_knockout ) Prima de un Call KnockoutBM_Put_Knockout(S , K , t , r , v , q , n_iteraciones , n_simulaciones , S_knockout ) Prima de un Put Knockout
BM_Put_Asiatica(S , K , t , r , v , q , n_iteraciones , n_simulaciones ) Prima de un Put asiáticoBM_Call_o_Put(S , K , t , r , v , q , n_simulaciones ) Prima de una opción As you like it
Función
BM_Call_Asiatica(S , K , t , r , v , q , n_iteraciones , n_simulaciones ) Prima de un Call asiático
Límites de valoración
Black Scholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticasopciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
Modelos de Valoración de Opciones 26
Muestreo en una distribución Normal – Box Muller e Inversión de MoroMuestreo en una distribución Normal – Box Muller e Inversión de Moro
A los efectos de ilustrar el
procedimiento de extracción
de muestras de una
distribución normal (empleada
en los procesos de Gauss-
Wiener), puede consultar el
fichero
Muestreo_Distribucion_Norm
al.xls, que ofrece la
posibilidad de extraer
muestras de hasta 20.000
observaciones por el
algoritmo de Box Muller o a
través de la Inversión de
Moro
Límites de valoración
Black Scholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticasopciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
MUESTREO EN UNA DISTRIBUCIÓN NORMALAlgorítmos: Box Muller - Inversión de Moro
Nº de extracciones (máximo 20.000) 10,000
Clase Freq. % Freq. Acum. %-4.168 1 0.01% 1 0.01%-3.891 1 0.01% 2 0.02%-3.613 2 0.02% 4 0.04%-3.336 3 0.03% 7 0.07%-3.059 3 0.03% 10 0.10%-2.781 20 0.20% 30 0.30%-2.504 40 0.40% 70 0.70%-2.227 56 0.56% 126 1.26%-1.950 130 1.30% 256 2.56%-1.672 218 2.18% 474 4.74%-1.395 360 3.60% 834 8.34%-1.118 495 4.95% 1,329 13.29%-0.840 659 6.59% 1,988 19.88%-0.563 936 9.36% 2,924 29.24%-0.286 1,009 10.09% 3,933 39.33% Promedio -0.011 Varianza ^2 0.998-0.009 1,088 10.88% 5,021 50.21% Mediana -0.014 Desviación estandar 0.9990.269 1,073 10.73% 6,094 60.94% Rango 8.319 Coef. Variación -91.73551020.546 1,030 10.30% 7,124 71.24% Mínimo -4.168 Curtosis (normal K=0) 0.0490.823 862 8.62% 7,986 79.86% Máximo 4.151 Asimetría (normal s=0) -0.003
Distribución de frecuencias. Muestra de 10000 extracciones de una distribución Normal a través del algorítmo de Moro
Distribución de frecuencias - t
Estadísticos descriptivos - t
0
200
400
600
800
1,000
1,200
-4.1
68
-3.6
13
-3.0
59
-2.5
04
-1.9
50
-1.3
95
-0.8
40
-0.2
86
0.26
9
0.82
3
1.37
8
1.93
2
2.48
7
3.04
2
3.59
6
4.15
1t
Fre
q.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
% F
req.
Acu
m
Freq. Freq. Acum.
Algoritmo
Moro Box Muller
Modelos de Valoración de Opciones 27
Simulación de MontecarloSimulación de MontecarloRelevancia del número de simulacionesRelevancia del número de simulaciones
Objetivo: ilustrar la importancia del
número de iteraciones en una
simulación de Montecarlo.
Programa:
• Montecarlo_factores.xls
Variables a suministrar
• Activo subyacente So.
• Precio de ejercicio.
• Tipo de interés.
• Tiempo al vencimiento.
• Volatilidad anualizada.
• Número de simulaciones
• Número de iteraciones
Análisis:
• Tabla y gráfico en tres dimensiones
(iteraciones vs simulaciones) para
apreciar las variaciones en la prima.
Límites de valoración
Black Scholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticasopciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
100 200 300 400 500 600 700 800 900 10005 1.81 1.55 1.89 1.71 1.73 1.72 1.65 1.84 1.93 1.9910 2.24 1.56 1.75 1.91 1.69 1.93 1.63 1.87 1.87 1.8615 2.33 1.63 1.51 1.91 1.85 1.82 1.61 1.80 1.95 1.8120 1.64 1.37 2.16 1.95 2.06 1.87 1.88 1.76 1.89 1.9425 1.92 1.91 1.96 1.98 1.92 1.93 1.94 2.04 1.92 1.9930 1.63 2.25 1.81 1.96 1.86 1.93 1.80 2.09 1.96 1.9835 2.21 1.77 1.79 1.87 1.88 1.78 1.95 1.92 1.90 1.7140 1.72 1.71 1.73 1.76 1.96 1.90 1.92 2.13 1.84 1.8545 1.84 2.05 1.84 1.80 1.93 1.81 1.83 1.81 1.67 1.8750 1.94 2.04 1.96 1.92 1.91 1.66 1.76 1.75 1.86 1.92
Nº iteracio
nes
Nº simulaciones
Simulaciones de MontecarloImportancia del número de simulaciones
Precio acción 23.50 2350Precio de ejercicio 24.25 2425Tipo de interés anual 3.440% 3440 Call PutVolatilidad 19.58% 1958 Black Scholes 1.865 1.795Nº iteraciones (Binomial) 50 50 Binomial Eur 1.867 1.811Nº simulaciones (Montecarlo) 1000 1000 Binomial Ame 1.867 1.915Tiempo al vto. (años) 1 1000 Control Variable 1.865 1.900 (días) 365 Montecarlo Box Muller 1.790 1.822Tipo de interés continuo 3.382% Montecarlo Binomial 1.988 2.006
Modelos de Valoración de Opciones 28
Black Scholes: convergencias de valoraciónBlack Scholes: convergencias de valoración
Objetivo: ilustrar la convergencia de
diversos métodos de valoración
respecto a la valoración de Black
Scholes.
Programa:
• Convergencias.xls
Variables a suministrar
• Activo subyacente So.
• Precio de ejercicio.
• Tipo de interés.
• Tiempo al vencimiento.
• Volatilidad anualizada.
• Número de simulaciones
• Número de iteraciones
Límites de valoración
Black Scholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticasopciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
MODELO DE BLACK SCHOLESConvergencia de métodos de valoración
Precio acción 17.65 1765Precio de ejercicio 16.00 1600Tipo de interés anual 3.975% 3975 Call Put S+P VA(X)+CVolatilidad 28.45% 2845 Black Scholes 3.2180484 0.9445230 18.5945230 18.5945230Nº iteraciones (Binomial) 50 50 Binomial Eur 3.2130563 0.9513708 18.6013708 18.6013708Nº simulaciones (Montecarlo) 5000 5000 Binomial Ame 3.2130563 0.9840631Tiempo al vto. (años) 1 1000 Control Variable 3.2180484 0.9772153 (días) 365 Montecarlo Box Muller 3.1923038 0.9352054Tipo de interés continuo 3.898% Montecarlo Binomial 3.2930684 0.9988215
1617181920212223242526272829303132
Paridad Put Call
Convergencia Binomial - Black Scholes
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Call (Binomial Europea) Put (Binomial Europea) Call (Black Scholes) Put (Black Scholes)
Call (Binomial Americana) Put (Binomial Americana) Call (Control Variable) Put (Control Variable)
Modelos de Valoración de Opciones 29
Links de interésLinks de interés
Microsoft PowerPoint Viewer 97 (versión 2000)
Visor de presentaciones Power Point. Útil en caso de carecer de la aplicación
completa.
http://www.microsoft.com/downloads/details.aspx?
displaylang=es&FamilyID=7C404E8E-5513-46C4-AA4F-058A84A37DF1
Excel 97/2000 Viewer
Visor de hojas de cálculo Excel. Permite visualizar e imprimir una hoja de cálculo.
Útil en caso de carecer de la aplicación completa.
http://www.microsoft.com/downloads/details.aspx?FamilyID=4EB83149-91DA-4110-
8595-4A960D3E1C7C&displaylang=EN
* Aplicaciones gratuitas y de libre distribución
Límites de valoración
Black Scholes
Opciones reales: extensiones del modelo de Black Scholes
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas Notas finalesfinales
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